skkn cấp tỉnh hướng dẫn học sinh áp dụng định lí vi ét giải một số bài tập tìm giá trị tham số thỏa mãn hệ thức cho trước cho học sinh lớp 9 trường thcs nga thanh huyện nga sơn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA PHÒNG GD & ĐT NGA SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH ÁP DỤNG ĐỊNH LÍ VI-ÉT GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP TÌM GIÁ TRỊ THAM SỐ THỎA MÃN HỆ THỨC CHO TRƯỚC,

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

PHÒNG GD & ĐT NGA SƠN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH ÁP DỤNG ĐỊNH LÍ VI-ÉT GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP TÌM GIÁ TRỊ THAM SỐ

THỎA MÃN HỆ THỨC CHO TRƯỚC, CHO HỌC SINH LỚP 9 TRƯỜNG THCS NGA THANH,

HUYỆN NGA SƠN”

Người thực hiện: Mai Thanh Hải

Chức vụ: Giáo viên

Đơn vị công tác: Trường THCS Nga Thanh

SKKN thuộc môn: Toán

THANH HÓA NĂM 2024

ĐỀ MỤC TRANG

I MỞ ĐẦU: 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Đối tượng nghiên cứu 1

4 Phương pháp nghiên cứu 1

II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: 1

1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 1

2 Thực trạng của vấn đề 1

2.1 Thực trạng của việc dạy định lí Vi-ét 2

2.2 Thực trạng của việc học định lí Vi-ét 2

3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 3

Dạng 1: Các nghiệm thỏa mãn một biểu thức đối xứng (tức là khi ta thay hai nghiệm cho nhau thì biểu thức vẫn không thay đổi) 3

Dạng 2: Dựa vào   ( ')là bình phương một tổng hoặc một hiệu, để giải ra các nghiệm x x1, 2 5

Dạng 3: Kết hợp với định lý Vi-et để giải ra các nghiệm x x1, 2 6

Dạng 4: Tính 2 1 x theo x1 và 2 2 x theo x2 dựa vào phương trình ax 2  bx c   0 8

Dạng 5: Hệ thức bài cho có chứa căn thức và giá trị tuyệt đối 10

Dạng 6: So sánh nghiệm của phương trình với số 0 hoặc số  12

Dạng 7: Tìm giá trị của tham số để đường thẳng cắt Parabol tại hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn một biểu thức đối xứng với xA và xB 14

Dạng 8: Tìm giá trị của tham số để đường thẳng cắt Parabol tại hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn một biểu thức không đối xứng với xA và xB 16

Dạng 9: Tìm giá trị của tham số để đường thẳng cắt Parabol tại hai điểm phân biệt A,B liên quan đến tung độ điểm A, B 17

4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường 19

III KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 19

1 Kết luận 19

2 Kiến nghị 20

TÀI LIỆU THAM KHẢO

I MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Trong chương trình môn toán 9 học sinh được làm quen với định lí Đây là một trong những định lí có nhiều ứng dụng trong giải toán, nhưng trong quá trình giảng dạy tôi thấy các em học sinh đang còn hiểu chưa rõ về định lí, cũng như vận dụng định lí vào giải các bài tập đang còn lúng túng, gặp nhiều khó khăn, sai sót

Vi-ét-Để giúp các em hiểu rõ hơn về định lí Vi-ét cũng như ứng dụng định lí để giải các bài toán linh hoạt, tôi đã nghiên cứu rất kỹ về định lí, biên soạn hệ thống bài tập ứng dụng từ nhiều nguồn khác nhau, tham khảo ý kiến góp ý của bạn bè đồng nghiệp, … và đã đúc rút thành sáng kiến kinh nghiệm:

“Hướng dẫn học sinh áp dụng định lí Vi-ét giải một số bài tập tìm giá trị tham

số thỏa mãn hệ thức cho trước, cho học sinh lớp 9 trường THCS Nga Thanh, huyện Nga Sơn”

2 Mục đích nghiên cứu

Ôn tập định lí Vi-ét, vận dụng định lí để giải bài tập liên quan đặc biệt là dạng bài tìm giá trị của tham số thỏa mãn hệ thức cho trước; ôn tập lại kiến thức đại số trong chương trình đặc biệt là: kiến thức về phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức,

hệ phương trình…; tiếp tục hình thành và củng cố cho học sinh các kĩ năng vận dụng

lý thuyết giải các dạng bài tập, kỹ năng biến đổi đại số, kỹ năng trình bày bài, kỹ năng tính toán,…; giải các bài tập từ dễ đến khó trong sách giáo khoa; các tài liệu tham khảo, đặc biệt là các bài toán trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT

Tiếp tục hình thành cho các em tính tích cực, tự giác, chủ động trong học tập; khơi dậy tính cẩn thận, chịu khó, sáng tạo khi giải toán

Giúp học sinh hứng thú hơn trong học tập môn toán và các môn học khác

3 Đối tượng nghiên cứu

Nội dung định lí Vi-ét và các dạng toán có ứng dụng định lí Vi-ét để giải

4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp đọc tài liệu: tham khảo thu thập tài liệu

Phương pháp tổng kết kinh nghiệm:

+ Nghiên cứu qua thực tế giảng dạy,

+ Nghiên cứu qua trao đổi học hỏi kinh nghiệm từ đồng nghiệp Phương pháp phân tích, tổng hợp và phân dạng bài tập

Phương pháp kiểm tra kết quả chất lượng học sinh

II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm

Định lí là một khẳng định được suy ra từ những khẳng định được coi là đúng; Định lí đóng vai trò như một bài toán tổng quát, thông qua việc học định lí học sinh sẽ được cung cấp rất nhiều những kiến thức cơ bản của bộ môn

Dạy học định lí là một trong các hoạt động cơ bản, quan trọng trong dạy học môn Toán Việc dạy học định lí nhằm cung cấp cho học sinh một hệ thống kiến thức cũng như kỹ năng cơ bản của bộ môn, đây là cơ hội rất thuận lợi để phát triển ở học sinh khả năng tư duy, suy luận,… góp phần phát triển năng lực trí tuệ cho các em

2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến

2.1 Thực trạng của việc dạy định lí Vi-ét

Đối với giáo viên, có nhiều khi chỉ giới thiệu định lí, hướng dẫn và yêu cầu học sinh chứng minh định lí đó theo như sách giáo khoa, chính việc làm đó đã không tạo điều kiện cho học sinh phát huy được vai trò và khả năng của bản thân Khi chứng minh định lí chưa gợi được động cơ chứng minh cho học sinh, việc củng cố định lí cho học sinh đang còn sơ sài, chưa phát huy được năng lực của các em

2.2 Thực trạng của việc học định lí Vi-et

Đối với học sinh: Hiểu nội dung định lí và vận dụng định lí vào giải toán là vấn đề khó khăn, không có nhiều thời gian đi sâu khai thác các ứng dụng của định lí nên vận dụng chưa linh hoạt

Không nắm được nội dung các nội dung kiến thức có liên quan, học trước quên sau Kỹ năng vận dụng định lí vào giải các bài toán còn yếu

Khi giải quyết một bài toán cụ thể học sinh lúng túng, không biết cách tìm

ra hướng giải quyết, thiếu sự sáng tạo vì các em thiếu kỹ năng giải quyết vấn đề Trong nhiều năm, tôi được nhà trường phân công giảng dạy môn toán 9, qua điều tra bằng cách cho học sinh làm bài viết 15 phút, 45 phút, chấm vở bài tập của học sinh, tôi nhận thấy trong bài làm của học sinh có những sai sót như sau:

Ví dụ: Trong một bài kiểm tra 15 phút, kiểm tra ở 2 lớp 9

Cho phương trình: x 2  4 x m    1 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x1, 2

thỏa mãn: 2 2

1 2 10 1 2 2020.

x  x  x x 

Kết quả thu được như sau:

Loại Giỏi Khá Trung bình Yếu Kém Lớp Số lượng SL % SL % SL % SL % SL % 9A 35 2 5.71 5 14.29 12 34.29 11 31.43 5 14.29 9B 35 2 5.71 6 17.14 14 40.00 10 28.57 3 8.57 Tổng 70 4 5.71 11 15.71 26 37.14 21 30.00 8 11.43

3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

Trong chương trình Toán 9, Định lí Vi-ét được phát biểu như sau:

Nếu x1,x2 là hai nghiệm của phương trình: ax 2  bx c   0a  0 thì

Vận dụng nội dung định lí này để giải một số dạng bài tập sau:

Dạng 1: Các nghiệm thỏa mãn một biểu thức đối xứng (tức là khi ta thay hai nghiệm cho nhau thì biểu thức vẫn không thay đổi)

+ Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt: 0

Bước 2: Áp dụng định lí Vi-et ta có 1 2

1 2

(1)

x x a

Bước 3: Biến đổi hệ thức bài cho làm xuất hiện x1 x2 và x x1 2;sau đó thay (1) vào hệ thức vừa biến đổi, ta được phương trình chứa tham số; giải phương trình này sau đó đối chiếu giá trị của tham số với điều kiện ở bước 1 và kết luận Chú ý một số phép biến đổi thường gặp:

Ví dụ 2: Cho phương trình x 2  mx  2 m   4 0.Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 thỏa mãn : x1  x2  3.

m m

x x

- Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

Trường hợp 1: Xét x1 2 ; m x2 2thay vào x1  3 x2ta được: 2 m   3.2  m   3.

Trường hợp 2: Xét x1 2; x2 2 mthay vào x1  3 x2ta được: 2 3.2 1.

x x a

Bước 3: Giải hệ gồm hệ thức bài cho và hệ thức (1) hoặc (2) để tìm ra x x1, 2có chứa tham số

Bước 4: Thay x x1, 2 vào một trong hai hệ thức (1) hoặc (2) để giải ra giá trị của tham số và kết luận

b Ví dụ minh hoạ

Ví dụ1: Cho phương trình: x 2  2( m  1) x  2 m   5 0(với m là tham số) Tìm các giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x x x1, (2 1 x2) thỏa mãn: x x1 2   2.

m

- Áp dụng định lí Vi-et ta có 1 2

1 2

2( 1) (1) 2 5 (2)

Vớix 2 3 thay vào (1) ta được: 1 1 1

x x a

Bước 3: -Vì x x1, 2 là nghiệm của phương trình ax 2  bx c   0 nên ta có:

Trường hợp 1: Hệ thức mới không còn hạng tử bậc hai đối vớix x1, 2

Trường hợp 2: Hệ thức mới là phương trình bậc hai(có thể có bậc cao hơn) đối vớix x1, 2

- Giải phương trình(hoặc hệ phương trình) tìm ra giá trị của tham số và kết luận

b Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1: Cho phương trình: x 2  4 x m    5 0 (*)

a Tìm giá trị của tham số m để phương trình (*) có nghiệm

b Tìm giá trị của tham số m để phương trình (*) có hai nghiệm dương x x1, 2

1 ( 2) 1.( 5) 0

m a

- Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm phân biệtx x1, 2là:

 2 2

1 0 0

Vậy GTNN của P   1khi 1.

2

 m

Ví dụ 3: Cho phương trình: x 2  ( m  2) x m    3 0(với m là tham số) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1, 2thỏa mãn: 2 2

1 0

16 0 ( 2) 4.1.( 3) 0

x x a

Bước 3: Ở bước này cần chú ý một số nội dung sau:

- Nếu muốn bình phương hai vế ta cần thêm điều kiện phụ là: hai vế lớn hơn hoặc bằng 0

- Nếu có x1, x2 ta cần thêm điều kiện phụ là: 1 2

M M rồi đưa về dạng đối xứng

- Nếu có chứa GTTĐ cần chú ý trường hợp 2 nghiệm trái dấu để từ đó phá dấu GTTĐ

2 2

4 2 (2 1) 4.1.( 1) 0

- Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x x1, 2là: 0

2

29 4 0

4 ( 5) 4.1.( 1) 0

- Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x x1, 2là: 0

1 0

4 12 21 0 (2 3) 12 0 (2 5) 4.1.(2 1) 0

x x a

Bước 3: Ở bước này cần chú ý một số nội dung sau:

Nếu phương trìnhcó hai nghiệmx x1, 2và có thêm một trong các điều kiện sau, thì

ta có thể thay thế bằng điều kiện tương đương

1 0

8 20 0 ( 4) 4 0 ( 2) 4.1.( 4) 0

Giải sử đường thẳng  d y mx n :   và Parabol  P y ax a :  2 (  0)

Bước 1: Xét phương trình hoành độ giao điểm của  d và  P

ax  mx n   ax  mx n  

Bước 2: - Tìm điều kiện để  d cắt  P tại hai điểm phân biệt A và B

Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt      0( ' 0)

- Áp dụng định lí Vi-et ta có: 1 2

1 2

(1)

b

x x

a c

x x a

Bước 3: Biến đổi biểu thức đối xứng với xA và xB để làm xuất hiện xA x x xB; A B, sau đó thay (1) vào biểu thức vừa biến đổi(vớix xA, B là hai nghiệm của phương trình (*))

Một số điều kiện và phép biến đổi cần nhớ

- Hai điểm A và B nằm bên phải trục Oy khi x xA, B cùng dương

- Hai điểm A và B nằm bên trái trục Oy khi x xA, B cùng âm

- Hai điểm A và B nằm cùng một phía trục Oy khi x xA, B cùng dấu

- Hai điểm A và B nằm về hai phía trục Oy khi x xA, B trái dấu

- Công thức tính yA theo xA và tính yB theo xB :

Ví dụ 2: Cho Parabol ( ) : P y x  2 và đường thẳng ( ) : d y  2( m  1) x   3 2 m.Tìm m

để  d cắt  P tại hai điểm phân biệt có hoành độ x x1, 2 là độ dài hai cạnh của một hình chữ nhật có độ dài đường chéo bằng 10.

Giải:

- Xét phương trình hoành độ giao điểm của( ) d và ( ) P :

Giải sử đường thẳng  d y mx n :   và Parabol  P y ax a :  2 (  0)

Bước 1: Xét phương trình hoành độ giao điểm của  d và  P

ax  mx n   ax  mx n  

Bước 2: - Tìm điều kiện để  d cắt  P tại hai điểm phân biệt A và B

Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt      0( ' 0)

x x a

Ví dụ 1: Cho Parabol ( ) : P y x  2và đường thẳng ( ) : d y mx m    1.Tìm m để

( ) d cắt ( ) P tại hai điểm phân biệt có hoành độ x x1, 2thỏa mãn:2 x1 3 x2  5.

-Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: 1 2

1 2

(1) 1 (2)

Ví dụ 2: Cho Parabol ( ) : P y x  2và đường thẳng ( ) : d y  (2 m  1) x m  2  m Tìm m

để ( ) d cắt ( ) P tại hai điểm phân biệt có hoành độ x x1, 2thỏa mãn: x1  2 x2

Giải sử đường thẳng  d y mx n :   và Parabol  P y ax a :  2 (  0)

Bước 1: Xét phương trình hoành độ giao điểm của  d và  P

ax  mx n   ax  mx n  

Bước 2: - Tìm điều kiện để  d cắt  P tại hai điểm phân biệt A và B

Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt      0( ' 0)

x x a

Ví dụ 1: Cho Parabol  P y x :  2 và đường thẳng  d y :  2 mx m  2   m 1.Tìm m

để  d cắt  P tại hai điểm phân biệt A x y B x y 1 ; 1 , 2 ; 2thỏa mãn

- Điều kiện để  d cắt  P tại hai điểm phân biệt A và B là:

Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt   ' 0

Ví dụ 2: Cho Parabol  P y x :  2 và đường thẳng  d y :  2 mx m  2  1.Tìm m để

 d cắt  P tại hai điểm phân biệt A x y B x y 1 ; 1 , 2 ; 2 thoả mãn: y y1 2  4.

Giải:

- Xét phương trình hoành độ giao điểm của  d và  P :

2 2 2 1 2 2 2 1 0 (*)

x  mx m    x  mx m   

- Điều kiện để  d cắt  P tại hai điểm phân biệt A và B là:

Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt   ' 0

Ví dụ: Trong một đề kiểm tra 45 phút, kiểm tra ở 2 lớp 9

Đề bài: Cho phương trình x 2  ( m  1) x  2 m   8 0 (1), mlà tham số

a Giải phương trình khi m  2.

b Tìm tất cả các giá trị của mđể phương trình (1) có hai nghiệm x x1, 2 thỏa mãn:

1 2 ( 1 2)( 2 2) 11.

x  x  x  x  

Kết quả cụ thể đạt được như sau:

Lớp lượng Số SL % SL % SL % SL % SL % 9A 35 8 22.86 9 25.71 15 42.86 2 5.71 1 2.86 9B 35 7 20.00 10 28.57 16 45.71 1 2.86 1 2.86 Tổng 70 15 21.43 19 27.14 31 44.29 3 4.29 2 2.86

III KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ

1 Kết luận

Trên đây tôi đã hướng dẫn cho các em học sinh lớp 9 vận dụng định lí

Vi-ét giải một số bài tập tìm giá trị tham số thỏa mãn hệ thức cho trước, cho học sinh, cụ thể một số dạng như sau:

Dạng 1: Các nghiệm thỏa mãn một biểu thức đối xứng (tức là khi ta thay hai nghiệm cho nhau thì biểu thức vẫn không thay đổi)

Dạng 2: Dựa vào   ( ')là bình phương một tổng hoặc một hiệu, để giải ra các nghiệm x x1, 2

Dạng 3: Kết hợp với định lý Vi-et để giải ra các nghiệm x x1, 2

Dạng 6: So sánh nghiệm của phương trình với số 0 hoặc số 

Dạng 7: Tìm giá trị của tham số để đường thẳng cắt Parabol tại hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn một biểu thức đối xứng với xA và xB

Dạng 8: Tìm giá trị của tham số để đường thẳng cắt Parabol tại hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn một biểu thức không đối xứng với xA và xB

Dạng 9: Tìm giá trị của tham số để đường thẳng cắt Parabol tại hai điểm phân biệt A,B liên quan đến tung độ điểm A, B

Đó chính là những giải pháp mà tôi đã áp dụng có hiệu quả trong quá trình giảng dạy cho học sinh Qua đó đã tạo ra cho các em hứng thú hơn, say mê hơn khi học tập môn toán 9

2 Kiến nghị

Đối với giáo viên: Trước mỗi bài giảng phải nghiên cứu thật kỹ, tham khảo thêm tài liệu, chuẩn kiến thức kỹ năng để xác định đúng mục tiêu bài học, chọn ra phương pháp phù hợp cho từng bài.Cần phải chỉ rõ cho học sinh những ứng dụng của nội dung vừa học vào giải các bài tập; chỉ rõ cách giải quyết các dạng bài tập đó; cho học sinh luyện tập nhiều; đa dạng các hình thức kiểm tra đánh giá bài làm của học sinh Thường xuyên trao đổi với đồng nghiệp đặc biệt

là những đồng nghiệp đang cùng dạy toán 9, để học hỏi và rút ra kinh nghiệm cho bản thân, vận dụng phương pháp dạy học phù hợp với nhận thức của học sinh mình đang trực tiếp giảng dạy, không ngừng đổi mới phương pháp giảng dạy để nâng cao chất lượng dạy và học

Trên đây là một số những phát hiện của tôi trong quá trình giảng dạy bài Định lí Vi-ét cho các em học sinh ở khối 9, mặc dù đã rất cố gắng khi nghiên cứu về vấn đề này, song vẫn không thể tránh hết được những thiếu sót Vì vậy, tôi mong được sự quan tâm góp ý của đồng nghiệp để cho nội dung này được hoàn thiện hơn

Xin chân thành cảm ơn!

XÁC NHẬN CỦA

THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, Nga Sơn, ngày 14 tháng 4 năm 2024

không sao chép nội dung của người khác

Người thực hiện

Mai Thanh Hải