BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP 1
NGUYỄN QUỐC TIẾN BỘ CÔNG THƯƠNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP THỰC PHẨM BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP GIẢNG VIÊN: NGUYỄN QUỐC TIẾN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH THÁNG 10/2011 NGUYỄN QUỐC TIẾN CHƯƠNG GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC 1.1 Giới hạn dãy số 1.1.1 Dãy số Một dãy số thực ánh xạ x từ tập số tự nhiên đến tập số thực R x: n x(n) : xn x(n ) thường ký hiệu xn gọi số hạng thứ n dãy Một dãy số với số hạng xn thường viết gọn ( xn ) Ví dụ 1): ( xn ) với xn 1 1 Khi đó: x1 1, x2 , x3 , xn , n n 2): ( xn ) với xn ( 1) n Khi đó: x1 1, x2 1, x3 1 , xn ( 1) n , 1.1.2 Giới hạn dãy số Dãy (xn) gọi có giới hạn a nếu: 0, n0 : n n0 xn a Khi ta nói dãy ( xn ) hội tụ a Kí hiệu lim xn a xn a , n Nếu dãy n ( xn ) khơng hội tụ ta nói dãy ( xn ) phân kỳ Ví dụ Cho dãy số ( xn ) với xn n Chứng minh lim xn n n 1 Ta có xn n 1 n 1 n 1 muốn xn gần ta đặt: xn , hay , n 1 n 1 1 Chọn n0 1 ( phần nguyên ) Khi n n0 xn gần Hay lim xn n NGUYỄN QUỐC TIẾN 1.1.3 Định lí Nếu dãy ( xn ) hội tụ giới hạn Chứng minh Giả sử xn a xn b, a b n , chọn a b giới hạn dãy tồn n01 , n02 N cho: n n01 xn a a b xn a xn b a b theo định nghĩa n n02 xn b 2 Đặt n0 max(n01 , n02 ) Khi với n n0 ta có: suy a b a b 2 Điều vơ lí Vậy a b 1.1.4 Định lí Cho ba dãy ( xn ), ( yn ), ( zn ) Nếu xn yn z n , n N lim xn lim zn a n lim yn a n Chứng minh Vì lim xn lim zn a nên n0 N : n n0 ( xn a n n n n0 yn a xn a z n a Vậy lim yn a n , zn a ) 2 2 n Cho x0 R , -lân cận x0 khoảng số thực có dạng ( x0 , x0 ), 1.2 Giới hạn hàm số 1.2.1 Định nghĩa Cho hàm số f ( x ) xác định lân cận x0 (có thể trừ x0 ) Số L gọi giới hạn hàm số f ( x) x dần đến x0 nếu: 0, 0, x D : (0 x x0 f ( x) L ) kí hiệu lim f ( x) L hay f ( x ) L x x0 x x0 Giới hạn hàm số f ( x ) x dần đến x0 cịn định nghĩa thông qua giới hạn dãy số sau: lim f ( x) L xn : xn x0 f ( xn ) L x x0 NGUYỄN QUỐC TIẾN 1.2.2 Giới hạn phía Cho hàm số f ( x ) xác định khoảng ( , x0 ] (có thể trừ x0 ) Số L1 gọi giới hạn trái hàm số f ( x ) x dần đến x0 ( x ( , x0 ] )nếu: 0, 0, x ( , x0 ] : (0 x x0 f ( x) L1 ) Kí hiệu lim f ( x) L1 hay x x0 f ( x) L1 x x0 Cho hàm số f ( x ) xác định khoảng [ x0 , ) (có thể trừ x0 ) Số L2 gọi giới hạn phải hàm số f ( x ) x dần đến x0 ( x [ x0 , ) ) nếu: 0, 0, x [ x0 , ) : (0 x x0 f ( x) L2 ) Kí hiệu lim f ( x) L2 hay f ( x) L2 x x0 x x0 1.2.3 Định lí lim f ( x) L lim f ( x) lim f ( x) L x x0 Ví dụ Chứng minh lim(2 x 3) x x0 x x0 x 1 Ta có 0, f ( x) - x 3- x -1 x -1 Chọn = 0, : x f ( x) Vậy lim(2 x 3) x 1 2 Ví dụ Chứng minh lim x 2 Ta có x 16 x2 16 x 16 4( x 4) Vậy 0, x2 x2 16 16 4( x 2) 16 x 0, x x x 16 0, x 2, x 16 4 x2 ( x 2) 1.2.4 Giới hạn vô tận- Giới hạn vô cực Cho hàm số f ( x ) xác định lân cận x0 trừ x0 Hàm số f ( x) có giới hạn x dần đến x0 với M lớn tùy ý tồn 0, x x0 f ( x) M Kí hiệu lim f ( x) x x0 Hàm số f ( x ) có giới hạn x dần đến x0 với M lớn tùy ý tồn 0, x x0 f ( x) M Kí hiệu lim f ( x) x x0 Hàm số f ( x ) gọi có giới hạn L x dần đến với tùy ý tồn NGUYỄN QUỐC TIẾN M 0: x M f ( x) L Kí hiệu lim f ( x ) L x Hàm số f ( x ) gọi có giới hạn L x dần đến với tùy ý tồn M 0: x M f ( x) L Kí hiệu lim f ( x) L x 1 Ví dụ Chứng minh lim x x 1 Ta có x 1 Khi x x x x M 1 Chọn M x M x Khi x x 1 Chọn M x M x 1.2.5 Định lí Cho f ( x ), u ( x), v( x ) xác định lân cận x0 trừ x0 Nếu u ( x) f ( x) v( x) với x thuộc lân cận lim u ( x) lim v ( x ) L lim f ( x) L x x0 x x0 x x0 Vidụ Chứng minh lim x0 Thật x :0 x sin x x 1 sin x sin x ta có bất đẳng thức cos x , mà lim cos x suy lim 1 x x x x 1.2.6 Một số tính chất giới hạn hàm số i) Nếu lim f ( x) L giới hạn x x0 ii) lim C C (C : số) x x0 iii) Nếu f ( x) g ( x), x thuộc lân cận x0 vơ cực lim f ( x) lim g ( x) (nếu giới hạn tồn tại) x x0 x x0 iv) Nếu f ( x) g ( x) h( x), x thuộc lân cận x0 vô cực lim f ( x) L lim h ( x) lim g ( x) L x x0 x x0 x x v) Giả sử hàm số f ( x), g ( x) có giới hạn x x0 ta có kết sau : lim ( f ( x ) g ( x)) lim f ( x ) lim g ( x ) x x0 x x0 x x0 NGUYỄN QUỐC TIẾN lim kf ( x) k lim f ( x) x xo x xo lim f ( x) g ( x) lim f ( x) lim g ( x) x xo lim x x0 x xo x xo f ( x) f ( x) xlim x , lim g ( x ) g ( x ) lim g ( x) x x0 x x0 1.3 Vô bé-vô lớn Giả sử ta xét hàm trình, chẳng hạn x xo (Những kết đạt q trình khác) 1.3.1 Vơ bé Hàm ( x) gọi vơ bé (VCB) q trình x xo lim ( x ) x x0 Ví dụ sin x, tgx, cos x VCB x , x 1 VCB x x2 1.3.2 So sánh hai VCB Cho ( x) ( x ) hai VCB trình (chẳng hạn x xo ) Khi tốc độ tiến chúng đơi có ý nghĩa quan trọng Cụ thể ta có định nghĩa: Nếu lim ( x) ta nói ( x) VCB bậc cao VCB ( x ) q trình ( ( x) dần ( x) tới nhanh ( x ) x xo ) Nếu lim ( x) L ta nói ( x) ( x ) hai VCB ngang cấp q trình ( ( x) ( x) ( x ) dần tới ngang x xo Đặc biệt L ta nói ( x) ( x ) hai VCB tương đương, kí hiệu ( x) ( x) Ví dụ Một số VCB tương đương x sin x x ; tgx x ; arcsin x x ; arctgx x; cos ax 1 x x ; ln(1 x) x ; a x -1 x ln a ; e x -1 x ; (ax)2 log (1 x) x ; a ln a an x n an 1 x n 1 a p x p a p x p , ( n p , a p 0) Sinh viên tự kiểm tra tương đương (xem tập) Ví dụ So sánh cấp VCB: ( x) sin x tgx; ( x) cos x , x Ta có: NGUYỄN QUỐC TIẾN lim x 0 sin x tgx ( x) lim lim x x 0 cos x ( x) sin x cos x lim 0 x cos x cos x sin x Do đó, ( x) VCB cấp cao ( x ) Ví dụ So sánh cấp VCB: ( x) cos x, ( x) x , x ( x) lim ( x) Ta có: lim x 0 x0 cos x x 0 Do đó, ( x ) ( x) hai VCB cấp 1.3.3 Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao i) Nếu ( x ) 1 ( x) ( x) 1 ( x) trình trình lim ( x) ( x) lim ( x) 1 ( x ) ii) Cho ( x) ( x) hai VCB trình ( x ) có cấp cao ( x) Khi ( x ) ( x) ( x) Từ hai kết ta suy quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao: Giả sử ( x) ( x) hai VCB q trình ( x ) ( x) tổng nhiều VCB Khi giới hạn tỉ số ( x ) ( x) ( x) giới hạn tỉ số hai VCB cấp thấp ( x) Ví dụ Tìm giới hạn sau: 1) x 3sin x sin x x x3 x8 lim x 0 Ta có lim x 0 2) x 3sin x sin x 5x x x lim x 0 x 1 x 1 lim x 0 x 5x Khi x ta có x (1 x) Suy x 1 3) Khi x x 1 lim x 0 Vậy lim tgx sin x x x 0 x 1 x 1 1 x ; x (1 x) x 3 , ta có: tgx sin x x x tgx sin x x Do lim 2 x0 x x x NGUYỄN QUỐC TIẾN tgx sin x sin x x 0 x3 4) Tính lim Ta có x x sin x(1 cos x ) tgx sin x x3 x cos x Do tgx sin x sin x 3 x x3 x3 x 2 3 x tgx sin x sin x Suy x 3 x x tgx sin x sin x x x0 x3 lim Vậy 1.3.4 Vô lớn Hàm f ( x) gọi vơ lớn (VCL) q trình lim f ( x ) x x0 Ví dụ x , sin x , cot gx VCL x x , x VCL x 1.3.5 So sánh hai VCL Cho f ( x ) g ( x) hai VCL q trình (chẳng hạn x xo ) Khi lim f ( x) g ( x) ta nói f ( x ) VCL cấp (bậc) cao g ( x ) (theo nghĩa f ( x ) tiến tới nhanh g ( x) ) Nếu lim f ( x) L ta nói f ( x ) g ( x) hai VCL ngang cấp g ( x) trình ( ( x) ( x) dần tới ngang nhau) Đặc biệt L ta nói ( x) ( x ) hai VCL tương đương, kí hiệu ( x) ( x) Ví dụ 1) So sánh cấp VCL f ( x) x3 2, g ( x) x ; x x Ta có lim f ( x) x3 lim lim x x x g ( x) x x x Do f (x) VCL có cấp cao g(x) 2) So sánh cấp VCL: f ( x) x6 x g ( x) x8 x x x NGUYỄN QUỐC TIẾN Ta có: lim x f ( x) x 2x 1 lim x g ( x) 2x 4x2 x lim x5 x 4 2 2 x x x x 1 Do đó, f ( x) x6 x g ( x) x8 x x hai VCL cấp 1.3.6 Qui tắc ngắt bỏ VCL cấp thấp Cho f ( x ) g ( x) hai VCL trình đó, (chẳng hạn x ) f ( x) f1 ( x) , g ( x) g1 ( x) Khi trình lim f ( x) g ( x) lim f1 ( x) g1 ( x) Từ ta rút quy tắc sau: Giả sử f ( x ) g ( x) hai VCL q trình f ( x ) g ( x) tổng nhiều VCL Khi giới hạn tỉ số g ( x) Ví dụ lim x 3x x x 2x lim x f ( x) g ( x) 3x 2x giới hạn tỉ số hai VCL cấp cao f ( x ) 1.4 Hàm số liên tục 1.4.1 Các định nghĩa Hàm số y f ( x) gọi liên tục xo D lim f ( x ) f ( x0 ) Khi x0 gọi điểm liên x x0 tục hàm f ( x ) Hàm số y f ( x) gọi liên tục (a, b) f ( x ) liên tục điểm thuộc (a, b) Hàm số y f ( x) gọi liên tục bên trái (bên phải) x0 D lim f ( x ) f ( x0 ) ( lim f ( x ) f ( x0 ) ) x x0 x x0 Hàm f ( x) gọi liên tục [a, b] f ( x ) liên tục (a, b) liên tục bên phải a, bên trái b NGUYỄN QUỐC TIẾN Nhận xét: f ( x ) liên tục x0 D f ( x ) liên tục bên phải bên trái x0 Nếu hàm số sơ cấp f ( x ) có miền xác định D f ( x ) liên tục D Nếu f ( x ) liên tục [a, b] đồ thị đường nối liền từ điểm A (a, f (a)) đến điểm B(b, f (b)) Hình 1.6 1.4.2 Tính chất hàm số liên tục Giả sử f ( x), g ( x) hai hàm liên tục [a, b] Khi đó: i) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) liên tục [a, b] , g ( x) f ( x) g ( x) liên tục [a, b] ii) f ( x) liên tục [a, b] iii) Nếu u ( x) liên tục x0 f (u ) liên tục u0 u ( x0 ) hàm f 0u ( x) liên tục x0 iv) f ( x ) liên tục [a, b] đạt giá trị lớn nhất, giá trị bé đoạn 1.4.3 Điểm gián đoạn Nếu f ( x ) khơng liên tục x0 D ta nói f ( x ) gián đoạn x0 điểm x0 gọi điểm gián đoạn Hàm f ( x ) gián đoạn tai x0 tồn giới hạn f(x) x0 , x0 x0 gọi điểm gián đoạn loại Các điểm gián đoạn khác gọi điểm gián đoạn loại Ví dụ Xét tính liên tục hàm (1) 1, x f ( x ) sin x , x Ta có lim f ( x ) lim x 0 x 0 sin x x f (0) Vậy f ( x ) gián đoạn x ,và x điểm gián đoạn loại (2) 1 x, x f ( x) -1 x, x NGUYỄN QUỐC TIẾN 4.2.4 Định lí (Tiêu chuẩn Cauchy) an Giả sử tồn lim n 1 Cho chuỗi số dương n tụ, D chuỗi phân kỳ n an D Khi D chuỗi hội Nếu D chưa có kết luận tồn n0 cho phân kỳ 2n Ví dụ Xét hội tụ chuỗi n 1 3n n an 1, n n0 chuỗi n 2n 2n Ta có lim n an lim n lim Vậy chuỗi cho hội tụ n n n 3n 3n n Ví dụ Xét hội tụ chuỗi 3n n 1 2n 3n Ta có lim n an lim n n n 2n n 1 n 1 2n n 3n lim 2 2n 3n 1 lim 1/ n n 2n 3n n Vậy chuỗi cho phân kỳ 4.2.5 Định lí (Tiêu chuẩn tích phân) Cho hàm số y f ( x) liên tục, không âm giảm [1,+) Khi chuỗi số tích phân suy rộng f ( n) n 1 f ( x)dx hội tụ phân kỳ Ví dụ Xét hội tụ chuỗi 1 n 1 n (chuỗi Riemann) 1 hội tụ ; phân kỳ liên tục, không âm giảm dx x x [1,+) Do hội tụ ; phân kỳ n 1 n Ta biết Ví dụ Xét hội tụ chuỗi 2 Xét tích phân suy rộng 2 n 1 n ln n 1 giảm liên tục [2,+) Ta có dx với x ln x x ln x 1 (ln b ln 2) dx blim dx blim ln ln x x x x b 50 NGUYỄN QUỐC TIẾN Vậy tích phân suy rộng phân kỳ chuỗi cho phân kỳ 4.3 Chuỗi có dấu 4.3.1 Định lí (Chuỗi hội tụ tuyệt đối) Cho chuỗi số tụ Khi chuỗi hội tụ chuỗi n 1 an n 1 Ví dụ Xét hội tụ chuỗi n 1 cos n n2 cos n hội tụ (theo định lý so sánh) nên chuỗi 2 n n n 1 n cos n hội tụ tuyệt đối n 1 n Chú ý: Nếu chuỗi an phân kỳ chuỗi n 1 an n 1 tiêu chuẩn D’Alembert Cauchy để có chuỗi kỳ Ví dụ Xét hội tụ chuỗi n1 cho hội an n 1 n 1 cos n hội tụ suy n2 chưa phân kỳ Tuy nhiên, dùng an phân kỳ chuỗi n 1 (2)n n1 n an n 1 phân kỳ theo tiêu chuẩn D’Alembert Suy Chuỗi đan dấu chuỗi số có dạng (2) n phân kỳ n 1 n (1)n an n 1 có kết sau hội tụ chuỗi dan dấu 4.3.2 Định lý (Leibnitz ) (1)n an n 1 phân an1 (2)n 2n 2n1 n3 Ta có lim lim nên n a n (n 1)3 2n n3 n 1 n n Cho chuỗi đan dấu phân kỳ mà gọi bán hội tụ Ta có an định lý gọi hội tụ tuyệt đối Nếu chuỗi n 1 Xét chuỗi an n 1 an hội tụ chuỗi chuỗi an , an R Nếu chuỗi số an n 1 n 1 (1) n 1 n 1 (1) n 1 n 1 (2)n n1 n an với an 0, n Ta an Nếu dãy số dương a1 , a2 , , an , giảm dần tới n chuỗi đan dấu hội tụ Gọi S tổng chuỗi S a1 51 NGUYỄN QUỐC TIẾN Ví dụ Xét hội tụ chuỗi số (1) n1 1 (1) n1 n n n 1 Chuỗi cho chuỗi đan dấu, số hạng giảm dần tới n nên chuỗi hội tụ Hơn chuỗi 4.4 n 1 (1)n1 phân kỳ Vậy chuỗi cho bán hội tụ n n 1 n Chuỗi hàm 4.4.1 Các định nghĩa Cho dãy hàm số a1 ( x), a2 ( x), , an ( x), xác định miền D Khi tổng an ( x) gọi chuỗi hàm n 1 Chuỗi hàm an ( x) n 1 gọi hội tụ x0 D chuỗi số hợp tất điểm chuỗi an ( x ) n 1 hội tụ Tập an ( x) hội tụ gọi miền hội tụ chuỗi n 1 Có số chuỗi hàm mà ta tìm miền hội tụ cách sử dụng định lý phần trước Ví dụ Chuỗi hàm (1,+) n 1 n x hội tụ x nên miền hội tụ chuỗi hàm Ví dụ Tìm miền hội tụ chuỗi x n 1 n Chuỗi hội tụ x nên miền hội tụ chuỗi (-1,1) Sau ta xét loại chuỗi hàm thông dụng chuỗi lũy thừa 4.4.2 Chuỗi luỹ thừa Chuỗi luỹ thừa chuỗi hàm có dạng an ( x x0 )n (1) n 1 an x n 1 n (2) Bằng cách đặt X x x0 chuỗi (1) thành chuỗi (2) Vậy ta cần khảo sát chuỗi (2) 4.4.3 Định lý (Abel) Nếu chuỗi luỹ thừa x (- x0 , x0 ) an x n1 n hội tụ x x0 hội tụ tuyệt đối điểm Từ định lí suy ra: chuỗi luỹ thừa x (, x0 ) ( x0 , ) an x n 1 52 n phân kỳ x x0 chuỗi phân kỳ NGUYỄN QUỐC TIẾN 4.4.4 Bán kính hội tụ Cho chuỗi lũy thừa an x n 1 n Nếu tồn số r cho chuỗi hội tụ x (r , r ) phân kỳ x ( r ) (r , ) r gọi bán kính hội tụ chuỗi Nếu khơng tồn số r ta nói bán kính hội tụ chuỗi r Như vậy, để tìm miền hội tụ chuỗi luỹ thừa ta tìm bán kính hội tụ r , khảo sát hội tụ chuỗi đầu mút x r , x r Sau phương pháp tìm bán kính hội tụ 4.4.5 Định lý n Nếu lim an1 D lim n an D bán kính hội tụ r chuỗi luỹ thừa n an xác định sau: n n 1 D , D r 0, D , D Ví dụ Tìm bán kính hội tụ miền hội tụ chuỗi Ta có lim an x n1 n 1 n xn an1 n suy r an n 1 n 1 (1) n chuỗi đan dấu có số hạng giảm dần nên n chuỗi hội tụ Tại x ta có chuỗi chuỗi phân kỳ Vậy miền hội tụ D [1,1) n 1 n Tại x 1 ta có chuỗi BÀI TẬP CHƯƠNG IV Câu Tìm tổng chuỗi sau 1 1 a) e 1! 2! 3! n! b) 1 1 e 1! 2! 3! n! c) 1 1 ln 2 n d) 1 1 n 2 e) 1 1 n 1 1 f) 2n g) 1 1 1 2 3 n (n 1) 53 NGUYỄN QUỐC TIẾN h) 1 1 ( n 1) ( 2n 1) 1 3 5 i) 1 1 1 (n 1) (n 1) 1 1 11 13 (4n 1) (4n 1) Câu Khảo sát hội tụ chuỗi sau : k) 3 a) n 1 n c) ; ds ; ds n 1 n( n 1) e) 2n ; ds phân kỳ n 1 n ; ds hội tụ n 1 n ! g) 2 b) ; ds n 1 d) ; ds phân kỳ n(n 1) n 1 n 3 f) n 1 h) 2n n ; ds hội tụ 3n 2n ; ds hội tụ n 1 3n n n 4n (n !)2 (1) n ; ds bán hội tụ ; ds phân kỳ l) n 1 (2 n)! n 1 n ln n Câu Bán kính hội tụ chuỗi sau: xn xn xn a) n n ; ds b) n ; ds c) n ; ds n 1 n 1 n.3 n 1 Câu Tìm miền hội tụ chuỗi sau: xn nn x n ; ds (1;1) b) a) ; ds (e; e) n2 n 1 n n ( n 1) k) (1) c) n 1 n 1 xn ; ds (1;1] n n 1 2n c) ( x 2) n 2n n 54 d) n 1 xn n2 ; ds NGUYỄN QUỐC TIẾN CÁC ĐỀ THI MẪU ĐỀ THI GIỮA KÌ MƠN: TỐN CAO CẤP A1 Mã đề: 01 Thời gian làm bài: 75 phút Lưu ý: Sử dụng tài liệu làm thi Được Không 2x2 Câu 1: Tính giới hạn sau: lim x x A e Lớp/nhóm: ĐH x2 B đáp án khác C e Câu 2: Hàm số f ( x) x | x | 2 có f ' ( x) x là: B x C A x (1 x ) , x 0, n N Câu 3: Tìm a để hàm số f ( x) liên tục R x a, x0 D e D 2x n A a B a n 2x x2 x 2 x B e Câu 4: Tính giới hạn sau: lim A đáp án khác Câu 5: Tính giới hạn sau: lim n A 5 3 100 n 5n n 1 n B C đáp án khác D a C 4(ln 1) D ln C 15 D n 15 Câu 6: Tìm điểm gián đoạn hàm số f ( x) 3x /(1 x ) cho biết thuộc loại A x 1, x 1 , loại B x 1, x 1 , loại C x 1, x 1 , khử D x , điểm nhảy Câu 7: Hàm số f ( x) x | x | 2 có f ' (0) là: A f ' (0) 1 B f ' (0) C f ' (0) Câu 8: Hàm số x a cos3 t , y b sin t , t (0, / 2) có y ' ( x) là: b b B tan t C 3b sin t A tan t a a Câu 9: Tính giới hạn sau: lim cosh x x 0 A e D không tồn D cos t sin t 1/(1 cos x ) B C Câu 10: Hàm số x a cos3 t , y b sin t , t (0, / 2) có y ' (t ) là: B 3b sin t A cos t sin t C 3b sin t cos t 3b sin t cos t 55 D đáp án khác D NGUYỄN QUỐC TIẾN n 3 n n 2 n 3n Câu 11: Tính giới hạn sau: lim A B đáp án khác C D 2 D ln(n n 1) n ln( n10 n 1) Câu 12: Tính giới hạn sau: lim A B đáp án khác C Câu 13: Tìm điểm gián đoạn hàm số f ( x) A x , loại C x / n , khử x cho biết thuộc loại cos x B x / n , loại D x , điểm nhảy (arcsin x) cot x, x Câu 14: Tìm a để hàm số f ( x) liên tục (-1,1) a, x0 1 B a C a D a A a 4 1 Câu 15: Tính giới hạn sau: lim e1/ x x x A e B ln e x C e e1/ x , x có f ' (0) là: Câu 16: Hàm số f ( x) 0, x ' A f (0) B f ' (0) C f ' (0) (n 1)4 (n 1)4 n ( n 1) ( n 1) D e 2 D Đáp án khác Câu 17: Tính giới hạn sau: lim A B 1 x2 x 2 x x B C D C D Câu 18: Tính giới hạn sau: lim A e Câu 19: Hàm số x a cos3 t , y b sin t , t (0, / 2) có x ' (t ) là: A 3a sin t sin t 0, t (0, / 2) B cos t sin t 0, t (0, / 2) C 3a cos t 0, t (0, / 2) D 3a cos t sin t 0, t (0, / 2) Câu 20: Tính giới hạn sau: lim cot x cot( / x ) x / A B C Câu 21: Tìm điểm gián đoạn hàm số f ( x) A x / n ln | x 1| B x 0, x 1, x C x 0, x Câu 22: Tính giới hạn sau: lim 1 tan x x 0 1/ sin (2 x ) 56 D D x e NGUYỄN QUỐC TIẾN C B e1/ x cot(2 x), x 0,| x | / Câu 23: Tìm a để hàm số f ( x) liên tục a, x0 A ( / 2, / 2) R A a 1/ B a Câu 24: Tính giới hạn sau: lim x 0 A B 32 x x 80 Câu 25: Hàm số f ( x) x | x | 2 có f ' (0) là: A x B D e 1/ C đáp án khác D a C D C 1 80 D 3 cho biết thuộc loại Câu 26: Tìm điểm gián đoạn hàm số y e A x , khử B x , điểm nhảy C x e , loại D x , loại 1/| x | n2 n3 Câu 27: Tính giới hạn sau: lim n n n 1 A B 1 C 1 x sin , x Câu 28: Hàm số f ( x) có f ' (0) là: x x0 0, ' B Không tồn C f ' (0) A f (0) Câu 29: Cho hàm số y x Khẳng định sau nhất? A Hàm số đồng biến (1, ) nghịch biến ( ,1) B Hàm số có điểm cực đại (0,1) C Hàm số có điểm cực tiểu (0,1) D Hàm số đồng biến Câu 30: Đạo hàm cấp n hàm sin( ax) : C a n sin( ax ) A kết khác B a n sin( ax n ) 2 a n sin( x n ) Câu 31: Hàm số f ( x) x | x | 2 có f ' (0) là: B A x D đáp án khác D f ' (0) D e , x có f ' (0) là: Câu 32: Hàm số f ( x) 0, x A không tồn B f ' (0) C D 3 C f ' (0) 1 D f ' (0) Câu 33: Đạo hàm cấp n hàm e ax : A kết khác B a n e ax C a n 1 e ax D a n e x 1/ x 57 NGUYỄN QUỐC TIẾN Câu 34: Tính giới hạn sau: lim cos x 1/ x x 0 B A 1 Câu 35: Tìm tiệm cận hàm số: f ( x) A y x B y x 2 D e 1/ C x 1 e x C y x D y e1/ x , x Câu 36: Hàm số f ( x) có f ' (0) là: 0, x A Đáp án khác B f ' (0) 1 C f ' (0) Câu 37: Đạo hàm cấp n hàm ln x : ( n 1)! B kết khác A xn cos x cos x Câu 38: Tính giới hạn sau: lim x 0 x2 1 A B 80 C ( 1) n 1 D f ' (0) (n 1)! xn D a n 1 e ax C 10 D 20 Câu 39: Hàm số f ( x) x | x | 2 có f ' ( x) x là: B C 2x A x Câu 40: Tìm giá trị lớn hàm số f ( x) A D x x3 3x x [-3,0] B -1 x D C -2 - - HẾT -PHIẾU ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM 2 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A B C D A B C D 58 3 3 NGUYỄN QUỐC TIẾN ĐỀ THI CUỐI KÌ MƠN: TỐN CAO CẤP A1 Mã đề: 02 Thời gian làm bài: 75 phút Lưu ý: Sử dụng tài liệu làm thi Được Không Câu 1: Nếu f ( x ) hàm lẻ a A C a a a f ( x ) dx f ( x ) dx a f ( x)dx f ( x) dx a D xn : n n n 1 e B r Câu 2: Bán kính hội tụ chuỗi A r 1/ e f ( x)dx a B a a a Lớp/nhóm: ĐH f ( x ) dx 2 f ( x) dx a f ( x) dx D C r e b Câu 3: Tích phân c A C f ( x) dx f ( x) dx; c R b f ( x)dx f ( x)dx; a với tích phân a c a c c b D ( x 1)( x 2)( x 3) dx f ( x) dx f ( x) dx; a c b b f (t )dx a b acb Câu 4: Tính tích phân suy rộng c B c a 2 A ln ln B ln ln 4 Câu 5: Nếu f ( x ) hàm chẵn thì: a A C a a a f ( x) dx f ( x) dx C a ln a B f ( x)dx f ( x) dx a D x 1 Câu 6: Tính tích phân suy rộng a a a B ln f ( x) dx f ( x) dx a f ( x) dx 2 a/2 a/ f ( x) dx dx A D 64 C D x2 y2 quay quanh Oy a2 b2 A ba B ba C ba D ba 3 Câu 8: Cho dãy vô hạn số thực u1 , u2 , un , Phát biểu sau Câu 7: Tính thể tích trịn xoay 59 NGUYỄN QUỐC TIẾN A u1 u2 un gọi dãy số u n B i 1 i gọi chuỗi số C u1 u2 un gọi chuỗi số D u12 , u2 , un , gọi chuỗi số dương 2 Câu 9: Cho S Chọn phát biểu đúng: n 1 A S B S n 2008 Câu 10: Tính tích phân sin(2008 x sin x) dx B 1 Câu 11: Mệnh đề sau C S D S C D 0 A A x a , b f ( x) g ( x) f ( x)dx g ( x )dx b b B x a, b f ( x) g ( x) f ( x )g ( x)dx g ( x )dx a b a b C x a , b f ( x) g ( x) f ( x)dx g ( x )dx a b a b D f ( x) g ( x) f ( x)dx g ( x )dx a b b a a a Câu 12: Nếu f ( x ) hàm tuần hồn với chu kì T thì: a T A a a T C f ( x)dx f ( x) dx a f ( x ) dx B D ( x 1)( x 2) dx Câu 13: Tính tích phân suy rộng B ln Câu 14: Tính tích phân A ln ex B ln Câu 15: Tính tích phân suy rộng a f ( x ) dx f ( x ) dx a T C ln D ln dx 1 1 B C ln x 3 A a f ( x) dx f ( x) dx ln a a T a A a T 1 D ln dx C 60 D 10 1 3( 1) NGUYỄN QUỐC TIẾN Câu 16: Tính tích phân suy rộng A ln B ln Câu 17: Tính tích phân A 2 ln C D C ln 4 D ln 4 Chọn phát biểu đúng: 4n( n 1) A Chuỗi đan dấu B Chuỗi phân kỳ C Chuỗi hội tụ dấu Câu 18: Cho 12 ln x2 B ln dx 4 ( x 1) dx x( x 1)3 n 1 D Chuỗi có Câu 19: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y 2 x 3x đường thẳng y x A B Câu 20: Chọn phát biểu đúng: chuỗi phân kỳ A n n 1 4n C chuỗi hội tụ n 1 3n 10 C A D (4 x) 15 e Câu 22: Tính tích phân 1 x x A B Câu 24: Tính tích phân suy rộng Câu 25: Cho S A S e n 1 n C C e B dx x 1 2 C x x3 dx chuỗi phân kỳ chuỗi hội tụ D đáp án khác e 625 187 B không tồn S 61 C D 25 187 C S D e e D x3 Chọn phát biểu đúng: n 1 n( n 1) n 1 1dx Câu 23: Tính tích phân suy rộng A đáp án khác x2 1 B A 1 dx 15 B n B Câu 21: Tính tích phân suy rộng D D S NGUYỄN QUỐC TIẾN x(ln Câu 26: Tính tích phân suy rộng A B Câu 27: Bán kính hội tụ chuỗi B 14 20 Câu 30: Cho S A S S xn n 1 n xe 2 x : n 1 C D ln C r D r C D dx Câu 29: Tính tích phân A Câu 28: Tính tích phân suy rộng A 5 B r 1/ A kết khác dx x 1) 4 x3 dx x2 141 B 20 C D 141 20 a Chọn phát biểu đúng: 4n B S a / C S 2a dx D không tồn b Câu 31: Tính tích phân a A B b - a e Câu 32: Tính tích phân suy rộng A ln B x ex C b - a D a b C ln D ln dx ln Câu 33: Tính diện tích hình phẳng giới hạn : y x , y , x 1 A ln B C ln ln D ln e cos(ln x)dx x B cos1 A Câu 35: Mệnh đề sau Câu 34: Tính tích phân C sin1 A x a, b f ( x) & x0 a, b f ( x0 ) f ( x)dx b B x0 a, b : f ( x0 ) f ( x)dx a b C x a, b f ( x) & x0 a, b f ( x0 ) f ( x)dx a b a 62 D NGUYỄN QUỐC TIẾN D x a, b f ( x ) f ( x ) dx b a Câu 36: Tính tích phân suy rộng 1 A ln xdx x3 B dx C D C b - a D C D C D b Câu 37: Tính tích phân A a b B b - a a A (1 x) Câu 38: Tính tích phân suy rộng dx B đáp án khác x Câu 39: Tính tích phân suy rộng A x Câu 40: Cho chuỗi số u B n 1 n dx x2 1 Phát biểu sau sai: A Các số un có giá trị tăng n tiến B Nếu un 0, n dãy S n uk dãy tăng n k 1 C Biểu thức un gọi số hạng tổng quát chuỗi số u n D k 1 k gọi tổng riêng thứ n chuỗi số - - HẾT -PHIẾU ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM 2 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A B C D A B C D 63 3 3 NGUYỄN QUỐC TIẾN TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Đình Trí, Tốn học cao cấp, Tập 2NXBGD, 2006 [2] Phan Quốc Khánh, Phép tính vi tích phân, Tâp1, NXBGD, 1996 [3] Đỗ Cơng Khanh, TCC giải tích hàm biến, NXBĐHQG, 2006 [4] Nguyễn Phú Vinh, Giáo trình tốn CC, Lưu hành nội trường ĐHCN TPHCM MỤC LỤC CHƯƠNG GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC 1.1 1.2 1.3 1.4 Giới hạn dãy số Giới hạn hàm số Vô bé-vô lớn Hàm số liên tục 2.1 2.2 2.3 Đạo hàm 12 Vi phân 15 Ứng dụng đạo hàm 17 3.1 3.2 3.3 Tích phân xác định 25 Tích phân suy rộng 33 Ứng dụng tích phân 40 4.1 4.2 4.3 4.4 Chuỗi số 46 Chuỗi số dương 48 Chuỗi có dấu 51 Chuỗi hàm 52 CHƯƠNG PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 12 CHƯƠNG PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN 25 CHƯƠNG IV LÝ THUYẾT CHUỖI 46 CÁC ĐỀ THI MẪU 55 64 ... 2 b b? ?? b? ?? x x b 1 x 1 Vậy dx hội tụ x2 x dx 1 Ví dụ dx dx lim b x x b b? ?? lim ln x lim ln b ln1 b b? ?? Vậy Ví... b b1 dx x1 lim lim lim x dx Suy b b x b? ?? 1 1 b Nếu Nếu dx phân kỳ x dx x1 lim lim x dx b x b? ?? 1 b b1 ... khoảng (a, b) có đồ thị (a, b) cung đường cong (C ) Cung đường cong (C ) gọi lồi (a, b) điểm cung nằm b? ?n tiếp tuyến cung (Hình 2.2) Cung đường cong (C ) gọi lõm (a, b) điểm cung nằm b? ?n tiếp tuyến