Skkn một số giải pháp giúp học sinh tránh những sai lầm cơ bản khi giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai

CỢNG HÒA XÃ HỢI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Đợc lập – Tự – Hạnh phúc MỘT SỐ GIẢI PHÁP GIÚP HỌC SINH TRÁNH NHỮNG SAI LẦM CƠ BẢN KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN BẬC HAI Quảng Bình, tháng 11 năm 2018 skkn CỢNG HÒA XÃ HỢI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Đợc lập – Tự – Hạnh phúc MỘT SỐ GIẢI PHÁP GIÚP HỌC SINH TRÁNH NHỮNG SAI LẦM CƠ BẢN KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN BẬC HAI Họ tên: Nguyễn Hồ Ngọc Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THPT Lê Quý Đôn Quảng Bình, tháng 11 năm 2018 MỞ ĐẦU skkn 1.1 Lý chọn đề tài Trong mơn tốn trường phổ thơng nói chung đại số lớp 10 nói riêng phần phương trình chứa ẩn dấu giữ vai trò, vị trí quan trọng Ngồi việc cung cấp cho học sinh kiến thức, kĩ giải tốn việc giải phương trình cịn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất người lao động mới: cẩn thận, xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ, tư sáng tạo cho học sinh Các em học sinh học giải phương trình chứa ẩn dấu cụ thể với nội dung sách giáo khoa giới thiệu phương trình chứa dấu bậc hai dạng đơn giản Mặt khác số tiết phân phối chương trình cho phần q nên q trình giảng dạy, giáo viên khơng thể đưa nhiều tập cho nhiều dạng để hình thành kỹ giải cho học sinh Nhưng thực tế, để biến đổi giải xác phương trình chứa ẩn dấu đòi hỏi học sinh phải nắm vững nhiều kiến thức, phải có tư mức độ cao, phải có lực biến đổi tốn học Một thực tế toán giải phương trình chứa ẩn dấu phong phú đa dạng đặc biệt đề thi THPT quốc gia; khơng học sinh cịn phải giải phương trình chứa dạng tốn khác phương trình mũ logarit Do học giải phương trình chứa khơng để giải lớp tốn phương trình chứa mà cịn cơng cụ để em làm tốn dạng khác, đặc biệt giải phương trình loại học sinh thường mắc sai lầm Với lực học sinh trình giảng dạy, tơi khơng hy vọng dạy cho em có kĩ để giải tốn khó phức tạp mà mục đích giúp học sinh giải thành thạo số dạng toán khơng bị mắc sai lầm q trình làm Qua năm giảng dạy tơi tích luỹ số kinh nghiệm dạy nội dung kiến thức Từ những lý chọn đề tài: “Một số giải pháp giúp học sinh tránh sai lầm giải phương trình chứa ẩn dấu bậc hai” 1.2 Điểm mới của đề tài Trong đề tài này đã đưa dạng tốn theo thứ tự của các cấp đợ nhận thức từ nhận biết - thông hiểu - vận dụng để học sinh dễ tiếp cận Sau ví dụ có skkn hướng dẫn giải có nhận xét để học sinh khắc sâu kỹ quan trọng tiếp cận tốn, rèn luyện cách trình bày tốn trình tự, logic, khơng mắc sai lầm biến đổi, đồng thời có tập tương tự để học sinh tự rèn luyện Từ giúp học sinh phân tích để vận dụng nhằm đơn giản hố số tốn, góp phần phát triển lực trí tuệ chung, phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động học sinh quá trình học tập Đề tài tơi áp dụng cho tất học sinh bậc THPT, đặc biệt có hiệu học sinh lớp 10 tiếp cận học phương trình chứa ẩn dấu bậc hai, học sinh 12 ôn thi THPT quốc gia Rất nhiều giáo viên học sinh quan tâm đến cách giải hay dạng phương trình, cịn việc làm để tránh số sai lầm giải phương trình trình bày, điểm đề tài NỘI DUNG 2.1 Thực trạng vấn đề giải phương trình chứa ẩn dấu bậc hai Trước thực đề tài tiến hành khảo sát ( năm học2016-2017) Câu hỏi Số HS làm Tỉ lệ 95 89% 85 71,56% 6.04% Khi gặp phương trình chứa ẩn dấu đa số học sinh thường giải sai, giải không triệt để, kết luận thường thừa thiếu nghiệm Với dạng toán khác mà triển khai đến bước phải giải phương trình chứa ẩn dấu học sinh giải sai lúng túng Trong đề thi THPT quốc gia thường xuất phương trình bất phương trình chứa ẩn dấu bậc hai Học sinh lớp 12 thường quên cách giải giải sai skkn Trong q trình dạy học đơi giáo viên mắc sai lầm, tơi xin mạnh dạn đưa số giải pháp sau để góp phần tránh sai lầm cho học sinh 2.2 Các giải pháp thực 2.2.1 Giải pháp 1: Định hướng cho học sinh giải theo phương pháp biến đổi tương đương hai dạng phương trình để khắc phục số sai lầm học sinh giải theo phương pháp biến đổi hệ Phương pháp: Dạng 1: Chú ý: Không cần đặt điều kiện xác định phương trình Dạng 2: Chú ý: Khơng cần đặt đồng thời Trong sách giáo khoa Đại số 10 nêu phương trình dạng trình bày phương pháp giải cách biến đổi hệ quả, trước giải đặt điều kiện Nhưng nên để ý điều kiện đủ để thực phép biến đổi trình giải học sinh dễ mắc sai lầm lấy nghiệm loại bỏ nghiệm ngoại lai nhầm tưởng điều kiện điều kiện cần đủ phương trình Ví dụ 1: Giải phương trình (1) Sách giáo khoa đại số 10 giải sau: Điều kiện phương trình (1) (*) (1) Phương trình cuối có nghiệm skkn Cả hai nghiệm thoả mãn điều kiện (*) phương trình (1) thay giá trị nghiệm tìm vào phương trình (1) giá trị Vậy nghiệm phương trình (1) bị loại Một số học sinh mắc sai lầm cho sau giải nghiệm phương trình cuối cần so sánh với điều kiện để lấy nghiệm nghiệm phương trình Nhưng số học sinh cẩn thận có thử lại nghiệm Tuy nhiên với cách giải phức tạp việc thay giá trị nghiệm vào phương trình ban đầu để thử sau loại bỏ nghiệm ngoại lai Ví dụ 2: Giải phương trình (2) Với học sinh nắm vững kiến thức làm cẩn thận mà làm theo phương pháp biến đổi hệ gặp khó khăn q trình giải là: Biểu thức dấu biểu thức bậc hai, nên sử dụng phương pháp biến đổi hệ gặp khó khăn biểu thị điều kiện để thay giá trị nghiệm vào phương trình ban đầu để lấy nghiệm Do nên cho học sinh giải theo định hướng ban đầu sau: Ta có: Vậy nghiệm phương trình (2) skkn Ví dụ 3: Giải phương trình (3) Hướng dẫn học sinh biến đổi tương đương lúc sau: Ta có: (3) Vậy nghiệm phương trình (3) Ví dụ 4: Giải phương trình (4) Học sinh thường đặt điều kiện sau bình phương hai vế để giải phương trình Học sinh gặp phải trở ngại thời gian để biểu thị hệ điều kiện phương trình mà cần điều kiện điều kiện cần đủ mà không cần đặt đồng thời hai điều kiện Nên định hướng cho học sinh giải sau : Ta có : (4) Vậy nghiệm phương trình (4) Việc định hướng từ ban đầu yêu cầu học sinh giải theo cách biến đổi tương đương giúp cho học sinh không lệch hướng tránh sai lầm đáng tiếc Ví dụ 5: Giải phương trình (5) Tương tự ví dụ học sinh giải sau: Ta có: (5) skkn Vậy nghiệm phương trình (5) x = Ví dụ 6: Giải phương trình (6) Để không bị quên kiểm tra lại điều kiện nên yêu cầu học sinh biến đổi tương đương lúc: (6) Vậy nghiệm phương trình (6) Nhận xét: Đối với hai dạng phương trình nêu giải theo phương pháp biến đổi hệ phải đặt điều kiện phải thử lại nghiệm nên rườm rà dẫn đến dễ mắc sai lầm thiếu sót Cịn giải theo phương pháp biến đổi tương đương đơn giản thuận tiện 2.2.2 Giải pháp 2: Khắc phục khó khăn cho học sinh giải phương trình dạng theo phương pháp biến đổi tương đương cách đặt ẩn phụ Phương pháp: Chuyển phương trình dạng phụ: Sau đặt ẩn Đưa phương trình dạng: at2 + bt + c = Ví dụ 7: Khi gặp toán (7) Nếu học sinh biến đổi tương đương sau: (7) dẫn đến phương trình bậc bốn để giải kết cuối khơng phải lúc thuận lợi Do ta phải có phương pháp khác đặt ẩn phụ từ hình thành cho học sinh lớp tốn giải phương trình chứa phương pháp đặt ẩn phụ Khi hướng dẫn học sinh biến đổi sau : Ta có: (7) skkn Đặt Khi phương trình trở thành Với t = ta Vậy nghiệm phương trình (7) x = -1 x = Ví dụ 8 : Giải phương trình (8) Theo mạch học sinh giải sau : Ta có : (8) (t  0) Đặt Phương trình trở thành (thoả mãn điều kiện t) Với t = ta được  (phương trình vô nghiệm) Với t = ta Vậy nghiệm phương trình là: Ví dụ 9: Giải phương trình: Ta biến đổi để phương trình có biểu thức giống sau: Đặt (t ≥ 1) Khi ta phương trình bậc ba với ẩn t:  ( t – )(t2 – ) = t = t = Với t =  t = – ( loại ) =2 x= skkn Với t =  = x= Vậy phương trình có bốn nghiêm là: x = Nhận xét: ,x= Khi việc bình phương hai vế mà dẫn đến phương trình phức tạp thi ta nên nghĩ đến việc biến đổi để phương trình có biểu thức chứa biến giống để giải theo phương pháp đặt ẩn phụ Trong hai ví dụ này, ta khái quát thành dạng tổng quát sau: , ta đổi biến  (t ≥ 0) Tuy nhiên vài trường hợp, phương trình có nghiệm từ hai nghiệm hửu tỉ trở lên (có thể trùng nhau) ta giải cách bình phương hai vế phương trình Ví dụ 10: Giải phương trình: (ĐH Khối D – 2006) Ta có: Thử lại ta thấy phương trình có nghiệm 2.2.3 Giải pháp 3: Định hướng cho học sinh nên đặt điều kiện trước giải phương trình chứa nhiều thơng qua số phương pháp giải khác để tránh sai lầm lấy nghiệm phương trình Phương pháp: Đối với phương trình chứa nhiều bậc hai ta nên đặt điều kiện trước giải skkn 10 a Phương trình chứa nhiều giải phương pháp biến đổi tương đương, bình phương nhiều lần Ví dụ 11: Giải phương trình 3x    Điều kiện:  x   (11)  x     x  1   x  1 (11’) Với điều kiện (11’) ta có: (11)  x 1 = x + 3x  = + x   3x + = x + + x  (với điều kiện (11’) ta tiếp tục bình phương hai vế)  4x + = x2 + 2x +  x2 -2x - =  x  1   x  (thoả mãn điều kiện (11’) Vậy nghiệm phương trình (11) x = -1 x = Ví dụ 12: Giải phương trình (12) Khi gặp tốn nhiều học sinh đưa lời giải sai sau Ta có : (12) Vậy phương trình cho có nghiệm x = Ta nhận x = nghiệm phương trình cho học sinh khơng tìm điều kiện phương trình Lời giải là: Điều kiện (12’) Với điều kiện (12’) ta có: (12) ( khơng thỏa mãn) Vậy phương trình cho vô nghiệm skkn 11 A B  Chú ý: A  A C   B C Tuy nhiên ta cố tìm cho điều kiện cụ thể phương trình, chẳng hạn ví dụ sau: Ví dụ 13: Giải phương trình (13) Hướng dẫn : Điều kiện (13’) Lưu ý: Hệ điều kiện phức tạp nên ta không cần giải cụ thể Với điều kiện (13’) nên hai vế khơng âm , bình phương hai vế ta ( thỏa mãn điều kiện (13’)) Vậy nghiệm phương trình (13) x = -1 Ví dụ 14: Giải phương trình: Điều kiện phương trình (14) (14’) Ta thấy: Biểu thức dấu có dạng đẳng thức (a + b)2 = a2 +2ab + b2 nên ta biến đổi sau: x = thỏa mãn điều kiện (14’) Vậy nghiệm phương trình x = b Phương trình chứa nhiều bậc hai giải phương pháp đặt ẩn phụ Ví dụ 15: Giải phương trình: skkn 12 Trong dạng phương trình học sinh cần nhận xét là: ( số ), ta đặt ta có: , cần ý đến điều kiện biến trung gian để việc giải tốn có nhiều thuận lợi Điều kiện Đặt t = Ta suy Ta phương trình: t2 – – t =  t2 – t – =  =  x2 – 9x + 18 =  Với t = ta Vậy phương trình có nghiệm x = x = Tuy nhiên có sau: Ví dụ 16: Giải phương trình HD: Điều kiện Ta thấy (16) (16’) khác số Tuy nhiên ta giải phương pháp , (Điều kiện t  0) Đặt  Phương trình (16) trở thành : t2 - t - 20 =  Với t = ta ( phương trình thuộc dạng 1) skkn 13 So sánh với điều kiện (16’) ta có nghiệm phương trình Ví dụ 17 : Giải phương trình : Hướng dẫn : đặt điều kiện Cũng với hướng giải ta đặt : Phương trình trở thành Với Vậy phương trình cho có nghiệm Có thể tổng quát cho phương trình đặt ẩn phụ dạng sau: , đặt , bình phương hai vế để biểu diễn đại lượng cịn lại qua ẩn t c Phương trình chứa nhiều khác bậc giải phương pháp đặt hai ẩn phụ : Ví dụ 18: Giải phương trình: Với phưong trình có chứa hai loại bậc hai bậc ba, phương pháp binh phương hai vế hay mũ ba hai vế không đem lại kết thuận lợi cho việc giải, đặt ẩn phụ khơng thể đưa phương trình dạng khơng chứa Đó lí để hướng học sinh đến việc phải đặt hai ẩn phụ Ta cần đặt điều kiện cho bậc hai skkn 14 Đặt Ta nhận thấy ( số) Do ta có hệ Với Với Với Vậy phương phương trình có nghiệm x = -24; x = 3; x = -88 Ví dụ 19: Giải phương trình: Với phương trình chứa loại để ta phải mũ ba hai vế việc làm dẫn đến phương trình phức tạp khó giải Nhưng ta lại thấy ( số) Do ta đặt Khi ta có hệ Giải ta có nghiệm (3; 0) (0; 3) Ta tổng quát dạng sau: skkn 15 2.2.4 Giải pháp 4: Tránh sai lầm cho học sinh khai bình phương biểu thức, đưa biểu thức hay vào bậc hai Phương pháp: Ví dụ 20: Khi gặp phương trình: (20) Bài tốn HS giải mắc sai lầm sau: Lời giải sai: Giải   ta có: Vậy phương trình cho có nghiệm x = x = HS kết luận với x =3 x = hai nghiệm thoả mãn phương trình Mà khơng ngờ phương trình cho cịn có nghiệm x = thoả mãn Lời giải phải là: Ta có Giải (1): skkn 16 Giải (2): Vậy phương trình cho có nghiệm : x = 2; x = 3; x = Lưu ý: 0 A   A2 B  A B   A B A    A B A  Lời giải bỏ sót trường hợp A ≤ Ví dụ 21: Giải phương trình: Phương trình có dạng: Đến để học sinh tự làm tiếp nhiều học sinh mắc sai lầm sau: đưa phương trình dạng : Và kết luận nghiệm pt Tuy nhiên lời giải lại khơng nghiệm phương trình Lời giải sau: Phương trình (*) - Nếu (a) Khi (*) trở thành - Nếu khơng thỏa mãn (a) (b) Khi (*) trở thành: skkn 17 Do (b) nên ta nhận Do nghiệm phương trình là: Ví dụ 22 : Giải phương trình  Một số HS có lời giải sai sau: Ta có: Vậy phương trình cho vơ nghiệm Nhận xét: Rỏ ràng x = - 14 nghiệm phương trình Lời giải làm cho tốn có nghiệm trở thành vơ nghiệm B Lưu ý: A  AB A  0; B   B  AB A  0; B  Do lời giải phải là: Trường hợp 1: hệ vơ nghiệm Trường hợp 2: Vậy phương trình có nghiệm x = -14 skkn 18 Bài tập tương tự: Bài tập 1: ( Giải theo hai dạng bản) a) b) c) d) Bài tập : (Giải cách đặt ẩn phụ) a) b) c) d) e) f) Bài tập : ( Giải cách biến đổi tương đương, bình phương nhiều lần ) a) b) c) d) Bài tập : ( Giải cách đặt hai ẩn phụ) a) b) c) d) KẾT LUẬN 3.1 Ý nghĩa đề tài skkn 19 Như vậy, qua số giải pháp mà đưa nhằm giúp cho học sinh có nhìn tổng qt hơn, sâu rộng tránh nhiều sai lầm đáng tiếc giải phương trình chứa ẩn dấu bậc hai Giúp cho học sinh lớp 10 có kiến thức chắn hơn, kỷ thành thạo tự tin học phần giúp cho học sinh lớp 12 có thêm kinh nghiệm để chuẩn bị tốt cho kỳ thi THPT quốc gia Đề tài kiểm nghiệm năm học giảng dạy lớp 10 ôn thi THPT quốc gia, chắn học sinh đạt kết cao hơn, đề tài góp phần nâng cao cho học sinh khả giải phương trình vận dụng để giải bất phương trình chứa ẩn dấu bậc hai Sẽ gây hứng thú cho học sinh học tập Năm học 2016-2017 áp dụng đề tài cho học sinh lớp 10A5 ; 10A6 ; 10A10 tiết khóa, tiết tự chọn năm học 20182019 sử dụng để ôn thi THPT cho học sinh lớp 12 tới Kết so với trước chưa áp dụng đề tài ( năm học 2016-2017) Câu hỏi Số HS làm Tỉ lệ 104 93.56% 95 87.16% 69 61.47% 3.2 Kiến nghị, đề xuất  Kính mong tổ chuyên môn thảo luận thêm đề tài buổi sinh hoạt chuyên môn tổ, tăng thêm thời lượng tiết tự chọn tạo điều kiện để thực đề tài cách có hiệu đến với học sinh Kính đề nghị nhà trường tạo điều kiện để tơi thực tốt đề tài Nội dung kiến thức phương trình chứa sâu rộng phong phú Tơi cố gắng tìm tòi vận dụng với thực tế học sinh chủ yếu mức độ skkn 20 Chắc chắn sẽ không tránh khỏi những thiếu sót Kính mong quý thầy cô và các đồng nghiệp góp ý để đề tài sẽ có hiệu quả nữa quá trình giảng dạy Tôi xin chân thành cảm ơn ! skkn 21 ...CỢNG HÒA XÃ HỢI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Đợc lập – Tự – Hạnh phúc MỘT SỐ GIẢI PHÁP GIÚP HỌC SINH TRÁNH NHỮNG SAI LẦM CƠ BẢN KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN BẬC HAI. .. khác mà triển khai đến bước phải giải phương trình chứa ẩn dấu học sinh giải sai lúng túng Trong đề thi THPT quốc gia thường xuất phương trình bất phương trình chứa ẩn dấu bậc hai Học sinh lớp 12... giải phương trình chứa nhiều thơng qua số phương pháp giải khác để tránh sai lầm lấy nghiệm phương trình Phương pháp: Đối với phương trình chứa nhiều bậc hai ta nên đặt điều kiện trước giải skkn