skkn một số giải pháp giúp học sinh tránh những sai lầm cơ bản khi giải phương trình vô tỉ

Để khắc phục những tồn tại trên khi dạy cho học sinh giải phương trình vô tỷ, giáo viên cần trang bị cho học sinh các kiến thức cơ bản trong sách giáo khoa và kiến thức mở rộng, hình thà

1.1 Lý do chọn đề tài

Trong môn toán ở trường phổ thông nói chung và đại số lớp 9 nói riêng thì phần phương trình vô tỉ giữ một vai trò, vị trí hết sức quan trọng Ngoài việc cung cấp cho học sinh kiến thức, kĩ năng giải toán thì việc giải phương trình còn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất của con người lao động mới: cẩn thận, chính xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm

mĩ, tư duy sáng tạo cho học sinh

Phương trình vô tỉ là phương trình chứa ẩn trong dấu căn Trong chương trình đại số 9, phương trình vô tỉ là một dạng toán khó Khi gặp các phương trình có chứa căn tương đối phức tạp, học sinh rất lúng túng không tìm ra cách giải và hay mắc sai lầm khi giải Có những phương trình không thể giải bằng các phương pháp quen thuộc Khi gặp phương trình vô tỉ, học sinh thường chỉ quen một phương pháp là nâng luỹ thừa 2 vế để làm mất dấu căn Nhưng trong quá trình giải sẽ thường mắc phải một số sai lầm trong phép biến đổi tương đương phương trình, vì vậy dẫn đến thừa hoặc thiếu nghiệm Có một số phương trình sau khi làm mất dấu căn sẽ dẫn đến phương trình bậc cao, mà việc nhẩm nghiệm

để đưa về phương trình bậc nhất, bậc 2 để giải lại rất là khó khăn Vì vậy học sinh sẽ rất lúng túng và không tìm ra lời giải Để khắc phục những tồn tại trên khi dạy cho học sinh giải phương trình vô tỷ, giáo viên cần trang bị cho học sinh các kiến thức cơ bản trong sách giáo khoa và kiến thức mở rộng, hình thành các phương pháp giải một cách kịp thời Với mỗi phương trình cần để cho học sinh nhận dạng phát hiện ra cách giải và tìm ra cách giải phù hợp nhất, nhanh nhất Qua mỗi dạng giáo viên nên tổng quát cách giải và hướng dẫn học sinh đặt đề toán tương tự, từ đó khắc sâu cách làm cho học sinh Nếu biết phân dạng, chọn các ví dụ tiêu biểu, hình thành đường lối tư duy cho học sinh thì sẽ tạo nên hứng thú nghiên cứu, giúp học sinh hiểu sâu, nhớ lâu và nâng cao hiệu quả giáo dục Chính vì thế trong quá trình giảng dạy bộ môn toán lớp 9, tôi đã mạnh dạn chọn

đề tài: “Một số giải pháp giúp học sinh tránh những sai lầm cơ bản khi giải phương trình vô tỉ" Tôi hi vọng đề tài này có thể làm tài liệu tham khảo cho

giáo viên và học sinh khá giỏi, rèn luyện cho học sinh năng lực từ những kiến thức quen biết, nhận dạng và đưa những bài tập chưa biết cách giải về dạng bài tập quen biết đã biết cách giải, có được hệ thống bài tập để nâng cao chất lượng giáo dục, đặc biệt là ôn luyện cho học sinh giỏi cũng như thi vào các trường

THPT chuyên

* Phạm vi nghiên cứu:

Trong sáng kiến này tôi chỉ nêu ra một số giải pháp giúp các em học sinh tránh được những sai lầm hay gặp khi giải phương trình vô tỉ, đặc biệt là các em học sinh khá, giỏi lớp 8, 9 đang bồi dưỡng học sinh giỏi và chuẩn bị thi vào các trường THPT chuyên

1.2 Điểm mới của đề tài

“Một số giải pháp giúp học sinh tránh những sai lầm cơ bản khi giải phương trình vô tỉ” đã được nhiều người nhắc đến Tuy nhiên còn nêu chung

chung và chưa khái quát được những sai lầm cụ thể, chưa đưa ra được các phương pháp cụ thể để khắc phục những sai lầm cho học sinh Vì thế, trong đề tài này, với kinh nghiệm của bản thân đã đúc kết được qua quá trình nghiên cứu

và thực tế giảng dạy, tôi đã cố gắng phân tích, chỉ ra các sai lầm của học sinh, đề

ra các giải pháp cụ thể thông qua các ví dụ minh họa giúp học sinh tránh được các sai lầm về sau Mong rằng đề tài sẽ được các đồng nghiệp và các em học sinh đón nhận

2 – PHẦN NỘI DUNG 2.1 – Thực trạng của vấn đề mà đề tài, sáng kiến cần giải quyết

Thực tế cho thấy Toán học là nền tảng cho mọi ngành khoa học, là chiếc chìa khoá vạn năng để khai phá và thúc đẩy sự phát triển cho mọi ngành khoa học, kinh tế, quân sự trong cuộc sống Chính vì vậy việc dạy và học bộ môn toán trong nhà trường đóng vai trò vô cùng quan trọng Dạy toán chiếm vị trí số một trong các môn học của nhà trường, đối với giáo viên, dạy toán là niềm tự hào song đó cũng là thử thách vô cùng lớn Để dạy toán và học toán tốt thì Thầy

và Trò không ngừng rèn luyện và đầu tư trí và lực vào nghiên cứu học hỏi Học

và dạy toán với chương trình cơ bản đã rất khó, xong dạy và học toán trong đào tạo mũi nhọn lại vô cùng gian truân, việc học và dạy không dừng ở việc người học và người dạy phải có trí tuệ nhất định mà cả thầy và trò phải dày công đầu

tư vào nghiên cứu các dạng toán, thuật toán vận dụng hợp lý các tính chất toán học do các nhà toán học đã nghiên cứu vào giải toán, ngoài ra người dạy và học toán phải tự rèn luyện và nghiên cứu để có những công trình toán của riêng mình cùng góp sức để đưa bộ môn toán ngày càng phát triển

Qua quá trình giảng dạy nhiều năm gần đây bản thân tôi thấy việc hình thành cho học sinh cách suy nghĩ để tìm lời giải cho bài toán hoặc mỗi dạng toán nào đó là công việc rất khó Đứng trước một bài toán nếu người thầy chưa hiểu, chưa có hướng giải thì ta hướng dẫn học sinh như thế nào, trong những tình huống như thế người thầy sẽ mất vai trò chủ đạo trong việc dạy học sinh, còn học sinh đã không giải được toán nhưng lại mất niềm tin ở thầy và cảm thấy việc học toán là cực hình, là khó vô cùng không thể học được

Khảo sát thực tế 22 học sinh khá giỏi tại một trường THCS về các bài toán giải phương trình vô tỉ (chưa áp dụng sáng kiến) có kết quả như sau:

Khi gặp phương trình vô tỉ đa số học sinh thường giải sai, giải không triệt

để, thường kết luận thừa hoặc thiếu nghiệm

Với các dạng toán khác mà khi triển khai đến bước phải giải phương trình vô tỉ thì học sinh thưởng giải sai hoặc lúng túng

Trong các đề thi học sinh giỏi và thi vào THPT chuyên thường có dạng giải phương trình vô tỉ, mà nếu học sinh nắm phần này không tốt thì khó để có thể đạt được điểm cao

Trong quá trình dạy học đôi khi chính giáo viên cũng mắc sai lầm, chính

vì vậy tôi xin mạnh dạn đưa ra một số giải pháp sau đây để góp phần tránh được sai lầm cơ bản cho học sinh

2.2 Nội dung đề tài

2.2.1 Giải pháp 1: Định hướng cho học sinh giải theo phương pháp biến đổi tương đương đối với hai dạng phương trình cơ bản để khắc phục một số sai lầm khi học sinh giải theo phương pháp biến đổi hệ quả

Phương pháp:

Dạng 1: ( ) ( ) ( )

( ) ( ) 2

0

g x

f x g x

f x g x







=

Chú ý: Không cần đặt điều kiện xác định của phương trình là f x ( ) 0.

Dạng 2: f x( ) g x( ) f x( ) ( ) 0( )

f x g x







= hoặc f x( ) g x( ) g x( ) ( ) 0( )

f x g x







=

Chú ý: Không cần đặt đồng thời cả g x  và ( ) 0 f x  vì( ) 0 f x( )=g x( ).

Trong quá trình giải phương trình dạng f x( )=g x( ) phần lớn học sinh chỉ đặt điều kiện f x ( ) 0 Nhưng chúng ta nên để ý rằng đây chỉ là điều kiện đủ

để thực hiện được phép biến đổi cho nên trong quá trình giải học sinh dễ mắc sai lầm khi lấy nghiệm và loại bỏ nghiệm ngoại lai vì nhầm tưởng điều kiện

( ) 0

f x  là điều kiện cần và đủ của phương trình

Ví dụ 1: Giải phương trình 2 x − = − (1) 3 x 2

Điều kiện phương trình (1) là 3

2

x  (*)

2x 3 x 4x 4 x 6x 7 0

Phương trình cuối có nghiệm là x = +3 2 và x = −3 2

Cả hai nghiệm đều thoả mãn điều kiện (*) của phương trình (1) nhưng khi thay các giá trị của các nghiệm tìm được vào phương trình (1) thì giá trị x = −3 2 không thỏa mãn Vậy nghiệm phương trình (1) là x = +3 2

Một số học sinh đã mắc sai lầm là cho rằng sau khi giải được nghiệm ở

phương trình cuối chỉ cần so sánh với điều kiện 3

2

x  để lấy nghiệm và nghiệm phương trình là x = +3 2 và x = −3 2

Nhưng một số học sinh cẩn thận hơn là có thử lại nghiệm Tuy nhiên với cách giải trên rất phức tạp ở việc thay giá trị của nghiệm vào phương trình ban đầu để thử sau đó loại bỏ nghiệm ngoại lai

Ví dụ 2: Giải phương trình 3x2−2x− =1 3x+ (2) 1

Với những học sinh nắm vững kiến thức và làm bài cẩn thận mà vẫn làm theo phương pháp biến đổi hệ quả thì cũng gặp khó khăn trong quá trình giải đó là: Biểu thức dưới dấu căn là biểu thức bậc hai, nên nếu sử dụng phương pháp biến đổi hệ quả sẽ gặp khó khăn khi biểu thị điều kiện để 2

3x −2x−  và 1 0 thay giá trị của các nghiệm vào phương trình ban đầu để lấy nghiệm

Do đó nên cho học sinh giải đúng theo định hướng ban đầu như sau:

Ta có: ( )

( )2

2

2

1

1 3

3

3

x x

x x

x

x

x











 −

−

−

Vậy nghiệm của phương trình (2) là 1

3

x = −

Ví dụ 3: Giải phương trình 3 x− = − (3) 4 x 3

Hướng dẫn học sinh biến đổi tương đương cùng một lúc như sau:

Ta có:

(3)

3

9 13 0

2

x

x

x x

x















 +

− = −

−

=

Vậy nghiệm của phương trình (3) là 9 29.

2

x= +

Ví dụ 4: Giải phương trình 2

5x +6x− =7 x+ (4) 3 Học sinh thường đặt điều kiện

2

3 0

x

 sau đó bình phương hai vế để

giải phương trình

Học sinh gặp phải một trở ngại là mất thời gian để biểu thị hệ điều kiện của phương trình mà không biết rằng chỉ cần điều kiện x + 3 0 là điều kiện cần và đủ mà không cần đặt đồng thời cả hai điều kiện

Nên định hướng cho học sinh giải như sau:

3

2

1

1

x

x

x

x

 −







= −

=

Vậy nghiệm của phương trình (4) là x = −2 và x =1

Việc định hướng ngay từ ban đầu là yêu cầu học sinh giải theo cách biến đổi tương đương giúp cho học sinh không đi lệch hướng và tránh được những sai lầm đáng tiếc

Ví dụ 5: Giải phương trình 2

2x +3x− =4 7x+ (5) 2 Tương tự ví dụ trên học sinh giải như sau:

Ta có: (5) 2

2

2 2

7

3 7

1

3

x

x x

x x

x



 −

=

Vậy nghiệm của phương trình (5) là x = 3

Ví dụ 6: Giải phương trình − + =3x 2 2x+ (6) 1

Để không bị quên kiểm tra lại điều kiện nên yêu cầu học sinh biến đổi tương

đương cùng một lúc: (6) 

1

5 1

5

x x

x

x







 − + 

Vậy nghiệm của phương trình (6) là 1

5

x =

Nhận xét: Đối với hai dạng phương trình cơ bản nêu trên nếu giải theo phương

pháp biến đổi hệ quả thì phải đặt điều kiện và phải thử lại nghiệm nên khá rườm

rà dẫn đến dễ mắc sai lầm và thiếu sót Còn giải theo phương pháp biến đổi tương đương thì đơn giản và thuận tiện hơn

2.2.2 Giải pháp 2: Khắc phục khó khăn cho học sinh khi giải phương trình dạng 1 ở trên theo phương pháp biến đổi tương đương bằng cách đặt ẩn phụ Phương pháp: Chuyển phương trình về dạng af x( )+b f x( )+ =c 0 Sau đó đặt

ẩn phụ: f x( ) (=t t0) Đưa về phương trình về dạng: at2 + bt + c = 0

Ví dụ 7: Khi gặp bài toán 2 2

x − x+ = − +x x+ (7) Nếu học sinh vẫn cứ biến đổi tương đương như sau:

(7) 

2

2

x x







− + = − + + thì sẽ dẫn đến một phương trình bậc bốn và

để giải được kết quả cuối cùng thì không phải lúc nào cũng thuận lợi

Do đó ta phải có phương pháp khác đó là đặt ẩn phụ và từ đó hình thành cho học sinh một lớp bài toán giải phương trình chứa căn bằng phương pháp đặt ẩn phụ Khi đó hướng dẫn học sinh biến đổi như sau :

x − + +x x − + − = x

Đặt x2− + =3x 5 t t(  Khi đó phương trình trở thành 0)

12 0

4( )

t

t t

t l







= + − = 

= − Với t = 3 ta được 2

1

4

x

x x

x







= −

− + = 

=

Vậy nghiệm của phương trình (7) là x = -1 và x = 4

Ví dụ 8 : Giải phương trình 2 2

5 4x −12x+11=4x −12x+ (8) 15 Theo mạch đó học sinh sẽ giải như sau :

4x −12x+ −11 5 4x −12x+11+ = 4 0 Đặt 2

4x −12x+11= (t t  0)

4

t

t t

t

=



− + =   = (thoả mãn điều kiện của t)

4x −12x+11 1= 4x −12x+10= (phương trình vô 0 nghiệm)

4

4

x

x

=





=



Vậy nghiệm của phương trình là: 3 56; 3 56

x= + x= +

Ví dụ 9: Giải phương trình: ( 2 ) 2 ( 2 ) 2

2x +1 2x + =1 4 x − +1 3 2x + 1

Ta biến đổi để trong phương trình có những biểu thức giống nhau như sau:

2x +1 2x + =1 2 2x + +1 3 2x + − 1 6

Đặt 2x2+1=t (t ≥ 1)

Khi đó ta được một phương trình bậc ba với ẩn t: 3 2

t − t − + = t

 ( t – 2 )(t2 – 3 ) = 0 t = 2 hoặc t = 3 hoặc t = – 3 (loại )

Với t = 2  2

2x + = 2  x = 1 6

2



Với t = 3  2

2x + = 3  x = 1 1

Vậy phương trình có bốn nghiêm là: x = 6

2

 , x = 1

Nhận xét:

Khi việc bình phương hai vế mà dẫn đến một phương trình phức tạp thi ta nên nghĩ đến việc biến đổi để trong phương trình có những biểu thức chứa biến giống nhau để giải theo phương pháp đặt ẩn phụ

Trong hai ví dụ này, ta có thể khái quát thành dạng tổng quát như sau:

 + + =  + + , khi đó ta đổi biến  ( 2 )

t

ax bx

2

t

ax +bx = −   (t ≥ 0)

Tuy nhiên trong một vài trường hợp, nếu phương trình trên có nghiệm từ hai nghiệm hửu tỉ trở lên (có thể trùng nhau) ta vẫn có thể giải bằng cách bình phương hai vế của phương trình

Ví dụ 10: Giải phương trình: 2

2x− +1 x −3x+ = 1 0

Ta có:

1

x

x

=





 = −

 Thử lại ta thấy phương trình có nghiệm là x =1 và x = +2 2

2.2.3 Giải pháp 3: Định hướng cho học sinh nên đặt điều kiện trước khi giải các phương trình chứa nhiều căn thông qua một số phương pháp giải khác nhau để tránh sai lầm khi lấy nghiệm của phương trình

Phương pháp: Đối với các phương trình chứa nhiều căn bậc hai ta nên đặt điều

kiện trước khi giải

a Phương trình chứa nhiều căn giải bằng phương pháp biến đổi tương đương, bình phương nhiều lần

Ví dụ 11: Giải phương trình 3 x+ −7 x+ = (11) 1 2

Điều kiện: 3 7 0

1 0

x x

+ 



 + 

7 3 1

x x

  −





  −



 x  − 1 (11’)

Với điều kiện (11’) ta có: (11)  3x +7 = 2 + x +1

3x + 7 = x + 5 + 4 x +1

2 x +1 = x + 1 (với điều kiện (11’) ta tiếp tục bình phương hai vế)

4x + 4 = x2 + 2x + 1

x2 - 2x - 3 = 0

 1

3

x

x

= −



 =

 (thoả mãn điều kiện (11’))

Vậy nghiệm của phương trình (11) là x = -1 và x = 3

Ví dụ 12: Giải phương trình 2 x− +4 x− =1 2x− +3 4x−16 (12)

Khi gặp bài toán này nhiều học sinh có thể đưa ra lời giải sai như sau

Ta có : (12) 2 x− +4 x− =1 2x− +3 4x−16

− = − =

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 2

Ta nhận ra ngay x = 2 không phải là nghiệm đúng của phương trình đã

cho do học sinh không tìm điều kiện của phương trình

Lời giải đúng là: Điều kiện

4 0

x

x











− 

− 

(12’)

Với điều kiện (12’) ta có: (12) 2 x− +4 x− =1 2x− +3 2 x−4  x− =1 2x−  = (không thỏa mãn) 3 x 2

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Chú ý:







=



 +

=

+

C B

A C

A B

Tuy nhiên không phải bài nào ta cũng cố đi tìm cho được điều kiện cụ thể của phương trình, chẳng hạn như ví dụ sau:

7−x +x x+ =5 3 2− x−x (13)

Hướng dẫn : Điều kiện

2 2

5 0

x x x



 + 



(13’)

Lưu ý: Hệ điều kiện trên rất phức tạp nên ta không cần giải ra cụ thể

Với điều kiện (13’) nên hai vế không âm, bình phương hai vế ta được

(13) −7 x +x x+ = −5 3 2x− x

x x



 



x

−  



 



1

1 4

x x

x x

−  





 = −

 = −



 = 



(thỏa mãn điều kiện (13’))

Vậy nghiệm của phương trình (13) là x = -1

Ví dụ 14: Giải phương trình: 2 x+ +7 2 x+ −1 x+ = (14) 1 4

Điều kiện của phương trình là x 1 (14’)

Ta thấy: Biểu thức dưới dấu căn x+ +7 2 x+ có dạng hằng đẳng thức 1

(a + b)2 = a2 +2ab + b2 nên ta biến đổi như sau:

( ) ( )2

x = 3 thỏa mãn điều kiện (14’) Vậy nghiệm của phương trình là x = 3

b Phương trình chứa nhiều căn bậc hai giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Ví dụ 15: Giải phương trình: 2 (x−2 7)( − −x) x− −2 7− = x 1

Trong dạng phương trình này học sinh cần nhận xét là:

x− + −x = (hằng số), do đó nếu ta đặt x− +2 7−x=t thì ta có:

2

t − = x− − , cần chú ý đến điều kiện của biến trung gian để việc giải x bài toán có nhiều thuận lợi

Điều kiện −  2 x 7

Đặt t = x− +2 7− ( 0)x t 

t = + x− − x

Ta được phương trình: t2 – 5 – t = 1  t2 – t – 6 = 0  3

2 ( )

t

=



 = −

Với t = 3 ta được (x−2 7)( − = 2  x x) 2 – 9x + 18 = 0  6

3

x x

=



 =



Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 6 và x = 3

Tuy nhiên có những bài như sau:

2x+ +3 x+ =1 3x+2 2x +5x+ − (16) 3 16

1 0

x

x x

+ 



  −

 + 

2

( 2x+3) + x+1 =3x+4 khác hằng số

Tuy nhiên ta vẫn có thể giải bằng phương pháp trên

Đặt 2x+ +3 x + = , (Điều kiện t 1 t  0)

3x+2 2x +5x+ = − 3 t 4

Phương trình (16) trở thành: t2 - t - 20 = 0  5

4 ( )

t

=



 = −



Với t = 5 ta được 2

2 2x +5x+ =3 21 3− x(là phương trình thuộc dạng 1)