bài giảng toán cao cấp đại số tuyến tính ftu

3121 3 2 1* Phương pháp biến đổi định thức về dạng tam giác Các phép biển đổi sơ cấp trên ma trận Ba phép biến đổi sau đây gọi là ba phép biến đổi sơ cấp trên dòng của ma trận - Nhân m t

MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC

Khái ni ệm cơ bả n v ma tr n 9 ề ậ 1 Ma tr n 9ậ 2 Các d ng ma tr n 9ạậ 3 Các phép bi ển đổi sơ cấ p trên ma tr n 11ậ 1.2 Phép toán cơ bản trên ma trận

Ma trận là m t b ng s x p theo dòng và theo c t M t ma tr n có m dòng và n cộ ả ố ế ộ ộ ậ ột được gọi là ma trận cấp m n Ma tr n c p ậ ấ m n có dạng t ng ổ quát như sau

 trong đó a ij  ;j1, )n S ốa ij n m trên dòng i và c t j c a ma tr n A g i là phằ ộ ủ ậ ọ ần tử c a ma tr n A Ph n t n m trên dòng i và củ ậ ầ ử ằ ột j còn được kí hi u là ệ ( )A ij Để viết ngắn gọn ma trận A, ta dùng kí hiệu A( )a ij m n 

Tập hợp các ma tr n c p ậ ấ m n với a ij  được kí hiệu M m n  

Cho ma tr n A c p ậ ấ m n A được gọi là ậ nếu tất các phần tử ma trận đều bằng 0,   A ij 0,i j, Kí hiệu 0 m n 

* Ma trận dòng, ma trận cột

- Ma trận c p ấ m1 gọi là ma tr n cậ ột (ma tr n có 1 cậ ột).

- Ma trận c p ấ 1n gọi là ma tr n dòngậ (ma tr n có 1 dòng) ậ

Ma tr n chuy n vậ ể ị c a A là ma trủ ận thu được bằng cách đổi dòng thành cột tương ứng của ma tr n A Ma trậ ận chuyển vị của A được kí hiệu là A T N u A là ma tr n c p ế ậ ấ m n thì

Ma tr n có s dòng và s c t bậ ố ố ộ ằng n được g i là ọ ma tr n vuông c p nậ ấ Kí hiệu

Tập hợp tất cả các ma tr n vuông cậ ấp n được kí hi u ệ M n 

Các ph n t có d ng ầ ử ạ a ii được g i là ọ phần tử chéo c a ma tr n ủ ậ Đường th ng ch a các ẳ ứ phần t ửchéo gọi là đường chéo chính của A.

  là ma tr n vuông c p 3 Các ph n t 3, 1, 2 là ph n t ậ ấ ầ ử ầ ử chéo c a A.ủ

Cho A là ma trận vuông c p n ấ

- Ma tr n A là ậ ma tr n tam giác trênậ n u t t c ph n t nế ấ ả ầ ử ằm bên dưới đường chéo chính đều bằng 0, tức là a ij 0, i j i; 1, ,n;j1, , n

- Ma tr n A là ậ ma trận tam giác dưới n u t t c các ph n t nế ấ ả ầ ử ằm bên trên đường chéo chính đều bằng 0, tức là a ij 0, i j i; 1, ,n;j1, , n

  là ma tr n tam giác trên ậ

   là ma trận tam giác dưới.

Ma tr n vuông A cậ ấp n được g i là ọ ma tr n chéoậ n u các ph n t nế ầ ử ằm ngoài đường chéo chính bằng 0, tức là a ij   0, i j

Ma tr n ậ đơn vị là ma tr n chéo mà các ph n tậ ầ ử trên đường chéo chính b ng 1 Kí hiằ ệu

I hay I n (nếu là ma trân vuông c p n) ấ

  là ma trận đơn vị ấ c p 3

1.1.3 Các phép biển đổi sơ cấp trên ma trận

Ba phép biến đổi sau đây gọi là ba ến đổi sơ cấ trên dòng của ma trận

- Nhân m t dòng v i mộ ớ ột số 0 i  i

- C ng m t dòng b i mộ ộ ở ột dòng khác đã được được nhân với 1 s ố i   i  j

- Đổi chỗ hai dòng cho nhau

Tương tự ta có ba phép biến đổi sơ cấp trên các cột của ma trận

1.2 Phép toán cơ bản trên ma tr n ậ

1.2.1 Phép c ng hai ma tr n ộ ậ

Cho hai ma tr n A và B cùng c p ậ ấ m n T ng hai ma tr n, kí hi u A+B là ma tr n cổ ậ ệ ậ ấp m n xác định bởi  A  B      ij  A ij  B ij v i mớ ọi , i j

1.2.2 Phép nhân vô hướng của ma trận với một sốthực

Tích c a ma tr n ủ ậ A c p ấ m n v i sớ ố thực , kí hiệu A, là ma tr n cậ ấp m n xác định b i ở    A ij    A ij v i mớ ọi i,j.

Chú ý: Khi  1 ẽ ế  thay cho ( 1) và g i là ma trọ ận đối của A

Ta định nghĩa A   B A ( B) là phép trừ hai ma tr n ậ

Cho hai ma trận A  a ij m p  , B  b ij p n  Ta g i tích c a hai ma tr n A và B, kí hiọ ủ ậ ệu

A B, là ma tr n c p ậ ấ m n được xác định như sau

p i j i j ip pj ik kj ij k

- Để tính tích hai ma trận A và B thì s cố ột của A phả ằi b ng s dòng c a B ố ủ

- Phần t ử ( )A B ij b ng t ng các tích t ng ph n t trên dòng i c a A v i ph n t ằ ổ ừ ầ ử ủ ớ ầ ử tương ứng ở cột j của B

Với m i ma tr n vuônỗ ậ g A và s t nhiên ố ự n1, ta định nghĩa:

Ta gọi A n là lu thỹ ừa b c nậ của A.

Giả sử các phép toán dưới đây đều th c hiự ện được Khi đó ta có các tính chất sau đây: i A B  B A ii A   B C     A B    C iii A 0 A iv A   A 0 v   A B     A   B    vi      A   A   A    ,  vii       A   A  ,  viii 1.AA AI; IAA

Xét tập n s t ố ự nhiên đầu tiên  1,2, Mỗi các sắp x p có th t ế ứ ự được gọi là một hoán v t n s ị ừ ố đã cho Sốcác hoán vị khác nhau t n ph n từ ầ ử đã cho là n! 1.2.3 Mỗi hoán vị của tập 1,2, được kí hiệu là  ( (1), (2),  với

Ví dụ 1.13 T p ậ  1,2,3  có 3! 6  hoán v ịlà

Trong m t hoán v , mộ ị ỗi cặp s liên ti p có s lố ế ố ớn đứng trước số bé g i là m t nghọ ộ ịch thế c a hoán v S nghủ ị ố ịch thế ủ c a hoán v ị được kí hiệu là N( )

Ví dụ 1.14 V i các hoán v c a 3 ph n t trên, ta có ớ ị ủ ầ ử

1.3.2 nh thĐị ức của ma tr n vuông ậ

 c a ma tr u là Định thức ủ ận A được kí hiệ detA hoặc A xác định như sau

Trong đó tổng lấy theo tấ ảt c các hoán v ị ( (1), (2), 

Cho ma tr n vuông c p 1, ậ ấ A  a 11 Khi đó det a 11

      Để nh công thức trên người ta thướ ờng sử dụng quy tắc Sarrusnhư sau:

1.3.3 Tính ch t cấ ủa định th c ứ

Tính chất 1: Cho A là ma tr n vuông, ta có ậ det T det 

Chú ý: T tính ch t chuy n v , m i tính ch t cừ ấ ể ị ọ ấ ủa định thức đúng cho dòng thì cũng đúng cho cộ và ngượ ại Do đó, trong các tính chấ ủa địt c l t c nh thức, chỉ phát biểu cho các dòng, các tính chất đó vẫn gi nguyên giá tr khi thay ch ữ ị ữ “dòng” bằng ch ữ “cột”.

Tính ch t 2:ấ Đổ ỗ và gi nguyên v trí các dòng còn lữ ị ại thì đị thức đổi dấu

  i ch dòng 1 và dòng 2 cho nhau) (đổ ỗ

Giữ nguyên dấu Đổi dấu

Tính chất 3: Thừa số chung c a m t dòng có th ủ ộ ể đưa ra ngoài dấu định thức.

n n n n n n nn n n nn a a a a a a ka ka ka a a a k a a a a a a

Chú ý: Cho A là ma trận vuông c p n và sấ ố thực , ta có det A  n det A

Tính ch t 4:ấ Cho A là ma tr n vuông c p n Gi s dòng th i c a ma tr n A có th ậ ấ ả ử ứ ủ ậ ể biểu di n ễ a ij a ' a " với j 1, 2, , n Khi đó ta có:

Tính chất 5: nh thĐị ức của ma tr n A b ng 0 n u tho mậ ằ ế ả ột trong các điều ki n sau: ệ

- Có m t dòng mà tộ ất cảcác phầ ử ủa dòng đó đền t c u b ng 0 ằ

- Có hai dòng b ng nhau hoằ ặc tỉ ệ ớ l v i nhau

Tính ch t 6:ấ N u ta nhân m t dòng cế ộ ủa định th c v i s ứ ớ ố  b t kì r i c ng vào dòng ấ ồ ộ khác thì định thức không thay đổi

Tính ch t 7:ấ Định th c c a ma tr n tam giác, ma tr n chéo b ng tích các ph n t nứ ủ ậ ậ ằ ầ ử ằm trên đường chéo chính

Tính chất 8: N u A, B là các ma tr n vuông c p n thì ế ậ ấ det( ) det det

1.3.4 M t s ộ ố phương pháp tính định th c ứ

* Phương pháp khai triển định thức theo dòng hoặc cột

Cho A là ma trận vuông c p n ấ

Gọi M ij là ma tr n nhậ ận được t A b ng cách bừ ằ ỏ đi dòng i và cột j Khi đó số ( 1) det M i j  ij gọi là ần bù đạ ố của phầ ửn t a ij , kí hi u là ệ A ij Định lý Laplace (Công thức khai triển định thức)

Cho A là ma trận vuông cấp n Khi đó

1 det , 1, n ij ij j j j j nj nj i

Ví dụ 1.19 Tính định thức của ma tr n ậ

Khai triển định thức theo dòng 1

Khai triển định thức theo cột thứ 2:

* Phương pháp biến đổi định thức về dạng tam giác

Các phép biển đổi sơ cấp trên ma trận

Ba phép biến đổi sau đây gọi là ba phép biến đổi sơ cấp trên dòng của ma trận

- Nhân m t dòng v i mộ ớ ột số 0 i i d d

- C ng m t dòng b i mộ ộ ở ột dòng khác đã được được nhân với 1 s ố i i j d  d d

- Đổi chỗ hai dòng cho nhau i j dd

Tương tự ta có ba phép biến đổi sơ cấp trên các cột của ma trận

Phương pháp biến đổi định thức về dạng tam giác

Sử dụng các phép biến đổi tương đương trên dòng (cột) của ma tr n và s d ng các ậ ử ụ tính ch t cấ ủa định thức để ế đổ bi n i ma tr n cậ ủa định th c v dứ ề ạng tam giác Định th c sau ứ cùng sẽ b ng tích các ph n tằ ầ ử trên đường chéo chính

1.3.5 nh thĐị ức của ma tr n tích ậ

Nếu A, B là các ma tr n vuông c p n thì ậ ấ det( ) det det Đặc biệt, với số tự nhiên k ta có det( )A k detA 

Ví dụ Tính định thức

H ng c a ma tr n 19 ạ ủ ậ 1 Định nghĩa

Cho A là ma tr n cậ ấp m n Ch n các ph n t n m trên k dòng và k cọ ầ ử ằ ột của A ta được một tr n vuông cậ ấp k Định th c c a ma tr n vuông c p k trên ta gứ ủ ậ ấ ọi là định thức con cấp k của A

Ví dụ 1.23 Cho ma tr n ậ

20 Chọn các ph n t trên dòng 1 và cầ ử ột 2 ta được định thức 0 là một định th c con c p 1 ứ ấ của ma trận A

Chọn các ph n t n m trên dòng 1, dòng 3, c t 1 và cầ ử ằ ộ ột 2 ta được định thức 1 2

 là một định thức con cấp 2 c a ma tr n A ủ ậ

Chọn các ph n t n m trên dòng 1, dòng 2, dòng 3, c t 1, c t 2 và cầ ử ằ ộ ộ ột 4 ta được định thức

 là một định th c con c p 3 c a ma tr n A ứ ấ ủ ậ

Cho A là ma tr n c p ậ ấ m n khác 0 H ng c a ma trạ ủ ận A, kí hi u ệ rank( ) hay r( )A chính là cấp cao nhất trong các định th c con khác 0 c a ma tr n A ứ ủ ậ

Vậy h ng c a A là m t sạ ủ ộ ố nguyên r thoả

Tồn t i ít nh t mạ ấ ột định thức con cấp r khác 0 của A.

Mọi định thức con của A c p lấ ớn hơn r (nếu có) thì ph i b ng 0 ả ằ

Ví dụ 1.24 Tìm hạng của ma trận

Ma trận A có duy nhất một định thức con cấp 4 và nó bằng 0 Tồn tại định thức con cấp 3 của A là

1.4.2 M t s tính chộ ố ất của h ng ma tr n ạ ậ

Tính chất 2: H ng c a ma trạ ủ ận không đổi qua các phép biến đổi sau:

- Phép chuy n vể ị ma trận Tức là r( ) r( T )

- Các phép biển đổi sơ cấp dòng hoặc cột.

- Bỏ đi các dòng hoặc các cột có tấ ảt c ph n t b ng 0 ầ ử ằ

- Bỏ đi các dòng hoặc các cột là tổ ợ h p tuy n tính c a các dòng hay các cế ủ ột khác.

Tính chất 3: N u A là ma tr n vuông c p n thì ế ậ ấ

- r( ) n det 0 Khi đó ta gọi A là ma trận không suy biến

- r( ) n det 0 Khi đó ta gọi A là ma trận suy biến

Tính chất 4: N u A, B là các ma tr n cùng c p thì ế ậ ấ r(AB) r( ) r( ) A  B

Tính ch t 5:ấ Cho A, B là các ma tr n sao cho ta có thậ ể thực hi n tích ệ AB Khi đó r(AB) min{r( ), r( )} A B

1.4.3 M t s ộ ố phương pháp tính hạng ma tr n ậ

Ma trận bậc thang là ma tr n có d ng: ậ ạ

+ Các dòng b ng không (n u có) thì nằ ế ằm dưới cùng

+ Ph n tầ ử khác không đầu tiên ở dòng dưới luôn n m bên ph i c t các ph n t khác ằ ả ộ ầ ử không đầu tiên của dòng trên

Phần t ử khác không đầu tiên này gọi là các phần t ử đánh dấu c a ma tr n ủ ậ

  là ma tr n b c thang Các s ậ ậ ốa 11 2,a 22 2 là các phầ ử đánh dấn t u

  không là ma tr n b c thang Các s ậ ậ ố b 11 1,b 22 2,b 32  1 là các phần t ử đánh dấu

* Phương pháp tìm hạng của ma tr n b ng các phép biậ ằ ến đổi sơ cấp

Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng (ho c theo cặ ột) không làm thay đổ ại h ng c a ma ủ trận Do đó muốn tìm hạng của ma trận A ta dùng các phép biến đổi sơ cấp để đưa ma trận

A v d ng ma tr n b c tề ạ ậ ậ hang A’ Khi đó hạng c a A b ng h ng củ ằ ạ ủa A’ và bằng s dòng ố khác 0 của A’.

Ví dụ 1.26 Tìm h ng c a ma tr n ạ ủ ậ

* Phương pháp định thức bao quanh Định thức bao quanh Định thức con D c p ấ r 1 c a ma trủ ận A là định thức bao quanh định th c con ứ D

(cấp r) c a A khi và ch khi ủ ỉ Dđược thành lập bằng cách b sung thêm m t dòng và m t ổ ộ ộ cột của A ngoài rdòng và rcột đã chọn để ập đị l nh mức D Định lý: Nếu ma trận A có định th c con ứ D0 c p ấ rmà mọi định th c con cứ ấp r+1 bao quanh nó (nếu có) đều b ng 0 thì h ng cằ ạ ủa ma trận A b ng r.ằ

Do đó ta có thể tìm h ng c a ma trạ ủ ận theo phương pháp lặp sau:

- Tìm một định th c con ứ D khác 0 c p s c a ma tr n A ấ ủ ậ

- Tính các định th c con c p ứ ấ s1 bao quanh nó (n u có) ế

+ N u t t cế ấ ả các định th c con c p ứ ấ s1 bao quanh D đều b ng 0 (ho c ma ằ ặ trận không có định thức con cấp s1) thì hạng c a ma tr n b ng ủ ậ ằ s

+ N u t n tế ồ ại định th c con ứ D c p ấ s1 bao quanh D khác không thì ta lặp các bước trên Sau một số bước hữu hạn ta sẽ tìm được hạng của ma trận

D 2 0   (D 1212 là định thức con lấy từ dòng 1, dòng 2, cột 1 và cột 2 của ma tr n A) ậ

Trong số các định thức bao quanh nó có

Do ma trận A không có định thức bao quanh định thức D 123123 , do đó hạng của ma trận

Cho A là ma tr n vuông cậ ấp n, A được g i là ọ ậ ả ị n u t n t i ma trế ồ ạ ận vuông B c p n sao ấ cho   n , với I n là ma trận đơn vị Khi đó, B được g i là ọ ma trận nghịch đảo c a A, kí hi u ủ ệ  1

Ta có th ki m tra ể ể được ABBAI 3 Do đó ma trận A khả nghịch và BA  1

1.5.2 Điều ki n tệ ồn tại và duy nhất Định lý: Cho A là ma tr n vuông c p n, ma tr n A kh nghậ ấ ậ ả ịch khi và ch khi ỉ detA0 (ma tr n A không suy biậ ến) Hơn nữa, ma tr n nghậ ịch đảo c a A là duy nh ủ ất.

Ví dụ 1.30 Tìm m để ma tr n ậ

Ta có detAm m( 1) A kh ngh ch khi và ch khi ả ị ỉ 0

1.5.3 M t s ộ ố phương pháp tìm ma trận nghịch đảo

* Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo b ng cách s dằ ử ụng định th c ứ

24 Nếu ma tr n tr n A kh nghậ ậ ả ịch thì 1 1 det A

Ví dụ 1.31 Tìm ma tr n nghậ ịch đảo của

Ta có detA2 Do đó A khả nghịch

Tìm ma tr n ph h p ậ ụ ợ P A của A.

* Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo d a vào phép biự ến đổi sơ cấp Để tìm ma trận nghịch đảo của ma trận vuông A cấp n ta lập ma trận có cấp n2n sau đây:

25 Sau đó ta sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đưa ma trận  A I | n  v d ng ề ạ

 I n | B  Khi đó, ma trận B chính là ma trận nghịch đảo của ma trận A

Chú ý: N u trong quá trình biế ến đổi n u kh i bên trái xu t hi n m t dòng v i t t c ế ố ấ ệ ộ ớ ấ ả phần t b ng 0 thì ma tr n không kh nghử ằ ậ ả ịch.

Ví dụ 1.32 Tìm ma tr n nghậ ịch đảo (n u có) cế ủa

Lập ma tr n ậ  A I| 3  Ta có

Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đưa  A I| 3  và d ng ạ  I 3|B 

Do đó A khả ngh ch và ị 1

* Dùng ma tr n nghậ ịch đảo giải phương trình ma tr n ậ

Xét phương trình ma trận AXB v i A là ma tr n vuông c p n không suy bi n Khi ớ ậ ấ ế đó ta có

Tương tự phương trình ma trận cũng có nghiệm là   1

Ví dụ 1.33 Giải phương trình AXB với 1 0 2 2

Bài 1 Cho các ma trận

      a Tìm các ma trận chuyển vị của A, B, C b Tính A3B4C

Bài 2 Cho các ma trận 2 1 1

Bài 3 Tính các tích của các ma trận sau a

Bài 5 Tính A n với n là số tự nhiên tuỳ ý và A là các ma trận sau a 2 1

Bài 7 Tính các định thức sau a

2 2 cos 2 cos sin cos 2 cos sin cos 2 cos sin

Bài 8 Tính các định thức cấp n bằng cách đưa về dạng tam giác a

Bài 9 Giải các phương trình a

Bài 10 Chứng minh các đẳng thức sau a 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Bài 11 Tìm hạng của các ma trận sau a

Bài 12.Biện luận theo m hạng của các ma trận sau

Bài 13.Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của các ma trận sau

Bài 14 Tìm m để các ma trận sau khả nghịch a

Bài 15 Cho hai ma trận

a Tìm ma trận X thoả XAB b Tìm ma trận X thoả AX B

Tìm các ma trận X, Y sao cho

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾ N TÍNH

Khái ni ệm cơ bả n

2.1.1 Hệ phương trình tuy n tính t ng quát ế ổ

Hệ phương trình tuyến tính(n ẩn, m phương trình) là hệ có d ng ạ

Trong đó a b i ij , ( i  1, , ;m j 1, , )n là các số thực cho trước và x x 1 , , 2 g i là ọ các ẩn số

( 1, , ; 1, , ) a i ij  m j n gọi là các hệ số

( 1, , ) b i i  m gọi là các hệ s t ố ựdo

 gọi là ma tr n h sậ ệ ố c a hủ ệ (1).

  gọi là ma tr n h s t ậ ệ ố ựdo hay cột tự do của hệ (1)

  gọi là ma tr n n sậ ẩ ố hay cột ẩn số

Hệ (1) có thể ết dưới dạng ma tr n vi ậ AXB

Hệ (1) g i là h Cramer n u nó có sọ ệ ế ố phương trình bằng số ẩn (n=m) và ma tr n h s ậ ệ ố

Hệ (1) gọi là hệ thuần nhất nếu c t t do ộ ự i 0 v i mớ ọi i1,m

Bộ n s ố ( , ,x x 1 2 g i là nghi m c a h (1) nọ ệ ủ ệ ếu như khi ta thay chúng vào (1) ta được các đẳng thức đúng.

Giải hệ phương trình tuyến tính tức là đi tìm nghiệm của hệ

Hai hệ phương trình tuyến tính cùng số ẩn được g i là ọ tương đương n u nghi m cế ệ ủa chúng b ng nhau ằ

2.1.2 Điều ki n tệ ồn tại nghiệm Định lý Kronecker-Capelli: Hệ phương trình tuyến tính (1) có nghiệm khi và chỉ khi

( ) ( ) rank A rank A. Hơn nữa giả sử rank A ( )  rank A ( )  r (0   r min   m n , ) Khi đó

- N u ế  (n là số ẩn) thì h ệ(1) có nghiệm duy nh ất.

Ví dụ 2.1 Các hệ phương trình sau có nghiệm hay không? a

Ta tìm h ng c a ma tr n h s và ma tr n h s m rạ ủ ậ ệ ố ậ ệ ố ở ộng tương ứng

33 Vậy r A     2 r A    3 nên hệ đã cho vô nghiệm. b

Ta tìm h ng c a ma tr n h s và ma tr n h s m rạ ủ ậ ệ ố ậ ệ ố ở ộng tương ứng

Vì r A    r A     3 4 nên hệ đã cho có vô số nghiệm phụ thu c vào 1 tham s ộ ố

Phương pháp giải hệ Cramer

Xét hệ phương trình tuyến tính Cramer d ng ma tr n ạ ậ AXB (A là ma tr n vuông, ậ detA0)

2.2.1 Phương pháp ma trận nghịch đảo

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất   1

Ví dụ 2.2 Giải hệ phương trình tuyến tính sau bằng phương pháp Cramer

Xác định các ma trận ,A B

Vì det   A    12 0 nên h có nghi m duy nhệ ệ ất

Hệ Cramer n n s có nghi m duy nhẩ ố ệ ất xác định bởi công th c ứ det trong đó A i là ma tr n nhậ ận được từ ma trận bằng cách thay đổi cột i bởi cột tự do

Ví dụ 2.3 Giải hệ phương trình tuyến tính

Phương pháp giải hệ tổng quát

2.3 Phương pháp giả ệ ổi h t ng quát

Tìm h ng cạ ủa A và A

- N u ế rank A( )rank A( )thì hệ vô nghiệm.

- N u ế rank A( )rank A( )r Khi đó tồ ại địn t nh thức con D cấp r của ma trận khác không

Ta bỏ đi tấ ả các phương trình không dính đết c n D m r r (  phương trình) Các ẩn ứng với các cột có dính đến D r gi l i bên trái làm n Các n ng v i cữ ạ ẩ ẩ ứ ớ ột không dính đến D r chuyển sang bên ph i làm tham sả ố Khi đó ta có hệ Cramer

Ví dụ 2.4 Giải hệ phương trình

Suy ra r A    r A     2 4 Do đó tồn tại định thức con cấp 2,

 của A (D 1213 là định thức con của ma trận A có được bằng cách lấy các phần tử ở các dòng 1, dòng 2, c t 1 và c t 3) Ta gi lộ ộ ữ ại hai phương trình đầu Gi ữ x x 1 , 3 làm n và chuyẩ ển

2, 4 x x sang vế ph i làm tham sả ố, ta được

Hệ cuối là hệCramer do có định thức của ma tr n h s chính là ậ ệ ố 1 1

 Áp dụng phương pháp Cramer ta được

Vậy nghiệm của hệ là

Lập ma tr n ậ A Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa A v d ng bề ạ ậc thang. Nếu trong quá trình biến đổi xuất hi n m t dòng bên trái b ng 0, bên phệ ộ ằ ải khác 0 thì hệ vô nghiệm.

Nếu đưa A v d ng ma tr n b c thang thì các n ng v i các c t ch a ph n tề ạ ậ ậ ẩ ứ ớ ộ ứ ầ ử đánh dấu gi l i làm n, các n ng vữ ạ ẩ ẩ ứ ới các c t không ch a ph n tộ ứ ầ ử đánh dấu chuy n sang bên ể phải làm tham số, sau đó giải phương trình ngược từ dòng dưới cùng đến dòng 1

Ví dụ 2.5 Giải hệ phương trình

Lập ma tr n h sậ ệ ố mở r ng ộ A

Vì r A    r A     3 4 nên h có vô s nghi m ph thu c vào 1 tham s ệ ố ệ ụ ộ ố

Ta giữ x x x 1 , , 2 3 làm n chính và chuy n ẩ ể x 4 qua v ph i làm tham sế ả ố Khi đó

Vậy nghiệm của hệ là

H ệ phương trình tuyế n tính thu n nh t 37 ầ ấ BÀI TẬP CHƯƠNG 2

Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất là hệ phương trình có dạng

 với dạng ma trận là AX0 (2)

Hệ luôn có nghiệm vì rank A( )rank(A0 ) rank A( )

Bộ số (0,0,…,0) luôn là một nghiệm của hệ gọi là nghiệm tầm thường

Các nghiệm khác không nếu có gọi là nghiệm không tầm thường của hệ.

Từ định lý Kronecker-Capelli ta có

- Nếu r(A)nthì hệ (2) có nghiệm duy nhất, đó là nghiệm tầm thường.

- Nếu r(A) r n thì hệ (2) có vô số nghiệm phụ thuộc nr tham số, trong đó ẩn chính phụ thuộc tham số Ta gọi đó là nghiệm tổng quát của của hệ phương trình (2)

- Cho các tham số những giá trị đặc biệt, lập nên một ma trận chéo, ta được nghiệm cơ bản của hệ phương trình (2)

Ví dụ 2.6 Tìm nghiệm tổng quát và một hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình

Vì r A    r A     2 4 nên hệ có vô số nghiệm phụ thuộc vào 2 tham số

 Xem x x 1 , 2 là ẩn chính và x 3 ,x 4  là tham số Khi đó

Vậy nghiệm tổng quát của hệ là 3 ,     , ,  với  , 

Một hệ nghiệm cơ bản của hệ là 0,1,1,0 ; 3,1,0,1  

Hệ thuần nhất (2) có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi hạng của ma trận hệ số nhỏ hơn số ẩn (rank A( )n)

Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có số phương trình bằng số ẩn (m=n) thì ma trận hệ số là ma trận vuông Khi đó

- Hệ có nghiệm duy nhất tầm thường khi và chỉ khi detA0

- Hệ có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi detA0

Bài 1 Giải các hệ phương trình tuyến tính sau: a

Bài 2 Giải các hệ phương trình sau a

Bài 3 Giải và biện luận các hệ phương trình sau đây theo tham số thực m a

Bài 4 Giải và biện luận hệ phương trình sau

Bài 5 Cho hệ phương trình

 a Tìm m để hệ đã cho là hệ Cramer Tìm nghiệm trong trường hợp đó b Tìm m để hệ trên vô nghiệm

Bài 6 Cho hệ phương trình

 a Tìm m để hệ phương trình vô nghiệm b Tìm m để hệ phương trình có vô số nghiệm và tìm nghiệm trong trường hợp đó

Bài 7.Giải các hệ phương trình thuần nhất sau a

Bài 9 Tìm a để các hệ sau có kinh nghiệm không tầm thường và xác định các nghiệm không tầm thườn đó a

KHÔNG GIAN VÉCTƠ

Khái ni m 43 ệ 3.2 Tính ch ất của không gian véctơ

Cho V là m t t p h p tu ý khác r ng V g i là ộ ậ ợ ỳ ỗ ọ không gian véctơ trên (mỗi ph n t ầ ử của V gọi là một véctơ) nếu trong V có hai phép toán

 Phép nhân vô hướng một sốthực a v i mớ ột véctơ

V a Đồng thời phép cộng và phép nhân thoả 8 điều kiện sau

3 T n tồ ại  V sao cho   V:        Mọi véctơ  có tính ch t trên ấ gọi là véctơ không

4   V,' V :   ' Khi đó ta gọi ' là véctơ đối của 

Sau đây là các ví dụ cơ bản về không gian véctơ trên

Ví d 3.1.ụ Không gian tích Descartes V với phép toán cộng và phép nhân v i mớ ột sốthực được định nghĩa như sau

Phép c ng: Vộ ới  a a 1, , ,2a n , b b 1, , ,2b n ta có

Phép nhân với số thực: Với a ta có

44 Khi đó cùng v i hai phép toán cớ ộng và phép nhân được định nghĩa như trên là không gian véctơ trên

Ví d 3.2.ụ Xét VM m n  là t p h p các ma tr n c p ậ ợ ậ ấ m n Khi đó V cùng v i phép ớ cộng ma tr n và phép nhân ma trậ ận v i mớ ột sốthực là không gian véctơ trên

3.2 Tính chất của không gian véctơ

Tính chất 1: Véctơ không của không gian véctơ là duy nhất Ta kí hiệu véctơ không của không gian V là 0 V hoặc 0 Ví dụ, 0 0,0 , 0  0,0,0

Tính chất 2: Véctơ đố ủi c a mỗi véctơ  là duy nhất Khi đó ta kí hiệu  là phần t ử đố ủi c a 

Tính chất 3: Phép c ng có luộ ật giản ước Tức là

Tính chất 4: Phép nhân có luật giản ước cho một số khác không Tức là

Tính chất 5: Phép trừ hai véctơ Cho  , V, ta định nghĩa

M i quan h tuy n tính gi ố ệ ế ữa các véctơ

Cho hệ véctơ  1, ,2 V Khi đó véctơ  V g i là ọ biểu th tuy n tínhị ế được qua các véctơ   1 , , 2 n u t n tế ồ ại các sốa a 1, ,2 sao cho

    Khi đó ta cũng nói là ổ ợ ế của các véctơ   1 , , 2

Ví d 3.3.ụ Trong , xét 3 véctơ  1  ( 3,0), 2 (0; 2),  3 (3,2) Khi đó véctơ không 0 (0,0) có thể ể bi u th ịtuyến tính qua các véctơ   1, ,2 3 như sau

  c a h vủ ệ éctơ   1 , , 2 g i là tọ ầm thường nếu

1 2 0 a a  Ngược lại, nếu có ít nhất một hệ số a j 0(1 j n) thì t h p tuyổ ợ ến tính

  gọi là không tầm thường

Ví d 3.4.ụ Trong cho các véctơ15,2, 1 ,20,2, 2 , 3(1, 1,3) và (2,1, 2)

  Khi đó  có thể bi u th tuy n tính qua ể ị ế    1 , , 2 3 được không?

3.3.2 Độ ậc l p tuy n tính và ph thu c tuy n tính ế ụ ộ ế

Cho V là một không gian véctơ trên và      1, ,2 V là một hệ véctơ

Hệ  gọi là ụ ộ ế n u t n t i các s ế ồ ạ ốa a 1 , , 2 không đồng thời bằng 0 sao cho

Ví dụ 3.5 Xét sự độc lập tuy n tính, ph thu c tuy n tính cế ụ ộ ế ủa các hệ véctơ sau a  1 (1,0,3); 2 (2,1, 1);  3 (3,2, 2) b  1 (3,6); 2   ( 1, 2)

Chú ý: Đặc biệt trong cho hệ véctơ      1, ,2 v ới

Xét A là ma tr n l p t h ậ ậ ừ ệ véctơ trên

 ệ  độ ậ ế khi và ch khi ỉ ran ( )m

Hệ  ph thu c tuy n tính khi và ch khi ụ ộ ế ỉ ran ( )m

Ví dụ 3.6 Xét tính độc l p tuy n tính hay phậ ế ụ thuộc tuy n tính c a các hế ủ ệ véctơ sau

46 a 1(1,1,1);2(2,3,2);3(0,2,1) b  1 (1,1,0,0); 2 (0,1,1,0); 3 (2,3,1,0) Định lý: Cho hệ véctơ   1 , , 2 độc l p tuyậ ến tính Khi đó hệ véctơ

 1, ,2 độc l p tuy n tính khi và ch khi ậ ế ỉ  không bi u th tuyể ị ến tính được qua

3.4 H ng c a h ạ ủ ệ véctơ và số chiều của không gian véctơ

*Hệ con độc lập tuy n tính tế ối đại

Cho hệ véctơ      1, ,2 V H con cệ ủa hệ véctơ   là hệ véctơ gồm một số (hoặc t t cấ ả) các véctơ của h Hệ ệcon   i 1 , i 2 , c a h ủ ệ    được g i là h con ọ ệ độc lập tuyến tính tối đại nếu thoã hai điều kiện sau

(i) Hệ  1, i 2, độc lập tuy n tính ế

(ii) Mọi véctơ của hệ  đều bi u th tuyể ị ến tính được qua hệ con   1 , 2 ,

Nhận xét: Một hệ véctơ có thể có nhi u hề ệ con độ ậc l p tuy n tính tế ối đại khác nhau nhưng số véctơ của các hệ con độc lập tuyến tính tối đại thì luôn bằng nhau Số đó ta gọi là hạng của hệ  , kí hi u ệ rank  

*Cách tìm h cệ on độ ậc l p tuy n tính tế ối đại, hạng của một hệ véctơ trong

Trong cho một hệ véctơ      1, ,2 Để tìm hệ con độc lập tuyến tính tối đạ ủi c a hệ    ta làm như sau

Bước 1: L p ma tr n A vậ ậ ới các dòng là các véctơ  i

Bước 2: Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa A về ạ d ng ma tr n b c thang ậ ậ Bước 3: Khi đó hạng của hệ  chính b ng h ng c a ma tr n A và hằ ạ ủ ậ ệ con độ ậc l p tuyến tính tối đại của   gồm các véctơ ứng v i các dòng khác không cớ ủa ma trận A

Ví d 3.7.ụ Trong cho các véctơ  1 (1,1,1,0); 2 (1,1, 1,1);  3 (3,4,0,2) và

  Tìm h ng và ch ra m t hạ ỉ ộ ệ con độc l p tuy n tính tậ ế ối đại c a h ủ ệ

- Ta cũng có thể ậ l p ma tr n B, v i các c t cậ ớ ộ ủa B là các véc tơ  i Khi đó BA T Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa B về ạ d ng ma tr n bậ ậc thang Khi đó

    rank  rank B Hệ con độ ậc l p tuy n tính tế ối đại bao gồm các véctơ  i ứng v i các ớ cột chứa phần t ử đánh dấu c a ma trủ ận b c thang ậ

- Trong không gian véctơ V cho hệ      1, ,2 N u h ế ệ   độc l p tuy n ậ ế tính thì ran     m và hệ con độ ậc l p tuy n tính cế ủa tối đạ ủa i c   cũng chính là hệ   Ngượ ạ ếc l i n u    phụ thuộc tuy n tính thì ế ran    m và hệ con độ ậc l p tuy n tính tế ối đạ ủi c a   có ít hơn m phầ ửn t

3.4.2 Cơ sở ố, s chi u, toề ạ độ

Hệ véctơ        1 , , 2 trong không gian véctơ V gọi là một cơ sở của V nếu

 độc lập tuy n tính và mế ọi véctơ của V đều bi u th tuy n tính qua ể ị ế 

Ví dụ 3.8 Trong xét h ệ véctơ

Dễ dàng kiểm tra hệ này độc lập tuy n tính và vế ới mọi véctơ x x x 1 , , 2 ta có

Hệ véctơ  e e 1 , , , 2 e n  là một cơ sở ủa c và được gọi là cơ sở chính tắc của không gian , kí hi u ệ   n

Cho V là một không gian véctơ, V gọi là không gian n chi u n u trong V có ít nhề ế ất một hệ n véctơ độ ậc l p tuy n tính và m i hế ọ ệ n+1 véctơ đều ph thu c tuy n tính Kí hi u ụ ộ ế ệ dimVn

Không gian không (chỉ g m mồ ột véctơ không) được xem là có s ốchiều n0

Ví dụ 3.9 dim Định lý: Trong mỗi không gian véctơ n chiều

(i) Mọi hệ g m nhiồ ều hơn n véctơ đều phụ thuộc tuyến tính

(ii) Mọi cơ sở đều gồm đúng n véctơ Mọ ệ độ ậi h c l p tuy n tính gế ồm n véctơ đều là cơ sở

48 (iii) M i họ ệ độ ậc l p tuy n tính gế ồm ít hơn n véctơ đều có th b sung thành m t mể ổ ộ ột cơ sở Đặc biệt, trong , h ệ véctơ

  là một cơ sở ủa c khi và ch ỉ khi nó độc lập tuy n tính, nói cách khác ế

Ví d 3.10.ụ Chứng minh h véc t ệ ớ u 1 (1,2,3),u 2 (2,0,4),u 3 (1,6,7) là một cơ sở của

Cho V là một không gian véctơ n chiều với      1, ,2 là một cơ sở của V Khi đó mọi véctơ x V đều có th viể ết được duy nhất dưới dạng

1 1 2 2 xa a  trong đó a a 1 , , 2 Ta gọi bộ ố s là toạ độ ủa véctơ x trong cơ sở c

  Khi cơ sở   đã chỉ rõ ta viết   x thay cho

Ví dụ 3.11 Trong cho h ệ 3 véctơ     u 1(1,1,0),u 2 (0,1,1),u 3 (1,0,1) a Ch ng t r ng ứ ỏ ằ  là một cơ sở ủ c a không gian b Tìm toạ độ ủa các véctơ c e 1 (1,0,0),e 2 (0,1,0),e 3 (0,0,1) và u(4,3,5) trong cơ sở   

* Ma trận cơ sở, công thức đổi toạ độ

49 Trong không gian véctơ V cho hai cơ sở

 gọi là ma trạn đổi cơ sở ừ t  sang 

Công thức đổi to ạ độ

Trong không gian véctơ V cho hai cơ sở

Lấy một véctơ x thuộc V và gi sả ử toạ độ của x trong hai cơ sở là

Ví dụ 3.12 Trong cho hai cơ sở:

    1(1, 1,1), 2(2,3,1),3(1,2,1) và cơ sở chính tắc (C ) 3 a Tìm ma trận đổi cơ sở ừ t ( )C 3 sang   

50 b Tìm ma trận đổi cơ sở ừ t    sang ( )C 3 c Cho (1,2,3) Tìm to ạ độ /  d Tìm véctơ  biết toạ độ ủa nó trong c   là  2,3,5 

3.5.1 Định nghĩa không gian véctơ con

Cho V là không gian véctơ trên U là một tập con khác r ng c a V T p con ỗ ủ ậ U  của V gọi là không gian véctơ con của V nếu nó thoả 2 điều kiện

Ví dụ 3.13 Trong không gian véctơ cho tập con

Khi đó U có phải là không gian véctơ con của không?

Ví dụ 3.14 Tập nào sao đây là không gian con của a U 1 x b U 1 x

3.5.2 Không gian con sinh b i mở ột hệ véctơ

Trong không gian véctơ V, cho hệ véctơ  1, , ,2  m  Khi đó tập hợp các tổ hợp tuyến tính của các véctơ  1, , ,2  m , kí hiệu  1, , ,2  m là không gian véctơ con của V Không gian này ta g i là ọ không gian con c a V sinh b i hủ ở ệ véctơ  1 , , , 2  m  (còn g i là ọ bao tuy n tínhế c a hủ ệ véctơ  1, , ,2  m ) Ta gọi  1, , ,2  m  là m t h sinh cộ ệ ủa

Chú ý: cơ sở của  1, , ,2  m chính là hệ con độc l p tuy n tính tậ ế ối đại của

Ví dụ 3.15 Trong , tìm một cơ sở ố, s chiều và bao tuy n tính c a h ế ủ ệ

Bài 1 Trong không gian xét xem u có phải là tổ hợp tuyến tính của u u u 1 , , 2 3 hay không a u 1  2,1,0 ; u 23; 1;1 ;  u 32,0, 2 ;  u1,1,1 b u 12,4,3 ; u 21, 1,0 ;  u 33,3,3 ; u  1,2,0

Bài 2 Xác định số  để u là tổ hợp tuyến tính của u u u 1 , , 2 3 a u 11,2, 1 ; u 2  2;1;3 ; u 30,1, 1 ; u1, ,2  b u 11, 2,3 ;  u 20, 1, ;  u 31,0,1 ; u3, 1,2 

Bài 3 Các hệ véctơ dưới đây là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính trong không gian tương ứng a  2, 3,1 ; 3, 1,5 ; 1, 4,3         trong b  5,4,3 ; 3,3,2 ; 8,1,3 trong       c  4, 5, 2,6 ; 2, 2,1,3 ; 6, 3,3,9 ; 4, 1,5,6            trong d  1,0,0,0 ; 0,1,0,0 ; 0,0, ,0    a  ; a trong

Bài 4 Tuỳ theo  xét sự phụ thuộc tuyến tính của hệ véctơ sau trong trong

Bài 5 Tìm một hệ con độc lập tuyến tính tối đại và hạng của các hệ véctơ sau: a  u 12,1,0 , u 20, 2,1 ;  u 32, 1, 2   b  u 11, 1,0 ;  u 2 2, 1, 1 ;  u 30,1, 1 ; u 42,0, 2  

Bài 6 Hệ véctơ nào là cơ sở của Tìm toạ độ của véctơ u7,14,3 trong cơ sở vừa tìm được a  u 12,1,3 ; u 2  1,1,0  b  u 12,1,3 ; u 2   1,1,0 ; u 3 1,3,1  c  u 12,1,3 ; u 2  1,1,0 ; u 31,1, 1 ; u 40,0,4  d  u 12, 3,1 ;  u 2 4,1,1 ; u 30, 7,1   e  u 11,6, 4 ; u 22, 4, 1 ;  u 3  1, 2,5 

Bài 7 Trong không gian cho các cơ sở B u u u 1 , , 2 3 ; B '   u u 1  , 2  , u 3   và véctơ u

Tìm ma trận đổi cơ sở ( )B sang ( ')B và toạ độ của u trong từng cơ sở a u 11,1, 1 ; u 21,1,0 ; u 3  2,2,0 ; u 11, 1,0 ;  u 22, 1,0 ; '  u 3 1,1, 1 ;

Bài 8 Trong không gian cho

Tìm m để B m   là một cơ sở của Trong trường hợp đó hãy tính toạ độ của

Bài 9 Trong không gian cho các hệ véctơ sau

  B '   u 1    2,1,1 ;  u 2    2, 1,1 ;   u 3    1,2,1   a Chứng tỏ   B và   B là cơ sở của b Cho u    B  3,5,7  Tìm toạ độ của u trong cơ sở   B' và cơ sở chính tắc.

Bài 10 Các tập sau đây, tập nào là không gian con của các không gian tương ứng. a L   x   x x x 1 , , 2 3   x 2  x 3  0  b L   x   x x x x 1 , , , 2 3 4   ; x 2  x 4  c L   x   x x 1 , , , 2 x n   1  d L   x   x x x 1 , , 2 3   2 2  0  e L   x   x x x 1 , , 2 3  

Bài 11 Tìm một cơ sở, số chiều của không gian con sinh bởi các véctơ sau trong không gian tương ứng a u 11, 1,2 ;  u 22,1,3 ; u 3  1,5,0 trong

Bài 12 Trong cho hệ véctơ

1 1,1, 2,1,4 ; 1 0,1, 1,2,3 ; 3 1, 1,0, 3,0 u   u   u    a Tìm cơ sở và số chiều của u u u 1 , , 2 3 b Cho u1, ,1, , 3, 5m m   Tìm m để u u u u 1 , , 2 3

Bài 13 Trong cho v 12, 2,3 ;  v 30,2, 3 a v1, 4,6  có biểu thị tuyến tính được qua v v 1 , 2 không b Tìm a sao cho v  2,3,a  v v 1, 2

Bài 14 Trong cho v 12, 1,0,1 ;  v 21,1,3,2 ; v 33, 1,1,2 ;  v 41, 1, 1,0   Chứng minh rằng v v 1 , 2  v v 3 , 4

Bài 15 Trong xét các véctơ sau

Tìm số chiều và cơ sở của không gian con V v v v 1 , , 2 3

Bài 16 Trong cho các véctơ

1 1,1,2,4 , 2 2, 1, 5,2 , 3 1, 1,4,0 , 4 2,1,1,6 v  v    v   v  Chứng tỏ các véctơ trên phụ thuộc tuyến tính Tìm một cơ sở của không gian véctơ con của sinh bởi các véctơ này.

Bài 17.Tìm một cơ sở và số chiều của không gian nghiệm của hệ phương trình a

Bài 18.Tìm một cơ sở và số chiều của không gian con các nghiệm của hệ phương trình

Bài 19 Cho W    x x x 1 , , 2 3    2 x 3  0  Chứng minh W là không gian con của Tìm một cơ sở và số chiều của W

Bài 20.Cho hệ phương trình

 a Tìm một cơ sở và số chiều của không gian nghiệm của hệ phương trình khi m11 b Biện luận số chiều của không gian nghiệm theo m

 a Tìm một cơ sở và số chiều của không gian nghiệm của hệ khi m0 b Tìm mđể không gian nghiệm có chiều bằng 1. c Tìm một cơ sở của không gian nghiệm khi m khác 0

CHƯƠNG 4: MỘT SỐ MÔ HÌNH TUYẾN TÍNH DÙNG TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ

4.1 Mô hình cân đối liên ngành

Trong m t n n kinh t hiộ ề ế ện đại, vi c s n xu t m t loệ ả ấ ộ ại hàng hoá nào đó (output) đòi hỏi ph i s d ng các loả ử ụ ại hàng hoá khác nhau để làm nguyên liệu đầu vào (input) c a quá ủ trình sản xu t và viấ ệc xác định tổng cầu đối với sản ph m c a m i ngành s n xu t trong nẩ ủ ỗ ả ấ ền kinh tế là quan tr ng Trong khuôn kh c a mô hình, khái niọ ổ ủ ệm ngành được xem xét theo nghĩa thuần túy sản xuất Các giả thiết sau được đặt ra:

(i) M i ngành s n xu t m t lo i s n ph m hàng hóa thu n nh t ho c s n xu t m t s ỗ ả ấ ộ ạ ả ẩ ầ ấ ặ ả ấ ộ ố hàng hóa ph i h p theo m t t l nhố ợ ộ ỷ ệ ất định Trong trường h p th hai ta coi m i t h p ợ ứ ỗ ổ ợ hàng hóa theo t l c ỉ ệ ố định đó là một m t hàng ặ

(ii) Các y u tế ố đầu vào c a s n xu t trong ph m vi mủ ả ấ ạ ột ngành đượ ử ục s d ng theo một tỷ l c nh ệ ố đị

Tổng cầu đối với s n ph m c a m i ngành bao gả ẩ ủ ỗ ồm:

+ C u trung gian t phía các nhà s n xu t s d ng lo i s n phầ ừ ả ấ ử ụ ạ ả ẩm đó cho quá trình sản xuất

+ C u cu i cùng tầ ố ừ phía ngườ ử ụi s d ng s d ng lo i s n phử ụ ạ ả ẩm để tiêu dùng ho c xuặ ất khẩu, bao g m các hồ ộ gia đình, nhà nước, các hang xu t kh u ấ ẩ

Giả s m t n n kinh t ngành gử ộ ề ế ồm n ngành: ngành 1, ngành 2, …, ngành n và ngoài ra còn có m t ph n khác c a n n kinh tộ ầ ủ ề ế (gọi là ngành kinh t m ), nó không s n xu t hàng ế ở ả ấ hóa như n ngành trên mà chỉ tiêu dùng sản phẩm của n ngành kinh tế này Để thuận tiện cho việc tính chi phí cho các y u t s n xu t, ta bi u diế ố ả ấ ể ễn lượng c u c a t t c các hàng hóa ầ ủ ấ ả ở dạng giá trị, tức là đo bằng ti n (về ới giả thiết thị trường ổn định) T ng c u v s n phổ ầ ề ả ẩm hàng hóa của ngành i được tính theo công thức:

Trong đó i : x là tổng c u hàng hoá cầ ủa ngành i

56 ik : x là giá tr hàng hoá c a ngành i mà ngành k c n s d ng cho vi c s n xu t (c u ị ủ ầ ử ụ ệ ả ấ ầ trung gian) i : b là giá trị hàng hoá c a ngành i c n tiêu dùng và xuủ ầ ất khẩu (c u cu i cùng) ầ ố

 x  Ta có hệ phương trình (mô hình Input-Output Liontief) sau đây:

Trong đó a ij là giá tr hàng hoá cị ủa ngành i (đầu vào) để ả s n xu t mấ ột đơn vị hàng hoá của ngành j (đầu ra) Nếu hàng hoá của ngành i không cần để sản xuất cho ngành j thì ij 0 a  Trong n n kinh t ề ế bình thường thì  a ij 1 (j1,2, , )n

Hệ phương trình (3) có dạng ma tr n là ậ XAXB hay  I  A X   B

A: gọi là ma tr n h sậ ệ ố đầu vào hay ma tr n h s k ậ ệ ố ỹthu t.ậ

X: là ma tr n t ng cậ ổ ầu (hay véctơ sản xu t) ấ

B: là ma tr n cu i cùng ậ ố

Nếu det IA 0 thì tồ ạn t i ma tr n nghậ ịch đảo của IA Do đó

Ma trận  IA có tên là ma trận Leontief

Ví dụ 4.1 Cho ba ngành kinh t v i ma tr n h s u vào là ế ớ ậ ệ ố đầ

57 Biết nhu cầu cu i cùng cố ủa các ngành lần lượt là 150, 200, 210 (tri u USD) ệ a Hãy giải thích ý nghĩa của con số 0,5 trong ma tr n A ậ

Số 0,5 ở dòng th 3 và c t thứ ộ ứ 2 có nghĩa là: để ả s n xu t 1$ hàng hoá cấ ủa mình, ngành

2 c n s d ng 0,4$ hàng hoá c a ngành 3 ầ ử ụ ủ b Tìm t ng c u cho mổ ầ ỗi ngành.

Tìm ma tr n nghậ ịch đảo

Vậy t ng cổ ầu đối với hàng hoá c a ngành 1 là 18; t ng củ ổ ầu đối với hàng hoá c a ngành ủ

2 là 78; t ng cổ ầu đối với hàng hoá của ngành 3 là 93 (tri u USD) ệ

4.2 Mô hình cân b ng th ằ ị trường n hàng hoá có liên quan

Khi phân tích hoạt động c a thủ ị trường hàng hoá, các nhà kinh t h c s d ng hàm ế ọ ử ụ cung Q S và hàm c u ầ Q D để bi u di n s phể ễ ự ụthuộc của lượng cung và lượng c u vào giá ầ hàng hoá p (với giả thiết các y u tế ố khác không thay đổi).

Dạng tuy n tính c a hàm cung và hàm c u có dế ủ ầ ạng như sau:

Mô hình cân bằng th ị trường có d ng: ạ

Giải phương trình (1) ta sẽ xác định xác cân bằng thị trường p, sau đó thay vào hàm cung (hoặc hàm cầu) để xác định lượng cân b ng ằ Q S Q D C ụthể, ta có

 , Lượng cân bằng: S D bc ad

* Th ị trường nhi u hàng hoá ề

Trong thị trường nhi u hàng hoá liên quan giá c a hàng hoá này có thề ủ ể ảnh hưởng đến lượng cung và lượng cầu của các hàng hoá khác Để xét mô hình cân bằng thị trường n hàng hoá liên qua ta kí hi u bi n sệ ế ố như sau:

Q là lượng cung hàng hoá thứ i,

Q là lượng c u hàng hoá thầ ứi, p i là giá hàng hoá thứ i

Khi đó dạng tuy n tính của hàm cung và hàm cầu có d ng: ế ạ

Hàm cung hàng hoá thứ i:

Hàm cầu đối với hàng hoá th ứi:

Mô hình cân bằng th ị trường n hàng hoá có d ng h ạ ệ phương trình:

Thay phương trình biểu diễn hàm cung và hàm cầu vào các đẳng thức ta có hệ

 Đặt c ij a ij b ij , ta được hệ phương trình

Không gian véctơ con