CHƯƠNG 7 Hàm Số y=a x2(a≠ 0) PHƯƠNG TRÌNH TRINH BẬC HAI MỘT ẨN.BÀI 1: ĐỒ THỊ HÀM SỐ y=a2(a≠ 0).
+ Lấy điểm A (1; a) và điểm đối xứng với A qua Oy là A′(−1; a)
+ Lấy điểm B (2;4a ) và điểm đối xứng với B qua Oy là ′(−2;4a ) - Hàm số y=ax2(a≠ 0)
+ Khi a > 0 Hàm số đồng biến khi x > 0 và nghịch biến khi x < 0 + Khi a < 0 Hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0
a, Khi x<0 khi hàm số đồng biến hay nghịch biếnb, Lập bảng giá trị rồi vẽ đồ thị của hàm số
Bài 5: Trong mặt phằng tọa độ Oxy, cho Parabol (P): y=1
2.a, Va Parabol (P).
b, Hai điểm A và B thuộc (P) có hoành độ lần lượt là 2;−1 Viết phương trinh đường thẳng đi qua hai điểm A và B.
a, Tìm k để đường thẳng (d): y=kx+2 tiếp xúc vói (P).
b, Chứng minh điểm E(m ;m2+1) không thuộc (P) vói mọi giả trị của m.Bài 10: Cho hàm số y=a x2.
a, Xác định a biết rằng đồ thị của nó đi qua điểm A(3;3).
Trang 3b, Tìm giả trị của m ,n để các điểm B(2;m) và C (n;1) thuộc đồ thị của hàm số trên.
DẠNG 2 VẼ ĐỒ THỊ VÀ XÁC ĐỊNH TOẠ ĐỘ GIAO ĐIỂM
Bài 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho Parabol (P) : y=1/2 x2
a, Ve Parabol và đường thẳng trèn củng một mặt phẳng tọa độ.b, Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính.
Bài 2: Cho Parabol (P): y=x2 và đường thẳng (d): y=2x+8.Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính.
Bài 3: Cho hàm số y=3 x2 có đồ thị (P) và đường thẳng (d): y=2x+1.Tìm tọa độ giao điếm của (P) và (d) bằng phép tính.
Bài 4: Cho Parabol (P): y=−x22 và đường thằng (d): y=−x−4.
a,Vẽ (P) và (d) trên củng một mặt phằng tọa độ.
b, Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính.Bài 5: Cho hàm số y=2x2 có đồ thị (P).
a, Vã đồ thị hàm số.
b, Tìm tọa độ giao điểm (P) và đường thẳng (d) có phương trình y=5 x−3 bằng phép tính.Bài 6: Cho Parabol (P): y=x2 và đường thẳng (d): y=x+2.
a,Vẽ (P) và (d) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
b, Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính.Bài 7: Cho hàm số y= x2
2 có đồ thị (P) và đương thẳng (d): y=−x+4.a, Vẽ (P),(d) trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy.
b, Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính.Bài 8: Cho hàm số y= x2
2 có đồ thị là (P) và đường thằng (d): y=− x2 +3.a, Vẽ (P),(d) trền cùng một hẹ trục tọa độ.
b, Tìm tọa độ các giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính.Bài 9: Cho hàm số: y=1/2.x2 có đồ thị (P)
a, Vẽ đồ thị (P).
b, Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) : y=−12 x+1 bằng phép tỉnh.Bài 10: Cho hàm số y= 12x2
.a, Vã đồ thị hàm số.
b, Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số với đường thằng y=x−12 bằng phép tính.Bài 11: Trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy.
Trang 4Bài 13: Cho Parabol (P): y=x2 và đường thằng (d): y=2x+3.
a,Và(P) và (d) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
b, Tìm tọa độ giao điểm nếu có của (P) và (d) bằng phép tính.
Bài 14: Trên mặt phằng tọa độ Oxy, Cho Parabol (P): y=−8 x2 và đường thẳng (d): y=−2 x−6.a, Điểm T (−2;−2) có thuộc đương thẳng (d) không?
b, Xác định tọa độ giao điểm của đường thằng (d) và (P).Bài 15: Cho Parabol (P): y=2x2 và đường thẳng (d): y=3 x+2.a, Vã đồ thị (P) trên hệ tọa độ Oxy.
b, Tìm tọa đọ̀ giao điểm của (P) và (d) bằng phép tinh.
Bài 16: Cho Parabol (P): y=−2x2 và đường thẳng (d): y=x−3.a, Vẽ (d) và (P) trèn củng một hệ trục tọa độ Oxy.
b, Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P) bằng phép toán.
c, Viết phương trình đường thằng (d1): y=ax+b sao cho (d1)/¿(d) và đi qua điểm A(−1;−2)
Bài 17: Cho hàm số y= 1
có đồ thị (P).a, Vẽ đồ thị (P) trèn mặt phẳng tọa độ Oxy.
b, Tìm hoành độ của điểm M thuộc (P) biết M có tung độ 25 Bài 18 :
b, Tìm các điểm thuộc đồ thị (P) sao cho tung độ gấp ba lần hoành độ.Bài 20:
a, Và Parabol (P): y=2x2.
b, Viết phương trình đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt A và B có hoành độ lần lượt là -1 và 2
DẠNG 3 TÍNH MIỀN DIỆN TÍCH TẠO BỞI PARABOL VÀ ĐƯỜNG THẲNG.
Bài 1: Cho Parabol (P): y=−x2 và hàm số (d): y=x−2.
Gọi A và B là giao điểm của (d) với (P) Tỉnh diện tích △ ABO.Bài 2: Cho Parabol (P): y=x2 và đường thẳng (d): y=−2 x+3.a, Vẽ đồ thị của hai hàm số trèn cùng một hệ trục tọa độ.
b, Tìm tọa độ giao điểm A ,B của đường thằng (d) và Parabol (P) Tính diện tích △ AOB.Bài 3: Cho Parabol (P) : y=x2 và đường thẳng (d): y=3 x−2, biết (d) cắt (P) tại hai điểm A và
B với A là điếm có hoành độ nhỏ hơn.a, Tìm tọa độ điểm A và B.
b, Tỉnh diện tích △OAB với O là gốc tọa độ.Bài 4: Cho Parabol (P): y=a x2 với a là tham số.a, Xác định a để (P) đi qua điểm A(−1;1).
b,Vẽ đồ thị hàm số y=a x2 với a vừa tìm được ở câu a.
Trang 5c, Cho đường thẳng (d): y=2x+3 Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P) với hệ số a tìm được.
d, Tính diện tích △ ABO với A ,B là giao điểm của (d) với (P).Bài 5: Cho Parabol (P): y=x2 và hàm số (d): y=x+2.
a, Xác định tọa độ giao điểm A và B của (P) và (d).
b, Tính diện tích OAB với O là gốc tọa độ.
BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
a Nếu Δ'<0 thì PT vô nghiẹ̀m.
2, BÀI TẬP VẬN DỤNG.
DẠNG 1 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẠC HAI CƠ BẢN.Bài 1: Giải phương trình:
a, 2 x2−3x−2=0.b, x2−x+12=0.c, 4 x2−12 x+9=0
Bài 2: Giải phương trình:a, x2−6 x+5=0.
b, 2 x2−7 x+6=0.c, x2−3 x−7=0
Bài 3: Giải phương trình:a, 3 x2−5 x+2=0.
b, x2−x−20=0.c, 2 x2−7 x+3=0
Bài 4: Giải phương trình:a, x2+2 x−3=0.
b, x2−8 x−9=0.c, 2 x2−5x+7=0
Bài 5: Giải phương trình:a, x2−3 x+2=0.
Trang 6b, x2−8 x−9=0.c, x2−5 x+6=0
Bài 6: Giải phương trình:a, 2 x2+x−15=0.
b, x2−x−2=0.c, 5 x2+2√10x+2=0
Bài 7: Giải phương trình:a, 2 x2+7 x−4=0.
b, x2+6 x−5=0.c, 2 x2−5x+2=0
Bài 8: Giải phương trình:a, 2 x2−3x−3=0.
b, 3 x2−14 x+8=0.c, 3 x2−26 x+48=0
DẠNG 2 GIẢl PHƯONG TRÌNH CHÍNH PHƯONG.Bài 1: Giải phương trình:
a, 4 x4−5 x2−9=0.b, x4+3 x2−4=0.c, x4+2 x2−8=0
Bài 2: Giải phương trình:a, x4+3 x2−28=0.
b, 3 x4−12 x2+9=0.c, x4−5x2−36=0
Bài 3: Giải phương trình:a, x4−6 x2−7=0.
b, x4−5x2+4=0.c, x4+3 x2−4=0
Bài 4: Giải phương trình:a, x4−20x2+4=0.
b, 3 x4−x2−10=0.c, 5 x4+13 x2−6=0
Bài 5: Giải phương trình:a, x4−3x2−4=0.
b, x4−2x2+1=0.c, x4+2 x2−15=0
Bài 6: Giải phương trình:a, x4−10x2+9=0.
b, x4−2x2+1=0.c, x4+7 x2−18=0
Bài 7: Giải phương trình:
Trang 7a, x4−9 x2+20=0.b, 4 x4−5 x2−9=0.c, x4+x2−6=0
Bài 8: Giải phương trình:a, 4x4+7x2-2=0
b, x4-4x2-5=0
DẠNG 3 PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI.
Bài 1: Giải phương trình:a, 5 x2+2 x=0.
b, x2−2 x=0.
Bài 2: Giải phương trình:a, 2 x2=6 x.
b, x2+7x=0.
DẠNG 4 GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PT THEO THAM SÓ.
Bài 1: Tìm m để phương trình x2−2(m+1)x+m2+3m−7=0 vồ nghiệm.Bài 2: Cho phương trình x2−mx−2m2+3m−2=0 vơi m là tham số.
Chưng minh rằng phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.Bài 3: Cho Parabol (P): y=x2 và đường thẳng (d): y=2x+m−2.
a, vẽ (P).
b, Tìm tất cả các giá trị của tham số m để (d) và (P) có điểm chung duy nhất.Bài 4: Cho Parabol (P): y=−x2.
a, Điểm M (−2 ;−4) có thuộc (P) không?
b, Tìm m để đổ thị hàm số (d): y=(m+1)x−m2+1 tiếp xúc với (P).Bài 5: Cho Parabol (P): y=−x2 vả đường thẳng (d): y=x−2.
a,Ve(d) và (P) trèn cùng một mặt phằng tọa độ.
b, Viết phương trình đường thẳng (d')/¿(d) và tiếp xúc với (P).
Bài 6: Trong hệ tọa độ Oxy, cho Parabol (P): y=a x2,(a≠0) và đường thẳng y=6x+b.
a, Tìm giá trị của b để đường thẳng (d) đi qua điểm M (0;9).b, Với b vứa tim được, tim giả trị của a để (d) tiếp xúc vơi (P).Bài 7: Cho hàm số có đồ thị là Parabol (P): y=0,25 x2.
a, Vã đồ thị của hàm số (P).
b, Qua điểm A(0;1) vẽ đương thằng song song với trục hoảnh Ox cắt (P) tại hai điểm E và F Viết tọa độ của E và F.
Bài 8: Cho hai hàm số (P): y=x2 và (d) : y=−x+2.
a,V đồ thị của (P),(d) trèn củng một mặt phẳng tọa độ.b, Xác định tọa độ giao điểm của (P) và (d).
c, Xác định m để đường thẳng (d'): y=mx−4 tiếp xúc vơii (P).Bài 9: Cho phưong trinh a x2−2(a−1)x+(a+1)=0 vói a là tham số.a, Giai phương trình vơi a=−2.
b, Tìm a đế phương trinh có hai nghiệm phân biệt.c, Tìm a đế phương trinh chi có 1 nghiẹ̀m duy nhắt.
Trang 8Bài 10: Cho phương trình m2x2−2(m+1)x+1=0 vơi m là tham số.a, Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm x=2.
b, Tìm giả trị nguyên nhò nhất của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.Bài 11: Cho phưoung trinh: m x2−2(m−1)x+2=0.
a, Xác định các hệ số Điều kiện đế phương trình là phương trình bậc hai.b, Giài phương trinh khi m=1.
c, Tìm m đế phương trình có nghiệm kép.
Bài 12: Cho phương trinh x2−2(m+1)x+m2−4=0 Tìm m đế phương trình có 2 nghiệm trái dấu.Bài 13: Cho hàm số y=−2x2 có đồ thị là (P).
a, vẽ (P) trên hệ tọa độ Oxy.
b, Tìm giá trị của m đế đường thẳng (d) : y=2x+5 m−3 cắt (P) tại hai điểm phãn biệt.Bài 14: Cho Parabol (P): y=x2 và đương thằng (d): y=−x+2.
a, vẽ đồ thị (P) và (d) trên cùng một mặt phằng tọa độ.b, Xác định tọa độ giao điểm của (P) và (d).
c, Xác định m để đường thẳng (d'): y=mx−4 tiếp xúc vơi (P).Bài 15: Cho Parabol (P): y=−x2.
a, Điểm M (−2 ;−4) có thuộc Parabol không? Vi sao?
b, Tìm M đế đồ thị hàm số (d): y=(m+1)x−m2+1 tiếp xúc với (P).
Bài 16: Cho Parabol (P) : y=x2 đường thẳng (d) : y=2x+1 trèn củng hệ trục tọa độ Oxy.a, Va (P) và (d).
b, Tìm tọa độ giao điếm của (d) và (P) bằng phép tính.
c, Tim phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P), biết đường thẳng đó song song với (d).Bài 17: Cho Parabol (P): y=2x2 và đường thẳng (d): y=4 x−2.
a, Tìm tọa độ tiếp điếm cùa (d) và (P).
b, Viết phương trình đường thẳng (d') có hệ số góc m và đi qua điểm A(1;2).Chưng minh (d') cẳt (P) tại hai điểm phân biệt vói mọi m≠ 4.
DẠNG 1 SỬ DỤNG VI- ÉT VÀ BIẾN ĐỔI HẰNG ĐẲNG THỨC.
Bài 1: Cho x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình: x2−2 x−1=0 Tỉnh giả trị của biếu thức
Trang 9b, Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x12+ x22=10.c, Tìm m đế phương trình có hai nghiệm dương.
Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P) : y=x2 và đường thẳng (d): y=−3 x−m+2.
a, Tìm m đế (d) cắt (P) tại hai điềm phân biệt.
b, Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 thóa mãn: x12+ x22=6.Bài 5: Cho phương trình x2−2(m+1)x+m2+2=0 với m là tham số.
a, Giai phương trinh đã cho khi m=1.
b, Tìm giá trị của m để phương trinh có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thóa mãn: x12+ x22=10.Bài 6: Cho phương trinh x2−(m+5) x+2m+6=0 vơi m là tham số.
a, Chứng minh rằng phương trinh luồn có hai nghiệm với mọi giá trị của m.b, Tìm m để phương trinh có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x12+ x22=35,
Bài 7: Cho Parabol (P): y=−x2 và đường thẳng (d): y=−mx+m−1 với m là tham số.
a, Tìm giá trị của m để đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và Bb, Gọi x1, x2 lần lượt là hoành độ của hai điểm A và B Tìm m thỏa mãn x12+ x22=17.Bài 8: Cho phương trình x2−2mx−1=0 vói m là tham số.
a, Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
b, Tìm m để phương trinh có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x12+ x22=18.Bài 9: Cho phương trinh: x2−(m−2)x−2m=0.
a, Chứng minh phương trình có nghiệm với mọi m.
b, Tìm m đế phương trình có 2 nghiệm x1, x2 sao cho x12+ x22=4.Bài 10: Cho phương trình x2−2(m+2)x+m+1=0.
a, Giải phương trình với m=−32
b, Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
c, Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình Tìm giá trị của m để x12+ x22=8.Bài 11: Cho phương trình x2−(2m−n) x+2m+3n−1=0 với m ,n là các tham số.a, Với n=0, Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.b, Tìm m ,n để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa màn x1+ x2=−1 và x12+ x22=13.Bài 12: Cho phương trình x2−mx−3=0.
a, Chứng minh phương trinh luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
b, Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình Tìm m để x12+ x22=5 m.Bài 13: Cho Parabol (P): y=x2 và đường thẳng (d): y=−4 x+m2−4m.a, Vởi m=1 Hãy tìm tọa độ giao điểm giữa (d) và (P).
b, Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 thóa mãn x12+ x22=20−6 m.Bài 14: Cho Parabol (P): y=x2 và đường thẳng (d): y=(m+1)x−m.
a, Tim tọa độ giao điểm của (d) và (P) khi m=2.
b, Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 thỏa mãn x12+4 x22=5.Bài 15: Cho phương trình x2−2(m−1) x+m2−3m+3=0.
a, Giải phương trình vói m=3.
b, Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x12+ x22=3(x1+x2)−2.
Trang 10Bài 16: Cho phương trình x2+mx−1=0
a, Giải phương trình vơi m=2.
b, Tìm m để phương trình có các nghiệm x1, x2 thỏa mãn x12+ x22=5x12−x22.
Bài 17: Cho phương trình 3 x2−6 x+2=0 có hai nghiệm x1, x2 Không giải phương trình Hãy tính giá trị của biểu thức A=x12+x22−x1x2.
Bài 18: Cho phương trình x2−mx−4=0.
a, Chứng minh rằng phương trinh luồn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m.b, Tìm các giá trị của m để x1x2−x12−x22=−13.
Bài 19: Cho phương trinh x2−2(m+1)x+4 m=0 vơi m là tham số.
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thờa mãn x12+ x22−(x1+x2)=4.Bài 20: Cho phương trình x2−4 x+m−1=0 với m là tham số.
a, Giài phưong trình vói m=4.
b, Tìm m để phương trinh có 2 nghiệm phân biệt thỏa màn: x1(x1+2)+x2(x2+2)=20.Bài 21: Cho phương trinh x2−mx−3=0 với m là tham số.
a, Già phương trình vói m=2.
b, Chứng minh rằng phương trinh luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.c, Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phường trình Tìm m để (x1+6)(x2+6)=2019.
Bài 22: Cho phương trinh x2−4 x+m=0 vơi m là tham số.
a, Biết phương trinh có 1 nghiệm bằng -1 Tinh nghiệm còn lại.
b, Xác định m để phương trinh có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: (3 x1+1)(3 x2+1)=4.Bài 23: Cho Parabol (P): y=−2x2 và đường thằng (d): y=x−m với m là tham số.a, Va Parabol (P).
b, Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 thỏa mãnđiều kiẹn: x1+ x2=x1⋅ x2.
Bài 24: Cho phurong trinh x2−2 mx+m2+2m−6=0.a, Tim m để phương trình có nghiệm.
b, Với x1, x2 là hai nghiẹm của phương trình Tính x1+ x2 và x1x2 theo m.c, Tim m đế x1x2=3 x1+3x2−1.
Bài 25: Cho phương trinh 2 x2−6 x+2 m−5=0 vơi m là tham số.a, Giài phurơng trinh với m=2.
b, Tìm m đề phương trinh oó 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn x11
Bài 28: Cho phương trình x2−2mx−4=0 với m là tham số.
a, Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phần biĉ̣̣t với moi m.b, Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn x12+ x22=−3x1x2.
Trang 11Bài 29: Cho Parabol (P): y=x2 và đường thằng (d): y=2(m−1)x+m2+2m với m là tham số.a, Xác định tất cả các giá trị của m để đường thẳng (d) đi qua điểm I (1;3).
b, Tìm m để Parabol (P) cắt đường thẳng (d) tại hai điểm A và B Gọi x1, x2 là hoành độ hai điểm A và B Tìm m sao cho x12+ x22+6 x1x2=2020.
Bài 30: Cho phương trình 2 x2+(2m−1) x+m−1=0 với m là tham số.a, Giải phương trình với m = 2
b, Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn 4x12 + 4x22+2x1x2=1Bài 31: Cho phưong trinh x2−2(m+1)x+m2=0.
a, Giai phưong trinh khi m=4.
b, Tìm m để phương trinh có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho x12+ x22=4√x1x2.Bài 32: Cho phương trinh x2−(m+1) x+m=0 vói m là tham số.
a, Chứng tỏ rằng phương trình trên luôn có nghiệm với mọi giá trị m.
b, Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trinh Tìm m đế phương trinh có hai nghiệm
x12+ x22=(x1−1)(x2−1)+2.
Bài 33: Không dùng công thức nghiệm để giài phương trinh: 3 x2+5 x−6=0.
a, Chứng minh rằng phương trinh có hai nghiệm phân biệt x1, x2.
b, Tính giá trị của biếu thức A=(x1−1)(x2−1)+x12+x22.
Bài 34: Cho phương trình x2−2(m−3) x+6m−27=0 với m là tham số.
a, Chứng minh rằng phương trinh luồn có nghiệm vơi mọi m.
b, Tìm giả trị của m để phương trinh có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x12x2+x22x1=0.
Bài 35: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thằng (d): y=mx−2m+3 và Parabol (P): y=x2.
a, Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 thỏa màn x12x2+x22−x1=5.
b, Tìm m nguyên nhỏ nhắt để (d) và (P) không có điểm chung.
Bài 36: Cho phương trinh: x2−2(m+1)+m2+2m−1=0 vơi m là tham số.a, Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phản biệt với mọi m.
b, Tìm m để phương trinh có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: x12x2+x1x22+3(x1+x2)=0
Bài 37: Cho Parabol (P): y=−x2 và đường thẳng (d): y=mx−2.
a, Chứng minh rằng với mọi giả trị của m thì (d) luồn cắt (P) tại hai điểm phân biết A và B.
b, Gọi x1, x2 lần lượt là các hoành độ của A và B Tìm m sao cho x12x2+x22x1+5 x1x2=4026.Bài 38: Cho phưong trinh x2−(m+5) x+3m+6=0 với m là tham số.
a, Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm với mọi m.
b, Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: x12x2+x1x22=54.Bài 39: Cho Parabol (P): y=x2 và đương thẳng (d): y=2−mx.
a, Chứng minh rằng (d) luồn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m.
b, Tìm m đế (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 thóa mãn: x12x2+x22x1=2020.Bài 40: Cho Parabol (P): y=x2 và đường thẳng (d): y=(m−1) x+m+4 vói m là tham số.a, Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m.
b, Gọi x1, x2 lần lượt là hoành độ giao điểm của (d) và (P) Tìm giá trị của m đế
Trang 12DẠNG 3 TÌM GTNN HOẶC GTLN CỦA BIẾU THỨC NGHIỆM.
Bài 1: Chứng minh rằng x2−(2m−1) x+2m−4=0 luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2.Tìm GTNN của biểu thức A=x12+x22.
Bài 2: Cho đường thẳng (d): y=(m−1) x−m+2 và Parabol (P): y= x22.a, Tìm điểm cố định mà (d) luôn đi qua với mọi m.
b, Tùm m để d cắt (P) tại hai điểm có hoành độ x1, x2 sao cho A=x12+x22 đạt GTLN.
Bài 3: Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m thi phương trình x2−(m−2)x−2m−1=0
luôn có hai nghiệm phàn biệt x1, x2 Tìm giá trị nhờ nhắt của biểu thức A=x12+x22.Bài 4: Cho Parabol (P) : y=x2 và đường thẳng (d): y=(2 m+1) x−2m với m là tham số.a, Khi m=1, xác định tọa độ giao điểm của (d) và (P).
b, Tìm m để (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm A(x1; y1),B(x2; y2) sao cho A=x12+x22−x1x2 đạt GTNN.
Bài 5: Cho phưong trình x2−2mx+m−2=0 với m là tham số.
a, Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
b, Tìm m sao cho biểu thức M=x12+x22−6 x1x2 đạt GTNN
Bài 6: Cho Parabol (P) : y=x2 và đường thẳng (d) : y=(2m+1) x−2m với m là tham số.A, Khi m=1 xác định tọa độ giao điếm của (d) và (P).
b, Tìm m để (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A(x1; y1) và B(x2; y2) sao cho biếu thức
a, Chứng minh (d ) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B khi m thay đổi.
b, Gọi x1, x2 lần lượt là hoành độ của A và B Tìm m để x12⋅ x2+x22⋅ x1 đạt giá trị nhỏ nhắt và tính giả trị đó.
Bài 9: Cho phương trình x2+(m+2)x+m−1=0 với m là tham số Chứng minh rằng phương trìnhluôn có nghiẹm với mọi m Tìm m để biểu thức A=x12+x22−3 x1x2 đạt GTNN
Bài 10: Cho phương trinh x2−2mx+m2−m+3=0 với m là tham số.a, Giai phương trinh với m=4.
b, Tìm m đế phương trinh có hai nghiệm x1, x2 và P=x1x2−x1−x2 đạt GTNNBài 11: Cho phương trinh x2−mx−3=0 với m là tham số.
a, Giài phurong trình khi m=2.
b, Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phãn biệt x1, x2 vơi mọi giá trị của m.c, Tìm GTLN của biếu thức A=2(x1+ x2)+5
x12+x22
DẠNG 4 TİM THAM SÓ ĐÊ THỎ A MÃN HẸ THỨC NGHIẸM.Bài 1: Cho Parabol (P): y=x2 và đường thẳng (d): y=mx+2.
a, Với m=−1, tim tọa độ giao điểm của (P) và (d).
b, Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 sao cho x1−2 x2=5.
Trang 13Bài 2: Cho phưong trình: x2−2(m−2) x+m−6=0.
a, Tìm m để phương trình có 1 nghiệm x=−1 và tìm nghiệm còn lại.
b, Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi giả trị của m và tim m để x1−x2=4.
Bài 3: Cho phưong trình x2−8 x+m+2=0.
a, Tìm m để phương trình có nghiệm kép, tìm nghiệm kép đó.
b, Tìm m đế phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1−2 x2=2.
Bài 4: Cho Parabol (P): y=2x2 và đường thẳng (d): y=3 x−m Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tai hai điểm phẩn biêt có hoảnh đồ x x2 sao cho x−2 x2=0.
Bài 5: Cho phương trình x2−x+3m−11=0 với m là tham số.
a, Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm kép.
b, Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho 2018 x1+2018 x2=2019.Bài 6: Cho phương trình x2−(2m−1) x+m2−2=0 vói m là tham số.
a, Giài phương trình vói m= 32.
b, Tìm giả trị của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thơa 2 x1+x2(2−x1)=3.Bài 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, Cho Parabol (P): y=x2 và đường thẳng
(d): y=2x+4m2−8 x+3 vơi m là tham số Tìm các giá trị của m đế (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A(x1; y1),B(x2; y2) thỏa mãn điều kiện y1+ y2=10.
Bài 8: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P): y=x2 và đường thẳng (d): y=x−m+3.a, Tìm tọa độ giao điếm của (d) và (P) khi m=1.
b, Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phàn biệt
c Với giá trị nảo của m thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt M(x1; y1),N(x2; y2) thỏa mãn
y1+ y2=3(x1+ x2).
Bài 9: Cho Parabol (P): y=x2 và đường thẳng (d): y=mx+3.
a, Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi gia trị của m.
b, Tìm tất cả các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có tọa độ (x1; y1) và (x2; y2) sao cho y1+ y2=11−4 x1−4 x2.
Bài 10: Cho Parabol (P): y=12 x2 và đường thẳng (d) : y=−x+m với m là tham số.
a, Tìm tọa độ giao điểm của Parabol (P) với đường thẳng (d) khi m=4.
b, Tìm tất cả các giá trị của tham số m đế (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A(x1; y1), B(x2; y2)
thỏa mãn: x1x2+ y1y2=5.
a, Giải phương trình khi m=−1.
b, Tìm m để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: x12+(m+4)x2=16.Bài 12: Cho phương trình: x2−2 mx+m2−m+1=0.
a, Giải phương trình khi m=1.
b, Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: x22+2m x1=9.Bài 13: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Cho Parabol (P): y=−x2.
a, Vẽ đồ thị (P).
b, Tìm giá trị của m để đường thẳng (d): y=2x−3m ( với m là tham số ) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 thỏa mãn x1x22+x2(3m−2 x1)=6.
Trang 14Bài 14: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y=6 x+m2−1 với m là tham số và Parabol (P): y=x2.
a, Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m
b, Gọi x1, x2 là hoành độ giao điểm của (d) và (P) Tìm m để x12−6 x2+ x1x2=48.Bài 15: Cho phương trình 4 x2+(m2+2m−15)x+¿ với m là tham số.
Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn hệ thức
x12+ x2+2019=0.
Bài 16: Cho phương trình x2−2mx+4 m−4=0 với m là tham số.
a, Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
b, Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn điều kiện
x12+2m x2−8m+5=0.
Bài 17: Cho phương trình x2−(m−2)x−6=0 với m là tham số.
a, Giải phương trình với m=0.
b, Chứng minh rằng với mọi giá trị của m phương trình có hai nghiệm phân biệt.
c, Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình Tim các giá trị cảu m để x22−x1x2+(m−2) x1=16.Bài 18: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P): y=x2 và đường thẳng (d): y=(m−1) x+4
với m là tham số.
a, Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P) khi m=−2.
b, Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m.
c, Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A(x1; y1),B(x2; y2) thỏa mãn: y1+ y2= y1⋅ y2.Bài 19: Cho hai hàm số y=x2(P) và y=−2x−m+3(d).
a, Tìm m để đường thẳng (d) đi qua điểm A nằm trên (P) có hoành độ bằng 2.
b, Tìm m để đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có tọa độ (x1; y1),(x2; y2) thỏa mãn:
y1+ y2−x12⋅ x22+4=0.
Bài 20: Cho đường thẳng (d): y=(m−1) x+m2+1 và Parabol (P): y=x2.
a, Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung.b, Gọi x1, x2 là hoành độ các giao điểm của (d) và (P) Tìm m để |x1|+|x2|=2√2.
Bài 21: Cho phương trình: x2−2(m+2)x−2m−5=0 với m là tham số.a, Giải phương trình khi m=√2.
b, Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: |x1|+|x2|=2.Bài 22: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P): y=12x2
và đường thẳng (d): y=2mx+4.a, Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m.
b, Gọi x1, x2 là hoành độ các giao điểm của (d) và (P) Tìm số dương m để |x1|+2⋅|x2|=8.Bài 23: Cho phương trình x2−4 x+m2−3=0.
a, Giải phương trình với m=0.
b, Tìm m để phương trình đã cho có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện √x1+√x2=2.
Bài 24: Cho phương trình x2−2mx−2m−1=0 với m là tham số Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt sao cho √x1+x2+√3+x1x2=2m+1.
Bài 25: Cho phương trình x2−2(m+1)x+2m+1=0.a, Giải phương trình khi m=2.
b, Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho x13+ x23=2019.
Trang 15Bài 26: Cho phương trình 2 x2−6 x+3m+1=0 với m là tham số Tìm các giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x13+ x23=9.
Bài 27: Tìm tất cả các giá trị cảu tham số m để phương trình x2−2 mx+m2−m+1=0 có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x23−2 ⋅ x13+6 m x1=19.
Bài 28: Cho phương trình x2+2x+m−1=0 với m là tham số.
a, Giải phương trình với m=1.
b, Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn
a, Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm có hoành độ x1, x2 sao cho |x1−x2|=5.b, Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm bên trái trục tung.
Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y=mx−m−2 với m là tham số và
(P): y=x2.
a, Với m=−2 tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P).
b, Tìm m để đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hành độ x1, x2 thỏa mãn:
Bài 3: Cho phương trình x2−2(m−1) x+m2−2m−3=0 với m là tham số.
a, Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.b, Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình Tìm các giá trị của m để x1+1=√x2.Bài 4: Cho phương trình x2+2(m−1)x−4m=0
a, Giải phương trình với m=2.
b, Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 và x1, x2 là hai số đối nhau.Bài 5: Cho phương trình x2+2(m−1)x+2m−5=0 với m là tham số.
a, Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m.b, Tìm m sao cho x1≤ 0≤ x2.
Bài 6: Cho Parabol (P): y=x2 và đường thẳng (d): y=(2m+1) x−m2−m+2 với m là tham số.a, Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) với m=3.
b, Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m.Gọi x1, x2 là hoảnh độ của hai giao điểm đó, Tìm m để −3<x1<x2<3.
Bài 7: Cho Parabol (P): y=x2 và đường thẳng (d): y=(2m+1) x+1−m2 với m là tham sốa, Tìm tọa độ các giao điểm của (P) và (d) khi m=1.
b, Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung.
c, Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có tung độ là y1, y2 thỏa mãn y1+ y2=9.Bài 8: Cho phương trình x2−2(m−2) x+2m−5 với m là tham số.
a, Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
b, Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình Tìm m để x1(1−x2)+x2(1−x1)<4.
Bài 9: Cho đường thẳng (d): y= y=−mx+m+1 và Parabol (P): y=x2 Tìm các giá trị của m để (d)
cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 sao cho x12+ x22<2.Bài 10: Cho phương trình x2+2(m−1)x+m2=0 với m là tham số.
Trang 16Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x12+ x22>28.Bài 11: Cho phương trình: x2−2(m−1) x−3−m=0 với m là tham số.
a, Chứng minh rằng với mọi m thì phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt x1, x2.b, Tìm m để x1, x2 thảo mãn: x1
Bài 13: Trên hệ trục tọa độ Oxy, cho Parabol (P): y=x2, Xác định m để đường thẳng
(d): y=2x−m+1 cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho tổng bình phương của các hoành độ giao điểm là 3.
Bài 14: Cho phương trình x2−2(m−1) x+m2−m−5=0 với m là tham số Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: x1
x1+ 103 =0.
Bài 15: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P): y=x2 và đường thẳng (d): y=2mx−2m+1
a, Với m=−1 hãy tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P).
b, Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt sao cho tổng các tung độ của hai giao điểm đó bằng 2.
BÀI 4 TOÁN THỰC TẾ1, LậP LUậN.
Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình:B1: Gọi ẩn và đặt ĐK thích hợp cho ẩn.
B2: Tìm mối quan hệ giữa các đại lượng đã biết với ẩn rồi tạo phương trình.B3: Giải phương trình rồi so sánh với kết quả với điều kiện ban đầu.
2, BÀI TẬP VậN DỤNG.
BÀI TOÁN CHUYỂN ĐỘNG THƯỜNG
Vận tốc v, quãng đường s, thời gian t : v= st.
Bài 1: Một ô tô tải khởi hành từ A đến B dài 270 km Sau đó 45 phút, một ô tô con cũng khởi hành từ A đến B trên cùng quãng đường Hai ô tô đến B cùng lúc Biết vận tốc ô tô tải nhỏ hơn vận tốc của ô tô con là 5 km/h Tính vận tốc của mỗi xe.
Trang 17cách Hà Nội 300 km Tìm vận tốc của mỗi xe, giả thiết rằng quãng đường sắt từ Huế tới Hà Nội là 645km.
Vận tốc Thời gian Quãng đườngXe đạp đoạn 1 x 30x30 km
Trang 18Xe đạp đoạn 2 x+2x+230 30 km
Bài 6: Một ô tô dự định đi từ A đến B cách nhau 120 km trong một thời gian định trước Sau khi đi được 1 giờ thì ô tô bị chặn bởi xe cứu hỏa 10 phút Do đó để đến B kịp lúc xe phải tăng tốc thêm 6 km/h Tính vận tốc lúc đầu của ô tô.
Vận tốc Thời gian Quãng đường
Ô tô đoạn 2 x+6120−xx+6120− x
Bài 7: Một xe máy đi từ A đến B trong một thời gian dự định Nếu vận tốc tăng thêm 20 km/h
thì đến B sớm hơn 1 giờ so với thời gian dự định Nếu vận tốc giảm đi 10 km/h thì đến B
muộn hơn 1 giờ so với dự định Tính quãng đường AB.HD:
Vận tốc Thời gian Quãng đường
Xe máy TH1 x+20y−1(x+20)( y−1)
Xe máy TH2 x−10y+1(x−10)( y+1)
Bài 8: Một xe khách và một xe du lịch khởi hành đồng thời từ A đến B Biết vận tốc của xe dulịch lớn hơn vận tốc của xe khách là 20 km/h Do đó xe du lịch đến B sớm hơn xe khách là 50phút Tính vận tốc của mỗi xe Biết quãng đường AB dài 100 km.
Bài 9: Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 40 km/h rồi đi tiếp từ B đến C với vận tốc 30 km/h.tổng thời gian ô tô đi từ A đến C là 4 h45 phút Biết quãng đường BC ngắn hơn quãng đường
AB là 15 km Tính các quãng đường AB và BC.
Bài 10: Hai ô tô vận tải khởi hành cùng lúc từ thành phố A đến thành phố B cánh nhau 120 km
Xe thứ nhất chạy nhanh hơn xe thứ hai 10 km/h nên đến B sớm hơn xe thứ hai là 1 giờ Tínhvận tốc của mỗi xe.
Bài 11: Hai ô tô cùng khởi hành từ A đến B dài 100 km Vận tốc ô tô thứ nhất nhanh hơn ô tôthứ hai là 10 km/h nên đến b trước ô tô thứ hai là 30 phút Tính vận tốc của mỗi ô tô.
Bài 12: Hai xe ô tô khởi hành cùng một lúc từ địa điểm A đến địa điểm B cách nhau 240 km.mỗi giờ xe thứ nhất chạy nhanh hơn xe thứ hai là 10 km/h nên đã đến sớm hơn xe thứ hai là48 phút Tính vận tốc của mỗi xe.
Bài 13: Một người đi ô tô từ A đến B cách nhau 90 km Khi đi từ B về A người đó tăng tốc độ
5 km/h so với lúc đi, vì vậy thời gian về ít hơn thời gian đi là 15 phút Tính tốc độ của ô tô lúcđi từ A đến B.
Trang 19Bài 14: Quãng đường AB dài 100 km Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc xác định Nhưng khiđi từ B về A người lái xe đã giảm vận tốc đi 10 km/h, nên thời gian đi ít hơn thời gian về là 30phút Tính vận tốc xe đi từ A về B.
Bài 15: Thầy Minh đi xe máy từ A đến B cách nhau 60 km với vận tốc không đổi Khi từ B trởvề A , Do trời mưa, Thầy Minh giảm vận tốc xe máy xuống 10 km/h so với lúc đi nên thời gianlúc về nhiều hơn thời gian lúc đi là 30 phút Hỏi lúc về thầy minh đi xe máy với vận tốc baonhiêu km/h.
Bài 16: Quãng đường AB dài 60 km Một người đi xe đạp từ A đến B với vận tốc và thời gianquy định Sau khi đi được nửa quãng đường người đó giảm vận tốc 5 km/h trên nửa quãngđường còn lại Vì vậy người đó đã đến B chậm hơn quy định 1 giờ Tính vận tốc và thời gianquy định của người đó.
Bài 17: Người thứ nhất đi từ A đến B dài 78 km Sau đó 1 giờ người thứ hai đi theo chiềungược lại từ B về A Hai người giặp nhau ở địa điểm C cách B một quãng đường 36 km Tínhvận tốc của mỗi người Biết rằng vận tốc của người thứ hai lớn hơn vận tốc của người thứnhất là 4 km và vận tốc của mỗi người không đổi trong suốt đoạn đường.
Bài 18: Một ô tô đi từ A đến B cách nhau 420 km với vận tốc dự định Khi đi được 120 km thìô tô tăng vận tốc thêm 15 km/h và đi hết quãng đường còn lại với vận tốc mới Tính vận tốcban đầu của ô tô, Biết thời gian đi hết quãng đường AB là 6 giờ.
Bài 19: Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 24 km với vận tốc trung bình dự định Khiđi từ B trở về A người đó tăng vận tốc trung bình thêm 4 km/h so với lúc đi nên thời gian về íthơn thời gian đi là 30 phút Tính vận tốc trung bình dự định của xe đạp khi đi từ A đến B.Bài 20: Hai địa điểm A và B cách nhau 84 km Một ô tô khởi hành đi từ A đến B với vận tốc không đổi Trên quãng đường từ B về A, vận tốc của ô tô tăng thêm 20 km/h Tính vận tốc ô tôđi từ A đến B biết rằng tổng thời gian cả đi lẫn về của ô tô là 3 giờ 30 phút.
Bài 21: Một ô tô đi từ A đến B cách nhau 90 km với vận tốc dự định Khi đi từ B trở về A, ô tôđi với vận tốc nhanh hơn vận tốc lúc đi là 5 km/h Do đó thời gian về ít hơn thời gian đi là 15 phút Tính vận tốc dự định của ô tô khi đi từ A đến B.
Bài 22: Một ô tô đi trên quãng đường dài 400 km Khi đi được 180 km thì ô tô tăng vận tốc so với lúc trước thêm 10 km/h và đi hết quãng đường còn lại Tính vận tốc lúc đầu của ô tô Biết thời gian đi hết cả quãng đường là 8 giờ.
Bài 23: Một xe khách và một xe du lịch khởi hành cùng một lúc từ A đến B Xe du lịch có vậntốc lớn hơn xe khách là 20 km/h Do đó nó đến B trước xe khách là 25 phút Tính vận tốc của mỗi xe biết quãng đường AB dài 100 km.
Bài 24: Có một vụ tai nạn ở vị trí B tại chân của một ngọn núi ( Chân núi có dạng đường tringtâm O bán kinh 3 cm ) và một trạm cứu hộ ở vị trí A ( Tham khảo hình vẽ) Do chưa biết đường nào để đến vị trí tai nạn nhanh nhất nên đội cứu hộ quyết định điều hai xe cứu thương cùng xuất phát ở trạm cứu hộ đến vị trí tai nạn thao hai con đường như sau:
Xe thứ nhất đi theo đường thẳng A đến B, do đường xấu nên vận tốc trung bình của xe là
Trang 20b, Nếu hai xe cứu thương xuất phát cùng lúc tại A thì xe nào đến vị trí tai nạn trước?
DẠNG 2 BÀI TOÁN VẬN TỔC XUÔI VÀ NGƯỢC DÒNG.
Vận tốc xuôi dòng bằng vận tốc thuyền + vận tốc nước.Vận tốc ngược dòng bằng vân tốc thuyền - vận tốc nước.
Bài 1: Một tàu tuần tra chạy ngược dòng 60 km, sau đó chạy xuôi dòng 48 km trên cùng một dòng sông có vận tốc dòng nước là 2 km/h Tính vận tốc của tàu tuần tra khi nước yên lặng, biết thời gian xuôi dòng ít hơn thời gia ngược dòng là 1 giờ.
Vận tốc Thời gian Quãng đườngNgược dòng x−2x−260 60 km
Xuôi dòng x+2x+248 48 km
Bài 2: Khoảng cách giữa hai bến sông từ A đến B là 48 km Một ca nô đi từ đến A đến bến B
rồi quay lại bến A Thời gian cả đi và về là 5 giờ Tính vận tốc của ca nô khi nước yên lặng,biết rằng vận tốc của dòng nước là 4 km/h.
Bài3: Lúc 6 h30 phút sáng, một ca nô xuôi dòn từ A đến B dài 48 km Khi đến B ca nô nghỉ 30phút sau đó ngược dòng từ B về đến A lúc 10 giờ 36 phút Tìm vận tốc riêng của ca nô Biếtvận tốc dòng nước là 3 km/h.
Bài 4: Một ca nô chạy trên một khúc sông, xuôi dòng 20km rồi người dòng 18 km hết 1 giờ 25phút Lần khác, ca nô đó đi xuôi dòng 15 km rồi ngược dòng 24 km thì hết 1 giờ 30 phút Tínhvận tốc riêng của ca nô và vận tốc của dòng nước, biết các vận tốc đó không đổi.
Bài 5: Một ca nô đi xuôi theo một khúc sông trong 3 giờ rồi đi ngược khúc sông đó trong 1giờ thì được 190 km Một lần khác cũng trên khúc sông này, ca nô đi xuôi dòng trong 2 giờ vàngược dòng trong 3 giờ thì được 227 km hãy tính vận tốc riêng của ca nô và vận tốc của dòngnước, Biết vận tốc riêng của ca nô và dòng nước hai lần là như nhau.
Bài 6: Hai ca nô cùng khởi hành từ hai bến A và B cách nhau 85 km đi ngược chiều nhau sau 1giờ 40 phút thì giặp nhau Tính vận tốc riêng của mỗi ca nô biết vận tốc riêng của ca nô đixuôi lớn hơn vận tốc riêng của ca nô đi ngược dòng là 9 km/h và vận tốc dòng nước là 3 km/h.Bài 7: Trên một khúc sông, một ca nô chạy suôi dòng 96 km, sau đó chạy ngược dòng 80 km
hết tất cả 8 giờ Lần khác ca nô đó chạy xuôi dòng 120 km sau đó chạy ngược dòng 60 km
cũng hết 8 giờ Tính vận tốc riêng của ca nô và vận tốc dòng nước ( Biết vận tốc ca nô và vậntốc dòng nước không thay đổi trong cả hai lần đi).
Bài 8: Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B dài 80 km trên một khúc sông Sau khi nghỉ 30phút tại B ca nô đi trên khúc sông ấy trở về A Thời gian kể từ lúc bắt đầu đi từ A đến khi vềđến B là 9 giờ 30 phút Tính vận tốc của ca nô khi nước yên lặng, biết vận tốc của dòng nướclà 2 km/h.
Bài 9: Lúc 7 giờ một ca nô chạy xuôi dòng từ bến A đến bến B dài 30 km Ca nô nghỉ tại B 30
phút Sau đó, ca nô ngược dòng với vận tốc riêng không đổi từ B về A lúc 11 giờ 30 phút.Tính vận tốc riêng của ca nô biết vận tốc dòng nước là 4 km/h.
Trang 21Bài 10: Một ca nô chạy xuôi dòng trên 1 khúc sông dài 132 km, sau đó chạy ngược dòng
104 km trên khúc sông đó Tính vận tốc của ca nô khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc củadòng nước là 4 km/h và thời gian ca nô chạy xuôi dòng ít hơn thời gian chạy ngược dòng là 1giờ.
Bài 11: Một ca nô xuôi dòng trên một khúc sông dài 120 km và ngược dòng trên khúc sông dài
90 km hết tất cả 6 giờ Tìm vận tốc thực của ca nô Biết vân tốc dòng nước là 5 km/h.
Bài 12: Một tàu thủy chạy trên một khúc sông dài 80 km Cả đi lần về mất 8 giờ 20 phút Tínhvận tốc của tàu thủy khi nước yên lặng Biết vận tốc của dòng nước là 4 km/h.
DẠNG 3 TOÁN NĂNG SUẤT.
Bài 1: Một nhóm gồm 15 học sinh nam và nữ tham gia buổi lao đồng trồng cây Cuối buổi laođộng, thầy giáo nhận thấy các bạn nam trồng được 30 cây, các bạn nữ trồng được 36 cây Mỗibạn nam trồng được số cây như nhau, mỗi bạn nữ trồng được số cây như nhau Tính số họcsinh nam và số học sinh nữ của nhóm, biết rằng mỗi bạn Nam trồng được nhiều hơn mỗi bạnnữ là 1 cây.
Số cây trồng Mỗi bạn trồngSố bạn nam x 30 30xSố bạn nữ y 36 36y
Bài 2: Một phân xưởng theo kế hoạch phải sản xuất 1100 sản phẩm trong một số ngày quyđịnh Do mỗi ngày phân xưởng đó sản xuất vượt mức 5 sản phẩm nên đã hoàn thành kế hoạchsớm hơn quy định 2 ngày Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày phân xưởng phải sản xuất bao nhiêusản phẩm.
Dự định Thực tếSố sản phẩm
mỗi ngày xx+5
Thời gian 1100x 1100x+5
Bài 3: Một công nhân theo kế hoạch phải làm 85 sản phẩm trong một khoảng thời gian dựđịnh Nhưng do yêu cầu đột xuất, người công nhân đó phải làm 96 sản phẩm Lúc làm ngườicông nhân mỗi giờ đã làm tăng thêm 3 sản phẩm nên người đó đã hoàn thành công việc sớmhơn so với thời gian dự định là 20 phút Hỏi mỗi giờ người công nhân đó làm bao nhiêu sảnphẩm.
Dự định Thực tế
Trang 22Số sản phẩm
mỗi giờ xx+3Thời gian 85xx+396
Bài 4: Một đội sản xuất phải làm 1000 sản phẩm trong thời gian dự định Nhờ tăng năng suấtlao động nên mỗi ngày đội làm thêm được 30 sản phẩm so với kế hoạch Do đó không nhữngvượt mức kế hoạch 170 sản phẩm mà còn hoàn thành công việc trước 1 ngày Tính số sảnphẩm mà đội sản xuất phải làm trong 1 ngày theo kế hoạch.
Bài 5: Một tổ sản xuất phải làm 600 sản phẩm trong một thời gian quy định với năng suất nhưnhau Sau khi làm được 400 sản phẩm, tổ đã tăng nằng suất thêm mỗi ngày 10 sản phẩm dođó đã hoàn thành công việc sớm hơn 1 ngày Tính số sản phẩm làm trong 1 ngày theo quyđịnh.
Bài 6: Một người thợ làm 120 sản phẩm trong một thời gian và năng suất dự định Khi làmđược 50 sản phẩm, người thợ đó nhận thấy làm với năng suất như vậy sẽ thấp hơn năng suấtdự định là 2 sản phẩm một ngày Do đó để hoàn thành đúng thời gian đã định, người thợ đótăng năng suất thêm 2 sản phẩm một ngày so với dự định Tính năng suất dự định của ngườithợ đó.
Bài 7: Một công nhân phải làm xong 120 sản phẩm trong thời gian quy định Sau khi làmđược hai giờ với năng suất dự kiến, người đó đã cải tiến cách làm nên mỗi giờ tăng thêmđược 3 sản phẩm Vì vậy người đó đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn quy định 1 giờ 36 phút.Tính số sản phẩm người đó dự kiến làm trong mỗi giờ.
Bài 8: Một đội xe theo kế hoạch chở hết 120 tấn hàng trong một số ngày quy định Do mỗingày đội đó chở vượt mức 5 tấn nên đội đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định1 ngày và còn chở thêm được 5 tấn Hỏi theo kế hoạch đội xe chở hết số hàng đó trong baonhiêu ngày.
Dự định Thực tếSố tấn chở mối
Thời gian 120x 125x+5
Bài 9: Một đội xe theo kế hoạch phải chở hết 280 tấn hàng trong 1 số ngày quy định Do mỗingày đội đó chở vượt mức 10 tấn nên đội đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định1 ngày và chở thêm được 20 tấn Hỏi theo kế hoạch đội xe chở hàng hết bao nhiêu ngày.Bài 10: Theo kế hoạch một tổ sản xuất phải làm 300 sản phẩm trong 1 thời gian nhất định.Nhờ tổ chức lao động hợp lý mỗi ngày tổ đã làm vượt vức kế hoạch 5 sản phẩm Vì vậy tổ đã
Trang 23hoàn thành kế hoạch sớm hơn dự định 1 ngày và còn làm thêm được 15 sản phẩm nữa Hỏitheo kế hoạch mỗi ngày tổ phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm.
Bài 11: Một tổ công nhân dự định làm xong 120 sản phẩm trong một thời gian nhất định.Nhưng khi thực hiện, nhờ cải tiến kĩ thuật nên mỗi ngày tổ làm tăng thêm 10 sản phẩm so vớidự định Do đó tổ đã hoàn thành công việc sớm hơn dự định 1 ngày Hỏi khi thực hiện, mỗingày tổ làm được bao nhiêu sản phẩm.
Bài 12: Bạn An dự định thực hiện công việc quét sơn cho 40m2 tường trong một thời gian nhấtđịnh Tuy nhiên, khi thực hiện, mỗi giờ An quét được ít hơn dự định là 2m2 Do đó An hoànthành công việc đó muộn hơn so với kế hoạch là 1 giờ Hỏi nếu đúng kế hoạch thì An hoànthành công việc đó trong bao lâu?
Bài 13: Một đội công nhật đặt kế hoạch sản xuất 250 sản phẩm Trong 4 ngày đầu, họ thựchiện đúng kế hoạch Mỗi ngày sau đó họ đều vượt mức 5 sản phẩm nên đã hoàn thành côngviệc sớm hớn 1 ngày so với dự định Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày đội công nhân đó phải làmbao nhiêu sản phẩm Biết năng suất làm việc các công nhân đều nhau.
Bài 14: Một xưởng theo kế hoạch phải in 6000 quyển sách giống nhau trong 1 thời gian quyđịnh Với số quyển sách in được trong mỗi ngày là như nhau Khi thực hiện, mỗi ngày xưởngđã in nhiều hơn 300 quyển sách so với trong kế hoạch nên xưởng đã in xong số quyển sáchnói trên sớm trước 1 ngày Tính số quyển sách xưởng in được trong 1 ngày theo kế hoạch.Bài 15: Một đội xe dự định dùng một số xe cùng loại để chở 60 tấn hàng Lúc sắp khởi hànhcó 3 xe phải điều đi làm việc khác nên không thể tham gia chở hàng được Vì vậy mỗi xe cònlại phải chở nhiều hơn dự định 1 tấn Tính số xe lúc đầu của đội, biết mỗi xe chở số lượnghàng như nhau.
Dự định Thực tếSố xe ban đầu xx−3
Số hàng mỗi
xe phải chở 60xx−360
Bài 16: Một đội xe dự định dùng một số xe cùng loại để chở 120 tấn hàng gửi tặng đồng bàovùng cao Lúc sắp khởi hành đội được bổ sung thêm 5 xe cùng loại Nhờ vậy so với ban đầumỗi xe phải trở ít hơn 2 tấn Hỏi lúc đầu đội có bao nhiêu xe? Biết khối lượng hàng mỗi xephải chở là như nhau.
Bài 17: Một đội xe định dùng 1 số xe cùng loại để chở hết 150 tấn hàng Lúc sắp khởi hànhcó 5 xe phải điều đi làm việc khác Vì vậy mỗi xe phải chở thêm 5 tấn hàng nữa mới hết sốhàng đó Tính số xe lúc đầu của mỗi đội biết rằng khối lượng hàng của mỗi xe chở là bằngnhau.
Bài 18: Một đoàn xe chở 480 tấn hàng Khi sắp khởi hành có thêm 3 xe nữa nên mỗi xe chở íthơn 8 tấn Hỏi lúc đầu đoàn xe có bao nhiêu chiếc Biết rằng các xe chở khối lượng như nhau.Bài 19: Để đóng gói hết 600 tập vở tặng các bạn vùng cao Lớp 9A dự định dùng một sốthùng carton cùng loại, số tập vở trong mỗi thùng là như nhau Tuy nhiên khi đóng vở vào cácthùng, có ba thùng bị hỏng không sử dụng được nên mỗi thùng còn lại phải đóng thêm 10 tập
Trang 24vở nữa mưới hết Tính số thùng carton ban đầu lớp 9A dự định sử dụng và số tập vở dự địnhđóng trong mỗi thùng.
Bài 20: Lớp 9A của trường được giao nhiệm vụ trồng 450 cây bạch đàn để phủ xanh 1 quảđồi Nhưng đến khi trồng cây, có 5 học sinh dự thi bóng chuyền nên nghỉ, do đó mỗi học sinhcòn lại phải trồng hơn dự định 3 cây Hỏi lúc đầu lớp 9A có bao nhiêu học sinh.
Bài 21: Một nhóm học sinh tham gia trồng 120 cây Trong khi thực hiện nhóm đó đã đượctăng cường 3 học sinh mỗi học sinh đã trồng ít hơn 2 cây so với dự định Hỏi lúc đầu nhómđó có bao nhiêu học sinh, biết số cây mỗi học sinh phải trồng là như nhau.
Bài 22: Một đội xe vận tải được phân công chở 112 tấn hàng Trước giờ khởi hành có 2 xephải đi làm nhiệm vụ khác nên mỗi xe còn lại phải chở thêm 1 tấn hàng so với dự tính banđầu Tính số xe ban đầu của đội xe, Biết rằng mỗi xe đều chở khối lượng hàng là như nhau.Bài 23: Một công ty vận tải dự định dùng loại xe lớn để chở 20 tấn hàng hóa theo hợp đồng.Nhưng khi vào việc thì không còn xe lớn nên phải chở bằng xe nhỏ Mỗi xe nhỏ vận chuyển íthơn 1 tấn so với xe to Để đảm bỏ thời gian đã hợp đồng, công ty phải điểu thêm số xe nhiềuhơn số xe dự định là 1 xe Hỏi mỗi xe nhỏ vận chuyển được bao nhiêu tấn hàng Biết các xecùng loại thì chở các khối lượng hàng như nhau.
Bài 24: Một rạp chiếu phim có 120 chỗ ngồi được sắp xếp thành những dãy ghế, mỗi dãy ghếcó số ghế như sau Sau đó, khi sửa chữa người ta đã bỏ sung thêm 2 dãy ghế Để giữ nguyênsố ghế của rạp, mỗi dãy ghế được kê ít hơn so với ban đầu là 2 ghế Hỏi trước khi sửa chữathì rạp chiếu phim đó có bao nhiêu dãy ghế.
Trước SauDãy ghế xx+2
Số ghế mỗi
dãy 120x 120x+2
Bài 25: Bác Bình dự định trồng 300 cây cam theo nguyên tắc trồng theo hàng Mỗi hàng có sốcây như nhau Nhưng khi thực hiện bác bình đã trồng thêm 2 hàng Mỗi hàng thêm 3 cây sovới dự kiến ban đầu nên trồng được tất cả 391 cây Tính số cây trên 1 hàng mà bác bình dựkiến trồng ban đầu.
Bài 26: Một phòng học có 300 ghế ngồi được xếp thành 1 số hàng có số ghế bằng nhau Buổihọp hôm đó có 378 người đến dự nên ban tổ chức đã kê thêm 3 hàng ghế và mỗi hàng phảixếp thâm 1 ghế mới đủ chỗ ngồi Hỏi ban đầu phòng họp có bao nhiêu hàng ghế và mỗi hàngghế có bao nhiêu ghế Biết số hàng ghế ban đầu không vượt quá 20.
GIẢI BÀI TOÁN BẦNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNHA KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình
Buớc 1 Lập phương trình
Trang 25✓ Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số;
✓ Biểu diễn các dữ kiện chưa biết qua ẩn số;
✓ Lập phương trình biểu thị tương quan giữa ẩn số và các dữ kiện đã biết;Buór 2 Giải phương trình;
Buớc 3 Đối chiếu nghiệm của phương trình với điều kiện của ẩn số (nếu có) và với đề bài để đưa ra kết luận.
B CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Toán có nội dung hình học
Với hình chữ nhật: Diện tích = chiều dài x chiều rộngChu vi = (chiều dài + chiều rộng) x2.
Với hình tam giác: Diện tích = 12x cạnh đáy x chiều cao.Chu vi ¿ tổng 3 cạnh.
Ví dụ 1 Một tam giác có chiều cao bằng 34 cạnh đáy Nếu chiều cao tăng thêm 3dm và cạnhđáy giảm đi 3dm thì diện tích của nó tăng thêm 12dm2 Tính chiều cao và cạnh đáy của tamgiác.
ĐS: 33 và 44
Ví dụ 2 Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 720 m2 Nếu tăng chiều dài thêm 10 m vàgiảm chiều rộng 6 m thì diện tích mảnh vườn không đổi Tính chiều dài và chiều rộng mảnhvườn.
ĐS: 30 và 24
Dạng 2: Bài toán có quan hệ về số
Số tự nhiên có hai chữ số: ab=10a+b
Số tự nhiên có ba chữ số: abc=100 a+10b+c.
Ví dụ 3 Cho một số tự nhiên có hai chữ số Tổng hai chữ số của chúng bằng 10 Tích hai chữsố ây nhỏ hơn số đã cho là 12 Tìm số đã cho.
ĐS: 28
Ví dụ 4 Tích của hai số tự nhiên liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là 109 Tìm hai số đó.ĐS: 11 và 12
Dạng 3: Bài toán về năng suất lao động
Khối lượng công việc = Năng suất × Thời gian hoàn thành.
Ví dụ 5 Một phân xưởng theo kế hoạch cần phải sản xuất 1100 sản phẩm trong một số ngàyquy định Do mỗi ngày phân xưởng đó sản xuất vượt mức 5 sản phẩm nên phân xưởng đã
ĐS: 20
Dạng 4: Bài toán về công việc làm chung, làm riêng
Trang 26 Ta thường xem khối lượng công việc là một đơn vị. Năng suất 1 + Năng suất 2 = Tổng năng suất.
Ví dụ 7 Hai người cùng làm chung một công việc trong 125 giờ thì xong Nếu mỗi người làmmột mình thì thời gian để người thứ nhất hoàn thành công việc ít hơn người thứ hai là 2 giờ.Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu giờ để xong công việc?
ĐS: 4 và 6
Ví dụ 8 Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước và chảy đầy bể trong 4 giờ 48phút Nếu chảy riêng thì vòi thứ nhất có thể chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai 4 giờ Hỏi nếuchảy riêng thì mỗi vòi sẽ chảy đầy bể trong bao lâu?
ĐS: 8 và 12
Dạng 5: Bài toán về chuyển động
Quãng đường = Vận tóc × thời gian.
Ví dụ 9 Hai ô tô cùng khởi hành cùng một lúc từ hai đỉnh A và B cách nhau 160 km, đi ngượcchiều nhau và gặp nhau sau 2 giờ Tìm vận tốc của mỗi ô tô biết rằng nếu ô tô đi từ A tăngvậc tốc thêm 10 km/h sẽ bằng hai lần vận tốc ô tô đi từ B.
Ví dụ 11 Một ca nô xuôi từ A đến B với vận tốc xuôi dòng là 30 km/h, sau đó lại ngược từ B
về A Thời gian xuôi ít hơn thời gian ngược là 1 giờ 20 phút Tính khoảng cách giữa hai bến A
và B biết vận tốc dòng nước là 5 km/h và vận tốc riêng của ca nô khi xuôi và ngược dòng làkhông đổi.
Ví dụ 14 Có hai thùng dầu chứa tất cả 160 lít dầu Biết rằng nếu rót từ thùng thừ nhất sangthùng thứ hai 20 lít dầu thì số dầu ở hai thùng bằng nhau Tính số dầu ban đầu ở mỗi thùng.ĐS: 100 và 60
C BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1 Một thửa ruộng hình chữ nhật có diện tích là 100 m2 Tính độ dài các cạnh của thửaruộng Biết rằng nếu tăng chiều rộng của thửa ruộng lên 2 m và giảm chiều dài của thửa ruộngđi 5 m thì diện tích của thửa ruộng sẽ tăng thêm 5 m2.
Trang 27Bài 4 Hai đội xe chở cát để san lấp một khu đất Nếu hai đội cùng làm thì trong 18 ngày thìxong công việc Nếu đội thứ nhất làm 6 ngày, sau đó đội thứ hai làm tiếp 8 ngày thì được 25công việc Hỏi nếu mỗi đội làm một mình thì mất bao nhiêu ngày? ĐS: 45 và 30
Bài 5 Quãng đường từ A đến B dài 90 km Một người đi xe máy từ A đến B Khi đến B, ngườiđó nghỉ 30 phút rồi quay trở về A với vận tốc lớn hơn lúc đi là 9 km/h Thời gian kể từ lúc bắtđầu đi từ A đến lúc trở về A là 5 giờ Tính vận tốc xe máy lúc đi từ A đến B.
ĐS: 36
Bài 6 Một tàu tuần tra chạy ngược dòng 60 km, sau đó chạy xuôi dòng 48 km trên cùng mộtdòng sông có vận tốc dòng nước là 2 km/h Tính vận tốc của tàu tuần tra khi nước yên lặng,biết thời gian xuôi dòng ít hơn thời gian ngược dòng 1 giờ.
Ví dụ 1 Một tam giác có chiều cao bằng 3 4 cạnh đáy Nếu chiều cao tăng thêm 3 dm và
cạnh đáy giảm đi 3 dm thì diện tích của nó tăng thêm 12 dm 2 Tính chiều cao và cạnh đáy của tam giác.
Lời giải.
Gọi x(dm) là chiểu cao của tam giác lúc ban đầu, (x>0).Suy ra cạnh đáy của tam giác lúc ban đầu là 43 x(dm).Diện tích tam giác ban đầu là 12⋅ x⋅ 43⋅ x= 23x2(dm2).
Diện tích tam giác sau khi tăng chiều cao thêm 3dm và giảm cạnh đáy đi 3dm là
Gọi x( m) là chiè̉u dài của mảnh vườn (x>0).
Trang 28Khi đó chiều rộng của mãnh vưởn là 720x( m).
Diện tích của mảnh vườn sau khi tăng chiều dài thêm 10 m và giảm chiều rộng 6 m là
Tích của hai chữ số ấy nhỏ hơn số đã cho là 12 nên ta có phương trình
x(10−x)+12=10 x+(10−x)⇔x2−x−2=0.
Giải phương trình này ta được x=−1 (không thòa đk) và x=2 (thòa đk).Vậy số tự nhièn cằn tìm là 28
Lòi giải.
Gọi x ,x+1,(x∈ N ) là hai số tự nhiên liên tiếp.
Tích của hai số tự nhièn liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là 109 nên ta có phương trình
Khi đó số ngày hoàn thành kế hoạch trèn thụce tế sẽ là 1100x+5 (ngày).
Vì phân xưởng đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn dự định 2 ngày nên ta có phương trình
Trang 29đự kiến của người đó.Lòi giải.
Gọi năng suất đự kiến của người đó là x ,x ∈ N¿.Khi đó thời gian hoàn thành đụ̂ kiến sẽ là 120x (giờ).
Do tẵng năng suất 4 sản phẩm mỗi giờ nên năng suất trên thực tế là x+4.Khi đó thời gian hoàn thành trên thực tế sẽ lả x+4120 (giờ).
Vì thời gian hoàn thành sóm hơn dự kiến 1 giờ nên ta có phương trình x+4120 +1= 120
x (x ∈N¿).Giải phương trình này ta được x=−24 (không thóa đk) và x=20 (thỏa đk).
Vậy nẵng suất dự kiến của người đó là 20 sản phấm mổi giờ.
ViduZ Hai người cùng làm chung một cồng việc trong 125 giờ thì xong Nếu mỗi người làm một minh thì thơi gian đế người thứ nhắt hoàn thành công việc it hơn người thứ hai là 2 giờ Hòi nếu làm một minh thì mỗi người phài làm trong bao nhiêu giở để xong công việc?
Lòi giāi.
Gọi x (giờ) là số giờ người thứ nhất làm một minh xong công việc (x> 12
5 ).Khi đó trong một giờ người thứ nhất làm được 1x công việc;
và trong 125 giờ người thứ nhắt làm được 125 ⋅ 1
5(x+2)=1.Giài phương trình này ta được x=−6
5 (không thỏa đk) và x=4 (thơa đk).
Như vậy nếu làm một mình thì người thứ nhất làm xong cồng việc trong 4 giờ và người hai làm xong công việc trong 6 giờ.
Vidu & Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước và chảy đầy bế trong 4 giờ 48 phút Nếu chảy riêng thì vòi thư nhất có thể chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai 4 giờ Hòi nếuchảy nièng thì mỗi vòi sẽ chảy đầy bể trong bao lâu?
Trang 30Vì nếu chảy rièng vòi thứ nhắt chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai 4 giờ nên số giờ vòi thứ haichày rièng thi đầy bể là x+4 giờ.
Khi đó trong một giò vòi thứ hai chảy được x+41 bế;và trong 245 giờ vòi thừ hai chảy được 5(x+4)24 bé.Như vạy ta có phương trinh 5x24+ 24
5(x+4)=1 Giài phương trình này ta được x=−125 (không thỏa đk) và x=8 (thỏa đk).
Như vậy nếu chảy riêng thi vỏi thứ nhất chảy trong 8 giỏ và vòi thứ hai chảy trong 12 giờ thì đầy bể.
Vídun9 Hai ô tô củng khời hành cùng một lúc từ hai đinh A và B cách nhau 160 km, đi ngược chič̀u nhau và gặp nhau sau 2 giờ Tim vận tốc của mổi ồ tô biết rằng nếu ô tô đi từ A tăng vậc tốc thêm 10 km/h sẽ bằng hai lần vận tốc ồ tô đi từ B.
Lời giải
Gọi x (km/h) là vận tốc của ô tô xuất phát từ A ( x > 0)
Vi ô tô đi từ A tăng vận tốc thêm 10 km/h bằng hai lần vận tốc ồ tô đi tử B nên vận tốc của ô tó xuắt phát từ B sẽ là x+102 ( km/h).
Sau 2 giờ (lúc gập nhau) quãng đường ô tô thứ nhắt đi được là 2 x( km) và quãng đường ô tô thứ hai đi được là 2⋅ x+102 ( km).
Như vậy ta có phương trình 2 x+2 ⋅ x+10
2 =160 Giải phương trình này ta được x=50 (thòa đk).Vậy vận tốc của ô tổ xuất phát từ A là 50 km/h và ô tô xuất phát từ B là 30 km/h trèn toàn bộ quàng đường AB dải 120 km Do vận tốc xe ồ tổ lớn hơn vận tốc xe máy là 10 km/h nên ô tô đến sớm hơn xe máy 36 phút Tỉnh vận tốc mổi xe.
Lòi giải.
Gọi x( km/h) là vận tốc của ô tô (x>10).
Do vận tốc ô tô lớn hơn vận tốc xe máy 10 km/h nên vận tốc xe máy là x−10( km/h).Thời gian ô tô và xe máy đi hết quãng đường AB lần lượt là 120x (giờ), x−10120 giò.
Vì ô tô đến sờm hơn xe máy 36 phút ( 35 giờ) cho nèn ta có phương trinh 120x + 35= 120x−10.Giải phương trinh này ta được x=−40 (không thỏa đk) và x=50 (thóa đk).
Vậy vận tốc của ô tô và xe máy lần lượt là 50 km/h và 40 km/h A Thời gian xuôi it hơn thời gian ngược là 1 giờ 20 phút Tính khoàng cách giữa hai bến A và B biết vận tốc dòng nước là
5 km/h và vận tốc riêng của ca nô khi xuôi và ngược dòng là không đồi.Lòi giải.
Gọi x( km) là khoàng cách giữa hai bến A và B(x>0).Thời gian ca nô xuôi dòng là 30x( h).
Vân tốc thực của ca nô là 30−5=25( km/h).
Suy ra vận tốc ngược dòng của ca nô là 25-5=20 (km/h) Thời gian ca nô ngược dòng là x/20(km/h)
Trang 31Vì thời gian xuôi it hơn thời gian ngược dòng là 1 giờ 20 phút ( 43 giờ) nên ta có phương trình
Gọi x( km/h) là vận tốc của tàu thưy khi nước yên lặng (x>0).
Suy ra vận tốc xuôi dòng và vận tốc ngược dòng của tảu thưy lần lượt là x+4 và x−4( km/h).Thời gian xuôi dòng và ngược dòng của tàu thủy lần lượt là x+4120 (h) và x−4120 (h).
Thời gian cả đi lẫn vể là 6 giờ 45 phút (27
Vậy số sách trên giá sách thứ nhất và thứ hai lần lượt là 300 cuốn và 150 cuốn
Ví dụ 14 Có hai thùng dầu chứa tất cả 160 lít dầu Biết rằng nếu rót từ thùng thừ nhất sang
thùng thứ hai 20 lít dầu thì số dầu ở hai thùng bằng nhau Tính số dầu ban đầu ở mỗi thùngLời giải
Gọi x (lit) là số lit dầu ban đầu ở thùng thứ nhất (x>20).Suy ra số lít dầu ban đầu ở thủng thứ hai là 160− x lit.Theo đề ta có phương trình x−20=160−x+20⇔x=100 (n).
Vậy số lít dầu ban đẩu ở thùng thứ nhất và thùng thứ hai lần lượt là 100 lít và 60 lit ruộng Biết rằng nếu tăng chiều rộng của thửa ruộng lên 2 m và giàm chiều dài của thửa ruộng đi 5 m
thi diện tích của thửa ruộng sẽ tăng thêm 5 m2.Lòi giải.
Gọi x( m) là chič̉u rộng của của thửa ruộng (x>0).Khi đó chiều dài của thứa ruộng là 100x( m).
Trang 32Diện tích của thửa ruộng sau khi tẵng chiều rộng lên 2 m và giảm chiểu dải đi 5 m là
x −5)(m2).
Vi diện tich của thửa ruộng tăng thêm 5 m2 nên ta có phương trinh (x+2)(100
x −5)=105.Giải phương trình này ta được x=−8 (không thòa đk) và x=5 (thóa đk ).
Vậy chiều rộng và chiều dải của thứa ruộng lần lượt lả 5 m và 20 m.
Bài 2 Cho một số có hai chữ số Tổng hai chữ số của chúng bằng 9 Tích hai chữ số ấy nhỏ hơn số đã cho là 58 Tìm số đã cho.
Lòi giải.
Gọi chữ số hàng chục là x ,(x ∈N¿,x≤ 9).Khi đó chữ số hàng đơn vị là 9−x.
Tích của hai chữ số đó nhò hơn số đã cho là 58 đon vị nên ta có phương trình
Giải phương trinh này ta được x=−7 (không thỏa đk) và x=7 (thỏa đk).Vậy số cần tìm là 72
Bài 3 Một đội xe theo kế hoạch chở hết 140 tấn hàng trong một số ngày quy định Do mỗi
ngày đọ̀i đó chờ vượt mức 5 tấn nên đọ̀i đã hoàn thành kế hoạch sóm hơn thời gian quy định 1ngày và chờ thêm được 10 tấn Hòi theo kế họach đội xe chở hàng hết bao nhiêu ngày?
Khi đó mỗi ngày trên thực tế đội xe chờ được là x−1150 (tấn).
Vi mỗi ngày chở vượt mức 5 tấn và chở thêm đượ 10 tấn cho nên ta có phương trinh
x−1=140x +5
Giải phương trình trên ta được x=−4 (không thòa đk) và x=7 (thóa đk).Vậy theo kế hoạch đội xe chở hàng hết 7 ngày.Bài4 Hai đội xe chở cát để san lấp một khu đất Nếu hai đội cùng làm thì trong 18 ngày thixong công việc Nếu đội thứ nhất lảm 6 ngày, sau đó đội thứ hai làm tiếp 8 ngày thi được 25công việc Hòi nếu mỗi đội làm một mình thì mất bao nhiêu ngày?Lòi giải
Gọi x (ngày) là số ngày đội xe thứ nhắt làm một minh xong công việc (x>18).Khi đó trong 18 ngày đội xe thứ nhất làm một minh được 18x công việc.Vì đội thứ thứ nhất làm một minh trong 6 ngày, sau đó đọii thứ hai làm một mình tiếp 8 ngàythi được 25 công việc cho nên đội thứ hai làm một minh trong 8 ngày thì được 25− 6
x công việc.
Trang 33Suy ra trong 18 ngày đội thứ hai làm mọ̀t minh được 94(2
5− 6x) công việc.Ta có phương trinh 18x + 94⋅(2
5−6x)=1.Giải phương trình này ta được x=45 (thóa đk).
Vậy nếu làm một mình thi đội thứ nhắt làm xong công việc hết 45 ngày, đội hai làm xongcông viẹcc hết 30 ngày.
Bài 5 Quàng đường từ A đến B dài 90 km Một người đi xe máy tử A đến B Khi đến B, ngườiđó nghi 30 phút rổi quay trở vể A với vận tốc lớn hơn lúc đi là 9 km/h Thời gian kế từ lúc bắtđầu đi từ A đến lức trở về A là 5 giỏ Tỉnh vận tốc xe máy lúc đi từ A đến B.Lòi giải.
Gọi x( km/h) là vận tốc xe máy đị từ A đến B(x>0).Suy ra thời gian xe máy đi từ A đến B là 90x (h).Vận tốc của xe máy đi trở về tử B đến A là x+9( km/h).Suy ra thời gian xe máy trờ về từ B đến A là x+490 ( h).Ta có phurong trinh 90x + 90x+4+ 12=5.Giải phương trình này ta được x=−5 (không thơa đk) và x=36 (thơa đk ).Vậy vận tốc xe máy lúc đi từ A đến B là 36 km/h.Bài 6 Một tàu tuần tra chạay ngược dòng 60 km, sau đó chạy xuôi dòng 48 km trên củng mộtđòng sông có vận tốc dòng nước lả 2 km/h Tỉnh vận tốc của tàu tuần tra khí nước yên lặng,biết thời gian xuôi dòng it hơn thời gian ngược dòng 1 giờ.Lòi giải.
Gọi x( km/h) là vận tốc thực của tàu tuẳn tra (x>0).Vận tốc xuôi dòng và ngược dòng của tàu tuẩn tra lả lẩn lượ là x+2( km/h) và x−2( km/h).Khi đó thới gian xuôi đòng và ngược dòng của tảu tuần tra lần lượt là x+248 (h) và x−260 (h).Thời gian xuôi dòng it hơn thời gian ngược dòng 1 giờ nên ta có phương trình x+248 +1= 60x−2.Giài phương trinh này ta được x=−10 (không thỏa đk) và x=22 (thóa đk).Vậy vận tốc thực của tàu tuần tra là 22 km/h 3 số bi của Hủng Tỉnh số bi ban đầu của Longvà Hùng.
Lời giải.
Gọi x (viên bi) là số bi ban đầu của Hùng (x∈N)Suy ra số bi ban đầu của Long là 40 − x (viên bi) Theo đề ta có phương trình 3(x-6) = 40 -x+6↔x=16(n)
Vậy số bi ban đầu của Hùng và Long lần lượt là 16 và 24 viên - HẾT -
Bài 3 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
A KIÊN THỨC TRỌNG TÂM
Trang 34 Phương trinh bạc hai một ẩn (hay còn gọi là phıơng trình bạcc hai) là phương trình có dạng: a x2+bx+c=0(a ≠ 0) trong đó a,b,c là những số thực cho trước được gọi là hệ số, x
Luru ý: Phương trinh bậc hai có hệ số a khác 0
Vi dụ 1 Đưa các phương trình sau vế dạng a x2+bx+c=0 và chỉ rõ các hệ số a,b,c.a) 3−x2=0.
ĐS: −x2+3=0, vói a=−1, b=0,c=3.b) x2−x=3 x+1.
ĐS: x2−4 x−1=0, vơii a=1,b=−4,c=−1.c) 3 x2−4 x=√2 x+2.
ĐS: 3 x2−(4+√2)x−2=0, với a=3,b=−4−√2,c=−2.d) ¿.
ĐS: x2−5 x−2=0, vơi a=1,b=−5,c=−2.
Vi dụ 2 Đưa các phương trinh sau về dạng a x2+bx+c=0 và chỉ rồ các hệ số a,b,c.a) 3 x−x2=0.
ĐS: −x2+3x=0, với a=−1, b=3,c=0.b) x2−3 x=2 x−3.
ĐS: x2−5 x+3=0, vói a=1,b=−5,c=3.c) 3 x2−4 x=√2 x2−2.
ĐS: (3−√2) x2−4 x+2=0, với a=3−√2,b=−4 ,c=2.d) ¿.
ĐS: Không đưa được vể phương trinh bạic 2 c) m2x2−4mx=−√2x2+1.
ĐS: (m2+√2)x2−4mx−1=0,a=m2+√2.d) m¿.
ĐS: Không đưa được vể phương trinh bậc 2
Ví dụ 4 Phương trình nào sau dây đưa được về phương trình bậc 2 ? Xác định hệ số a của phương trình đó ( m là hằng số)
a) x=x2−m.
ĐS: x2−x−m=0 ,a=1.
b) m=m2−mx ĐS: Không đưa được về phương trình bậc 2
Trang 35c) (m2−1)x2−mx=−3 x2 ĐS: (m2+2)x2−mx=0,a=m2+2.d) m¿ ĐS: Không đưa được về phương trình bậc 2
Dạng 2: Sử dụng các phép biến đổi, giải phương trình bậc hai một ẩn cho trước
Cách 1: Đưa phương trình đã cho về dạng tích.
Cách 2: Đưa phương trình đã cho về phương trình mà vế trái của phương trình đó là bình phương, còn vế phải là một hằng số.
Ví dụ 5 Giải các phương trình sau:a) x2−2 x=0.
ĐS: x=0; x=2.b) √3 x2=2x.ĐS: x=0; x= 2
√3.c) −3 x2+12=0.ĐS: x=−2; x=2.d) x2−3 x+2=0.ĐS: x=1; x=2.
Ví dụ 6 Giải các phương trình sau:a) x2−3 x=0.
ĐS: x=0; x=3.b) x2=√2x.ĐS: x=0; x=√2.c) x2−2=0.
ĐS: x=−√2; x=√2.d) x2+ x−2=0.ĐS: x=1; x=−2.
Ví dụ 7 Giải các phương trình sau:a) ¿.
ĐS: x=1; x=−3.b) x2+2x=3.ĐS: x=1; x=−3.
c) 2 x2+4 x−7=0 ĐS: x= 3
√2−1; x=−3√2−1.d) 4 x2+8 x−5=0.
ĐS: x= 12; x=−52
Ví dụ 8 Giải các phương trình sau:a) ¿.
ĐS: x=−1; x=5.b) x2−4 x=5.ĐS: x=−1; x=5.c) 2 x2−8 x+5=0.ĐS: x=√3
2+2; x=−√32+2.
Trang 36d) 4 x2−16 x−9=0.ĐS: x=−12 ; x= 92.
Ví dụ 9 Giải các phương trình sau:a) x2−x+ 14=0.
ĐS: x= 12.b) x2−x=2.ĐS: x=−1; x=2.c) 2 x2−2 x−5=0.ĐS: x=√11+1
2 ; x=−√11+1
d) x2−x+1=0.ĐS: PT vô nghiệm.
Ví dụ 10 Giải các phương trình saua) x2−3 x+ 9
4=0.ĐS: x= 12.b) x2−3 x−4=0.ĐS: x=−1; x=2.c) 2 x2−6 x+3=0.ĐS: x=√11+1
2 ; x=−√11+1
d) x2−3 x+3=0.ĐS: PT vô nghiệm.
Ví dụ 11 Giải các phương trình saua) x2−3 x+ 94=0.
ĐS: x= 32.b) x2−3 x−4=0.ĐS: x=−1; x=4.c) 2 x2−6 x+3=0.ĐS: x=√3+3
2 ; x=−√3+3
d) x2−3 x+3=0.ĐS: PT vô nghiệm.
Ví dụ 12 Tìm giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm bằng 1a) x2+m2=4 x.
ĐS: m=±√3.
b) x2−(m+3) x+m2=0.ĐS: m=2,m=−1.
Trang 37Ví dụ 13 Với giá nào của m thì phương trình sau có nghiệm bằng 1a) x2−m2+4=0.
ĐS: m=±√5.
b) m2+4 mx−5=0=0.ĐS: m=1,m=−5.
C BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1 Đưa các phương trình sau về dạng a x2+bx+c=0 và tính tổng T =a+b+c
a) 25−4 x2=0.ĐS: T =21.
b) x2−4 x=−5 x+2.ĐS: T =0.
c) ¿.ĐS: T =1.
d) x(x−3)=√2 x2−2x.ĐS: T =−√2.
Bài 2 Giải các phương trình saua) 4 x2−9=0.
ĐS: x=± 3
b) x2−2√2 x=0 ĐS: x=0; x=2√2.c) x2−2√2 x=2.
ĐS: x=√2.d) x2−√8 x+5=0.ĐS: PT vô nghiệm.
Bài 3 Giải các phương trình saua) x2+2x=0.
b) x2−5=0.c) x2+2x−8=0.d) 2 x2+4 x−5=0.ĐS: x=0, x=−2.ĐS: x=±√5.ĐS: x=2, x=−4.ĐS: x=−√7
Bài 5 Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì phương trình sau luôn có nghiệm.a) x2−(m+2) x+2m=0.
b) x2−2mx+(m−1)=0.
Trang 38HƯỚNG DÃ̃N GIẢI
a) 3−x2=0.b) x2−x=3 x+1.c) 3 x2−4 x=√2 x+2.d) ¿.
Lời giải.
a) Biến đổi PT 3−x2=0 thành −x2+3=0, với a=−1,b=0,c=3.
b) Biến đổi PT x2−x=3 x+1 thành x2−4 x−1=0, với a=1,b=−4,c=−1.
c) Biến đổi PT 3 x2−4 x=√2 x+2 thành 3 x2−(4+√2)x−2=0, với a=3,b=−4−√2,c=−2.d) Biến đổi PT ¿ thành x2−5 x−2=0, với a=1,b=−5,c=−2.
a) 3 x−x2=0.b) x2−3 x=2 x−3
c) 3 x2−4 x=√2 x2−2.d) ¿.
b) 1+mx=m2.
c) m2x2−4mx=−√2x2+1.d) m¿.
Lò̀i giải.
a) Biến đổi 1+mx=x2 thành x2−mx−1=0 ; a=1.
b) 1+mx=m2 không đưa được về phương trình bậc 2
c) Biến đổi m2x2−4mx=−√2x2+1 thành (m2+√2)x2−4mx−1=0,a=m2+√2.d) m¿ không đưa được về phương trình bậc 2
Ví u 4. Phương trình nào sau dây đưa được về phương trình bậc 2 ? Xác định hệ số a của phương trình đó ( m là hằng số)
a) x=x2−m.b) m=m2−mx.
c) (m2−1)x2−mx=−3 x2.d) m¿.
Lời giải.
Trang 39a) x=x2−m ⇔x2−x−m=0 ,a=1.
b) m=m2−mx không đưa được về phương trình bậc 2 c) (m2−1)x2−mx=−3 x2⇔(m2+2)x2−mx=0,a=m2+2.d) m¿ không đưa được về phương trình bậc 2 Ví du 5 Giải các phương trình sau:
a) x2−2 x=0.b) √3 x2=2x.c) −3 x2+12=0.d) x2−3 x+2=0.
Lòi giải.
a) Biến đổi x2−2 x=0 thành x(x−2)=0⇔ x=0 hoặc x−2=0, từ đó tìm được x=0; x=2.b) Biến đổi √3 x2=2x thành x(√3x−2)=0⇔x=0 hoặc √3 x−2=0, từ đó tìm được x=0; x= 2
√3.c) Biến đổi −3 x2+12=0 thành −3(x+2)(x−2)=0 hoặc đưa về x2=4, từ đó tìm được x=−2; x=2.d) Biến đổi x2−3 x+2=0 thành (x−1)(x−2)=0⇔ x−1=0 hoặc x−2=0, từ đó tìm được ¿1;x=2.
a) x2−3 x=0.b) x2=√2x.c) x2−2=0.d) x2+ x−2=0.
Trang 40Vídu 8 Giải các phương trình sau:a) ¿.
b) x2−4 x=5.c) 2 x2−8 x+5=0.d) 4 x2−16 x−9=0.
4⇔¿, từ đó tìm được x=−1
2 ; x= 92.Ví du 9 Giải các phương trình sau:
a) x2−x+ 14=0
b) x2−x=2.c) 2 x2−2 x−5=0.d) x2−x+1=0.
= 94, từ đó tìm được x=−1; x=2.Cách khác: chuyển vế đưa PT về dạng tích (x+1)(x−2)=0.
c) Biến đổi PT đã cho 2 x2−2 x−5=0 thành x2−x= 52⇔(x− 12)2
a) x2−3 x+ 94=0
b) x2−3 x−4=0.c) 2 x2−6 x+3=0.d) x2−3 x+3=0.
= 94, từ đó tìm được x=−1; x=2.Cách khác: chuyển vế đưa PT về dạng tích (x+1)(x−2)=0.