(Luận văn) về các định lý montel, kobe, ánh xạ riemann trong giải tích phức một biến

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN LƯU THỊ SONG lu an n va p ie gh tn to ă VỀ CÁC ĐỊNH LÝ MONTEL,KOBE, ÁNH XẠ RIEMANN TRONG GIẢI TÍCH PHỨC MỘT BIẾN nl w oa LUẬN VĂN THẠC SĨ d NGÀNH: TỐN GIẢI TÍCH nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu Thái Nguyên, năm 2019 n va ac th si TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN LƯU THỊ SONG lu an n va p ie gh tn to ă V CC NH Lí MONTEL,KOBE, ÁNH XẠ RIEMANN TRONG GIẢI TÍCH PHỨC MỘT BIẾN nl w LUẬN VĂN THẠC SĨ d oa NGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH nf va an lu lm ul Người hướng dẫn khoa học z at nh oi PGS TSKH TRẦN VĂN TẤN z m co l gm @ an Lu Thái Nguyên, năm 2019 n va ac th si Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình PGS TSKH Trần Văn Tấn, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy! Dù bận nhiều công việc thầy dành thời gian hướng dẫn giải đáp vấn đề cách rõ ràng cho Xin chân thành cảm ơn thầy tin lu an tưởng hết lịng giúp đỡ tơi thời gian khó khăn vừa qua n va Luận văn thực hồn thành khoa Tốn thuộc trường Đại tn to học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy cô giáo Khoa Toán - trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, gh p ie thầy tổ giải tích, thầy ln nhiệt tình giảng dạy tạo điều kiện cho tơi suốt q trình học tập, để tơi hồn thành nl w luận văn oa Do thời gian khả thân hạn chế nên luận văn d không tránh khỏi thiếu sót Vì tơi mong nhận ý kiến lu nf va an đóng góp thầy bạn đọc để luận văn hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th i si Mục lục Mở đầu Chương 1.1 Định lí ánh xạ Riemann Định lý Arzela - Ascoli lu an 1.2 Định lý Montel 1.3 Miền đơn liên 1.4 Định lý ánh xạ Riemann 1.5 Định lí Kăobe 10 n va gh tn to Chương Tiêu chuẩn Montel họ chuẩn tắc hàm phân ie p hình 13 nl w 2.1 Các định lí thứ thứ hai Lý thuyết Nevan13 2.2 Tiêu chuẩn họ chuẩn tắc kiểu Montel 14 d oa linna an lu 29 z at nh oi lm ul Tài liệu tham khảo 28 nf va Kết luận z m co l gm @ an Lu n va ac th ii si Mở đầu Lí chn ti Cỏc nh lớ Montel, Kăobe v tính chuẩn tắc, Định lí ánh xạ Riemann kết đẹp đẽ quan trọng Giải tích phức biến liên lu an tục thu hút quan tâm nhà toán học Với mong muốn tìm n va hiểu chủ đề quan trọng nên chọn đề tài tn to ie gh Cấu trúc luận văn p Luân văn chia làm hai chương: Ở Chương 1, luận văn trình bày nl w Định lí ánh xạ Riemann tồn song ánh chỉnh hình miền oa đơn liên (khác toàn thể) C với đĩa đơn vị Để trình bày vấn đề này, d tham khảo tài liệu [1, 2] Chương đề cập tới số tiêu lu nf va an chuẩn chuẩn tắc kiểu Montel Chúng tham khảo [4] để cập nhật số kết gần mở rộng Định lí Montel z at nh oi lm ul Thái Nguyên, ngày 27 tháng năm 2019 Tác giả z LƯU THỊ SONG m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Định lí ánh xạ Riemann 1.1 Định lý Arzela - Ascoli lu an va Cho X không gian metric F họ hàm X , liên tục n nhận giá trị phức tn to Họ F gọi liên tục tập Y ⊂ X với  > tồn ie gh δ > cho với p, q ∈ Y f ∈ F thỏa mãn dX (p, q) < δ, p |f (p) − f (q)| <  w Họ F gọi chuẩn tắc tập Y ⊂ X với dãy {fn } ⊂ F, oa nl tồn dãy {fnj } hội tụ tập compact Y d Nhắc lại không gian mêtric X gọi tách tồn lu nf va an tập đếm {pj } ⊂ X trù mật lm ul Định lý 1.1 ( Arzela - Ascoli ) Cho X khơng gian mêtric tách S Giả sử có tập compact Kn ⊂ X cho Kn ⊂ Kn+1 , n Kn = X chuẩn tắc nếu: z at nh oi Cho F họ hàm X , liên tục, nhận giá trị phức Khi đó, F Họ F liên tục tập compact X (i) Với p ∈ X , tồn số Cp > cho |f (p)| ≤ Cp với z @ (ii) l gm f ∈ F co Chứng minh Điều kiện cần: m Để làm rõ điều kiện cần (i), dùng phản chứng Giả sử F an Lu họ chuẩn tắc, F không liên tập compact K ⊂ X ac th n va Khi đó, tồn  > cho với n, ta có điểm pn , qn ∈ K si |fn (pn )−fn (qn )| ≥  Do F chuẩn n tắc, tồn dãy fnj mà hội tụ K đến giới hạn f0 , phải liên tục Chúng ta chọn dãy xa ( mà ta lại gọi dãy {nj } với pnj → p0 qnj → q0 Nhưng từ dX (pnj , qnj ) < n−1 j → 0, kéo theo p0 = q0 Tuy nhiên, từ f0 liên tục hàm fn ∈ F cho dX (pn , qn ) <  ≤ lim sup |fnj (pnj ) − fnj (qnj )| = |f0 (p0 ) − f0 (q0 )| = 0, j→∞ dẫn đến điều mâu thuẫn Để điều kiện cần (ii), ta giả sử tồn p ∈ X cho tập giá trị {f (p)} với f ∈ F không bị chặn Khi đó, với n tồn lu an hàm fn ∈ F với |fn (p)| > n Điều mẫu thuẫn với giả thiết tồn n va dãy {fnj } hội tụ tập (compact) {p} ⊂ X Điều kiện cần (i) gh tn to (ii) chứng minh ie Điều kiện đủ p Bây giờ, ta giả sử họ F thỏa mãn (i) (ii) Xét {fn } ⊂ F nl w dãy F Gọi {pn } dãy trù mật X oa Do giá trị {fn (p1 )} nằm tập compact {ζ ∈ C||ζ| ≤ Cp1 }, ta d tìm dãy thứ n1,1 < n1,2 < < n1,k < cho dãy {fn1,k (p1 )} lu nf va an hội tụ, gọi giá trị giới hạn f0 (p1 ) Tiếp theo, từ tập giá trị {fn1,k (p2 )} chứa tập compact {ζ ∈ C||ζ| ≤ Cp2 }, tìm dãy thứ lm ul hai n2,1 < n2,2 < < n2,k < cho dãy {fn2,k } (gọi giá trị giới hạn < n1,k < · · · < n2,k < · · · < n3,k < · · · < nj,k < m co l gm ··· ··· ··· ··· ··· ··· @ n1,2 < n2,2 < n3,2 < nj,2 < z n1,1 < n2,1 < n3,1 < nj,1 < z at nh oi f0 (p2 )), dãy thứ hai chứa dãy thứ Tương tự, tìm thấy vơ hạn dãy dãy an Lu cho n va ac th si (i) Tồn giới hạn dãy {fnj,k (pj )} (gọi giá trị giới hạn f0 (pj ) ); (ii) Với dãy {nj,k } tập dãy trước {nj−1,k } Từ đó, với j cố định, phần tử dãy đường chéo {n`,` } chứa dãy {nj,k } với ` ≥ j Do đó, với dãy hàm {F` = fn`,` }, ta có lim`→∞ F` (pj ) = f0 (pj ) với j Ta chứng minh {F` } hội tụ tập compact lu an n va tn to K ⊂ X Do dãy liên tục K , với  > tồn δ > cho S d(p, q) < δ bao hàm |F` (p) − F` (q)| <  Bây giờ, K ⊂ q∈K BX (q, δ), S K compact, tồn tập hữu hạn {q1 , , qN } cho K ⊂ N J=1 BX (qj , δ) Vì lim`→∞ F` (pjr ) = f0 (pjr ), đó, ta cần xử lý tập hợp hữu hạn điểm, ta tìm M cho `1 , `2 ≥ M bao hàm |F`1 (pjr ) − F`2 (pjr )| <  Bây giờ, lấy p ∈ K Khi đó, p ∈ BX (pj , δ) với jr Ta có + |F`2 (pjr ) − F`2 (p)| p ie gh |F`1 (p) − F`2 (p)| ≤ |F`1 (p) − F`1 (pjr )| + |F`1 (pjr ) − F`2 (pjr )| nl w ≤  +  +  oa Điều dãy {F` } Cauchy cận d chuẩn K , dãy hội tụ K Định lý chứng minh nf va an lu 1.2 Định lý Montel lm ul Tiêu chuẩn Montel phát biểu sau cho phép ta kiểm tra tính chuẩn z at nh oi tắc họ thơng qua tính bị chặn tập compact Định lý 1.2 (Montel) Cho Ω ⊂ C miền, F họ hàm z @ chỉnh hình Ω Giả sử với tập compact K ⊂ Ω, tồn số co l gm CK > cho |f (z)| ≤ Ck với f ∈ F z ∈ K Khi đó, họ F chuẩn tắc Ω m Chứng minh Theo Định lý Arzela - Ascoli, ta cần chứng minh họ an Lu F liên tục tập compact K ⊂ Ω Do vậy, đẩy vấn đề việc chứng minh họ hàm chỉnh hình đĩa n va ac th si bán kính R M liên tục hình trịn nằm miền xác định Lấy r < R, chọn ρ với r < ρ < R Nếu f hàm chỉnh hình đĩa lu D(a, R) có mô-đun bị chặn M , z, ω ∈ D(a, r), Z Z f (zeta) f (ζ) dζ 2πi |ζ−a|=ρ (ζ − z)(ζ − ω) Z 2π ρdt ≤ |z − ω|M 2π |ρeit + a − z||ρeit + a − ω| Mρ ≤ |z − ω| (ρ − r)2 an n va Như vây, ta nhận kết luận Định lý tn to Miền đơn liên p ie gh 1.3 Định nghĩa 1.1 Một không gian tôpô X gọi đơn liên với nl w hàm liên tục γ : [0, 1] → X với γ(0) = γ(1) tồn ánh xạ liên oa tục Γ : [0, 1] × [0, 1] → X cho d (1) Γ(t, 0) = γ(t) với ≤ t ≤ 1; lu nf va an (2) Γ(0, s) = Γ(1, s) = Γ(0, 0) với ≤ s ≤ 1; (3) Γ(t, 1) = Γ(0, 1) = Γ(1, 1) với ≤ t ≤ lm ul Nói cách khác, X đơn liên ánh xạ liên tục từ hình ánh xạ có ảnh {x0 } z at nh oi tròn vào X, qua điểm x0 ∈ X biến đổi cách liên tục đến Liên quan tới định lí ánh xạ Riemann, ta đề cập tới miền đơn z gm @ liên C m co l Mệnh đề 1.1 Một tập mở liên thông Ω C đơn liên b có nhiều thành phần phần bù hình cầu Riemann C liên thông an Lu Điều kiện tôpô miền đơn liên dẫn đến hệ giải tích sau: n va ac th si Mệnh đề 1.2 Cho Ω ⊂ C miền đơn liên Nếu f chỉnh hình Ω f (z) 6= với z ∈ Ω, tồn nhánh chỉnh hình log f xác định Ω, có nghĩa, tồn hàm chỉnh hình g dịnh nghĩa Ω cho f (z) = exp(g(z)) với z ∈ Ω Đặc biệt, n số nguyên dương bất kì, hàm hn (z) = exp[ g(z)] chỉnh hình thỏa mãn n hn (z)n = f (z) với z ∈ Ω 1.4 Định lý ánh xạ Riemann Mệnh đề 1.3 Giả sử F : D → D ánh xạ song chỉnh hình hình trịn lu đơn vị cho F (0) = 0, F (0) > Khi đó, F (z) = z với z ∈ D an va Chứng minh Lấy G ánh xạ ngược F , F (G(z)) = z G(F (ω)) = ω n với z, ω ∈ D Khi đó, F (G(z))G0 (z) = 1, F (0)G0 (0) = Mặt khác, p ie gh tn to |F (z)| < 1, |G(z)| < với z ∈ D, F (0) = G(0) = nên điều suy từ bổ đề Schwarz |F (0)| ≤ |G0 (0)| ≤ Do đó, ta có |F (0)| = lại bổ đề Shwarz F (z) = eiθ z Nhưng từ F (0) > phải có θ = 0, F (z) = z nl w d oa Mệnh đề 1.4 Lấy a ∈ C với |a| < 1, định nghĩa lu a−z − az nf va an φa (z) = Khi biến đổi phân tuyến tính φa có tính chất sau: lm ul (i) φa (0) = a φa (a) = 0; z at nh oi (ii) φa ◦ φa (z) = z ; (iii) φa : D → D ánh xạ song chỉnh hình z Chứng minh Phát biểu (i) (ii) phép toán đơn giản Như chúng @ gm ta biết, phép biến đổi tuyến tính phân ánh xạ đối l hình cầu Rieman vào Nếu ta φa mang hình m co trịn đơn vị vào nó, kéo theo phát biểu (iii) an Lu n va ac th si Nhưng |z| = a−z a−z |a|2 − az − az + |z|2 |φa (z)| = = − az − az − az − az + |a|2 |z|2 |a|2 − az − az + = 1, = − az − az + |a|2 |φa (z)| = 1, mệnh đề chứng minh Để ý ta có điều ngược lại: Mọi đẳng cấu chỉnh hình f : D → D có dạng f (z) = (z−ω) 1−ωz , eiθ (z−ω) 1−ωz , với ω thuộc D Thật vậy, xét g(z) = với ω = f −1 (0) Khi đó, g(D) = D g tự đẳng cấu chỉnh hình D Do g(ω) = f (ω) = nên f ◦g −1 (0) = Mặt khác f ◦g −1 lu tự đẳng cấu chỉnh hình D, nên theo Bổ đề Schwarz, f ◦g −1 (z) = eiθ z an n va với θ thuộc [0, 2π) Do f (z) = f ◦ g −1 (g(z)) = eiθ g(z) = eiθ (z−ω) 1−ωz miền đơn liên Khi đó, với z0 ∈ Ω, tồn ánh xạ song gh tn to Định lý 1.3 (Định lý ánh xạ Rieman) Cho Ω tập thật C ie chỉnh hình F : Ω → D, Ω hình trịn đơn vị mở D, cho F (z0 ) = p F (z0 ) > nl w Tính suy theo Mệnh đề 1.3 Thật vậy, F1 F2 d oa hai ánh xạ song chỉnh hình từ Ω đến D z0 đến 0, sau F2 ◦ F1−1 ánh an lu xạ song chỉnh hình hình trịn đơn vị biến thành nf va Gọi F tập tất đơn ánh chỉnh hình f từ Ω vào D, thỏa mãn z at nh oi lm ul f (z0 ) = f (z0 ) > Ta chứng minh tồn song ánh chỉnh hình theo ba bước Bước 1: Tập hợp F không rỗng Chứng minh Vì Ω khơng phải tồn mặt phẳng phức, tồn a ∈ C Ω z Thì hàm z − a chỉnh hình khơng không Ω, Ω gm @ liên thơng phạm vi, nên tồn hàm chỉnh hình g Ω cho m co l g(z)2 = z − a Hàm g có tính chất sau: (i) g đổi Thật vậy, g(z1 ) = g(z2 ), z1 − a = g(z1 )2 = g(z2 )2 = z2 − a, z1 = z2 (ii) Ảnh g không chứa cặp điểm {ω, −ω} Thật vậy, g1 (z) = −g2 (z), z1 − a = g(z1 )2 = (−g(z2 ))2 = g(z2 )2 = z2 − a, an Lu n va ac th si z2 = z2 , mà g(z1 ) − g(z1 ) Bao hàm g(z1 ) = 0, z1 = a điều khơng thể (iii) Ảnh g chứa số hình trịn đóng {ω ∈ C| |ω − g(z0 )| ≤ δ} δ > Từ (ii) (iii) khoảng biến thiên hàm g không chứa điểm hình trịn đóng trung tâm at − g(z0 ) bán kính δ Do đó, với z ∈ Ω ta có |g(z) + g(z0 )| > δ Đặt h(z) =: δ g(z) + g(z0 ) Thì lu h chỉnh hình Ω; (b) Với z ∈ Ω, ta có |h(z)| < 1; (c) Từ ánh xạ ω → δ(ω + g(z0 ))−1 đối một, h đối (d) h(z0 ) = δ(2g(z0 ))−1 = a ∈ D Chúng ta có h : Ω → D chỉnh hình đối Bây giờ, ta hàm h với biến đổi tuyến tính phân số φa định nghĩa an (a) n va p ie gh tn to oa nl w F (z) =: φa ◦ h(z) = a − h(z) + ah(z) d Thì F (z0 ) = φa (a) = Nếu ta nhân F với số thích hợp giá trị lu nf va an tuyệt đối 1, ta đảm bảo đạo hàm khơng dương Do F 6= Bước 2: Tồn F ∈ F cho F (z0 ) = supf ∈F f (z0 ) lm ul Chứng minh Lấy A = supf ∈F f (z0 ) cho A ∈ (0, +∞] Chọn dãy z at nh oi z {fn } F cho limn→∞ fn0 (z0 ) = A Do họ F bị chặn Ω, chuẩn tắc, có dãy {fnk } hội tụ tập compact Ω đến giới hạn F Từ F giới hạn hàm chỉnh hình, F chỉnh hình Ta có, F (z0 ) = limk→∞ fnk (z0 ) = F (z0 ) = limk→∞ fn0 k (z0 ) = A (Suy A < +∞) Tương tự, z ∈ Ω, |F (z)| = limk→∞ |fnk (z)| ≤ Nhưng suy từ định lý Mơ đun cực đại, ta có |F (z)| < với z ∈ Ω Còn lại, để F đối Giả sử F (z1 ) = F (z2 ) = ω Hàm {fnk (z) − ω} hội tụ Ω tới hàm F (z) − ω , với giả sử có hai m co l gm @ an Lu n va ac th si Không Suy ra, với k đủ lớn, fnk có Khơng gần z1 z2 , bao hàm z1 = z2 Do đó, F ∈ F Bước 3: F toàn ánh D Chứng minh Giả sử tồn a ∈ D cho F (z) 6= a với z ∈ Ω Thì hàm z → φa ◦ F (z) đối một, ánh xạ Ω tới D, không Không φa ◦ F (z0 ) = a Do Ω liên thông phạm vi, tồn hàm lu an n va gh tn to g , định nghĩa chỉnh hình Ω, cho g(z)2 = φa ◦ F (z) Thì g : Ω → D, chứng minh bước 1, suy g đối Hơn nữa, g(z0 ) = b với b2 = a Nếu ta đặt S(ω) = ω , dựng hàm chỉnh hình g Ω cho S ◦ g = φa ◦ F Đặt G = φb ◦ g Khi đó, G đối một, ánh xạ Ω tới D, thỏa mãn G(z0 ) = Ta viết g = φ−1 b ◦ G = φb ◦ G, ta có φa ◦ F = S ◦ g = S ◦ φb ◦ G, ie cuối p F = φ−1 a ◦ D ◦ G = φa ◦ S ◦ φb ◦ G nl w Suy d oa F (0) = [φa ◦ S ◦ φb ]0 (0)G0 (0) lu an Cịn lại để tính tốn [φa ◦ S ◦ φb ]0 (0) = φ0a (a)S (b)φ0b (0) giá − az)(−1) − (a − z)(−a) −1 + az + |a|2 − az − |a|2 = =− (1 − az)2 (1 − az)2 (1 − az)2 −1 −1 = , − |a|2 − |b|4 φ0b (0) = − |b|2 , S (b) = 2b z φ0a (a) = z at nh oi Do lm ul (1 φ0a (z) nf va trị tuyệt đối ngặt nhỏ Ta gm @ 2b + |b|2 m co l φ0a (a)S (b)φ0b (0) = − F (z0 ) Định lý chứng minh an Lu có giá trị tuyệt đối ngặt Nên |F (z0 )| < |G0 (z0 )|, phủ định tối đại n va ac th si 1.5 nh lớ Kă obe nh lý 1.4 (Kăobe) Gi S tập tất đơn ánh chỉnh hình f đĩa đơn vị D cho f (0) = f (0) = Khi đó, S họ chuẩn tắc Chứng minh Cố định dãy {fn } ⊂ S đặt Rn := sup{R > 0; D(0, R) ⊂ fn (D)} Do fn−1 |D(0,R) : D(0, R) −→ D chỉnh hình với đĩa D(0, R) ⊂ f (D), nên theo Bổ đề Schwarz ta có, Rn ≤ Chọn điểm xn ∈ ∂ D(0, Rn ) − lu an n va p ie gh tn to fn (D) đặt gn := fn /xn Ta có D ⊂ gn (D) ∈ / √ Do gn (D) c đơn liên, nên có nhánh chỉnh hình ψ z − cho √ ψ(0) = −1 Từ đó, hn := ψ ◦ gn thỏa mãn h2n = gn − Ta hn (D) ∩ (−hn (D)) = ∅ Thật vậy, ω = hn (z) −ω = (hn (z )), gn (−ω) = gn (ω) phép nội xạ ω = −ω = Nhưng ta lại có gn (z) = nên dẫn đến vô lý Từ D ⊂ gn (D), có U := ψ(D) ⊂ hn (D), (−U ) ∩ hn (D) = ∅ Do đó, hn dãy hội tụ Do đó, từ |xn | = Rn ≤ 1, fn = xn (1+h2n ) dãy hội tụ Gọi f giới hạn dãy Đặt a ∈ f (D) Từ nguyên lý argument cho z với f (z) 6= a, Z f (z)dz ` := √ f (z) − a 2π −1 d oa nl w nf va an lu lm ul |z|=r z at nh oi số nguyên, rõ ràng ≤ cho r đầy đủ gần đến Từ fnk tuỳ ý đóng z để f |z| ≤ r, phép nội xạ bao hàm fnk Z Z fn0 k (z)dz 1 f (z)dz 1= √ = √ =l 2π −1 |z|=r fnk (z) − a 2π −1 |z|=r f (z) − a co l gm @ Từ đó, f nội xạ, định lý chứng minh m Nhận xét 1.5 Với f ∈ S , ta có f (D) chứa hình trịn có tâm an Lu gốc tọa độ Do họ S chuẩn tắc, ta lấy bán kính hình ac th 10 n va trịn ứng với mối f ∈ S cho chúng có chặn dương Trong nhiều ứng si dụng, việc bán kính có chn di dng l Tuy vy, Kăobe gi thuyt chặn tốt 1/4 (được chứng minh Bieberbach) Để kiểm tra tính tốt chặn nói trên, ta xét hàm z −  1 f (z) = 1− )2 z+1 Bây ta xét hàm f ∈ S , giả sử, ω ∈ C − f (D) Khi đó, ta g(z) := ωf (z) , ω − f (z) lu g ∈ S Chú ý g(0) = 0, g (0) = 1, g”(0) = g”(0) + 2ω −1 Do S chuẩn tắc, ta có D2 := sup{|f ”(0)|; f ∈ S } an va tập hữu hạn Do đó, ta có đánh giá n to gh tn D2 ≥ |g”(0)| ≥ 2|ω|−1 − |f ”(0)| ≥ 2|ω|−1 − D2 , p ie ta |ω| ≥ D2−1 oa nl w Dễ thấy rằng, f ∈ S hàm d , fb(z) = (f (z −1 ))−1 fe(z) := p f (z −2 ) √ √ lấy nhánh gửi −1 đến −1, nội xạ phần bù hình trịn đơn vị chuỗi Lơrăng có dạng nf va an lu z at nh oi lm ul z + b1 z −1 + b2 z −2 + (1.1) z P m co l gm @ tập hợp xạ ảnh đơn trị C − D chuỗi Laurent có dạng P Với g ∈ r > 1, Z ≤ Diện tích phần trong(g(∂ D(0, r))) = √ ωdω −1 g(∂ D(0,r)) Z = √ g(z)g (z)dz −1 |z|=r Đặt kí hiệu an Lu n va ac th 11 si Độc giả kiểm tra, Z ∞   X lim √ g(z)g (z)dz = π − n|bn | r→1 −1 |z|=r n=1 Do đó, thấy |b1 | ≤ f ”(0) −1 z + Cuối cùng, người đọc kiểm tra fe(z) = z − P biên |b1 | D2 ≤ Do đó, thu kết sau õy nh lý 1.6 (nh lý Kăobe 4 ) Với f ∈ S , ta có f (D) ⊃ D(0, 41 ) Số tốt cho độ lớn bán kính đường trịn thỏa mãn yêu cầu lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th 12 si Chương Tiêu chuẩn Montel họ chuẩn tắc hàm phân hình lu an Các định lí thứ thứ hai Lý n va 2.1 gh tn to thuyết Nevanlinna ie Để chuẩn bị cho việc nghiên cứu tiêu chuẩn họ chuẩn tắc kiểu Montel, p phần này, đề cập tới số khái niệm kết Lí nl w thuyết Nevanlinna phân bố giá trị hàm phân hình Cho ν d oa divisor C Hàm đếm ứng với ν định nghĩa Zr X n(t) dt (r > 1), where n(t) = ν(z) N (r, ν) = t an lu |z|≤t nf va lm ul Với hàm phân hình f C, f 6≡ ∞, ta kí hiệu νf divisor khơng điểm f, ν f xác định ν f (z) := min{νf (z), 1} Đặt Nf (r) := z at nh oi N (r, νf ) N f (r) := N (r, ν f ) Hàm xấp xỉ f định nghĩa Z2π z log+ f (reiθ ) dθ, an Lu T (r, f ) := m(r, f ) + N (r, f ) m Hàm đặc trưng f định nghĩa co với log+ x = max{log x, 0} for x ≥ l gm @ m(r, f ) = 2π n va ac th 13 si Bổ đề đạo hàm Logarit Cho f làm hàm phân hình khác C, k số nguyên dương Khi f (k) km(r, ) = o(T (r, f )) f (trong phần này, ta dùng kí hiệu kP để mệnh đề P với r đủ lớn, ngồi tập có độ đo Lebesgue hữu hạn Định lí thứ Cho f hàm phân hình C a số phức Khi T (r, ) = T (r, f ) + O(1) f −a lu an Định lí thứ hai Cho f hàm phân hình khác n va C, a1 , , aq q giá trị C \ {0}, đôi phân biệt Khi to tn (q − 2)T (r, f ) q X N f −ai (r) + o(T (r, f )), p ie gh i=1 w Tiêu chuẩn họ chuẩn tắc kiểu Montel d oa nl 2.2 nf va an 1912 lu Khái niệm họ chuẩn tắc hàm phân hình đưa Montel năm Định nghĩa 2.1 Họ hàm chuẩn tắc Một họ F hàm phân hình lm ul miền D ⊂ C gọi chuẩn tắc dãy {fv } ⊂ F tồn z at nh oi dãy {fvi } hội tụ theo metric cầu tập compact D tới hàm phân hình hàm đồng ∞ z Họ F gọi chuẩn tắc điểm z0 ∈ D tồn hình trịn m co l gm @ {z : |z − z0 | < } ⊂ D cho họ F (hạn chế {z : |z − z0 | < }) chuẩn tắc {z : |z − z0 | < } Như vậy, họ F chuẩn tắc D chuẩn tắc điểm thuộc D Với hàm phân hình f miền D ⊂ C, ta ký hiệu f # đạo |f | hàm cầu f , f # = 1+|f |2 Tiêu chuẩn sau cho họ chuẩn tắc Marty thiết lập năm 1957 an Lu n va ac th 14 si