bài tập phần quy hoạch tuyến tính

CHƯƠNG 1 : BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH VÀ PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH BÀI 2: TẬP HỢP CÁC PHƯƠNG ÁN CỦA BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH I.. XÂY DỰNG PHƯƠNG ÁN CỰC BIÊN MỚIBÀI 3 PHƯƠNG PHÁP ĐƠN H

PHẦN BỔ SUNG

BÀI 1: KHÔNG GIAN VECTO Rn

1 Không gian vecto Rn

2 Tổ hợp tuyến tính

3 Hệ vecto phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính

BÀI 2: TẬP HỢP LỒI TRONG KHÔNG GIAN Rn

Kiến thức không gian vectơ ( trong đó có không gian Rn ) được trình bày chi tiếttrong chương trình Ðại số tuyến tính Phần này nhắc lại một số kiến thức cơ bản được sửdụng trong việc phát biểu và giải bài toán Qui hoạch tuyến tính

2 - Tổ hợp tuyến tính TOP

3- Hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính vàì độc lập tuyến tính TOP

Suy ra hệ đã cho độc lập tuyến tính

Trong không gian Rn , một hệ vectơ độc lập tuyến tính có không quá n vectơ vàmột hệ vectơ có nhiều hơn n vectơ thì phụ thuộc tuyến tính

BÀI 2: TẬP HỢP LỒI TRONG KHÔNG GIAN Rn TOP

Khái niệm hình lồi đã dược định nghĩa trong hình học sơ cấp theo phương pháp mô

tả trực quan Phần này sẽ xây dựng định nghĩa chặt chẽ về đoạn thẳng , tập hợp lồitrong không gian Rn

2- Ðoạn thẳng

TOP

3 - Tập hợp lồi

TOP

4 - Một số tính chất của tập hợp lồi TOP

5 - Ðiểm cực biên của tập hợp lồi TOP

BÀI 3: PHÉP QUAY

I - ÐỊNH NGHĨA PHÉP QUAY

TOP

II - PHÉP QUAY BIẾN DẠNG

TOP Khi ứng dụng phép quay vào việc giải bài toán Qui hoạch tuyến tính, ta cần đổi dấu cột quay và giữ nguyên dấu dòng quay Muốn vậy, ta gán kèm dấu - vào các biến độc lập

và được phép quay biến dạng, tương tự như phép quay

III - ỨNG DỤNG : GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TOP

Cóï thể giải hệ phương trình tuyến tính bằng nhiều phương pháp khác nhau ( thế ,khử , định thức ) Phương pháp thế được thể hiện bằng cách thực hiện phép quay Ðểứng dụng trong việc giải bài toán Qui hoạch tuyến tính sau này, ta giải hệ phương trìnhbằng phép quay biến dạng

BÀI TẬP PHẦN BỔ SUNG

TOP

CHƯƠNG 1 : BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH VÀ PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH

BÀI 1: BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH

I VÍ DỤ MỞ ĐẦU

II BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH TỔNG QUÁT

III BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH DẠNG CHÍNH TẮC

IV BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH DẠNG CHUẨN TẮC

V BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH DẠNG MA TRẬN

BÀI 1: BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH

I -Ví dụ mở đầu ( Bài toán lập kế họach sản xuất ) TOP

Xí nghiệp sản xuất càc mặt hàng A, B, C, D từ các loại nguyên liệu I, II, III vớilượng dự trữ tương ứng là u1, u2, u3 (đơn vị nguyên liệu) Bảng sau cho biết lợi nhuậnthu được và chi phí nguyên liệu cho mỗi đơn vị sản phẩm:

Lập kế hoạch sản xuất các mặt hàng sao cho:

a) Tổng lợi nhuận thu được lớn nhất

b) Sử dụng hết nguyên liệu, riêng loại nguyên liệu III có thể dư

c) Tổng số lượng sản phẩm A và D không nhỏ hơn u4

Phân tích mô hình:

Bài toán trên được gọi là bài toán Qui hoạch tuyến tính

II - Bài toán Qui hoạch tuyến tính tổng quát

TOPBài toán Qui hoạch tuyến tính tổng quát được phát biểu như sau:

III - BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH DẠNG CHÍNH TẮC TOP

IV - BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH DẠNG CHUẨN TẮC TOP

Bài toán Qui hoạch tuyến tính dạng chuẩn tắc có tất cả điều kiện ràng buộc là bất phương trình và tất cả các ẩn số đều không âm :

Ðịnh lí 1 Bài toán Qui hoạch tuyến tính tổng quát có thể đưa về dạng chính tắc

hoặc dạng chuẩn tắc Chứng minh

Trước hết , ta chứng tỏ rằng bài toán Qui hoạch tuyến tính tổng quát có thể đưa về dạng chính tắc

Ðịnh lí 1 cho thấy rằng chỉ cần xây dựng thuật toán giải cho bài toán Qui hoạch tuyến tính dạng chính tắc ( hoặc chuẩn tắc ) và từ đó có thể giải được bài toán Qui hoạch tuyến tính tổng quát

V - BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH DẠNG MA TRẬN TOP

Trong nhiều trường hợp , để thuận tiện trong việc trình bày , ta có thể viết các bài toán Qui hoạch tuyến tính dạng chính tắc ( 1-3 ) và dạng chuẩn tắc ( 1-4 ) dưới dạng ma trận

Khi đó bài toán (1- 6 ) được viêt thành dạng ma trận ( 1-8 ) hoặc (1- 9 ) , trong đóhàm mục tiêu là g , n= 9 , m = 5

CHƯƠNG 1 : BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH VÀ PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH

BÀI 2: TẬP HỢP CÁC PHƯƠNG ÁN CỦA BÀI TOÁN QUI HOẠCH

TUYẾN TÍNH

I TẬP HỢP CÁC PHƯƠNG ÁN

II PHƯƠNG ÁN CỰC BIÊN

III Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH

BÀI 2: TẬP HỢP CÁC PHƯƠNG ÁN CỦA BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN

TÍNH

II PHƯƠNG ÁN CỰC BIÊN

đủ đơn giản để một phương án là cực biên

Ðịnh lí 4 :

Xét bài toán Qui hoạch tuyến tính dạng chính tắc

Ðịnh lí 5

Nếu bài toán Qui hoạch tuyến tính có nghiệm thì có nghiệm cực biên ( nghiệm tương ứng là điểm cực biên của tập các phương án D )

Hệ quả

Nếu bài toán Qui hoạch tuyến tính không có nghiệm cực biên thì vô nghiệm

Tập hợp các phương án D của bài toán Qui hoạch tuyến tính thường là vô hạn, tuy nhiên số phương án cực biên là hữu hạn ( hệ quả của Ðịnh lí 4 ) Ðịnh líï 5 cho thấy rằng chỉ cần tìm nghiệm trong các điểm cực biên (hữu hạn) của D , suy ra tính hữu hạn của thuật toán đơn hình sau này

Các kết quả về nghiệm , nghiệm cực biên được minh họa trong các hình (2-11 ) , ( 2-12 ) , (2-13 ) và được phân tích ở phần ý nghĩa hình học của bài toán Qui hoạch tuyến tính sau đây

III Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH TOP

( Giải bài toán Qui hoạch tuyến tính bằng hình học )

CHƯƠNG 1 : BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH VÀ PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH

BÀI 3 PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH

I XÂY DỰNG PHƯƠNG ÁN CỰC BIÊN

II ĐÁNH GIÁ PHƯƠNG ÁN CỰC BIÊN

III XÂY DỰNG PHƯƠNG ÁN CỰC BIÊN MỚI

BÀI 3 PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH

Có một số phương pháp khác nhau để giải bài toán Qui hoạch tuyến tính : phươngpháp hình học , phương pháp phân tích sự biến động của hàm mục tiêu và phương phápđơn hình

Phương pháp hình học đã được đề cập tới ở mục III , §2 ( xem hình (2-11) ,( 2-12 ) và ( 2-14 ) ) Như đã phân tích , phương pháp hình học chỉ giải được các bàitoán có ít ẩn số và dựa trên nhận định trực quan Phương pháp này không áp dụng đượccho các bài toán giải quyết các vấn đề thực tế thường có số ẩn số rất lớn

Trong một số trường hợp , dựa vào sự phân tích các hệ số của hàm mục tiêu f , có thể chỉ ra được sự tăng lên hoặc giảm xuống của một số ẩn số theo hướng có lợi cho hàm mục tiêu từ đó suy ra phương tối ưu Tất nhiên , phương pháp này không phải khi nào cũng sử dụng hiệu quả

Ở thời điểm hiện nay , máy tính cá nhân được sử dụng phổ biến cũng như có nhiềuchương trình hoặc phần mềm lập cho máy tính để giải bài toán Qui hoạch tuyến tính nên việc xây dựng một phương pháp vạn năng cho tất cả các bài toán Qui hoạch tuyến tính cần thiết Ðó chính là phương pháp đơn hình và phương pháp đơn hình mở rộng được trình bày ở mục sau Sử dụng phương pháp đơn hình , độc giả có thể tự thiết kế , viết chương trình theo ý mình để giải bài toán Qui hoạch tuyến tính trên máy tính Các chương trình giải bài toán Qui hoạch tuyến tính trên máy tính hiện có đều sử dụng phương pháp này (xem [ 3 ] và [ 5 ] )

Có nhiều hình thức trình bày cơ sở lý thuyết cho phương pháp đơn hình : ma trận ( xem [ 2 ] và [ 3 ] ) , cơ sở của không gian vectơ và tọa độ vectơ (xem [1]) hoặc phép khử (xem [ 4 ] ) Mặc dù vậy , phần tính toán thực hành đều giống nhau Phần trình bày sau đây kết hợp gữa phương pháp tọa độ vectơ để chặt chẽ về mặt lý thuyết và phép quay ( phép khử ) để thuận tiện về tính toán thực hành

Ðịnh lí 1 cho thấy rằng chỉ cần xây dựng thuật toán giải cho bài toán Qui hoạch tuyến tính dạng chính tắc ( hoặc chuẩn tắc ) thì mọi bài toán tổng quát xem như giải được Mặt khác , từ Ðịnh líï 5 và hệ quả của nó suy ra rằng chỉ cần tìm phương án tối ưu trong các phương án cực biên ( hữu hạn )

Phương pháp ( thuật toán ) đơn hình được xây dựng để tìm nghiệm cực biên của bài toán Qui hoạch tuyến tính dạng chính tắc

Nội dung chính của phương pháp đơn hình như sau :

1)- Ðưa bài toán về dạng chính tắc (chính tắc hóa bài toán) nếu cần Cách làm cụ thể được trình bày khi chứng minh Ðịnh líï 1

2)- Xây dựng một phương án cực biên xuất phát

3)- Ðánh giá phương án cực biên đang có

Nếu phương án tối ưu thì việc giải bài toán kết thúc

Nếu phương án chưa tối ưu thì chuyển sang bước 4)

4) -Xây dựng phương án cực biên mới tốt hơn phương án đang có , sau đó trở lại bước 3)

Thuật toán đơn hình được thể hiện bởi lưu đồ ( 3 -1) sau đây:

Chú ý rằng phương pháp đơn hình chỉ xét trên các phương án cực biên , mà tập hợpcác phương án cực biên của bài toán Qui hoạch tuyến tính là hữu hạn ( hệ quả Ðịnh lí

4 ) do đó thuật toán đơn hình kết thúc sau hữu hạn bước

Sau đây chúng ta lần lượt phân tích chi tiết các bước trong thuật toán đơn hình với giả thiết bài toán đã được chính tắc hóa

I XÂY DỰNG PHƯƠNG ÁN CỰC BIÊN

TOPXây dựng phương án cực biên của bài toán Qui hoạch tuyến tính là giải hệ phương

trình tuyến tính trong điều kiện ràng buộc bắt buộc bằng phép quay biến dạng , sao cho trong công thức nghiệm , các số hạng tự do không âm

Xét bài toán qui hoạch tuyến tính dạng chính tắc

Ðể giải hệ phương trình ràng buộc bắt buộc bằng phép quay biến dạng, ta biến đổi bài toán ( 3-2 ) thành bài toán tương đương ( 3-3 ) :

( 3-8 )

III XÂY DỰNG PHƯƠNG ÁN CỰC BIÊN MỚI

TOP

CHƯƠNG 1 : BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH VÀ PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH

BÀI 4: PHƯƠNG PHÁP HÌNH ĐƠN MỞ RỘNG

I BÀI TOÁN M

II BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH HAI PHA

BÀI TẬP CHƯƠNG 1

BÀI 4: PHƯƠNG PHÁP ĐƠN MỞ RỘNG

Bài toán ( 3-12 ) cho thấy rằng , nếu hệ phương trình tuyến tính trong điều kiện ràng buộc của bài toán Qui hoạch tuyến tính dạng chính tắc có đủ m vectơ đơn vị

Có hai bài toán mở rộng từ bài toán gốc : bài toán M và bài toán phụ pha thứ nhất của phương pháp đơn hình hai pha

I BÀI TOÁN M (Phương pháp đánh thuế) TOP

Bài toán M được xây dựng từ bài toán gốc như sau :

Qui tắc tính toán các biểu thức chứa M được cho trong bảng ( 4-3 ) với a,b,c,d làcác số thực tùy ý :

Từ các kết quả trên , ta có phương pháp đơn hình mở rộng để giải bài toán gốc thông qua bài toán M như sau :

Bước 1 - Xây dựng phương án cực biên của bài toán M

Nếu bảng đơn hình có dấu hiệu vô nghiệm hoặc phương án cực biên đang có tối ưu thì việc giải bài toán M kết thúc Ngược lại ,chuyển sang bước 3

Bước 3 - Xây dựng phương án cực biên mới tốt hơn

Cách xác định tâm quay được thực hiên như phương pháp đơn hình đã biết Quay lại bước 2 và tiếp tục cho đến khi kết thúc

Khi cải tiến phương án , nếu một ẩn giả được chuyển lên vị trí biến độc lập thì loại

bỏ cột tương ứng ra khỏi bảng đơn hình

Sau khi giaií xong bài toán M , ta có một trong các tình huống sau đây và từ đó suy

ra kết quả cho bài toán gốc :

II BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH HAI PHA TOP

Bước 2 - Ðánh giá phương án cực biên đang có của bài toán phụ

Sử dụng dấu hiệu tối ưu đối với hàm g để đánh giá phương án cực biên đang có Nếu bảng đơn hình có dấu hiệu vô nghiệm hoặc phương án cực biên đang có tối ưu thì kết thúc pha thứ nhất Ngược lại , chuyển sang bước 3

Bước 3 - Xây dựng phương án cực biên mới tốt hơn phương án đang có

Cách xác định tâm quay để thực hiện phép quay biến dạng đã dược trình bày trong phương pháp đơn hình Thực hiện phép quay biến dạng , thu được PA cực biên mới Quay lại bước 2 và tiếp tục quá trình cho đến khi kết thúc

Sau khi giaií xong bài toán phụ , cũng là kết thúc pha thứ nhất , ta được một trong các tình huống sau đây :

BÀI TẬP CHƯƠNG 1

TOP

CHƯƠNG 2 : BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH ĐỐI NGẪU

BÀI 1: BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH ĐỐI NGẪU

I BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH ĐỐI NGẪU KHÔNG ĐỐI XỨNG

II BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH ĐỐI NGẪU ĐỐI XỨNG

III BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH ĐỐI NGẪU TỔNG QUÁT

BÀI 2: CÁC ĐỊNH LÝ ĐỐI NGẪU BÀI 3: ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT ĐỐI NGẪU

I KIỂM TRA TÍNH TỐI ƯU CỦA MỘT PHƯƠNG ÁN

II Ý NGHĨA KINH TẾ CỦA BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU

BÀI TÂP CHƯƠNG 2

Lý thuyết đối ngẫu là một trong những công cụ hữu hiệu của Toán học nói chung Nhiều mệnh đề Toán học được suy ra từ mệnh đề đã biết nhờ qui tắc đối ngẫu mà khôngcần chứng minh

Bài toán Qui hoạch tuyến tính đối ngẫu là bài toán được thành lập từ một bài toánQui hoạch tuyến tính gốc cho trước , có mối liên hệ chặt chẽ với bài toán gốc Nhiềukhi , việc giải bài toán gốc được thực hiện dễ dàng thông qua việc giải bài toán đối ngẫucủa nó , đặc biệt là đối với các bài toán Qui hoạch tuyến tính có nhiều ẩn số nhưng lại có

ít điều kiện ràng buộc

BÀI 1: BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH ĐỐI NGẪU TOP Chúng ta sẽ lần lượt xây dựng bài toán đối ngẫu của các bài toán Qui hoạch tuyếntính dạng đặc biệt ( dạng chính tắc , dạng chuẩn tắc ) và cuối cùng là của Qui hoạch tuyếntính tổng quát

I BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH ĐỐI NGẨU KHÔNG ĐỐI

II BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH ĐỐI NGẨU ĐỐI XỨNG TOP

III BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH ĐỐI NGẨU TỔNG QUÁT TOP

Dựa vào qui tắc ( 1-15 ) ta thấy rằng bài toán đối ngẫu của bài toán dạng chuẩntắc cũng là bài toán dạng chuẩn tắc Vì vậy cặp bài toán dạng chuẩn tắc và bài toán đốingẫu của nó được gọi là cặp bài toán đối ngẫu đối xứng

BÀI 2: CÁC ĐỊNH LÝ ĐỐI NGẪU TOP

Mối liên hệ giữa bài toán Qui hoạch tuyến tính gốc và bài toán đối ngẫu của nóđược thể hiện trong các Ðịnh lí đối ngẫu sau đây

Ðịnh lí 1 Cho bài toán Qui hoạch tuyến tính tổng quát ( D , f ) và giả sử bài toáïn

Qui hoạch tuyến tính đối ngẫu của nó là (E , g ) Khi đó, bài toán đối ngẫu của bài toán ( E , g ) là bài toán ( D , f )

Như vậy , nếu thành lập bài toán đối ngẫu của bài toán đối ngẫu thì được bài toángốc ban đầu Ðịnh lí 1 được chứng minh đễ dàng dựa vào qui tắc thành lập bài toán đốingẫu và các mũi tên hai chiều trong ( 1-15 )

Bài toán Qui hoạch tuyến tính tổng quát có thể đưa về dạng chính tắc (Ðịnh lí 1Chương I ) , mặt khác , Ðịnh lí 1 Chương II cho thấy nếu thành lập bài toán đối ngẫu củabài toán đối ngẫu thì được bài toán gốc ban đầu , vì vậy , chỉ cần chứng minh cho trườnghợp bài toán gốc dạng chính tắc

Phần chứng minh chi tiết xem [ 1 ] hoặc [ 3 ]

Có thể viết phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu dựa vào bảng đơn hình giải bàitoán gốc dạng chính tắc theo qui tắc thực hành sau đây

BÀI 3: ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT ĐỐI NGẪU

I KIỂM TRA TÍNH TỐI ƯU CỦA MỘT PHƯƠNG ÁN TOP

II Ý NGHĨA KINH TẾ CỦA BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU TOPNguyên tắc thành lập bài toán đối ngẫu có tính " đối kháng " , nghĩa là điều kiện ởbài toán này " chặt chẽ " thì điều kiện tương ứng ở bài toán kia " lỏng lẻo " hơn

Chẳng hạn , tương ứng với ràng buộc dấu = trong bài toán gốc là sự tự do về dấutrong bài toán đối ngẫu và ngược lại

Trong Ðịnh lí 4 ( Ðịnh lí về độ lệch bù ) , nếu thành phần của phương án tối ưu củabài toán này dương ( > 0 ) thì điều kiện ràng buộc tương ứng của bài toán kia phải là dấubằng ( = )

Tính chất đối ngẫu nói trên được ứng dụng trong việc phân tích các bài toán kinh tế

và được minh họa bởi ví dụ sau đây

Bây giờ , ta xét bài toán khác đặt ra đối với xí nghiệp , đó là bài toán mua nguyên liệu dự trữ cho việc sản xuất các sản phẩm nói trên

BÀI TẬP CHƯƠNG II TOP

CHƯƠNG 3 : BÀI TOÁN VẬN TẢI VÀ PHƯƠNG PHÁP PHÂN PHỐI

BÀI 1: BÀI TOÁN VẬN TẢI

I MÔ HÌNH BÀI TOÁN VẬN TẢI

II BÀI TOÁN VẬN TẢI DẠNG BẢNG

III Đ IỀU KIỆN CÓ NGHIỆM

BÀI 1: BÀI TOÁN VẬN TẢI

I MÔ HÌNH BÀI TOÁN VẬN TẢI

TOP