phuong trinh bac hai mot an

KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Phương trình bậc hai một ẩn hay còn gọi là phương trình bậc hai làphương trình có dạng: ax2bx c 0 a0 trong đó a b c, , là những số thựccho trước được gọi là hệ s

Bài 3 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

 Phương trình bậc hai một ẩn (hay còn gọi là phương trình bậc hai) là

phương trình có dạng: ax2bx c 0 (a0) trong đó a b c, , là những số thực

cho trước được gọi là hệ số, x là ẩn số.

 Chú ý: Giải phương trình bậc hai một ẩn là đi tìm tập nghiệm của phương

trình bậc hai một ẩn đó

B CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1: Nhận dạng và tìm hệ số của phương trình bậc hai một ẩn

 Đưa phương trình đã cho về dạng  ax2+bx c+ = , từ đó đưa ra kết luận về dạng0phương trình và các hệ số

 Lưu ý: Phương trình bậc hai có hệ số a khác 0.

Ví dụ 1. Đưa các phương trình sau về dạng ax2bx c 0 và chỉ rõ các hệ số a b c, ,

a) 3 x2 0.  ĐS:  x2 3 0, với a1,b0,c3. .b) x2 x3x1 ĐS: x2 4x1 0 , với a1,b4,c1

c) 3x2 4x 2x  2 ĐS: 3x2 4 2x 2 0

, với a3,b 4 2,c2.d) (x1)2 3(x1).  ĐS: x2 5x 2 0 , với a1,b5,c2

Ví dụ 2. Đưa các phương trình sau về dạng ax2bx c 0 và chỉ rõ các hệ số a b c, ,

a) 3x x 2 0.  ĐS:  x23x0, với a1,b3,c0.b) x2  3x2x 3.  ĐS: x2 5x 3 0, với a1,b5,c3

c) 3x2 4x 2x2  2.  ĐS: 3 2x2 4x 2 0

, với a 3 2,b4,c2

Ví dụ 3. Phương trình nào sau dây đưa được về phương trình bậc 2? Xác định hệ số  a  của phương trình đó ( m  là hằng số)

b) 1 mx m  2 ĐS: Không đưa được về phương trình bậc 2. 

c) m x2 2 4mx 2x2  1 ĐS: m2 2x2 4mx 1 0, a m 2 2

.  

Dạng 2: Sử dụng các phép biến đổi, giải phương trình bậc hai một ẩn cho trước

 Cách 1: Đưa phương trình đã cho về dạng tích

 Cách 2: Đưa phương trình đã cho về phương trình mà vế trái của phương trình đó là bìnhphương, còn vế phải là một hằng số

Ví dụ 5. Giải các phương trình sau:

20;

12

x  

Bài 4. Với giá nào của  m  thì phương trình sau có nghiệm là 1

a) 4x2 25m2 0.  ĐS:  

25

a) Biến đổi PT 3 x2 0 thành x2 3 0, với a1,b0,c3

b) Biến đổi PT x2 x3x1 thành x2 4x1 0 , với a1,b4,c1

c) Biến đổi PT 3x2 4x 2x thành 2 3x2 4 2x 2 0

, với

d) Biến đổi PT (x1)2 3(x1) thành x2 5x 2 0 , với a1,b5,c2

Ví dụ 2 Đưa các phương trình sau về dạng ax2bx c 0 và chỉ rõ các hệ số, ,

a b c

a) 3x x 2 0 b) x2 3x2x 3

c) 3x2 4x 2x2 2 d) (x1)2 2(x1)

Lời giải.

a) Biến đổi PT 3x x 2 0 thành x23x0, với a1,b3,c0

b) Biến đổi PT x2 3x2x 3 thành x2 5x 3 0, với a1,b5,c3

c) Biến đổi PT 3x2 4x 2x2  2 thành 3 2x2 4x 2 0

, với

d) Biến đổi PT (x1)2 2(x1) thành x  2 3 0, với a1,b0,c3

Ví dụ 3 Phương trình nào sau dây đưa được về phương trình bậc 2? Xác

d) m x( 1)2 mx2 không đưa được về phương trình bậc 1 2

Ví dụ 4 Phương trình nào sau dây đưa được về phương trình bậc 2? Xác

d) m x( 1)2 x(1mx) không đưa được về phương trình bậc 2

Ví dụ 5 Giải các phương trình sau:

a) x2 2x0 b) 3x2 2x

c) 3x2 12 0 d) x2 3x 2 0

a) Biến đổi x2 3x0 thành x x ( 3) 0 , từ đó tìm được x0;x3.

b) Biến đổi x2  2x thành x x ( 2) 0 , từ đó tìm được x0;x 2

c) Biến đổi x 2 2 0 thành (x 2)(x 2) 0 , từ đó tìm được x 2;x 2

d) Biến đổi x2 x 2 0 thành (x1)(x2) 0 , từ đó tìm được x1;x2

Ví dụ 7 Giải các phương trình sau:

c) Biến đổi 2x2 8x 5 0 ta được

c) 2x2 2x 5 0 d) x2 x 1 0

Lời giải.

a) Ta có PT

04

d) Biến đổi PT đã cho x2 3x 3 0 thành

  PT vô nghiệm Không tìm được m

Bài 5 Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì phương trình sau luôn có

nghiệm

a) x2 (m2)x2m 0 b) x2 2mx(m1) 0

Lời giải.

a) x2 (m2)x2m Có 0  (m 2)2     nên với mọi giá trị của m thì0,  m

phương trình sau luôn có nghiệm

b) x2 2mx(m1) 0 Có  (2m1)2 3 0,    nên với mọi giá trị của m thì m

phương trình sau luôn có nghiệm

HẾT Bài 4 CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

a) Trường hợp 1 Nếu   thì phương trình vô nghiệm.0

b) Trường hợp 2 Nếu   thì phương trình có nghiệm kép: 0 1 2 2

a) x2 3x 2 0.  ĐS: x11; x2  2

11; 

b) x2 5x 6 0.  ĐS: x11; x2  6

12

ìï ¹ïí

ï D >

ïî .

 Phương trình (*) có nghiệm kép khi và chỉ khi 

00

a

ìï ¹ïí

ï D =

ïî .

 Phương trình (*) có đúng một nghiệm khi và chỉ khi 

00

a b

ìï =ïí

94

m 

94

m 

Ví dụ 6. Cho phương trình mx2 2x 1 0 (m là tham s?). Tìm  m  để phương trình:

.c) x2 2 2x   2 0 ĐS:  x1 1; x2  2

d) x2 2x 4 0.  ĐS: PT vô nghiệm  Bài 2. Giải các phương trình sau

1 132

18

m 

18

HƯỚNG DẪN GIẢI

Ví dụ 1 Xác định các hệ số a b c, , ; tính biệt thức , từ đó áp dụng công thứcnghiệm để giải các phương trình sau:

2

    

b) Ta có   0 x1x2  2.

c) Biến đổi thành x2 3x     1 0,  1 0 PT vô nghiệm

d) Biến đổi thành x2 2 2x 2 0,   16 Từ đó tìm được x 1,2 2 2

Ví dụ 4 Giải các phương trình sau :

a) Có hai nghiệm phân biệt b) Có nghiệm kép

Lời giải.

Xét   9 4m

a) Phương trình có hai nghiệm phân biệt

00

b) Phương trình có nghiệm kép

00

4

m

   

a) Có hai nghiệm phân biệt b) Có nghiệm kép

Lời giải.

Xét   4 4m

a) Phương trình có hai nghiệm phân biệt

00

.1

m

x   

b) mx2 (2m1)x m  0

Với m   phương trình có 0 1 nghiệm x  0

Với m   0 4m 1

10

m

.1

m x

m

 



c) x2 2(x1) d) x2 3(x1) 0

Lời giải.

a)  13, từ đó tìm được 1,2

1 132

x  

b)  20, từ đó tìm được x  1,2 2 5

c)  12, từ đó tìm được x  1,2 1 3

d) Biến đổi thành x2 3x 3 0,    3 4 3 0  PT vô nghiệm

Bài 3 Cho phương trình mx2 x 2 0 (m là tham s?) Tìm m để phương trình:

a) Có hai nghiệm phân biệt b) Có nghiệm kép.

Lời giải.

Xét   1 8m

a) Phương trình có hai nghiệm phân biệt

00

b) Phương trình có nghiệm kép

00

.1

m

.1

m x

a) x2 (m2)x2m Có 0  (m 2)2     nên với mọi giá trị của m thì0,  m

phương trình sau luôn có nghiệm

b) x2 2mx(m1) 0 Có  (2m1)2 3 0,    nên với mọi giá trị của m thì m

phương trình sau luôn có nghiệm

HẾT

-Bài 5 CÔNG THỨC NGHIỆM THU GỌN

a) Trường hợp 1: Nếu   thì phương trình vô nghiệm. 0

b) Trường hợp 2: Nếu   thì phương trình có nghiệm kép 0 1 2 .

Chú ý: Ta thường sử dụng biệt thức  khi phương trình bậc hai đã cho với hệ

số b chẵn và có dạng b2b, khi đó các phép tính toán trong bài toán đơn giảnhơn

B CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1: Sử dụng công thức nghiệm thu gọn, giải phương trình bậc hai

 Bước 1: Xác định các hệ số a b c, ', .

 Bước 2: Sử dụng công thức nghiệm thu gọn để giải phương trình

Ví dụ 1. Xác định các hệ số  a , b ,  c , tính biệt thức , từ đó áp dụng công thức nghiệm thu gọn đểgiải các phương trình sau

11;3

 Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 

00

a

¢

ìï ¹ïïí

ï D >

ïïî .

 Phương trình có nghiệm kép khi và chỉ khi 

00

a

¢

ìï ¹ïïí

ï D =ïïî .

 Phương trình có đúng một nghiệm khi và chỉ khi 

00

a b

ìï =ïí

x    

.2

( 3) 4

51

x     

2

( 3) 7

3 751

a) x2 2 4 x x2 2 2 x 2 0 a  ,1 b  ,2 c  2    ( 2)2  1 ( 2) 6

1

( 2) 6

2 61

x     

2

( 2) 6

2 61

x    

2

( 2) 9

51

x    

.Vậy S   1;5 

b) x2  8x 3 x2 2 2x  3 0 a  ,1 b  2,c  3    ( 2)2   1 3 1 0.Vậyphương trình vô nghiệm

c) x2 2 3x2x21 x22 3x1 0 a  ,1 b  3,c  1   ( 3)2   1 ( 1) 4

1

( 3) 4

3 21

2

( 3) 4

3 21

.Vậy S   3 2;  3 2  

x x   

.Vậy S 2 5 

r

Ví dụ 5 [9D4K5]

Cho phương trình mx2 6x1 0 , ( m là tham số) Tìm m để phương trình

a) Có hai nghiệm phân biệt Đáp số 9 m0

a

m b

Cho phương trình mx2 4x1 0 , ( m là tham số) Tìm m để phương trình

a) Có hai nghiệm phân biệt Đáp số 4 m0

b) Có nghiệm kép Đáp sốm 4

c) Vô nghiệm Đáp sốm  9

d) Có đúng một nghiệm Đáp sốm 0

Lời giải.

a) Phương trình có hai nghiệm phân biệt

a

m b

x m

h) m  , phương trình có nghiệm duy nhất 0 x  2

x m

m

  



rKết luận

g)

9

2

m 

, phương trình vô nghiệm

h) m  , phương trình có nghiệm duy nhất 0

13

l) 2

m x

s) m   , phương trình vô nghiệm.1

Cho phuơng trình x2 2(m1)x m 2  , ( m là tham số) Tìm m để phương trình1 0

a) Có hai nghiệm phân biệt Đáp sốm 0

m x m

f) m  , phương trình vô nghiệm.1

g) m  , phương trình có nghiệm duy nhất 0

12

 Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng Nếu hai số có tổng bằng S và

tích bằng P thì hai số đó là nghiệm của phương trình X2 Sx P 0

B CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1: Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức đối xứng giữa các nghiệm

 Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm 

00

a

ìï ¹ïí

Ví dụ 5. Gọi x , 1 x  là hai nghiệm của phương trình 2 x2 2x1 0  Không giải phương trình hãytính giá trị của các biểu thức sau

Ví dụ 6. Gọi x , 1 x  là hai nghiệm của phương trình 2 x2 x 3 0  Không giải phương trình hãytính giá trị của các biểu thức sau





Ví dụ 20. Phân tích đa thức sau thành nhân tử

14( 1)

S P

S P

Bài 8. Cho phương trình x2 2(m2)x m 1 0  Tìm  m  để phương trình

m 

x x 

c) 3x2 x 3 0,  37, 1 2

13

, 1 2

52

x x 

d) x2 5x1 0,  29,x1x2  ,5 x x  1 2 1

Ví dụ 3 Không giải phương trình sau, tính tổng và tích các nghiệm phương

, 1 2

125

x x 

c) 4x2 7x 2 0 1 2

74

, 1 2

12

x x C

b) 3x27x10 0 a b c     3 7 ( 10) 0 nên phương trình có nghiệm x  ,1 12

a) x23x 4 0 a b c     1 3 ( 4) 0 nên phương trình có nghiêm x  ,1 1 x  2 4

b) 2x27x 5 0.a b c   1 7 5 0  nên phương trình có nghiêm x  ,1 1 2

52

Ví dụ 11 Cho phương trình x2 mx m 1 0 Chứng minh phương trình đã cho

luôn một nghiệm không phụ thuộc vào m Tìm nghiệm còn lại.

Lời giải.

Ta có a b c    1 ( m)m 1 0 nên phương trình có nghiệm x  ,1 1 x2   m 1

Ví dụ 12 Cho phương trình x2mx m  1 0 Chứng minh phương trình đã

cho luôn một nghiệm không phụ thuộc vào m Tìm nghiệm còn lại.

Lời giải.

Ta có a b c   1 m m   nên phương trình có nghiệm 1 0 x  ,1 1 x2 m 1

Ví dụ 13 Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau

u v

u v

u v

Ví dụ 18 Cho phương trình x2 4x 2 0 có hai nghiệm là x và 1 x Lập 2phương trình bậc hai có hai nghiệm là 1

x x x x  Vậy phương trình thỏa đề bài là

Ví dụ 21 Cho phương trình x2 2(m2)x m 1 0 Tìm m để phương trình

a) Có hai nghiệm trái dấu b) Có hai nghiệm phân biệt.

c) Có hai nghiệm phân biệt cùng dấu d) Có hai nghiệm dương phân biệt e) Có hai nghiệm âm phân biệt.

a) Phương trình có hai nghiệm trái dấu  P 0 m  1 0 m1.

b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt  

2

0 2m 3 11 0

       , đúng với

mọi m

c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu

(2 3) 11 0

1 00

m b

a

m c

m

m b

m a

m c

(Vô lý) Vậy không tồn tại m

Ví dụ 22 Cho phương trình x2 2mx m 1 0 Tìm m để phương trình

a) Có hai nghiệm trái dấu.

b) Có hai nghiệm phân biệt.

c) Có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.

d) Có hai nghiệm dương phân biệt.

e) Có hai nghiệm âm phân biệt.

a) Phương trình có hai nghiệm trái dấu  P  0 m  1 0 m  1

b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt   (2m1)2  , đúng với mọi m 3 0

c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu

d) Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt

e) Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt

Ví dụ 23 Cho phương trình x2 4x m 0 Tìm các giá trị của tham số m để

phương trình có hai nghiệm phân biệt x ,1 x thỏa mãn 2 2 2

Ví dụ 24 Cho phương trình x2  2x m 1 0 Tìm các giá trị của tham số m để

phương trình có hai nghiệm phân biệt x ,1 x thỏa mãn 2 2 2

Bài 1 Không giải các phương trình, tính tổng và tích các nghiệm phương trình

, 1 2

1.3

a) A3(x1x2)x x1 2 b) B x 12x22

c) C(x1 x2)2 d)

2 1

1 2

x x D

d) x2 2x15 0 Ta có   ( 2)2 4 15 56 0 nên phương trình vô nghiệm.

Bài 4 Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau

u v

u v

u v

u v

Bài 8 Cho phương trình x2 2(m2)x m 1 0 Tìm m để phương trình

a) Có hai nghiệm phân biệt b) Có hai nghiệm phân biệt trái dấu c) Có hai nghiệm phân biệt cùng dấu d) Có hai nghiệm dương phân biệt e) Có hai nghiệm âm phân biệt.

c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu

Bài 9 Cho phương trình x2 2(m1)x m  2 0. Tìm m để phương trình

a) Có nghiệm.

b) Có một nghiệm bằng 2 Tìm nghiệm còn lại

c) Có hai nghiệm phân biệt x ,1 x thỏa mãn 2 2 2

  nên phương trình luôn có

nghiệm với mọi m

m 

HẾT

-Tài liệu được chia sẻ bởi Website VnTeach.Com

https://www.vnteach.com