SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA PHÒNG GD & ĐT NGA SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH ÁP DỤNG ĐỊNH LÍ VI-ÉT GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP TÌM GIÁ TRỊ THAM SỐ THỎA MÃN HỆ THỨC CHO TRƯỚC,
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
PHÒNG GD & ĐT NGA SƠN
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
HƯỚNG DẪN HỌC SINH ÁP DỤNG ĐỊNH LÍ VI-ÉT GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP TÌM GIÁ TRỊ THAM SỐ
THỎA MÃN HỆ THỨC CHO TRƯỚC,
CHO HỌC SINH LỚP 9 TRƯỜNG THCS NGA THANH, HUYỆN NGA SƠN”
Người thực hiện: Mai Thanh Hải Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THCS Nga Thanh SKKN thuộc môn: Toán
THANH HÓA NĂM 2024
Trang 2ĐỀ MỤC TRANG
I MỞ ĐẦU: 1
1 Lí do chọn đề tài 1
2 Mục đích nghiên cứu 1
3 Đối tượng nghiên cứu 1
4 Phương pháp nghiên cứu 1
II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: 1
1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 1
2 Thực trạng của vấn đề 1
2.1 Thực trạng của việc dạy định lí Vi-ét 2
2.2 Thực trạng của việc học định lí Vi-ét 2
3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 3
Dạng 1: Các nghiệm thỏa mãn một biểu thức đối xứng (tức là khi ta thay hai nghiệm cho nhau thì biểu thức vẫn không thay đổi) 3
Dạng 2: Dựa vào ( ')là bình phương một tổng hoặc một hiệu, để giải ra các nghiệm x x1, 2 5
Dạng 3: Kết hợp với định lý Vi-et để giải ra các nghiệm x x1, 2 6
Dạng 4: Tính 21x theo x1 và 22x theo x2 dựa vào phương trình ax2bx c 0 8
Dạng 5: Hệ thức bài cho có chứa căn thức và giá trị tuyệt đối 10
Dạng 6: So sánh nghiệm của phương trình với số 0 hoặc số 12
Dạng 7: Tìm giá trị của tham số để đường thẳng cắt Parabol tại hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn một biểu thức đối xứng với xA và xB 14
Dạng 8: Tìm giá trị của tham số để đường thẳng cắt Parabol tại hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn một biểu thức không đối xứng với xA và xB 16
Dạng 9: Tìm giá trị của tham số để đường thẳng cắt Parabol tại hai điểm phân biệt A,B liên quan đến tung độ điểm A, B 17
4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường 19
III KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 19
1 Kết luận 19
2 Kiến nghị 20
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Trang 3I MỞ ĐẦU 1 Lí do chọn đề tài
Trong chương trình môn toán 9 học sinh được làm quen với định lí Đây là một trong những định lí có nhiều ứng dụng trong giải toán, nhưng trong quá trình giảng dạy tôi thấy các em học sinh đang còn hiểu chưa rõ về định lí, cũng như vận dụng định lí vào giải các bài tập đang còn lúng túng, gặp nhiều khó khăn, sai sót
Vi-ét-Để giúp các em hiểu rõ hơn về định lí Vi-ét cũng như ứng dụng định lí để giải các bài toán linh hoạt, tôi đã nghiên cứu rất kỹ về định lí, biên soạn hệ thống bài tập ứng dụng từ nhiều nguồn khác nhau, tham khảo ý kiến góp ý của bạn bè đồng nghiệp, … và đã đúc rút thành sáng kiến kinh nghiệm:
“Hướng dẫn học sinh áp dụng định lí Vi-ét giải một số bài tập tìm giá trị tham số thỏa mãn hệ thức cho trước, cho học sinh lớp 9 trường THCS Nga Thanh, huyện Nga Sơn”
2 Mục đích nghiên cứu
Ôn tập định lí Vi-ét, vận dụng định lí để giải bài tập liên quan đặc biệt là dạng bài tìm giá trị của tham số thỏa mãn hệ thức cho trước; ôn tập lại kiến thức đại số trong chương trình đặc biệt là: kiến thức về phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức, hệ phương trình…; tiếp tục hình thành và củng cố cho học sinh các kĩ năng vận dụng lý thuyết giải các dạng bài tập, kỹ năng biến đổi đại số, kỹ năng trình bày bài, kỹ năng tính toán,…; giải các bài tập từ dễ đến khó trong sách giáo khoa; các tài liệu tham khảo, đặc biệt là các bài toán trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT
Tiếp tục hình thành cho các em tính tích cực, tự giác, chủ động trong học tập; khơi dậy tính cẩn thận, chịu khó, sáng tạo khi giải toán
Giúp học sinh hứng thú hơn trong học tập môn toán và các môn học khác 3 Đối tượng nghiên cứu
Nội dung định lí Vi-ét và các dạng toán có ứng dụng định lí Vi-ét để giải 4 Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp đọc tài liệu: tham khảo thu thập tài liệu Phương pháp tổng kết kinh nghiệm:
+ Nghiên cứu qua thực tế giảng dạy,
+ Nghiên cứu qua trao đổi học hỏi kinh nghiệm từ đồng nghiệp Phương pháp phân tích, tổng hợp và phân dạng bài tập
Phương pháp kiểm tra kết quả chất lượng học sinh
II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm
Định lí là một khẳng định được suy ra từ những khẳng định được coi là đúng; Định lí đóng vai trò như một bài toán tổng quát, thông qua việc học định lí học sinh sẽ được cung cấp rất nhiều những kiến thức cơ bản của bộ môn
Dạy học định lí là một trong các hoạt động cơ bản, quan trọng trong dạy học môn Toán Việc dạy học định lí nhằm cung cấp cho học sinh một hệ thống kiến thức cũng như kỹ năng cơ bản của bộ môn, đây là cơ hội rất thuận lợi để phát triển ở học sinh khả năng tư duy, suy luận,… góp phần phát triển năng lực trí tuệ cho các em.
2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến
Trang 42.1 Thực trạng của việc dạy định lí Vi-ét
Đối với giáo viên, có nhiều khi chỉ giới thiệu định lí, hướng dẫn và yêu cầu học sinh chứng minh định lí đó theo như sách giáo khoa, chính việc làm đó đã không tạo điều kiện cho học sinh phát huy được vai trò và khả năng của bản thân Khi chứng minh định lí chưa gợi được động cơ chứng minh cho học sinh, việc củng cố định lí cho học sinh đang còn sơ sài, chưa phát huy được năng lực của các em
2.2 Thực trạng của việc học định lí Vi-et
Đối với học sinh: Hiểu nội dung định lí và vận dụng định lí vào giải toán là vấn đề khó khăn, không có nhiều thời gian đi sâu khai thác các ứng dụng của định lí nên vận dụng chưa linh hoạt
Không nắm được nội dung các nội dung kiến thức có liên quan, học trước quên sau Kỹ năng vận dụng định lí vào giải các bài toán còn yếu
Khi giải quyết một bài toán cụ thể học sinh lúng túng, không biết cách tìm ra hướng giải quyết, thiếu sự sáng tạo vì các em thiếu kỹ năng giải quyết vấn đề
Trong nhiều năm, tôi được nhà trường phân công giảng dạy môn toán 9, qua điều tra bằng cách cho học sinh làm bài viết 15 phút, 45 phút, chấm vở bài tập của học sinh, tôi nhận thấy trong bài làm của học sinh có những sai sót như sau:
Ví dụ: Trong một bài kiểm tra 15 phút, kiểm tra ở 2 lớp 9
Cho phương trình: x24x m 1 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x1, 2
thỏa mãn: 22
12101 22020.xxx x
Kết quả thu được như sau:
Loại Giỏi Khá Trung bình Yếu Kém Lớp Số lượng SL % SL % SL % SL % SL %
9A 35 2 5.71 5 14.29 12 34.29 11 31.43 5 14.29 9B 35 2 5.71 6 17.14 14 40.00 10 28.57 3 8.57 Tổng 70 4 5.71 11 15.71 26 37.14 21 30.00 8 11.43
3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
Trong chương trình Toán 9, Định lí Vi-ét được phát biểu như sau:
Nếu x1,x2 là hai nghiệm của phương trình: ax2bx c 0a0 thì
1.2.
acx x
Vận dụng nội dung định lí này để giải một số dạng bài tập sau:
Dạng 1: Các nghiệm thỏa mãn một biểu thức đối xứng (tức là khi ta thay hai nghiệm cho nhau thì biểu thức vẫn không thay đổi)
a
Trang 5+ Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt: 0
0( ' 0)
Bước 2: Áp dụng định lí Vi-et ta có 1 2
acx x
Bước 3: Biến đổi hệ thức bài cho làm xuất hiện x1x2 và x x1 2;sau đó thay (1) vào hệ thức vừa biến đổi, ta được phương trình chứa tham số; giải phương trình này sau đó đối chiếu giá trị của tham số với điều kiện ở bước 1 và kết luận Chú ý một số phép biến đổi thường gặp:
12(12) 31 2(12)xxxxx x xx
Giải: - Ta có a1; b2( ' 1); bc m 3.
- Điều kiện để phương trình có hai nghiệm là: 0
' 0
+ a 1 0 m
+ ' 1 1.(2m 3) 04m0m4.
- Áp dụng định lí Vi-et ta có: 1212
xxx xm
- Theo bài ra ta có: 3322
()9m xxx x
Vậy m 0.
Trang 6Ví dụ 2: Cho phương trình x2mx2m 4 0.Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 thỏa mãn : x1 x2 3.
Giải: - Ta có a1; b m c; 2m4.
- Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt là: 0
0
+ a 1 0 m
+ (m)24.1.(2m4) 0 m28m16 0 (m4)2 0 m4.
- Áp dụng định lí Vi-et ta có: 1212
xxmx xm
- Theo bài ra ta có: x1 x2 3.
121221 21221 221 22(24) 2 24xxxxx xxxx xx xmm m
acP x x
1 0 m
33 40( 5)4.1.(2) 0
25 0 m
2 0
4 m
- Áp dụng định lí Vi-et ta có: 1212
xxx xm
- Theo bài ra:
x x và 12
00xx
Trang 7Giải: - Ta có a1; b 2 ( 'm b m c m); 24.
- Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt là:
0' 0
1 0 m1 0 m4 0 m()1.(4) 0
1 22
x
Trang 8- Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt là:
0' 0
1 0 m 1 0 m
10 1.21 0
Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt:
111 2 ; 211 2.x mmm x mm
- Theo bài ra có: x1 3x2
Trường hợp 1: Xét x12 ; m x22thay vào x1 3x2ta được: 2m 3.2m 3.
Trường hợp 2: Xét x12; x22mthay vào x1 3x2ta được: 23.2 1.3mm
3m
Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt:
acx x
Bước 3: Giải hệ gồm hệ thức bài cho và hệ thức (1) hoặc (2) để tìm ra x x1, 2có chứa tham số
Trang 9Bước 4: Thay x x1, 2 vào một trong hai hệ thức (1) hoặc (2) để giải ra giá trị của tham số và kết luận
b Ví dụ minh hoạ
Ví dụ1: Cho phương trình: x22(m1)x2m 5 0(với m là tham số) Tìm các giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x x x1, (2 1x2) thỏa mãn: x x1 2 2.
Giải: - Ta có a1; b 2(m1) ( 'b (m1)); c 2m5.
- Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt là: 0
' 0
2
- Áp dụng định lí Vi-et ta có 1212
2(1) (1).25 (2)
xxmx xm
Giải: - Ta có a1; b 1; c m 1.
- Điều kiện để phương trình có hai nghiệm là: 0
0
*a 1 0 m
* ( 1)2 4.1.( 1) 0 5 4 0 54
ĐKXĐ: 1
1 22
x
Trang 10Vớix 2 3 thay vào (1) ta được: 1111
*a 1 0 m
* ( 3)24.1.(m2 1) 04m2 5 0 m
- Áp dụng định lí Vi-ét ta có: 1221 2
3 (1) 1 (2)
c Bài tập áp dụng (Xem phần phụ lục) Dạng 4: Tính 2
x theo x1 và 22
x theo x2 dựa vào phương trình ax2bx c 0 a Lý thuyết
Bước 1: Liệt kê các hệ số và tìm điều kiện để phương trình có nghiệm (hoặc có hai nghiệm phân biệt)
Bước 2: Áp dụng định lí Vi-et ta có 1 2
acx x
Bước 3: -Vì x x1, 2 là nghiệm của phương trình ax2bx c 0 nên ta có:
Trang 11axbx caxbx caxbxcaxbxc
Trường hợp 1: Hệ thức mới không còn hạng tử bậc hai đối vớix x1, 2
Trường hợp 2: Hệ thức mới là phương trình bậc hai(có thể có bậc cao hơn) đối vớix x1, 2
- Giải phương trình(hoặc hệ phương trình) tìm ra giá trị của tham số và kết luận b Ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1: Cho phương trình: x24x m 5 0 (*)
a Tìm giá trị của tham số m để phương trình (*) có nghiệm
b Tìm giá trị của tham số m để phương trình (*) có hai nghiệm dương x x1, 2
11 2212242
xx xxxx Giải:
a Vì a 1 0nên phương trình (*) là phương trình bậc hai, điều kiện để phương trình có nghiệm là: ' 0( 2)21.(m 5) 0m1 0m1.
Vậy với m 1thì phương trình (1) có nghiệm b - Ta có a1; b 4 ( 'b 2);c m 5.
- Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm dương x x1, 2là:
1 2
1 0 1 0 ' 0
1( 2)1.(5) 0
4 0
55 0
P x xa
- Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: 121 2
4 (1)5 (2)
xxx xm
xxmxxm Thay (4) và (2) vào (3) ta được:
1 4.1.( 12) 49 049 7x4,x3
x xP
đạt giá trị nhỏ nhất Giải: - Ta có a1;b2 ( 'm bm c); 2m1.
Trang 12- Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm phân biệtx x1, 2là: 2
1 0 0
10 1.' 01.( 21) 0
2 (1)21 (2)
xxmx xm
- Vì x1 là nghiệm của phương trình x22mx2m 1 0 nên ta có:
2P PP P PP
P= 1 441 0()2GTNN cuûakhimmmTM
Vậy GTNN của P 1khi 1.2m
Ví dụ 3: Cho phương trình: x2(m2)x m 3 0(với m là tham số) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1, 2thỏa mãn: 22
Giải: - Ta có a1; b (m2); c m3.
- Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x x1, 2là: 0
0
1 0
16 0 (2)4.1.(3) 0
- Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: 121 2
2 (1)3 (2)
xxmx xm
- Theo bài ra có: 22
1(2)20 (3)xmxm
- Vì x1 là nghiệm của phương trình x2(m2)x m 3 0 nên ta có:
Trang 13Bước 2: Áp dụng định lí Vi-et ta có 1 2
acx x
Bước 3: Ở bước này cần chú ý một số nội dung sau:
- Nếu muốn bình phương hai vế ta cần thêm điều kiện phụ là: hai vế lớn hơn hoặc bằng 0
- Nếu có x1,x2 ta cần thêm điều kiện phụ là: 12
1 2
x x
- Nếu có M xét 2 2
MM rồi đưa về dạng đối xứng
- Nếu có chứa GTTĐ cần chú ý trường hợp 2 nghiệm trái dấu để từ đó phá dấu GTTĐ
42(21)4.1.(1) 0
21(1)1
xxmx xm
Trang 14- Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x x1, 2là: 0
0
- Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: 121 2
xxx xm
Với x1 1x2 4 thay vào x x1 2 m1ta được 1.4 m1m5(TM)
Vậy m 5.
Ví dụ 3: Cho phương trình x2(2m5)x2m 1 0.Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1, 2mà biểu thức: Mx1x2 đạt giá trị nhỏ nhất Giải: - Ta có a1; b (2m5); c2m1.
- Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x x1, 2là: 0
0
1 0
41221 0(23)12 0 (25)4.1.(21) 0
25 (1)21
xxmx xm
acx x
Bước 3: Ở bước này cần chú ý một số nội dung sau:
Nếu phương trìnhcó hai nghiệmx x1, 2và có thêm một trong các điều kiện sau, thì ta có thể thay thế bằng điều kiện tương đương
Trang 15
1 0
820 0(4)4 0 (2)4.1.(4) 0
- Áp dụng định lí Vi-et ta có 1212
xxmx xm
1 0 m
44 0(2)0 m 21.(44) 0
- Áp dụng định lí Vi-et ta có: 121 2
244xxmx xm
- Theo bài ra có:
Trang 16 là giá trị cần tìm
Ví dụ 3: Cho phương trình x2(m3)x m 1 0.Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1, 2thỏa mãn: 1 3 2.
2x x
Giải: - Ta có a1;b (m3);c m 1.
- Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt là: 0
0a
1 0 m
213 0(1) 12 0 m34.1.(1) 0
- Áp dụng định lí Vi-et ta có: 121 2
3(1)1xxmx xm
Bước 2: - Tìm điều kiện để d cắt P tại hai điểm phân biệt A và B
Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt 0( ' 0)
- Áp dụng định lí Vi-et ta có: 1 2
acx x
a
Trang 17Bước 3: Biến đổi biểu thức đối xứng với xA và xB để làm xuất hiện xAx x xB; A B, sau đó thay (1) vào biểu thức vừa biến đổi(vớix xA, B là hai nghiệm của phương trình (*))
Một số điều kiện và phép biến đổi cần nhớ
- Hai điểm A và B nằm bên phải trục Oy khi x xA, B cùng dương - Hai điểm A và B nằm bên trái trục Oy khi x xA, B cùng âm
- Hai điểm A và B nằm cùng một phía trục Oy khi x xA, B cùng dấu - Hai điểm A và B nằm về hai phía trục Oy khi x xA, B trái dấu - Công thức tính yA theo xA và tính yB theo xB :
b Ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng ( ) :d y2x m 3và Parabol ( ) :P y x2.Tìm mđể d cắt Parabol P tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x x1, 2 thỏa mãn: 2
1221 216.xxx x
Giải:
- Xét phương trình hoành độ giao điểm của( )d và ( )P :
223223 0 (*)xx m xx m
- Điều kiện để ( )d cắt ( )P tại hai điểm phân biệt là phương trình(*) có hai nghiệm phân biệt ' 0( 1) 1.(2m 3) 04m0m4.
- Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: 1212
2 (1).3 (2)xx
x xm
- Theo bài ra ta có: 2
1221 216xxx x (3)
Vì x1là nghiệm của phương trình (*) nên ta có:
Ví dụ 2: Cho Parabol ( ) :P y x2 và đường thẳng ( ) :d y2(m1)x 3 2m.Tìm m
để d cắt P tại hai điểm phân biệt có hoành độ x x1, 2 là độ dài hai cạnh của một hình chữ nhật có độ dài đường chéo bằng 10.
Giải: