CHỦ ĐỀ1: RÚT GỌN BIỂU THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Bài 1: Tính giá trị biểu thức a) 14 14 b) 12 3 c) d) 2 2 Giải a) 14 = ( 3) = + Tương tự : 14 = - Vậy P = + + - = b) 12 4( 3) =2 + =2 53 3 c) Ta có: - = - + ( )2 = (2 - )2 => = (2 ) = - Tương tự : (2 3) = + Vậy P = - + + = d)Ta có 2 2 ( 1)2 ( 1)2 = Bài 2:Cho biểu thức : A = ( 1) x 4x 4 2x a) Với giá trị x biểu thức A có nghĩa b)Tính giá trị biểu thức A x = 1,999 Giải Câu a) Ta có : A = ( x 2) x 4x = 2x 2(2 x) Vì (x- 2)2 với x => ( x 2) có nghĩa với x => Biểu thức A có nghĩa – 2x x Câu b) Ta có A = x2 2(2 x) x2 2(2 x) 2 x 2(2 x) x x Khi x = 1,999 => x < => A = 0,5 Bài 3: 1)TÌm điều kiện xác định : A = x2 x ( a b ) ab a b b a 2)Chứng minh : = a – b với a > b > a b ab Giải 1) Điều kiện xác định A : - x + 6x – - (x – 3)2 x = 2) Ta có: Suy ra: ( a b ) ab a ab b ab = ( a b)2 a b a b a b a b a b b a ab ( a b ) a b ab ab ( a b ) ab a b b a = ( a b )( a b ) = a-b a b ab Bài 4: Rút gọn : M=( 1 a a 1 a a ) với a ; a 1 a Giải Ta có => 1 a a 1 a 1 a a 1 a ( a )3 (1 a )(1 a a) = 1 a 1 a a = (1 + => M = (1+ a )2 Bài 5: Cho A = ( 1 a a a a 1 a + a) + =1+ a +a = (1 + a )2 a =1+ a 1).( a a a 1 1) với a a Rút gọn A b Tìm a cho A = - a2 Giải a) A = ( a a a 1 1).( a a a 1 1) a ( a 1) = a 1 a ( a 1) 1. 1 a 1 = ( a 1).( a 1) = a – b) Tìm a thỏa mãn A = - a2 1 a A a a= 1 a a a 1 a a a 1 2 1 a a a Bài 6: Cho biểu thức : y S=( x xy y x xy xy với x > , y > x y x y ): 1) Rút gọn S 2) Tìm giá trị x y để S = Giải y 1) S = ( x xy y x xy xy x y ): y S=( Vậy S = x 2) S = x ( x y) y ) x y x ( x y ) xy = y( x y) y( x y) x y x ( x y )( x y ) xy = xy y xy y x y = x ( x y) xy xy x y x ( x y ) xy = x với x > 0, y > x y x = x = x = 1.Đối chiếu với ĐK ta có x = y S =1 Bài 7: Cho biểu thức P = x 1 x với x > x xx a) Rút gọn P b) Tính giá trị P x = Giải: a) Ta có : P = b) Với x = x 1 ( x) x (1 x ) 1 P= 1 Bài 8: Cho biểu thức: N = = x = x 1 1 x x x ( x 1) (1 x )(1 x ) 1 x 1 x = 1 1 ( 1) ( 1)( 1) = 3+2 2 a b ab ab b ab a ab với a,b số dương khác 1)Rút gọn biểu thức N 2)Tính giá trị biểu thức N : a = b = Giải: 1) N = = a b ab = ab b ab a ab a b( a b) b a( b a) ab ab = a a ( b a ) b b ( b a ) (a b)(b a) ab (b a) 2) Ta có a = = ( 1) => N = a ab b ab ab ()b a) ab ba v b = = ( 1) ab 1 1 ba 1 1 Bài 9: Cho biểu thức : x x 1 x x x x a) Chứng minh : Q = x 1 x 2 Q = với x > x b) Tìm số nguyên lớn x để Q số nguyên Giải: ( x ) ( x )( x ) ( x 2)( x 1) ( x 2)( x 1) = ( x )( x ) ( x )( x ) x 2 a) Q = = x 2 x x 2 x 2 x x 2 x 2 = x 1 x = x x 2 x 1 x ( x x x 2) ( x x x 2) x ( x 1)( x 1) x = x ( x 1) b) Q = x 2 x 1 x ( x 1) x 1 x 1 x 1 nguyên x -1 ước x 2 Do x lớn x – = x = Bài 10: Cho biểu thức : A = ( 1) 2) x x 2 x 1 ):( ) x 1 x 1 x 2 với x > ; x ; x Rút gọn A Tìm x biết A = Giải Với x > ; x x Ta có : A= = x x ( x 2)( x 2) ( x 1)( x 1) : = x ( x 1) ( x 1)( x 2) 1 ( x 1)( x 2) 3 x ( x 1) = 1 : x x 1 x ( x 1) ( x 1)( x 2) x 2 x Với x > ; x ;x : A=0 x 2 x = x - = x = x = (loại) Vậy khơng có giá trị x để Bài 11: Cho biểu thức : P = 1 x x 4 với x x . x x 2 x 1) 2) Rút gọn P Tìm x biết P > Giải: x x 4 = . x x 2 x 1) P = 1 = x 3 x 4 = x 2 x 3 x 25 x3 x x2 x 4 x 2 x 3 x 4 x 2 2)x ;x : P > x 4 > x 2 x 4 - > x 2 x 4 x 2 > x 2 2 > x < x < x < x 2 Kêt hợp điều kiện x < x x 1 x Bài 12: Cho biểu thức P = 1 với x : x x 1 x x 1) Rút gọn P 2) Tìm xbiết P < Giải: x x 1 : x x 1 x x x x x ( x )3 1 x ( x 1)( x x 1) 1 x = = = 2 x x ( x 1) x x 1 ( x 1) 1 x 1) P = 1 x 2) x P < 1 x < 11 x x < ( Vì + x > x ) x > x > Vậy x > P < x x với x x x 1 x x x 1 Bài 13: Cho biểu thức P = 1) Rút gọn P 2) Chứng minh với x = + 2 P = Giải: 1) Ta có x 2( x 1) x ( x 1) x x x 1 x 1 x 1 ( x 1)( x 1) Suy P = x x x 2 x => P = (1) x 1 x 1 x x 2 2) Khi x = + 2 => x = ( + 1)2 => x = + Suy P = 1 = 2 2 Bài 14:Cho biểu thức P = 1) 2) x2 x xx (với x x 1) x x 1 x 1 Rút gọn biểu thức P Tìm x biết P = Giải: 1) P = = x ( x x2 x xx (với x x 1) x x 1 x 1 x )3 1 x (1 x ) x ( x 1)( x x 1) x ( x 1) = = x x 1 x 1 xx x 1 x ( x 1) x = x- x Vậy P = x- x x 0 x 2) P = x- x = x ( x - 2) = ( thỏa mãn ĐK: x x x x 1) x : x 1 x 1 x 1 x x Bài 15: Cho biểu thức A = (với x > ; x 1) 1) Rút gọn A 2) Chứng minh A - > với x > vµ x Giải: x : x 1 x 1 x 1 x x 1) A = x x 1 : x ( x 1) ( x 1)( x 1) ( x 1)( x 1) x ( x 1) A= = = 1 x x 1 : x ( x 1) ( x 1)( x 1) 1 x 1 x ( x 1) x ( x 1) x 1 x : x ( x 1) x 1 x > x+ > x x ( x - 1)2 > với x > , x 2) Với x > , x ta có A > x 2 x 2 x : x x x 1 x Bài 16: Cho biểu thức A = 1) 2) Rút gọn A Tìm gia trị nguyên x để A nguyên Giải: x 2 x 2 x : x x x 1 x 1) Rút gọn: A = với x > x x 1 x 2 x 2 ( x 1) ( x 1)( x 1) x ( x 2)( x 1) ( x 2)( x 1) x = ( x 1)2 ( x 1) x = = = x x x x x x x 1 ( x 1)2 ( x 1) x x ( x 1)( x 1) x x 2) với x > 0; x 1, x Z ta có A có giá trị nguyên Z (x – 1) x 1 Ư(2) (x – 1) 1; 2 x - = -1 x = ; x – = x = 2; x – = - x = - ; x – = x = Đối chiếu với điều kiện: x > 0; x 1, x Z, ta có giá trị cần tìm là: x = x = x 4x 1 : với x > x ≠ 1 x 1 x x x x Bài 17:1)Rút gọn biểu thức A = 2)Chứng minh đẳng thức 2 2 Giải: 1) Với x > x ta có = x 4x x 4x x (1 x ) x = x x x (1 x )(1 x ) (1 x )(1 x ) x 2x x (1 x )(1 x ) x Với x > x ta có 1 1 x x x x x ( x 1) Vậy A = x x (1 x ) x 1 x 2 2) Ta có 2 2 ( 1)2 ( 1)2 = x 2 x (1 x ) 2x x 2 ( 1) Vậy 2 2 (đpcm) x x 1 với x x x 1 x x 1 Bài 18:1) Rút gọn biểu thức A = 2)Chứng minh đẳng thức: Giải: x x 1 x 1 x x 1 1) Với x , x ta có A 3x x x x 1 x 1 x 1 x x 1 x 2 1 x 4 x 1 2 1 2) Ta có: 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Vậy x 1 1 x 2 x 1 x 1 x 1 x 2 ... => N = a ab b ab ab ()b a) ab ba v b = = ( 1) ab 1 1 ba 1 1 Bài 9: Cho biểu thức : x x 1 x x x x a) Chứng minh : Q = x 1 x 2 Q = với x