BÀI TOÁN VỀ PARABOL VÀ ĐƯỜNG THẲNG potx

Tìm tọa độ giao điểm của P và d bằng đồ thị và bằng phép Tính a.. Sử dụng tổng tích của PT hoành độ giao điểm: 1... Tính tọa độ của giao điểm còn lại.. Tính m để PT có ít nhật 1 nghi

D PARABOL VÀ ĐƯỜNG THẲNG

A Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) bằng đồ thị và bằng phép Tính

a

2 2

y x

 



  



b

2

2 1

y x

y x

 



 



c

2 2

y x

y x

 



 



d

2 4

y x y

 







B Sử dụng tổng tích của PT hoành độ giao điểm:

1 (P) 2

yx và (d) y 2(m 1)x m  4(m ≠ -1)

a Tính m? để (d) và (P) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A, B

b CM: ExA(1 xB) xB(1 xA) không phụ thuộc m

2 (P) 2

yx và (d) ymx 2 (m ≠ 0) gọi A, B là giao điểm của (P) 2

yx và (d) Tính

m? sao cho: yA yB 2(xA xB ) 1 

3 (P) 2

yx và (d) 2

3

y x m

a CM: (d) và (P) 2

yx luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt

b y1, y2 là tung độ các giao điểm (P) 2

yx và (d) Tính m? để y1y2  11 y y1 2

4 (P)yx2 và (d) ymx 1 CM: (d) cắt (P) yx2 tại 2 điểm phân biệt A và B và ΔAOB vuông

5 (P) 2

2

y x và (d)y 3x m Tính tổng bình phương hoành độ giao điểm (d) và (P)

2

2

y x theo m?

6 (P) 2

2

y x và (d)y 2x m

a Cho m > 1

2

 thì CM: (d) cắt (P) 2

2

y x tại 2 điểm phân biệt

b Chứng tỏ: 2 2

1 2 2

4x  6x x  4x   4 m(m > 1

2

 )

7 (P) 2

yx , A(0;2) viết PTĐT (d) qua A có hệ số góc là m, ĐT(d) cắt (P) 2

yx tại 2 điểm P và Q, gọi P1, Q1 là hình chiếu của P, Q lên trục hoành CM: OP1 OQ1 =

OA

8 Trong mặt phẳng xoy cho (P) 2

y x và ĐT (d1) y 2x 8, (d2)y x 6 Chứng tỏ: (d1) cắt (d2) tại một điểm thuộc (P) 2

y x

C (P) và (d) giao nhau có liên quan đến dấu của hoành độ giao điểm:

1 (P) 2

yx và (d) y  x m Tính m để:

a (d) và (P) 2

yx cắt nhau tại 2 điểm không có điểm nằm trên trục tung

b (d) và (P) 2

yx cắt nhau tại 2 điểm, trong đó có 1 điểm là đỉnh của (P) Tính tọa

độ của giao điểm còn lại

c (d) và (P) 2

yx cắt nhau tại 2 điểm nằm bên trái trục tung

d (d) và (P) 2

yx cắt nhau tại 2 điểm nằm bên phải trục tung được không? Tại sao?

e (d) và (P) 2

yx cắt nhau tại 2 điểm phân biệt nằm 2 bên trục tung?

- Gọi A là điểm bên trái, B là giao điểm bên phải A1, B1 là hình chiếu của A, B lên trục hoành So sánh: OA1 và OB1

2 (P) 2

yax (a > 0), (d) 2

2

y x a (0 < a < 1)

a Tính a? để (P) 2

yax và (d) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A, B

b CM: A và B cùng nằm bên phải trục tung

3 (P) 2

2

y  x và (d) 2

1

y x m 

a Chứng tỏ (d) và (P) 2

2

y  x cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A, B với mọi m

b CM: A, B nằm 2 bên trục tung

D Bài tập khác:

1 Cho (P) 2

2

y  x Tìm trên đồ thị điểm có tổng tung độ và hoành độ là -1

2 (P) 1 2

2

y x Tìm trên đồ thị những điểm có tung độ gấp đôi hoành độ

3 (P) 2

2

y x

a Tìm trên (P)y 2x2 các điểm cách đều 2 trục tọa độ

Tìm trên (P) 2

2

y x các điểm có khoảng cách đến gốc tọa độ bằng √5

4 Cho HPT: (1)

x 1(2)

 





 



Tính m? để 2 ĐT có PT (1) và (2) cắt nhau tại 1 điểm

thuộc (P)y  2x2

5 (P)y 3x và ĐT (d)y x m Tính m? để (d) cắt (P) y 3x tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho OA ┴ OB

E Chứng minh: Đường thẳng và Parabol qua điểm cố định:

1 CM: ĐT luôn qua điểm cố định với mọi m:

a (m 1)x 2y 1

b y (m 1)x m  1

( 3) 1 6

ymx  m x  m CM: Đồ thị luôn qua 2 điểm cố định với mọi m

3 (P) 1 2

2

y x CM: ĐT ymx  2 2n luôn qua điểm cố định thuộc (P)

4 (P) 1 2

4

y  x và (d)ymx 2m 1 Chứng tỏ (d) luôn qua một điểm cố định thuộc (P)

F Nghiệm chung của 2 PT

1 Cho các PT: 2

3 2 0

x  x  (1) và 2

x  x m  (2) Tính m để PT có ít nhật 1

nghiệm chung, tìm nghiệm chung đó

2 2

1 0

x mx  và 2

0

x  x m Tính m để PT có 1 nghiệm chung

3 2

2x mx  1 0 và 2

2 0

mx   x Tính m để PT có 1 nghiệm chung

G Áp dụng định lý viét

A Tính nhẩm nghiệm PT bậc 2:

a 2

7x  9x  2 0

b 2

23x  9x 32  0

c 2

6 8 0

d 1 2 3 11

0

3x 2x 6 

f   2  

5  2 x  5  2 x 10  0

g 2x m 3x  1 m 0

(m 1)x  (2x 1)x (m 2)  0

i 2

5 10 2 0

x x    (*)

j 2

13 16 0

x  x  (Không giải) Tính các giá trị của biểu thức sau:

A = 2 2

1 2

x x

B =

1 2

1 1

x  x

C = x1x2

D = 3 3

1 2

E = x1 x2

F = 2 2

1 2

x x

G = 1 2

2 1

x x

x  x

B Tính 2 số u, v trong mỗi trường hợp sau:

a u + v = 14; u.v = 40

b u + v = -7; u.v = 12

c u + v = -5; u.v = -24

d u + v = 4; u.v = 19

e u – v = 10; u.v = 24

f u2 + v2 = 85; u.v = 18

g u + v = 5; + =

h u + v = -8; u2 + v2 = 104

i u – v = 10; u2 + v2 = 58

C Lập PT bậc 2

Dạng 1: a) x1 = 3; x2 = 5 b) x1 = √2 ; x2 = √5 c) x1 = -5; x2 = d) x1 = 3 - √5; x2 = 3 + √5 e) x1 = x2 = √5 f) y1 = √3 ; y2 = 2√5 g) x1 = 5 + 2√6; x2 = 1

5 2 6  h) x1 = 4 + 2√3; x2 = 4 − 2√3

i) x1 = 4; x2 = 1 - √2

Dạng 2: Cần Tính được 2 nghiệm rồi lập PT: Lập PT bậc 2 khi biết 2 nghiệm thõa:

a 12 22

1 2

2









1 2

 





 



Dạng 3: Cho PT bậc 2 (Thường có tham số), lập PT bậc 2 khác, có 2 nghiệm liên quan đến

2 nghiệm PT đã cho

Cho PT: 2

3 0

x mx  có 2 nghiệm là x1 và x2, lập PT bậc hai khác là 2 số được cho trong mỗi trường hợp sau :

a x1 ; x2 b 2 ; 2x1 x2 c

1 2

1 1

;

x x d x1  2 ;x x2 2  2x2

Dạng 4: Không Tính 2 nghiệm, chỉ cần Tính tổng, tích (Bài tập (B: Tính 2 số u và v) Áp

dụng lập PT) Lập PT bậc 2 khi biết: Trung bình cộng 2 nghiệm là 4, trung bình nhân 2 nghiệm là 3

D Cho hệ thức liên hệ 2 nghiệm, Tính tham số của PT bậc 2:

- Lập ĐK PT có nghiệm (a, c trái dấu, Δ, Δ’ ≥ 0)

- Lập 3 PT:

ℎ (1)

ổ ( ) (2)

í ℎ ( ) (3)

- So ĐK

Dạng 1: Chọn 2 PT không chứa tham số giải hệ PT

1 Tính m? để: x1 – x2 = 4

2 2

x  x m  Tính m? để: 6x1 + x2 = 0

3 2

x  x m   Tính m? để: 2

1 2 2 1 2 12

x  x x x 

Dạng 2:

a Sử dụng viét trong hệ thức đối xứng:

1 x  3x m  0 Tính m để: x1 x2  30

2 2

16x  24x m  0 Tính m để: 2 2

1 2

5 4

x x 

3 2

3x  4x m   5 0 Tính m để:

1 2

7

x x  

4 x2  4xm  1 0 Tính m để: 1 2

2 1

10 3

x x

x  x 

5 2

x  xm  Tính m để: 2 2  

x x  x x 

b Tổng tích đều chứa tham số - có hệ thức đối xứng

1 x2 m 2xm2   1 0 x12x22 10 Tính m?

2 2

7 0

x mx m   x12x22 10 Tính m?

3 2

6 4 0

mx  x  x1x2  1 Tính m?

Dạng 3: Tổng tích đều chứa tham số không có hệ thức đối xứng

1 Sử dụng a + b + c = 0

a x2 m 2xm2   1 0 Tính m? để x1 = 3x2

b 2

1 0

x mx m   Tính m? để x1 – 2x2 = 1

c   2  

m x  m xm  Tính m? để 4x1  1 4 x2  1 18

2 Giải PT 3 ẩn:

a 2  

x  m x m  Tính m để 4x1 + 3x2 = 1

b x2 2m 1xm2  2  0 Tính m để x1 = 2x2

Dạng 4: 2

x  xm Tính m để x1x2  4

x  x m m  Tính m để x13 + x23 = 9

2 2  

x x x x

3 2

0

1 2 1 2 2 1

x x x x x x

x  m x m có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 là độ dài 2 cạnh góc

vuông của tam giác vuông cạnh huyền bằng 5 Tính m?

2 x mx m m  3 0 (m>0) có 2 nghiệm x1, x2 tương ứng với 2 cạnh góc

vuông của tam giác vuông có cạnh huyền bằng 2 Tính m?

x  m x m m Tính m để x1 = x22

x  m x m  Tính m để x1 = x22

x  mx m  Tính m để x1 = x22

x  x m  m Tính m để x12 + x2= 6

x  m x m 

a Chứng tỏ PT luôn có nghiệm?

b Tính m để PT có tổng 2 nghiệm = 10 Tính tích 2 nghiệm đó?

x  m x m 

a Chứng tỏ PT luôn có 2 nghiệm phân biệt?

b Tính m để tích 2 nghiệm bằng 5 Tính tổng 2 nghiệm?

x  m xm  m

a Tính m để PT có nghiệm?

b Cho x1.x1 = 4 Tính x1 + x2?

4   2

m x  mxm 

a Chứng tỏ PT có 2 nghiệm phân biệt với m ≠ 1

b Tính m biết P = 5, Tính S?

m x  m x m  (m≠2): Chứng tỏ nếu PT có 2 nghiệm thì tổng

2 nghiệm không thể gấp đôi tích 2 nghiệm

F Tính tham số biết bất phương trình 2 nghiệm (Nhớ ĐK bài toán)

Dạng 1: Dùng a + b + c = 0; a – b + c = 0

1 x2  2m 1x 2m  1 0 Tính m để x1, x2 < 2

2 2  

x  m x m  Tính m để x1 < 2 < x2

3 2  

x  m xm  Tính m để x1 < 2 < x2

Dạng 2: Lập tổng tích:

1 x2 2m 1x 2m 11  0

a Tính m để: x1 < 1 < x2

b Tính m để: x1, x2 <2

2 2  

x  m x m  Tính m để x1, x2 phân biệt đều lớn hơn 3

x  m xm  m  Tính m để 2 nghiệm đều lớn hơn 4

x  m xm  m Tính m để 1 < x1 < x2 < 6

H Viết phương trình đường thẳng:

A Viết cả phương trình đường thẳng

1 Có hệ số góc là m ≠ 0 và qua A (-2l -4)

2 Có hệ số góc là m ≠ 0 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là 3 (tung độ

là -2)

3 Qua A (-2 ; -1) và song song với y = -2x – 1 (// x – y = 3)

4 Qua A (-1 ; 2) // phân giác góc I

5 // y = x – 2 và đồng quy với 2 ĐT y = 2x + 1, x – y = 2

6 Có tung độ góc là 2 và qua giao điểm 2 ĐT y = x + 2 và y = 2x – 5

7 Có tung độ góc là -1 và vuông góc với y = 2x + 2

8 Qua A (-2 ; 4) và cắt ĐT y = -2x + 4 tại điểm nằm trên trục hoành (tung)

9 Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2, cắt đường thẳng y = -x + 3 tại A

có hoành độ là -1 (tung độ bằng 4)

10 Qua 2 điểm :

- A (-5 ; 3) ; B ( ; -1)

- C (2 ; -3) ; D (2 ; 4)

- E (1 ; 3) ; F (-2 ; 3)

11 Qua A (1 ; 3) và hợp với tia ox 1 góc 300 (1200)

12 Viết PTĐT y = (2a – 1)x + 3a biết ĐT qua A (-3 ; -6)

B Tính giá trị n, m trong PTĐT :

1 (d1) y = mx + 4; (d2) y = 2x + m2 Tính m để 2 ĐT cắt nhau tại 1 điểm trên

trục tung

2 ya2  3a  5x 2a 1  (d1) và ya 2x  6 3a (d2) Tính hệ số góc của (d1)

và (d2) để d1 // d2

- Tính m để ĐT y 2xm 4 cắt trục tung tại điểm có tung độ là 2

3 (d1)y 2x 5; (d2)ymx 3 Tính m để (d1), (d2) cắt nhau tại 1 điểm thuộc

phân giác I

4 (d)ym 5x 2m 10 Tính m để:

a Cắt trục tung tại điểm có tung độ là 9 (hoành độ là 10)

b (d) //y 2x 2

c (d) tạo với ox 1 góc nhọn 600 (tù 1350)

d (d) cắt ĐTy 2x 3 tại điểm có hoành độ là 2 (tung độ là 4)

5 y1 4  m x m 4 Tính m để ĐT cắt trục hoành tại điểm xo < 0

6 ym 3xm 1 (d1); y2 m x m (d2) Tính m để (d1) cắt (d2) tại 1 điểm

thuộc trục hoành

C Sử dụng HPT để tìm m, n

1 y3m 1x 4n 2 Tính m? n? để đường thẳng qua (5 ; 3) và cắt trục hoành

tại điểm có hoành độ bằng 2

2 Cho 2 ĐT ym 1x 5 (d1) và y 2xn (d2) Tính m? n? để:

a (d1) cắt (d2) tại (2 ; 1)

b (d1) // (d2)

c (d1) trùng (d2)

d (d1) cắt (d2)

3 Tìm m? n? để ĐT mx 8yn qua M (9 ; -6) và đồng quy với 2 ĐT 5y + 2x = 17; 4x – 10y = 14

4 Tìm giao điểm của 2 ĐT (d1) ax + 2y = 3; (d2) 3x + by = 5, biết (d1) qua M (3

; 9), (d2) qua N (-1 ; 2)

5 ym 2x 2 (d) Tính m, n (m ≠ 0) để:

a (d) qua 2 điểm A (-1 ; 2); B (3 ; -4)

b Cắt trục tung tại điểm có tung độ là 4 và cắt trục hoành tại điểm có hoành

độ là -2

c Song song với ĐT 3x 2y 1 và cắt ĐT  2y x 2  0 tại trục tung

D Viết PTĐT và (P) có liên quan nhau:

1 Cho (P) 2

yx và (d) y  x m Tính m để :

a (d) cắt (P) 2

yx tại 2 điểm phân biệt

b (d) tiếp xúc với (P) 2

yx Tính tọa độ tiếp điểm

c (d) và (P) 2

yx không có điểm chung

2 Viêt PTĐT (d) biết :

a (d) // y = 2x + 1, tiếp xúc với (P) 2

yx

b (d) ┴ y = x + 1, tiếp xúc với (P) 2

2

y x

c (d) qua A (0 ;1), tiếp xúc với (P) 1 2

2

y  x

d (d) qua A (2 ; 0) tiếp xúc với (P) 1 2

2

e (d) qua A (3 ; 9) tiếp xúc với (P) 2

yx

f (d) qua A (1 ; 1) cắt ox tại M biết xM = m

- Viết PTĐT (d)

- Tính m để (d) tiếp xúc với (P) 2

yx

3 Cho (P) 1 2

4

y x , M thuộc (P) có xM = 4 Viết PTĐT (d) // với OM và tiếp xúc với (P)

4 Cho (P) 2

2

y x , A, B thuộc (P) 2

2

y x ; xA = 1, xB = -2

- Viết PTĐT AB

- Cho (d) y = mx + n biết (d) // AB và tiếp xúc với (P) Tính m, n?

5 (P) 2

yx và (d) y = -x + 1 Viết PTĐT Δ // (d) và cắt (P) tại điểm có tung độ

là 2 (hoành độ là 1)

6 (P) 2

yax , (d) y = 2x + m Tính a, m biết chúng tiếp xúc nhau tại điểm có

hoành độ là 2

7 (P)y  2x và M(1 ; -7)

a Viết PTĐT (d) qua M và có hệ số góc m

b Chứng tỏ (P) và (d) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt khi m thay đổi

8 :

a Viết PTĐT (d) qua A ( ; -2) có hệ số góc là 4

b Chứng tỏ (d) tiếp xúc với (P) 2

yx

9 Cho (P)y  2x2 và A thuộc (P) có xA = 1

a Viết PTĐT (d) qua A có hệ số góc là -4

b CM: A là tiếp điểm của (d) và (P)

10 (P) 2

yax (a ≠ 0) Tính a ? để (P) tiếp xúc với ĐT (d) y = x – 1 Tính tọa

độ tiếp điểm?

11 (P) 2

yax Tính a để (P) cắt (d) y = -2x + 3 tại điểm có hoành độ là 1

I PT Bậc 2 liên quan đến dấu của nghiệm :

A Hai nghiệm cùng dấu :

Dạng 1 : Hai nghiệm cùng dấu : Δ ≥ 0

> 0

1 Cho PT : 2  

x  m x m 

a Chứng tỏ PT luôn có nghiệm ?

b Tính m để PT có 2 nghiệm cùng dấu ? Khi đó 2 nghiệm mang dấu gì ?

- 2

7x mx 23  0 : PT này có 2 nghiệm cùng dấu được không ? Tại Sao ?

2 2

x  mx m  Tính m để PT có 2 nghiệm cùng dấu ?

Dạng 2 : 2 nghiệm cùng dấu dường :

Δ ≥ 0; Δ > 0

> 0

> 0

dạng a + b +c = 0

1 2  

x  m xm Tính m để PT có 2 nghiệm phân biệt đều dương

- (Tương tự) : 2  

x  m x m

3x  4x 2 m 1  0

a Tính m để PT có 2 nghiệm ?

b 2 nghiệm có cùng âm được không ?

c Tính m để PT có 2 nghiệm cùng dương ?

x  m xm  m  Tính m để PT có 2 nghiệm phân biệt đều dương

Dạng 3 : 2 nghiệm cùng dấu âm :

Δ ≥ 0; Δ > 0

> 0

< 0

dạng a – b +c = 0

1 (*)   2

m x  mxm  Tính m để PT có 2 nghiệm âm ?

2 2  

x  m x m  Tính m để PT có 2 nghiệm phân biệt cùng dương ?

x  m x m   Tính m để PT có 2 nghiệm phân biệt cùng âm ?

4 (*) x2 2m 1xm2 m  6 0 (Phải giải PT) Tính m để PT có 2 nghiệm

cùng âm ?

mx  m xm Tính m để PT có 2 nghiệm phân biệt đều âm ?

6 2

x  m  Tính m để PT có 2 nghiệm phân biệt ? Chứng tỏ PT không

thể có 2 nghiệm cùng âm ?

Dạng 4 : 2 nghiệm nghịch đảo : Δ ≥ 0; Δ > 0

P = 0

1 2  

x  m x m  Tính m để PT có 2 nghiệm nghịch đảo nhau ?

x  m xm  m  Tính m để PT có 2 nghiệm nghịch đảo nhau ?

B 2 nghiệm trái dấu :

Dạng 1 : 2 nghiệm trái dấu : , á ấ

< 0

1 2  

x  m xm 

a Chứng tỏ PT luôn có 2 nghiệm phân biệt ?

b Tính m để PT có 2 nghiệm trái dấu ?

2 2 2  

m x  m x  Tính m để PT có 2 nghiệm trái dấu ?

3 x2  2m 1xm2  3m 0 Tính m để PT có 2 nghiệm trái dấu ?

4 3x m 1xm  4m  3 0 Tính m để PT có 2 nghiệm trái dấu

- (Tương tự) : 2   2

2x  1 4  m xm  16  0

x  m xm  

a Tính m để PT có 2 nghiệm phân biệt ?

b Chứng tỏ PT không thể có 2 nghiệm trái dấu ?

6 2   2

x  m xm m  Chứng tỏ PT có 2 nghiệm trái dấu ?

Dạng 2 : 2 nghiệm trái dấu – so sánh giá trị tuyệt đối của 2 nghiệm :

A Giá trị tuyệt đối nghiệm dương > giá trị tuyệt đối của nghiệm âm : < 0

> 0

B Giá tị tuyệt đối nghiệm âm > giá trị tuyệt đối của nghiệm dương : < 0

< 0

x  xm  

a Chứng tỏ PT có 2 nghiệm trái dấu ?

b Nghiệm nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn ?

2 2  

x  m x m 

a Chứng tỏ PT luôn có nghiệm với mọi m ?

b Tính m để PT có 2 nghiệm trái dấu và giá trị tuyệt đối nghiệm âm nhỏ hơn

giá trị tuyệt đối nghiệm dương

3 3x2  x 2m2   5 0

a Chứng tỏ PT có 2 nghiệm trái dấu với mọi m ?

b Nghiệm nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn ?

Dạng 4 : 2 nghiệm trái dấu và bằng nhau về giá trị tuyệt đối (2 nghiệm đối nhau) : < 0

= 0

x  m x m  Tính m để 2 nghiệm đối nhau ?

2 2  

x  m xm  Tính m để PT có 2 nghiệm đối nhau ?

- (Tương tự) : x2 m 1xm 0

3 (*) 2  2 

x  m  m xm Tính m để PT có 2 nghiệm đối nhau ?