skkn cấp tỉnh nâng cao chất lượng thi tốt nghiệp qua việc dạy các bài toán dạng tổng quát

Điểm thi tốt nghiệp môn toán của các em học sinh trong nhà trường những năm trước đây chưa cao so với nhiều trường trong tỉnh.. Từ những câu hỏi cụ thể thường xuất hiện trong các đề thi

MỤC LỤC

1 Mở đầu 2

1.1 Lí do chọn đề tài 2

1.2 Mục đích nghiên cứu 2

1.3 Đối tượng nghiên cứu 2

1.4 Phương pháp nghiên cứu 2

1.5 Những điểm mới của SKKN 2

2 Nội dung của sáng kiến kinh nghiệm 3

2.1.Cơ sở lí luận 3

2.2.Thực trạng của vấn đề 3

2.3.Giải pháp và tổ chức thực hiện 4

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm 14

3 Kết luận và đề xuất 15

3.1 Kết luận 15

3.2.Ý kiến đề xuất 15

1 Mở đầu 1.1 Lí do chọn đề tài.

Điểm thi tốt nghiệp môn toán của các em học sinh trong nhà trường những năm trước đây chưa cao so với nhiều trường trong tỉnh Qua thống kê hàng năm tại nhà trường thì trên 50% số học sinh của nhà trường có điểm thi môn toán ở

Môn Toán là một trong những môn học có vị trí quan trọng ở bậc trung học phổ thông Trong những năm gần đây, xu thế chung của thế giới là đổi mới phương pháp dạy học nhằm phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo của học sinh trong quá trình dạy học

Hiện nay môn toán đang sử dụng phương pháp thi trắc nghiệm nên việc nhận dạng câu hỏi, nắm vững cách giải để đưa ra đáp số nhanh và chính xác là rất quan trọng và cần thiết

Vì vậy dạy và học như thế nào để đạt được hiệu quả cao nhất phát huy được tính chủ động tích cực của học sinh phù hợp với yêu cầu đổi mới của phương pháp dạy học đó là nội dung tôi muốn đề cập tới trong đề tài của mình

1.2 Mục đích nghiên cứu.

Việc nghiên cứu thanh công đề tài này sẽ giúp cho giáo viên giảng dạy môn toán ở các trường THPT có những kinh nghiệm và có những cách thức tạo cho học sinh có hứng thú, học tập bộ môn đạt hiệu quả cao

Việc đưa ra cách giải cho một bài toán dạng tổng quát sẽ giúp cho học sinh có cái nhìn sâu hơn và nhanh chóng đưa ra được lời giải khi làm một bài tập cụ thể

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Từ những câu hỏi cụ thể thường xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp THPT hàng năm để hình thành một bài toán tổng quát giúp các em có thể giải nhanh chóng những câu hỏi của dạng toán đó

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

Nghiên cứu các lí luận cơ bản về phương pháp dạy học; về vấn đề tạo hứng thú và tăng tính tích cực cho học sinh trong việc học môn toánXây dựng cơ sở lí thuyết

Khảo sát, điều tra từ thực tế dạy học các lớp 12B2 và 12B5

Tổng hợp, so sánh, đúc rút kinh nghiệm

1.5 Những điểm mới của SKKN

Một số dạng toán của các chuyên đề trong các tài liệu luyện thi TNTHPT được viết dưới dạng bài tập cụ thể Trong mỗi bài tập này chỉ có lời giải chi tiết mà chưa có sự phân tích, khái quát, tổng hợp và thuật toán giải cho các bài tập dạng này Đề tài này đưa ra cách giải của những bài toán dạng tổng quát

2 Nội dung của sáng kiến kinh nghiệm.

2.1 Cơ sở lí luận.

Căn cứ vào định hướng đổi mới của phương pháp dạy học môn Toán trong giai đoạn hiện nay đã được xác định là “ Phương pháp dạy học Toán trong nhà

hình thành và phát triển năng lực tự học, trau dồi các phẩm chất linh hoạt, độc lập, sáng tạo của tư duy”

Theo phương hướng đổi mới phương pháp dạy học này, giáo viên phải là người tổ chức, điều khiển; phát huy tính tích cực chủ động trong lĩnh hội tri thức toán học của học sinh Còn học sinh là chủ thể nhận thức, đòi hỏi phải có hứng thú trong học tập, từ đó mới tích cực tự học, tự rèn luyện và có được các năng lực cần thiết trong học tập cũng như trong lao động sản xuất

Do đặc điểm tâm sinh lí ở lứa tuổi học sinh cũng có những khác biệt Học sinh dễ bị phân tán, mất tập trung chú ý; những kiến thức thoáng qua, không hấp dẫn lôi cuốn các em sẽ mau quên; vốn kiến thức và hiểu biết còn ít; khả năng diễn đạt còn hạn chế; nhất là với những học sinh yếu, nhận thức chậm các em dễ

tự ti, không dám mạnh dạn phát biểu ý kiến của mình do sợ sai vv Nếu giáo viên nói với các em là việc học đối với các em là một bổn phận, các em phải học bài, phải làm bài tập về nhà vv thì hiệu quả mang lại cũng không nhiều vì ở lứa tuổi này các em chưa thể nhận thức được nhiều về tầm quan trọng của việc học Muốn nâng cao được chất lượng thi tốt nghiệp THPT môn Toán thì bên cạnh việc nhận thức được bổn phận của mình, học sinh cần có sự hứng thú, ham thích học môn toán và rất cần có cả sự tích cực ham học hỏi nữa

Với mong muốn góp phần nhỏ vào việc nâng cao chất lượng thi tốt nghiệp THPTQG môn Toán tại trường THPT Triệu Sơn 5 nói riêng và toàn thể các

trường THPT nói chung tôi đã nghiên cứu và đưa ra biện pháp “ nâng cao chất

lượng thi tốt nghiệp qua việc dạy các bài toán dạng tổng quát’’.

2.2 Thực trạng của vấn đề.

2.1.1.Thuận lợi:

Bản thân đã nhiều năm trực tiếp dạy lớp 12 và dạy ôn thi tốt nghiệp THPT, tiếp xúc được nhiều đối tượng học sinh, hiểu và nắm được tâm lí học sinh Đồng thời qua nhiều năm giảng dạy nên đã tích luỹ được một số kinh nghiệm trong việc hướng dẫn và giúp đỡ học sinh học tập môn toán ở bậc trung học phổ thông

Bản thân đã nhận thức đúng ý nghĩa, tầm quan trọng của việc học toán nên tìm hiểu kĩ mục tiêu, nội dung bài dạy rồi soạn bài, lên lớp truyền đạt đầy đủ những nội dung mà mục tiêu yêu cầu, kết hợp nhiều phương pháp, hình thức tổ chức thích hợp nhằm phát huy tính tích cực của học sinh

Trong giảng dạy tôi có mở rộng nội dung bài dạy cho phù hợp với nhiều đối tượng học sinh, học tập thực hành phù hợp để ôn tập kiến thức và kĩ năng trong từng giai đoạn học tập của học sinh

2.1.2.Khó khăn:

Ở một số tiết học, học sinh chưa thật sự hiểu bài, kĩ năng làm bài ở một số

em còn hạn chế, các em còn hiểu bài một cách máy móc; một số em chưa có

Trong lớp học nếu chúng ta chỉ thực hiện những tiết dạy đại trà thì không thể đáp ứng được cho từng đối tượng học sinh, nếu chỉ quan tâm đến học sinh yếu kém thì học sinh khá giỏi dễ chán không phát huy hết khả năng học của các em, bản thân giáo viên không kịp chương trình Do đó làm thế nào để nâng cao chất lượng giảng dạy trong việc ôn thi tốt nghiệp cho học sinh lớp 12 là công việc mà mỗi giáo viên dạy lớp 12 cần phải làm

2.3 Giải pháp và tổ chức thực hiện.

Khi thực hiện các buổi dạy ôn thi tốt nghiệp cho học sinh thì với mỗi dạng toán tôi đều đặt vấn đề với học sinh bằng cách đưa ra các câu hỏi của dạng toán

đó đã xuất hiện trong đề thi tốt nghiệp THPT của những năm trước đây Từ đó các em thấy được dạng câu hỏi này thường xuyên xuất hiện trong đề thi hàng năm Vì thế các em sẽ tích cực hơn, chú ý hơn trong việc tiếp thu thuật toán giải dạng toán đó

Sau khi đưa ra các câu hỏi cụ thể của dạng toán tôi sẽ tổng hợp các dạng câu hỏi thường gặp của dạng toán đó Sau đó nhấn mạnh cách giải của bài toán tổng quát để học sinh nắm được quy trình, thuật toán giải của bài toán đó

Và thực tế ở trường đối với những học sinh có học lực trung bình thì các dạng toán liên quan đến hình học không gian ở lớp 11 hầu hết các em không làm được các câu hỏi này

Chẳng hạn dạng toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là một trong những dạng toán mà năm nào cũng xuất hiện trong đề thi tốt nghiệp THPT từ năm 2015 đến nay Khi dạy ôn tập dạng câu hỏi này tôi làm như sau:

Mở đầu bằng việc đưa ra những câu hỏi tính khoảng cách trong đề thi

những năm gần đây

Câu 1 (Câu 25 của mã đề 101 năm 2018) Cho hình chóp S ABC có đáy là

tam giác vuông đỉnh B, AB a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy vàSA 2a Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng

A 2 5

5

3

a C 2 2

3

5

a

Câu 2 (Câu 40, mã đề 101 năm 2019) Cho hình chóp S ABCD. có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBD bằng

A 21

14

a B 21

7

a C 2

2

a D 21

28

a

Câu 3 (Câu 48 của mã đề 103 năm 2020) Cho hình lăng trụ đứngABC A B C ' ' '

có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và AA' 2 a Gọi M là trung điểm

của AA (tham khảo hình bên) Khoảng cách từ Mđến mặt phẳng'

 AB C'  bằng

A 57

19

a B 5

5

a C 2 5

5

a D 2 57

19

a.

Câu 4 (Câu 36 của mã đề 102 năm 2021) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam

giác vuông cân tại C AC,  3a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy Khoảng cách

từ B đến mặt phẳng ( SAC ) bằng

A 3

2a B 3 2

Câu 5 (Câu 34 của mã đề 101 năm 2022) Cho hình hộp chữ nhật

   



ABCD A B C D có AB a BC ,  2a và AA  3a (tham khảo hình bên) Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và A C  bằng

Câu 6 (Câu 34 của mã đề 101 năm 2023) Cho hình hộp chữ nhật

' ' ' '

ABCD A B C D có AB 1, BC 2, AA ' 2 (tham khảo hình bên)

Khoảng cách giữa hai đường thẳng AD' và DC' bằng

3

Từ những dạng câu hỏi này tôi đã khái quát và đưa ra cách giải cho bài toán tổng quát sau đây

Bài toán: Cho một hình chóp có đỉnh S Gọi H là hình chiếu vuông góc của

đỉnh S lên mặt phẳng đáy

1/ Tính khoảng cách từ điểm hình chiếu H đến mặt bên (SAB) của hình chóp 2/ Tính khoảng cách từ điểm M thuộc mặt đáy của hình chóp đến mạt bên

(SAB) của hình chóp

3/ Tính khoảng cách từ điểm M không thuộc mặt đáy của hình chóp đến mặt

bên (SAB) của hình chóp

4/ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SA (cạnh bên) và đường

thẳng CD (cạnh đáy)

Bài toán tổng quát được xây dựng trên hình chóp đỉnh S Khi gặp bài toán về lăng trụ thì ta thể quy về bài toán về hình chóp bằng cách chọn một hình chóp có

đáy là một đáy của lăng trụ còn đỉnh S thuộc đáy còn lại của lăng trụ.

Cách giải:

1/Ta thực hiện các bước sau đây.

Bước 1: Dựng HI  AB tại I

Bước 2: Dựng HK  SI tại K

 d(H,(SAB) = HK

*Chứng minh: SH  (HAB)

AB  SHAB  (SHI)AB  HK

Ta có HK  AB và HK  SI nên

HK  (SAB) Do đó d(H,(SAB) = HK

*Cách tính HK

Tam giác SHI vuông tại H và HK  SI

HK SH HI Ta tính SH và

HI từ đó tính được HK

S

H

A

B I K

Điểm H là hình chiếu vuông góc của đỉnh hình chóp lên mặt đáy của hình

chóp và sau đây gọi tắt là điểm hình chiếu Việc xác định điểm hình chiếu và

tính khoảng cách từ điểm hình chiếu đến một mặt phẳng đi qua đỉnh S là rất quan trọng và cần thiết vì các bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng hoặc khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau sẽ quy về bài toán

tính khoảng cách từ điểm hình chiếu.

2/Ta thực hiện các bước sau đây.

Bước 1: Tính d H( ,(SAB))

(Giải như câu 1 của bài toán)

Bước 2: Nối M với H Khi đó.

* Nếu MH // AB MH // (SAB) 

d(M,(SAB)) = d(H,(SAB))

* Nếu MH không song song với AB

Gọi I là giao điểm của MH với AB

Khi đó d d H SAB(M,(( ,(SAB))))MI HI Ta tính tỉ

số MI

HI và từ đó suy ra d(M,(SAB))

B

A M

H

S

H

A

B M

I

3/ Ta thực hiện các bước sau đây.

Bước 1: Tính d H( ,(SAB))

(Giải như câu 1 của bài toán)

Bước 2: Nối M với điểm hình chiếu H.

* Nếu MH // (SAB)  d(M,(SAB)) =

d(H,(SAB))

* Nếu MH không song song với (SAB)

Đường thẳng MH cắt (SAB) tại Q Khi

đó d d H(M,(SAB))( ,(SAB)) MQ HQ

S

H

A

B M

Q

Tuy nhiên trong nhiều bài toán việc xác định giao điểm Q gặp khó khăn hoặc

có khi xác định được giao điểm Q nhưng không tính được tỉ số MQ HQ

Trong trường hợp này ta sẽ tính d(M,(SAB)) thông qua d(N,(SAB)) với N là một điểm thuộc mặt đáy của hình chóp

Bước 1: Tính d H( ,(SAB))

(Giải như câu 1 của bài toán)

Bước 2: Tính khoảng cách từ điểm

N thuộc mặt đáy đến (SAB)

(Giải như câu 2 của bài toán)

Bước 3: Nối M với N.

* Nếu MN // (SAB)  d(M,(SAB)) =

d(N,(SAB))

* Nếu MN không song song với

(SAB) Đường thẳng MN cắt (SAB)

tại Q Khi đó ta có

(M,(SAB))

( ,(SAB))

S

H

A

B

N

M

Q

Lưu ý: Việc chọn điểm N ở bước 2 phải đảm bảo tính được d N SAB( ,( )) và tính được tỉ sốMQ NQ

4/ Ta thực hiện các bước sau đây.

Bước 1: Qua A ta dựng một đường

thẳng sonng song với CD ( giả sử

đường thẳng vừa dựng là AR

Bước 2: Nối S với R Khi đó ta có.

CD // AR nên CD // (SAR) Do đó

(SA,CD) (CD,( AR)) d(G, ( AR))

(Với G là một điểm bất kì nằm trên

đường thẳng CD, ta chọn điểm G

sao cho thuận lợi trong việc tính

d( ,(SAR))G Lúc này bài toán quay

về bài toán tính khoảng cách từ một

điểm đến một mặt phẳng ( như các

câu đã xét ở trên)

A

D

C R

S

G

Lưu ý:

* Trong trường hợp tổng quát Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b Ta thực hiện các bước sau đây.

Bước 1: Tìm mp(P) chứa đường thẳng

b và cắt đường thẳng a tại điểm A

Bước 2: Qua A ta dựng đường thẳng c

song song với đường thẳng b

Bước 3: Dựng mp(Q) chứa hai đường

thẳng cắt nhau a và c Khi đó

/ /( )

b Q  d a b( , ) d b( ,(Q)) d(B,(Q)) 

(Với B là một điểm bất kì nằm trên

đường thẳng b, ta chọn điểm B sao cho

thuận lợi trong việc tính d(B,(Q)))

P

a

c

Q

b

* Nếu tìm được mặt phẳng ( )R chứa đường thẳng b và vuông góc với đường thẳng a, và mặt phẳng ( )R cắt đường thẳng a tại điểm A

Khi đó để tính d a b( , ) thì ngoài cách

làm như trên ta còn có thể làm như

sau

Từ điểm A ta kẻ AH b H b(  )

( , )

d a b AH

  Tính đoạn AH để suy

a

b A

H

Qua bài toán tổng quát trên ta thấy:

Khi giải một bài tập cụ thể về tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng thì điều quan trọng là xác định xem điểm đó thuộc hay không thuộc mặt đáy của hình chóp và sau dó chi việc giải theo thuật toán như trên

Bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau sẽ quy về bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng thông qua một bước dựng hình

Áp dụng để giải các câu hỏi trong đề thi những năm gần đây.

Câu 1 (Câu 25 của mã đề 101 năm 2018) Cho hình chóp S ABC. có đáy là tam giác vuông đỉnh B, AB a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA 2a

Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng

A 2 5

5

3

3

5

a

Lời giải

A

B

C

S

H

Ta có BC AB BC SAB

BC SA









Kẻ AH SB Khi đó AH BC  AH SBC

 AH là khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC

AH SA  AB  a a  a

2

Vậy ta chọn đáp án A

Câu 2 (Câu 40, mã đề 101 năm 2019) Cho hình chóp S ABCD. có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBD bằng

A 21

14

a B 21

7

a C 2

2

a D 21

28

a

Lời giải

Gọi H là trung điểm AB Suy ra SH ABCD.

Ta có    

2 ,

d H SBD BH

d A SBD d H SBD BA

Gọi I là trung điểm OB, suy ra HI OA|| (với O là tâm của đáy hình vuông)

a

HI  OA Lại có BD HI BD SHI

BD SH









Vẽ HK SI  HK SBD Ta có 1 2 12 12 21

14

a HK

Suy ra  ,   2  ,   2 21

7

a

d A SBD  d H SBD  HK 

Vậy ta chọn đáp án B

Câu 3 (Câu 48 của mã đề 103 năm 2020) Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C   

có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và A A  2a Gọi M là trung điểm của A A (tham khảo hình vẽ bên) Khoảng cách từ M đến mặt phẳng AB C  bằng

A 57

19

5

a C 2 5

5

a D 2 57

19

a

Lời giải

Gọi I BM AB và K là trung điểm AC

Ta có    

,

d M AB C d B AB C

BI BB

d B AB C





Xét tam giác BB K có 2 2 2  2 2

19

2

a BH

BH B B BK  a a   

 

 

d M AB C  

Vậy ta chọn đáp án A

Câu 4 (Câu 36 của mã đề 102 năm 2021) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam

giác vuông cân tại C AC,  3a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy Khoảng cách

từ B đến mặt phẳng ( SAC ) bằng

A 3

2a B 3 2

Lời giải

Ta có ABC vuông cân tại C nên BCAC(1) và ACBC 3a

Mặt khác SA (ABC)  SABC(2)

Từ (1) và (2)suy ra BC (SAC)  d B SAC( ,( )) BC 3a

Vậy ta chọn đáp án C

Câu 5 (Câu 34 của mã đề 101 năm 2022) Cho hình hộp chữ nhật

   



ABCD A B C D có AB a BC ,  2a và AA  3a (tham khảo hình bên) Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và A C  bằng