rèn luyện kĩ năng giải toán phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh khá giỏi lớp 8 luận văn sư phạm toán học

Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu và đề xuất một số biện pháp nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán phân tích đa thức thành nhân tử trong đại số cho học sinh khá, giỏi lớp 8.

Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu cơ sở lý luận các vấn đề dạy học rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh bao gồm khái niệm kỹ năng, khái niệm kỷ năng giải toán, đặc điểm của kỹ năng, quy trình đánh giá.

Từ các cơ sở lý luận về kỹ năng, tổ chức dạy học rèn luyện kỹ năng giải toán, đề xuất một số biện pháp kỹ năng giải toán phân tích đa thức thành nhân từ trong đại số cho học sinh khá, giỏi lóp 8.

Tiến hành TNSP để đánh giá tính khả thi, hiệu quả của đề tài trong vận dụng dạy học môn toán theo chuyên đề bồi dưỡng học sinh khá, giỏi ở trường Trung học cơ sở.

4 Khách thế, đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Học sinh khá, giỏi lóp 8 ở một số trường THCS trên địa bàn Hà Nội.

Quy trình dạy học rèn luyện các kỹ năng giải toán Phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh khá, giỏi lớp 8.

Phạm vi về nội dung: Đe tài chỉ tim hiểu về việc tổ chức dạy học rèn luyện kỹ năng giải toán phân tích đa thức thành nhân tử trong lóp 8.

Phạm vi về thời gian: Chỉ nghiên cứu trong thời gian năm học 2022 - 2023.

- Dạy học rèn luyện kĩ năng là gì?

- Phân tích đa thức thành nhân tử là gì?

- Một số biện pháp rèn luyện kĩ năng giải toán phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh khá, giỏi lớp 8 được thực hiện như thế nào?

Nếu vận dụng một số biện pháp dạy học rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh khá, giỏi lóp 8 một cách họp glý thì sẽ phát triển được sự linh hoạt và năng lực giải toán cho học sinh, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học trong trường THCS.

8.1 Ph ương pháp nghiên cứu ỉỷ luận

Thu thập tài liệu và sử dụng các phương pháp phân tích, tổng hợp, phân loại, hệ thống hóa trong tồng quan các vấn đề lý luận có liên quan đến đề tài.

8.2 Phương pháp nghiên cứu thực tiễn

- Điều tra đánh giá thực trạng việc vận dụng các phương pháp dạy học phân tích đa thức thành nhân tử ngoài chương trình sách giáo khoa ở một số trường THCS ở thành phố Hà Nội.

- Thực nghiệm giảng dạy một sô giáo án soạn theo hướng của đê tài đê đánh giá tính hiệu quả và khả thi của các đề xuất vận dụng một số biện pháp rèn luyện kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh khá, giỏi lớp 8.

8.3 Phương pháp thông kê toán học

Sừ dụng phân mêm thông kê nhăm thông kê đê đánh giá, phân tích kêt quả thực nghiệm sư phạm.

9 Dự kiên đóng góp của luận văn

9.1 Vê mặt lý luận Đê tài hệ thông hóa các vân đê lý luận và xây dựng được một sô biện pháp vê dạy học rèn luyện kỹ năng nói chung và rèn luyện kỹ năng giải toán nói riêng.

- Điêu tra, đánh giá được thực trạng việc dạy và học rèn luyện kỳ năng giải toán cho học sinh lớp 8 một số trường THCS ở thành phố Hà Nội.

- Đê xuât một sô phương pháp rèn luyện kỹ năng đê có thê vận dụng, thiêt kế kế hoạch bài dạy trong dạy học nội dung phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh khá, giói lóp 8.

Ngoài phân “Mở đâu”, “Kêt luận” và “Danh mục tài liệu tham khảo”, nội dung luận văn gôm ba chương:

Chương 1 Cơ sở lý luận và thực tiên

Chương 2 Rèn luyện kỹ năng giải toán phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh khá, giỏi lớp 8.

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm.

CHƯƠNG 1 CO SỞ LÝ LUẬN VÀ THỤC TIỄN

1.1 Dạy học giải bài tập toán 7.7.7 Vai trò và ỷ nghĩa của việc giải bài tập toán ở trường phổ thông

Trong việc thực hiện mục tiêu chung của giáo dục phổ thông, Toán Học là một môn học đóng vai trò quan trọng, góp phần phát triển nhân cách và nhừng phẩm chất trí tuệ chung cho học sinh nhu năng lực phân tích - tổng hợp, năng lục khái quát hóa - trừu tuợng hóa, Bên cạnh đó, việc học Toán cũng rèn luyện đuợc cho học sinh những đức tính quan trọng nhu tính cẩn thận, tính kỉ luật, tính chính xác, sáng tạo và bồi dưỡng năng lực thẩm mỹ Hơn nữa, môn Toán là một công cụ quan trọng trong việc dạy và học các môn học khác.

Trong dạy học toán ở trường phố thông, bài tập toán có vai trò quan trọng. Đối với học sinh ở trường phố thông, giải toán là một hình thức chủ yếu của hoạt động toán học Đẻ học sinh nắm vững những kiến thức đã học, phát triển được tư duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo và ứng dụng nhuần nhuyễn toán học vào thực tế thì các dạng bài tập toán ở trường phô thông là một phương tiện hỗ trợ rất có hiệu quả và không thể thay thế được Vì vậy việc tồ chức có hiệu quả việc dạy giái bài tập toán học có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học môn toán.

Việc giải bài tập toán ở trường phổ thông có những tác dụng như một hình thức để củng cố, ôn tập, hệ thống hóa kiến thức một cách sinh động hơn Khi giải quyết các bài toán, học sinh cần phải nhớ lại, đào sâu vào một số mảng kiến thức hoặc tống hợp, kết hợp lại toàn bộ những kiến thức đã học đế giải quyết được bài toán Tất cả những thao tác tư duy đó cũng góp phần củng cố kiến thức, khắc sâu nhũng gỉ được học đồng thời là nền tảng để học sinh tự khai triển, mở rộng phần kiến thức đã học.

Bên cạnh đó, việc học sinh cỏ khả năng tự chủ, tự lực trong quá trình học tập và giải bài toán cũng là một yếu tố quan trọng đề tăng khả năng sáng tạo, phát triển việc tư duy logic, phân tích, lập luận, qua đó nâng cao năng lực, bồi dương và rèn luyện phương pháp nghiên cứu khoa học cho học sinh.

Việc xây dựng và củng cố những kỹ năng, kỳ xảo vận dụng lý thuyết vào đời sống thực tế có tác dụng trong việc giáo dục cho học sinh rèn luyện khả năng tư duy độc lập, kiên trì khắc phục những lỗi sai, có được tính chính xác khoa học, từ đó kích thích học tập môn Toán.

Câu hỏi nghiên cứu

- Dạy học rèn luyện kĩ năng là gì?

- Phân tích đa thức thành nhân tử là gì?

- Một số biện pháp rèn luyện kĩ năng giải toán phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh khá, giỏi lớp 8 được thực hiện như thế nào?

Giả thuyết khoa học

Nếu vận dụng một số biện pháp dạy học rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh khá, giỏi lóp 8 một cách họp glý thì sẽ phát triển được sự linh hoạt và năng lực giải toán cho học sinh, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học trong trường THCS.

Phương pháp nghiên cứu

8.1 Ph ương pháp nghiên cứu ỉỷ luận

Thu thập tài liệu và sử dụng các phương pháp phân tích, tổng hợp, phân loại, hệ thống hóa trong tồng quan các vấn đề lý luận có liên quan đến đề tài.

8.2 Phương pháp nghiên cứu thực tiễn

- Điều tra đánh giá thực trạng việc vận dụng các phương pháp dạy học phân tích đa thức thành nhân tử ngoài chương trình sách giáo khoa ở một số trường THCS ở thành phố Hà Nội.

- Thực nghiệm giảng dạy một sô giáo án soạn theo hướng của đê tài đê đánh giá tính hiệu quả và khả thi của các đề xuất vận dụng một số biện pháp rèn luyện kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh khá, giỏi lớp 8.

8.3 Phương pháp thông kê toán học

Sừ dụng phân mêm thông kê nhăm thông kê đê đánh giá, phân tích kêt quả thực nghiệm sư phạm.

9 Dự kiên đóng góp của luận văn

9.1 Vê mặt lý luận Đê tài hệ thông hóa các vân đê lý luận và xây dựng được một sô biện pháp vê dạy học rèn luyện kỹ năng nói chung và rèn luyện kỹ năng giải toán nói riêng.

- Điêu tra, đánh giá được thực trạng việc dạy và học rèn luyện kỳ năng giải toán cho học sinh lớp 8 một số trường THCS ở thành phố Hà Nội.

- Đê xuât một sô phương pháp rèn luyện kỹ năng đê có thê vận dụng, thiêt kế kế hoạch bài dạy trong dạy học nội dung phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh khá, giói lóp 8.

Ngoài phân “Mở đâu”, “Kêt luận” và “Danh mục tài liệu tham khảo”, nội dung luận văn gôm ba chương:

Chương 1 Cơ sở lý luận và thực tiên

Chương 2 Rèn luyện kỹ năng giải toán phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh khá, giỏi lớp 8.

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm.

CHƯƠNG 1 CO SỞ LÝ LUẬN VÀ THỤC TIỄN

1.1 Dạy học giải bài tập toán 7.7.7 Vai trò và ỷ nghĩa của việc giải bài tập toán ở trường phổ thông

Theo Giáo sư Nguyễn Bá Kim: “Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong môn Toán Thông qua giải bài tập, học sinh phải thực hiện nhũng hoạt động nhất định bao gồm nhận dạng và thế hiện định nghĩa, định lý, quy tắc hay phương pháp, những hoạt động toán học phức họp, những hoạt động trí tuệ phố biến trong toán học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ” [8, tr.32] Vai trò của bài tập trong môn Toán được thể hiện ở ba bình diện sau:

- Trên binh diện mục đích dạy học, bài tập Toán là nền tảng của những hoạt động học môn Toán của học sinh, đạt được mục đích trong dạy học môn Toán.

+ Hình thành và củng cố tri thức kỹ năng, kỹ xảo cho học sinh ở những giai đoạn khác nhau trong quá trình dạy học môn Toán, bao gồm kỹ năng ứng dụng toán học vào thực tiễn.

+ Phát triển năng lực trí tuệ cho học sinh, rèn luyện các thao thác tư duy toán học và logic đồng thời phát triển những phẩm chất trí tuệ chung.

+ Bồi dưõng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành và phát triến nhũng phẩm chất đạo đức của người lao động mới.

- Trên bình diện nội dung dạy học, bài tập Toán học là phương tiện kết nối nhiều nội dung kiến thức, gieo mầm nội dung dạy học dưới dạng những trí thức

6 hoàn chỉnh, bổ sung, tổng hợp và liên kết các kiến thức đã được trinh bày trong phần lý thuyết.

Cơ SỞ LÝ LUẬN VÀ THựC TIỄN

Dạy học giải bài tập toán 7 1 Vai trò và ý nghĩa của việc giải bài tập toán ở trường phô thông 2 Chức năng của việc giải bài tập toán

Theo Giáo sư Nguyễn Bá Kim: “Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong môn Toán Thông qua giải bài tập, học sinh phải thực hiện nhũng hoạt động nhất định bao gồm nhận dạng và thế hiện định nghĩa, định lý, quy tắc hay phương pháp, những hoạt động toán học phức họp, những hoạt động trí tuệ phố biến trong toán học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ” [8, tr.32] Vai trò của bài tập trong môn Toán được thể hiện ở ba bình diện sau:

- Trên binh diện mục đích dạy học, bài tập Toán là nền tảng của những hoạt động học môn Toán của học sinh, đạt được mục đích trong dạy học môn Toán.

+ Hình thành và củng cố tri thức kỹ năng, kỹ xảo cho học sinh ở những giai đoạn khác nhau trong quá trình dạy học môn Toán, bao gồm kỹ năng ứng dụng toán học vào thực tiễn.

+ Phát triển năng lực trí tuệ cho học sinh, rèn luyện các thao thác tư duy toán học và logic đồng thời phát triển những phẩm chất trí tuệ chung.

+ Bồi dưõng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành và phát triến nhũng phẩm chất đạo đức của người lao động mới.

- Trên bình diện nội dung dạy học, bài tập Toán học là phương tiện kết nối nhiều nội dung kiến thức, gieo mầm nội dung dạy học dưới dạng những trí thức

6 hoàn chỉnh, bổ sung, tổng hợp và liên kết các kiến thức đã được trinh bày trong phần lý thuyết.

- Trên bình diện phương pháp dạy học, “bài tập toán học là bệ đỡ những hoạt động để người học kiến tạo những nội dung nhất định và trên cơ sở đó thực hiện các mục đích dạy học khác Khai thác tốt những bài tập như vậy sẽ góp phần tổ chức cho học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực và sáng tạo được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu” [8, tr 12]

1.1.2 Chức năng của việc giải bài tập toán

Trong dạy học, “bài tập toán được sử dụng với nhiều dụng ý khác nhau Một bài tập có thể tạo tiền đề xuất phát, để gợi động cơ, để làm việc với một nội dung mới, để củng cố hoặc kiểm tra, Mỗi bài tập cụ thể được đặt ra ở một thời điểm nào đó cúa quá trình dạy học đều chứa đựng một cách tường minh hay ẩn tang những chức năng khác nhau, những chức năng này đều hướng đến các mục đích dạy học trong môn Toán” [9, tr47], các chức năng của hệ thống bài tập được thề hiện như sau:

- Chức năng dạy học: “Bài tập nhằm hình thành, củng cố cho học sinh nhừng tri thức, kỹ năng, kỳ xào ở những giai đoạn khác nhau của quá trinh dạy học Cụ thể như: Làm sáng tỏ và khắc sâu những vấn đề về lý thuyết; thu gọn, mở rộng, bồ sung cho lý thuyết trên cơ sở thường xuyên hệ thống hóa kiến thức và nhấn mạnh phần trọng tâm của lý thuyết Đặc biệt, bài tập còn mang tác dụng giáo dục kĩ thuật, tổng hợp thể hiện qua việc giúp học sinh rèn luyện kỹ nàng tính toán, kỹ năng đọc hỉnh vẽ, kỹ năng sử dụng các phương tiện học tập, kỹ năng thực hành toán học, phương pháp tư duy, thói quen đặt vấn đề một các hợp lý, ngắn gọn tiết kiệm thời gian” [9, tr48].

- Chức năng giáo dục: “Bài tập giúp học sinh hình thành thế giới quan duy vật biện chứng, từng bước nâng cao hứng thú học tập, tạo niềm tin ở bản thân học

7 sinh và phẩm chất của con người lao động, rèn luyện, phát triển cho học sinh đức tính kiên nhẫn, bền bỉ, không ngại khó, sự chính xác và chu đáo trong khoa học”

Dạy học rèn luyện kĩ năng

1.2.1 Một số quan điểm về kỹ năng Định nghĩa kỳ năng theo từ điển tiếng Việt như sau: “Kỹ nãng là khả năng vận dụng những kiến thức thu nhận được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế”

“Kỹ năng là một nghệ thuật, là khả năng vận dụng hiểu biết có được ở bạn để đạt được mục đích của mình, kỹ năng còn có thề đặc trưng như toàn bộ thói quen nhất định, kỹ năng là khả năng làm việc có phương pháp” [4, tr.48].

Theo nhà Toán học George Pólya: “Trong toán học, kỹ năng là khả năng giải các bài toán, thực hiện các chứng minh cũng như phân tích có phê phán các lời giải và chứng minh nhận được” [2, tr.35]

Giáo sư Huỳnh Văn Sơn cho rằng: “Kỹ năng là khả năng thực hiện có kết quả một hành động nào đó bằng cách vận dụng những tri thức, những kinh nghiệm đã có để hành động phù hợp với những điều kiện cho phép Kỹ nàng không chỉ đơn thuần về mặt kỹ thuật của hành động, mà còn biểu hiện năng lực của con người”.

Có thể thấy bắt nguồn từ nhiều góc nhìn chuyên môn khác nhau, kỹ năng cũng sẽ có nhiều định nghĩa khác nhau Tuy vậy dù định nghĩa kỹ năng được phát biểu dưới góc độ nào thì đa số chúng ta thừa nhận ràng kỳ năng được hình thành khi kiến thức được chủ thể áp dụng, vận dụng vào thực tiễn để trình bày, giải quyết vấn đề nhằm tạo ra kết quả như mong muốn Đe sở hừu kỹ năng, chúng ta cần trải qua quá trình tìm hiểu, phân tích, thao khảo các dữ liệu và điều kiện sẵn có, đồng thời lặp đi lặp lại một hoặc một nhóm hành động nhất định Khi nói đến kỹ năng, ta thường nói đến khả năng của chủ thể có thể thực hiện nhuần nhuyễn và thuần

9 thục một hay một chuỗi hành động trên nền tảng những hiểu biết đã có để đạt được mục đích đã đề ra.

Vì vậy ta có thể hiểu: Kỹ năng là sự thực hiện một cách thành thạo để đạt được kết quả cho một nhiệm vụ lý luận hay thực hành, vận dụng những tri thức (khái niệm, phương pháp, cách thức, ) và kinh nghiệm đã có để hành động phù họp với ngữ cảnh và điều kiện cụ thể. Đe hiếu rõ về kỹ năng, ta cần phân biệt kỳ năng với một số định nghĩa gần giống kỹ năng:

- Kỹ năng và kiến thức: Kiến thức (hay còn gọi là tri thức) là sự hiểu biết nhũng chưa được vận dụng Kỹ năng là việc vận dụng dựa trên nền tảng của kiến thức.

- Kỹ năng và phản xạ: Phản xạ là phản ứng của cơ thế đề trả lời lại kích thích của môi trường thông qua hệ thần kinh, đồng thời phản xạ mang tính thụ động Kỹ năng là phản ứng có tính chủ động và ý thức của chủ thề đối với một vấn đề ngoài môi trường.

- Kỳ năng và thói quen: Thói quen là một chuỗi phản xạ có điều kiện do rèn luyện hoặc lặp đi lặp lại một hoặc một chuỗi hành động mà có, hầu hết thói quen được hình thành một cách vô thức và khó kiểm soát Kỹ năng hoàn toàn được hình thành một cách có chủ động và có ý thức thông qua quá trình tìm hiểu tri thức và rèn luyện.

1.2.2 Các đặc điểm của kỹ năng

Bất kì kỹ năng nào khi được vận dụng cũng đều cần dựa trên cơ sở lý thuyết, kiến thức mà chủ thể đã nắm bắt và tìm hiểu được, cấu trúc của kỹ năng bao gồm:

Hiểu được mục đích cần đạt - biết được cách thức để đạt được kết quả - nắm được được những điều kiện để triển khai những cách thức trên.

Ta nói kiến thức là cơ sở của kỹ năng khi kiến thức đỏ phản ánh đầy đủ các thuộc tính, bản chất của đối tượng nghiên cứu, đã được thử nghiệm trong thực tiễn và tồn tại trong ý thức với tư cách của hành động. Để hình thành kỹ năng về một hành động nào đó, ta cần:

- Biết được mục đích của hành động, nắm được các kiến thức, điều kiện, cách thức để đạt được kết quả như mong muốn, từ đó thực hiện hành động.

- Tiến hành các hành động đã đề ra với những yêu cầu nhất định.

- Đạt được kết quả phù họp với mục đích đặt ra.

- Có thể hành động hiệu quả trong các điều kiện khác nhau.

Tuy nhiên thực tế trong giáo dục cho thấy “học sinh gặp rất nhiều khó khan trong việc vận dụng những khái niệm và những kiến thức đã lình hội được vào giải quyết các nhiệm vụ cụ thể Cái khó nằm ở chồ học sinh không phát hiện những dấu hiệu bản chất của đối tượng, từ đó phát hiện ra những mối liên hệ bản chất giữa tri thức đã có với đối tượng đó Trong trường họp này, tri thức không biến thành công cụ của hoạt động nhận thức, và như vậy khối kiến thức mà họ có là khối kiến thức khô cứng, không gắn với thực tiễn và không biến thành cơ sở của kỹ năng” [5, tr.27].

Tri thức về các hiện tượng, sự vật trong lý thuyết và cà trong thực tiễn rất đa dạng và phong phú, phán ánh được thuộc tính bản chất và những thuộc tính khác nhau của các sự vật, hiện tượng Vì vậy đề kiến thức làm cơ sở đúng đắn cho các hành động thực hiện, ta cần lựa chọn các tri thức phản ánh đúng thuộc tính và và bản chất, phù họp với mục tiêu đã đặt ra.

Thực trạng hiện nay cho biết có rất nhiều học sinh nắm và thuộc được lý thuyết tuy nhiên không vận dụng được những lý thuyết đã học vào để giải quyết bài tập, chưa biết lựa chọn các kiến thức, định lý, tính chất phù họp đế giải được

11 bài tập Nguyên nhân của hiện tượng này là học sinh chưa hình thành được kỹ năng giải bài tập Toán.

1.23 Sự hình thành kỹ năng

Kỹ năng giải toán

1.3.1 Khái niệm kỹ năng giải toán

Việc giải một bài toán là công tác tiến hành một hệ thống các hành động có mục đích, vì vậy người giải nài toán phải nắm vững được các kiến thức nền tảng của hành động, thực hiện hành động theo những yêu cầu cụ thể của mảng kiến thức đó với kết quả khác nhau của hành động trong từng điều kiện cụ thể khác nhau Quan niệm về kỹ năng trong quá trình giải toán của học sinh như sau: “Đó là khả năng vận dụng có mục đích những tri thức và kinh nghiệm đã có vào giải những bài toán cụ thề, thực hiện có kết quả một hệ thống hành động giải toán để đi đến lời giải của bài toán một cách khoa học” [6, trl5].

Trong quá trình dạy học bộ môn Toán đặc biệt là dạy môn Toán ở trường phổ thông, việc rèn luyện kỹ năng giải toán là căn cốt và là cơ sở cho từ các mục đích học tập khác tới các vấn đề trong thực tiễn Việc hình thành và rèn luyện các

15 kỹ năng nói chung và kỹ năng giải toán nói riêng là một trong những yêu câu nên tảng và co bản gắn liền với lý thuyết và thực tiễn.

Giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn đã phát biểu quan niệm của mình về dạy toán là “dạy về mặt kiến thức, về kỹ năng tư duy và hình thành tính cách cho cá nhân học sinh Mục tiêu của dạy toán cũng bao gồm cả mục tiêu chính yếu là phát triển tư duy, trí tuệ cho học sinh Do đó cần giúp học sinh có cái nhìn sâu sắc và toàn diện về kiến thức toán cũng như các hoạt động thực hành liên quan đến thực tiễn của Toán học” [10, tr23].

Do vậy việc phát triển kĩ năng giải toán đồng thời là việc sử dụng các kiến thức cơ bản để giải các bài toán đặt ra, áp dụng hiệu quả các kiến thức đă học ứng với các tình huống học tập cụ thế của môn học.

Trong môn Toán có hai nhóm kỹ năng thực hành cơ bản: vận dụng tri thức đã học để giải các bài toán và toán học hóa các tình huống trong thực tiễn.

1.3.2 Sự hình thành kỹ năng giải toán

Sự hinh thành các kỳ năng giải toán cần được nhấn mạnh vấn đề phải hệ thống hóa và bổ sung thêm các dạng bài tập cho học sinh nhàm hướng đến cùng một chủ đề, một mục tiêu để học sinh phát triển kỹ năng giải toán thuận lợi nhất.

Hệ thống hóa là một trong những thao tác tư duy logic quan trọng trong quá trình giải bài tập toán, giúp học sinh củng cố lại toàn bộ các kiến thức đã học, đồng thời sắp xếp lại những tri thức đó một cách có hệ thống.

Trong môn Toán hệ thống hóa bài tập cho học sinh là việc giáo viên giúp học sinh định hướng, đưa được các bài tập cụ thể về các dạng chung để giải quyết

Việc này sẽ giúp học sinh tiết kiệm được thời gian khi giải bài tập, tập trung hơn, nắm bắt được thông tin của bài học một cách chính xác hơn, cả thiện trí nhớ và tăng khả năng sáng tạo, tư duy logic Việc này còn giúp học sinh nhận dạng và sắp xếp được các bài tập cụ thể theo thứ tự từ dễ đến đó, liên hệ được với các kiến

16 thức đã học, phân bố thời gian hợp lý trong quá trình làm bài kiêm tra, giúp học sinh phát triển được năng lực tư duy logic và tư duy biện chứng nhằm phát triển năng lực nhận thức, sáng tạo, để học sinh cúng cố các kiến thức đã học, lấp đầy những phần kiến thức hổng, sắp xếp toàn bộ những tri thức ấy thành một hệ thống kiến thức, từ đó học sinh có năng lực tự học và tự phát triển suốt đời.

Việc hệ thống các dạng bài tập trong chương trình toán phồ thông nói chung và phần bài toán phân tích đa thức thành nhân tử nói riêng là một việc làm hết sức cần thiết bởi vì nếu người dạy hệ thống các dạng bài tập theo từng dạng bài, học sinh sẽ tiếp thu tri thức một cách dễ dàng hơn Khi được học phân loại và giải quyết các bài tập theo từng dạng bài một cách nhuần nhuyễn, học sinh có thể tự nhận thức và hình thành được cho mình những phương pháp giải toán phù họp thoe từng loại, từng bài toán, hướng tới mục đích chung là việc học sinh tiết kiệm được thời gian giải bài tập.

Trong việc học toán, giải bài tập chiếm một phần khá lớn và đồng thời là một biện pháp để ghi nhớ tri thức, hệ thống lại được các dạng bài tập Đồng thời giáo viên cũng luôn hướng chất lượng dạy học toán thì việc dạy học giải bài tập một cách có hiệu quả nhất cũng rất quan trọng.

Trong quá trinh dạy học, các giáo viên khác nhau có nhiều các phương pháp dạy học khác nhau Tuy vậy giáo viên nên cung cấp cho học sinh một hệ thống các dạng bài tập đã được phân loại phù hợp với từng đối tượng học sinh khác nhau. Đồng thời giáo viên cũng cần hướng dẫn học sinh từng phương pháp giải quyết từng dạng toán cụ thể, góp phần giúp học sinh hình thành kỹ năng giải bài tập toán

1.3.3 Phát triển các kỹ năng giải toán

Tùy thuộc vào cách tiếp cận và nhìn nhận vấn đề, có nhiều biện pháp phát triến các kỹ năng giải toán Từ góc độ người dạy, phân tích dựa vào các căn cứ trên, tác giả đưa ra 2 biện pháp chính:

Phân tích đa thức thành nhân tử trong đại số

1.4.1 Khái niệm phân tích đa thức thành nhân tử

Khái niệm: Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là việc biến đồi đa thức đó thành một hay nhiều tích của các đa thức Việc phân tích đa thức thành nhân tử giúp chúng ta rút gọn được biểu thức, tính nhanh, giải phương trinh.

Trong quá trình dạy học chủ đề phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh, đặc biệt cho học sinh khá, học sinh giỏi, giáo viên cần chú ý phân loại các dạng toán kèm theo phương pháp giải phù họp với các dạng toán đó.

1.4.2 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử trong chương trình sách giáo khoa

- Phân tích đa thức thành nhân tử bàng phương pháp đặt nhân tử chung - Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương dùng hằng đẳng thức

- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng từ - Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối họp nhiều phương pháp

1.4.3 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhăn tử ngoài chương trình sách giáo khoa

- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách thêm, bớt cùng một hạng tử

- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách tách một hạng tử thành nhiều hạng tử

- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng kỹ năng đổi biến số

- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng kỹ năng sử dụng phương pháp hệ số bất định

- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng kỳ năng xét giá trị riêng”

Đối tượng học sinh khá, giỏi

Hai thuật ngữ chỉ đối tượng học sinh giỏi, có năng khiếu là Gift và đối tượng học sinh tài năng là Talent là những thuật ngữ chính đang được sử dụng trong các nước hiện nay Theo luật bang Georgia - Hoa Kỳ định nghĩa HSK, HSG là HS chứng minh được trí tuệ bản thân ở trình độ cao, có khả năng độc lập sáng tạo, có những nhóm hành động thể hiện mức độ ham học tập cao, xuất sắc trong lý thuyết, tự chủ trong khoa học, qua đó cần một sự giáo dục đặc biệt tương ứng với năng lực và trình độ hiện tại đế phát triển cao hơn trong chuyên môn của người đó

Theo Clak.2002, học sinh khá và học sinh giỏi tại nước Mỹ được định nghĩa là những người có khả năng hoàn thành xuất sắc một hoặc nhiều nhóm công việc trong các lĩnh vực chuyên môn như trí tuệ, nghệ thuật và sáng tạo, đồng thời có khả năng định hướng và lãnh đạo trong những lĩnh vực lý thuyết chuyên biệt.

Nhũng người này cần một sự giáo dục nâng cao, chuyên biệt, không theo lối thông thưòng, phù hợp với năng lực và trình độ đang có, từ đó làm nên tảng cho sự phát

22 triên toàn diện năng lực người học (“Wikipedia, the free encyclopedia - Academy for Gift Children”). Đồng thời theo Cơ quan giáo dục Hoa Kỳ, khái niệm HSK, HSG “là những HS có khả năng thể hiện xuất sắc, có năng lực nổi trội trong các lĩnh vực trí tuệ, sáng tạo, nghệ thuật hoặc các lĩnh vực lý thuyết chuyên biệt, có khả năng lành đạo và định hướng tốt Những học sinh này có thể thể hiện năng lực và tài năng của minh ở tất cả các phương diện xã hội, văn hóa, kinh tế,

Theo bách khoa toàn thư Encarta Encyclopedia: “Giáo dục học sinh giỏi là một lĩnh vực đặc biệt liên quan tới việc giảng dạy cho những học sinh có khả năng khác thường”.

Như vậy đa số các quốc gia đều có khái niệm chung về HSK, HSG là những học sinh có năng lực trí tuệ nổi trội trong các lĩnh vực, có khả năng lãnh đạo, cần một sự giáo dục đặc biệt không theo lối thông thường, phù hợp với trình độ của học sinh, đồng thời là nền nảng để phát phiến toàn diện khả năng của học sinh.

Mặc dù có rất nhiều đặc điểm để đánh giá xem một học sinh có thể được gọi là học sinh khá, học sinh giỏi toán, tuy nhiên trong luận vãn tác giả quan niệm học sinh khá, học sinh giỏi toán là các học sinh thể hiện được các năng lực sau:

- Học sinh có khả năng lập luận, phân tích bài toán, diễn dịch và quy nạp.

- Học sinh có khá năng trình bày bài toán một cách có logic, có nhận thức sâu sắc đối với các khía cạnh từ bao quát đến chi tiết của bài toán, nhận định được thông tin định lượng trong môi trường xung quanh.

- Học sinh có khả năng hình dung để khái quát hóa các mô hình bài toán bằng số hoặc sơ đồ, nắm được mối liên hệ giữa các đại lượng có trong bài toán.

- Học sinh có khả năng đảo ngược quá trình tư duy lập luận, có phương pháp chuyển đổi linh hoạt nhưng vẫn đi theo một hệ thống nhất định của cá nhân hoặc đã có sẵn.

Dạy học rèn luyện kĩ nãng phân tích đa thức thành nhân tử trong số học

- Học sinh có khả năng xây dựng bộ câu hỏi xung quanh và mở rộng của bài toán, áp dụng các tri thức đã học vào bài toán.

- Học sinh có khả năng giao tiếp, lập luận, diễn giải chứng minh bài toán một cách logic, trực quan và sáng tạo bằng cả lời nói lẫn chứng minh bằng văn bản.

- Học sinh có sự kiên trì khi gặp các bài toán khó, có thể sừ dụng phương pháp thử sai, vận dụng toàn bộ tri thức đã học cũng như tìm hiểu các tri thức liên quan để tìm được cách giải quyết cho bài toán.

- Học sinh nắm vững được các tri thức, khái niệm, định lý, từ đó có sự chủ động xây dựng những phương pháp giải quyết các dạng toán cụ thể, có chiến lược giải quyết vấn đề một cách nhanh chóng và hiệu quả, liên kết và ứng dụng được toán học vào đời sống.

- Học sinh sử dụng được các kết quả nghiên cứu và các thành tựu toán học đã có.

- Học sinh giải quyết được vấn đề một cách chủ động, linh hoạt, đa dạng hóa các phương pháp.

- Học sinh áp dụng được các tri thức đã học hoặc các ứng dụng thực tế của toán học• • vào thực tiễn một• cách sâu sắc.

1.6 Dạy học rèn luyện kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tủ’ trong số học

1.6.1 Thực trạng rèn luyện kỹ năng giải toán phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8 r \ F f ' rr-ì r •74.^ • 1>1 -4 • A 1 1 9 r J \ 1 z 1 • A 9 A A • r • A A

Tác giả đã tiên hành điêu tra khao sat và lay ý kiên cùa một sô giáo viên và học sinh trường Tiểu học và Trung học cơ sở FPT cầu Giấy, trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm, thành phố Hà Nội để tìm hiểu thực trạng việc dạy và học nội dung

Phân tích đa thức thành nhân tử trong chương trình THCS nói chung và thực trạng việc dạy và học nội dung Phân tích đa thức thành nhân tử theo định hướng phát triển năng lực tự học nói riêng Kết quà khảo sát có kết quà như sau:

* Đối với giáo viên r - - - r _ ' r rp ' • ? -4-^ À • o 1 \ 1 1 9 ' 1 1 ? _ r Ắ 1 T 1 • 9 1 rx * r * *

Tác giả đã tiên hành phỏng vân và khảo sat, lây ý kiên của 10 giáo viên thuộc trường Tiểu học và Trung học cơ sở FPT cầu Giấy, trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm, thành phố Hà Nội để tìm hiểu thực trạng dạy học nội dung Phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh, kết quả thu được thể hiện ở các bảng dưới

Bảng 1.1 Kết quả khảo sát về đánh giá của giảo viên về việc hồi dưỡng năng lực tự học cho học sinh

Mức độ Số lượng (SL) Tỷ lệ (%) cần thiết 7/10 70%

Từ kết quả thu được từ bảng số liệu 1.1, có thể thấy GV khá coi trọng việc bồi dưỡng năng lực tự học cho HS và coi đây là việc cần thiết, nên được triền khai trên diện rộng.

Bảng 1.2 Kết quả khảo sát việc sử dụng các phương pháp rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh

STT Tên phương pháp GVsử dụng GVkhông sử dụng

1 Xây dựng hệ thống bài tập đi kèm với lý thuyết.

2 Hướng dẫn HS tự kiểm tra, đánh giá.

3 Hướng dẫn HS lập kế hoạch tự học tập phù hợp.

4 Cung cấp thêm bài tập tự luyện cho

Giới thiệu cho HS các đầu sách tham khảo.

6 Một số biện pháp khác 0/10 0% 10/10 100%

Từ kết quả thu được qua bảng số liệu 1.2, ta có thể thấy trong các phương pháp rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh được đưa ra cho các giáo viên, giáo viên chủ yếu sử dụng các kỹ nãng cung cấp thêm các dạng bài tập, hệ thống bài tập đi kèm với lý thuyết, giới thiệu cho học sinh các đầu sách tham khảo Các phương pháp hướng dẫn HS tự kiểm tra và đánh giá, hướng dẫn HS lập kế hoạch tự học tập phù họp hoặc các biện pháp khác những biện pháp trên ít được giáo viên lựa chọn sử dụng hơn. về thực trạng giảng dạy nội dung Phân tích đa thức thành nhân tử của giáo viên, tác giả đã thực hiện khảo sát tại trường Tiểu học và Trung học cơ sở FPT Cầu Giấy, trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm và thu được các kết quả với nội dung trong các bảng sau:

Bảng 1.3 Mức độ đánh giá của giáo viên vê vai trò của việc rèn luyện kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh

Mức độ Số lượng (SL) Tỉ lệ (%)

Từ bàng sô liệu 1.3, kêt quả thu được cho thây đa sô các giáo viên đêu năm được tầm quan trọng nội dung Phân tích đa thức thành nhân tử trong chương trình Toán phổ thông, vì vậy việc bồi dưỡng và rèn luyện cho học sinh nắm được các dạng bài tập Phân tích đa thức thành nhân tử, kỹ năng giải bài toán Phân tích đa thức thành nhân tử là vô cùng cần thiết.

* Đối với học sinh Tác giả đã tìm hiểu về hoạt động học tập và việc tự học môn Toán của học sinh các lóp 8A1, 8A2, 8A3 trường Tiểu học và Trung học cơ sở FPT cầu Giấy; học sinh các lóp trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm Tồng số học sinh khảo sát là 202 học sinh Tác giả đã thực hiện tìm hiểu thông qua dự giờ, phiếu khảo sát, trao đối, đồng thời quan sát mục đích, tính tích cực và chủ động trong học tập, kỹ năng xây dựng kế hoạch học tập, kỹ năng phân phối thời gian, xây dựng phương pháp tự học bộ môn Toán của học sinh trong khu vực khảo sát Có thể nhận thấy học sinh nắm được vai trò và tầm quan trọng của việc tự học, tự trau dồi và tìm hiểu, vì vậy học sinh có sự quan tâm tới các phương pháp tự học được giáo viên hướng dẫn Tuy nhiên đa số học sinh vẫn phụ thuộc vào giáo viên bộ môn, có hoạt động

27 tự học khi cần hoàn thành nhiệm vụ được giao, chưa thế xác định được phương thức tự học nếu không có nhiệm vụ mà giáo viên bộ môn Toán đưa ra.

- Với câu hòi đặt ra cho học sinh: “Theo em, mục đích tự học là gì?”, tác giả thu được kết quả được biểu diễn ở bảng 1.4 dưới đây:

Báng 1.4 Khảo sát tỉ lệ một so mục đích học tập của học sinh

Mục • đích tự • • học rèn •T • luyện •/ kỹ năng o Số lượng (SL) Tỷ lệ (%)

Tự học để hoàn thành nhiệm vụ thầy/cô giao nhằm củng cố, ôn tập lại các kiến thức đã học 171/202 84,65

Tự học để có kỹ năng vận dụng nhuần nhuyễn các kiến thức đã học vào giải bài tập, áp dụng vào thực tiễn.

Tự học nhằm tự hệ thống lại các kiến thức đã học, chủ động tìm tòi, liên kết các kiến thức đã học đế giải bài tập.

Tự học để đạt kết quả cao trong đánh giá 186/202 92,08

Số liệu có được trong bảng 1.4 có thể cho thấy nhìn chung học sinh chưa hiếu rõ mục đích và tầm quan trọng của tự học Đa số học sinh tự học với mục đích để hoàn thành các nhiệm vụ mà GVBM đưa ra hoặc với mục đích chuấn bị cho các kì kiểm tra đánh giá Đa số học sinh chưa thấy được vai trò của việc tự học nhàm củng cố và ghi nhớ những kiến thức đã học, liên kết các kiến thức đó để giải quyết các bài toán, áp dụng vào thực tế, nâng cao hiểu biết và kỹ năng cho bản thân.

- Phần lớn học sinh hiện nay chưa có được tính tích cực chủ động sáng tạo khi chỉ có khoảng 20% học có được hứng thú và niềm vui trong quá trình học tập.

Phần lớn các học sinh học và tự học đế hoàn thành các bài tập, nhiệm vụ được giao Học sinh chưa chủ động tiếp thu kiến thức, đợi GVBM chữa bài trên bảng sau đó ghi chép máy móc vào vở mà không hiểu những kiến thức mình vừa ghi

Khi gặp vấn đề, học sinh không tự tìm tòi, mở lại vở ghi hoặc sách giáo khoa để xem lại kiến thức mà ngay lập tức tìm kiếm sự trợ giúp của người thân, bạn bè, internet hoặc đợi thầy cô giáo chữa bài, ghi nhớ máy móc mà không hiểu bản chất bài toán đế vận dụng trong các kỳ thi Nếu bài thi đúng với dạng bài mà học sinh đã từng ghi nhớ thì học sinh sẽ làm được, tuy nhiên nếu thay đổi cách hỏi thì học sinh không làm được, nguyên do bởi học sinh chưa thực sự hiểu rõ bản chất của bài toán.

Bảng khảo sát 1.5 dưới đây thể hiện kết quả khảo sát việc lập kế hoạch tự học của học sinh trong quá trình học tập.

Bảng 1.5 Khảo sát ti lệ lập kế hoạch tự học của học sinh

HS trong việc lập kế hoạch tự học

HS sử dụng HS không sử dụng

Chủ động xây dựng kế học học tập hàng ngày.

Chủ động xác định mục tiêu, tiến độ học tập.

Chủ động lựa chọn các phương

29 pháp học tập phù hợp với bản thân.

Chủ động điều chình kế hoạch• học tập phù hợp.

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI LỚP 8

Rèn luyện kỹ năng thao tác phân tích, tổng hợp

Phân tích là quá trình chia một phân chia một đối tượng thành nhiều khía cạnh nhỏ hơn đề đi sâu vào các chi tiết trong từng khía cạnh đó Tổng hợp là quá trình tập trung, liên kết, kết hợp các chi tiết, các phần nhở thành một đối tượng.

Phân tích và tổng họp là hai thao tác riêng biệt nhưng lại có sự thống nhất với nhau Việc hình thành và phát triển thao tác tư duy phân tích tống họp một cách nhuần nhuyễn sẽ giúp HS vận dụng tốt các kiến thức đã học vào để giải quyết bài toán, ứng dụng vào thực tế, từ đó có sự phát triển và sáng tạo trong tìm tòi những tri thức có liên quan. Đối với bộ môn Toán, HS thường thao tác phân tích và tổng họp để phân tích đề bài, phân loại bài toán thuộc dạng toán nào, tìm hiếu các mối liên hệ giữa các đại lượng đã cho trong một bài toán, phân tích các câu hỏi, các yêu cầu và tình huống có trong bài toán, từ đó tồng hợp lại các dữ kiện và liên kết với các kiến thức đã học tìm ra hướng giải phù hợp Phân tích là quá trình bóc tách và phân chia các đối tượng nhận thức thành các thành phần khác nhau, từ đó chỉ ra những thuộc tính, đặc điểm của đối tượng nhận thức.

Ví dụ 1 Cho n G N *, n > 2 Hãy chứng minh răng hai sô 2" -1 và 2" +1 không thể đồng thời là hai số nguyên tố.

Phân tích: Vì n G N * và n > 2 nên ba số 2" -1, 2" và 2" +1 là ba sổ tự nhiên liên tiếp.

Mà trong 3 số tự nhiên liên tiếp luôn luôn có 1 số tự nhiên chia hết cho 3.

Từ phân tích trên, kết hợp các kiến thức đã học về số nguyên tố và tính chất chia hết, ta tim ra hướng giải của bài toán.

Có: n e N * và n > 2 nên ba số 2" -1, 2" và 2" +1 là ba số tự nhiên liên tiếp.

Có 2 không chia hết cho 3 nên 2" cũng không chia hết cho 3.

Mà trong 3 số tự nhiên liên tiếp luôn luôn có 1 số tự nhiên chia hết cho 3 nên

T -1 và 2" +1 có một số chia hết hết cho 3

=> Trong hai số 2' -1 và 2" +1 có 1 số là hợp số

=> 2" -1 và 2" +1 không thể đồng thời là hai số nguyên tố.

Ví dụ 2 Tìm cặp số nguyên (x,^) thỏa mãn đắng thức X + y = xy

Muốn tìm được ra cặp số nguyên , ta cần đưa đẳng thức X + y - xy về dạng tích của 2 biểu thức trong đó mỗi biếu thức trong tích nói trên chỉ có thế chứa 1 biến

Từ đó ta chia trường hợp cho bài toán trên.

Do 1 = 1.1 = (-l).(-l) nên ta có 2 trường hợp:

Vậy ta có 2 cặp số nguyên (x,y) cần tìm là (2,2) và (o,o).

Có thế thấy trong quá trình tư duy bài toán thì phân tích và tổng hợp là hai thao tác chính Chúng là hai quá trình thống nhất biện chứng với nhau mà ở đó sự phân tích được tiến hành theo hướng tổng hợp, còn tổng họp được thực hiện dựa trên các kết quả phân tích Trong quá trình giảng dạy và trong các phương pháp dạy học, giáo viên cần chú trọng rèn luyện kĩ để học sinh vận dụng linh hoạt hai quá trình này, cùng với khá năng tư duy và nhận định của bản thân vào giải quyết một bài toán Bên cạnh đỏ GV cũng cần chuẩn bị các dạng bài toán phân hóa mức độ phân tích tổng hợp để phù hợp với nhiều phân loại học sinh, tránh trường hợp học sinh trung binh yếu không thể tư duy phân tích được bài toán khó đối với học sinh, ngược lại học sinh khá giỏi cảm thấy nhàm chán với các bài toán dễ.

2.1.2 Rèn luyện kỹ năng thao tác tương tự

Tương tự là thao tác tư duy dựa trên sự giống nhau về tính chất và quan hệ của những đối tượng toán học khác nhau Trong bộ môn Toán ta có thể hiểu phép chứng minh tương tự có cách thức và phương pháp chứng minh giống với phép

39 chứng minh trước đó dựa trên các biểu thức đã được công nhận, các kiến thức đã được phổ biến và sử dụng.

Tương tự là thao tác phổ biến mà GV thường dùng để hướng dẫn HS sau khi đã hướng dẫn mẫu 1 bài toán và yêu cầu HS giải bài toán khác có cách giải tương tự, với mục đích để HS có được kỹ năng linh hoạt và nhuần nhuyễn khi làm bài Khi yêu cầu và hướng dẫn HS giải các bài toán tương tự, học sinh sẽ tư duy phân tích bài toán, tìm ra sự tương đồng với những dạng toán đã được hướng dẫn, liên kết các tri thức đã học để giải quyết bài toán, có được nhũng dấu hiệu và cách giải chung cho dạng toán đó Vì vậy thao tác tương tự có một vai trò quan trọng trong quá trình dạy học của GV và quá trình rèn luyện kỹ năng giải bài toán của

Qua nội dung quan hệ chia hết, tính chất chia hết, ta biết rằng để chứng minh một tổng chia hết cho một số, ta chứng minh mọi số hạng của tổng đều chia hết cho số đó; để chứng minh một hiệu chia hết cho một số, ta chứng minh cả số bi trừ và số trừ của hiệu chia hết cho số đó; đế chứng minh một tích chia hết cho một số, ta chứng minh mọi thừa số cùa tích chia hết cho số đó Từ đó GV định hướng cho HS và hướng dẫn HS giải các bài tập ví dụ dưới đây.

Ví dụ 3 Tìm số nguyên dương ỉỉ để rì +1 chia hết cho rì +1.

rì + rì -rì +1:+1 rì (rì + l)-(/72 -l):n3 + 1 Vì (rì + 1)Ỉ773 +1=> rì (rì + l):zT +1 Vậy để rì (rì + 1)-Ợ?2 -1):/?3 +1

Vì 77 là sô nguyên dương nên 77 có giá trị nhỏ nhât băng 1.

Vì 1Ỉ772 - 77 +1 nên 772 - 77 + 1 = 1 o 772 - 77 = 0 77(77 -1) = 0 nên ta có 2 trường hợp 77 = 0 (loại) hoặc 77 = 1 (thỏa mãn).

Vậy giá trị của 77 cân tìm là 77 = 1

Dạy học rèn luyện kỹ năng giải toán phân tích đa thức thành nhân tử cho học

2.2.1 Kỹ năng tách một hạng tử thành nhiêu hạng tử

- Đa thức f (x) có nghiệm hữu tỉ thì nghiệm đó dạng — (Trong đó p là ước của hệ sô tự do, q là ước dương của hệ sô cao nhât).

- Nếu đa thức f (x) có tổng các hệ số bàng 0 thì khi phân tích đa thức thành nhân tử sẽ xuât hiện 1 nhân tử là X -1.

- Nếu đa thức /(x) có tống các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tồng các hệ số cùa các hạng tử bậc lẻ thì khi phân tích đa thức /’(x) thành nhân tử sẽ xuât hiện 1 nhân tử là X +1.

-Neu a là nghiệm nguyên của /(x) và /(1)^0, /'(-1)^0 thì

\ r - 2 - ~ ô • _ _ _ đêu là sô nguyên Từ đó có thê nhanh chóng loại trừ các nghiệm là uớc của hệ sô- tụ do.

* Phương pháp tách hạng tử đối vói đa thức bậc hai ax 2 + bx + c

Cách 1: Tách hạng tử bậc nhất bx

+ Tính tích a.c rồi phân tích a.c thành tích của 2 thừa số: ac = a ỵ C\ = a2 c2 =

+ Từ các tích vừa tìm được, ta chọn ra 2 thừa số của 1 tích có tổng bằng hệ số /?, ví dụ • ỉ I a + c, = b

4 - Tách hạng tử bx = a ỵ x + c ỵx

+ Dùng phương pháp nhóm hạng tử đế hoàn thành việc phân tích đa thức thành nhân từ.

Cách 2: Tách hạng tủ’ bậc hai ax2

+ Mục đích của việc tách hạng tử bậc hai ax2 để xuất hiện được hằng đăng thức a 2 -b 2 = ịa-b}(a +

Cách 3: Tách hạng tử là hệ số tự do c

+ Tách hạng tử c thành các hạng tử c l và c2 để sử dụng phương pháp nhóm hạng tử hoặc tạo thành hằng đẳng thức.

Vỉ dụ 4: Phân tích đa thức 3x2 - 8x + 4 thành nhân tử bằng 2 cách.

Cách 1: Xét thấy 3.4 = 12 = (-2).(-6) và (-2) +(-6) = 8 nên

Ví dụ 5: Phân tích đa thức 3x2 + 8x + 4 thành nhân tử.

* Phương pháp tách hạng tử đôi với đa thức băng cách nhâm nghiệm

- Cơ sở để phân tích:r Xét n \ đa thức } n P it x-1 (x) = axn + a 1 ỵ x 0 1 + + CLX + a n với

+ Neu X = a là nghiệm của p(x) thì p(a) = 0.

- Hệ quà: Neu P (x) = 0 có nghiệm nguyên thì nghiệm đó là ước của a {} r ỵ K

- Định lý Bezut: Nêu P (x) = 0 có nghiệm X = a thì P (x) = (x- (x) (Với //(x) có bậc n -1)

Vỉ dụ 6: Phân tích đa thức Xs - x2-4 thành nhân tử.

Lời giải: Ta nhận thấy /(x) nếu có nghiệm nguyên thi nghiệm của /(x) là ơ(4) = {l;-l;2;-2;4;-4}.

Trong đó ta thấy chỉ có /(2) = 0 nên X = 2 là nghiệm của / (x) Vì vậy ta cỏ f (x) có một nhân tử là X - 2 Do đó ta là X - 2 Cách 1: X3 -X2 -4 = (x3 -2x2) + (x2 -2x) + (2x-4) = (x-2)(x2 + x + 2).

Vỉ dụ 7: Phân tích đa thức X4 4- X3 - X -1 thành nhân tử.

Xét đa thức X4 4- X3 - X -1 ta có tổng các hệ số của các hạng tử trong đa thức bằng

0, đông thời tông hệ sô các hạng tử bậc chăn cũng băng tông hệ sô các hạng tử bậc lẻ nên đa thức xuất hiện nhân tử (x - l)(x 4-1).

* Trường họp đặc biệt: Đa thức không có nghiệm nguyên

Xét đa thức p n V / (x) = ax'1 n 4- a.x" /7—1 1 + + a 1 ỵx + aAa a 0 V n 0 e z,n> ’ 1) /

Ví dụ 8: Phân tích đa thức 3x3 - 7x2 +17x - 5 thành nhân tử.

Xét các ước của 5 là: ± 1; ±5 Nhận thấy đa thức không có nghiệm nguyên, vậy nên ta tìm nghiệm hũư tỷ của đa thức.

\ ta thấy nghiệm của đa thức là X = — nên đa thức có ợeơ(3) 3 một nhân tứ X - -7 hay 3x -1.

2.2.2 Kỹ năng nhóm hạng tử Vi dụ 9: Phân tích đa thức A = a(b 2 4- c2) 4- b(c 2 4- ữ2) 4- c(ứ2 4- b 2 ) 4- labc thành nhân tử.

= ab 2 + ac 2 + bc2 + a2 b + ca2 + cb 2 + 2abc

= (ca 2 + cb 2 + 2abc^ + (ab 2 + a 2 b^ + (ac 2 +ỐC2)

Ví dụ 10: Phân tích đa thức A = a{h +c2) + ó(c2 +fl2) + c(ứ2 -vb ) + 3abc thành nhân tử.

- (ab 2 + a 2 b + abc) 4- (izc2 4- a 2 c + abc) + (be 2 + b 2c 4- abc)

2.2.3 Kỹ năng sử dụng hằng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử

Học sinh cần nắm chắc cách biến đổi các hằng đẳng thức sau:

Vi dụ 11: Phân tích đa thức a : + b + c} - 3abc thành nhân tử.

Ví dụ 12: Phân tích đa thức (ứ + b + c)3 - a - b ' - C thành nhân tử.

2.2.4 Kỹ năng thêm, bớt cùng một hạng tử

* Khi phân tích các đa thức thành nhân tử nhưng không thế sử dụng các phương

X 9 pháp như đặt nhân tử chung, nhóm hạng tử và sử dụng hăng đăng thức cũng như đoán nghiệm, ta sử dụng phương pháp thêm, bớt cùng một hạng tử.

- Trong các thành phần của đa thức có chứa các hạng tử bậc 4, ta sẽ thêm bớt để đưa về hằng đẳng thức số 3: a 2 -b 2 - (ứ -/>)(ô + ú)

- Khi thêm, bớt hạng tử có thê làm xuât hiện nhân từ chung từ đó phân tích đa thức thành nhân từ.

Ví dụ 12: Phân tích đa thức ÍZ4 + 4 thành nhân tử.

Ví dụ 13: Phân tích đa thức Xs + 98x4 +1 thành nhân tử

Vỉ dụ 14: Phân tích đa thức X8 + X7 +1 thành nhân tử

Vỉ dụ 15: Phân tích đa thức X5 + X -1 thành nhân tử.

2.2.5 Kỹ năng đôi biên sô

Ví dụ 16: Phân tích đa thức thành nhân từ: (x2 + 3x - 4)(x2 + X - 6) - 24.

Ta có: (x2 + 3x-4)(x2 + x-6)-24 = (x-l)(x + 4)(x-2)(x + 3)-24 Xét thấy: (x-2)(x + 4)(x-l)(x + 3)-24 có -2 + 4 = -1 + 3

Nên: (x-2)(x + 4)(x-l)(x + 3)-24 = (x2+2x-8)(x2+2x-3)-24 Đặt: X2 + 2x = t , khi đó đa thức trở thành: (í - 8)(/ - 3) - 24 = t 2 -1 \t = t[t -1

Thay t trở lại ta được: (x2 + 2x)(x2 + 2x -11) = x(x + 2)(x2 + 2x-11).

Vỉ dụ 17: Phân tích đa thức thành nhân tử: x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128.

Thay t vào biểu thức ta có:

* Bài toán có dạng: (x + aỴ + (% + b) 4

* Bài toán có dạng P(x) = ax4 + bx' + CX1 + dx + e

Phương pháp: P(x) = ax + hx' +CX 2 + dx + e e a

Ví dụ 18: Phân tích đa thức thành nhân tử: P(x) = 2x4 - 2 lx? - 30x2 105%+ 50.

Khi đó đa thức trở thành:

X X Đa thức trở thành: x2(t2-2 + 10í + 26) = x2(/2 + 10z + 24) = x2(í + 4)(/ + 6) Thay t trở lại ta được:

Ví dụ 19: Phân tích đa thức thành nhân tử: X4 + 10x3 + 26x2 + lOx +1.

Vỉ dụ 20: Phân tích đa thức thành nhân tử: 4(x + 5)(x + 6)(x + 10)(x + 12)-3x2.

60 X = t , Khi đó đa thức trở thành Đặt: X +

2.2.6 Kỹ năng sử dụng phương pháp hệ sô bât định

- Chú ý: Hai đa thức bằng nhau khi hệ số của mồi lũy thừa tương ứng trong hai đa thức bằng nhau.

- Phương pháp này dùng cho đa thức không có nghiệm nguyên cũng không có nghiệm hữu tỷ.

Ví dụ 21: Phân tích đa thức thành nhân tử: /(x) = X4 - 6x’ +12x2 -14x + 3.

Ta nhận thấy đa thức không có nghiệm nguyên cũng không có nghiệm hữu tỷ

/(x) = (x2 +ax + è)(x2 + cx + ư) = x4 + (a + c)x’ + (ac + b + d)x2 +{ad + bc)x + bd

\ ' r Đông nhât các hệ sô ta được: a + c = -6 ac + b + d - -14 ad + bc = -14 bd = 3 => ố e |±1;±3} è = 3 CIC = 8 => c = -4; a - f (x) = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x +1)

Ví dụ 22: Phân tích đa thức thành nhân tử: Q(x) = 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8.

Cách 1: ta nhận thấy đa thức có tổng hệ số các hạng tử bậc chằn bằng tổng hệ số các hạng tử bậc lẻ nên đa thức có 1 nhân tử là X +1.

- 2x4 + ( íz + 2)x3 + (í/ + ỗ)x2 + (ồ + c)x + c Đồng nhất hệ số với đa thức ộ(x) = 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 ta có: a = -5 f a + 2 = -3

Q(x) = (2x +ax+b)(x +CX + d) = 2x + (2c + a)x + (2d + ac + b)x + (ad + bc)x + bd Đồng nhất hệ số với đa thức Q(x) = 2x 4 - 3xJ - Ix1 + 6x + 8 ta có:

2d + ac + b = -7 ad + he = 6 id = -4 2(x) = (2x2 - X - 4)(x + l)(x - 2). bd = $>

Vi dụ 23: Phân tích đa thức thành nhân tử: (x2 + y2 + xyỴ - x2y2 - y 2 z 2 - Z2 X 2

Chứng minh rằng s = (x + jộ(x + 2y)(x + 3y)(x + 4j^) + y 4 là một số chính phương.

= (x2 + 5xy + 4/)(x2 + 5xy + 6y2) + y 4 Đặt t - X2 + Sxy + 4j’2 Khi đó biếu thức trở thành

Thay t - X + 5xy + 4y2 ta có: s = (x + 5xy + 5y2)2 Vậy s = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 là một số chính phương.

2.2.7 Kỹ năng xét giá trị riêng Vỉ dụ 25: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

Nếu thay X bởi y thi p = 0, nên p chia hết cho X - y

Hơn nữa nếu thay X bởi y, y bởi z, z bởi X thì p không thay đồi (ta nói đa thức p có dạng hoán vị vòng quanh) Do đó: p chia hết cho x-y thì p cũng chia hết cho y-z.z-x

Từ đó: = ứ(x — - z)(z - x) ; trong đó a là hăng sô, không chứa biên vì p có bậc 3 đối với tập họp các biến, còn tích (x-^)(y-z)(z - x) cũng có bậc 3 đối r với tập hợp các biên.

Ta có: F = X2 (y - z) 4-y2 (z - x) + z2 (x-y) = a(x-y)(j’- z)(z - x) (*) đúng với mọi x,y,z G R nên ta chọn các giá trị riêng cho X, y, z đê tìm hăng sô a

Chú ỷ Các giá trị của X, y, z ta có thể chọn tùy ý, chỉ cần chúng đôi một khác nhau để tránh p = 0 là được.

Chẳng hạn, chọn X = 2; y = l;z = 0 thay vào đắng thức (*), ta tìm được a = -1

Ví dụ 26: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

Nhận xét Với X = y thì B = 0, cho nên X - y là một nhân tử của B Do vai trò bình đẳng của X, y, z nên y - z và z - X cũng là nhân tử của B, mà B có bậc 4 đối với tập hợp cỏc biến nờn B = k.(x -ôy)(y ~z )(z -x)(x + y +

2.2.8 Bài toán phân tích đa thức thành nhãn tử đa thức một biến 2.2.8.1 Vành đa thức một biến a Định nghĩa

Cho vành A là một vành giao hoán có đơn vị Ta gọi đa thức bậc n của biến X là một biểu thức có dạng p n \ J n (x) = Í7„x" + n-ì ,x" 1 + + ax 1 + aJa 0) 0 X n / Trong đú cỏc a i e A được gọi là hệ số, a n là hệ số bậc cao nhất và ôo là hệ số tự do của đa thức.

Neu ự = 0,z' = 0 ,n -1 và a * 0 thì ta có bậc của đa thức băng 0.

Nêu a = 0 V/ thì ta coi bậc của đa thức là -00 và gọi là đa thức không (nhìn chung người ta không định nghĩa bậc với đa thức không).

Tập hợp tât cả các đa thức với hệ sô lây trong vành A được kí hiệu là A X

Khi A = K là một trường thì vành K X là một vành giao hoán có đơn vị.

Ta thường xét A - z hoặc A = Q hoặc A - R hoặc A - c Khi đó ta có các vành đa thức tương ứng là z b Các phép tỉnh trên đa thức

Ta định nghĩa các phép tính sô học trongo đó k 0 c =aJx + k 1 A-1 a,b, ỵ + AO’ + ajx k " = o, ,n ’

2.2.8.2 Bài toán phân tích đa thức thành nhân tử

Trong phần này chúng ta sẽ nêu cách giải một số bài toán liên quan đến việc phân tích một biểu thức dạng đa thức ra thừa số trên trường số thực.

Ví dụ 27: Cho số nguyên dưcmg m và cho đa thức p (x) bậc n sao cho P n (%"' chia hết cho (x -1) Chứng minh rằng P n (x'") chia hết cho (x"1

Theo giả thiếu thì P t (1) = P n (1"') = 0 Vậy nên F (/) chia hết cho (í -1) và P (í) = (t - Từ đó ta có

X ) = (x - li.£/^x J Vậy, p(x"^ chia hết cho (x'"

Ví dụ 28: Cho a G IR \ {0} và cho 2 số nguyên dương /77, k Già sử đa thức P tì (x) bậc n sao cho Fix'" ) / \ chia e hêt r cho (x-a) z \ k Chứng r minh răng 2 P ax / 1" \ ) chia hêt ' cho (x"' -a'"Ỵ

Theo đề bài ta có p (x'"ì chia hết cho (x-ưY nên mx" ‘ 1 p'(x" ) chia hết n \ / \ / n ỵ ) cho (x-l) Dê thây hai đa thức x'" và (x-l) nguyên tô cùng nhau nên

P(x'" ) chia hết cho (X - ớ)Ả 1 Từ đó suy ra P(Ắ’ ° (x ) chia hết cho (x-aY Vậy, n \ J X / d n \ m / \ / • J “

Pia n \ / n \ ] = P\a ] = / = p (a =0 n \ J do đó P (í) chia hết cho (í - a‘ " y Thay t = X 1 " , ta có P ) chia hết cho

Cho hai đa thức f(x) = x [2-x"+ 3x10 +1 lx3 - X 2 + 23x + 30 g(x) = X3 + 2x + m

Xác định các giá trị nguyên m để tồn tại đa thức í/(x) sao cho

Ta có: / (x) = g(x)ợ(x) + r(x) V xg R trong đó r(x) = íZX2 +bx + c

Ta cần xác định giá trị của m để r(x) = 0 hay a = b - c = 0 Thực hiện phép chia / (x) cho g(x) ta thu được (x) = (m’ + 6m 2 -Ĩ2m +15)x2 + (5m3 -24m2 + 16m + 33) X + m4 - 6m 3 + 4/;i2 + 5m + 30

Giải hệ phương trình m~ + 6m2 - 32/77 + 12 = 0 5m3 - 24/77 +1 6m + 33 = 0 m 4 - 6m + 4 7772 + 5m + 30 = 0 ta thu được m = 3

Vậy, với m = 3 thì tồn tại đa thức ạ(x) để / (x) = g(x)ợ(x), V G R.

Một số lưu ý khi xây dựng hệ thống bài tập nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh khá, giỏi lớp 8

toán phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh khá, giỏi lớp 8

Hoạt động dạy và học môn Toán ở khôi THCS là một hoạt động khoa học dành cho học sinh trong đó việc giải toán là hoạt động chủ yếu, điều quan trọng là cần hướng dẫn và nhấn mạnh được cho HS cách tư duy logic, rèn kỹ năng phân tích bài toán, khả năng tính toán, chứng minh một bài toán, từ đó áp dụng những kiến thức đã học vào thực tiễn Khi xây dựng các dạng toán nhằm mục đích rèn luyện kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh khá, giỏi lớp 8, GV cần lưu ý các yêu cầu sau:

- Thông qua các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử, HS nâng cao được kỹ năng phân tích, suy nghĩ logic, độc lập sáng tạo, nắm chắc được các kiến thức mình đã học đồng thời hiểu những kiến thức đã học một sách sâu hơn, phát triển được phẩm chất trí tuệ Việc giải các bài toán trong tiết luyện tập là một hình thức

60 tốt nhất để GV kiểm tra được việc hiểu bài của học sinh cũng như học sinh có thể tự kiểm tra về năng lực, mức độ tiếp thu và vận dụng kiến thức đã học cúa bàn thân.

- Khi hướng dẫn các phương pháp giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử cho HS, GV cũng cần chú trọng vào việc rèn luyện các phẩm chất trí tuệ: tính nhẩm, tính nhanh một cách thông minh, rèn luyện tính linh hoạt sáng tạo qua các cách giải khác nhau của mỗi bài toán, tính thuận và tính nghịch của một bài toán.

GV cần khắc sâu và hoàn thiện lý thuyết qua các dạng bải tập có tính chất phản ví dụ, các bài tập có tính chất thực tế.

- Khi xây dựng hệ thống các dạng bài tập, GV chú ý hình thành cho HS các phương pháp giải các bài toán ở các dạng toán cụ thể HS cần chú ý và hiếu rõ các bài tập mẫu, GV nên có những bài tập chỉ gợi phương hướng giài hoặc có những bài toán mang tính chất tương tự với những bài toán đã hướng dẫn chi tiết, cụ thể để HS chủ động tư duy và áp dụng vào các bài toán khác.

- Khi thiết kế và biên soạn các dạng bài tập, các bài tập cụ thế, GV cần chú ý nghiên cứu các sách giáo khoa, các tài liệu để xác định được đúng các kiến thức cần đạt được sau bài học của HS GV càn nắm vững nội dung cũng như phương pháp thuộc nội dung Phân tích đa thức thành nhân tử, từ đó xác định được các kiến thức phù hợp với từng đối tượng học sinh cũng như mở rộng các kiến thức cho học sinh khá, giỏi Các bài tập đưa ra cần được phân bố theo các cấp độ để học sinh dễ dàng theo dõi và thực hành Khi xây dựng bài tập cho HS khá, giỏi, GV nên có những dạng bài tập gieo tình huống, hướng dẫn từng bước giải quyết vấn đề, dự kiến những câu trá lời và những thắc mắc phát sinh của học sinh, từ đó chủ động giải quyết các tình huống trong tiết dạy một cách hiệu quả hơn.

- GV cần tạo được cho học sinh những động cơ, tinh thần ham học hỏi, muốn khám phá các kiến thức mới thông qua các bài toán Phân tích đa thức thành

61 nhân tử GV có thể xây dựng hệ thống bài tập để có thể lật ngược các vấn đề, xét tính tương tự, giải quyết mâu thuẫn của bài toán hoặc xuất phát từ một nhu cầu thực tế GV cần rèn luyện cho HS việc biết mở rộng bài toán, biết tìm tòi các mối liên hệ với các bài toán khác, từ đó phát triển và viết được ra các đề toán tương tự.

Sau khi nghiên cứu các cơ sở lý luận, trong chương 2 tác giả tập trung vào việc đưa ra các biện pháp rèn luyện kỹ năng giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh khá, giỏi lóp 8 Tác giả đã đưa ra các biện pháp rèn luyện các kỳ năng: rèn luyện kỳ năng tách một hạng tử thành nhiều hạng tử; rèn luyện kỹ năng nhóm hạng tử; rèn luyện kỹ nàng sử dụng hằng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử; rèn luyện kỹ năng thêm, bớt cùng một hạng từ; rèn luyện kỹ năng đổi biến số; rèn luyện kỹ năng sừ dụng phương pháp hệ số bất định; rèn luyện kỹ năng xét giá trị riêng.

Trong các phương pháp rèn luyện tác giả đưa ra, tác giả đều xây dựng các ví dụ có tính đặc trưng và bao hàm nội dung chương trình phân tích đa thức thành nhân tử.

Bên cạnh đó trong chương 2 tác giả cũng đưa ra một số lưu ý cho GV khi xây dựng hệ thống bài tập nhằm rèn luyện các kỹ năng giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh khá, giỏi lớp 8.

Nội dung chương 2 là nội dung tác giả đề xuất dựa trên nghiên cứu phần cơ sở lí luận và kiến thức kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy môn Toán cho HS của tác giả Đe đánh giá các biện pháp rèn luyện kỳ năng giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử đã nêu trên và xem xét mức độ hiệu quả khi áp dụng, tác giả tiến hành tổ chức thực nghiệm sư phạm trong nội dung chương 3.

CHUƠNG3 THỰC NGHIỆM Sư PHẠM 3.1 Mục đích tô chức thực nghiệm sư phạm

Trên cơ sở những cơ sở lý luận trong chương 1 và những nội dung đà đê xuất trong chương 2, tác giả đã tiến hành thực nghiệm sư phạm nhằm giải quyết các vấn đề dưới đây:

- Thực nghiệm sư phạm nhăm kiêm định tính khả thi và hiệu quả của việc rèn luyện kỹ năng giải toán phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh khá, giỏi lớp 8 tại Hà Nội, đồng thời kiểm nghiệm tính đúng đắn của giả thiết khoa học.

- Sử dụng các phương pháp giải bài toán đã nêu trên, hệ thông lý thuyêt, hệ thống ví dụ, bài tập đưa ra có tác dụng phát triển tư duy của học sinh, rèn luyện cho học sinh kỹ năng giài toán nhăm tăng cường hứng thú học tập môn Toán cho học sinh, kích thích học sinh khả năng tìm tòi sáng tạo, hình thành con đường tự nghiên cứu cho học sinh đồng thời góp phần nâng cao chất lượng dạy học và sự phát triên của giáo dục.

3.2 Tô chức thực nghiệm sư phạm

THỤC NGHIỆM SƯ PHẠM

Tiến hành thực nghiệm

Tác giả tiên hành TNSP trong thời gian 2 tiêt vê rèn luyện kĩ năng giải bài toán phân tích đa thức thành nhân từ cho học sinh khá, giỏi lớp 8 câp Trung học cơ sở cho hai đội tuyển học sinh giỏi lớp 8 của các trường Tiểu học & THCS FPT Cầu Giấy và trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm cùng trực thuộc thành phố Hà

Nội Tác giả sử dụng bài tập trong hệ thông các bài tập đã xây dựng ở chương 2 và giáo án, được đính kèm trong phụ lục 7.

Chúng tôi đã tiên hành TNSP vào tuân 1 và tuân 2 tháng 11 năm 2023 tại hai trường Tiểu học & THCS FPT cầu Giấy và trường THCS Thực Nghiệm trực thuộc địa bàn thành phô Hà Nội.

- Nội dung thứ nhât: dạy học rèn luyện kỹ năng tách một hạng tử thành nhiều hạng tử; Rèn luyện kỹ năng nhỏm hạng tử; rèn luyện kỹ năng sử dụng hằng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử.

- Nội dung thứ hai: dạy học rèn luyện kỹ năng thêm, bớt cùng một hạng từ; rèn luyện kỹ năng đổi biến số; rèn luyện kỹ năng sử dụng phương pháp hệ số bất định.

Tác giả cùng với sự hô trợ cho học sinh của hai đội tuyên học sinh gioi lớp 8 của trường Tiểu học & THCS FPT cầu Giấy và trường THCS Thực Nghiệm làm hai bài kiểm tra đế đánh giá tính khả thi của đề tài Một bài kiểm tra chúng tòi thực hiện cho học sinh làm trước khi TNSP và một bài kiêm tra chúng tôi thực hiện cho học sinh làm sau khi TNSP.

Hình thức kiêm tra: Tự luận.

Thời gian kiểm tra: 45 phút và 60 phút. Đe bài kiểm tra và đáp án, biểu điểm chấm ở Phụ lục 3, 4, 5, 6 của luận văn.

3.4.4 Xử lý số liệu Đẻ xử lý số liệu thu được, ta cần tính các tham số đặc trưng: điểm trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn, hệ số biến thiên, sai số tiêu chuẩn, kiểm định t-test. a Điểm trung bình

- Điểm trung bình : là tham số đặc trung cho sự tập trung của số liệu.

- Công thức: X = — ^ trong đó ni là tân sô của giá trị X n + /7, 1 + + 77, K b Phương sai và độ lệch chuẩn

- Phương sai: là tham số đặc trưng cho độ phân tán của các số liệu so với giá trị trung bình.

- Độ lệch chuẩn: là giá trị chênh lệch trong tập số liệu với giá trị trung binh.

Căn bậc hai của phương sai được gọi là độ lệch chuấn của bảng số liệu đó.

+ Nếu độ lệch chuẩn bằng 0: phương sai cũng bằng 0 Khi đó các giá trị quan sát cũng chính là giá trị trung bình hay không có sự thay đối.

+ Nếu độ lệch chuẩn càng lớn thì sự biến thiên quanh giá trị trung bình càng cao Nếu độ lệch chuẩn càng nhỏ thì số liệu càng ít phân tán.

- Phương sai và độ lệch chuẩn đều dùng để đánh giá mức độ phân tán của các số liệu thống kê so với giá trị trung bình Nhưng khi cần lưu ý đến đơn vị đo thì ta dùng độ lệch chuẩn.

A F là tân sô của giá trị X.

* Cách tính độ lệch chuẩn

+ Công thức: 5 = trong J đó 72 A- r 1 là tân sô ' A của 9 giá trị 9 ' A 9 X và y r 9 VỚI n = n 1 +71 + K + 72,

- Nếu hai bảng số liệu có giá trị trung bình bằng nhau thì nhóm nào có độ lệch chuẩn nhỏ hơn thì nhóm đó có chất lượng tốt hơn. f r w w A _A 1- • A _ J 1 • A _ c Hệ sô biên thiên

- Hệ số biến thiên dùng để so sánh độ phân tán trong trường hợp hai bảng số liệu có giá trị trung bình khác nhau.

- Giá trị của V càng nhỏ thì độ phân tán càng ít Nếu V < 30% thì độ dao động đáng tin cậy. d Sai số tiêu chuẩn

- Điêm trung bình thật sự năm trong khoảng X - m;x + m e Kiêm định t-test

- Để khẳng định sự khác nhau giữa hai giá trị và X ĐC là có ý nghĩa với mức ý nghĩa a , chúng tôi dùng phép thử t-test.

- Chọn giá trị a từ 0,01 đến 0,05, tra bảng phân phối student ta thấy giá trị C.Ả và độ lệch tự do k = 2n - 2 sẽ có hai trường hợp như sau :

+ Nêu t > t ak thì sự khác nhau giữa x/v và X ĐC là có ý nghĩa.

+ Nêu t < ta k thì sự khác nhau giữa X TN và X ĐC là chưa đủ ý nghĩa.

Kết quả thực nghiệm su phạm

Trong mục này, tác giả coi kết quả trước kiềm tra là nhóm đối chứng (ĐC) và kết quả sau kiểm tra là nhóm thực nghiệm (TN).

3.5.1 Các bảng tổng hợp kết quả thực nghiệm sư phạm

Bảng 3.1 Bảng điểm kiêm tra Đề số Nhóm

Bảng 3.2 Bảng điêm trung bình

Nhóm Đề số Lớp thực nghiệm Lớp đối chứng

Bảng 3.3 Báng Tỉ lệ % học sinh đạt điêm giỏi, khả, trung bình, yếu kém Đề số Nhóm % HS giỏi % HS khá % HS trung bình

Bảng 3.4 Báng tỉ lệ % học sinh đạt điêm x í trởxuông Điểm X, ị

% HS đạt • điểm X / trở xuống

TN1 ĐC1 TN1 ĐC1 TNl ĐC1

SỐ HS đạt điểm X % HS đạt điểm X

TN2 ĐC2 TN2 ĐC2 TN2 ĐC2

Bảng 3.5 Băng tông hợp các tham sô đặc trưng

Trung vị 7 6 7 6 Điểm TB 6,92 5,96 7.25 6.17 Độ lệch chuẩn s 1,35 0,95 1.42 1.05

3.5.2 Sử dụng đô thị biêu diên kêt quả thực nghiệm sư phạm

Hình 3.1 Đô thị đường tích lũy so sảnh kêt quả kiêm tra đê sô

Hình 3.2 Đô thị đường tích lũy so sánh kêt quả kiêm tra đê sô

Hỉnh 3.3 Đồ thị cột so sảnh kết quả kiêm tra đề số 1

Hình 3.4 Đồ thị cột so sảnh kết quá kiểm tra đề số 2

3.6 Đánh giá kêt quả thực nghiệm sư phạm

3.6.1 Chất lượng học tập của nhóm đối chứng và nhóm thực nghiệm

Qua kết quả thực nghiệm sư phạm, tác giả nhận thấy kết quả và chất lượng học tập của học sinh các lóp thực nghiệm cao hơn học sinh các lóp đối chứng, cụ thể như sau:

- Tỉ lệ học sinh trung bình, yêu kém của nhóm đôi chứng luôn cao hơn nhóm thực nghiệm.

- Tỉ lệ % học sinh khá và học sinh giỏi của học sinh lớp thực nghiệm luôn cao hơn học sinh lớp đối chứng.

- Đồ thị đường tích lũy của nhóm thực nghiệm luôn nằm bên phải và nằm phía dưới đường tích lũy của nhóm đối chứng (thể hiện ở hình 3.1,3.2).

- Điếm trung bình của học sinh lớp thực nghiệm tăng dần và luôn cao hơn so với điểm trung bình của học sinh lớp đối chứng (bảng 3.2).

3.6.2 Đánh giá chung về kết quả thực nghiệm SU'phạm

Chúng tôi rút ra được một số kết luận từ kết quả TNSP như sau:

- Sử dụng nội dung có trong luận văn, ta có: Điếm kiếm tra đạt mức khá và giỏi đều cao hơn, cụ thể như sau:

+ Điểm trung bình thấp nhất là 6,96 và cao nhất là 7,38.

+ Phân bố điểm tập trung từ 6 đến 10.

+ Các điểm 7, 8, 9 có xác suât lớn, các điểm này nằm thuộc loại điểm khá, giỏi và có sự phân hóa rõ ràng.

- Sử dụng nội dung cũ, ta có: Học sinh chủ yếu có kết quả điểm trung bình, khá nhiều, cụ thể như sau:

+ Điểm trung bình thấp nhất là 6,08 và cao nhất là 6,25.

+ Điểm phân bố tập trung trong khoảng từ 5 đến 7 điểm.

+ Các điểm 5, 6, 7 có xác suât lớn, các điểm này nằm thuộc loại điểm trung bình, khá và có sự phân hóa rõ ràng.

- Việc sử dụng các biện pháp có hiệu quả, cùng với hệ thống lý thuyết, bài tập đầy đủ, đa dạng và có hệ thống sẽ giúp học sinh nắm bắt kiến thức một cách nhanh chóng và hiếu sâu hơn về những kiến thức được học, tạo điều kiện thuận lợi cho học sinh phát huy tính chủ động, tích cực, tự học và tự tìm hiểu, nghiên

73 cứu sáng tạo trong quá trinh được học tập và nghiên cứu rèn luyện một sô kì năng phân tích đa thức thành nhân tử cũng như trong toàn bộ quá trinh học tập sau này

Học sinh tích cực hoạt động, tìm tòi và phát huy tính tư duy độc lập sáng tạo, đồng thời tăng cường khả năng tiếp thu kiến thức mới, giải quyết các bài toán nâng cao có liên quan, đồng thời tạo được tâm lý cởi mở, thoải mái giữa người dạy và người học.

- Việc sử dụng các biện pháp có hiệu quả cũng giúp giáo viên có được cái nhìn tồng quát hơn về các vấn đề trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi, có được sự linh hoạt khi dạy học và bồi dưỡng các học sinh giỏi một cách tốt hơn Bên cạnh đó, với việc cung cấp các biện pháp và có những lưu ý nhấn mạnh một số dạng bài tập một cách rồ ràng, chính xác sẽ giúp thầy cô có cái nhìn toàn diện về chuyên đề rèn luyện kĩ năng giài toán phân tích đa thức thành nhân tử, là một tài liệu giúp ích được cho giáo viên trong quá trình giảng dạy phân tích đa thức thành nhân tử.

Mục đích TNSP được hoàn thành, tính hiệu quả và khả thi của các biện pháp nhằm nâng cao năng lực giải toán phân tích đa thức thành nhân tử cũng như việc ứng dụng vào bồi dương và giảng dạy cho học sinh khá, giỏi đà được khẳng định.

Từ nội dung được trình bày trong chương 3 về TNSP, tác già nhận thấy rằng các thầy, cô giáo dự giờ, cô giáo dạy thực nghiệm cũng như thầy cô giáo trong ban giám hiệu đều đánh giá cao các biện pháp mà tác giả đưa ra trong luận văn, đồng thời ý kiến của các thầy cô cho rằng các biện pháp này cần thiết trong việc xây dựng kế hoạch và áp dụng bồi dương cho học sinh khá, giỏi hiện nay. Đánh giá định lượng được nêu ra dựa trên kết quả kiểm tra đầu vào và đầu ra của lớp thực nghiệm và lóp đối chứng Kết quả kiểm tra đầu ra của lóp thực nghiệm cho thấy qua quá trình thực nghiệm, học sinh đã có tiến bộ và điều này được thể hiện thông qua kết quả bài kiểm tra của học sinh Từ các kết quả của học sinh lóp thực nghiệm, có thế thấy được kỹ năng làm bài, khả năng liên kết những kiến thức đã học và áp dụng các kiến thức đó vào giải bài tập của học sinh được cải thiện rõ rệt Từ đó ta có thể kết luận sơ bộ như sau: khi giáo viên nghiên cứu các biện pháp rèn luyện kĩ năng giải toán phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh khá giỏi lóp 8 đã được đề xuất trong luận văn và áp dụng vào quá trình dạy học, bồi dưỡng cho học sinh khá, giỏi lóp 8 đã mang lại hiệu quả nhất định, nâng cao kết quả học tập của học sinh ở các lớp thực nghiệm và điều này không xảy ra đối với học sinh các lớp đối chứng.

Bên cạnh đó, thông qua việc khảo sát ý kiến của các thầy cô giáo tại 02 trường THCS có thực hiện TNSP là trường Tiểu học và THCS FPT cầu Giấy và trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm thuộc thành phố Hà Nội, kết quả thu được cho f f _ _ _ _ \ _ _ _ _ ■* r

, 1 À 4- Â • r • /\ -4- Á 4 Á r r • A 1 • A If J 4-~ -4- A Á J Â 1 A thây đa sô giáo viên đêu đông ý với các biện pháp mà tác giả đã đê xuât trong luận văn và có thể áp dụng,đem lại hiệu quả khi dạy học và bồi dưỡng học sinh giỏi.

Bên cạnh đó các biện pháp còn góp phần phát triển năng lực tự học, tự tư duy, khả năng tìm tòi và nhận thức của học sinh.

Từ kết quả nghiên cứu lí luận đề tài Rèn luyện kỹ năng giải toán phân tích đa thức thành nhăn tử cho học sinh khá giỏi lóp 8, tác giả đã hoàn thành đuợc các nội dung sau:

- Trình bày được một số vấn đề về lý luận có liên quan tới kỹ nãng giải toán, làm rõ vai trò và ý nghĩa của việc giải bài tập toán, đồng thời luận văn cũng làm rõ cơ sở lý luận của việc dạy học rèn luyện kỹ năng, cơ sở lý luận về phân tích đa thức thành nhân tử trong số học, các yêu cầu và kỹ năng đối với học sinh khi thực hiện giải bài tập toán phân tích đa thức thành nhân tử đối với các đối tượng là học sinh khá, giỏi lớp 8. Đồng thời luận văn cũng đã trình bày kết quả của việc khảo sát thực trạng rèn luyện kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh khá, giỏi lóp 8 một số trường THCS tại thành phố Hà Nội để nắm bắt tình hình thực tế, những khó khăn mà giáo viên và học sinh gặp phải trong quá trình dạy và học rèn luyện kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử.

- Luận văn đã tiến hành đề xuất các biện pháp rèn luyện kỹ nàng giải toán phân tích đa thức thành nhân tủ' cho học sinh khá, giỏi lóp 8, cụ thể các biện pháp như sau: Biện pháp dạy học rèn luyện kỹ năng tách một hạng tủ' thành nhiều hạng tử; Biện pháp rèn luyện kỹ năng nhóm hạng tử; Biện pháp rèn luyện kỳ năng sử dụng hằng đắng thức để phân tích đa thức thành nhân tử ; Biện pháp rèn luyện kỹ năng thêm, bớt cùng một hạng tử; Biện pháp rèn luyện kỳ năng đổi biến số; Biện pháp rèn luyện kỹ năng sử dụng phương pháp hệ số bất định; Biện pháp rèn luyện kỳ năng xét giá trị riêng.

Cùng với các biện pháp, tác giả đã đưa ra trong luận văn các ví dụ phân tích minh họa cho việc thực hiện các giải pháp trên Bên cạnh đó luận văn cũng đã làm

76 rõ một số lưu ý khi xây dựng hệ thống bài tập nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh khá, giỏi lớp 8.

- Đe đánh giá tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp đã đưa ra, tác giả đã tiến hành thực nghiệm các biện pháp với bài giảng, bài kiểm tra đánh giá trước và sau khi tiến hành thực nghiệm Kết quả thực nghiệm cho thấy các biện pháp mà luận văn đề xuất có tính ứng dụng cao, có hiệu quả trong việc rèn luyện kỹ năng giải toán phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh khá, giỏi lớp 8.

- Luận văn có thể làm tài liệu tham khảo cho giáo viên trong quá trình giảng dạy, đặc biệt là quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi.

TÀI LIỆU THAM KHẢO Danh mục tài liệu tiếng Việt