skkn cấp tỉnh rèn luyện và phát triển tư duy cho học sinh lớp 8 trường thcs điền lư qua dạy học nội dung phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng

Như vậy trong quá trình dạy học với lượng kiến thức và thời gian được phân phối cho môn Toán bậc THCS, giáo viên phải xây dựng được các bài tập, bài giảng và phương pháp giảng dạy phù hợ

Năng lực tư duy là điều kiện cần và đủ để khám phá và lĩnh hội tri thức Ngày nay, khi nền kinh tế tri thức tác động mạnh mẽ đối với sự phát triển của lực lượng sản xuất thì việc rèn luyện tư duy của mỗi người lại càng hết sức cần thiết Trong nền kinh tế ấy, tri thức trở thành quyền lực, trở thành chìa khoá mở cửa tương lai Không có những năng lực, phẩm chất của tư duy, con người không có khả năng nắm bắt tri thức, lĩnh hội tri thức và cũng không có khả năng vận dụng tri thức Làm thế nào để phát triển tư duy cho người học một cách hiệu quả? Đó là câu hỏi đặt ra không chỉ cho ngành Giáo dục mà cho toàn xã hội Trong quá trình hình thành và phát triển tư duy của học sinh thì Toán học

có vai trò đặc biệt quan trọng Toán học là cơ sở của nhiều ngành khoa học quan trọng, sự phát triển của Toán học gắn bó chặt chẽ và có tác động qua lại, trực tiếp với sự tiến bộ của các nghành khoa học khác Vì vậy, tư duy Toán học có giá trị lớn trong đời sống, trong nghiên cứu khoa học, trong sản xuất, đặc biệt trong công cuộc công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước

Như vậy trong quá trình dạy học với lượng kiến thức và thời gian được phân phối cho môn Toán bậc THCS, giáo viên phải xây dựng được các bài tập, bài giảng và phương pháp giảng dạy phù hợp để có thể phát triển được tư duy cho

học sinh Trong chương trình Toán bậc THCS thì kiến thức chủ đề “Phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng” là rất quan trọng có ứng dụng ở hầu hết các

dạng toán nhưng những tài liệu có tính hệ thống cho nội dung này còn rất đơn giản, thiếu thách thức để có thể phát triển được tư duy cho học sinh Từ những lí

do trên, đề tài được chọn là: Rèn luyện và phát triển tư duy cho học sinh lớp 8 trường THCS Điền Lư qua dạy học nội dung: Phân tích đa thức thành nhân

tử và ứng dụng.

1.2 Mục đích nghiên cứu

Xây dựng hệ thống bài toán trong chủ đề: “Phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng” có tiềm năng bồi dưỡng và phát triển tư duy cho học

sinh, chỉ ra được một số phương thức khai thác các bài toán nhằm phát triển tư duy cho học sinh

1.3 Đối tượng nghiên cứu

- Để phát triển tư duy cho học sinh, giáo viên cần rèn luyện cho học sinh các thao tác tư duy nào và phẩm chất tư duy nào?

- Xây dựng các bài toán chủ đề “Phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng” lớp 8 THCS như thế nào để phát triển tư duy cho học sinh?

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Trong đề tài này tôi sử dụng các phương pháp nghiên cứu sau:

Phương pháp nghiên cứu dựa trên tài liệu; phương pháp điều tra, quan sát; phương pháp thực nghiệm sư phạm; phương pháp thống kê toán học

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.

Dạy học truyền thống nặng về dạy kiến thức mà xem nhẹ dạy các kĩ năng

tư duy Dạy học hiện đại đã quan tâm đến phát triển tư duy song song với trang

bị kiến thức môn học, đã chú trọng đến dạy cách học trong quá trình dạy các môn khoa học cụ thể

Tại sao chúng ta phải rèn luyện và phát triển tư duy cho học sinh?

Thực tế nếu dạy học chỉ trang bị cho HS một vốn kiến thức thì kết quả họ thu được chỉ là những sản phẩm “tĩnh tại”, khô cứng, không có khả năng tái sinh, không vận dụng linh hoạt vào các tình huống phức tạp trong nhận thức và đời sống Chỉ khi HS thu nhận kiến thức bằng chính hoạt động nhận thức, tìm tòi, gia công trí tuệ …thì kiến thức thu được mới là sở hữu trí tuệ của người học Kiến thức HS thu được bằng quá trình hoạt động đó sẽ vừa là sản phẩm, vừa là

cơ sở của hoạt động tư duy

Trong phạm vi nghiên cứu của đề tài này, tôi chỉ tập trung vào nghiên cứu

cơ sở lí luận, nguyên tắc và biện pháp nhằm phát triển và rèn luyện tư duy cho học sinh gồm hai phương diện:

- Rèn luyện các hoạt động trí tuệ: phân tích - tổng hợp, so sánh - tương tự hóa, khái quát hóa - đặc biệt hóa,

- Phát triển các dạng tư duy: Tư duy thuật toán, tư duy sáng tạo

Tâm lý lĩnh hội kiến thức trong nhà trường chỉ ra rằng tích cực hoá HS trong dạy học không phải chỉ ở lĩnh vực hoàn thiện lĩnh hội kiến thức mà phải đề cập đến việc tích cực hoá hoạt động nhận thức Bởi lẽ tư duy không thể tồn tại nếu thiếu tri thức và ngược lại Sẽ sai lầm nếu coi trọng tri thức hơn phát triển tư duy, điều này sẽ chỉ làm cho người học phải học nhưng luôn luôn thiếu kiến thức Tích luỹ kiến thức

và học các phương pháp để tích luỹ kiến thức cũng như vận dụng chúng là một quá trình hai mặt Bởi vậy đòi hỏi trong dạy học giáo viên phải rèn luyện cho học sinh các thao tác tư duy và phát triển các dạng tư duy

Trong nhà trường phổ thông, điều cốt yếu không phải là cung cấp tri thức

mà là dạy HS phương pháp chiếm lĩnh tri thức, cụ thể trong học tập đó là

phương pháp học, phương pháp nghiên cứu Người GV cần phải ý thức được

điều cốt yếu đó Nên chăng với mỗi thao tác tư duy phải vạch ra được hệ thống các phương pháp, cách thức cụ thể tạo điều kiện phát triển năng lực nhận thức

ở HS Đó cũng là xuất phát điểm cho việc nghiên cứu các biện pháp để phát

triển tư duy cho học sinh thông qua dạy học nội dung “Phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng” lớp 8 THCS.

Trong chương trình toán THCS nội dung “Phân tích đa thức thành nhân

tử và ứng dụng” chiếm vị trí quan trọng Chủ đề này nhằm cung cấp cho các em

học sinh những kiến thức về các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Trong chương trình toán THCS thì: giải phương trình, giải hệ phương trình, giải bất phương trình, bất đẳng thức, cực trị là các dạng toán quan trọng mà các kiến thức

trong chủ đề “Phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng” đều được ứng

dụng để giải các dạng toán này

Các loại bài tập trong chương có những bài có thuật giải, cũng có những bài chưa có thuật giải Ngay cả với những bài toán đã có thuật giải thì cũng không đơn thuần chỉ cần áp dụng các thuật giải cơ bản là có thể giải quyết được

Để giải quyết các bài toán đó đòi hỏi HS phải phân tích đặc điểm của từng bài tổng hợp kiến thức đã có để từ đó định hướng cách giải quyết Nhiều bài tập phải phân chia bài toán thành những trường hợp riêng, chia nhỏ bài toán thành những bài toán cơ bản đã biết cách giải, như vậy HS có nhiều cơ hội để rèn luyện các thao tác tư duy: phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa Bên cạnh

đó từ một số bài toán về đẳng thức thuộc chương này ta có thể khai thác, phát triển thành rất nhiều bài toán về bất đẳng thức có điều kiện hay có mặt trong nhiều cuộc thi học sinh giỏi tỉnh, quốc gia, quốc tế Đó là cơ hội tốt để HS phát triển được tư duy của mình

Những phân tích trên khẳng định ưu thế của nội dung “Phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng” trong việc phát triển tư duy cho HS

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

Trong dạy học môn Toán đối với học sinh khá giỏi ở đa số các trường trung học cơ sở, giáo viên thường chỉ phân dạng bài tập rồi chữa cho học sinh, đưa ra những khuôn mẫu và cách giải chung rồi luyện cho các em theo những dạng đó Chính vì thế các em thường chỉ giải được những bài toán như thầy đã chữa một cách máy móc còn khi thay đổi đề toán một chút là các em lúng túng hoặc không muốn tiếp tục suy nghĩ, tìm tòi lời giải

Khi dạy học tôi nhận thấy một thực tế đối với HS là còn khó khăn khi chuyển hóa từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, không vận dụng

linh hoạt các thao tác tư duy: phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, đặc biệt hóa Suy nghĩ dập khuôn, áp dụng một cách máy móc những kiến thức, kỹ năng đã có vào hoàn cảnh mới, điều kiện mới trong đó có những yếu tố đã thay đổi Ví dụ như HS còn lúng túng khi chuyển từ dạng bài tập này sang dạng bài tập khác cùng một bài toán khi đặt nó trong chùm bài tập cùng dạng thì HS giải được một cách dễ dàng nhưng khi đặt nó trong những bài tập dạng khác thì HS lại gặp khó khăn Hoặc khi GV thay đổi một vài yếu tố của một bài toán đã biết (thậm chí là chỉ thay đổi cách hỏi ) thì HS loay hoay có khi không tìm được giải pháp Chính vì vậy điều quan trọng là hệ thống bài tập cần phải được khai thác

và sử dụng hợp lý nhằm rèn luyện và phát triển tư duy cho học sinh

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm, các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

2.3.1 Rèn luyện các thao tác tư duy: Phân tích- tổng hợp.

Trong cuốn sách “Giải một bài toán như thế nào”, tác giả G.Polya đã chỉ ra: “ Muốn giải một bài toán, phải lần lượt: Hiểu rõ bài toán; xây dựng một chương trình (một dữ kiện); thực hiện chương trình (dự kiến); khảo sát lời giải

đã tìm được.”

Hai bước đầu mà G.Polya đưa ra chính là bước tìm đường lối giải bài toán Trong bước này để rèn cho HS kĩ năng phân tích, tổng hợp, GV tổ chức các hoạt động, hướng dẫn HS thông qua trả lời các câu hỏi:

+ Đề bài cho gì, hỏi gì?

+ Từ những giả thiết đã cho suy được những điều gì?

+ Những kiến thức nào liên quan đến giả thiết? Giả thiết này có thể biến đổi tương đương thành những điều kiện nào?

+ Những kiến thức nào liên quan đến kết luận? Kết luận này có thể biến đổi tương đương thành kết quả nà?

+ Tìm quan hệ giữa cái chưa biết và cái đã biết? Có bài toán nào quen thuộc cũng chứa cái chưa biết hoặc có cùng kết luận tương tự không? Mối liên

hệ của bài toán với những bài toán đã biết cách giải? Có thể xếp bài toán thuộc dạng toán nào đã biết không?…

GV tạo cho HS thói quen nhắc lại các câu hỏi này mỗi khi gặp chướng ngại khiến ta phải dừng lại

Để trả lời được các câu hỏi đó đòi hỏi HS phải phân tích đề bài, tổng hợp các kiến thức liên quan Trả lời các câu hỏi đó giúp HS xác định được dạng bài, định hướng tìm ra đường lối giải bài toán

Để rèn luyện kĩ năng phân tích cho HS,để tạo cơ hội rèn luyện và phát triển tư duy cho học sinh, từ những bài toán có trong sách giáo khoa, sách tham khảo, sách bài tập, giáo viên có thể sửa đề sao cho bài toán có thể phân tích theo nhiều hướng khác nhau, tìm được nhiều đặc điểm định hướng các cách giải khác nhau để kích thích tư duy cho học sinh

Bài toán trong sách tham khảo như sau

Bài toán 2.1 : Phân tích đa thức thành nhân tử: a 3 + b 3 + c 3 - 3abc

Phân tích: Các hạng tử của đa thức đã cho không có chứa thừa số chung,

không có dạng của một hằng đẳng thức đáng nhớ nào, cũng không thể nhóm các

số hạng Do vậy ta phải biến đổi đa thức bằng cách thêm, bớt cùng một số hạng

tử để có thể vận dụng được các phương pháp phân tích đã biết Trong đa thức đã cho có lập phương của a, lập phương của b vậy chúng ta nghĩ đến việc thêm bớt

để làm xuất hiện (a+b)3 như sau:

Bài giải: a3 + b3 + c3 - 3abc

= (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 ) + c3 – ( 3a2b + 3ab2 + 3abc)

= (a + b)3 + c3- 3ab(a + b + c)

= [ (a + b)3 + c3] - 3ab( a + b + c)

= ( a + b + c) [(a + b)2- c(a + b) + c2] – 3ab(a + b + c)

= ( a + b + c)(a2 + 2ab + b2 - ac - bc + c2 - 3ab)

= ( a + b + c) (a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca)

Để phát triển tư duy cho học sinh ta có thể thay đổi bài toán như sau :

Bài toán 2.2: Chứng minh đẳng thức

a 3 + b 3 + c 3 – 3abc = (a + b + c) (a 2 +b 2 +c 2 – ab – bc – ca)

Ngoài cách giải như bài 2.1 ta còn có cách làm nào nữa không?

Để chứng minh đẳng thức ta sử dụng phương pháp nào? Từ đó học sinh tìm

ra cách giải khác là biến đổi vế phải bằng về trái

Bài giải

Ta có P = ( a + b + c ) ( a2 +b2+c2 - ab – bc – ca)

Khi khai triển gồm 18 hạng tử gồm các dạng:

a3 + b3 + c3 + a2b + a2c +b2c + b2a + c2a +c2b +

+ ( - a2b - a2c - b2c - b2a - c2a - c2b) – abc – abc – abc

=> P = a3 + b3 + c3 – 3abc (đpcm)

Bài toán 2.3: Cho a + b + c=0 Chứng minh rằng a 3 + b 3 + c 3 = 3abc.

Phân tích: Đây có phải là một bài toán có liên quan mà các em đã giải rồi không? Có thể sử dụng nó không? Có thể sử dụng kết quả của nó không?

Bài giải: Áp dụng bài toán 2.2 ta có :

a3 + b3 + c3 - 3abc=( a + b + c) (a2 + b2 + c2- ab - bc - ca)

Mà a + b + c = 0  a3 + b3 + c3 - 3abc = 0 hay a3 + b3 + c3 = 3abc

? Bài toán 2 còn cách giải nào nữa không?

Phân tích: Từ a + b + c = 0 nên a + b = -c ta suy ra điều gì ?

Ta có a + b + c = 0 nên a + b = - c Do đó a3 + b3 + c3 = a3 + b3 - (a + b)3

= a3 + b3- a3 - b3 -3ab(a + b) = 3abc

Theo bài toán đã chỉnh sửa học sinh có những phán đoán, phát hiện và từ

đó khám phá ra những kết quả mới Quá trình tìm lời giải bài toán 2.3 sẽ dựa vào bài toán ban đầu 2.1 hoặc 2.2

Bài toán 2.4

Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (x - y) 3 + (y - z) 3 +(z - x) 3

Phân tích: Bài toán này có liên quan gì đến bài toán 2.3 không? Làm thế nào để có thể áp dụng được bài toán 2.3?

Đặt x - y = a, y - z = b, z - x = c thì a + b + c=? Từ đó tìm ra cách giải?

Bài giải: Đặt x – y = a, y – z = b, z – x = c thì a + b + c = 0

Mà ta có: a3 + b3 + c3 - 3abc = ( a + b + c)(a2 + 2ab + b2 - ac - bc - ca)

Nên a3 + b3 + c3 - 3abc=0  a3 + b3 + c3 = 3abc

 (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 = 3(x - y)(y - z)(z - x)

Quá trình phân tích và tổng hợp là hai quá trình gắn bó mật thiết với nhau Phân tích để tổng hợp có cơ sở và tổng hợp để phân tích có chiều sâu Việc phân tích để tìm ra đường lối giải bài toán là khâu có tính chất quyết định trong toàn bộ công việc giải toán Vì nếu chưa có phương hướng hoặc chưa

có phương hướng tốt thì không thể có lời giải tốt, đồng thời việc định hướng tìm

ra phương hướng giải là công việc mang nhiều tính sáng tạo hơn khâu thực hiện các thao tác giải khi đã có phương hướng Rèn luyện kĩ năng phân tích bài toán, tìm ra đường lối giải bài toán chính là cơ sở quan trọng cho việc rèn luyện khả năng làm việc độc lập, sáng tạo, rèn luyện các kĩ năng tư duy bậc cao

Để trở thành kĩ năng, HS cần thường xuyên có cơ hội được thực hành tư duy phân tích, tổng hợp Trong thiết kế bài giảng, GV phải chú ý đến chọn lựa bài tập đặc trưng với nội dung kiến thức, có nhiều hướng phân tích, khai thác Các phương pháp sử dụng giảng dạy cho từng bài giảng cũng cần được vận dụng, kết hợp linh hoạt nhiều hình thức Với bài toán cơ bản, GV nên sử dụng

mô hình dạy học tích cực (thầy gợi ý các bước, HS tự hoạt động, trao đổi xây dựng bài giảng) Tuỳ vào nội dung kiến thức và trình độ HS, GV có thể tổ chức triển khai bài giảng ở mức độ thấp hoặc cao Ở mức độ thấp: sau khi hướng dẫn

HS phân tích một bài toán cụ thể, tổng hợp đưa ra lời giải, phương pháp chung,

GV cho bài toán tương tự yêu cầu HS thực hành phân tích, tổng hợp theo các bước tương tự bài toán trước Ở mức độ cao hơn, GV đưa ra bài toán thuộc dạng toán mới, yêu cầu HS thực hành phân tích, tổng hợp Các phương pháp gợi mở vấn đáp, giải quyết vấn đề, hướng dẫn làm việc theo nhóm, hướng dẫn HS tự học, tự nghiên cứu cũng cần sử dụng phối hợp

2.3.2 Rèn luyện các thao tác tư duy: So sánh - Tương tự hóa

Sau khi tìm được lời giải bài toán, GV cần tạo cho HS cơ hội, ý thức nhìn lại cách giải tìm ra Yêu cầu HS phân tích kết quả và con đường họ đã đi Hình thành cho HS thói quen trả lời các câu hỏi:

+ Để giải bài này cần thực hiện những bước nào?

+ Các bước biến đổi đó dựa trên cơ sở nào?

+ Đâu là điểm mấu chốt của lời giải?

+ Cơ sở, dấu hiệu để thực hiện cách giải đó là gì?

Qua phân tích lời giải để HS so sánh tìm ra những dấu hiệu giống nhau cũng như khác nhau giữa các bài tập đã giải Từ đó có thể đưa ra định hướng mở rộng cách giải cho những bài tập có những đặc trưng tương tự

Bài 2.5: a, b, c  R, chứng minh rằng:

(a + b) ( b +c) (c + a) + abc = (a +b + c) (ab + bc + ca)

? Bài toán này giống bài toán nào mà các em đã làm? Để giải bài này cần thực hiện những bước nào? Các bước biến đổi đó dựa trên cơ sở nào? Đâu là điểm mấu chốt của lời giải? Cơ sở, dấu hiệu để thực hiện cách giải đó là gì? Dưới sự hướng dẫn của GV học sinh phát hiện ra bài 2.5 giống bài 2.2.Để giải bài này cần biến đổi một vế của đẳng thức bằng vế còn lại hoặc biến đổi đồng thời hai vế của đẳng thức Điểm mấu chốt là học sinh phải thành thạo nhân

đa thức, mà đặc biệt ở hai bài toán này là thuật toán nhân hai đa thức đối xứng

Bài giải

Ta có (a + b) ( b + c) (c + a) khi khai triển có 2 x 2 x 2 = 8 hạng tử gốm các dạng:

a2 b + a2 c + b2c + b2a + c2a + c2b và abc + abc (1)

Ta có (a + b + c) (ab + bc + ca) khi triển gồm 3 x 3 = 9 hạng tử

a2 b + a2 c + b2c + b2a + c2a + c2b và abc + abc + abc (2)

Từ (1) (2) ta suy ra điều phải chứng minh

Như vậy đứng trước nhiều bài toán, dạng toán khác nhau nhưng có một số điểm chung ở phần giả thiết, các yêu cầu của kết luận, học sinh phải biết liên hệ lôgic với nhau qua phép so sánh và tương tự Từ đó tăng khả năng phân biệt, nhận biết các dạng toán và nhận biết nhanh đường lối giải các dạng bài toán đó

2.3.3 Phát triển: Tư duy thuật toán

Thuật toán được hiểu như một quy trình mô tả những chỉ dẫn rõ ràng và chính xác để người (hay máy) thực hiện một loạt thao tác nhằm đạt được mục đích đặt ra hay giải một lớp bài toán nhất định

Ta có thể phát triển tư duy thuật toán cho học sinh thông qua dạy các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Chẳng hạn khi dạy Phân tích tam

thức bậc hai ax 2 + bx + c thành nhân tử ta tách hạng tử bx thành b 1 x + b 2 x sao cho b 1 b 2 = ac Trong thực hành ta làm như sau:

Bước 1: Tìm tích ac.

Bước 2: Phân tích ac thành tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách

Bước 3: Chọn hai thừa số mà tổng bằng b.

Bài toán 2.6: Phân tích đa thức 3x 2 + 8x + 4 thành nhân tử

Ta có: a = 3 ; b = 8 ; c = 4

Bước 1: ac = 3.4 = 12

Bước 2: ac = (–6).(–2) = (–4).(–3) =(–12).(–1) = 6.2 = 4.3 = 12.1

Bước 3: b = 8 = 2+6

Khi đó ta có lời giải: 3x2 + 8x + 4 = 3x2 + 6x + 2x + 4 = 3x(x + 2) + 2(x + 2)

= (x + 2)(3x + 2)

Ta còn có thuật giải khác để phân tích đa thức trên thành nhân tử như sau:

3x2 + 8x + 4 =

Nhờ thuật giải này chúng ta có thể dạy cho học sinh lớp 8 phương pháp tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức :

3x2 + 8x +4 =   2  )2 

3

2 ( ) 3

4 (

3

2 ( 3 ) 3

4 (

3

2 ( 3

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x  34

2.3.4 Phát triển: Tư duy sáng tạo

Rèn luyện tính độc lập sáng tạo là yêu cầu rất quan trọng trong quá trình dạy học bộ môn Toán Vì thế luôn cần tạo cho học sinh những tình huống, những đề toán có thể đánh thức năng lực sáng tạo của học sinh

Từ bài toán 2.2: Chứng minh đẳng thức

 Ta sẽ có một cách chứng minh hay cho bất đẳng thức dạng trung bình:

, , 0

3

a b c

abc

 

 như sau:

2

(Vì a b c   0)  a3 b3 c3  3abc

Đặt a3 A, b3 B, c3 C, ta thu được 3

3

A B C

ABC

 

 với A B C , , 0

Sử dụng đẳng thức trong bài toán 1 chúng ta chứng minh được một bài toán khá hay sau:

Bài 2.7: Cho 

z y

x, , , chứng minh rằng

     (Rumani, 2007).

Bài giải

Đặt p (x y y z z x )(  )(  ) , ta có

2 x y  y z  z x 

2 3

3

2 p

Vì x y  x y; y z  y z; z x  z x

3

Ta có:

Bài 2.8 Với x,y,zR thoả mãn 3 3 3

x y z  xyz Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P x  y z (United Kingdom 2008)

Bài giải

Áp dụng đẳng thức: a3 b3 c3  3abc (a b c a  )( 2 b2 c2  ab bc ac  ), ta suy ra:

(x y z x  )( y z  xy yz zx  ) 1  Đặt A x 2  y2 z2 ; B x y z  

2

2

Và thu được:

2

2

2

3

1 2

A B

1

A

  (Đẳng thức xảy ra khi ( , , ) (1,0,0)x y z  )

*Ta thấy với a+b+c=0 thì     

abc

c b a abc

3 3

ab

c ac

b bc



 Ta có bài toán sau :

Bài toán 2.9: Cho a, b, c là ba số khác 0 thoả mãn a+b+c = 0.

Tính giá trị của biểu thức:

`

ab

c ac

b bc

a P

2 2 2





Bài giải :

Vì a+b+c = 0 Ta có : a3 + b3 + c3 = 3abc

ab

c ac

b

bc

a

P

2 2

2





abc

a3

+

abc

b3

+

abc

c3

=

abc

c b

a3 3 3





=

abc

abc

3

=3