một số ứng dụng của đa thức trong đại số tổ hợp

Một chuỗi lũy thừa hình thức trênRlà một biểu thứccó dạnga = ax =Mot so ung dung cua da thuc trong dai so to hopMot so ung dung cua da thuc trong dai so to hopMot so ung dung cua da thuc

Trang 1

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐẶNG THỊ QUỲNH

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐA THỨCTRONG ĐẠI SỐ TỔ HỢP

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Mot so ung dung cua da thuc trong dai so to hopMot so ung dung cua da thuc trong dai so to hopMot so ung dung cua da thuc trong dai so to hopMot so ung dung cua da thuc trong dai so to hop

52Wednesday, June 12, 20246:10:51 PM6:10:51 PM52Wednesday, June 12, 20246:10:51 PM6:10:51 PM52Wednesday, June 12, 20246:10:51 PM6:10:51 PM

Mot so ung dung cua da thuc trong dai so to hopMot so ung dung cua da thuc trong dai so to hopMot so ung dung cua da thuc trong dai so to hopMot so ung dung cua da thuc trong dai so to hopMot so ung dung cua da thuc trong dai so to hopMot so ung dung cua da thuc trong dai so to hopMot so ung dung cua da thuc trong dai so to hopMot so ung dung cua da thuc trong dai so to hop

52Mot so ung dung cua da thuc trong dai so to hopWednesday, June 12, 2024

Trang 2

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐẶNG THỊ QUỲNH

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐA THỨCTRONG ĐẠI SỐ TỔ HỢP

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa họcTS TRẦN NGUYÊN AN

Trang 3

Mục lục

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 3

1.1 Đa thức và nghiệm của đa thức 3

1.2 Chuỗi lũy thừa hình thức 6

Chương 2 Đa thức quân cờ và ứng dụng 10

2.1 Đa thức quân cờ 10

2.2 Ứng dụng trong tổ hợp 18

2.2.1 Hoán vị và xáo trộn 18

2.2.2 Hoán vị với vị trí cấm 19

2.2.3 Bài toán đếm số hoán vị với khối ô vuông Latinh 29

Chương 3 Một số ứng dụng khác của đa thức trong tổ hợp 323.1 Lũy thừa đa thức, chuỗi lũy thừa hình thức và ứng dụng 32

3.2 Nghiệm của đa thức và bài toán phủ bảng các ô vuông 42

KẾT LUẬN 47

Tài liệu tham khảo 47

Trang 4

MỞ ĐẦU

Đa thức có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau của toánhọc cũng như trong giải toán sơ cấp Luận văn tìm hiểu một số ứngdụng của đa thức trong giải toán tổ hợp.

Mục đích chính thứ nhất của luận văn là nghiên cứu về đa thứcquân cờ (rook polynomial) và ứng dụng trong giải toán tổ hợp Lý thuyếtcác quân cờ (Rook Theory) mà đối tượng của nó là đa thức quân cờ đượcnghiên cứu đầu tiên bởi Kaplansky và Riordan vào năm 1946 ([10]), vàsau đó là các mở rộng của Goldman ([6], [7]) với sự ứng dụng của nhiềuphương pháp tổ hợp hiện đại từ những năm 1970 Trong những nămgần đây Haglund đạt được nhiều thành công trong việc gắn kết đa thứcquân cờ với nhiều lĩnh vực khác như bài toán đếm ma trận trên trườnghữu hạn, lý thuyết biểu diễn nhóm Lý thuyết các quân cờ cũng có quanhệ gần gũi với nhiều ứng dụng trong lý thuyết đồ thị, người ta cũng đãvận dụng đa thức quân cờ cùng với cơ học lượng tử và đại số Weyl Còntrong tổ hợp đếm nói riêng, đa thức quân cờ liên quan đến hàng loạtcác bài toán đếm về hoán vị, hoán vị với vị trí cấm, hình vuông Latin, Luận văn trình bày một số tính chất của đa thức quân cờ và vậndụng vào tìm hiểu một số bài toán đếm cơ bản, bài toán đếm số hoán vị,hoán vị cấm (Derangement problem, Ménage problem), bài toán đếmliên quan đến hình vuông Latin Luận văn trình bày định nghĩa, mộtsố tính chất cơ bản và một số ứng dụng của đa thức quân cờ theo [13,Chapter 2], [3] và [2] Một số ứng dụng và ví dụ tham khảo theo [11],[12], [5] và [2].

Mục đích chính thứ hai tìm hiểu một số ứng dụng khác của đathức trong giải toán tổ hợp Trong rất nhiều ứng dụng luận văn chọntìm hiểu ứng dụng trong bài toán đếm khi khai triển lũy thừa đa thức,

Trang 5

ứng dụng nghiệm của đa thức liên quan đến bài toán phủ bảng các ôvuông Đa thức là trường hợp đặc biệt của chuỗi lũy thừa hình thức.Luận văn trình bày khai triển chuỗi lũy thừa hình thức ứng dụng trongbài toán đếm (Bài toán chia kẹo Euler) Bên cạnh việc tổng hợp một sốkiến thức liên quan, luận văn trình bày ứng dụng qua hệ thống các vịdụ được lấy từ các kỳ thi học sinh giỏi của các nước, IMO, Bay AreaMath Circle, Olympic sinh viên,

Luận văn được chia làm ba chương Chương 1 trình bày một sốkiến thức cơ sở về đa thức, chuỗi lũy thừa hình thức Chương 2 trìnhbày về đa thức quân cờ, các tính chất phổ biến và ứng dụng trong mộtsố bài toán tổ hợp Chương 3 trình bày một số ứng dụng khác của đathức trong một số bài toán đếm, bài toán phủ bảng các ô vuông.

Trong suốt quá trình làm luận văn, tôi nhận được sự hướng dẫnvà giúp đỡ tận tình của TS Trần Nguyên An Tôi xin được bày tỏ lòngbiết ơn sâu sắc đến thầy.

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cô giảng dạy lớpCao học toán khoá 12 đã truyền thụ đến cho tôi nhiều kiến thức và kinhnghiệm nghiên cứu khoa học.

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng 01 năm 2021

Đặng Thị Quỳnh

123docz.net - File bi loi xin lienhe: lethikim34079@hotmail.com

Trang 6

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong suốt chương này, luôn giả thiếtRmột vành giao hoán cóđơn vị.

1.1 Đa thức và nghiệm của đa thức

Định nghĩa 1.1.1 Một đa thức một biến với hệ số trênRcó thể đượcviết dưới dạngf (x) = anxn + an−1xn−1 + + a1x + a0,trong đó

a0, , an ∈ Rvàxlà một kí hiệu gọi là biến (hay biến không xác định).Ta cũng viết đa thức này dưới dạngf (x) =

aixi vàP

bixi là bằngnhau nếuai = bi với mọii.

Kí hiệu làR[x]là tập các đa thức một biếnxvới hệ số trênR.Chof (x) = anxn+ an−1xn−1+ + a1x + a0 ∈ R[x] Ta gọia0 là hệ sốtự do củaf (x) Nếuan 6= 0thìnđược gọi là bậc củaf (x)và được kíhiệu làdeg f (x) Trong trường hợp này,an được gọi là hệ số cao nhấtcủaf (x) Nếuan = 1thìf (x)được gọi là đa thức dạng chuẩn (monicpolynomial) Ta không định nghĩa bậc cho đa thức0 Nếuf (x) = a ∈ R

thìf (x)được gọi là đa thức hằng Các đa thức bậc1được gọi là đa thứctuyến tính.

Định nghĩa 1.1.2 Với hai đa thứcf (x) =P

aixi vàg(x) =P

123docz.net - File bi loi xin lienhe: lethikim34079@hotmail.com

Trang 7

Khi đóR[x]là vành giao hoán với phép cộng và nhân đa thức Vành

R[x]được gọi là vành đa thức một biếnxvới hệ số trongR Phần tửkhông của vành là đa thức0, phần tử đơn vị là đa thức1.

Để định nghĩa đa thức nhiều biến trước hết ta định nghĩa đơnthức Mỗi bộnsố nguyên không âmi = (i1, · · · , in) ∈Nn cho ta mộtđơn thứcxi1

Một đa thức là một tổng của hữu hạn từ Nếuu = axi vàv = bxi

là hai từ đồng dạng thì ta có thể ước lược tổng của chúng:

Trang 8

Hai đa thứcP

bixilà bằng nhau nếuai = bivới mọii ∈

Nn Bậc của một từ khác0là bậc của đơn thức của từ đó Bậc (hay bậctổng thể) của đa thứcf (x1, , xn) 6= 0,kí hiệu bởideg f (x1, , xn),

là số lớn nhất trong các bậc của các từ khác không củaf (x1, , xn).

Ta không định nghĩa bậc cho đa thức0 Đa thức hằng là đa thức0hoặcđa thức bậc0 Các đa thức bậc1được gọi là đa thức tuyến tính Đathức thuần nhất bậcm(hay một dạng bậcm) là một đa thức mà cáctừ khavs không của nó đều có bậcm.Đa thức thuần nhất bậc hai đượcgọi là dạng toàn phương Với mỗik ∈ {1, , n},bậc theo biếnxk củamột đa thức là số lớn nhất trong các số mũ củaxk xuất hiện trong cáctừ của đa thức đó.

Định nghĩa 1.1.3 Kí hiệuR[x1, , xn]là tập các đa thứcnbiến

x1, , xn với hệ số trongR Vớii, j ∈Nn,trong đói = (i1, , in)và

được gọi là vành đa thứcnbiếnx1, , xn với hệ số trongR.

Nhận xét 1.1.4 Bằng quy nạp, vành đa thứcnbiếnR[x1, , xn]vớihệ số trongRchính là vành đa thức một biếnxn với hệ số trong vành

R[x1, , xn−1].

Định nghĩa 1.1.5 Giả sửRlà vành con của vànhS,vàf (x) = anxn+· · · + a1x + a0 là một đa thức trongR[x] Với mỗi phần tửα ∈ S, takí hiệuf (α) = anαn + · · · + a1α + a0 ∈ S Phần tửα ∈ Sđược gọi

Trang 9

là nghiệm củaf (x)nếuf (α) = 0 Trong trường hợp này ta cũng nóiα

là một nghiệm của phương trìnhf (x) = 0trênS Tìm các nghiệm của

f (x)trênSđược gọi là giải phương trình đa thứcf (x) = 0trênS.

Định lý 1.1.6 (Định lý Bézout) ChoRlà một miền nguyên và đa thức

f (x) ∈ R[x], α ∈ R Điều kiện cần và đủ đểαlà một nghiệm củaf (x)

Nếuk = 1, ta gọiαlà nghiệm đơn hay còn gọi nghiệm, nếuk = 2, tagọiαlà nghiệm kép.

Bổ đề 1.1.8 Chof (x) ∈ R[x].Phần tửa ∈ Rlà nghiệm bộikcủa

f (x)nếu và chỉ nếuf (x) = (x − a)kg(x)vớig(x) ∈ R[x]vàg(a) 6= 0.

Định lý 1.1.9 ChoRlà một miền nguyên Cho0 6= f (x) ∈ R[x]và

a1, a2, , ar ∈ Rlà các nghiệm phân biệt củaf (x).Giả sửai là nghiệmbộiki củaf (x)vớii = 1, 2, , r.Khi đó ta có

f (x) = (x − a1)k1(x − a2)k2 (x − ar)krg(x)

trong đóg(x) ∈ R[x]vàg(ai) 6= 0với mọii = 1, , r.

Hệ quả 1.1.10 ChoRlà một miền nguyên vàf (x) ∈ R[x]là một đathức khác0.Khi đó số nghiệm củaf (x), mỗi nghiệm tính với số bội củanó, không vượt quá bậc của củaf (x).

1.2 Chuỗi lũy thừa hình thức

Định nghĩa 1.2.1 Một chuỗi lũy thừa hình thức trênRlà một biểu thứccó dạnga = a(x) =

Trang 10

bjxj là hai chuỗi lũy thừa hình thức thìa(x) = b(x)khi và chỉ khi

aj = bj với mọij Tập các chuỗi lũy thừa hình thức trênRkí hiệu là

Nếu vớin ∈N, chuỗi lũy thừa hình thứca(x)cóan 6= 0vàaj = 0

cho mọij > n,thìa(x)chính là đa thức bậcnvà được đơn giản viếtlà

ajxj haya0 + a1x + + anxn.Hơn thế nữa, nếuai = 0cho một

inào đó của tập0, 1, 2, , n − 1, thì số hạngaixi cũng không cần viết;còn nếuai = 1cho mộtinào đó của tập{0, 1, 2, , n − 1} ,thìaixi

được đơn giản viết làxi Phần tử0(x) =

0xj, mà ta đơn giản kíhiệu là0, là phần tử0củaR[[x]].

Mệnh đề 1.2.2 Chuỗia(x) ∈ R[[x]]là khả nghịch khi và chỉ khia0

bjxj Khi đóa(x)b(x) = 1khi và chỉ

Trang 11

khi hệ phương trình sau có nghiệm:

a0b0 = 1,a0b1 + a1b0 = 0,a0b2 + a1b1 + a2b0 = 0,

a0nb + a1bn−1 + + anb0 = 0,

cho mọi số nguyên dươngn.

Vớiz ∈ Rvà0 6= n, k ∈N, đa thức(1 − zxn)k là khả nghịch theoMệnh đề 1.2.2 Ta có một số tính chất sau.

Trang 12

Ta chứng minh đẳng thức (ii) bằng quy nạp theok Vớik = 1,

đẳng thức (ii) chính là đẳng thức (i) Giả sử đẳng thức (i) đã được chứngminh là đúng chok = t ≥ 1khi đó,

(1 − zxn)t+1 =1

(1 − zxn)t.11 − zxn

t + j − 1j

=(t − 1) + j + 1j

=(t + 1) + j − 1j

Trang 13

Định nghĩa 2.1.1 Một bàn cờ là một tập con của N∗ ×N∗ Ta đánhnhãn các dòng từ dưới lên trên, các cột từ trái sang phải bởi1, 2, 3,

và(i, j)ký hiệu ô vuông (ô cờ) ở dòngi, cộtj.

Đôi khi để đơn giản ta có thể bỏ các chỉ số cột dòng và hiểu mộtbàn cờ là tập hợp các ô vuông bất kì, với đánh nhãn các dòng từ trênxuống dưới, các cột từ trái qua phải.

Hai bàn cờA, Bđược gọi là độc lập nếu không có ô nào củaAvà

Bchung hàng hoặc chung cột Ví dụ như các bàn cờ bên dưới thìAvà

Blà hai bàn cờ độc lập.

Trang 14

Quđn cờ (rook), còn gọi lă quđn xe có thể đặt văo câc ô của băn cờ.Quđn cờ di chuyển theo hăng ngang hoặc cột dọc, có thể nhảy qua câcô trín cùng hăng, cùng cột không thuộc băn cờ Hai quđn cờ được gọilă không ăn nhau (non attacking rooks) nếu chúng không chung hănghoặc chung cột.

Định nghĩa 2.1.2 Cho băn cờC, miền ô vuôngSđược gọi lă mộtblock của băn cờCnếu thỏa mên câc điều kiện sau:

(i) Với bất kì hai dòngi, i0 chứa ôSvă cộtjkhông chứa ô năo củaS

thì hai ô(i; j)vă(i0; j)hoặc cùng lă ô vuông củaChoặc không cùng lẵ vuông củaC

(ii) Với bất kì hai cộtj, j0 chứa ô củaSvă dòngikhông chứa ô năo của

Sthì hai ô(i; j)vă(i; j0)hoặc cùng lă ô vuông củaChoặc không cùnglă ô vuông củaC.

Nhận xĩt 2.1.3 NếuClă băn cờ gồm câc ô vuông thì mỗi ô vuôngcủaCđược xem lă một block củaC.

Ví dụ 2.1.4 Xĩt băn cờ như hình vẽ dưới Khi đó bảng ô vuôngS

được xâc định gồm câc ô ở câc vị trí(2; 2);(3; 2);(3; 3);(3; 4)( ô được

tô) lă một block củaC.

Trang 15

Định nghĩa 2.1.5 Cho bàn cờCbất kì gồmmhàng vàncột, đa thứcquân cờ của bàn cờClàR (C, x) = r0(C) + r1(C) x + + rk(C) xk+ =

(i) Hệ sốr0(C) = 1vì có một cách đặt0quân cờ lên bàn cờCvàr1(C)

là số ô vuông củaCvì đây là cách đặt một quân cờ trênC.

(ii) NếuCcómdòng vàncột thìrk(C) = 0với mọi số nguyênk >min {m, n}.

Ví dụ 2.1.7 Cho bàn cờ như hình vẽ sau.

cách chọnkdòng trong

mdòng và có

cách chọnkcột trongncột Với dòng thứ nhất trong

kdòng đã chọn ta cókcách đặt quân cờ trênkcột đã chọn, với dòng

Trang 16

thứ hai ta cók − 1cách đặt quân cờ trênk − 1cột còn lại (trừ cột đãchứa quân cờ ở dòng đã chọn đầu tiên) Tiếp tục cách chọn như vậy,suy ra số cách đặtkquân cờ trên bàn cờ sao cho các quân này khôngăn nhau làrk(C) =

Theo cách làm trên, việc tìm đa thức quân cờ của bàn cờ như hìnhchữ nhật, hình vuông là tương đối đơn giản, nhưng đối với bàn cờ phứctạp ta cần nhiều phép biến đổi trên các dòng và cột để đưa về các bàncờ đơn giản hơn để tính Các tính chất sau đây cho phép chúng ta thựchiện được điều này Sau đây luận văn trình bày một số tính chất quantrọng của đa thức quân cờ.

Mệnh đề 2.1.10 Cho bàn cờC GọiCd, Cc lần lượt là bàn cờ tươngứng có được khi đổi chỗ hai dòng bất kì và hai cột bất kì củaC Khi đó

R (C, x) = R (Cd, x) = R (Cc, x)

Chứng minh Vì với mỗi cách đặtkquân cờ trên bàn cờCthì trên mỗidòng và cột chứa quân cờ có duy nhất1quân cờ củaCtrongkquânnên với các phép đổi hai dòng cho nhau hay hai cột cho nhau ta vẫnnhận được một cách sắp đặt cho các bàn cờCd, Cc Do đó ta có điềucần chứng minh.

Mệnh đề 2.1.11 NếuA, Blà hai bàn cờ độc lập thì

R (A ∪ B, x) = R (A, x) R (B, x)

Chứng minh Sắp xếpkquân cờ trên bàn cờA ∪ B, córs(A)cách sắp

s (1 ≤ s ≤ k)quân cờ trongAvà córk−s(B)cách sắpk − squân còn

Trang 17

lại trongBnên số cách sắpkquân cờ trên bàn cờA ∪ Blà

Mệnh đề 2.1.12 ChoClà bàn cờ các ô vuông có blockSnằm trênm

dòng vàncột, đặtp = min {m; n} Với mỗi0 ≤ k ≤ p, kí hiệuDk(S)

là bàn cờ có được từ bàn cờCsau khi thực hiện các bước sau:(i) Bỏ tất cả các ô củaS.

(ii) Bỏ tất cả các ô thuộckdòng tùy ý trong sốmdòng chứa các ô của

(iii) Bỏ tất cả các ô thuộckcột tùy ý trong sốncột chứa các ô củaS.

Khi đó, đa thức quân cờ của bàn cờClà

Chứng minh VìSlà một block nên với hai bộ bất kì mỗi bộ gồm

k (0 ≤ k ≤ p)ô vuông chứakquân cờ không ăn nhau trongSthì nhữngbàn cờ mới sinh ra vẫn không thay đổi khi thực hiện các phép bỏ đi tấtcả các ô củaS, kdòng vàkcột chứa các ô này, đó chính là bàn cờ

Dk(S) Do đó nếu sắptquân cờ trên bàn cờC, thì córk(S)cách sắpxếpk (0 ≤ k ≤ t)quân cờ vàoStương ứng với mỗi cách sắp xếp nàycórt−k(Dk(S))cách sắp xếp các quân còn lại vào bàn cờDk(S) Vậysố cách sắptquân cờ trên bàn cờClàrt(C) =

Trang 18

Hệ quả 2.1.13 Choalà ô vuông bất kì trongC GọiΥlà bàn cờ cóđược từCbằng cách xóa đi hàng cột chứaa, vàXlà bàn cờ có được từ

Cbằng cách xóa đi ôa Khi đó, ta cóR (C, x) = R (X, x) + xR (Υ, x)

Ví dụ 2.1.14 Tìm đa thức quân cờ của bàn cờC

Lời giải Đánh dấu ô ở vị trí(2; 2)như hình vẽ thìR (C, x) = R (A, x)+xR (B, x) Trong đó các bàn cờA, Bđược đánh dấu các ô và biến đổinhư hình vẽ sau

Trang 19

Suy ra:

R (A, x) = R (D, x) + xR (E, x)

= (1 + x)2 1 + 4x + 2x2+ x (1 + x) (1 + 2x)= 1 + 7x + 14x2 + 10x3 + 2x4.

Lời giải GọiM2n là bàn cờ tạo bởi các ô được tô, vớik = 1, 2, , n, gọi

Ak là bàn cờ tạo bởi 4 ô có vị trí như sau

(k; k), (k; 2n − k + 1), (2n − k + 1; k), (2n − k + 1; 2n − k + 1).

Khi đóA1,A2, , Anlà các bàn cờ vuông kích thước2×2đôi một độc lập.Đa thức quân cờ của bàn cờM2n làR (M2n, x) = 1 + 4x + 2x2n.Ví dụ 2.1.17 Có bao nhiêu cách sắp xếp8quân cờ lên bàn cờ8 × 8ôsao cho không có 2 quân cờ nào ăn nhau và không có quân cờ nào nằmtrên một trong hai đường chéo của bàn cờ ?

Trang 20

Lời giải Số cách xếp8quân cờ lên bàn cờ sao cho không có hai quâncờ nào ăn nhau là8!(có8cách xếp con thứ nhất ở hàng1; có7cáchxếp con thứ2ở hàng2; ; cuối cùng còn1cách xếp con thứ8ở hàng

8) GọiSlà tập hợp các ô vuông nằm trên hai đường chéo của bàn cờ.GọiAi là tập hợp các cách sắp xếp8quân cờ ở hàng thứinằm trong

S Vậy số cách xếp8quân cờ trên bàn cờ là

Theo nguyên lí loạitrừ ta có:

1113 16

ĐặtSk là tập hợp các ô củaSmang số4k − 3;4k − 2;4k − 1;4k Ta có

RS(x) = RS1(x) RS2(x) RS3(x) RS4(x)= 1 + 4x + 2x24

= 16x8 + 28x7 + 416x6 + 704x5 + 664x4 + 352x3 + 104x2 + 16x + 1

= 16.7!−104.6!+352.5!−664.4!+704.3!−416.2!+128.1!−

16 = 35568 Do đó số cách sắp xếp8quân cờ lên bàn cờ8 × 8sao chokhông có hai quân cờ nào ăn nhau là8! − 35568 = 4752.

Trang 21

2.2 Ứng dụng trong tổ hợp

2.2.1 Hoán vị và xáo trộn

Trước hết ta nhắc lại khái niệm hoán vị.

Định nghĩa 2.2.1 Cho số nguyên dươngn Một hoán vịσcó độ dàin

là một song ánh từ tập{1, 2, , n}đến chính nó.

Kí hiệuSn là tập hợp tất cả các hoán vị có độ dàin Hoán vị

σ ∈ Sn sao choσ (i) 6= ivới mọiithoả mãn1 ≤ i ≤ nđược gọi là mộtxáo trộn của tập{1, 2, , n}.

Số tất cả các hoán vị đã biết làPn = n! Vớiσ ∈ Sn thỏa mãn

σ (i) = jthì ta đặt tương ứng một quân cờ ở vị trí(i; j)(tức dòngicột

j) trên bàn cờ ô vuôngn × n Như vậy mỗi hoán vịσcó độ dàinchotương ứng với một cách đặtnquân cờ sao cho không ăn lẫn nhau trênbàn cờ ô vuông kích thướcn × n.

Mệnh đề 2.2.2 Cho bàn cờ ô vuông kích thướcn × n Số cách đặtn

quân cờ sao cho không ăn lẫn nhau trên bàn cờ đó làn!.

Ta cũng dễ dàng nhận thấy mỗi xáo trộn có độ dàinlà cách đặt

nquân cờ trên bàn cờ ô vuôngn × nsao cho không có hai quân cờ nào“ăn nhau” và không có quân cờ nào nằm trên đường chéo chính của bàncờ Bây giờ ta sẽ tìm tất cả các xáo trộnσcủa tập{1,2, , n}.

Bổ đề 2.2.3 (Bài toán bì thư) Cónbì thư vànthùng thư được đánhsố từ1, 2, , n Bỏ ngẫu nhiên các bì thư vào các thùng thư sao cho mỗithùng thư chỉ chứa một bì thư Khi đó xác suất để xảy ra mọi bì thư đềucho vào thùng thư sai địa chỉ là

1 −11!+

3!+ (−1)

n 1n!.

Chứng minh GọiXlà tập hợp tất cả các cách bỏ bì thư vào thùng thư(mỗi thùng thư chứa đúng một bì thư) vàAk là tập các cách bỏnbìthư vàonthùng thư (mỗi thùng thư chứa đúng một bì thư) mà bì thư

Trang 22

thứkbỏ vào thùng thư có đánh sốk Khi đóX \ (A1 ∪ ∪ An)là tậpcác cách bỏnbì thư vàonthùng thư (mỗi thùng thư chứa đúng một bìthư) sao cho không có bì thư nào gửi đúng địa chỉ ĐặtN = |X|, ta có

N = n! ĐặtN = |X \ (A1 ∪ ∪ An)| ĐặtNk là số cách mà cókbìthư bỏ đúng địa chỉ Ta có

Nk =X

|Ai1 ∩ ∩ Aik| =kn

(n − k)! =n!k!.

2.2.2 Hoán vị với vị trí cấm

Cho bàn cờ hình chữ nhậtCkích thướcm × nvà tậpM 6=∅

thỏa mãnM ⊂ C Tìm số hoán vịσ ∈ Sn sao choσ (i) 6= jvới mọi

(i; j) ∈ M Hoán vịσthỏa mãn yêu cầu bài toán được gọi là hoán vịvới vị trí cấm, tậpMgọi là tập cấm của bàn cờC, ô(i; j) ∈ Mgọilà vị trí cấm trênC Như vậy bài toán trên chính là tìm số cách sắpn

quân cờ trên bàn cờCsao cho không có hai quân cờ nào ăn nhau vàkhông có quân cờ nào ở các vị trí cấm, đó chính là hệ sốrn(C\M ) Tuynhiên, để tìm số cách sắp đặt các quân cờ này rất phức tạp, trong khiđó nếu xét bàn cờ tạo bởi các ô bị cấmMthì ta dễ dàng tìm được cáchệ số của đa thức quân cờR (M, x)từ đó suy ra số cách sắp theo yêucầu qua định lí sau đây

Định lý 2.2.5 Cho bàn cờ hình chữ nhậtCkích thướcm × nvớiMlàtập hợp các vị trí cấm Đặtp = min {m, n}, gọirk(M )là số cách đặt

Trang 23

kquân cờ không ăn nhau trên bàn cờM, khi đó

Chứng minh Với1 ≤ k ≤ p, ta xét đặtkquân cờ trênC Giả sử cós

dòng trong bàn cờCchứa các ô bị cấm làd1, d2, , ds Với mỗiithoảmãn1 ≤ i ≤ s ≤ min {m, n}, gọiAi(k)là cách sắpkquân cờ trên bàncờCsao cho có quân cờ trên dòngdi ở vị trí cấm vàti là số ô vuông bịcấm trên dòngdi Khi đó số cách sắpkquân cờ trên bàn cờC\Mlà

rk(C\M ) = rk(C)−

(m − k)! (n − k)! (k − 1)!−

Trường hợp 1 Vớip ≥ k ≥ sxét mỗiAi(k)ta cóti cách đặt quâncờ ở vị trí cấmdi, vàk − 1quân cờ còn lại nằm trênk − 1ô vuông củaC không chứa cột và dòng của quân cờ nằm trên ô bị cấmdi nên số cáchxếpk − 1quân cờ này là

m − 1k − 1

n − 1k − 1

Tương tự ta cũng cóX

Trang 24

Vì vậyrk(C\M ) =P

(−1)`r`(M ) (m−k)!(n−)!(k−`)!(m−`)!(n−`)! .Vìrj(M ) = 0vớimọij > snên có được(1)và(2).

Trường hợp 2 Với1 ≤ k < sthì thực hiện tương tự chứng minhnhư trên nhưng ở (*) chú ý rằngAi1 (k) ∩ Ai2(k) ∩ ∩ Ai` (k) =∅ nếu` > knên cũng chỉ xét các tậpAi` với` ≤ kvà từ đó ta cũng có(1)và

Hệ quả 2.2.6 Cho bàn cờ vuôngn × nvàMlà tập hợp các vị trí cấm.Gọirk(M )là số cách đặtkquân cờ không ăn nhau trên bàn cờM, khiđórk(C\M ) =

rn(C\M ) =P

(−1)`(n − `)!r`(M )

Ví dụ 2.2.8 Tìm cách đặt5quân cờ không ăn nhau trên bàn cờC

kích thước5 × 5bên dưới các vị trí cấm là các ô vuông được tô.

Lời giải Gọi B là bàn cờ tạo bởi các ô bị cấm, đánh dấu ô(2; 2)ta thựchiện biến đổi như hình bên dưới.

Trang 25

Ví dụ 2.2.9 Có bao nhiêu cách bố trí 6 học sinha, b, c, d, e, fvào6

ghế được đánh số thứ tự1, 2, 3, 4, 5, 6biết rằng học sinhakhông thíchngồi ghế số3và ghế số4, học sinhbkhông thích ngồi ở các ghế1, 2;các học sinhc, dkhông thích ngồi ở các ghế2, 3; các học sinhe, fngồiở vị trí nào cũng được?

Lời giải Số cách sắp xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán là cách sắp6quâncờ vào bàn cờCsao cho không có hai con nào ăn lẫn nhau và không cóquân cờ nào ở vị trí cấm( các ô được tô) trong bàn cờ sau

Trang 26

Bàn cờMđược tạo bởi các ô bị cấm là bàn cờ trong ví dụ ở phần trước,ta có đa thức quân cờ của bàn cờ làR (M, x) = 1+8x+18x2+12x3+2x4.Do đó số cách bố trí cho các học sinh làr6(C\M ) = 6! − 5!.8 + 4!.18 +3!.12 + 2!.2 = 124.

Đối với bàn cờ vuông, các vị trí cấm trên bàn cờ nếu rơi vào trườnghợp đặc biệt như trên hai đường chéo của bàn cờ hoặc các ô ở các vịtrí theo quy luật nhất định, một cách tổng quát, ta có thể tính được đathức quân cờ của bàn cờ tạo bởi các ô bị cấm từ đó suy ra số cách đặtcác quân cờ trên bàn cờ sao cho chúng không ăn lẫn nhau và không cóquân cờ nào ở vị trí ô cấm Minh họa cho điều này ta xét ví dụ dướiđây.

Ví dụ 2.2.10 (Derangement Problem) Tìm số cách sắp xếp chỗ ngồichonngườiP1,P2, , Pn vào dãy gồmnghếA1,A2, , An sao cho ngườithứPi không ngồi ở vị trí thứAi, với mọii = 1, 2, , n.

Lời giải Bài toán đưa về tìm số cách sắp xếp các quân cờ lên bàn cờvuôngCkích thướcn × nvới tập cấm là

M = {(1, 1) , (2, 2) , , (n, n)}