Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 32 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
32
Dung lượng
1,58 MB
Nội dung
CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG DẠNG RÚT GỌN + TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT I PHƯƠNG PHÁP + Tìm điều kiện xác định cần + Rút gọn biểu thức + Biến đổi biểu thức dạng sau: Dạng Dạng M=a+ b b M=a+ f (x) + c hoạc f (x) − c , c > M = f (x) + m , f (x) > 0, m > f (x) + Đối chiếu điều kiện biến + Kết luận II VÍ DỤ x +1 x B= + x + x + x x − x − Ví dụ Cho hai biểu thức với x ≥ 0, x ≠ 1) Tính giá trị biểu thức A x = A C= B 2) Rút gọn biểu thức 3) Tìm giá trị x để biểu thức C đạt giá trị nhỏ A= Lời giải 1) Thay x = ( thỏa mãn điều kiện) vào A ta được: A= Vậy x = 2) Với x ≥ 0, x ≠ , ta có: C= A= +1 = + +1 A x +1 x = : + ÷ B x + x +1 x x −1 x −1 = x +1 : x + x +1 = x +1 x + x +1 3) Với x ≥ 0, x ≠ , ta có: C= ( ( : x + x +1 )( x − 1) ( x + ( x + 1) ) x + 1) x −1 x + x + = x −1 x +1 x −1 = 1− ≥ −1 x +1 x +1 ( x + ≥ với x ≥ 0, x ≠ , Dấu “=” xảy x = (thỏa mãn) ≤2 x +1 ) Vậy giá trị nhỏ C −1 x = TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG x B= + ÷.( x − 3) x + x +3 x −9 với x ≥ , x ≠ A= Ví dụ Cho hai biểu thức a) Tính giá trị biểu thức A x = x +1 x +3 B= b) Chứng minh c) Cho P = A : B Tìm giá trị nhỏ biểu thức P Lời giải a) Tính giá trị biểu thức A x = Thay x = (thỏa mãn) vào A ta A = 2 = = +3 2+3 Vậy A = x = B= x +1 x +3 b) Chứng minh B = + x +3 = ( với x ≥ x ≠ ÷.( x − 3) = x +3 x −3 ÷ ( )( x +1 x +3 )( x −3 ) ( x −3 ) )= ( ÷ x −3 ÷ x −3 + x +3 )( ) ( x −3 ) x +1 x +3 (đpcm) c) Cho P = A : B Tìm giá trị nhỏ biểu thức P Ta có: P = A : B P= x x +1 x x +3 x : = = = x + x +3 x + x +1 x +1 Với x ≥ x +1−1 = 1− x +1 x +1 x ≥0 ⇔ x +1 ≥ ⇒ 1 ≤ ⇔ 1− ≥0 x +1 x +1 ⇒P≥0 Dấu = xảy ⇔ x = ⇔ x = (thỏa mãn) Vậy P đạt giá trị nhỏ x = Cách 2: P= x ≥ ∀x ≥ x +1 Ta có: Do P đạt giá trị nhỏ x = TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI Ví dụ Cho A= GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG x +6 x +2 −1 B= − ÷: x −1 x + x − x + x −3 với x ≥ 0, x ≠ 1) Tính biểu thức A x = 25 2) Rút gọn biểu thức B 3) Đặt P = A.B ,Tìm x nguyên để P đạt giá trị lớn Lời giải 1) Thay x = 25 (thỏa mãn ĐKXĐ) vào biểu thức A ta A= −1 −1 −1 = = 25 − − x +6 x +2 = B= − ÷: x + x − x − x +3 2) ( x + − (x + x + 6) ÷ = : = ÷ x + x −1 x + ( 3) P = A.B = Vì )( ) x +2÷ − : x −1 ÷ x + x +3 x +6 )( x −1 ( ) ÷: x +3 ÷ x +3 =− x −x + x )( x −1 ) −1 x − x = = 1+ x −3 x −3 x −3 ( ) x − ≥ −3 với x ⇒ ≤ −1 x −3 với x ⇒ P = A.B = + ≤0 x −3 với x ⇒ Max P = Dấu " = " xảy x = Ví dụ Cho biểu thức A= x x x x +2 B= + ÷: x −3 x −3 + x x − x −6 với x > 0, x ≠ 1) Tính giá trị biểu thức 2) Rút gọn biểu thức B A x = 36 3) Với x ∈ ¢ , tìm giá trị lớn biểu thức P = AB Lời giải 1) Thay x = 36 ( thỏa mãn điều kiện ) vào A ta TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN A= 36 + + = = + 36 + PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI 2) Điều kiện: x ≥ x ≠ GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG x x x B= + ÷: x −3 x −3 x − x −6 = = 3) P = AB = ( x x −3 x ( ( )( x +2 x +4 x −3 )( ) x +2 ) x +2 x +4 = 1+ x x + x + ) ( x −3 ) ÷ x − x x +2 ÷ x +2 )( x −3 x = ) x +4 x +2 x +4 = 1+ x +1 x +1 x + đạt giá trị lớn Để P đạt giá trị lớn Vì x ∈ ¢ ( x + > với x ≥ x ≠ nên x + lớn x + = ⇔ x = ( TMĐK) MaxP = ⇔ x = Vậy −3 x x +2 B= + ÷: x − x + x + x Ví dụ Cho với x > 0; x ≠ a) Tính giá trị biểu thức A x = A= ( )( x −1 x +3 ) b) Rút gọn biểu thức B c) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A.B Lời giải a) Thay x = (tmđk) vào biểu thức A ta có : A= A=− ( −3 )( −1 +3 ) = −6 x = Vậy x > 0; x ≠ ta có : b) Với B= + x +1 x + x : x +2 x +2 = + x +1 ÷: x − x x +1 x −1 TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN ( ) PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI = A.B = c) ( ( x x +2 ) x +1 ( −3 x )( x −1 x +3 ) GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG )( x −1 ) x +1 x +2 x −1 x = x −1 x = −3 x +3 Với x > 0; x ≠ A.B > −1 Do khơng có giá trị nhỏ biểu thức A.B Ví dụ Cho hai biểu thức: A= 2+ x x 4x + x − x −3 + − B= x−4 2− x 2+ x x −x (với x > 0; x ≠ 4; x ≠ ) 1) Tính giá trị biểu thức B x = 25 2) Đặt P = A : B , rút gọn P 3) Với x > , tìm giá trị nhỏ P Lời giải 1) Tính giá trị biểu thức B x = 25 Thay x = 25 (TM ĐKXĐ) vào B , ta có: 25 − 5−3 2 B= = = =− 15 25 − 25 2.5 − 25 −15 B=− x = 25 15 Vậy 2) Rút gọn biểu thức P 2+ x x 4x + x − A= + − ( x > 0; x ≠ ) x−4 2− x 2+ x A= 2+ x x 4x + x − + + 4−x 2− x 2+ x (2+ x) A= A= A= + ( x − x ) + 4x + x −4 4−x 2− x 2+ x + x + x + x − x + 4x + x − ( − x ) ( + x ) ( 4x + x )( 2− x 2+ x = ) ( TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN x ( x +2 ) x − x + x = − x ( x > 0; x ≠ ) )( ) PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI P = A:B = GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG ( x x −3 x x −3 x 2− x x : = : = 2− x x −x 2− x x 2− x 2− x x −3 ( ) ) 4x ( x > 0; x ≠ 4; x ≠ ) x −3 P= 3) Với x > 9, tìm giá trị nhỏ P ( ) 4x 36 36 = x + 12 + = x −3 + + 24 x −3 x −3 x −3 Do x > ⇒ x − > Áp dụng bất đẳng thức Cosi, ta có: 36 36 x −3 + ≥ x − x −3 x −3 36 x −3 + ≥ 2.12 x −3 36 x −3 + + 24 ≥ 48 x −3 P ≥ 48 Dấu “ =” xảy P= ( ) ( ) ( ) ( ) x − = −3 x = x = ( KTM ) 36 ⇔ x −3 = ⇔ ⇔ ⇔ x −3 x = 36 ( TM ) x − = x = Vậy P đạt GTNN 48 x = 36 ⇔4 ( ) ( x −3 = ) III BÀI TẬP VẬN DỤNG Câu Cho x +3 x −2 x −3 x +3 B= − ÷ x − x + x + x + với x ≥ 0; x ≠ A= 1) Tính giá trị A x = 16 2) Rút gọn biểu thức B 3) Cho P= A B Tìm giá trị nhỏ P Lời giải A= 16 + 19 = 16 + 1) Thay x = 16 (thỏa ĐKXĐ) vào A ta có: x +3 x −2 x −3 B= − ÷ x − x + x + với x ≥ 0; x ≠ 2) x+3 x −2 x −3 ÷ x − = − x +3 x −3 x +3 x − ÷ x +1 ( )( ) ( TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN )( ) PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI = x + x +1 ( x +3 )( x −3 ) x −3 = x +1 ( ( )( ( x + 1) − ( = x +3 A x+3 x +1 x + P= = : = B x + x + x +1 3) = x +1+ −2 x +1 ) x +1 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG x −3 x +1 = ) x + 1) + x −3 x +1 x +3 x +1 x + > 0; >0 x +1 Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số 4 P = x +1+ −2≥ x +1 −2=2 x +1 x +1 Min P = ⇔ x + = ⇔ x =1 x +1 (thỏa đkxđ) ⇔ x = Vậy GTNN P ( ) x x 2 2−x P= + ÷: − ÷ x − x − ÷ x x( x + 1) ÷ Câu Cho biểu thức: a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị x để P = Với x > tìm giá trị nhỏ P Lời giải x −1 ≠ x ≠ x − ≠ ⇔ x > x ≠ Điều kiện xác định: x ≥ x x 2 2−x P= + ÷: − ÷ x − x − ÷ x x( x + 1) ÷ 1) = x ( = ( )( x −1 ( 2) P = ) x +1 + x ) ( x +1 x+ x )( x −1 ⇔ x x x −1 ) x +1 =4 x ( ) x +1 ) x +1 − + x ( ) x +1 x+ x = x x −1 ⇔ x − = x ⇔ x− x + = TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI ⇔ ( x−2 ) GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG =0 ⇔ x = ( thỏa mãn) x 1 P= ⇔ P = x +1+ = x −1+ +2 x − x − x − 3) x −1 > ⇒ >0 x − Vì x > 1 x − Áp dụng BĐT Cô si cho hai số dương x −1+ x −1 ⇔ x −1 + ≥2 x −1 Dấu '' = '' xảy ( ) x −1 x − ta có: x −1 +2≥4 ⇔ x −1 = x −1 ⇔ ( ) x −1 = ⇔ x − = ⇔ x = ( thỏa mãn) x x −1 x x +1 x −1 + − Q= x− x x+ x x x +1 Câu Cho biểu thức a) Tính giá trị biểu thức Q x = 25 b) Rút gọn biểu thức P P= c) Tìm giá trị nhỏ biểu thức M = P.Q − x Lời giải a) Tính giá trị biểu thức Q x = 25 Điều kiện xác định: x ≥ Khi x = 25 (thỏa mãn điều kiện) Thay vào biểu thức Q ta có: 25 − Q= = 25 + b) Rút gọn biểu thức P −1 = = +1 x > Điều kiện xác định: x ≠ x x −1 x x +1 ( x)3 − ( x)3 + P= + − = + − x− x x+ x x x( x − 1) x( x + 1) x = ( )( x( ) +( x −1 x + x + ) x −1 TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN )( )− x ( x + 1) x +1 x − x +1 x PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI ( x+ = = ) + ( x− )− GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG x +1 x +1 x x x x + x +1+ x − x +1− x 2x − = x d) Tìm giá trị nhỏ biểu thức M = P.Q − Ta có: M = P.Q − = = ( x − 1) x ( x −1 ) x −1 x +1 x = − x ( x )( x −1 )( x ( x + 1) x +1 )− x −1 x x = x−4+ − x = x 2x− x + x − x = x+ x − x −4 Với x thuộc điều kiện xác định x > 0; x >0 Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số không âm x x , ta có: x+ x ⇔ x+ ≥2 x x ⇔ x+ x ≥2 2 −4≥2 −4 ⇔ M ≥ 2−4 x Dấu xảy khi: x= x ⇔ x = (thỏa mãn) Vậy M đạt giá trị nhỏ 2 − x = x+ x x−9 P= x− : − ÷ ÷ ÷ − x x + x + , với x ≥ 0,x ≠ 1,x ≠ Câu Cho biểu thức P= x −1 x+3 1) Chứng minh 2) Tìm giá trị nhỏ P Lời giải 1) Chứng minh: TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI x P= = ( ) x +1 − x− x : + x +1 x +1 x+ x − x− x +1 x−3 = : ( x −3 ( x +1 ( x +1 = GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG ( ) ( x − 1) ( x : ÷ ÷ x +1 ÷ x −9 ( )( x −1 ) x −1 + x − ) x +1 x− x + x − ) ( x + 1) x − 1) ( x + 1) = x − 3) ( + x ) = x −1 x −3 x +1 ( )( x −1 ) x +1 x− x −1 x+3 2) Tìm giá trị nhỏ nhất: P = 1− x+3 Ta có Với điều kiện x ≥ ⇒ x ≥ ⇒ x + ≥ 4 ⇒ ≤ ⇒ 1− ≥− x+3 x+3 Dấu xảy x = ( TM ) Vậy giá trị nhỏ P − x=0 x +3 x −7 x + x +1 B= + + x − x − x + − x x − với x ≥ 0; x ≠ 4, x ≠ Câu Cho x= 3− a) Tính giá trị biểu thức A b) Rút gọn biểu thức B A= B c) Tìm GTNN A a) x= ( Lời giải ) 3+ = = 3+ = + = 9−5 3− Thay x= ( ( ) +1 ) ( ) +1 2 (tmđk) vào biểu thức A ta : TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 10 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG ≥0 x +3 ⇔ 1− B Vậy giá trị nhỏ biểu thức A x = Câu 13 Cho hai biểu thức: x ( x + 1) x + − x + x x − x − x (với x > , x ≠ ) a) Tính giá trị biểu thức A x = A= ( ) B= x −1 b) Rút gọn biểu thức B c) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = A.B với x > Lời giải a) Tính giá trị biểu thức A x = Điều kiện xác định: x > , x ≠ x = (thỏa mãn điều kiện) A= Thay x = vào A ta có: Vậy A = x = 4.( + 1) ( = ) −1 2.5 =5 2.1 b) Rút gọn biểu thức B B= x + − x + x x −1 x − x B= B= B= x ( ( x + ) ( x +1 ) )( x −1 x − + x x − x x ( ( )( x −1 2x − )( x −1 ( ) x +1 − x ( ) x −1 ) x +1 ) x +1 ) x +1 = ( x − 1) x ( x − 1) = x c) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = A.B với x > P = A.B = x ( x + 1) ( ) x −1 x +1 = = x +1+ = x x −1 x −1 ( ) x −1 + +2 x −1 x −1 > >0 Vì x > nên x − Áp dụng bất đẳng thức Cơsi, ta có: TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 18 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI Dấu “=” xảy ( ) x −1 x −1 +2≥2 2+2 ⇔ P≥2 2+2 x −1 ⇔ x −1 + ⇔ ( ≥2 x −1 x −1+ GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG x −1 ⇔ x −1 = x = +1 x −1 = ⇔ ⇔ x −1 = x − = − x = − < (loai) ) ⇔ x = + 2 (thỏa mãn điều kiện) Vậy MinP = 2 + ⇔ x = + 2 Câu 14 1) Cho x = 25 Hãy tính giá trị biểu thức Q= x−4 x + với x ≥ x 3− x 6x − + x −2 x + − x với x ≥ 0; x ≠ 2) Rút gọn biểu thức 3) Tìm x để biểu thức M = P.Q đạt giá trị lớn Lời giải: P= 1) Giá trị x = 25 thỏa mãn điều kiện x ≥ ⇒ x = , thay vào biểu thức Q ta được: Q= x − 25 − 21 = = = x +1 +1 Vậy x = 25 P= x 3− x 6x − + x −2 x +2 4−x P= x 3− x 6x − − x −2 x +2 x−4 2) Với x ≥ 0; x ≠ ta có: ( − x ) ( x − 2) − ( x − 2) ( x + 2) ( x − 2) ( x + 2) ( x ( x + ) − ( − x ) ( x − ) − 6x = ( x − 2) ( x + 2) = = x ( Q= x +2 ) − 5x + 10 x − x + + x − x − 6x ( x −2 )( x +2 TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN ) = 19 ( 6x x −2 )( x +2 x +6 x −2 )( x +2 ) ) PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI M = P.Q = 3) Ta có: GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG x +6 ( x −2 )( x +2 ) x − x + x + +1 = = = 5+ x +1 x +1 x +1 x +1 1 ≤1⇒ 5+ ≤6 x +1 x +1 x ≥ ⇒ x ≥ ⇒ x +1 ≥ ⇒ hay M ≤ Dấu "=" xảy x = (thoả mãn điều kiện) Vậy max M = x = x −2 x −1 x 2−5 x B= − − x − với x ≥ ; x ≠ x + x +2 2− x Câu 15 Cho hai biểu thức 1) Tính giá trị biểu thức A x = 25 2) Rút gọn biểu thức B 3) Tìm giá trị lớn biểu thức M = A.B x ∈ N , x < 101 A= Lời giải 1) Với x = 25 (thỏa mãn điều kiện xác định) Thay x = 25 vào biểu thức A ta có: A= x = 25 Vậy 2) Với x ≥ ; x ≠ ta có: B= B= B= B= Vậy ( ( x −1 x 2−5 x = − − x−4 x +2 2− x )( x + 2) ( x −1 )+ x − 2) ( x −2 x ( x +2 )( x −1 x + − x +2 x −2 x +2 x ( ( x +2 B= )( x +2 x +2 ) )( x −2 ) x −2 = ) ) x −2 x − x + + 3x + x − + x ( 25 − = 25 + A= = ( − ) ( ( 2−5 x x +2 )( 2−5 x x +2 )( x −2 4x + x x +2 )( x −2 x −2 ) ) ) x x −2 x x − với x ≥ ; x ≠ 3) Với x ≥ ; x ≠ ta có: x −2 x x M = A.B = = =4− x +2 x −2 x +2 x +2 Có x ∈ N ; ≤ x < 101 nên ≤ x ≤ 100 ⇒ x + ≤ 12 ⇒ 8 ≥ ⇒ 4− ≤ − ⇒ M ≤ 10 x +2 x +2 TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 20 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG 10 Vậy M có giá trị lớn x = 100 Câu 16 Cho hai biểu thức: x − x −1 x +1 B = − ÷: A= x − x + x + x − , ( x ≥ 0; x ≠ 1; x ≠ ) a) Tính giá trị biểu thức A x = 49 b) Rút gọn biểu thức B M =A− x +3 c) Tính giá trị nhỏ biểu thức: Lời giải 49 + 15 = = 10 49 + x = 49 a) Khi suy x − x −1 B= − ÷: x + x − x − , ( x ≥ 0; x ≠ 1; x ≠ ) b) x x ữì x = x +3 x − ÷ x −1 x −1 1 = × = x + x −1 x +3 x +1 M = A− = − x +3 x +3 x +3 c) Ta có: A= ( ( ) ( )( ) ) ( ) x +3 −6 x = = 2− x +3 x +3 x +3 Với điều kiện x ≥ : Ta có: x ≥ ⇔ M ≥ Hay M ≥ , dấu “ = ” xảy x = = Vậy giá trị nhỏ M x = Câu 17 Cho hai biểu thức: x −2 x 1 + + Q= x−4 x − với x ≥ ; x ≠ ; x ≠ x −2 x + 1) Tính giá trị biểu thức Q x = 64 P= 2) Chứng minh P= x x −2 K = Q ( P − 1) 3) Với x ∈ ¢ , tìm giá trị lớn biểu thức Lời giải TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 21 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG 1) Tính giá trị biểu thức Q x = 64 ĐKXĐ: x ≥ ; x ≠ ; x ≠ Thay x = 64 (thỏa mãn điều kiện xác định) vào biểu thức Q ta 64 − = 64 − Q= Q= Vậy x = 64 x P= x −2 2) Chứng minh Điều kiện: x ≥ ; x ≠ ; x ≠ x 1 P= + + x−4 x −2 x +2 x 1 x+ x +2+ x −2 = = + + x −2 x +2 x −2 x +2 x −2 x +2 ( = ( Vậy )( ) x+2 x x = )( x+2 = x x −2 x +2 ) x −2 )( P= x x − (điều phải chứng minh) x +2 ) ( ( ( x −2 )( ) ) K = Q ( P − 1) 3) Với x ∈ ¢ , tìm giá trị lớn biểu thức x ≥ x ≠ x ≠ ĐKXĐ: ; ; K = Q ( P − 1) Ta có x − x −2 x −2 x x −2 x − x +2 = − 1÷ = x − = = x −3 x −2 x −3 x −2 x −3 x −2 ( 0 ≤ x < x≠4 +) Trường hợp 1: +) Trường hợp 2: Ta có: x >9 ⇒ x ≥ 10 x ∈¢ x −3< ) ⇒ x −3 ⇒ 2 ≤ ⇒K≤ x −3 10 − 10 − ( 2) ⇒ K ≤ + 10 Từ ( ) ( ) ⇒ K ≤ + 10 với x ≥ ; x ≠ ; x ≠ Đẳng thức xảy x = 10 Vậy với x = 10 giá trị lớn K + 10 Câu 18 Cho hai biểu thức A= x +5 B= x − TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN x −1 x − − − x với x > 0; x ≠ x +3 22 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG a) Tính giá trị biểu thức A x = 16 b) Rút gọn biểu thức B A M= B đạt giá trị nhỏ c) Tìm giá trị x để biểu thức Lời giải x > 0; x ≠ Ta có: x = 16 (thỏa mãn ) a) Điều kiện: 16 + 21 A= = = 21 16 − x = 16 A Thay vào ta được: x = 16 Vậy giá trị A 21 x −1 x − − − x với x > 0; x ≠ x + b) Rút gọn biểu thức x −1 x −3 x −1 x − = + B= − x +3 x +3 x −3 9−x x +3 ID1-10 x −4 x +3+7 x −3 x +3 x B= = x +3 x −3 x +3 x −3 B= ( ( B= x ( )( x +3 ) ) ( )( )( ) ) x x −3 A M= B đạt giá trị nhỏ c) Tìm giá trị x để biểu thức A x+5 x −3 x +5 M= = = = x+ B x −3 x x x với x > 0; x ≠ ( x +3 )( ) x −3 = >0 x > 0; x ≠ ⇒ x > x x > Với ta có: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho số dương x > x ta được: 5 x+ ≥ x ⇔ M ≥ ⇔ x= ⇔ x = 5(TM) x x x Dấu “=” xảy Vậy M = x = 1 x +1 A = + ÷: x − ( x − 1)2 (với x > 0;x ≠ ) x− x Câu 19 Cho biểu thức: a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị lớn biểu thức P = A − x Lời giải a) Rút gọn biểu thức 1 x +1 1 ( x − 1)2 A = + = + ÷ ÷: x − ( x − 1)2 x( x − 1) x −1 ÷ x +1 x− x TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 23 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI A= x +1 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG ( x − 1) x( x − 1) x −1 = x +1 x b) Tìm giá trị lớn biểu thức P = A − x P = A −9 x = Đặt −9x + x − x x = t > ⇒ 9t2 + (P − 1)t + = ∆ ≥ t +t >0 a.c > t > Do nên phương trình có nghiệm khi: P ≤ −5 (P − 1)2 − 36 ≥ ⇔ 1− P ⇔ P ≥ ⇔ P ≤ −5 >0 P 0, x ≠ a) Rút gọn M b) Tìm giá trị x để M= c) Tìm giá trị lớn biểu thức P = M − x Lời giải a) Rút gọn M M= + ÷: x −1 x− x M= 1+ x x ( ) x −1 ( M= x +1 ( ) x −1 ) x −1 với x > 0, x ≠ x +1 = x −1 x b) Tìm giá trị x để M= với x > 0, x ≠ x −1 = ⇒ x −3 = x ⇔ x = x ⇔ x= ⇔x= (TM) ⇔ TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 24 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI Vậy để M= GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG x= c) Tìm giá trị lớn biểu thức P = M − x x −1 x − − 9x = 1− +9 x ÷ = −9 x = P = M −9 x x x x ⇒ >0 ⇒ x > x x > Vì Áp dụng BĐT Côsi cho hai số dương x x ta có: 1 +9 x ≥ x = 2.3 = x x ⇒ 1− + x ÷≤ − x ⇔ P ≤ −5 1 ⇔ =9 x ⇔x= x ⇒ 9x = (TM) Dấu “=” xảy ⇔x= Vậy Max P = −5 x 1− x x + P = 1 − − − 1÷ ÷: ÷ − 9x x ≠ x + 3 x + với x ≥ Câu 21 Cho biểu thức ( ) a) Rút gọn biểu thức P b) Tính x P = x c) Tìm giá trị nhỏ P x> Lời giải a) Với x ≥ x≠ , ta có: x 1− x P = 1 − − x + 1 − 9x TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN x +4 − 1÷ ÷: ÷ 3 x + ( ) 25 ID1-10 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI x 1− x = 1 − + x +1 x +1 x −1 ( = = = (3 )( )( ) ) ( ( ) ( )( ) ( ) ( x + x −1 ( ) ÷ ) ÷ 3 x +1 ÷: x + − ÷ 3 x +1 3 x +1 x + x −1 − x x −1 + − x (3 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG ) :9 ) x + 4−9 x −3 ( ) 3 x +1 9x − − 6x + x + − x 3 x + x +1 x −1 ( (3 )( ) 3x )( ) x +1 x −1 b) Với x ≥ x≠ P= x ⇔ ( ) 3 x + = 9x x −1 , ta có: ( ) 9x = x ⇒ 9x = 3x − x ⇔ 6x + x = ⇔ x x + = x −1 x = x =0 ⇔ ⇔ x = −1 ( Loai ) 6 x + = Vậy x = giá trị cần tìm c) Khi x> 1 9x > 0;3 x − > −1 > ⇒ P > 9 , ta có: P= 9x ⇔ 3P x − P = 9x ⇔ 9x − 3P x + P = x −1 Đặt t = x ≥ , ta có 9t − 3Pt + P = ∆ = ( −3P ) − 4.9.P = 9P − 36P = 9P ( P − ) Để phương trình có nghiệm P > 0⇒ P−4≥ ⇔ P ≥ ∆ ≥ ⇔ 9P ( P − ) ≥ mà Vậy giá trị nhỏ P t= − ( −3P ) P 9x ⇔ x= ⇔ x= ⇔ 18x − x = 9x ⇔ 9x − x = 2.9 6 x −1 ( ) x =0 x = ( Loai ) ⇔ ⇔ x=2 x = (tm) ⇔3 x x −2 =0 ( ) Vậy MinP = x= TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 26 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG x −3 x + 16 B= + x − − x với x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ x + Câu 22 Cho hai biểu thức: 1) Tính giá trị biểu thức A x = 25 A= x −3 x +2 B= 2) Chứng minh: 3) Với x số tự nhiên thỏa mãn x > , tìm giá trị lớn biểu thức P= B A Lời giải 1) Ta có: A= x −3 x +6 ĐKXĐ: x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ Thay x = 25 (thỏa mãn ĐKXĐ) vào biểu thức A ta có: A= 25 − 5−3 = = 25 + 2.5 + 13 Kết luận: Với x = 25 giá trị biểu thức A 13 2) Ta có: B= B= x + 16 + x −4 2− x x + 16 ( x −2 )( ( ( x − 2) ( ( x − 2) ( B= ( x − 2) ( B= x + 16 − Kết luận: 3) Ta có: P= = B= A ĐKXĐ: x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ ( B= x +2 ) − = x −2 ) = x + 16 − x + ) ( x − 2) ( x − 3) x −3 = x +2 x + 2) x +2 x +2 x −2 )( x − 10 x +2 x +2 = ) ( ) x −2 − x −5 x +6 x −2 )( x +2 ) x −3 x + với x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ x −3 x −3 : = x +2 x +6 x +3 ( x + 16 ) = 2( ) x +2 +2 x +2 ( x −3 x +3 x +2 x −3 = 2+ ) x +2 Với x số tự nhiên thỏa mãn x > mà x ≠ ⇒ x ≥ Với x ≥5⇒ x ≥ ⇒ 2 ≤ −4⇒ 2+ ≤ −2 x +2 x +2 hay P ≤ − Kết luận: MaxP = − ⇔ x = (thỏa mãn) TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 27 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Câu 23 Cho hai biểu thức x x x x +2 B= + ÷: x −3 x −3 + x x− x −6 với x > 0, x ≠ a) Tính giá trị biểu thức A x = 36 A= b) Rút gọn biểu thức B c) Với x ∈ Z , tìm giá trị lớn biểu thức P = A.B Lời giải Với x > 0, x ≠ hai biểu thức A, B xác định a) x = 36 thoả mãn x > 0, x ≠ ta thay vào A ta A= 36 + + = = + 36 + Vậy giá trị biểu thức A x = 36 b) Rút gọn biểu thức B x x x B= + ÷: x −3 x −3 x − x −6 x x ÷ x = + : x −3 x −3÷ x −3 x +2 x x +2 x = + x −3 x +2 x −3 x +2 ( ( = = ( )( ( ) )( x 4+ x x −3 )( ) x +2 ) ( ) ( )( ) ) x ÷: ÷ x −3 x −3 x x +4 x +2 c) Với x ∈ Z , tìm giá trị lớn biểu thức P = A.B x +2 x +4 x +4 = = 1+ 1+ x x + x +1 x +1 Vì x > , x ∈ Z nên x ≥ ⇒ x + ≥ 3 ≤ ⇒ P ≤ 1+ = 2 suy x + Dấu “=” xảy x = Vậy GTLN P x = P = A.B = Câu 24 Cho biểu thức: TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 28 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG 25 x + x −1 x x −6 x − + B= x − 36 6− x x + x − với x ≥ 0; x ≠ 1; x ≠ 36 a) Tính giá trị biểu thức B x = 16 A= b) Rút gọn biểu thức A c) Đặt T = A.B Tìm giá trị nhỏ biểu thức T Lời giải a) Tính giá trị biểu thức B x = 16 Thay x = 16 (thoả mãn đkxđ) vào b) Rút gọn biểu thức A A= A= A= A= B= 25 x + x −1 x − + x − 36 6− x x +6 ( ( x + 6) ( x − 6) ( 25 x + + )( x − 6) ( x −1 x −6 x 16 − 16 −8 B= = x − ta được: 16 − )+ x + 6) ( x +6 x ( x −6 )( x −6 ) x +6 ) 25 x + + x + x − + 2x − 12 x ( ( x +6 3x + 18 x x +6 )( x −6 )( = x −6 ) ( ) x ( x +6 )( x +6 ) x −6 ) = c) Đặt T = A.B Tìm giá trị nhỏ biểu thức T Với x ≥ 0; x ≠ 1; x ≠ 36 ta có: x x −6 ( ) x x −6 x x −6 x x T = A.B = = = x −6 x −1 x −6 x −1 x = 3x ⇔ ≥0⇔ x −1 x > T xác định mà T ≥ T = ⇔ x = nên TMin = Vậy TMin = ⇔ x = 3x x −1 x x − 2x − x − x+7 B= + − x −9 x + x − x Câu 25 Cho biểu thức: với x > 0; x ≠ 1) Tính giá trị biểu thức A x = 1, 44 A= 2) Rút gọn biểu thức B 3) Tìm giá trị nhỏ biểu thức S= +A B Lời giải a) Thay x = 1, 44 (tmđk) vào biểu thức A ta được: TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 29 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI A= 1, 44 + 8, 44 211 = = 1, 30 1, 44 A= Vậy x = 1, 44 b) ĐKXĐ: x > 0; x ≠ x B= B= 211 30 x x − 2x − x − + − x −9 x +3 x −3 B= B= GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG ( ) ( ( )( x + 3) ( x − + x −1 ) x + − 2x + x + x −3 ) x − x + 2x + x − x − − 2x + x + ( x ( ( x +3 x +3 )( x +3 ) x −3 )( x −3 ) ) x x −3 B= c) ĐKXĐ: x > 0; x ≠ S= x −3 x +7 x + x +4 + = = x+ +1 x x x x +A = B x > 0; Vì ta được: x+ >0 x nên áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ≥2 x x x x , x ⇒ x+ ≥ 2.2 x ⇒ x+ ≥4 x ⇔ x+ +1 ≥ x x= ⇒x=4 x (thỏa mãn) Dấu "=" xảy Vậy GTNN S đạt x = TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 30 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG x −2 x x −2 x +1 B= − − x + x + x −2 x−2 x x với x > 0; x ≠ Câu 26 Cho biểu thức 1) Tính giá trị biểu thức A x = A= 2) Rút gọn biểu thức B 3) Tìm giá trị lớn biểu thức M= 6A B Lời giải 1) Khi x = ⇒ x = thỏa mãn điều kiện.Thay vào biểu thức A ta được: A= 3−2 1 = A= + + 13 Vậy x = 13 2) Với x > 0; x ≠ ta có: = x x −2 x +1 − − x −2 x−2 x x B= x x −2 x +1 − − x −2 x x x −2 ( x x = x ( x −2 ) ) x −2 − ( x x −2 ) − ( )( x +1 x ( x −2 x −2 ) ) ) ( x + 1) ( x − ) = 2x − x + − x + x ( x − 2) x ( x − 2) ( x − 2) = x − x−4 x +4 = = x x ( x − 2) x ( x − 2) = ( 2x − x − − x +2 Vậy 3) Ta có: M= B= x −2 x với x > 0; x ≠ ( ) ( ) 6A x − x −2 x −2 x x = : = = B x + x +1 x x + x +1 x − x + x +1 1 x > ⇒ x > 0; >0 x+ +1 x x Áp dụng bất đẳng thức Cô si với số dương ta được: ⇒M= x+ ≥2 x Dấu "=: xảy x 1 =2⇒ x + +1 ≥ ⇔ x x x= ≤2 x+ +1 x hay M ≤ ⇒ x =1 x ( thỏa mãn đk) TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 31 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Vậy Max M = ⇔ x = TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 32 PHONE: 0983.265.289 ... Vậy 2) Rút gọn biểu thức P 2+ x x 4x + x − A= + − ( x > 0; x ≠ ) x? ?4 2− x 2+ x A= 2+ x x 4x + x − + + 4? ??x 2− x 2+ x (2+ x) A= A= A= + ( x − x ) + 4x + x ? ?4 4−x 2− x 2+ x + x + x + x − x + 4x +... YÊN PHONG – Ý YÊN 29 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI A= 1, 44 + 8, 44 211 = = 1, 30 1, 44 A= Vậy x = 1, 44 b) ĐKXĐ: x > 0; x ≠ x B= B= 211 30 x x − 2x − x − + − x −9 x +3 x −3... x = 64 ĐKXĐ: x ≥ ; x ≠ ; x ≠ Thay x = 64 (thỏa mãn điều kiện xác định) vào biểu thức Q ta 64 − = 64 − Q= Q= Vậy x = 64 x P= x −2 2) Chứng minh Điều kiện: x ≥ ; x ≠ ; x ≠ x 1 P= + + x? ?4 x −2