Ta chỉ có thể hiểu những vật, những đối tượngtoán học có một tính chất chung nào đó tạo thành một tập hợp.Ví dụ 1.1.- Tập hợp các sinh viên Đại Học Ngoại Thương qua môn.- Tập hợp các số
MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
Khái niệm cơ bản về ma trận
2.1.1 Khái niệm ma trận Định nghĩa 2.1 (Định nghĩa chung về ma trận)Chom, n∈N Mộtma trận
Acấpm×ntrênRlà gồmm.nsố trongRđược sắp xếp thànhmdòng,ncột như sau
Sốaij nằm trên dòngivà cộtjcủa ma trậnAgọi làphần tử của ma trận A Phần tử nằm ở dòngivà cộtjcủa ma trậnAcòn được kí hiệu là(A)ij Để viết ngắn gọn ma trậnA, ta dùng kí hiệuA= (aij) m×n
Khim= 1, Agọi làma trận dòng.
Khin= 1, Agọi làma trận cột.
Hai ma trận là bằng nhau nếu chúng có cùng cấp và các phần tử tương ứng phải bằng nhau.
2.1.2 Một số dạng ma trận Định nghĩa 2.2 (Ma trận chuyển vị, ma trận vuông, ma trận không)
•Ma trận chuyển vị:ChoA= (aij) m×n là ma trận cấpm×ntrênR.Ma trận chuyển vị của A, kí hiệu A t hayA T , là ma trận cấpn×mnhận từAbằng cách ghi dòng thành cột (hoặc cột thành dòng), nghĩa là,A t = (aji) n×m
•Ma trận không: Nếuaij = 0∀i= 1, m, j= 1, n, tức là, tất cả các phần tử của ma trậnAđều bằng không, thì ta nóiAlàma trận không, kí hiệuOm×nhoặcO.
•Ma trận vuông:Khim=n, tức là số dòng bằng số cột, thì ta nóiAlàma trận vuông cấpn, kí hiệuA= (aij) n
# :O2×5. Định nghĩa 2.3 ChoA= (aij) i,j=1,n là ma trận vuông cấpn Khi đó, ta có các định nghĩa sau
•Các phần tửa11, a22, , annđược gọi làcác phần tử trên đường chéo chính.
•Các phần tửa1n, a2( n− 1), , an1được gọi làcác phần tử trên đường chéo phụ.
•Nếu tất cả các phần tử nằm dưới đường chéo chính đều bằng 0 thì ta nói Alà ma trận tam giác trên.
• Nếu tất cả các phần tử nằm trên đường chéo chính đều bằng 0 thì ta nóiAlà ma trận tam giác dưới.
•Nếu tất cả các phần tử nằm ngoài đường chéo chính đều bằng 0 thì ta nóiAlà ma trận đường chéo.
•Nếu tất cả các phần tử thuộc đường chéo chính đều bằng 1, các phần tử còn lại đều bằng 0, thì ta nóiAlàma trận đơn vị cấp n, kí hiệuIn.
:ma trận tam giác trên trong đó các phần tử in đậm 1, 2, 0 là các phần tử thuộc đường chéo chính.
:ma trận vuông bình thường.
:ma trận tam giác dưới.
:ma trận đơn vị cấp 4, I 4
#:không xét vì không phải ma trận vuông.10
Các phép toán cơ bản của ma trận
2.2.1 Phép cộng, trừ hai ma trận cùng cấp.
Cho hai ma trận cùng cấp m×n:A= (aij) m×n , B= (b ij m×n ) Tổng (hoặc hiệu) củaAvàB, kí hiệuA+B (hoặcA−B) là ma trận có cấpm×nxác định bởi
(A+B)ij= (A)ij+ (B)ij=aij+bij
(A−B)ij= (A)ij−(B)ij=aij−bij vớii= 1, m, j= 1, n.
Chú ý:Hai ma trận chỉ cộng/trừ được với nhau khi chúng có cùng cấp.
# Ta không thể thực hiện phép cộng/trừ giữa
CvớiDdo chúng không cùng cấp.
2.2.2 Phép nhân một số thực với một ma trận
ChoA= (aij) m×n và số thựcλ Tích củaλvàA, kí hiệuλAlà ma trận cấpm×n xác định bởi
• Vớiλ=−1thìλA= (−1)A=−A.−Alàma trận đối củaA.
• Ta cũng có thể định nghĩa phép trừA−B=A+ (−B).
2.2.3 Tích của hai ma trận
Cho ma trậnAcấpm×n, ma trậnB cấpn×p Khi đó tích củaAvớiB, kí hiệu
ABlà ma trận có cấpm×pxác định bởi
• Để tíchABxác định thì số cột củaAphải bằng số dòng của B
• Phần tử(ABijbằng tổng các tích từng phần tử trên dòngicủaAvới phần tử tương ứng ở cộtj của B Định nghĩa 2.4 Với mỗi ma trậnAvuông cấp nvà mỗi số tụ nhiên , ta địnhp nghĩa:
Ta cũng gọiA p (p∈Nlà lũy thừa bậcpcủa A
Các tính chất của các phép toán: Giả sử các phép toán dưới đây đều thực hiện được Khi đó ta có các tính chất sau đây đối với các phép toán trên ma trận 1)A+B=B+A.
Định thức
2.3.1 Định thức của ma trận vuông
•Định thức cấp 1:Cho ma trận vuông cấp 1A= [a11] Định thức của ma trận
Anày kí hiệu|A|hay detA, được gọi là định thức cấp 1, là một số xác định như sau detA=a11.
Ví dụ 2.7 ChoA= [−5], B= [2] Khi đó, detA= 5, detB= 2.
•Định thức cấp 2:Cho ma trận vuông cấp 2A" a11 a12 a21 a22
# Định thức của ma trận A: detA
• Định thức cấp 3: Cho ma trận vuông cấp 3A
Định thức của ma trận A: detA
= (a a a11 22 33+a12a23 31a +a13a21a32)−(a11a a23 32+a12a a21 33+a13a22a31). Để nhớ công thức trên người ta thường dùng quy tắcSarrus.
•Định thức cấp n: Định nghĩa 2.5 (Định nghĩa về phần bù đại số) ChoAlà ma trận vuông cấpn
GọiMijlà ma trận nhận được từAbằng cách bỏ đi dòngivà cột j
Số(−1) i+j detMij gọi làphần bù đại số của phần tửaij, kí hiệu làAij. Định thức của ma trậnAđược gọi là định thức cấpn, được tính bởi công thức detA=a Ai1 i1+ai2Ai2+ +a Ain in Xn j=1 a Aij ij (2.1) hoặc detA=a1jA1j+a2jA2j+ +anjAnj Xn i=1 a Aij ij (2.2)
Công thức (2.1) gọi là công thức khai triển định thức theo dòng i
Công thức (2.2) gọi là công thức khai triển định thức theo cột j
Ví dụ 2.9 Tính định thức của ma trậnM
Giải.Áp dụng công thức (2.1), ta khai triển định thức theo dòng 3, khi đó
2.3.2 Các tính chất của định thức
• Định thức sẽ bằng 0 nếu thỏa một trong những điều kiện sau:
- Có một dòng (hoặc một cột) bằng 0.
- Có hai dòng (hoặc hai cột) giống nhau hoặc tỷ lệ với nhau.
• Nếu ta đổi chỗ hai dòng (hoặc hai cột) của định thức cho nhau thì định thức đổi dấu.
• Nếu ta nhân một dòng (một cột) của định thức với sốλ thì định thức cũng nhân với λ
Nói cách khác: Thừa số chung của một hàng (hoặc một cột) có thể đưa ra ngoài định thức det(λA)=λ n det A
• Nếu định thức có một dòng (hoặc một cột) phân tích được thành tổng của hai dòng (hoặc 2 cột) thì định thức cũng phân tích được thành tổng hai định thức tương ứng.
• Nếu ta nhân một dòng (hoặc một cột) của định thức với sốλbất kì rồi cộng vào dòng khác (cột khác) thì định thức không thay đổi.
• NếuA, Blà hai ma trận vuông cấpnthì det(AB)= det detA B.
2.3.3 Một số phương pháp tính định thức
•Phương pháp biến đổi đưa định thức về dạng tam giác: Dùng các tính chất của định thức đưa định thức về dạng tam giác Định thức sẽ bằng tích các số trên đường chéo chính.
•Phương pháp khai triển định thức theo dòng hoặc cột.
Chú ý:Khai triển trên dòng hay cột nào có nhiều số 0.
Giải.Ta khai triển trên dòng hay cột nào có nhiều số 0, cụ thể ví dụ này là cột 2. Áp dụng công thức (2.2), ta khai triển định thức theo cột 2, khi đó
Ta tiếp tục khai triển định thức ở vế phải, do ở cột 2 có nhiều số 0 nhất nên ta áp dụng (2.2) cho cột 2, khi đó
2.3.4 Định thức của ma trận tích
NếuA, Blà hai ma trận vuông cấpnthì det(AB)= detA.detB
•Định thức con:ChoAlà ma trận cấpm×n Chọn các phần tử nằm trên giao củak dòng vàk cột củaA ta được một ma trận vuông cấpk Định thức của ma trận vuông cấpknày ta gọi làđịnh thức con cấp k của A
•Hạng của ma trận:ChoAlà ma trận cấpm×nkhácO Hạng của ma trậnA, kí hiệurank A( )hayr(A)là cấp cao nhất trong các định thức con khác 0 của ma trậnA Vậy hạng củaA,rank A( ) =rthỏa
- Tồn tại ít nhất một định thức con cấprkhác 0 củaA.
- Mọi định thức con củaAcấp lớn hơnr(nếu có) thì phải bằng 0.
Ví dụ 2.12.Tìm hạng của các ma trận sau
2.4.2 Một số tính chất của hạng ma trận
1) ChoAlà ma trận cấpm×n Khi đó0≤rank(A)≤min{m, n}; rank A( ) = 0⇔A=O; rank A( )>0⇔A=O.
2) Nếu A là ma trận cấp m×n có (ít nhất) một định thức con khác 0 cấp r(0< r≤min{m, n})thìrank A( )≥r. Đặc biệt, nếu A có một định thức con khác không cấp r = min{m, n} thì rank A( ) = min{m, n} Lúc đó ta bảoAcó hạng cực đại.
Trường hợp riêng, nếu ma trận A vuông cấp n có định thức detA = 0 thì rank A( ) =n, tức làAcó hạng cực đại; còn nếu detA= 0thìrank A( )< n. 3)rank A( T ) =rank A ( )
2.4.3 Phương pháp tính hạng của ma trận
•Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận:Ba phép biến đổi sau đây gọi là ba phép biến đổi sơ cấp trên dòng của ma trận
1) Nhân một dòng với một số thựcλkhác 0 bất kì.
2) Nhân một dòng với một số thựcλbất kì rồi cộng vào dòng khác.
λai1+aj1 λai2+aj2 λain+ajn
3) Đổi chỗ hai dòng liên tiếp cho nhau.
ai1 ai2 ain aj1 aj2 ajn
aj1 aj2 ajn ai1 ai2 ain
•Ma trận bậc thang (theo dòng):ChoAlà ma trận khác không cấpm×n.
Agọi làma trận bậc thang dòng nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:
1) Các dòng khác không nằm phía trên các dòng bằng không (nếu có).
2) Phần tử khác không đầu tiên kể từ trái qua phải ở dòng dưới bao giờ cũng nằm bên phải cột chứa phần tử khác không đầu tiên của dòng trên.
Các phần tử khác không đầu tiên này gọi làcác phần tử được đánh dấucủa A
là các ma trận bậc thang.
không là ma trận bậc thang.
Phương pháp tìm hạng của ma trận bằng các phép biến đổi sơ cấp Định lý 2.1.Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng không làm thay đổi hạng của ma trận.
Hạng của ma trận bậc thang dòng bằng số dòng khác 0 của nó.
Do đó muốn tìm hạngAta dùng các phép biến đổi sơ cấp để đưa về ma trận bậc thangA ′ Khi đó hạng củaAbằng hạng củaA ′ bằng số dòng khác 0 củaA ′
Ma trận nghịch đảo
ChoAlà một ma trận vuông cấpn Ma trậnBvuông cấpngọi làma trận nghịch đảocủaAnếu
#.Khi đó, ta cóAB=I2nênA −1 =B.
Tính chất:Nếu ma trận vuôngAvàB có ma trận nghịch đảo thì
2.5.2 Điều kiện tồn tại và duy nhất Định lý 2.2.Ma trận vuôngAcó ma trận nghịch đảo khi và chỉ khi detA= 0 Ma trận nghịch đảo củaAnếu có thì duy nhất. Định nghĩa 2.6 (Ma trận khả nghịch, ma trận không suy biến)
Ma trậnAcó ma trận nghịch đảo ta gọi làma trận khả nghịch (khả đảo).
Ma trậnAcó detA= 0gọi làma trận không suy biến.
2.5.3 Một số phương pháp tìm ma trận nghịch đảo
•Tìm ma trận nghịch đảo bằng ma trận phụ hợp Định nghĩa 2.7 (Ma trận phụ hợp) (xem lại Định nghĩaphần bù đại số ở Định nghĩa2.5) Giả sử, ta đặtcij= (−1) i+j detMij là phần bù đại số củaaij. ĐặtC= (cij)là ma trận vuông trênR Ma trậnC T được gọi làma trận phụ hợp (hay ma trận phó)củaA, kí hiệuPA=C T
Thuật toán tìmA −1 (nếu có) bằng ma trận phụ hợp:
ChoAlà ma trận vuông trên R
- Nếu detA= 0thìAkhông khả nghịch, tức không tồn tạiA −1
- Nếu detA= 0thìAkhả nghịch TìmA −1 ở bước 3.
- Khi đó, PA=C T vàA −1 = 1 detAPA.
Ví dụ 2.16.Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của
Giải.Dùng quy tắc Sarrus, ta có det = 1A = 0nênAkhả nghịch.
•Tìm ma trận nghịch đảo bằng cách dùng các phép biến đổi sơ cấp Thuật toán tìmA −1 (nếu có) bằng cách dùng các phép biến đổi sơ cấp ChoAlà ma trận vuông cấpntrên R
Bước 1: Lập ma trận[A|In]bằng cách ghép thêm vào bên phảiAma trận đơn vị
Bước 2: Dùng các phép biến đổi sơ cấp dòng để đưa[A|In]về dạng[In|B]. Nếu làm được như thế thìAkhả nghịch vàA −1 =B.
Ví dụ 2.17.Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của
Ví dụ 2.18.Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Khái niệm cơ bản
3.1.1 Hệ phương trình tuyến tính tổng quát
Hệ phương trình tuyến tính (nẩn,mphương trình)là hệ có dạng
(3.1) trong đó: aij, bi (i= 1, m, j= 1, nlà các số thực cho trước ; aijgọi làcác hệ số , bigọi làcác hệ số tự do. x1, x2, , xngọi làcác ẩn số.
gọi làma trận hệ số của hệ (3.1).
gọi làma trận hệ số tự do haycột tự do của hệ (3.1).
gọi làma trận hệ số bổ sung hay ma trận mở rộng của hệ (3.1).
gọi làma trận ẩn số haycột ẩn số.
Hệ (3.1) có thể viết dưới dạng ma trậnAX=B.
Hệ (3.1) gọi là hệ Cramer nếu nó có số phương trình bằng số ẩn (n = m) và detA= 0.
Hệ (3.1) gọi làhệ thuần nhất nếu cột tự dobi= 0với mọii= 1, m.
Bộnsố(x1, x2, , xn)gọi lànghiệmcủa hệ (3.1) nếu như khi ta thay chúng vào hệ (3.1) ta được các đẳng thức đúng.
Giải hệ phương trình tuyến tính tức là đi tìm nghiệm của hệ.
Hai hệ phương trình tuyến tính cùng số ẩn được gọi làtương đươngnếu tập nghiệm của chúng bằng nhau.
3.1.2 Điều kiện tồn tại nghiệm Định lý 3.1 (Định lý Kronecker-Capelli)Hệ phương trình tuyến tính (3.1) có nghiệm khi và chỉ khirank A( ) =rank A( ).
Hơn nữa, giả sửrank(A) =rank A( ) =r(0≤r≤min{m, n}) Khi đó:
- Nếur=n(n là số ẩn) thì hệ (3.1)có nghiệm duy nhất.
- Nếur < nthì hệ (3.1)có vô số nghiệm phụ thuộc vàon−rtham số.
Ví dụ 3.1 Các hệ phương trình sau đây có nghiệm hay không? a)
Dorank A( ) = 2=rank(A) = 3nên hệ vô nghiệm. b) Ta xét
Do rank A( ) = 2 =rank(A)