dạng 9 rút gọn tìm min max 34 trang 109 142

RÚT GỌN + TÌM GIÁ TRỊ MIN, MAX GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNGVậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 5 khi x 0... Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:a Bài tập 12.. Tìm giá trị lớn nhất hoặc gi

Trang 1

RÚT GỌN + TÌM GIÁ TRỊ MIN, MAX GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG

DẠNG 9 RÚT GỌN + TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT

I KIẾN THỨC CƠ BẢN

- Nếu ( )A x  và tồn tại giá trị mx x 0để ( )A x  thì ta nói mMinA x( )m

tại x x 0- Nếu ( )A x  và tồn tại giá trị mx x 0để ( )A x  thì ta nói mMaxA x( )m

tại x x 0- Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng : a b  a c b c a b c R   , ; ; 

- Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân với số dương: a b  a c b c a b c R c.  , ; ;  ,  0- Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân với số âm: a b  a c b c a b c R c.  , ; ;  ,  0

- Với 2 số , a b  Ta có 0  a b2  0 a 2 ab b  0 a b 2 abDấu “ = “ xảy ra khi a b

- Phương trình

2 x 0 , 0 , ; ;

ax b  ca a b c R có nghiệm   0

II CÁC DẠNG BÀI TẬP DẠNG 9.1 Biểu thức có dạng

, , 

+ Vì x  nên P a x b b0    MinP b khi x 0

Trang 2

RÚT GỌN + TÌM GIÁ TRỊ MIN, MAX GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNGBiến đổi

Trang 3

Dấu “ = ” xảy ra khi x  ( thỏa mãn ĐKXĐ)0

Ví dụ 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P2 x3

Lời giải

Điều kiện xác định x 0

Với x  ta có 20 x  0 2 x  với mọi 3 3 x 0

Giá trị nhỏ nhất của P bằng 3.

Dấu “ = ” xảy ra khi 2 x  0 x ( thỏa mãn ĐKXĐ)0

Ví dụ 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P3 x 1

Lời giải

Với x  ta có 30 x  0 3 x 1 với mọi 1 x 0

Giá trị nhỏ nhất của P bằng 1

Ví dụ 4 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P x12

Lời giải

Với x  ta có 0  x  0 x12 12 với mọi x 0

Giá trị lớn nhất của P bằng 12

Dấu “ = ” xảy ra khi  x  0 x ( thỏa mãn ĐKXĐ)0

Ví dụ 5 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P2 x9

Lời giải

Với x  ta có 20  x   0 2 x  với mọi 9 9 x 0

Giá trị lớn nhất của P bằng 9

Trang 4

RÚT GỌN + TÌM GIÁ TRỊ MIN, MAX GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNGDấu “ = ” xảy ra khi 2 x  0 x ( thỏa mãn ĐKXĐ)0

Trang 5

Ví dụ 6 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P3 x 2022

Lời giải

Với x  ta có 30  x   0 3 x 20222022 với mọi x 0

Giá trị lớn nhất của P bằng 2022

Dấu “ = ” xảy ra khi 3 x  0 x ( thỏa mãn ĐKXĐ)0

Ví dụ 7 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P3 x 1 8

Lời giải

Với x  ta có 31 x 1 0  3 x 1 8 8  với mọi x 1

Giá trị nhỏ nhất của P bằng 8.

Dấu “ = ” xảy ra khi 3 x 1 0  x 1 0  x ( thỏa mãn ĐKXĐ)1

Ví dụ 8 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Dấu “ = ” xảy ra khi x  0 x ( thỏa mãn ĐKXĐ)0

Trang 6

RÚT GỌN + TÌM GIÁ TRỊ MIN, MAX GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNGDấu “ = ” xảy ra khi x  0 x ( thỏa mãn ĐKXĐ)0

Trang 7

Ví dụ 10 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Dấu “ = ” xảy ra khi 3 x 1 0  x 1 0  x ( thỏa mãn ĐKXĐ)1



Trang 8

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 5 khi x 0

Trang 9

Dấu “ = ” xảy ra khi x  0 x ( thỏa mãn ĐKXĐ)0



Trang 10

RÚT GỌN + TÌM GIÁ TRỊ MIN, MAX GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNGDấu “ = ” xảy ra khi 3 x  0 x ( thỏa mãn ĐKXĐ)0

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 2 khi x 0

Trang 11

20223 x 1

Bài tập 7 Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

a) 2

20232 x 2

20203 2x 1

Bài tập 8 Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

a)

1 x2023 b)

32 x 2022

 

Bài tập 9 Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:

a)

Bài tập 10 Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

a)

Trang 12

RÚT GỌN + TÌM GIÁ TRỊ MIN, MAX GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNGa)



Trang 13

+ A2B2  0 A B  với mọi 0 A B,

II VÍ DỤ

Ví dụ 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x 2 x11 với x 0

Lời giảiCách 1

Với x 0 gía trị của biểu thức P được xác định

Ta có: P x 2 x11x2 x110 x1210Vì x  0 x  1 1  x12 1

với x 0Nên P x1210 1 10 11  

với x 0Giá trị nhỏ nhất của P bằng 11.

Dấu "=" xảy ra khi x 0 ( thỏa mãn)

Sai lầm có thể mắc phải khi làm bài tập này

Vì  x 12 0

với mọi x

Nên P x1210 10  MinP10Nhưng không tồn tại x để dấu "=" xảy ra

Cách 2

Với x 0 gí trị của biểu thức P được xác địnhTa có: P x 2 x11 0 0 11 11   Giá trị nhỏ nhất của P bằng 11.

Trang 14

Chú ý: Cách 2 tuy ngắn gọn nhưng không phải bài nào cũng áp dụng được

Trang 15

Ví dụ 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x  2 x2023

Lời giải

Ta có: P x 2 x2023x 2 x12022 x 122 202Vì  x  12 0

với mọi x 0Nên P x 122022 2022

với mọi x 0Giá trị nhỏ nhất của P bằng 2022.

Ví dụ 4 Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức Px x 1

.Dấu "=" xảy ra khi x 0 ( thỏa mãn)

Trang 16

Ví dụ 5 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x  x với 1 x 0

Cách 2Ta có:

Ví dụ 7 Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức P3x x 1

Lời giải

Cách 1:

Với x 0 Ta có: P3x x 1 0 0 1    1

Trang 17

RÚT GỌN + TÌM GIÁ TRỊ MIN, MAX GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNGGiá trị nhỏ nhất nhất của P bằng 1.

Trang 18

RÚT GỌN + TÌM GIÁ TRỊ MIN, MAX GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNGCách 2:

Ví dụ 8 Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức P x  2 x 1 5

Lời giải

Ta có: P x 2 x 1 5    x 1 1 2 x 1 5

x 1 2 x 1 1  6  x 1 1 26Vì  x 1 1 2  0  x 1 1 2 6 6

với mọi x 1Nên giá trị nhỏ nhất P bằng 6.

Dấu "=" xảy ra khi x 1 0  x 1 0  x ( thỏa mãn)1

Ví dụ 9 Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức P x 2 x 1

Lời giải

Ta có: P x 2 x 1   x 1 1 2 x 1  x 1 2 x 1 1  x 1 1 2Vì x 1 0  x 1 1 1    x1 1 2 1

với mọi x 1Nên giá trị nhỏ nhất P bằng 1.

Dấu "=" xảy ra khi x 1 0  x 1 0  x ( thỏa mãn)1

Ví dụ 10 Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức P x 6 x 1 12

Lời giải

Điều kiện xác định x 1

Ta có: P x 6 x 1 12  x 1 2.3 x   1 9 2  x 1 322

Trang 19

Vì x  1 0 x 1 3 3    x 1 329

với mọi x 1Nên P x 1 32   2 9 2 11

với mọi x 1Giá trị nhỏ nhất P bằng 11.

Dấu "=" xảy ra khi x  1 0 x  1 0 x ( thỏa mãn)1

Dấu "=" xảy ra khi x 2 0  x  2 x ( thỏa mãn)4

   với mọi x 0

Lời giải

Với x 0, giá trị của biểu thức P được xác định

Ta có:  x 2 x2008 x2 x 2008  x2 x 1 2009   x12 2009   x122009

Vì x  0 x  1 1  x12  1  x12 1

với mọi x 0 x 12 2009 1 2009 2008

Trang 20

RÚT GỌN + TÌM GIÁ TRỊ MIN, MAX GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNGDấu "=" xảy ra khi x  0 x ( thỏa mãn)0

Trang 21

P x x

b) 2

P x x

c) 1



Trang 22



Trang 23

RÚT GỌN + TÌM GIÁ TRỊ MIN, MAX GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG2

MinP  Dấu “=” xảy ra khi

(thỏa mãn điều kiện)

 (thỏa mãn điều kiện)



Trang 24

Trang 25

Dấu “=” xảy ra khi



Trang 26



Trang 27

Với x 0, ta có: 4 3 0, 4 0

Áp dụng BĐT Cô – Si ta có: 4 3 4 2 4 3  4 89 x  x3 9 x x3 3

Px

Trang 28

RÚT GỌN + TÌM GIÁ TRỊ MIN, MAX GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNGDấu “=” xảy ra khi

 (thỏa mãn điều kiện)

xxP

Trang 29

RÚT GỌN + TÌM GIÁ TRỊ MIN, MAX GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG6 3 11

Trang 30

b)

c)

Bài tập 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

a)

3 112

xxP

Trang 31

Ta có: x n 0 x n x n 2 Mà x 0 Nên 0 x n  2Vì x N  Tìm được các giá trị của x

Tính giá trị của biểu thức A với các giá trị của x

So sánh các giá trị của A tìm được Kết luận GTNN của biểu thức A

II VÍ DỤ

Ví dụ 1 Tính GTLN GTNN của biểu thức

5 , 3

Bảng giá trị tương ứng của x và P

57 3

52 2 35

10 2 152 2 3



Trang 32

RÚT GỌN + TÌM GIÁ TRỊ MIN, MAX GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNGDấu “=” xảy ra khi x 8 (thoả mãn điều kiện)

Trang 33

RÚT GỌN + TÌM GIÁ TRỊ MIN, MAX GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Tìm giá trị lớn nhất của P

Giá trị lớn nhất của P bằng 5 10 15

Dấu “=” xảy ra khi x 10 (thoả mãn điều kiện)

Sai lầm 1 P lớn nhất khi x  Vì 3 x N Nên x 3 1  MaxP5Phân tích: x N chưa chắc x  có giá trị là số tự nhiên3

Sai lầm 2 Vì

3x 3

2 002 0 1

Trang 34

RÚT GỌN + TÌM GIÁ TRỊ MIN, MAX GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNGGiá trị lớn nhất của P bằng 4 2 2

Dấu “=” xảy ra khi x 2 (thoả mãn điều kiện)

Trang 35

Ví dụ 3 Tính GTLN GTNN của biểu thức

7 , 3

P đạt GTNN khi M đạt giá trị lớn nhất P đạt GTLN khi M đạt giá trị nhỏ nhất

+ Xét x 3 0  A 0 P có giá trị lớn nhất

+ Xét x 3 0  A 0 P có giá trị nhỏ nhất

 Tìm giá trị lớn nhất của P

Vì x 0 và x 3 0  x  3 x nên 9 0 x 9Do x N  x0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8

x   A Phân thức A có tử dương A

Trang 36

Trang 37

 Tìm giá trị lớn nhất của P

Trang 38

III BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài tập 1 Cho x N Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

a)

a) 23

Trang 39

RÚT GỌN + TÌM GIÁ TRỊ MIN, MAX GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNGa)

2 31

5 23

1 42

3 55



Trang 40

V BÀI TẬP TỔNG HỢPBài tập 1 Cho biểu thức

- 1 - 1 + 1

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P.

Bài tập 2 Cho biểu thức

- 9 - 3 + 3

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A.

- 1 - 1 + 1

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức C.

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B.

với x N a) Rút gọn biểu thức D.

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức D.b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức D.

Trang 41

RÚT GỌN + TÌM GIÁ TRỊ MIN, MAX GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNGa) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A.

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A.

Trang 42

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A.

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P.b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P.

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A.b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A.

6 +

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P.b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P.

Trang 43

RÚT GỌN + TÌM GIÁ TRỊ MIN, MAX GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNGb) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P

Trang 44

với x0; x 1a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P

Trang 45

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M.

Bài tập 26 Cho hai biểu thức

  và

  với x0, x1.a) Tính giá trị của biểu thức A khi x 4.

b) Rút gọn biểu thức

c) Tìm các giá trị của x để biểu thức C đạt giá trị nhỏ nhất

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P A 9 x

Bài tập 28 Cho biểu thức 2

b) Tìm giá trị của x để

M 

c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P M  9 x

x 

.a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tính x khi P x.

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P khi

 và

  với x0;x4;x 9a) Tính giá trị của biểu thức A khi x 25

b) Chứng minh:



Trang 46

c) Với x là số tự nhiên thỏa mãn x 3, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

.

Trang 47

Bài tập 31 Cho hai biểu thức

c) Với x Z, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức PA B.

Bài tập 32 Cho các biểu thức:

a) Tính giá trị của biểu thức B khi x 16

b) Rút gọn biểu thức A

c) Đặt T  A.B Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T.

Bài tập 33 Cho biểu thức:

c) Cho PA B: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thứcP.

Bài tập 35 Cho

c) Đặt PA B. ,Tìm x nguyên để P đạt giá trị lớn nhất



Trang 48

c) Với x   , tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P AB

Trang 49

Bài tập 37 Cho  3

và

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A B.

Bài tập 38 Cho hai biểu thức:

x x

 (với x0;x4;x9 )a) Tính giá trị của biểu thức B khi x = 25

b) Đặt PA B: , rút gọn P

c) Với x  9, tìm giá trị nhỏ nhất của P.

c) Với x 1 hãy tìm giá trị nhỏ nhất của P.

x xx xP

 a) Tính giá trị biểu thức Q khi x 25.

b) Rút gọn biểu thức P.

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M P Q.  x

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P.