skkn cấp tỉnh hướng dẫn học sinh giải bài toán về lũy thừa trong bồi dưỡng học sinh giỏi toán 6

Trongchương trình Toán 6, sau khi các em được học về lũy thừa với số mũ tự nhiên ởchương I với thời lượng học kiến thức cơ bản rất ít chỉ có 2 tiết học nhưng các em phải giải một lượng b

MỤC LỤC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

PHÒNG GD&ĐT THỌ XUÂN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI BÀI TOÁN VỀ LŨY THỪA

TRONG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 6

Người thực hiện: Nguyễn Thị Hoa Chức vụ: Phó hiệu trưởng

Đơn vị công tác: Trường THCS Xuân Thắng SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HOÁ NĂM 2024

1.5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm 02

2.3 Giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 03

2.4 Hiệu quả của sáng SKKN đối với hoạt động giáo dục, với bản

thân, đồng nghiệp và nhà trường

1.1 Lí do chọn đề tài:

Toán học là môn khoa học tự nhiên, rèn luyện trí tuệ Học toán, ngoài việc

giúp cho con người nâng cao hiểu biết, tăng cường nhận thức còn phát triển khảnăng tư duy, sáng tạo, sự suy luận, suy đoán Đối với học sinh nói chung và họcsinh trung học cơ sở nói riêng học toán giúp các em phát triển khả năng tư duytưởng tượng, lập luận lô gíc chặt chẽ Học toán giúp các em rèn khả năng phântích, tổng hợp, khả năng đặc biệt hóa, khái quát hoá, trìu tượng hoá…Đặc biệt,học toán giúp các em có kiến thức vận dụng vào các môn học khác, vận dụngvào cuộc sống góp phần làm cho cuộc sống tốt đẹp hơn

Để giúp học sinh học tốt toán, đặc biệt là với học sinh lớp 6 các em mớibắt đầu làm quen với môi trường học tập mới các em vừa được ôn tập các kiếtthức trong chương trình Tiểu học vừa được mở rộng,bổ sung nội dung kiến thứcmới

Kiến thức toán về lũy thừa được đề cập trong sách giáo khoa ngay từ đầu nămlớp 6, là phần kiến thức hoàn toàn mới so với chương trình tiểu học và được tiếpnối phat triển dần trong chương trình toán 7,8,9 và các năm tiếp theo Trongchương trình Toán 6, sau khi các em được học về lũy thừa với số mũ tự nhiên ởchương I với thời lượng học kiến thức cơ bản rất ít (chỉ có 2 tiết học) nhưng các

em phải giải một lượng bài tập khá nhiều và đa dạng Với học sinh khá giỏi lớp 6các em cần được tiếp cận với các bài toán nâng cao có rất nhiều bài tập khó màcác em cần phải vượt qua để có kiến thức vững chắc làm nền cho các kỳ thi họcsinh giỏi Toán 7 toán 8 và Toán 9 vì vậy, ngay từ lớp 6 giáo viên cần giúp các

em biết nhận dạng và lựa chọn phương pháp giải thích hợp khi giải quyết các bàitoán về lũy thừa

Là một giáo viên dạy toán với mong muốn các em chinh phục, làm tốt cácbài toán nói chung và các bài toán về lũy thừa nói riêng, giúp các em hiểu sâunắm vững kiến thức và có kỹ năng làm tốt các bài toán về lũy thừa vì vậy tôi đãnghiên cứu và thực hiện phân loại các dạng bài tập về lũy thừa trong chươngtrình nâng cao toán 6 để giúp các em phát hiện dạng và phương pháp giải các bàitoán về lũy thừa kết quả đã thu được hiệu quả tốt đẹp; Trong 3 năm thực hiện đềtài đã nâng cao chất lượng học toán lớp 6 cho học sinh khá giỏi là nguồn cứngcho các kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh vì vậy tôi chia sẻ kinh nghiệm

“Hướng dẫn học sinh giải bài toán về lũy thừa trong bồi dưỡng học sinh giỏi toán 6”

pháp thuần thục, khoa học, ngắn gọn, hiệu quả.

Tìm ra phương pháp giải hợp lý với từng kiểu bài cụ thể

Giúp các đồng nghiệp tham khảo để có thể vận dụng tốt hơn trong côngtác giảng dạy về các phương pháp giải bài toán về lũy thừa

1.3 Đối tượng nghiên cứu:

Đề tài sẽ nghiên cứu về các phương pháp giải bài toán về lũy thừa vàotừng dạng bài khác nhau từ đó rèn cho học sinh các kĩ năng tìm lũy thừa, so sánhlũy thừa vào các bài tập cụ thể và một số các bài tập nâng cao về lũy thừa trong

đề thi

1.4 Phương pháp nghiên cứu:

- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết

- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin

- Phương pháp thống kê, xử lí số liệu

- Phương pháp thực nghiệm

1.5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm:

- Phát triển một số kiến thức nâng cao về phần lũy thừa mà sách giáo khoakhông đề cập

- Phân loại các bài toán về lũy thừa và phương pháp giải các bài toán theo từngloại

- Đề tài được thông qua đồng nghiệp và được đồng nghiệp áp dụng vào dạy họcđối với học sinh Khá giỏi toán 6 trong nhà trường

2 NỘI DUNG

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm:

Chương trình Toán lớp 6 trên cơ sở ôn tập kiến thức Toán tiểu học, mởrộng thêm trên tập số và một số kiến thức bổ sung Các bài toán về lũy thừa làmột nội dung kiến thức mở rộng của phép nhân các số giống nhau trong tập hợp

số tự nhiên rên cơ sở “lũy thừa với số mũ tự nhiên” trong sách giáo khoa toán 6

và các tài liệu nâng cao toán 6 cùng với những phép tính nhân, chia lũy thừacùng cơ số và các tính chất của lũy thừa Qua nhiều năm dạy toán và bồi dưỡnghọc sinh khá, giỏi toán Tôi nhận thấy muốn nâng cao chất lượng học sinh khá,giỏi toán thì giáo viên phải dạy học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản về lũythừa, từ đó mở rộng nâng cao các kiến thức về lũy thừa và đưa ra các phươngpháp giải bài toán về lũy thừa

2.2 Thực trạng của vấn đề nghiên cứu:

2.2.1 Thực trạng.

Các bài toán về lũy thừa là phần kiến thức mới trong chương trình Toánlớp 6 so với chương trình tiểu học Mặc dù học sinh đã được học và giải các bàitoán về lũy thừa của một số ở lớp 6 trong chương trình sách giáo khoa cơ bảnsong các bài toán về lũy thừa của một số hay của một biểu thức trong phần nâng

cao các em còn bỡ ngỡ cần phải được làm quen và trang bị thêm kiến thức mởrộng nâng cao và rèn kỹ năng vận dụng linh hoạt đẻ giải quyết các bài toán khólàm tiền đề cho thi học sinh giỏi Toán 7, 8,9 và các lớp trên.

Từ thực trạng trên, tôi đã dành nhiều thời gian để nghiên cứu, tìm tòi vàthử nghiệm phương pháp giải các bài toán về lũy thừa cho học sinh khá giỏi lớp

6 và thu được kết quả khả quan; Tất cả các em đều nắm vững kiến thức, biết vậndụng linh hoạt các tính chất để giải quyết bài toán hợp lý, có kỹ năng giải cácbài toán nâng cao về lũy thừa

2.2.2 Kết quả của thực trạng.

Qua thực tế dạy học kết hợp với dự giờ của các giáo viên trong trường,thông qua các kỳ thi chất lượng và kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện bản thân tôinhận thấy các em học sinh chưa thành thạo khi làm các dạng bài tập về lũy thừa,

vì lý do để giải được các loại bài tập này cần phải có kỹ năng giải các bài toán

về lũy thừa

Khi nghiên cứu đề tài này, tôi đã khảo sát tình hình thực tế của học sinhkhá giỏi sau khi học xong kiến thức cơ bản phần lũy thừa (Sau khi ôn tậpchương I) các năm học 2021- 2022; 2022- 2023; và năm học 2023- 2024 Kếtquả thu được như sau (tính theo thang điểm 20):

Nguyên nhân dẫn đến việc tỉ lệ học sinh lớp 6 chưa giải được các bài toán

về về lũy thừa chiếm tỉ lệ cao thì có nhiều nguyên nhân, song theo quan điểmcủa tôi chỉ tập trung vào ba nguyên nhân chủ yếu sau đây:

Thứ nhất: Do phần lũy thừa là phần mới đối với học sinh;

Thứ hai: Do các em chưa nắm vững các phương pháp giải các bài toán về lũy

thừa;

Thứ ba: Do các em chưa được tiếp cận bài tập ở sách nâng cao toán 6 về chủ đề

lũy thừa và chưa có kỹ năng giải các bài tập khó về phần lũy thừa;

2.3 Giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề:

1 Hệ thống hóa kiến thức cơ bản về lũy thừa, mở rộng các kiến thức nâng cao

về lũy thừa;

2 Phân dạng, hướng dẫn phương pháp giải quyết các bài toán theo từng dạng;

3 Luyện giải các các bài toán tổng hợp nâng cao về lũy thừa

4 Lưu ý những sai lầm một số học sinh thường mắc phải và hướng giải quyếtsai lầm khi giải bài toán về lũy thừa

2.3.1 Hệ thống và mở rộng các kiến thức về lũy thừa

(Toán cơ bản và nâng cao toán 6-Vũ Thế Hựu; Phát triển toán 6-Vũ Hữu Bình)

1.1 Định nghĩa lũy thừa với số mũ tự nhiên.

+ Lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng a

(n Î N*)

+ Quy ước: a1 = a; a0 = 1(a ≠ 0)

1.2 Các phép toán về lũy thừa

*) Với a, b, m, n Î N ta có các phép tính:

+ Nhân hai lũy thừa cùng cơ số: am an = am+n; am an ap = am+n+p (p Î N)+ Chia hai lũy thừa cùng cơ số: am : an = am-n (a ≠ 0, m > n)

+ Lũy thừa của một tích: (a.b)m = am bm

+ Lũy thừa của một thương: (a : b)m = am : bm (b ≠ 0 )

+Lũy thừa của lũy thừa: (am)n = am.n

Dạng 1: Viết kết quả phép tính nhân chia dưới dạng một lũy thừa.

*Phương pháp: - Biến đổi đưa các lũy thừa về cùng cơ số

Cách 1: Có thể đưa về lũy thừa cùng có cơ số 4

Cách 2: Có thể đưa về cùng lũy thừa có cơ số 2

b)

Giải:

Cách 1: Các số của biểu thức đã có cùng số mũ ta vận dụng kiến thức lũy thừa

của một tích theo chiều ngược lại: (a.b)m = am bm

Cách 2: Có thể phân tích các số đưa về cùng lũy thừa cơ số 3

c,

Giải:

Cách 1: Có thể phân tích các số rồi vận dụng kiến thức lũy thừa của lũy thừa để

đưa về cùng cơ số 5

Cách 2: Có thể đưa về cùng lũy thừa cơ số 25

Cách 3: Có thể đưa về cùng lũy thừa cơ số 125 rồi thực hiện phép nhân chia

*Nhận xét: Đối với dạng bài tập này, có rất nhiều cách giải Tuy nhiên để

thuận tiện cho việc tính toán ta thường đưa về lũy thừa của cùng một số nguyên tố.

Lưu ý học sinh cần sáng tạo, linh hoạt để có cách làm nhanh nhất.

Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức.

2.1 Các biểu thức ở dạng biểu thức nguyên:

Hướng dẫn: Các lũy thừa của 45 và 5 có cùng số mũ là 3 Lũy thừa của

24 và 12 có cùng số mũ là 6 Vậy ta chỉ cần thực hiện theo thứ tự phép tính:Nhân, chia đến cộng, trừ

Giải:

Vậy A= 0

b)

Hướng dẫn: Đưa về cùng cơ số 2 hoặc cơ số 8, sau đó sử dụng tính chất

phân phối của phép cộng dể thực hiện

2.2 Các biểu thức có dạng phân số:

+ Phương pháp: Viết tử và mẫu dưới dạng tích các lũy thừa Sau đó sử dụng

tính chất của phân số chia cả tử và mẫu cho cùng một lũy thừa khác không.

Ví dụ 3 Tính giá trị biểu thức:

+ Hướng dẫn: Đưa tử và mẫu về dạng tích của các lũy thừa có cơ số là các số

nguyên tố Sau đó ta chỉ việc viết gọn tử và mẫu bằng cách sử dụng nhân lũythừa, tính lũy của lũy thừa, rồi rút gọn các lũy thừa giống nhau

Giải:

2.3 Biểu thức có dạng tổng các lũy thừa viết theo quy luật.

* Phương pháp: Làm xuất hiện biểu thức khác là bội của biểu thức đó có

chứa các lũy thừa có cùng cơ số với các lũy thừa của tổng đã cho rồi cộng hoặc trừ hai biểu thức.

Ví dụ 4 Thu gọn biểu thức sau:

Hướng dẫn:

- Biểu thức A là tổng các lũy thừa của 2 với số mũ hơn kém nhau 1đơn vị

- Nhân cả hai vế của biểu thức với ( có cơ số bằng cơ số các lũy thừa trong A

có số mũ là khoảng cách giữa các số mũ liên tiếp)

- Nhân cả hai vế của biểu thức với ( có cơ số bằng cơ số các lũy thừa trong

B có số mũ là khoảng cách giữa các số mũ liên tiếp)

Giải:

Vậy

Ví dụ 6 Thu gọn biểu thức:

Hướng dẫn: Biểu thức C là tổng mỗi số hạng là phân số có tử là 1 mẫu là lũy

thừa của 3 với số mũ hơn kém nhau 1đơn vị Nhân cả hai vế của biểu thức với 3

Giải:

suy ra

Lưu ý: Với các bài toán tính Tổng (Thu gọn biểu thức) là bài toán khá

phổ biến và rất đa dạng vì vậy điều đầu tiên ta cần quan sát, tìm hiểu đề phát hiện quy luật để vận các kiến thức liên quan đã có, kết hợp các kiến thức nâng cao vận dụng kiến thức một cách linh hoạt sáng tạo để tạo ra các tổng

có thể triệt tiêu lẫn nhau để được biểu thức đơn giản nhất

Cần làm rõ tại sao ở ví dụ 4 ta lại nhân A với 2, ví dụ 5 để thu gọn biểu thức B ta lại nhân B với 5 3, ở ví dụ 6 ta lại nhân với 3 mà không nhân với số khác để khắc sâu kiến thức giúp học sinh năm vững cách giải từ đó học sinh linh hoạt vận dụng.

3.1 So sánh hai lũy thừa cùng cơ số

* Phương pháp: - Đưa các lũy thừa về cùng cơ số.

- Sử dụng tính chất: Nếu m > n thì ( a > 1 ).

Ví dụ 1 So sánh các số sau: a) và ; b) 19920 và 200315

a) Hướng dẫn:

- Các cơ số 27 và 81 đều là lũy thừa của 3

- Do đó ta biến đổi các lũy thừa trên về lũy thừa có cùng cơ số là 3 rồi so sánh

3.2 So sánh hai lũy thừa cùng số mũ

* Phương pháp: - Đưa các lũy thừa về cùng số mũ lớn hơn 0.

- Sử dụng tính chất: Nếu a > b thì ( m > 0 )

Ví dụ 1: So sánh: và với

Hướng dẫn: Ta thấy số mũ 2n và 3n đều có chung thừa số n nên ta viết hai lũy

thừa trên thành các lũy thừa có cùng số mũ là n, rồi so sánh cơ số

cùng số mũ, ta chỉ việc so sánh cơ số rồi kết luận.

3.3 So sánh hai biểu thức chứa lũy thừa

Phương pháp: Để so sánh hai biểu thức chứa lũy thừa ta biến đổi 1 hoặc cả 2

biểu thức để đưa về biểu thức có chứa phần bằng nhau rồi so sánh phần còn lại.

Ví dụ 1 So sánh: A = 1+2+ 22 + 23 +24+25+……+ 22008 và B = 22009 – 1

Hướng dẫn: Biểu thức B đã được thu gọn, biểu thức A là tổng các lũy thừa viết

theo quy luật ta có thể vận dụng bài toán tính tổng A( dạng 2) để thu gọn biểuthức A từ đó so sánh A với B

Hướng dẫn: Ta thấy C và D là hai biểu thức có dạng phân số, để so sánh ta cần

biến đổi, thu gọn 2 biểu thức này đưa về một biểu thức có phần chung để sosánh

Hướng dẫn: Ta nhận thấy biểu thức A là biểu thức có quy luật; là tích của bao

nhiêu thừa số âm, biểu thức A là một số âm ta có thể đổi dấu các thừa số bằngcách đưa dầu trừ trước dấu ngoặc đưa biểu thức về dạng đơn giản quen thuộchơnđể thu gọn A

Giải:

Ta có A là tích của 99 số âm, nên A< 0 Do đó:

Phân tích tử số để đưa về dạng tích các thừa số có ở mẫu

Thực hiện phép nhân và tính chất giao hoán của phép nhân để có thể rút gọn được

< Vậy <

ý vận dụng các kiến thức linh hoạt để giải quyết vấn đề, cần chú ý tích lũy kiến thức, phát hiện điểm thắt, điểm khó, điểm mới sau mỗi bài tập.

Ví dụ 4 Cho A = 1 + 2012 + 20122 + 20123 + 20124 + + 201271 + 201272

và B = 201273 - 1 So sánh A và B

Hướng dẫn: Biểu thức A khá quen thuộc trong phần tính giá trị biểu thức vì

vậy học sinh dễ dàng thu gọn biểu thức A để so sánh bới B

thức để đưa về biểu thức có chứa biểu thức kia, hoặc biến đổi cả hai biểu thức

Lưu ý: Ở bài 1 Ta nhận thấy trong các số lũy thừa cần so sánh thì số mũ của

chúng đề không có ước chung, hoặc cơ số của chúng không thể biểu diễn dướidạng chung một cơ số Do đó việc đưa các lũy thừa về các lũy thừa có cùng cơ

số (hoặc số mũ) để so sánh có vẻ không khả quan Tuy nhiên các cơ số trong cáclũy thừa đều có ước chung, nên việc tách các lũy thừa thành tích, để xuất hiệnthừa số chung rồi so sánh thừa số riêng có vẻ khả quan Để làm được điều này tacần dùng phương pháp sau: Biến đổi a n về dạng c.d , k biến đổi b m về dạng e.d k

rồi so sánh hai số e và c Từ đó so sánh được hai số a n và b m

Ở Bài 3Để so sánh A với B ta so sánh 29A với 29B để đưa A, B về một biểuthức có phần trung gian bằng nhau sau đó so sánh phần còn lại

Để làm được bài 4 ta phân tích tổng A thành 99 nhóm sau đó so sánh

Dạng 4: Tìm số chưa biết trong lũy thừa

4.1 Tìm cơ số:

* Phương pháp:

- Biến đổi 2 vế thành những lũy thừa có cùng số mũ

- Áp dụng tính chất: Nếu an = bn thì a = b hoặc a = - b (nếu n chẵn )

a = b (nếu n lẻ)

Ví dụ 1 Tìm số nguyên x, biết:

+ Hướng dẫn: Số x phải tìm nằm ở cơ số của lũy thừa có số mũ là 3 nên ta viết

vế phải thành lũy thừa có số mũ là 3

Giải:

Vậy x= - 4

Ví dụ 2 Tìm số nguyên x, biết: (x - 5)2 = (1 – 3x)2

Hướng dẫn: Số x phải tìm nằm ở cơ số của lũy thừa có số mũ là 2 cả hai lũy

thừa đều biết số mũ là 2, nhưng cơ số chưa biết Do đó ta sử dụng tính chất bìnhphương của hai lũy thừa bằng nhau khi cơ số của chúng bằng nhau hoặc đốinhau

x = -2 Z

Vậy x = -2

2 khả năng vì vậy phải xét cả hai trường hợp để tìm hết được giá trị

4.2 Tìm số mũ:

* Phương pháp: - Biến đổi 2 vế thành những lũy thừa có cùng cơ số

- Áp dụng tính chất: thì m = n

Ví dụ 3 Tìm số tự nhiên x, biết: a) ; b) 16x < 1284

a) Hướng dẫn: Số x phải tìm nằm ở số mũ của lũy thừa có cơ số là 5 nên ta viết

vế phải thành lũy thừa có cơ số là 5

Ví dụ 4 Tìm các số nguyên dương x,y biết:

Hướng dẫn: Vì lũy thừa có số mũ khác nhau nên để tìm được x,y ta đưa 256 vềlũy thừa cùng cơ số 2 để từ đó phân tích số mũ để tìm x,y

Giải: Vì

Nhận thấy x > y Ta xét bài toán trong các trường hợp sau:

+) x - y = 1 ta có: khi đó x= 9

+) Nếu x - y thì là một số lẻ lớn hơn 1, nên vế trái của (1) chứa thừa

số nguyên tố lẻ khi phân tích ra thừa số nguyên tố Còn vế phải của ( 1) chỉ chứathừa số nguyên tố 2 (Mâu thuẫn)

Dạng 5 Tìm chữ số tận cùng của một lũy thừa:

Bổ sung kiến thức nâng cao (Các chuyên đề chọn lọc toán 6-Tôn Thân):

+Tìm chữ số tận cùng của một lũy thừa:

- Các số có chữ số tận cùng là 0, 1, 5, 6 khi nâng lên lũy thừa bậc bất kì thì chữ

số tận cùng vẫn không thay đổi

- Các số có chữ số tận cùng là 4, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc lẻ thì chữ số tậncùng vẫn không thay đổi, còn nâng lên lũy thừa chẵn thì có chữ số tận cùng lầnlượt là 6 và 1