Nhận xét: Có tối đa hai tiệm cận ngang... Cho hàm số yf x xác định, liên tục trên và có bảng biến thiên như hình bên dưới... Xác định hệ số c : xét tích hoành độ của hai điểm cực
Trang 1
Đường thẳng y y0 là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số
y f x nếu
0 0
lim lim
x x
f x y
f x y
Nhận xét: Có tối đa hai tiệm cận ngang
Đường thẳng x x được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm 0
số y f x nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
x x f x x x f x
x x f x x x f x
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số y f x :
x a
y
c
Tại hoặc , nếu y
tiến đến hoặc
không có TCN
x a là TCĐ khi: một trong hai bên (hoặc cả hai bên) của
kí hiệu không xác định xuất hiện hoặc
Tại hoặc , nếu y tiến đến một số c nào đó)
y c là TCN
Trang 2
(Mã 103 - 2023) Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau:
Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho có phương trình là
A x 1 B x 3 C x 1 D x 3
(Mã 101 - 2019) Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau:
Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là
f x y
g x
Bước 1: Tìm TXĐ
Bước 2: Rút gọn hàm số
f x y
g x
bằng phân tích nhân tử, nhân liên hợp,
Bước 3: Sau khi đã rút gọn được biểu thức
1 1
f x y
g x
Giải phương trình g x 1 được các nghiệm 0 , ,
x a x b
Tính
1 1
lim
x a
f x
g x
1 1
lim
x a
f x
g x
Bước 4: Kết luận:
Nếu một trong hai kết quả trên là hoặc x a là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
đã cho
Nếu cả hai kết quả trên đều là một số x a không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho
Chú ý: Thường thì TCĐ của đồ thị hàm số đã cho là nghiệm của mẫu sau khi đã rút gọn ở bước 2
Trang 3
P x y
Q x
bậc P x bậc Q x không có tiệm cận ngang
bậc P x = bậc Q x :
VD:
1
1
1 2
.
lim
x
a a
tiệm cận ngang là 12
a y a
Hàm chứa căn:
- TXĐ có dạng: D hoặc ; D ; a b ; có hai tiệm cận ngang
- TXĐ có dạng: D ; a hoặc D b ; có một tiệm cận ngang
- TXĐ có dạng: D a b ; không có tiệm cận ngang
bậc P x < bậc Q x có một tiệm cận ngang y 0
f x y
g x
Bước 1: Nghi ngờ TCĐ: giải phương trình g x , được các nghiệm 0 x a x b , ,
Bước 2: Nhập hàm số
f x y
g x
vào máy tính:
Kiểm tra x a có là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho hay không?
Tính lim
x ay
: r x a 10 9
Tính lim
x ay
: r x a 109
Bước 3: Kết luận:
Nếu một trong hai kết quả trên là hoặc (kết quả là một số lớn, ví dụ: 99999, 99999 , …)
x a là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho
Nếu cả hai kết quả trên đều là một số nhỏ x a không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
đã cho
y f x Bước 1: Tìm TXĐ
Bước 2: Nhập hàm số y f x vào máy tính:
Tính lim
thì: r x 10 9
Tính lim
thì: r x 10 9
Trang 4
Bước 3: Kết luận:
Nếu kết quả là một số không quá lớn, ví dụ 2, 3, 5 , … lim 0
đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận ngang là y y0
Nếu kết quả là một số lớn, ví dụ 9999, 99999 , … lim
x y
đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang
Hàm số phân thức bậc nhất y ax b
cx d
có:
Tiệm cận ngang là đường thẳng y a
c
Tiệm cận đứng là đường thẳng x d
c
(Mã 101 - 2023) Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 2 1
3 1
x y x
là đường thẳng có phương trình
3
3
3
y D 2
3
y
[Đề minh họa 2021] Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
2 2
1
x x y
x
là
_ _ _ _ _ _
(Mã 101 - 2018) Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y x2 9 3
x x
là
_ _ _ _ _ _ _
Trang 5
Số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
2
4 x 1 3 x 2 y
x x
là
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Cho hàm số y f x liên tục trên \ 1 và có bảng biến thiên như sau:
Đồ thị hàm số
1
y
f x
có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
_ _ _ _ _ _
Trang 6
Cho hàm số y f x xác định, liên tục trên và có bảng biến thiên như hình bên dưới
Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
1 3
y
f x x
là
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Cho hàm số bậc ba f x ax 3 bx 2 cx d có đồ thị như hình vẽ
Hỏi đồ thị hàm số
2 2
2 2
g x
có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Trang 7
Biết rằng đồ thị của hàm số 3 2021
3
n x n y
x m
( ,m n là các số thực) nhận trục hoành làm tiệm cận ngang và trục tung là tiệm cận đứng Tính tổng m n
_ _ _ _ _ _
Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để đồ thị hàm số 2 1
8
x y
x x m
có ba đường tiệm cận?
A 14 B 8 C 15 D 16
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số
2
1
8 2
x y
mx x
có đúng bốn đường tiệm cận?
_ _ _ _ _ _ _ _
Trang 8
_ _ _ _ _ _ _ _
Cho f x là hàm đa thức bậc ba và có đồ thị như hình vẽ bên Có bao
nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn 100;100 để đồ thị
hàm số
2
1 mx y
f x m
có đúng hai đường tiệm cận?
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Trang 9
0
Phương trình y có 0
hai nghiệm phân biệt
Phương trình y có 0
nghiệm kép
Phương trình y vô 0
nghiệm
Để nhận diện đồ thị hàm số bậc ba: y ax 3 bx 2 cx d a 0 , ta làm như sau:
Ta có: y 3 ax 2 2 bx c
Xác định hệ số a : dựa vào lim
:
Nếu a thì nhánh cuối bên phải của đồ thị đi lên 0
Nếu a thì nhánh cuối bên phải của đồ thị đi xuống 0
Xác định hệ số b : quan sát vị trí của các điểm cực trị, tọa độ các điểm cực trị và các điểm mà đề bài đã cho thuộc đồ thị hàm số: xét tổng hoành độ của hai điểm cực trị 1 2 2
3
b
x x
a
Xác định hệ số c : xét tích hoành độ của hai điểm cực trị 1. 2
3
c
x x
a
Xác định hệ số d : dựa vào giao điểm với trục tung Oy là 0;d , tại đó tung độ giao điểm chính
là y d để xét dấu.
Trang 10
0
Phương trình y có 0
ba nghiệm phân biệt
Phương trình y có 0
một nghiệm x 0
Để nhận diện đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương: y ax 4 bx 2 c a 0 , ta làm như sau:
Xác định hệ số a : dựa vào lim
:
Nếu a thì nhánh cuối bên phải của đồ thị đi lên 0
Nếu a thì nhánh cuối bên phải của đồ thị đi xuống 0
Để xác định dấu của b : ta xét số điểm cực trị của hàm trùng phương:
Có 1 điểm cực trị a b 0
Có 3 điểm cực trị a b 0
Để xác định dấu của c : dựa vào giao điểm với trục tung Oy là 0;c , tại đó tung độ giao điểm chính là y c để xét dấu