c5 5 vi tri tuong doi cua hai duong tron

Hai đường tròn tiếp xúc nhau* Nếu hai đường tròn có duy nhất một điểm chung thì ta nói đó là hai đường tròn tiếp xúc nhau.. Hai đường tròn không giao nhau.* Nếu hai đường tròn không có đ

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN

A KIẾN THỨC

1 Hai đường tròn cắt nhau

* Nếu hai đường tròn có đúng hai điểm chung thì ta nói đó là hai đường tròn cắt nhau Hai điểm chung đó gọi là hai giao điểm của chúng

* Nhận xét: Hai đường tròn O R;  và O R;  cắt nhau khi:

R R OO R R (với R R )

2 Hai đường tròn tiếp xúc nhau

* Nếu hai đường tròn có duy nhất một điểm chung thì ta nói đó là hai đường tròn tiếp xúc nhau Điểm chung gọi là tiếp điểm của chúng

* Lưu ý: Người ta phân biệt hai trường hợp: Hai đường tròn tiếp xúc ngoài (hình a) và hai đường tròn tiếp xúc trong (hình b)

* Nhận xét:

+ Hai đường tròn O R;  và O R;  tiếp xúc ngoài khi OO R R và tiếp xúc trong khi

  

OO R R (với R R )

+ Nếu hai đường tròn tiếp xúc với nhau thì tiếp điểm thẳng hàng với hai tâm

3 Hai đường tròn không giao nhau.

* Nếu hai đường tròn không có điểm chung nào thì ta nói đó là hai đường tròn không giao nhau

* Lưu ý:Người ta phân biệt hai trường hợp: Hai đường tròn ngoài nhau (hình a) và đường tròn này đựng đường tròn kia (hình b)

* Nhận xét:

+ Hai đường tròn O R;  và O R;  ngoài nhau khi OOR R 

+ Đường tròn O R;  đựng đường tròn O R;  khi R R  và OOR R .

Đặc biệt khi O trùng với O và R R  thì ta có hai đường tròn đồng tâm.

Ta có bảng tổng kết sau:

Vị trí tương đối của hai đường

tròn O R;  và O r R r';    

Số điểm chung

Tiếp

xúc

Tiếp xúc trong 1 OO'  R r 0

O' O

R r

O' O

r R

O' O

cắt

nhau

' 

OO O

3 Tiếp tuyến chung của hai đường tròn

Tiếp tuyến chung của hai đường tròn là đường thẳng tiếp xúc với cả hai đường tròn đó a) Hai đường tròn cắt nhau có hai tiếp tuyến chung ngoài

b) Hai đường tròn tiếp xúc ngoài có hai tiếp tuyến chung ngoài và một tiếp tuyến chung (hình vẽ b)

c) Hai đường tròn tiếp xúc trong chỉ có một tiếp tuyến chung (hình c)

d) Hai đường tròn ngoài nhau có hai tiếp tuyến chung ngoài và hai tiếp tuyến chung trong (hình vẽ d)

e) Hai đường tròn chứa nhau không có tiếp tuyến chung

f) Hai đường tròn đồng tâm không có tiếp tuyến chung

O' O

O' O

r R

O' O

O' O

Hình c Hình d

B CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1: Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn Bài 1: Mô tả vị trí tương đối giữa mỗi cặp đường tròn tròn hình chụp bộ cồng chiêng Tây Nguyên

Lời giải

Bài 2: Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn O R;  và O R;  trong mỗi trường hợp sau:

a) OO 12; R5; R 3

b) OO 8; R5; R 3

c) OO 7; R5; R 3

d) OO 0; R5; R 4

Bài 3: Xác định vị trí tương đối giữa hai đường tròn I R;  và J R;  trong mỗi trường hợp sau:

a) IJ 5; R3; R 2

b) IJ 4; R11; R 7

c) IJ 6; R9; R 4

d) IJ 10; R4; R 1

Bài 4: Cho hai điểm O và O\prime sao cho OO 5cm Hãy giải thích tại sao hai đường

tròn O;4cm và O;3cm cắt nhau

O' O

O' O

Bài 5: Cho đường tròn O;5cm và điểm I cách O một khoảng 2cm Xác định vị trí

tương đối của đường tròn đã cho và đường tròn I r;  trong mỗi trường hợp sau:

Bài 6: Cho hai đường tròn O;4cm và O;3cm Biết rằng OO 5cm Xét vị trí tương

đối của hai đường tròn đó

Bài 7: Cho hai đường tròn O;14cm; O;5cm với OO 8cm Hỏi hai đường tròn đó có

cắt nhau hay không?

Bài 8: Cho hai điểm O và O sao cho OO 5cm Giải thích tại sao hai đường tròn

O;3cm và O;2cm tiếp xúc nhau Chúng tiếp xúc trong hay tiếp xúc ngoài?

Bài 9: Cho hai điểm O và O sao cho OO 3cm Giải thích tại sao hai đường tròn

O;8cm và O;5cm tiếp xúc nhau Chúng tiếp xúc trong hay tiếp xúc ngoài?

Bài 10: Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn O;3cm và O;5cm biết

8cm

 

OO

Bài 11: Cho hai điểm O và O sao cho OO 2cm Xác định vị trí tương đối cảu hai

đường tròn O;5cm và O r;  biết rằng r3cm.

Bài 12: Cho đường tròn tâm O, bán kính R Lấy điểm A tùy ý trên  O Vẽ đường tròn

đường kính OA Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn

Bài 13: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A1;1 và B3;0 Vẽ các đường tròn

A r;  và B r;  Khi r3 và r 1, hãy xác định vị trí tương đối của hai đường

tròn

Bài 14: Cho ABC có B C ,  90  

, đường cao AH Từ H kẻ HK vuông góc với AB

tại K , HI vuông góc với AC tại I Xác định vị trí tương đối của đường tròn

ngoại tiếp tam giác BHK và đường tròn ngoại tiếp tam giác CHI.

Lời giải

Dạng 2: Các bài toán liên quan đến hai đường tròn tiếp xúc nhau

I Cách giải: Áp dụng các kiến thức về vị trí tương đối của hai đường tròn liên quan đến trường hợp hai đường tròn tiếp xúc nhau ABH ANH

II Bài toán

Bài 1: Cho đường tròn  O và  O' tiếp xúc ngoài tại A Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC

với B thuộc  O , C thuộc  O' Tiếp tuyến chung trong tại A cắt tiếp tuyến chung

ngoài BC ở I

a Vẽ đường kính BOD và CO E' Chứng minh các bộ ba điểm B A E, , và C A D, , thẳng hàng

b Chứng minh BAC DAE, có diện tích bằng nhau

c Gọi K là trung điểm của DE Chứng minh đường tròn ngoại tiếp OKO' tiếp

xúc với BC

d Cho OA4,5 ; 'cm O A2cm Tính AI BC CA, ,

I

O' O

C

D

E

K B

Bài 2: Cho hai đường tròn O R;  và O r';  tiếp xúc ngoài với nhau tại A Vẽ tiếp tuyến

chung ngoài BC với B O C,  O' Đường thẳng vuông góc với OO' kẻ từ A

cắt BC ở M

a) Tính MA theo R và r

b) Tính diện tích tứ giác BCO O' theo R và r

c) Tính diện tích BAC theo R và r

d) Gọi I là trung điểm của OO' Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến của đường

tròn I IM; 

M B

C

O' A

I O

Lời giải

Bài 3: Cho hai đường tròn  O và  O' tiếp xúc ngoài tại A Kẻ các đường kính AOB,

'

AO C Gọi DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn Gọi M là giao điểm của

BD và CE

a Tính DAE

b ADME là hình gì ? Vì sao ?

c Chứng minh rằng MA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn

d Chứng minh: MD MB ME MC.  .

e Gọi H là trung điểm của BC, chứng minh rằng MH DE

Bài 4: Cho ba điểm J I J, , ' cùng nằm trên 1 đường thẳng theo thứ tự đó Cho biết

10cm



IJ , IJ' 4 CM Vẽ đường tròn  O đường kính IJ và đường tròn  O'

đường kính IJ'

a Chứng minh  O và  O' tiếp xúc ngoài ở I

b Gọi A là 1 điểm trên đường tròn  O , tia AI cắt  O' ở A' Chứng minh rằng

' '

AIJ#A IJ

c Qua điểm I kẻ 1 cát tuyến cắt  O ở B (B và A thuộc hai nửa mặt phẳng bờ

IJ ), cắt đường tròn  O' ở B' Chứng minh: IAB#IA B' '

1 1 I

M

D

E

C O'

A H O

B

d Chứng minh rằng: OAB# O A B; ' '

e ABA B' ' là hình gì vì sao ?

Lời giải

Bài 5: Cho 3 điểm A B C, , theo thứ tự đó trên một đường thẳng và AB4BC Trên cùng

một nửa măt phẳng bờ AC vẽ nửa đường tròn tâm O đường kính AB và nửa

đường tròn tâm O' có đường kính BC Tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn

có tiếp điểm với đường tròn  O ở F với nửa đường tròn  O' ở G , cắt các tiếp

tuyến vẽ từ A và C của hai nửa đường tròn đó ở D và E Tiếp tuyến chung của

hai nửa đường tròn ở B cắt DE ở I

a Chứng minh các tam giác OIO', OID, O IE' là các tam giác vuông

b Đặt O C a'  (a là độ dài cho trước) Tính BI EG, và AD theo a

c Tính diện tích tứ giác ADEC theo a

Lời giải

4 3

J' I

J

O' O

B'

A' B

A

E G F

D

C O'

B O

A

I

Dạng 3: Các bài toán liên quan đến hai đường tròn cắt nhau

I Cách giải : Áp dụng các kiến thức về vị trí tương đối của hai đường tròn liên quan đến trường hợp hai đường tròn cắt nhau

II Bài toán

Bài 1: Cho hai đường tròn O;12cm và O';5cm, OO' 13cm

a) Chứng tỏ rằng hai đưuòng tròn  O và  O' cắt nhua tại hai điểm phân biệt

b) Gọi A B, là giao điểm của hai đường tròn  O và  O' Chứng minh rằng OA

là tiếp tuyến của đường tròn  O' , OA là tiếp tuyến của đường tròn  O Tính độ dài AB

Lời giải

Bài 2: Cho hai đường tròn  O và  O' cắt nhau ở A và B (O và O' thuộc hai nửa mặt

phẳng bờ AB) Kẻ các đường kính BOC và BO D'

a Chứng minh rằng ba điểm C A D, , thẳng hàng

b Biết OO' 5cm, OB4cm, 'O B3cm Tính diện tích tam giác BCD

Lời giải

H

B

O' O

A

O'

B O

D A

C

Bài 3: Cho hai đường tròn  O và  O' giao nhau tại M và N Gọi I là trung điểm của

'

OO Đường thẳng kẻ qua M vuông góc MI cắt đường tròn  O và  O' lần lượt

ở A và B Hai đường thẳng vuông góc với AB tại A và B cắt đường tròn  O ở

P,  O' ở Q

a Chứng minh rằng M là trung điểm của AB

b MI cắt PQ ở E, chứng minh: EP EQ

c Chứng minh: IH IK

Bài 4: Cho hai đường tròn  O và  O' cắt nhau tại A và B Gọi M là trung điểm của

'

OO Đường thẳng qua A cắt các đường tròn  O và  O' lần lượt ở C và D

a Khi CD AB Chứng minh: AC AD

b Khi CD đi qua A và không vuông góc với MA

- Vẽ đường kính AE của  O , AE cắt  O' ở H Vẽ đường kính AF của  O' ,

AF cắt  O ở G Chứng minh AB EG FH, , đồng quy

- Tìm vị trí của CD để đoạn CD có độ dài lớn nhất

Lời giải

Bài 5: Cho góc vuông xOy Lấy các điểm I và K lần lượt trên các tia Ox Oy, Đường

tròn I OK;  cắt tia Ox tại M (I nằm giữa O và M ), đường tròn K OI;  cắt tia

Oy tại N (K nằm giữa O và N )

a Chứng minh  I và  K luôn cắt nhau

Q N

E P

O' I

O

K H

B M

A

G

F

H

E

D C

B

A

M

O' O

b Tiếp tuyến tại M của  I , tiếp tuyến tại N của  K cắt nhau tại C Chứng

minh tứ giác OMCN là hình vuông

c Gọi A B, là các giao điểm của  I và  K trong đó B ở miền trong góc xOy Chứng minh ba điểm A B C, , thẳng hàng

d Giả sử I và K theo thứ tự đi động trên các tia Ox và Oy sao cho OI OK a 

không đổi Chứng minh đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định.

Lời giải

Dạng 3: Các bài toán về hai đường tròn không

cắt nhau

I Cách giải: Áp dụng các kiến thức về vị trí

tương đối của hai đường tròn liên quan đến

trường hợp hai đường tròn không giao nhau

II Bài toán

Bài 1: Cho hai đường tròn đồng tâm O, có bán

kính lần lượt là R và r Dây MN của

đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ tại A và B.

Gọi BC là đường kính của đường tròn nhỏ Tính

giá trị của biểu thức  2 2 2

AC AM AN theo R và r

Bài 2: Cho hai đường tròn O R;  và O r';  ở ngoài

nhau Gọi MN là tiếp tuyến chung ngoài, EF

Là tiếp tuyến chung trong (M và E thuộc  O , N và F thuộc  O; ) Tính bán

kính của đường tròn  O và  O' trong các trường hợp sau:

a) OO' 10cm, MN8cm,EF 6cm

b) OO' 13cm, MN 12cm,EF 5cm

Lời giải

Bài 3: Cho hai đường tròn O cm;6  và O'; 2cm

nằm ngoài nhau Gọi AB là tiếp tuyến

chung ngoài, CD là tiếp tuyến chung trong

I L

P

K

M

C N

O

B

A

F

E

R O C

N B A

M

H

O E

K

O' N M

O'

K C

O

A

của hai đường tròn (A C,  O B D; ,  O' ) Biết AB2CD, tính độ dài đoạn nối

tâm OO'

Lời giải

Bài 4: Cho hai đường tròn  O và  O' nằm ngoài nhau Kẻ các tiếp tuyến chung ngoài

AB và CD (A C,  O B D; ,  O' ) Tiếp tuyến chung trong MN cắt AB CD, theo thứ tự tại E F, , M O N,  O' 

Chứng minh:

a) AB EF

b) EM FN

Dạng 4: Chứng minh các tính chất về hệ

thức hình học Bài 1: Cho hai đường tròn O R;  và O R;  tiếp xúc ngoài tại A Kẻ tiếp tuyến chung

ngoài BC, B O , C O Tiếp tuyến chung trong tại A cắt tiếp tuyến chung

ngoài BC tại I Chứng minh rằng:

a) OIO   90

b) BC 2 RR

Bài 2: Cho hai đường tròn  O và  O cắt nhau tại A và B, trong đó O\prime nằm

trên đường tròn  O Kẻ đường kính O C của đường tròn  O .

a) Chứng minh rằng CA, CB là hai tiếp tuyến của  O

b) Đường vuông góc với AO cắt CB tại I Đường vuông góc với AC tại C cắt

đường thẳng O B ở K Chứng minh rằng ba điểm O, I , K thẳng hàng.

Bài 3: Cho hai đường tròn O R1 ; 1 và O R2 ; 2 (với R R ) tiếp xúc ngoài tại 1 2 A Kẻ các

tiếp tuyến chung ngoài BC và DE (với B, D thuộc  O1 ; C E, thuộc  O2 ) Chứng minh rằng: BC DE BD CE  

Bài 4: Cho hai đường tròn  O1 và  O2 ngoài nhau Vẽ các tiếp tuyến chung ngoài AB

và CD (với A, D thuộc  O1 ; B, C thuộc  O2 ) Nối AC với  O1 tại M; cắt

 O2 tại N với M A N C,   Chứng minh rằng AM NC .

B

O'

D F N C

O

M E A

* Lưu ý: Trong bài toán ta đã sử dụng tính chất đường thẳng song song với hai đáy của hình thang và đi qua trung điểm của một đường chéo thì đi qua trung điểm của đường chéo còn lại

Dạng 5: Tính độ dài đoạn thẳng Bài 1: Trong hình vẽ, cho hai đường tròn đồng tâm O Cho biết BC là đường kính của

đường tròn lớn và độ dài bằng 8 Dây CD là tiếp tuyến của đường tròn nhỏ và

  30

BCD Hãy tính bán kính của đường tròn nhỏ.

Bài 2: Cho hai đường tròn O R;  và O R;  cắt nhua tại M và N Biết OO 24cm,

10cm



Bài 3: Cho hai đường tròn O R;  và O R;  tiếp xúc ngoài tại A Kẻ tiếp tuyến chung

ngoài MN với M thuộc  O , N thuộc  O Biết R9cm, R 4cm Tính độ dài

đoạn MN

Bài 4: Cho hai đường tròn O;3cmvà O;4cm cắt nhau tại A và B Qua A kẻ một cát

tuyến cắt ( )O tại M (với M A ), cắt  O tại N (N A) Nếu O O 5cm Hãy

tính giá trị lớn nhất của MN

C BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 1: Chiếc đồng hồ trang trí ở hình vẽ gợi nên vị trí tương đối của các đường tròn

Quan sát hình vẽ và chỉ ra một cặp đường tròn

Lời giải

Bài 2: Cho hai điểm O và O cách nhau một khoảng 5cm Mỗi đường tròn sau đây có

vị trí tương đối như thế nào đối với đường tròn O;3cm

a) Đường tròn O;3cm

b) Đường tròn O;1cm

c) Đường tròn O;8cm

Bài 3: Xác định vị trí tương đối của O R;  và O R;  trong mỗi trường hợp sau

a) O O 18; R10; R 6

b) O O 2; R9; R 3

c) O O 13; R8; R 5

d) O O 17; R15; R 4

Bài 4: Cho ba điểm O, A và O\prime Với mỗi trường hợp sau, hãy viết hệ thức giữa

các độ dài O O ,OA và O A rồi xét xem hai đường tròn O OA;  và O O A;   tiếp

xúc trong hay tiếp xúc ngoài với nhau Vẽ hình để khẳng định dự đoán của mình a) A nằm giữa O và O

b) O nằm giữa A và O

c) O nằm giữa A và O

Bài 5: Cho hai đường tròn  O và  O tiếp xúc ngoài với nhau tại A Một đường thẳng

qua A cắt  O tại B và cắt  O tại C Chứng minh rằng OB O C// 

Bài 6: Cho hai đường tròn O;2cm và A;2cm cắt nhua tại C, D, điểm A nằm trong

đường tròn tâm O

a) Vẽ đường tròn C;2cm

b) Đường tròn C;2cm có đi qua hai điểm O và A hay không? Vì sao?

Bài 7: Cho hai đường tròn A;6cm và B;4cm cắt nhau tại C và D, AD8cm Gọi K ,

I lần lượt là giao điểm của hai đường tròn đã cho với đoạn thẳng AB.

a) Tính độ dài của các đoạn thẳng CA CB DA, , và DB

b) Điểm I có phải là trung điểm của đoạn thẳng AB hay không?

c) Tính độ dài của đoạn thẳng IK.

Bài 8: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB Xác định vị trí tương đối của hai đường

tròn I IA;  và B BA; 

Bài 9: Cho hai đường tròn O;8cm và O;3cm Kẻ tiếp tuyến chung ngoài AB (A O

; B O ) Tính độ dài đoạn thẳng AB nếu O O 13cm

Bài 10: Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đo và dựng các đường tròn đường

kính AB, BC Từ A vẽ tiếp tuyến với đường tròn đường kính BC (D là tiếp

điểm), tiếp tuyến AD cắt đường tròn đường kính AB tại E E A  Chứng minh rằng tia BD là tia phân giác của góc EBC.

Lời giải

Bài 11: Cho hình vuông ABCD, lấy điểm M bất kì trên đường chéo BD M B M, D

Vẽ đường tròn  O qua M và tiếp xúc với AB tại B, vẽ đường tròn  O qua M

và tiếp xúc với AD tại D Hai đường tròn  O và  O cắt nhau tại điểm thứ hai

N N M

a) Chứng minh rằng O N là tiếp tuyến của đường tròn  O và ON là tiếp tuyến

của  O

b) Khi M di động trên BD, tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn O O theo cạnh

hình vuông ABCD

Bài 12: Cho O;4cm và O;2cm và O O 9cm Dựng tiếp tuyến chung trong của  O và

 O

Bài 13: Cho đường thẳng d Lấy điểm O thuộc d, vẽ hai nửa đường tròn O r;  và

O R;  (với 0  r R) trên cùng một nửa mặt phẳng bờ d Chứng minh điều kiện

cần và đủ để có hai điểm A, D thuộc O r;  và hai điểm B C, thuộc O R;  sao cho ABCD là một hình vuông là r R r   2 1  

Bài 14: Cho hai đường tròn tâm O và tâm 1 O tiếp xúc ngoài tại 2 A Tiếp tuyến chung

ngoài có tiếp điểm với hai đường tròn lần lượt ở M và N Tiếp tuyến chung

trong của hai đường tròn tại A cắt MN tại I

a) Chứng minh tam giác MAN và OIO' là các tam giác vuông

b) Xác định vị trí tường đối của đường thẳng MN với đường tròn đường kính

'

OO

c) Tính S OIO' biết bán kính của hai đường tròn tâm O và O' lần lượt bằng 48cm

và 27cm