Năng lực tư duy là điều kiện cần và đủ để khám phá và lĩnh hội tri thức.Ngày nay, khi nền kinh tế tri thức tác động mạnh mẽ đối với sự phát triển củalực lượng sản xuất thì việc rèn luyện tư duy của mỗi người lại càng hết sức cầnthiết Trong nền kinh tế ấy, tri thức trở thành quyền lực, trở thành chìa khoá mởcửa tương lai Không có những năng lực, phẩm chất của tư duy, con ngườikhông có khả năng nắm bắt tri thức, lĩnh hội tri thức và cũng không có khả năngvận dụng tri thức Làm thế nào để phát triển tư duy cho người học một cách hiệuquả? Đó là câu hỏi đặt ra không chỉ cho ngành Giáo dục mà cho toàn xã hội Trong quá trình hình thành và phát triển tư duy của học sinh thì Toán họccó vai trò đặc biệt quan trọng Toán học là cơ sở của nhiều ngành khoa học quantrọng, sự phát triển của Toán học gắn bó chặt chẽ và có tác động qua lại, trựctiếp với sự tiến bộ của các nghành khoa học khác Vì vậy, tư duy Toán học cógiá trị lớn trong đời sống, trong nghiên cứu khoa học, trong sản xuất, đặc biệttrong công cuộc công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước.
Như vậy trong quá trình dạy học với lượng kiến thức và thời gian đượcphân phối cho môn Toán bậc THCS, giáo viên phải xây dựng được các bài tập,bài giảng và phương pháp giảng dạy phù hợp để có thể phát triển được tư duy cho
học sinh Trong chương trình Toán bậc THCS thì kiến thức chủ đề “Phân tích đathức thành nhân tử và ứng dụng” là rất quan trọng có ứng dụng ở hầu hết các
dạng toán nhưng những tài liệu có tính hệ thống cho nội dung này còn rất đơngiản, thiếu thách thức để có thể phát triển được tư duy cho học sinh Từ những lí
do trên, đề tài được chọn là: Rèn luyện và phát triển tư duy cho học sinh lớp 8trường THCS Điền Lư qua dạy học nội dung: Phân tích đa thức thành nhântử và ứng dụng.
1.3 Đối tượng nghiên cứu
- Để phát triển tư duy cho học sinh, giáo viên cần rèn luyện cho học sinhcác thao tác tư duy nào và phẩm chất tư duy nào?
- Xây dựng các bài toán chủ đề “Phân tích đa thức thành nhân tử vàứng dụng” lớp 8 THCS như thế nào để phát triển tư duy cho học sinh?
Trang 21.4 Phương pháp nghiên cứu
Trong đề tài này tôi sử dụng các phương pháp nghiên cứu sau:
Phương pháp nghiên cứu dựa trên tài liệu; phương pháp điều tra, quan sát;phương pháp thực nghiệm sư phạm; phương pháp thống kê toán học.
2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Dạy học truyền thống nặng về dạy kiến thức mà xem nhẹ dạy các kĩ năngtư duy Dạy học hiện đại đã quan tâm đến phát triển tư duy song song với trangbị kiến thức môn học, đã chú trọng đến dạy cách học trong quá trình dạy cácmôn khoa học cụ thể
Tại sao chúng ta phải rèn luyện và phát triển tư duy cho học sinh?
Thực tế nếu dạy học chỉ trang bị cho HS một vốn kiến thức thì kết quả họthu được chỉ là những sản phẩm “tĩnh tại”, khô cứng, không có khả năng táisinh, không vận dụng linh hoạt vào các tình huống phức tạp trong nhận thức vàđời sống Chỉ khi HS thu nhận kiến thức bằng chính hoạt động nhận thức, tìmtòi, gia công trí tuệ …thì kiến thức thu được mới là sở hữu trí tuệ của người học.Kiến thức HS thu được bằng quá trình hoạt động đó sẽ vừa là sản phẩm, vừa làcơ sở của hoạt động tư duy.
Trong phạm vi nghiên cứu của đề tài này, tôi chỉ tập trung vào nghiên cứucơ sở lí luận, nguyên tắc và biện pháp nhằm phát triển và rèn luyện tư duy chohọc sinh gồm hai phương diện:
- Rèn luyện các hoạt động trí tuệ: phân tích - tổng hợp, so sánh - tương tựhóa, khái quát hóa - đặc biệt hóa,
- Phát triển các dạng tư duy: Tư duy thuật toán, tư duy sáng tạo
Tâm lý lĩnh hội kiến thức trong nhà trường chỉ ra rằng tích cực hoá HS trongdạy học không phải chỉ ở lĩnh vực hoàn thiện lĩnh hội kiến thức mà phải đề cập đếnviệc tích cực hoá hoạt động nhận thức Bởi lẽ tư duy không thể tồn tại nếu thiếu trithức và ngược lại Sẽ sai lầm nếu coi trọng tri thức hơn phát triển tư duy, điều này sẽchỉ làm cho người học phải học nhưng luôn luôn thiếu kiến thức Tích luỹ kiến thứcvà học các phương pháp để tích luỹ kiến thức cũng như vận dụng chúng là một quátrình hai mặt Bởi vậy đòi hỏi trong dạy học giáo viên phải rèn luyện cho học sinhcác thao tác tư duy và phát triển các dạng tư duy.
Trong nhà trường phổ thông, điều cốt yếu không phải là cung cấp tri thứcmà là dạy HS phương pháp chiếm lĩnh tri thức, cụ thể trong học tập đó là
Trang 3phương pháp học, phương pháp nghiên cứu Người GV cần phải ý thức được
điều cốt yếu đó Nên chăng với mỗi thao tác tư duy phải vạch ra được hệ thốngcác phương pháp, cách thức cụ thể tạo điều kiện phát triển năng lực nhận thứcở HS Đó cũng là xuất phát điểm cho việc nghiên cứu các biện pháp để phát
triển tư duy cho học sinh thông qua dạy học nội dung “Phân tích đa thức thànhnhân tử và ứng dụng” lớp 8 THCS.
Trong chương trình toán THCS nội dung “Phân tích đa thức thành nhântử và ứng dụng” chiếm vị trí quan trọng Chủ đề này nhằm cung cấp cho các em
học sinh những kiến thức về các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.Trong chương trình toán THCS thì: giải phương trình, giải hệ phương trình, giải bấtphương trình, bất đẳng thức, cực trị là các dạng toán quan trọng mà các kiến thức
trong chủ đề “Phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng” đều được ứng
dụng để giải các dạng toán này
Các loại bài tập trong chương có những bài có thuật giải, cũng có nhữngbài chưa có thuật giải Ngay cả với những bài toán đã có thuật giải thì cũngkhông đơn thuần chỉ cần áp dụng các thuật giải cơ bản là có thể giải quyết được.Để giải quyết các bài toán đó đòi hỏi HS phải phân tích đặc điểm của từng bàitổng hợp kiến thức đã có để từ đó định hướng cách giải quyết Nhiều bài tậpphải phân chia bài toán thành những trường hợp riêng, chia nhỏ bài toán thànhnhững bài toán cơ bản đã biết cách giải, như vậy HS có nhiều cơ hội để rènluyện các thao tác tư duy: phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa Bên cạnhđó từ một số bài toán về đẳng thức thuộc chương này ta có thể khai thác, pháttriển thành rất nhiều bài toán về bất đẳng thức có điều kiện hay có mặt trongnhiều cuộc thi học sinh giỏi tỉnh, quốc gia, quốc tế Đó là cơ hội tốt để HS pháttriển được tư duy của mình.
Những phân tích trên khẳng định ưu thế của nội dung “Phân tích đa thứcthành nhân tử và ứng dụng” trong việc phát triển tư duy cho HS
2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Trong dạy học môn Toán đối với học sinh khá giỏi ở đa số các trườngtrung học cơ sở, giáo viên thường chỉ phân dạng bài tập rồi chữa cho học sinh,đưa ra những khuôn mẫu và cách giải chung rồi luyện cho các em theo nhữngdạng đó Chính vì thế các em thường chỉ giải được những bài toán như thầy đãchữa một cách máy móc còn khi thay đổi đề toán một chút là các em lúng túnghoặc không muốn tiếp tục suy nghĩ, tìm tòi lời giải
Khi dạy học tôi nhận thấy một thực tế đối với HS là còn khó khăn khichuyển hóa từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, không vận dụng
Trang 4linh hoạt các thao tác tư duy: phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, đặcbiệt hóa Suy nghĩ dập khuôn, áp dụng một cách máy móc những kiến thức, kỹnăng đã có vào hoàn cảnh mới, điều kiện mới trong đó có những yếu tố đã thayđổi Ví dụ như HS còn lúng túng khi chuyển từ dạng bài tập này sang dạng bàitập khác cùng một bài toán khi đặt nó trong chùm bài tập cùng dạng thì HS giảiđược một cách dễ dàng nhưng khi đặt nó trong những bài tập dạng khác thì HSlại gặp khó khăn Hoặc khi GV thay đổi một vài yếu tố của một bài toán đã biết(thậm chí là chỉ thay đổi cách hỏi ) thì HS loay hoay có khi không tìm được giảipháp Chính vì vậy điều quan trọng là hệ thống bài tập cần phải được khai thácvà sử dụng hợp lý nhằm rèn luyện và phát triển tư duy cho học sinh.
2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm, các giải pháp đã sử dụng để giảiquyết vấn đề.
2.3.1 Rèn luyện các thao tác tư duy: Phân tích- tổng hợp.
Trong cuốn sách “Giải một bài toán như thế nào”, tác giả G.Polya đã chỉra: “ Muốn giải một bài toán, phải lần lượt: Hiểu rõ bài toán; xây dựng mộtchương trình (một dữ kiện); thực hiện chương trình (dự kiến); khảo sát lời giảiđã tìm được.”
Hai bước đầu mà G.Polya đưa ra chính là bước tìm đường lối giải bàitoán Trong bước này để rèn cho HS kĩ năng phân tích, tổng hợp, GV tổ chứccác hoạt động, hướng dẫn HS thông qua trả lời các câu hỏi:
+ Đề bài cho gì, hỏi gì?
+ Từ những giả thiết đã cho suy được những điều gì?
+ Những kiến thức nào liên quan đến giả thiết? Giả thiết này có thể biếnđổi tương đương thành những điều kiện nào?
+ Những kiến thức nào liên quan đến kết luận? Kết luận này có thể biếnđổi tương đương thành kết quả nà?
+ Tìm quan hệ giữa cái chưa biết và cái đã biết? Có bài toán nào quenthuộc cũng chứa cái chưa biết hoặc có cùng kết luận tương tự không? Mối liênhệ của bài toán với những bài toán đã biết cách giải? Có thể xếp bài toán thuộcdạng toán nào đã biết không?…
GV tạo cho HS thói quen nhắc lại các câu hỏi này mỗi khi gặp chướngngại khiến ta phải dừng lại.
Để trả lời được các câu hỏi đó đòi hỏi HS phải phân tích đề bài, tổng hợpcác kiến thức liên quan Trả lời các câu hỏi đó giúp HS xác định được dạng bài,định hướng tìm ra đường lối giải bài toán
Trang 5Để rèn luyện kĩ năng phân tích cho HS,để tạo cơ hội rèn luyện và pháttriển tư duy cho học sinh, từ những bài toán có trong sách giáo khoa, sách thamkhảo, sách bài tập, giáo viên có thể sửa đề sao cho bài toán có thể phân tích theonhiều hướng khác nhau, tìm được nhiều đặc điểm định hướng các cách giải khácnhau để kích thích tư duy cho học sinh.
Bài toán trong sách tham khảo như sau
Bài toán 2.1 : Phân tích đa thức thành nhân tử: a3 + b3 + c3 - 3abc
Phân tích: Các hạng tử của đa thức đã cho không có chứa thừa số chung,
không có dạng của một hằng đẳng thức đáng nhớ nào, cũng không thể nhóm cácsố hạng Do vậy ta phải biến đổi đa thức bằng cách thêm, bớt cùng một số hạngtử để có thể vận dụng được các phương pháp phân tích đã biết Trong đa thức đãcho có lập phương của a, lập phương của b vậy chúng ta nghĩ đến việc thêm bớtđể làm xuất hiện (a+b)3 như sau:
Bài giải: a3 + b3 + c3 - 3abc
= (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 ) + c3 – ( 3a2b + 3ab2 + 3abc) = (a + b)3 + c3- 3ab(a + b + c)
= [ (a + b)3 + c3] - 3ab( a + b + c)
= ( a + b + c) [(a + b)2- c(a + b) + c2] – 3ab(a + b + c)= ( a + b + c)(a2 + 2ab + b2 - ac - bc + c2 - 3ab)
= ( a + b + c) (a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca)
Để phát triển tư duy cho học sinh ta có thể thay đổi bài toán như sau :
Bài toán 2.2: Chứng minh đẳng thức
a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c) (a2 +b2+c2 – ab – bc – ca)
Ngoài cách giải như bài 2.1 ta còn có cách làm nào nữa không?
Để chứng minh đẳng thức ta sử dụng phương pháp nào? Từ đó học sinh tìmra cách giải khác là biến đổi vế phải bằng về trái.
Bài giải
Ta có P = ( a + b + c ) ( a2 +b2+c2 - ab – bc – ca) Khi khai triển gồm 18 hạng tử gồm các dạng: a3 + b3 + c3 + a2b + a2c +b2c + b2a + c2a +c2b +
+ ( - a2b - a2c - b2c - b2a - c2a - c2b) – abc – abc – abc => P = a3 + b3 + c3 – 3abc (đpcm)
Trang 6Bài toán 2.3: Cho a + b + c=0 Chứng minh rằng a3 + b3 + c3 = 3abc.
Phân tích: Đây có phải là một bài toán có liên quan mà các em đã giải rồikhông? Có thể sử dụng nó không? Có thể sử dụng kết quả của nó không?
Bài giải: Áp dụng bài toán 2.2 ta có :
Theo bài toán đã chỉnh sửa học sinh có những phán đoán, phát hiện và từđó khám phá ra những kết quả mới Quá trình tìm lời giải bài toán 2.3 sẽ dựavào bài toán ban đầu 2.1 hoặc 2.2.
Bài toán 2.4
Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (x - y)3 + (y - z)3+(z - x)3
Phân tích: Bài toán này có liên quan gì đến bài toán 2.3 không? Làm thếnào để có thể áp dụng được bài toán 2.3?
Trang 7Để trở thành kĩ năng, HS cần thường xuyên có cơ hội được thực hành tưduy phân tích, tổng hợp Trong thiết kế bài giảng, GV phải chú ý đến chọn lựabài tập đặc trưng với nội dung kiến thức, có nhiều hướng phân tích, khai thác.Các phương pháp sử dụng giảng dạy cho từng bài giảng cũng cần được vậndụng, kết hợp linh hoạt nhiều hình thức Với bài toán cơ bản, GV nên sử dụngmô hình dạy học tích cực (thầy gợi ý các bước, HS tự hoạt động, trao đổi xâydựng bài giảng) Tuỳ vào nội dung kiến thức và trình độ HS, GV có thể tổ chứctriển khai bài giảng ở mức độ thấp hoặc cao Ở mức độ thấp: sau khi hướng dẫnHS phân tích một bài toán cụ thể, tổng hợp đưa ra lời giải, phương pháp chung,GV cho bài toán tương tự yêu cầu HS thực hành phân tích, tổng hợp theo cácbước tương tự bài toán trước Ở mức độ cao hơn, GV đưa ra bài toán thuộc dạngtoán mới, yêu cầu HS thực hành phân tích, tổng hợp Các phương pháp gợi mởvấn đáp, giải quyết vấn đề, hướng dẫn làm việc theo nhóm, hướng dẫn HS tựhọc, tự nghiên cứu cũng cần sử dụng phối hợp.
2.3.2 Rèn luyện các thao tác tư duy: So sánh - Tương tự hóa
Sau khi tìm được lời giải bài toán, GV cần tạo cho HS cơ hội, ý thức nhìnlại cách giải tìm ra Yêu cầu HS phân tích kết quả và con đường họ đã đi Hìnhthành cho HS thói quen trả lời các câu hỏi:
+ Để giải bài này cần thực hiện những bước nào?+ Các bước biến đổi đó dựa trên cơ sở nào?+ Đâu là điểm mấu chốt của lời giải?
+ Cơ sở, dấu hiệu để thực hiện cách giải đó là gì?
Qua phân tích lời giải để HS so sánh tìm ra những dấu hiệu giống nhaucũng như khác nhau giữa các bài tập đã giải Từ đó có thể đưa ra định hướng mởrộng cách giải cho những bài tập có những đặc trưng tương tự.
Bài 2.5: a, b, c R, chứng minh rằng:
(a + b) ( b +c) (c + a) + abc = (a +b + c) (ab + bc + ca)
? Bài toán này giống bài toán nào mà các em đã làm? Để giải bài này cầnthực hiện những bước nào? Các bước biến đổi đó dựa trên cơ sở nào? Đâu làđiểm mấu chốt của lời giải? Cơ sở, dấu hiệu để thực hiện cách giải đó là gì? Dưới sự hướng dẫn của GV học sinh phát hiện ra bài 2.5 giống bài 2.2.Đểgiải bài này cần biến đổi một vế của đẳng thức bằng vế còn lại hoặc biến đổiđồng thời hai vế của đẳng thức Điểm mấu chốt là học sinh phải thành thạo nhânđa thức, mà đặc biệt ở hai bài toán này là thuật toán nhân hai đa thức đối xứng
Trang 8Như vậy đứng trước nhiều bài toán, dạng toán khác nhau nhưng có một sốđiểm chung ở phần giả thiết, các yêu cầu của kết luận, học sinh phải biết liên hệlôgic với nhau qua phép so sánh và tương tự Từ đó tăng khả năng phân biệt,nhận biết các dạng toán và nhận biết nhanh đường lối giải các dạng bài toán đó.
2.3.3 Phát triển: Tư duy thuật toán
Thuật toán được hiểu như một quy trình mô tả những chỉ dẫn rõ ràng vàchính xác để người (hay máy) thực hiện một loạt thao tác nhằm đạt được mụcđích đặt ra hay giải một lớp bài toán nhất định.
Ta có thể phát triển tư duy thuật toán cho học sinh thông qua dạy cácphương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Chẳng hạn khi dạy Phân tích tam
thức bậc hai ax2 + bx + c thành nhân tử ta tách hạng tử bx thành b1x + b2x saocho b1b2 = ac Trong thực hành ta làm như sau:
Khi đó ta có lời giải: 3x2 + 8x + 4 = 3x2 + 6x + 2x + 4 = 3x(x + 2) + 2(x + 2)= (x + 2)(3x + 2)
Ta còn có thuật giải khác để phân tích đa thức trên thành nhân tử như sau:3x2 + 8x + 4 =
Trang 9Nhờ thuật giải này chúng ta có thể dạy cho học sinh lớp 8 phương pháp tìm giátrị nhỏ nhất của một biểu thức :
3x2 + 8x +4 = 2 )2 32()34(
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x 34
2.3.4 Phát triển: Tư duy sáng tạo
Rèn luyện tính độc lập sáng tạo là yêu cầu rất quan trọng trong quá trìnhdạy học bộ môn Toán Vì thế luôn cần tạo cho học sinh những tình huống,những đề toán có thể đánh thức năng lực sáng tạo của học sinh
Từ bài toán 2.2: Chứng minh đẳng thức
32 p
Trang 10Áp dụng đẳng thức: a3b3c33abc(a b c a )(2b2c2 ab bc ac), ta suy ra:
(x y z x)(y z xy yz zx) 1 Đặt A x2 y2z2; B x y z
Ta có bài toánsau :
Bài toán 2.9: Cho a, b, c là ba số khác 0 thoả mãn a+b+c = 0.Tính giá trị của biểu thức:
`
Bài giải :
Vì a+b+c = 0 Ta có : a3 + b3 + c3 = 3abc.
=3