BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN GIẢI TÍCH 2 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI - TÍCH PHÂN ĐƯỜNG - TÍCH PHÂN MẶT

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN GIẢI TÍCH 2 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI TÍCH PHÂN ĐƯỜNG TÍCH PHÂN MẶT NHÓM DL11 09 TP HCM, 5 2024 Báo cáo bài tập[.]

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN GIẢI TÍCH 2

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI - TÍCH PHÂN ĐƯỜNG - TÍCH PHÂN MẶT

NHÓM DL11_09

TP.HCM, 5-2024

NỘI DUNG ĐỀ TÀI Ứng dụng của tích phân bội - tích phân đường - tích phân mặt

1 Giới thiệu sơ lượt về các loại tích phân sẽ có trong các ứng dụng bên dưới: kýhiệu, cách tính, các định lý (nếu sử dụng định lý nào thì nêu định lý đó)

2 Giới thiệu các ứng dụng, mỗi loại tích phân trình bày ít nhất 2 ứng dụng Yêucầu nêu được tính thực tế của ứng dụng Nêu cách tính thực tế của ứng dụng đãtrình bày Cho ví dụ cụ thể từng loại ứng dụng (nếu có số liệu thực tế sẽ đượcđiểm cộng) Ví dụ: tích phân đường loại 1 dùng để tính diện tích mặt trụ đứng,

có biên trên nằm trong mặt cong z = f(x, y), biên dưới nằm trên mặt phẳng Oxy.Ứng dụng này có thể dùng để tính diện tích tường không thẳng trong xây dựng(phần tường dưới gầm cầu thang xoắn) Về tính toán có thể mô phỏng hàm số fhoặc đo đạc để dùng tổng Riemann để ước tính diện tích

NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN

CHƯƠNG 1 PHẦN MỞ ĐẦU 6

2 CHƯƠNG 2 PHẦN NỘI DUNG 7

2.1 TÍCH PHÂN BỘI 7

2.1.1 Lý thuyết 7

2.1.1.1 Tích phân kép 7

2.1.1.2 Tích phân bội 3 12

2.1.2 Ứng dụng 15

2.1.2.1 Thể tích vật thể 15

2.1.2.2 Tính khối lượng và tìm khối tâm 18

2.1.2.3 Tính xác suất 21

2.2 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG 25

2.2.1 Lý thuyết 25

2.2.1.1 Tích phân đường loại một 25

2.2.1.2 Tích phân đường loại hai 26

2.2.2 Ứng dụng 29

2.2.2.1 Ứng dụng tích phân loại một 29

2.2.2.2 Ứng dụng tích phân đường loại hai 31

2.3 TÍCH PHÂN MẶT 36

2.3.1 Lý thuyết 36

2.3.1.1 1.Tích phân loại một 36

2.3.1.2 Tích phân mặt loại hai 37

2.3.2 Ứng dụng tích phân mặt 40

2.3.2.1 Ứng dụng tích phân mặt loại một 40

2.3.2.2 Ứng dụng tích phân mặt loại hai 42

3 CHƯƠNG 3 PHẦN TỔNG KẾT 46

4 TÀI LIỆU THAM KHẢO 47

TÀI LIỆU THAM KHẢO 47

Hình 2.1 Đồ thị 7

Hình 2.2 Chia R thành các hình chữ nhật con 8

Hình 2.3 Thể tích khối hộp chữ nhật mỏng 8

Hình 2.4 Thể tích được xấp xỉ bằng cách tính tổng thể tích các hình hộp mỏng 9 Hình 2.5 Miền D bất kỳ tổng quát và miền hình chữ nhật R 12

Hình 2.6 Miền Ω = {(x, y, z) : (x, y) ∈ D, z1(x, y) ≤ z ≤ z2(x, y)}. 14

Hình 2.7 Miền Ω = {(x, y, z) : (x, z) ∈ D, y1(x, y) ≤ y ≤ y2(x, y)}. 15

Hình 2.8 Miền Ω = {(x, y, z) : (y, z) ∈ D, x1(y, z) ≤ x ≤ x2(y, z)}. 15

Hình 2.9 Độ sâu của hồ tại các vị trí 16

Hình 2.10 Đồ thị của phương trình: z =25 − x2− y2 17

Hình 2.11 Đồ thị của tứ diện T 18

Hình 2.12 Hình chiếu của T lên mặt Oxy 18

Hình 2.13 Mặt phẳng minh họa 19

Hình 2.14 Đồ thị vật rắn E 20

Hình 2.15 Hình chiếu của E xuống mặt phẳng Oxy 21

Hình 2.16 Đồ thị 22

Hình 2.17 Đồ thị miền D 24

Hình 2.18 Các đường cong trong mặt phẳng 27

Hình 2.19 Miền đơn liên, miền đa liên 28

Hình 2.20 Chiều dương, chiều âm của đường cong C 28

Hình 2.21 Đồ thị đường cong C 29

Hình 2.22 Đồ thị đường cong C 30

Hình 2.23 Hình minh họa 32

Hình 2.24 Code Mathlab tính công của trường lực 34

Hình 2.25 Phương pháp tính 37

Hình 2.26 Pháp véc tơ của mặt cong kín S 40

Hình 2.27 Code Mathlab Tính thông lượng điện trường 45

CHƯƠNG 1 PHẦN MỞ ĐẦU

Tích phân là một trong những công cụ quan trọng nhất trong toán học, không chỉtrong việc giải quyết các bài toán lý thuyết mà còn trong nhiều ứng dụng thực tiễn củađời sống Bằng cách sử dụng tích phân, chúng ta có thể tính toán các đại lượng nhưdiện tích, thể tích, công, và nhiều đại lượng khác mà không thể tính được bằng cácphương pháp thông thường

Bài báo cáo này sẽ giới thiệu về các loại tích phân khác nhau và các ứng dụngthực tiễn của chúng Chúng ta sẽ tìm hiểu về các ký hiệu, cách tính, và các định lýquan trọng liên quan đến từng loại tích phân Sau đó, chúng ta sẽ xem xét các ứngdụng cụ thể của từng loại tích phân trong các lĩnh vực khác nhau, từ kỹ thuật, vật lý,đến các lĩnh vực đời sống thường ngày

Mỗi loại tích phân sẽ được trình bày với ít nhất hai ứng dụng thực tiễn Các ứngdụng này không chỉ giúp minh họa cách mà tích phân được sử dụng mà còn cho thấytính thực tế và tầm quan trọng của tích phân trong việc giải quyết các vấn đề cụ thể.Các ví dụ và số liệu thực tế sẽ được đưa ra để làm rõ hơn các phương pháp tính toán

và ứng dụng đã trình bày

CHƯƠNG 2 PHẦN NỘI DUNG

∆y = (d − c)/n Bằng cách vẽ các đường thẳng song song với các trục tọa độ đi qua

các điểm cuối của các khoảng con này, như trong Hình 2.2, ta tạo thành các hình chữ

nhật con, mỗi hình đều có diện tích ∆A = ∆x∆y

Ri j = [xi−1, xi]x[yj−1, yj] = {(x, y)|xi−1≤ x ≤ xi, yj−1 ≤ y ≤ yj}

Hình 2.2: Chia R thành các hình chữ nhật con

Nếu chúng ta chọn một điểm mẫu (x∗i j, y∗i j) trong mỗi Ri j thì chúng ta có thể tínhgần đúng phần S nằm phía trên mỗi Ri j bằng một hộp hình chữ nhật mỏng (hoặc

“cột”) có đáy Ri j và chiều cao f (x, y) như trong Hình 2.3 Thể tích của hộp này bằng

chiều cao của hộp nhân với diện tích của hình chữ nhật đáy:

f(x∗i j, y∗i j)∆A

Hình 2.3: Thể tích khối hộp chữ nhật mỏng

Nếu chúng ta làm theo quy trình này cho tất cả các hình chữ nhật và cộng thể tíchcủa các hình tương ứng, chúng ta sẽ xấp xỉ được tổng thể tích của S:

a Định nghĩa Tích phân kép của hàm số f(x,y) trên miền D là

Được gọi là tổng Reimann kép và được dùng để tính giá trị gần đúng của tíchphân kép

c Quy tắc trung điểm

Các phương pháp mà chúng ta đã sử dụng để tính gần đúng tích phân đơn đều cócác phương pháp tương ứng cho tích phân kép Ở đây chúng ta chỉ xét Quy tắc trungđiểm cho tích phân kép Điều này có nghĩa là chúng ta sử dụng tổng Riemann kép đểtính gần đúng tích phân kép, trong đó điểm mẫu (x∗i j, y∗i j) trong Ri j được chọn làm tâm( ¯xi, ¯yj) của Ri j Nói cách khác, ¯xi là trung điểm của [xi−1, xi] và ¯yj là trung điểm của[yj−1, yj]

Quy tắc trung điểm cho tích phân kép:

¨

D

f(x, y)dxdy

"ˆ d c

f(x, y)dy

#

dx =

ˆ d c

"ˆ b a

f(x, y)dx

#dy

d Tích phân kép trên miền bất kỳ tổng quát

Đối với tích phân kép, miền D không chỉ là hình chữ nhật mà có thể là một miền

D bất kỳ tổng quát Giả sử D là miền bị chặn, có nghĩa là D bị đóng bởi hình chữ nhật

R Khi đó, ta định nghĩa hàm mới F trên miền R như sau:

Hình 2.5: Miền D bất kỳ tổng quát và miền hình chữ nhật R

• Định lý 1.2

Cho hàm số f (x, y) liên tục trên miền D Nếu D : {a ≤ x ≤ b, y1(x) ≤ y ≤ y2(x)}, với

y1(x), y2(x) liên tục trên [a, b] thì

¨

D

f(x, y)dxdy =

ˆ b a

"ˆ y2(x)

y1(x)

f(x, y)dy

#dx

• Định lý 1.3

Cho hàm số f (x, y) liên tục trên miền D Nếu D : {c ≤ y ≤ d, x1(y) ≤ x ≤ x2(y)}, với

x1(y), x2(y) liên tục trên [c, d] thì

¨

D

f(x, y)dxdy =

ˆ d c

"ˆ x2(y)

x1(y)

f(x, y)dx

#dy

e Tích phân kép trong hệ tọa độ cực

• Định lý 1.4: (Tích phân kép trong hệ tọa độ cực)

Nếu f(x, y) là hàm liên tục trên miền D = {(r, ϕ) : 0 ≤ a ≤ r ≤ b, α ≤ ϕ ≤ β }, ở đây

a Định nghĩa ˚Tích phân bội ba của hàm số f (x, y, z) trên miền ω là

b Tích phân bội ba trong hệ tọa độ Đề-các

ˆ d c

ˆ s r

f(x, y, z)dxdydz =

ˆ b a

"ˆ d c

ˆ s

r

f(x, y, z)dz

dy

#dx

Chú ý Theo định lý Fubini, khi lấy tích phân theo z theo ta xem z là biến số, còn

x, y là hằng số Sau đó lấy tích phân theo y thì ta xem y là biến số, còn x là hằng số Cuối cùng, ta sẽ lấy tích phân theo x Vì vai trò của x, y, z như nhau nên ta có 3! = 6 cách lấy tích phân khác nhau theo thứ tự của các biến x, y, z.

c Tích phân bội ba trên miền bị chặn tổng quát Ω

Cho Ω là miền bị chặn bất kỳ, ta có thể lấy hình hộp chữ nhật E chứa miền Ω, sau

Cho miền Ω = {(x, y, z) : (x, y) ∈ D, z1(x, y) ≤ z ≤ z2(x, y)}, trong đó D là hình chiếucủa miền Ω xuống mặt phẳng Oxy Khi đó

Chú ý Khi tính tích phân bội ba, chúng ta phải xác định được hình chiếu D của vật thể V và chuyển về tính tích phân kép Khi tính tích phân của f (x, y, z) theo biến z thì ta xem z là biến số, còn x, y là hằng số.

Hình 2.8: Miền Ω = {(x, y, z) : (y, z) ∈ D, x1(y, z) ≤ x ≤ x2(y, z)}.

2.1.2 Ứng dụng

2.1.2.1 Thể tích vật thể

Được dùng để tính thể tích của chất lỏng hoặc khí trong bể, chai, lọ, hệ thống ốngdẫn, hay thể tích của các vật thể có hình dạng không đều như linh kiện máy móc,hòn đá,

Hình 2.9: Độ sâu của hồ tại các vị trí

Bài làmĐặt điểm gốc tại tọa độ (0;0), 0 ≤ x ≤ 20, 0 ≤ y ≤ 30 và f (x, y) và A lần lượt làhàm mô tả độ sâu và diện tích của hồ Khi đó , thể tích nước trong hồ được tính bằng

độ sâu x diện tích hồ nhưng do độ sâu thay đổi nên tổng quát hơn ta dùng:

2 π

VD: Sử dụng tích phân bôi 3 tính thể tích của khối tứ diện T được giới hạn bởi các mặt phẳng x + 2y + z = 2, x = 2y, x = 0 và z = 0

Hình 2.11: Đồ thị của tứ diện T

Bài làmChiếu khối tứ diện T xuống mặt phẳng Oxy

Hình 2.12: Hình chiếu của T lên mặt Oxy

2.1.2.2 Tính khối lượng và tìm khối tâm

Tính khối lượng của các vật thể có hình dạng không đều như linh kiện máy móc,hòn đá,

Tìm vị trí của khối tâm giúp kỹ sư thiết kế cấu trúc sao cho cân bằng và ổn định.Điều này đặc biệt quan trọng trong việc thiết kế các công trình lớn như cầu, tòa nhà,

và máy bay

a Tích phân kép

Xét một mặt cong S bất kỳ có diện tích là S, có khối lượng riêng phụ thuộc vàođiểm M(x,y) nằm trên S là ρ = ρ(M) = ρ(x, y) Bằng cách chia mặt S thành n mặtnhỏ không dẫm lên nhau và qua giới hạn ta cũng được công thức tính khối lượng củamặt S là:

Bài làmKhối lượng của tam giác là:

⇒ Khối tâm của tam giác tại điểm 38,1116

VD:Tìm khối tâm của vật rắn E có khối lượng riêng không đổi và được giới hạn bởi hình trụ parabolic x = y2 và các mặt phẳng x = z, z = 0 và x = 1

Hình 2.14: Đồ thị vật rắn E

Bài làmChiếu vật rắn E xuống mặt phẳng Oxy:

Hình 2.15: Hình chiếu của E xuống mặt phẳng Oxy

Khi đó vật rắn E được mô tả:

Do vật rắn đối xứng qua mặt phẳng Oxz, nên ¯y= 0

2.1.2.3 Tính xác suất

Giúp phân tích khả năng biến động giá cả, lợi nhuận hoặc rủi ro trong lĩnh vựctài chính hay trong lĩnh vực công nghệ có thể dùng để tính hiệu suất cũng như độ ổnđịnh của mạch

Giả sử chúng ta có một cặp biến ngẫu nhiên liên tục X và Y, chẳng hạn như tuổithọ của hai bộ phận một chiếc máy hay là chiều cao và cân nặng của một người trưởngthành được chọn ngẫu nhiên Hàm mật độ chung của X và Y là hàm f của hai biến

sao cho xác suất nằm trong miền D là:

ˆ d c

(µ là thời gian tiêu tốn)

VD: Cho hàm mật độ chung của X và Y là

= 110

= 1 + e(− 4) − 2e(− 2) ≈ 0.7476Vậy có khoảng 75% người xem phim chờ ít hơn 20 phút trước khi vào chỗ ngồi

Nếu giới hạn này tồn tại

Chú ý: Theo định nghĩa, tích phân đường loại I không phụ thuộc hướng của đường cong C vì việc chọn hướng của C không ảnh hưởng đến tổng Riemann.

2.2.1.2 Tích phân đường loại hai

a Định nghĩa Cho −→F (x, y) = (P(x, y), Q(x, y)) là hàm véc tơ xác định trên đườngcong trơn

⌢

AB Khi đó tích phân đường loại hai của−→F dọc theo

⌢

ABlàˆ

−

→

F (M) cosα(M).dl

Tuy nhiên, giữa tích phân đường loại một và tích phân đường loại hai có sự khácbiệt quan trọng sau:

1 Tích phân đường loại một không phụ thuộc vào hướng lấy tích phân trên cung

Ai−1Ai nên khi đổi hướng của véc tơ−−−−→Ai−1Aithì sẽ đổi dấu của tổng Riemann

Như vậy, đối với tích phân đường loại hai thì

- Đường cong C không chứa điểm bội được gọi là đường cong đơn giản.

- Đường cong AB⌢ được gọi là đường cong khép kín, nếu điểm đầu A và điểmcuối B trùng nhau

Hình 2.18: Các đường cong trong mặt phẳng

- Miền phẳng D được gọi là miền liên thông nếu như với hai điểm bất kỳ A, B

∈ D thì tồn tại một đường cong nối A, B cũng thuộc D

- Miền phẳng D được gọi là miền đơn liên khi thỏa mãn tính chất:

1 Miền phẳng D là miền liên thông

2 Nếu đường cong đơn giản khép kín C nằm trọn trong miền D thì miền D’ có biên

là đường cong C sẽ nằm trọn trong D

- Miền phẳng D không phải là miền đơn liên, được gọi là miền đa liên

Hình 2.19: Miền đơn liên, miền đa liên

- Chiều dương của đường cong C là biên của miền D được quy ước là chiềungược chiều kim đồng hồ Chiều âm của đường cong C được quy ước là chiều cùngchiều kim đồng hồ

Hình 2.20: Chiều dương, chiều âm của đường cong C

- Đường cong C xác định bởi

• Định lý 2.2 (Định lý Green)

Trong mặt phẳng xOy, cho D là miền đóng có biên là đường cong đơn giản, khép kín,trơn từng khúc C Các hàm P(x, y), Q(x, y) và các đạo hàm riêng cấp một của chúngliên tục trong D Khi đó

Chú ý: Như vậy, khi đi theo đường cong C thì miền D sẽ nằm bên trái đường cong

C thì chiều lấy tích phân là chiều dương.

VD: Tính diện tích mặt trụ cong có đường sinh song song với trục Oz, biết rằng biên dưới của trụ cong là đường cong (C) có phương trình:

6 (x − 12), 1 ≤ x ≤ 9, nằm trong mặt phẳng Oxy và biên dưới

là đường cong L nằm trong mặt congz = y −√

6 (x − 12)

s

c Tính khối lượng đường cong I=´

Cρ ds

VD: Tính khối lượng sợi dây kim loại có hình dạng là đường parabol

y= x2với 1 ≤ x ≤ 4 Biết hàm mật độ tại điểm (x,y) thuộc dây là ρ(x, y) = y

xBài làm

1 + 4y2ds=

ˆ 1

−√3

3 − y2p

(C) là biên dương của D

VD: Trong hệ tọa độ cực x = rcosϕ, y = rsinϕ, cho

x= 10cos3t, y = 10sin3t, 0 ≤ t ≤ 2π

Đơn vị trên mỗi trục là cm, tính diện tích miền D bị giới hạn bởi đường Astroid;

từ đó suy ra diện tích phần gốm xanh trên mỗi viên gạch kích thước 30cm×30cm

i + Q−→

j + R−→k

Hình 2.24: Code Mathlab tính công của trường lực

VD Tính công sinh ra của lực làm cho khối lượng m chuyển động theo cung

(C):−→r = at2−→

i + bt3−→

j với 0 ≤ t ≤ 1+Bước 1: Tìm lực−→F = m−→a = m−→r′′

2t4