skkn cấp tỉnh rèn luyện năng lực mô hình hóa cho học sinh khi dạy học các bài toán thực tế ở lớp 10 chương trình giáo dục phổ thông mới

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT SẦM SƠN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA CHO HỌCSINH KHI DẠY HỌC CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ Ở LỚP 10

CHƯƠNG TRÌNH GIÁO DỤC PHỔ THÔNG MỚI

Người thực hiện : Lê Thị Tuyết Nhung Chức vụ : Tổ trưởng chuyên môn SKKN thuộc môn : Toán

THANH HÓA NĂM 2024

1 Mở đầu 1

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 3

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 42.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 52.3.1 Rèn luyện kỹ năng chuyển đổi các vấn đề trong tình huống thực

tiễn dưới dạng ngôn ngữ toán học

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.

môn học nhằm thực hiện giáo dục STEM, gắn với xu hướng phát triển hiện đại củakinh tế, khoa học, đời sống xã hội và những vấn đề cấp thiết có tính toàn cầu (nhưbiến đổi khí hậu, phát triển bền vững, giáo dục tài chính, ) Theo mục tiêu củaChương trình giáo dục phổ thông, môn Toán cấp THPT góp phần hình thành vàphát triển năng lực toán học với yêu cầu cần đạt: nêu và trả lời được câu hỏi khi lậpluận, giải quyết vấn đề; sử dụng được các phương pháp lập luận, quy nạp và suydiễn để hiểu được những cách thức khác nhau trong việc giải quyết vấn đề; thiếtlập được mô hình toán học để mô tả tình huống, từ đó đưa ra cách giải quyết vấnđề toán học đặt ra trong mô hình được thiết lập; thực hiện và trình bày được giảipháp giải quyết vấn đề và đánh giá được giải pháp đã thực hiện, phản ánh được giátrị của giải pháp, khái quát hoá được cho vấn đề tương tự; sử dụng được công cụ,phương tiện học toán trong học tập, khám phá và giải quyết vấn đề toán học [1].

Môn Toán góp phần hình thành và phát triển cho HS năng lực toán học, baogồm các thành phần cốt lõi như năng lực tư duy và lập luận toán học; năng lực môhình hóa toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán

học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán [1] Qua đó, năng lực mô

hình hóa toán học trở thành một trong năm thành phần năng lực cốt lõi mà học sinhphải đạt được thông qua việc học môn Toán Do vậy, năng lực mô hình hóa toánhọc là một năng lực cơ bản, cần hình thành và phát triển cho HS phổ thông Nănglực mô hình hóa toán học cho phép người học vận dụng các kiến thức toán học đãlĩnh hội vào giải quyết các vấn đề của thực tiễn, bằng cách chuyển đổi bài toánthực tiễn thành bài toán toán học thông qua mô hình toán học, sau khi giải được bàitoán toán học sẽ trả lời cho bài toán thực tiễn ban đầu

Các biểu hiện cụ thể của năng lực mô hình hóa toán học được hình thành vàrèn luyện xuyên suốt, liền mạch ở cả ba cấp học từ cấp tiểu học đến cấp trung họcphổ thông, từ mức độ đơn giản (biết quan sát, tìm kiếm sự tương đồng, khác biệttrong những tình huống quen thuộc) đến mức độ phức tạp (thành thạo các thao táctư duy, lập luận để lý giải cho các tình huống phức tạp).

Tuy nhiên, trong giai đoạn đổi mới, một lớp thế hệ học sinh (học sinh lớp 10các năm học 2022-2023, 2023-2024, 2024-2025) bị chuyển đổi giữa chừng từchương trình giáo dục phổ thông 2006 sang chương trình giáo dục phổ thông 2018,

các em không tránh khỏi sự bỡ ngỡ, khó khăn khi tiếp cận nội dung học mới,phương pháp học mới Trong đó, việc chưa thành thạo các năng lực đặc thù ở cáccấp học dưới (theo chương trình giáo dục phổ thông 2018) ảnh hưởng nhiều đếnchất lượng học tập ở năm học lớp 10, kể cả năng lực mô hình hóa toán học.

Nhằm giúp học sinh lớp 10 nâng cao năng lực học tập nói chung và năng lực

mô hình hóa nói riêng, tôi chọn đề tài: “Rèn luyện năng lực mô hình hóa chohọc sinh khi dạy học các bài toán thực tế ở lớp 10 chương trình giáo dục phổthông mới”

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Nghiên cứu lý luận về các nội dung trong chương trình tổng thể môn Toán2018 Nghiên cứu quan điểm về mô hình hóa toán học; năng lực mô hình hóa toánhọc của học sinh THPT từ đó đưa ra định hướng trong quá trình dạy học Nghiêncứu thực tiễn về thực trạng năng lực mô hình hóa toán học của học sinh lớp 10.

Nghiên cứu những biện pháp sư phạm hướng đến nâng cao năng lực môhình hóa toán học cho học sinh lớp 10

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu các tài liệu về các nội dung liênquan đến năng lực mô hình hóa toán học theo chương trình giáo dục phổ thông2018.

Điều tra quan sát thực tiễn: Thực trạng về khả năng mô hình hóa toán họccủa học sinh lớp 10, Trường trung học phổ thông Sầm Sơn.

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm.

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm

Có thể hiểu, mô hình hóa toán học là sự chuyển đổi từ vấn đề thực tiễn sangvấn đề toán học thông qua ngôn ngữ toán học (như: kí hiệu, bảng, biểu đồ,…), làquá trình lặp đi lặp lại các thao tác tổng hợp, phân tích, giải thích, đối chiếu Từ đó,giải quyết các vấn đề thực tiễn đặt ra và cải tiến nếu cách giải quyết chưa hợp líhoặc không thể chấp nhận Quá trình này yêu cầu người thực hiện phải có hiểu biếtvề toán học và vận dụng kinh nghiệm cá nhân, liên kết giữa các lĩnh vực khác nhautrong thực tiễn để giải quyết vấn đề đặt ra

Theo Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán của Bộ GD-ĐT (2018),năng lực mô hình hóa toán học của học sinh THPT gồm có 03 thành tố với cácbiểu hiện tương ứng như sau:

1- Xác định được mô hình toán học (gồm công thức, phương trình, bảngbiểu, đồ thị, ) cho tình huống xuất hiện trong bài toán thực tiễn: Thiết lập đượcmô hình toán học (gồm công thức, phương trình, sơ đồ, hình vẽ, bảng biểu, đồthị, ) để mô tả tình huống đặt ra trong một số bài toán thực tiễn;

2- Giải quyết được những vấn đề toán học trong mô hình được thiết lập; 3- Thể hiện và đánh giá được lời giải trong ngữ cảnh thực tế và cải tiến đượcmô hình nếu cách giải quyết không phù hợp: Lí giải được tính đúng đắn của lờigiải (những kết luận thu được từ các tính toán là có ý nghĩa, phù hợp với thực tiễnhay không) Đặc biệt, nhận biết được cách đơn giản hóa, cách điều chỉnh các yêucầu thực tiễn (xấp xỉ, bổ sung thêm giả thiết, tổng quát hóa, ) để đưa đến những

bài toán giải được [1]

Quy trình mô hình hóa toán học được hiểu là quá trình thu thập, hiểu vàphân tích các thông tin toán học và áp dụng toán học để mô hình hóa các tìnhhuống thực tiễn Trong giảng dạy giáo viên có thể hướng dẫn học sinh giải quyếtbài toán thực tiễn qua các bước sau:

Bước 1 (Toán học hóa, hiểu tình huống thực tiễn): Hiểu rõ vấn đề thực

tiễn, xây dựng giả thuyết sau đó mô tả và diễn đạt vấn đề bằng công cụ và ngônngữ toán học Học sinh biểu diễn các yếu tố trong tình huống dưới các biến, thamsố, mối liên hệ giữa các biến,

Bước 2 (Giải bài toán): Sử dụng kiến thức toán học thích hợp để giải quyết

bài toán đã được toán học hóa Để giải được bài toán, học sinh cần phải có phươngpháp phù hợp, công cụ toán học tối ưu để xây dựng và giải quyết vấn đề toán họcmột cách hiệu quả.

Bước 3 (Thông hiểu): Hiểu được ý nghĩa lời giải của bài toán với tình

huống thực tiễn ban đầu Học sinh cần phát hiện được ưu - nhược điểm của kết quảtoán học vào tình huống thực tiễn.

Bước 4 (Đối chiếu, kiểm định kết quả): Đối chiếu giả thuyết ban đầu đưa

ra, tìm hiểu những hạn chế của mô hình toán học, lời giải của bài toán, xem xét lạicác công cụ và phương pháp toán học đã sử dụng, đối chiếu để cải tiến mô hình,xây dựng mô hình mới.

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Thực tiễn dạy học cho thấy, Giáo viên dạy học sinh làm các bài toán thuầntúy mà chưa chú trọng nhiều hướng dẫn học sinh vận dụng kiến thức Toán học đểgiải quyết các bài toán thực tế trong cuộc sống của chúng ta Việc giảng dạy chỉthuần túy truyền thụ kiến thức một chiều mà chưa có cập nhật thực tiễn để dẫn dắtvào bài mới nên tiết học khô khan, xơ cứng và không hấp dẫn Đồng thời, do áplực khối lượng kiến thức môn học quá nhiều, thời lượng ngắn nên việc rèn luyện kĩnăng để vận dụng kiến thức vào giải các bài toán thực tế gặp khó khăn Số bài toánthực tế trong sách giáo chưa nhiều, rời rạc và ít đa dạng Mặt khác, giáo viên sợmất thời gian nên không chịu tìm tòi thêm bài tập bên ngoài, dẫn đến truyền đạtkiến thức cho học sinh mang tính gượng ép chưa thật sự hiệu quả Bên cạnh đó,một số kì thi còn đặt nặng yêu cầu kiến thức lí thuyết nên giáo viên chưa mạnh dạnđổi mới hoàn toàn mà chỉ thực hiện một số giờ dạy mẫu Nội dung kiến thức trongbài học còn nhiều, chưa thích ứng với thời gian quy định của mỗi tiết học, cho nênkhi gặp các bài toán thực tiễn giáo viên chỉ giải thích cho xong mà chưa chú trọngkhai thác nó một cách bài bản Thực tế trong một tiết học, với nội dung kiến thứctương đối nhiều, việc làm cho học sinh hiểu được kiến thức bài học cũng khó khăn.Giáo viên không còn đủ thời gian để liên hệ kiến thức mà học sinh vừa lĩnh hộiđược vào thực tiễn đời sống hoặc nếu có liên hệ được thì cũng chỉ dưới hình thứcliệt kê tên gọi của các sự vật, hiện tượng Một số bài toán thực tế rất phức tạp vàkhó hiểu đối với học sinh Việc giải quyết những vấn đề này đòi hỏi sự am hiểu sâusắc về Toán học cũng như khả năng áp dụng kiến thức vào thực tế Giáo viên gặpkhó khăn trong việc tìm kiếm tài liệu và tài nguyên phù hợp để hỗ trợ quá trình

giảng dạy toán thực tế Giáo viên môn Toán cần có kiến thức liên môn như Vật lí,Hóa học, Sinh học… Điều này gây khó khăn trong việc thiết kế bài giảng và cungcấp ví dụ minh họa cho học sinh Các bài toán thực tế thường liên quan đến cáckhái niệm phức tạp và trừu tượng Khó khăn của giáo viên là phải diễn đạt các kháiniệm này một cách dễ hiểu và tương tác với học sinh để giúp học sinh nắm bắtđược ý nghĩa thực tế của bài toán Mỗi học sinh có cách tiếp thu và học tập riêngbiệt Giáo viên phải sử dụng nhiều phương pháp và kĩ thuật giảng dạy khác nhauđể đáp ứng nhu cầu học tập của từng học sinh, đồng thời tạo ra môi trường học tậptích cực và thú vị

Về học sinh, nhiều em chưa có thói quen tư duy khi gặp các bài toán thựctiễn mà thường chỉ biết lặp lại những kiến thức của giáo viên truyền thụ nên khônggiải được Học sinh chưa thực sự nghiên cứu, tìm hiểu các vấn đề đang diễn ratrong cuộc sống hằng ngày mà có thể vận dụng Toán học vào giải quyết Hầu hếthọc sinh mang tư tưởng học để thi nên thụ động, thiếu đam mê tìm tòi, nghiên cứu,sáng tạo thông qua các bài toán thực tiễn Học sinh thường gặp khó khăn trongviệc hiểu và phân tích đề bài Một số bài toán thực tế có ngữ cảnh phức tạp và yêucầu học sinh xác định được thông tin quan trọng và điểm cần giải quyết Sau khi đãhiểu vấn đề, học sinh cần tìm ra công thức hoặc mô hình phù hợp để giải quyết bàitoán Điều này đòi hỏi kiến thức và kĩ năng Toán học đầy đủ Ở lớp 10 (chươngtrình giáo dục phổ thông 2018), các bài toán thực tế được đưa vào hầu như ở tất cảcác kiến thức của toán học: mệnh đề, hàm số bậc hai, phương trình quy về phươngtrình bậc hai, vectơ… Nhưng phần lớn học sinh không thể chọn được đại lượng đểđặt làm ẩn số, không thể thiết lập các biểu thức, không thể xây dựng thành các yêucầu toán học cụ thể, dẫn đến không thể giải quyết được yêu cầu đặt ra Điều đó chothấy năng lực mô hình hóa toán học của các em đang còn nhiều hạn chế.

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

2.3.1 Rèn luyện kỹ năng chuyển đổi các vấn đề trong tình huống thực tiễndưới dạng ngôn ngữ toán học.

Trong quá trình soạn kế hoạch bài dạy, những kiến thức có liên quan vớithực tiễn thì cần đưa những bài toán thực tiễn vào để học sinh thấy rõ Toán họcgần gũi với cuộc sống Trên cơ sở đó, giáo viên xây dựng hệ thống câu hỏi phùhợp, đặt ra các tình huống trong cuộc sống để học sinh tự giải quyết Để hình thànhkiến thức cho học sinh thì giáo viên tiến hành các hoạt động theo trình tự : hoạtđộng khởi động, hoạt động hình thành kiến thức, hoạt động luyện tập, hoạt động

tìm tòi và mở rộng nhằm giúp học sinh tiếp thu bài học dễ dàng Giáo viên nêunhững tình huống xảy ra trong cuộc sống để học sinh tiếp cận và suy nghĩ Từ đó,cùng nhau giải quyết nhằm làm sáng tỏ vấn đề đã đặt ra Chú trọng phương phápnêu vấn đề để giải quyết các bài toán thực tiễn, tạo không khí lớp học thật vui vẻ,thoải mái; thân thiện, gần gũi để học sinh mạnh dạn bày tỏ ý kiến về bài toán thựctiễn Tạo hứng thú học tập thông qua trò chơi, kể chuyện, hoạt động thực hành, cácbài toán gắn liền với thực tiễn cuộc sống Để giúp học sinh hiểu rõ hơn về cách ápdụng toán vào cuộc sống hằng ngày, cần sử dụng các ví dụ cụ thể và minh họa rõràng

Mô hình hóa toán học được hiểu là sử dụng các công cụ toán học để mô tảcác tình huống thực tiễn, thể hiện các tình huống đó dưới dạng ngôn ngữ toán học.Quá trình chuyển đổi giữa tình huống thực tiễn và tình huống toán học tuân theomột quy trình nhất định với những quy tắc đặc biệt để xây dựng giả thuyết toán họcđể từ đó học sinh có thể dễ dàng nhìn nhận các vấn đề thực tiễn Mô hình hóa toánhọc là một hoạt động phức tạp, chuyển đổi giữa toán học và thực tiễn theo cả haichiều Do vậy, việc rèn luyện kỹ năng chuyển đổi các vấn đề trong tình huống dướidạng ngôn ngữ toán học là vô cùng cần thiết.

Để thực hiện biện pháp này trong quá trình giảng dạy, thông qua hệ thốngbài tập, giáo viên lựa chọn các hoạt động thành phần phù hợp để giúp học sinh cónăng lực chuyển đổi các tình huống thực tế về mô hình toán học.

VD1 Một công ty cần thuê xe để chở trên 140 người và trên 9 tấn hàng Nơi thuê

chỉ có hai loại xe A và B Trong đó xe loại A có 10 chiếc, xe loại B có 9 chiếc.Một chiếc xe loại A cho thuê với giá 4 triệu, loại B giá 3 triệu Hỏi phải thuê baonhiêu xe mỗi loại để chi phí vận chuyển là thấp nhất Biết rằng xe A chỉ chở tối đa20 người và 0,6 tấn hàng Xe B chở tối đa 10 người và 1,5 tấn hàng [3]

Phân tích bài toán:

Phân tích bài toán:

Gọi x là số xe loại A 0 x 10;x , y là số xe loại B0 y 9; y  Khiđó tổng chi phí thuê xe là T 4x3y Xe A chở tối đa 20 người, xe B chở tối đa10 người nên tổng số người hai xe chở tối đa được là 20x10y Xe A chở được0,6 tấn hàng, xe B chở được 1,5 tấn hàng nên tổng lượng hàng hai xe chở được là0, 6x1,5y.

Bài toán trở thành:Xác định x y, sao cho: T x y ; 4x3y đạt giá trị nhỏ nhất.

Với các điều kiện

 

  



Khi đó Tmin32.Vậy để chi phívận chuyển là thấp nhất, cầnthuê 5 xe loại A và 4 xe loại B.

VD2 Trong một cuộc thi pha chế, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa 24g hương

liệu, 9 lít nước và 21g đường để pha chế nước cam và nước táo Để pha chế 1 lítnước cam cần 30g đường, 1 lít nước và 1g hương liệu; pha chế 1 lít nước táo cần10g đường, 1 lít nước và 4g hương liệu Mỗi lít nước cam nhận được 60 điểmthưởng, mỗi lít nước táo nhận được 80 điểm thưởng Hỏi cần pha chế bao nhiêu lítnước trái cây mỗi loại để được số điểm thưởng là lớn nhất?[3]

Phân tích bài toán.

Ta gọi ẩn x, y tương ứng là số lít nước trái cây tương ứng mỗi loại Mà mỗi lítnước cam nhận được 60 điểm thưởng thì x lít nước cam nhân được 60x điểm

thưởng; mỗi lít nước táo nhận được 80 điểm thưởng thì y lít nước táo nhận được80y điểm thưởng Khi đó ta có số điểm thưởng nhận được sau khi pha chế được x,

y lít nước trái cây mỗi loại là 60x + 80y

Gọi x, y lần lượt là số lít nước cam và táo của mỗi đội pha chế ( ,x y 0) Khi

đó số điểm thưởng nhận được của mỗi đội chơi là F = 60x + 80y.

Để pha chế x lít nước cam cần 30x g đường, x lít nước và x(g) hương liệu.Để pha chế y lít nước cam cần 10y g đường, y lít nước và 4y (g) hương liệu.

Do đó, ta có: số gam đường cần dùng là: 30x + 10y Số lít nước cần dùng là: x + y.Số gam hương liệu cần dùng là: x + 4y

Vì mỗi đội chơi sử dụng tối đa 24g hương liệu, 9 lít nước và 210g đường nên x, y

Khi đó bài toán trở thành:

Trong các nghiệm của hệ bất phương trình (*), tìmnghiệm (x x y0,y0) sao cho F 60x80y lớn nhất.

Trong mặt phẳng tọa độ, ta sẽ biểu diễn phần mặtphẳng chứa điểm M x y( , ) thỏa mãn (*) Khi đó miền

nghiệm của hệ bất phương trình (*) là ngũ giác OABCD

kể cả miền trong của tam giác (như hình vẽ) Biểu thức6080

F  x y đạt giá trị lớn nhất tại một trong các đỉnh của ngũ giác OABCD.Tại các đỉnh O(0; 0), A(7; 0), B(6; 3), C(4; 5), D(0; 6) Ta thấy F đạt giá trịlớn nhất tại x = 4, y = 5.Khi đó F 60.4 80.5 640

Vậy cần pha chế 4 lít nước cam và 5 lít nước táo thì số điểm thưởng lớn nhất là640.

2.3.2 Rèn luyện kỹ năng giải các bài toán thực tế bằng quy trình các bước rõràng.

VD1 Hằng ngày bạn Hùng đều đón bạn Minh đi học tại một vị trí bên lề đường

thẳng đến trường Minh đứng tại vị trí A cách lề đường một đoạn 50m Khi nhìnthấy Hùng đạp xe đến địa điểm B , cách mình một đoạn 200m thì Minh bắt đầu đi

bộ ra lề đường để bắt kịp xe Vận tốc đi bộ của Minh là 5km h , vận tốc xe đạp của/

Hùng là 15km h Hãy xác định vị trí C trên lề đường (như hình) để hai bạn gặp/

nhau mà không bạn nào phải chờ? [2]

Bước 1: Toán học hóa Gọi d là đường thẳng chứa lề đường, H là hình chiếu

vuông góc của A lên đường thẳng d, khi đó C nằm giữa B và H.Ta có

BC BH CH    x km

Thời gian bạn Hùng đi hết quãng đường BC là:

.Quãng đường bạn Minh sẽ đi là: AC  0,052 x2  0,0025x2

.Thời gian bạn Minh đi hết quãng đường AC là:

0,002520

15 3 7160

15 3 7160

 Thử lại thấy phương trình (1)

có hai nghiệm là

15 3 7160

x 

và

15 3 7160

Bước 3: Hiểu bài toán và ý nghĩa của nó.

Bài toán yêu cầu tìm vị trí C , ta có thể so sánh C với A , C với B hoặc Cvới H Ở đây ta tìm được CH nên so sánh C với H dễ dàng hơn.Vậy hai bạngặp nhau tại vị trí C cách H một khoảng xấp xỉ 25,4 m

Bước 4: Đối chiếu thực tế

Trong thực tế, bài toán được sử dụng để tính thời gian tối thiểu hai chuyểnđộng không cùng phương gặp nhau khi vận tốc không đổi, hoặc xác định vị trí gặpnhau sớm nhất của chúng.

Phân tích kết quả hoạt động: Qua các bước thực hiện như trên, học sinhđược rèn luyện kỹ năng chuyển đổi từ bài toán thực tế sang bài toán toán học, đồngthời hiểu và giải được nhóm các bài toán thực tế tương tự.

VD2 Ngay sau khi học sinh học xong định lý cosin và định lý sin, Gv có thể giao

bài toán sau nhằm rèn luyện năng lực mô hình hóa cho học sinh.

Bài toán thực tiễn: Đèn pha rọi biển là loại đèn thường được lắp đặt trên tàu

thuyền (hình 1) Đèn gắn trên tàu sẽ giúp tàu có thể nhận diện rõ các vật cản trênbiển để tránh các tai nạn Một chiếc tàu đánh cá quyết định dừng lại và thả neo tạimột vị trí cách bờ biển 2,5𝑘𝑚 Để quan sát sự vật xung quanh và có hướng xử lí