phép biến đổi z và một vài ứng dụng

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNGTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠMLÊ THỊ PHƯƠNGPHÉP BIẾN ĐỔI ZVÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNGLUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌCluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop lu

Trang 1

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNGTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LÊ THỊ PHƯƠNG

PHÉP BIẾN ĐỔI Z

VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop

luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop

luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop

luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop

Trang 2

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNGTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LÊ THỊ PHƯƠNG

PHÉP BIẾN ĐỔI Z

VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNGChuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 8.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Cán bộ hướng dẫn khoa họcTS LÊ HẢI TRUNG

Đà Nẵng, 2023

Trang 3

Trang 4

Trang 5

123docz.net - File bi loi xin lienhe: lethikim34079@hotmail.com

Trang 6

123docz.net - File bi loi xin lienhe: lethikim34079@hotmail.com

Trang 7

1.6 Phương trình sai phân 20

1.6.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp một 20

1.6.2 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai 20

1.6.3 Phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng21CHƯƠNG 2 PHÉP BIẾN ĐỔIZ .25

Trang 8

2.2.6 Tích chập 31

2.2.7 Định lý giá trị ban đầu 32

2.2.8 Định lý giá trị cuối cùng 32

2.3 Phép biến đổiZngược 34

2.3.1 Định nghĩa phép biến đổiZngược 34

2.3.2 Một số phương pháp tìm phép biến đổiZngược 36

CHƯƠNG 3 MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾNĐỔIZ 40

3.1 Giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng 40

3.2 Giải phương trình sai phân Volterra kiểu tích chập 44

3.3 Tính tổng chuỗi 46

KẾT LUẬN 49

TÀI LIỆU THAM KHẢO 50

Trang 9

MỞ ĐẦU

1 Lý do lựa chọn đề tài

Phép biến đổi tích phân là một phép tính toán được hình thành từnhững năm nửa cuối thế kỷ XIX Về mặt lịch sử, khái niệm biến đổi tíchphân được bắt nguồn từ những nghiên cứu rất nổi tiếng về lý thuyết khaitriển một hàm số thành chuỗi hàm lượng giác của Fourier và sau đó đượcphát triển tới tích phân Fourier hay phép biến đổi Fourier Ý nghĩa quantrọng của phép biến đổi tích phân là cung cấp những toán tử hiệu lực đểgiải quyết các bài toán về phương trình vi phân, phương trình sai phânvà phương trình tích phân Hai phép biến đổi tích phân được đánh giárất quan trọng không chỉ trong Toán học mà còn nhiều ngành khoa họckỹ thuật khác, đặc biệt là trong lĩnh vực Vật lý học, đó là phép biến đổiFourier và phép biến đổi Laplace Bên cạnh đó, phép biến đổiZcũng gópphần giải quyết nhiều vấn đề của Toán học Sự xuất hiện đầu tiên củaphép biến đổiZlà vào năm 1730 [6] khi De Moivre giới thiệu khái niệmhàm sinh trong lý thuyết xác suất, sau đó được Laplace mở rộng vào năm1812 Tới năm 1947, Hurewiez giới thiệu phép biến đổiZtrong việc giảiphương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng số Tên gọi “phép biến đổiZ” được đưa ra bởi Ragazzini và Zadeh trong nhóm kiểm soát dữ liệu mẫutại Đại học Columbia năm 1952 [7] Phép biến đổiZlà công cụ hữu íchtrong việc xử lý các mô hình dữ liệu rời rạc Ngày nay, phép biến đổiZđược sử dụng rộng rãi trong các lĩnh vực ứng dụng toán học, xử lý tín hiệukỹ thuật số, lý thuyết điều khiển và kinh tế Các mô hình rời rạc này đượcgiải quyết bởi các phương trình sai phân tương tự như các mô hình liêntục được giải quyết bởi phương trình vi phân Phép biến đổiZđóng vaitrò quan trọng đối với việc giải phương trình sai phân giống như tầm quantrọng của phép biến đổi Laplace trong việc giải phương trình vi phân Vớinhững lý do trên, được sự hướng dẫn của TS Lê Hải Trung, tôi chọn đề

Trang 10

tài “Phép biến đổiZvà một vài ứng dụng” để hoàn thành luận văn tốtnghiệp khóa đào tạo Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích.

2 Mục đích nghiên cứu

Mục tiêu của đề tài là nghiên cứu về phép biến đổiZvà một vài ứngdụng Để đạt được mục tiêu trên đề tài sẽ nghiên cứu những nội dung sau:- Trình bày một số khái niệm chuẩn bị cho việc nghiên cứu phép biếnđổiZ.

- Phép biển đổiZ.

- Một vài ứng dụng của phép biến đổiZ.

- Nội dung của đề tài được chia thành 3 chương:Chương 1: Kiến thức cơ sở

Chương 2: Phép biển đổiZ

Chương 3: Một vài ứng dụng của phép biến đổiZ3 Đối tượng nghiên cứu

Nghiên cứu về định nghĩa, tính chất cơ bản của phép biến đổiZvà mộtvài ứng dụng.

4 Phạm vi nghiên cứu

Phép biến đổiZ, phép biến đổiZngược, và một vài ứng dụng trongviệc giải phương trình sai phân.

5 Phương pháp nghiên cứu

Trong luận văn có sử dụng các kiến thức liên quan đến các lĩnh vực:Giải tích, Đại số tuyến tính, Lý thuyết phương trình sai phân, Lý thuyếtphương trình vi phân,

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Đề tài này có thể sử dụng như một tài liệu tham khảo dành cho sinhviên ngành Toán và những đối tượng có chuyên ngành liên quan.

7 Cấu trúc luận văn

Trang 11

Luận văn được chia thành 3 chương:Chương I KIẾN THỨC CƠ SỞ1.1 Hàm biến phức

1.2 Không điểm và cực điểm1.3 Tích phân phức

1.4 Chuỗi lũy thừa1.5 Lý thuyết thặng dư1.6 Phương trình sai phânChương II PHÉP BIẾN ĐỔIZ2.1 Định nghĩa và ví dụ

2.2 Một số tính chất cơ bản2.3 Phép biến đổiZngược

Chương III MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔIZ3.1 Giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng

3.2 Giải phương trình sai phân Volterra3.3 Tính tổng chuỗi

Trang 12

KIẾN THỨC CƠ SỞ

Nội dung chương này trình bày về các kiến thức cơ sở của Lý thuyếthàm biến phức và chủ yếu được tham khảo từ tài liệu [1], [2], [3], [4].1.1 Hàm biến phức

1.1.1 Hàm liên tục

Giả sử hàmw = f (z)được cho trên tập hợpD ⊂C

Định nghĩa 1.1.1 (i) Hàmf (z)được gọi là liên tục (hay C - liên tục)tại điểmz0 ∈ Dnếu:

Nhận xét 1.1.3 Từ tính liên tục đều của hàmfsuy ra hàmfliên tục.Tuy nhiên, điều ngược lại nói chung không đúng.

Ví dụ 1.1.4 Hàmf (z) = 1z liên tục trênD = {z ∈C: 0 < |z − z0| < 1}nhưng không liên tục đều trên đó.

Thật vậy, lấyε = 1, với mọiδ > 0tồn tạin ∈N sao chon > 1δ (hayδ > n1 Chọnz = n1, z′ = 2n1 ta có:

|z − z′| =

<1n< δnhưng

|f (z) − f (z′)| =

= |n − 2n| = n > 1 = ε.Điều đó, chứng tỏ rằngf (z)không liên tục đều trênD.

Trang 13

Định lí 1.1.5 Cho hàmf (z) = f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y)

(i) Hàmf (z)liên tục tại điểmz0 = x0 + iy0 khi và chỉ khiu(x, y)vàv(x, y)liên tục tại điểm(x0, y0).

(ii) Nếu hàmf (z)liên tục thì hàm|f (z)|cũng liên tục.Chứng minh.(i)Giả sử hàmf (z)liên tục tại điểmz0 Ta có:

|u(x, y) − u (x0, y0)|⩽|f (z) − f (z0)| < ε

khi|z − z0| < δ Nhưng|z − z0| < δkhi đồng thời có|x − x0| < √δ2 và|y − y0| < √δ

2, do đó hàmu(x, y)liên tục Tương tựv(x, y)liên tục Ngượclại, nếuuvàvlà các hàm liên tục thì hàmfliên tục.

(ii)Phần thứ hai của định lý được suy từ bất đằng thức:||f (z)| − |f (z0) ||⩽|f (z) − f (z0)|

1.1.2 Hàm chỉnh hình

Định nghĩa 1.1.6 Cho hàm phứcf (z)xác định trên tập mởΩ Hàmf (z)được gọi là hàm chỉnh hình tại điểmz0 ∈ Ωnếu tồn tại giới hạn củabiểu thức:

Từ đó, ta suy ra đa thứcP (z) = a0 + a1z + · · · + anzn chỉnh hình trên

Trang 14

toàn mặt phẳng phức C và:

P′(z) = a1 + 2a2z + · · · + nanzn−1.

Ví dụ 1.1.8 Hàmf (z) = ¯zlà không chỉnh hình Thật vậy:f (z0 + h) − f (z0)

Bằng việc chuyển qua giới hạn trên trục thực và trên trục ảo ta thấygiới hạn của biểu thức cuối không tồn tại khih → 0.

Từ đẳng thức (1.1) ta thấy hàmf (z)là chỉnh hình tạiz0 ∈ Ωnếu vàchỉ nếu tồn tại hằng sốasao cho:

f (z0 + h) − f (z0) − a.h = h · ψ(h),(1.2)vớiψ(h)là một hàm xác định khihđủ nhỏ vàlimh→0ψ(h) = 0 Dĩ nhiên,ta cóa = f′(z0).

Nhận xét 1.1.9 Từ công thức (1.2) ta cũng thấy rằng hàmfchỉnh hìnhtrênΩthìflà liên tục trên đó.

Các kết quả về phép toán đối với đạo hàm của hàm biến phức cũngtương tự như hàm biến thực Ta có mệnh đề sau:

Mệnh đề 1.1.10 Nếu các hàmf, gchỉnh hình trênΩ, thì:(i)f + gchỉnh hình trênΩvà(f + g)′ = f′ + g′

(ii)f.gchỉnh hình trênΩvà(f.g)′ = f′g + f.g′.(iii) Nếug (z0) ̸= 0, thì fg chỉnh hình tạiz0 ∈ Ωvà

= f′.g−f.gg2 ′.Khái niệm khả vi phức khác hẳn với khái niệm khả vi thông thường củahàm hai biến thực Thực vậy, hàmf (z) = ¯ztương ứng như ánh xạ củamột hàm hai biến thựcF : (x, y) 7→ (x, −y) Hàm này khả vi theo nghĩahàm hai biến thực, đạo hàm của nó tại một điểm là ánh xạ tuyến tínhđược cho bởi định thức Jacobian của nó, ma trận vuông cấp hai các đạohàm riêng của các hàm tọa độ Tuy nhiên, ta thấy điều kiện tồn tại cácđạo hàm thực không đảm bảo tính khả vi phức Để hàmfkhả vi phức,ngoài điều kiện khả vi của hàm hai biến thực, chúng ta cần đến điều kiệnCauchy - Riemann được cho bởi định lý dưới đây Để lý giải được điều này,

Trang 15

trước hết ta nhắc lại hàmf (z) = u(x, y) + iv(x, y), trong đó hàmu(x, y)vàv(x, y)xác định trong miềnΩ, được gọi là R2−khả vi tạiz = x + iynếu các hàm của hai biến thựcu(x, y)vàv(x, y)khả vi tại điểm(x, y).Định lí 1.1.11 (Điều kiện Cauchy - Riemann) Để hàmf (z)là C - khảvi tại điểmz ∈ D, điều kiện cần và đủ là tại điểm đó hàmf (z)là R2 -khả vi và thỏa mãn điều kiện Cauchy - Riemann:

∂x(x, y) =∂v

∂y(x, y);∂u

∂y(x, y) = −∂v

Như vậy với cách cho∆z = ∆x + i∆ydần đến 0 giới hạn trên phải tồntại và đều bằng một giá trị làf′(z) Do đó giới hạn ấy phải tồn tại tronghai trường hợp riêng sau:

a)∆z = ∆x + i0 = ∆xvà∆x → 0.b)∆z = 0 + i∆y = i∆yvà∆y → 0.

Trong trường hợp thứ nhất ta có:f′(z) = lim

u(x + ∆x, y) − u(x, y)

v(x + ∆x, y) − v(x, y)∆x

∂x(x, y) + i∂v

∂x(x, y).Trong trường hợp thứ hai ta có:

f′(z) = lim

u(x, y + ∆y) − u(x, y)

v(x, y + ∆y) − v(x, y)i∆y

= lim

u(x, y + ∆y) − u(x, y)

i∆y+ lim∆y→0

v(x, y + ∆y) − v(x, y)∆y

= −i∂u

∂y(x, y) +∂v

∂y(x, y).

Từ đó ta thu được điều phải chứng minh.1.2 Không điểm và cực điểm

Định nghĩa 1.2.1 Giả sửf (z) ∈ H(D) Khi đó:

Trang 16

(i)Điểmz = a ∈ Dđược gọi là không điểm (0-điểm) của hàmf (z)nếuf (a) = 0.

(ii)Điểmz = a ∈ Dđược gọi là không điểm cấpmcủa hàmf (z)nếu:f (a) = f′(a) = · · · = f(m−1)(a) = 0,

f (z) = (z − a)mφ(z),trong đó hàmφchỉnh hình tại điểm a vàφ(a) ̸= 0.

Chứng minh 1 Giả sử điểmalà không điểm cấpmcủa hàmf Theođịnh lý Cauchy-Taylor ta có:

f1(z) =f

(m+1)(a)(m + 1)!+

(a) + f1(z)(z − a)

Trang 17

Áp dụng công thức Leibnitz đối với đạo hàm cấp cao của tích các hàm:(uv)(m) = u(m)v + Cm1 u(m−1)v′ + · · · + Cmm−1u′v(m−1)+ uv(m)và đặtu = (z − a)m, v = φ(z)ta có:

f (z) = (z − a)mφ(z) ⇒ f (a) = 0;

f′(z) = m(z − a)m−1φ(z) + (z − a)mφ′(z) ⇒ f′(a) = 0;· · ·· · · .

f(m−1)(z) = m(m − 1) · · · 2(z − a)φ(z) + Cm−11 m(m − 1) · · · 3(z − a)2 + + (z − a)mφ(m−1)(z), ⇒ f(m−1)(a) = 0.

f(m)(z) =m!φ(z) + Cm1m(m − 1) · · · 2(z − a)φ′(z) + + (z − a)mφ(m)(z) ⇒ f(m)(a) = m!φ(a) ̸= 0,và đó là điều phải chứng minh.

Ví dụ 1.2.3 1) Mọi điểmzk = kπ, k ∈Z đều là không điểm đơn củahàmf (z) = sin zvìf (zk) = sin zk = sin kπ = 0vàf′(zk) = cos zk =cos kπ = (−1)k ̸= 0.

2) Điểmz = 0là không điểm cấp bốn của hàmf (z) = ez2−1−z2 Thậtvậy, khai triển hàm đã cho thành chuỗi Taylor tại lân cận điểmz = 0:

f (z) = ez2 − 1 − z2 =

1 +z

2!+ · · · +z2n

n!+

− 1 − z2=z

3!+ · · · +z2n

n!+ = z4[1

Từ đó suy rằngz = 0là không điểm cấp bốn của hàm đã cho.

Giả sử hàmf (z)chỉnh hình trong lân cận nào đó của điểmz = a, cóthể trừ ra chính điểma Nói cách khác,f (z)chỉnh hình trong vành tròn(lân cận thủng)U (a; r) = {z : 0 < |z − a| < r}˙ Khi đó hai khả năng sauđây có thể xảy ra:

(1) Tìm được sốAsao cho nếu đặtf (a) = Athì hàmf (z)chỉnh hìnhtại điểmz = a, tức là chỉnh hình trong toàn hình trònU (a; r) = {z:

Trang 18

|z − a| < r} Trong trường hợp này điểmz = ađược gọi là điểm bấtthương khử được.

(2) Hàmf (z)chỉnh hình trong vành trònU (a; r) = {z : 0 < |z−a| < r}˙nhưng không chỉnh hình trong hình trònU (a; r) = {z : |z − a| < r} Khiđó điểmz = ađược gọi là điểm bất thường cô lập đơn trị (gọi tắt là điểmbất thường cô lập hoặc đôi khi chỉ gọi là điểm bất thường) của hàmf (z).Định nghĩa 1.2.4 Điểmz0 ∈C được gọi là điểm bất thường cô lập củahàmf (z)nếu tồn tại một lân cận thủng{z ∈C: 0 < |z − z0| < R}củađiểmz0 sao cho tại lân cận này hàmfchỉnh hình nhưng không chỉnh hìnhtạiz0.

Ví dụ 1.2.5 Hàmf (z) = z−11 nhận điểmz = 1là điểm bất thường côlập.

Định nghĩa 1.2.6 Điểm bất thường cô lậpz0 được gọi là:(i) Điểm bất thường bỏ được nếulimz→z0f (z) ̸= ∞;(ii) Cực điểm nếulimz→z0f (z) = ∞;

(iii) Điểm bất thường cốt yếu nếu hàmf (z)không có giới hạn khiz → z0.

Ví dụ 1.2.7 Hàm sốf (z) = sin zz nhận điểmz = 0là điểm bất thườngbỏ được bởi vì:

z→0f (z) = lim

sin zz= 1.

Hàm sốf (z) = 1z nhận điểmz = 0là cực điểm bởi vì:lim

e1z = lim

x→0+ex1 = ∞,lim

z→0f (z) =lim

e1z = lim

x→0−e1x = 0.

Định lí 1.2.8 Điểmz = alà cưc điểm của hàmf (z)khi và chỉ khi điểmđó là không điểm đối với hàmφ(z) = f (z)1 .

Trang 19

Chứng minh Giả sửz = alà cực điểm của hàmf (z) Khi đólimz→a|f (z)| =∞và do đó tồn tại lân cậnU (a; δ) = {z : |z − a| < δ < r}của điểmasao cho trong đóf (z)thỏa mãn bất đẳng thức|f (z)| > 1 Trong lân cậnđó hàmφ(z) = f (z)1 là hàm chỉnh hình có thể trừ ra điểmz = a Nhưngtừ hệ thức:

Nhờ sự tương ứng giữa không điểm và cực điểm được xác lập trong địnhlý trên ta có thể phát biểu định nghĩa về cấp của cực điểm như sau:Định nghĩa 1.2.9 Ta nói rằng điểmz = alà cực điểm cấpm(m⩾1)đối với hàmf (z)nếu điểmz = alà không điểm cấpmđối với hàm f (z)1 .Trong trường hợpm = 1cực điểm được gọi là cực điểm đơn còn khim > 1cực điểm gọi là cưc điểm bội.

Định lí 1.2.10 Điểm bất thường cô lậpz =a của hàmf (z)là cưc điểmcấp m của nó khi và chỉ khi phần chính của khai triển Laurent của hàmf (x)trong lân cận điểmz = achứa không quámsố hạng vàan = 0∀n⩽−(m + 1), còna−m ̸= 0.

Chứng minh Giả sửz = alà cực điểm cấpmcủa hàmf (z) Khi đóz = alà không điểm cấpmđối với hàm f (z)1 Từ đó suy rằng trong lân

Trang 20

cận nào đó củaz = ata có:1

f (z)= Am(z − a)

m + Am+1(z − a)m+1 + ;Am ̸= 0,và do đó:

f (z) =1

Am + Am+1(z − a) + .(1.3)Chuỗi lũy thừaAm+ Am+1(z − a) + biểu diễn một hàm chỉnh hìnhkhông triệt tiêu trong một lân cận nào đó của điểmz = a(vìAm ̸= 0).Do đó:

f (z) =α0

(z − a)m +α1

(z − a)m−1 + (1.5)và do tính duy nhất của khai triển hàm thành chuỗi Laurent, chuỗi ở vếphải của (1.5) là khai triển Laurent của hàmf (z) Thay đổi ký hiệu cáchệ số trong (1.5) bằng cách đặtαn = an−m; n = 0, 12, ta thu được:

f (z) =a−m

(z − a)m + · · · +a−1

z − a+ a0 + a1(z − a) + (1.6)Giả sử trong lân cận nào đó của điểmz = ahàmf (z)có khai triểndạng (1.6), trong đóa−m ̸= 0 Khai triển đó có thể viết lại dưới dạng:

f (z) =a−m+ A−m+1(z − a) +

Từ đó suy ra:1

f (z)= (z − a)

a−m+ a−m+1(z − a) + ,a−m ̸= 0.Bằng cách thay hàm chỉnh hình a 1

−m+a−m+1(z−a)+ bởi khai triển Taylor củanó theo các lũy thừa củaz − ata thu được:

Khai triển trên chứng tỏ rằngz = alà không điểm cấpmcủa hàm f (z)1 .

Trang 21

Do đó theo Định lý 1.2.8 điểmz = alà cực điểm cấpmcủa hàmf (z).1.3 Tích phân phức

Giả sử cho tuyến trơnγ = γ(t) : I →C, I = [a, b] ⊂R và giả sử choánh xạ liên tục:

f : γ(I) →C,

khi đó hàmf [γ(t)]là một hàm liên tục trênI Ta có định nghĩa sau đây:Định nghĩa 1.3.1.

J (f ) =Z b

γ = {z ∈C: |z − a| = r}

do đóγ(t) = a + eir, t ∈ [0, 2π]vàf (z) = (z − a)n, n ∈Z Theo địnhnghĩa ta có:

J (f ) =Z

(z − a)ndz = rn+1iZ 2π

ei(n+1)tdt.Khin ̸= −1thìJ (f ) = 0 Khin = −1thì:

z − a= iZ 2π

dt = 2πiNhư vậy:

J (f ) =

0khin ̸= −1,2πikhin = −1.

Nhận xét 1.3.3 Bằng cách đặtf = u + ivvàdz = dx + idyta thu được:Z

f (z)dz =Z

udx − vdy + iZ

Từ định nghĩa và công thức (1.12) dễ dàng suy ra các tính chất sau đâycủa tích phân trong miền phức.

(i)Tính chất tuyến tính: Nếufk(z), k = 1, 2, , nlà những hàm liên

Trang 22

tục được cho trênγvàak(k = 1, 2, , n)là những hằng số cho trước thì:Z

dz =

fk(z)dz.(ii)Tính chất cộng tính: Giả sử cho hai tuyến trơn:

γ1(t) : [a, c] →C,γ2(t) : [c, b] →C,sao cho:

f (z)dz =Z

f (z)dz +Z

γ : [a, b] →C

sẽ xác định một ánh xạγ1 : u 7→ γ[t(u)] Ánh xạ đó cho ta một tuyếntrơn và nói rằngγ1 thu được từγbằng phép thay thế tham số Một đườngcong tham số là một hàm:

f (z)dz.

Trang 23

Chứng minh Theo định nghĩa ta có:Z

f (z)dz =Z b

f [γ(t)]γ′(t)dt.(1.9)Thực hiện phép thay tham số ở vế phải của (1.9) và theo công thức viphân hàm hợp, ta có:

f (z)dz =Z b1

f [γ1(u)] γ1′(u)du =Z

f (z)dz.

Chúng ta thấy tích phân vế phải không phụ thuộc vào cách chọn phươngtrình tham số đối vớiγ Thật vậy, giả sửz¯là một tham số hóa tương đươngxác định như trên thì:

Z ba

f (z(t)) · z′(t)dt =Z d

f (z(t(s))) · z′(t(s)) · t′(s)ds=

Z dc

f (¯z(s)) · ¯z′(s)dsNếuγlà đường cong trơn từng khúc như trên, thì:

f (z)dz =

Z ak+1ak

f (z(t)) · z′(t)dt.1.4 Chuỗi lũy thừa

Định nghĩa 1.4.1 Chuỗi hàm dạng:X

trong đóz0, ak, k = 0, 1, 2, là những số phức cho trước, được gọi là chuỗilũy thừa Sốz0 được gọi là tâm của chuỗi, các giá trịak, k = 0, 1, 2, được gọi là những hệ số của chuỗi lũy thừa.

Nếu đặtz = t − z0 thì có thể viết chuỗi (1.10) dưới dạngX

Trang 24

Nhưng mọi dãy hội tụ đều bị chặn, nên tồn tại hằng số dươngMsao cho:|anz0n|⩽M,n = 0, 1, 2,

Để ý đến bất đẳng thức này ta có:|anzn| =

⩽M · qn;