bài giảng toán cao cấp 1 nguyễn văn tiến

• A) Tìm mức sản xuất Q để lợi nhuận đạt tối đa. Tìm. mức giá P và lợi nhuận lúc đó.[r]

(1)

Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến

BÀI TẬP

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN

(2)

Bài 1

• Tính đạo hàm hàm số sau:

              2 ln 2012 3 2 sin

1 sin arctan sin

2 sin

3

4 log ln 10

5 log sin 11

sin

6 cot 12

x x x x x x x x x x

y x y x

y x x y x

y y x

y x y x e x

x y x x x

x

y arc x y

(3)

Các phương pháp tính đạo hàm • Cơng thức bản: tổng, hiệu, tích, thương,

hàm hợp

• Biến đổi, rút gọn • Lấy logarit

(4)

Bài 2.5,2.6,2.7

   

    

 

2

5 Cho Tính

6 Cho Tính

1 ,

7 Cho ,1

2 ,

Tính

f x x x f x

x x

f x x x x

x x

f x

 



   

  



     

  

(5)

Bài 3,4 • Tính đạo hàm dạng tham số

t x

t

y y

x



  

0

0 0

0

t x

t

y t

y x voi x t x

x t



  

(6)

Bài 3,4

• Tính đạo hàm dạng tham số

• Tìm y’(x0) hàm số

    2 5 ln

1 2

arctan arccot

3 arctan sin

t t t t x x t y

y t t

x e

x t

y t y e t

                                         

5

0

3

1 ,

2 t tcos ,

x t t

x

y t t

x e

x

y e t

(7)

Bài 5 • Tính đạo hàm hàm ẩn

• Tính đạo hàm, giải phương trình tìm y’

• Nhớ kết hợp qui tắc tính đạo hàm biết

 

2

3

2 ln

1. ln 0

2.

3. 4 0

4. cos 3

y y x

x x

x y x e x y

x y

y x y

  



  

(8)

Bài 6 • Tìm vi phân

• Cơng thức:

    2  

1 d x e x ln 1d  x 3.d x x

 

dy  y x dx

 n  

n n

(9)

Bài 7 • Tìm vi phân hàm ẩn:

 

5

1

2 cos

3 ln

y y x

xy x

y xy

  

(10)

Bài 8

• Tìm điều kiện để hàm số liên tục, khả vi R.

• Dùng tính chất liên tục, khả vi khoảng hàm sơ cấp

• Xét liên tục, khả vi điểm • Giới hạn trái, phải…

  x 2x ,, x 00

f x    ax b x 

(11)

Bài 9 • Cho hàm số:

• Tính:

   1   100

f x  x x  x  x 

 0 ?

(12)

Bài 10

• Tính đạo hàm cấp dạng tham số

   

x t t t t t

x x x

t t

y x y y x

y y x x                   

 

2

cos

sin ln

2

t t

x e t

y e t

(13)

Bài 11 • Tính đạo hàm cấp hàm ẩn

 

  taïi

4

0

2 0,1

3 sin

x y

e xy

x xy y M

x x y

 

  

(14)

Bài 12

• Tính đạo hàm cấp cao dạng tích

   

  10

10

1 sin ,

2 x ,

y x x tính y

e

y tính y

x

 

(15)

Bài 13 Tính đạo hàm cấp n

 

2

1

3

3 x sin

y

x x y

x x

y e x



 

 

(16)

Bài 14

• Sử dụng cơng thức L’Hospitale (Lô – pi – tan)

  2 0 0 0 0 arcsin

1 lim 2.lim

cos sin

sin

1

3 lim 4.lim

sin sin

sin

5 lim lim ln

arcsin ln

1 1

7 lim lim

arcsin x x x x x x x x x x x x x

e e x x x

x x x

x x

e e x

x x x x x

x x x x

x x

x e x x

                                                     1 lim arctan

x x x x

(17)

Bài 15 • Tìm giá trị cận biên

2

3

2

) 0,1 3

) 0, 04 0, 4, 7500

) 250 45

a C Q Q Q

b C Q Q Q Q

c C Q Q Q Q

   

    

(18)

Bài 16 • Cho hàm cầu:

• A) Xác định hệ số co dãn P=4.

• B) Nếu giá giảm 2% (từ giảm cịn 3,92) lượng bán thay đổi phần trăm

 

60 ln 65

Q P

P

(19)

Bài 17

• Doanh thu loại sản phẩm cho bởi:

• Tìm Q để doanh thu đạt tối đa

2

240 57

(20)

Bài 18

• Cho hàm cầu loại sản phẩm là:

• Tìm mức giá để doanh thu đạt tối đa

5 30

(21)

Bài 19

• Hàm cầu hàm tổng chi phí loại sản

phẩm độc quyền là:

• A) Tìm mức sản xuất Q để lợi nhuận đạt tối đa Tìm

mức giá P lợi nhuận lúc

• B) Chính quyền đặt tiền thuế 22 đơn vị tiền cho

một đơn vị sản phẩm Tìm mức sản xuất để lợi nhuận đạt tối đa, tìm mức giá lợi nhuận trường hợp

2

600 2

0, 2 28 200

P Q

C Q Q

 

(22)

Bài 20

• Một loại sản phẩm có hàm cầu hàm chi phí trung bình là:

• Tìm mức giá để lợi nhuận tối đa

80

42 4 2

P Q C

Q

(23)

Bài 21

• Hàm tiêu dùng quốc gia cho bởi:

• Tìm xu hướng tiết kiệm cận biên thu nhập 25

3

10 I 0, 7 I 0, 2I

C

I

 

(24)

Bài 22

• Hàm chi phí trung bình sản xuất sản phẩm cho bởi:

• A) Tìm mức sản xuất Q (từ đến 10) để có chi phí tối thiểu

• B) Tìm mức sản xuất Q (từ đến 10) để có chi phí tối thiểu

2 200

2 36 210

C Q Q

Q

(25)

(26)

Bài 1

• Tìm đạo hàm riêng hàm số sau

 

2

4 3 2

) ) ln tan

) ) ln

) arctan ) y

y

a z x y b z

x

c z x y x y d z x x y

y

e z f z xy

x

 

 

   

 

     

(27)

Bài 2

• Tìm đạo hàm riêng ( của hàm số sau

 , sin  

(28)

Bài 3

• Tính vi phân tồn phần hàm số:

• Tính vi phân cấp hàm số:

 

) tan 6x y ) arcsin x

a z x y b z

y

   

      

 

 

3 2

2

) ) ln

) ) x ln sin ln

a z x x y y b z x y

c z xy y d z e y y x

    

(29)

Bài 4 • Tìm cực trị hàm số sau

             

4 2

2 3 2

) 15 12

)

) 6

)

) 10

a z x xy x y

b z x y x xy y

b z x xy y x y

c z x y x y

d z x x y y x y

e z y x x y x y

f z x y

g z x x y y

(30)

(31)

Bài Tích phân đổi biến số

3 2 4

2 3

sin

1

2

1 sin

2 cos

3 sin cos

2

sin

4 sin cos

x

a dx b a x dx

x x

c x dx d dx

a x x x

x

e dx f dx

x x x

x dx

g dx h

x x

x dx x

i dx j

x x x x

(32)

Bài Tích phân phần

2

arccos arctan

ln

1

a x xdx

b xdx

x x x

c dx

x d a x dx

 

 

(33)

Bài Tính tích phân

      2 1 0 1

,

2 cos

arcsin sin

1 cos 1

cos ln

sin cos x e x x dx a a

x x a

x dx

x xdx

b c

x x x

e dx

d e x dx

e e

x x dx

(34)

Bài Tính tích phân

 

      

 

2 0

3 2 2 1 2 0 1 arctan 1

1 2

1 ln

7

1

9 10

4 a x dx dx x x x

dx x dx

x x x

dx dx

x x x x x

x

dx dx

x x

dx x e dx

(35)

Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài 5   0 2 2 3 2 1 2 0 3 4

9

ln

7 ln sin

1 dx dx x x x dx dx x x dx dx

x x x

x

x dx dx

x                   

(36)

Bài 6 • Xét hội tụ tích phân:

 

1 3 1 0 ln 1

1 sin

3 cos 1 x x x xdx xdx

x x e

x dx dx

(37)

Bài 7 • Xét hội tụ tích phân:

1 2

4 0 1 sin sin 0 sin 1 cos x x x

x dx dx

x x

xdx dx

e e x