Tài liệu Toán dành cho sinh viên ngành GDTH

Tài liệu Toán dành cho sinh viên ngành GDTH để tham khảo và nâng cao ôn thi cuối kì hoặc giữa kì, có thể làm tài liệu học tập các học phần

Chương 1

SỐ TỰ NHIÊN

(1) Sự hình thành khái niệm số tự nhiên

Khái niệm về số tự nhiên (number) (còn gọi là số đếm) đã ra

đời từ rất lâu, trước khi ngôn ngữ nói và viết ra đời Người ta cũng chẳng rõ từ khi nào các con số cùng với tên gọi và ký hiệu của chúng được đưa vào sử dụng Khi ta viết các số bằng

ký hiệu nào đó như |, 1, I, , ta gọi đấy là các chữ số (numeral)

Ý niệm về chữ số thậm chí ra đời trước cả khi con người biết

viết từ số đếm như thế nào, bởi vì việc khắc lên các cành cây dễ

dàng hơn nhiều lần việc xây dựng vốn từ ngữ về những con số Nếu ta thu gom các chữ số lại với nhau và xếp đặt chúng theo một thứ tự nào đó, chẳng hạn |, ||, |||, |||| hoặc I, II, III, IIII, ta sẽ

có một bộ các chữ số hay một hệ thống số (numeration system)

Những hệ thống số thuở sơ khai được dựng nên bởi các vết khắc Trong các hệ thống ấy, 1, 2 và 3 được biểu diễn bởi , và Khoảng 3400 năm trước Công Nguyên, người

Ai Cập đã xây dựng cho mình một hệ thống với các con số lên đến một triệu và còn hơn thế nữa Cách họ ký hiệu những con số đầu tiên thể hiện ảnh hưởng sâu sắc của các vết đục khắc ban đầu đó (xem Hình 1.1)

dễ làm, và bàn tay chúng ta luôn có năm ngón Khi đếm số lượng của các đối tượng nào đó, người xưa dùng ngón trỏ của tay phải để chỉ vào một đối tượng và bàn tay trái để đếm Một khi cả năm ngón tay đều đã dùng hết, người ta vẫn có thể tiếp tục dùng tay trái để đếm tiếp Ngày nay, ở một số vùng của Nam Mỹ và châu Phi, người ta vẫn dùng cách “đếm bàn tay” này: 1, 2, 3, 4, bàn tay, bàn tay và 1, bàn tay và 2, bàn tay và 3,

…

Ví dụ 1 Hãy dùng hệ thống “đếm bàn tay” để tìm tên gọi của

những con số sau đây, biết rằng chúng được biểu diễn bởi các bộ gồm những dấu chấm tròn

Gợi ý (i) hai bàn tay và 2

Trong quá trình gộp kể trên, ta gọi số lượng của các phần tử

trong một nhóm là cơ số (base) Cơ số ở Ví dụ 1 là cơ số năm

Bằng cách dùng các chữ số 1, 2, 3 và 4 cho bốn con số đầu tiên

và bàn tay làm tên gọi của cơ số, ta có thể gọi tên cho số lượng

của các đối tượng kể từ 1 cho đến 24 (Tại sao?)

Cơ số 10 Trải qua thời gian, khi người xưa đã quen với

cách đếm dùng các ngón tay trên một bàn tay, họ bắt đầu chấp nhận cách đếm dùng những ngón tay trên cả hai bàn tay và việc gộp các đối tượng thành từng nhóm mười phần tử Hầu hết những hệ thống số hiện đại đều dùng cách gộp này Trong tiếng Việt, cách ta gọi các con số cũng phản ánh lên điều ấy

Mười một đồng nghĩa với thêm một vào (mười), mười hai có thể

hiểu là thêm hai vào mười Các số từ 13 đến 19 cũng có cùng cách hiểu như vậy Hai mươi thực ra chính là hai mười (mười rồi mười lần nữa), còn một trăm có nghĩa là mười lần mười (mười

rồi mười lần nữa, …, rồi lại mười: Tất cả 10 lần)

Các hệ thống số cổ đại

Hệ thống số Ai Cập Người Ai Cập cổ đại sử dụng các

ký hiệu hình vẽ cho các số mà chúng ta thường gọi là

chữ tượng hình (hieroglyphics) Hệ thống số này là hệ thống

cơ số mười, trong đó mỗi ký hiệu tương ứng với một lũy thừa của mười

1000 000 100 000 10 000 1000 100 10 1

(Người)

kinh ngạc Nòng nọc Ngón tay Hoa sen Cuộn dây

Xương gót chân

(cái) Gậy

số lũy thừa cần thiết phải có của cơ số ấy Chú ý rằng các con số

có thể được viết theo kiểu tùy ý Với hệ thống số Ai Cập,

𝑏 = 10 và các lũy thừa của cơ số lần lượt là 1, 10, 102, 103, v.v… Người Ai Cập thường viết lũy thừa của cơ số tăng dần theo thứ tự từ trái sang phải còn ở Ví dụ 2 ta lại viết chúng theo kiểu giảm dần từ trái sang phải

Hệ thống số La Mã Ta thường bắt gặp những chữ số La Mã

trên đồng hồ, các tòa nhà, mộ bia và ở những trang đầu của các quyển sách Cũng giống như Ai Cập, người La Mã dùng cơ số mười Tuy nhiên, họ lại sử dụng hệ thống số cộng cách tân: Ngoài những ký hiệu cho các lũy thừa của cơ số, họ còn có

các ký hiệu riêng cho 5, 50 và 500 Sau đây là bảy ký hiệu phổ biến nhất

Hệ thống số La Mã

Các nhà khảo cổ đã chỉ ra rằng C là cách viết tắt của centum1,

nghĩa là một trăm, và M là viết tắt của milli1, nghĩa là một ngàn (hay là một nghìn) Dù vậy, nguồn gốc của các ký hiệu còn lại

cho đến nay vẫn còn là một ẩn số Người La Mã viết các chữ số theo thứ tự giảm dần từ trái sang phải Khi một chữ số La Mã được đặt ở bên trái của chữ số đại diện cho một số lớn nào đó, ta nhận được phép trừ, chẳng hạn như IX là 9, XL là 40, XC là 90,

CD là 400 và CM là 900 La Mã là khởi nguồn cho ý tưởng về phép trừ nhưng họ lại chẳng mấy khi dùng đến nó2 (Trên thực tế, phép trừ chỉ được dùng phổ biến cách đây hơn

200 năm.) Để viết số 1996, họ sẽ ký hiệu như sau:

MCMXCVI

Khác với Ai Cập, người La Mã hầu như không có nhu cầu dùng những số lớn, vì vậy họ không có cách viết nào tổng quát cho số lớn Trên tượng đài tưởng niệm chiến thắng của La Mã với Carthage3 vào năm 260 trước Công Nguyên (TCN), họ đã

1 Tiếng Latin

2 Tài liệu tiếng Anh: [3, Smith], trang 60

3 Carthage là một thành phố cổ ở Bắc Phi của người Phoenica, được xây dựng vào những năm 800 TCN và bị người La Mã tàn phá năm 146 TCN

khắc 23 lần ký hiệu (tức là 100 000) để thể hiện cho con số hai triệu ba trăm ngàn

Hệ thống số Babylon Người Babylon sử dụng cơ số 60

Cách họ viết các số từ 1 đến 59 tương tự như ở hệ thống số cộng: Lặp lại số lần tương ứng cần thiết cho (là 1) và (là 10)

Để viết những số từ 60 trở về sau, người ta dùng kết hợp hai

ký hiệu cơ bản nêu trên cùng với ý tưởng về “trị số theo vị trí”

(place value) Trị số theo vị trí chính là các lũy thừa của cơ số:

1, 60, 602, 603, … Ta xác định giá trị của các ký hiệu cơ bản dựa trên vị trí của chúng hay thứ tự chúng xuất hiện Cụ thể, nếu ta xem

135 = 2(60) + 15(1) và

79 410 = 22(602) + 3(60) + 30(1) thì người Babylon sẽ viết hai số 135 và 79410 như sau

2(60)  15(1) 22(60 2 )  3(60)  30(1) Nói chung, vị trí đầu tiên tính từ phải sang trái đặc trưng cho các số từ 1–59, vị trí thứ hai tương ứng với bội số của 60, vị trí thứ ba biểu diễn cho bội số của 602, v.v…

Ví dụ 3 Hãy viết các số sau bằng cách dùng hệ thống số

số 0 cả, nghĩa là phần tương ứng với bội số của 60 đã mất tích! Nếu chỉ nhìn thoáng qua đáp án , thật dễ để người ta nhầm tưởng đó là số 201 Vì thế, nhằm tránh tình huống này, người xưa dùng một khoảng trống rộng hơn bình thường để đánh dấu cho việc lũy thừa nào đó của cơ số đã “lặng lẽ xin vắng”

Hệ thống số Maya Người Maya đã sáng tạo nên hệ thống số

riêng biệt sử dụng cơ số 20 và kèm theo đó là sự xuất hiện của

ký hiệu tương ứng với chữ số 0 hiện đại Ta có thể xem những

ký hiệu họ dùng để viết các số từ 0 đến 19 qua Hình 1.3 sau

Hình 1.3 Chữ số Maya

Khi xem Hình 1.3, bạn có nhận thấy cách người xưa dùng nhóm năm khi viết 20 con số đầu tiên ấy chăng?

Tương tự với Babylon, người Maya viết các số lớn hơn 19 bằng cách kết hợp những ký hiệu biểu diễn từ 0 đến 19 với trị số theo vị trí Họ viết mỗi số theo chiều thẳng đứng, tính từ dưới lên trên như ở Ví dụ 4

Ví dụ 4 Cách viết ba số 326, 2776 và 65 526 như sau

9(18 × 20 2 ) 7(18 × 20) 2(18 × 20) 16(20) 12(20) 0(20)

Chữ số nằm ở dưới cùng đại diện cho hàng đơn vị Chữ số ở hàng thứ hai tương ứng với bội số của 20 Một đặc điểm thú vị của hệ thống số Maya là người xưa dùng hệ thống này chủ yếu

để tính toán ngày tháng Mỗi năm Maya gồm 365 ngày được chia thành 18 tháng và mỗi tháng có 20 ngày; 5 ngày còn lại là ngày lễ Chính vì vậy, chữ số nằm ở hàng thứ ba tương ứng với bội số của 18 × 20 thay cho 202 Ở những hàng tiếp theo, trị số theo vị trí tương ứng sẽ lần lượt là 18 × 202, 18 × 203, v.v…

Ví dụ 5 Hãy viết các số sau đây bằng chữ số Maya

Chú ý rằng trong cách viết số 65 526, người xưa mô tả con số này bởi tổng của chín lần 18 × 202 với hai lần 18 × 20 và thêm

sáu đơn vị, trong đó không có chữ số nào ứng với bội số của 20 Qua đó, ta thấy được ý nghĩa của ký hiệu tương ứng với chữ số 0 trong hệ thống số Maya

Hệ thống số Hinđu–Ả-rập Hầu hết các quốc gia hiện tại đều

dùng hệ thống số Hinđu–Ả-rập (Hindu–Arabic) Người Hinđu

đã phát minh ra hệ thống số vị trí (positional numeration system)

này còn người Ả-rập truyền bá hệ thống ấy vào Âu châu Đây là

hệ thống sử dụng cơ số 10 với trị số theo vị trí của mỗi chữ số 0,

1, 2, 3, …, 8 và 9 được xác định theo vị trí xuất hiện Các chữ số

này còn được gọi là các ký số (digit) Khi viết một số nào đó,

ta ghi một hoặc nhiều chữ số liền nhau và vị trí của mỗi chữ số

ấy đặc trưng cho sự tăng dần về lũy thừa của cơ số Tương ứng theo vị trí, ta đều có tên riêng cho mỗi chữ số

Ví dụ 6 Sau đây là tên gọi và giá trị của mỗi ký số trong số

75 063

Hình 1.4 Tên gọi và giá trị các ký số của 75 063 Cách chúng ta viết số 75 063 như trên dưới dạng tổng của những con số đặc trưng bởi chính các chữ số 7, 5, 0, 6 và 3 là

hình thức khai triển (expanded form) Một cách viết phổ biến

khác là ta viết lũy thừa của cơ số bằng số mũ Chẳng hạn,

Trong tiếng Việt, tên gọi của các số từ 1 đến 10 đều là những

từ đơn Ta đọc chúng theo đúng với cách viết: Một, hai, ba, bốn, năm, sáu, bảy, tám, chín

Các số từ 11 đến 19 có tên gọi là các từ ghép hai tiếng: Mười một, …, mười bốn, mười lăm, …, mười chín Chú ý rằng, với số 15 ta đọc “mười lăm” thay cho “mười năm” Cách đọc như vậy tuân theo quy luật hài âm, hài thanh của tiếng Việt: Thay phụ âm đầu và đổi thanh bằng để từ ngữ xuôi hơn 4

Chúng ta thường gặp quy luật nêu trên khi đọc những số có hai chữ số lớn hơn 19 Cụ thể, ta có một số quy ước sau

4 Trích từ phần trả lời phỏng vấn của PGS TS Phạm Văn Tình (Hội Ngôn ngữ học

Số

(cách viết)

Tên gọi (cách đọc) Ghi chú

“hai mươi lăm”

còn gọi là

“hai mươi nhăm”

Bảng 1.5 Quy ước tên gọi một số các số có hai chữ số Một cách gọi tên khác cho số 25 mà bạn hay gặp ở khu vực phía Bắc của Tổ quốc là “hai mươi nhăm” Chúng ta còn bắt gặp

sự khác biệt như thế về tên gọi khi đọc các số từ 101 đến 109 và những số từ 1000 trở lên Trong giáo trình này, ta thống nhất cách đọc theo Bảng 1.6

Số

(cách viết)

Tên gọi (cách đọc) Ghi chú

có thể đọc “linh” thay cho “lẻ”

5 SGK Toán 1, trang 107, NXB Giáo dục Việt Nam, Tái bản lần thứ 14, năm 2016

Với mỗi số có từ bốn chữ số trở lên, ta đọc số ấy bằng cách

tách nó thành từng lớp, từ lớp đơn vị, đến lớp ngàn rồi lớp triệu6

Mỗi lớp gồm 3 ký số (the period of the digits) Trong mỗi lớp,

các ký số được gọi tên theo cách bạn đọc các số từ 1 đến 999, sau đó bạn nhắc lại tên của lớp, trừ lớp đơn vị Ví dụ 8 bên dưới nêu một vài lớp phổ biến

Ví dụ 8 Hãy đọc con số sau đây

Gợi ý Tên gọi của số đã cho là “hai mươi ba tỷ bốn trăm bảy

mươi tám triệu năm trăm lẻ sáu ngàn không trăm bốn mươi hai” Mời bạn chú ý đến cách chúng ta dùng khoảng trắng giữa các lớp trong khi viết số 23 478 506 042 Viết như thế giúp cho việc đọc những con số lớn trở nên dễ dàng hơn Ta thường gặp cách viết ấy ở các nước châu Âu ngày nay Cách này được quy định theo chuẩn ISO 80000-1:20097, và được Bộ GD&ĐT đưa vào

6

chương trình SGK Tiểu học8 những năm gần đây Cũng theo chuẩn này, ta không thêm khoảng trắng vào giữa lớp ngàn và lớp đơn vị khi viết các số chỉ có đúng bốn chữ số, tức là ta sẽ viết

10 821 dưới dạng Tuy nhiên, họ chỉ đánh dấu phần thiếu nằm bên trong con số và “sơ sảy” bỏ qua việc này khi phần thiếu

ấy nằm ở cuối của số cần viết Vì thế, ký hiệu khoảng trắng chỉ đóng vai trò như một số 0 bán phần Số 0 hoàn chỉnh phải chỉ ra được sự vắng mặt của lũy thừa của cơ số cả bên trong lẫn phần cuối của các số, giống như khi bạn viết số 304 và 340 vậy

8 SGK Toán 4, trang 8, trang 12–14, NXB Giáo dục Việt Nam, Tái bản lần thứ 14, năm 2016

Số 0 cổ xưa nhất được tìm thấy trên một bia đá tưởng niệm ở Gwalior9 vào năm 876 Theo đó, người xưa đã dùng chữ số 0 để viết các số 50 và 27010

Tập hợp các số tự nhiên ℕ

Trong Toán học, số tự nhiên được hiểu là những số dùng để đếm (như “lớp học có 50 sinh viên”) và sắp thứ tự (như “nước ta

là nước xuất khẩu gạo đứng thứ hai thế giới”) Chính vì thế,

“số đếm” là một tên gọi khác của số tự nhiên mà bạn đã gặp ở phần đầu chương

Ta ký hiệu tập hợp gồm tất cả các số tự nhiên là ℕ và gọi nó

một cách ngắn gọn là tập các số tự nhiên Như những gì bạn đã

học từ nhà trường phổ thông, tập các số tự nhiên là tập hợp gồm các số 0, 1, 2, 3, … Trên thực tế, việc “có hay không có” sự xuất hiện của số 0 trong tập số tự nhiên là một vấn đề đã từng được tranh luận Có thể là bởi vì người ta chỉ có thể đếm những đối tượng nào đó khi đối tượng ấy tồn tại và phép đếm luôn bắt đầu bởi 1 Ở tài liệu này, ta quy ước với nhau về cách hiểu và cách

ký hiệu tập số tự nhiên như sau

ℕ0 = ℕ = {0, 1, 2, 3, … } và ℕ1 = ℕ∗= {1, 2, 3, … }

Trên thế giới, ký hiệu ℕ0, ℕ1 được dùng khá phổ biến trong nghiên cứu và giảng dạy, giúp tránh đi “mâu thuẫn” và có tác dụng linh hoạt khi giải toán

(2) Mô hình và phép toán trên số tự nhiên

Phép cộng

Thuở thiếu thời, trong chúng ta ai cũng đã biết về phép cộng dựa trên việc tính toán số lượng các vật thể Nếu bạn để 2 vỏ sò trên bàn rồi tôi để vào đấy thêm 3 vỏ sò nữa thì tất cả số vỏ sò ta

có chính là tổng của 2 + 3 Ý tưởng của phép cộng chính là việc

ta gộp các tập hợp (chẳng hạn gộp tập hợp có 2 vỏ sò của bạn

với tập hợp gồm 3 vỏ sò của tôi) Nói cách khác, ấy là ta dùng

phép hợp trong lý thuyết về tập hợp Từ đó, ta có định nghĩa sau

Cho hai tập hợp rời nhau ℛ và 𝒮, trong đó tập ℛ có 𝓇 phần tử còn tập 𝒮 gồm 𝓈 phần tử Khi đó, tổng của 𝓇 cộng 𝓈 (sum of 𝓇 plus 𝓈), ký hiệu 𝓇 + 𝓈, là số phần tử của hợp của ℛ và 𝒮 Các số

𝓇 và 𝓈 được gọi là các số hạng (addend)

Ở định nghĩa vừa nêu, bạn hãy chú ý đến tính chất rời nhau của hai tập hợp ℛ, 𝒮 Nếu hai tập đã cho không thỏa điều kiện trên, ta không thể tìm được tổng số phần tử của hai tập hợp bằng cách cộng số phần tử của tập hợp này với số phần tử của tập kia

Ví dụ 9 Một nhóm nhạc công chỉ gồm tám người chơi guitar

và sáu người chơi piano (Ngoài những người ấy ra, nhóm này không có thêm thành viên nào khác.)

(i) Nhóm đó có thể có ít nhất bao nhiêu người?

(ii) Nhóm đó có thể có nhiều nhất bao nhiêu người?

(iii) Trong hai câu hỏi (i) và (ii) nêu trên, ở trường hợp nào kết quả nhận được là tổng của số người chơi guitar với số người chơi piano?

Gợi ý (iii) Trường hợp câu hỏi (ii), như ở hình minh họa

dưới đây

Nhạc công chơi guitar

Nhạc công chơi piano Hình 1.7 Tổng số nhạc công = nhạc công guitar + nhạc công piano

Mô hình của phép cộng

Để tính tổng các đối tượng, ta cần tuân theo một quy trình

tính tổng (addition algorithm) nào đó Một quy trình tính tổng

luôn chia làm hai bước: (1) cộng các ký số và (2) gộp (regroup) chúng lại thông qua hệ thống số vị trí Nắm vững quy trình tính tổng không những giúp bạn dễ dàng làm toán nhẩm mà còn giúp bạn dạy môn Toán cho học sinh Tiểu học tốt hơn

Có nhiều mô hình (model) hay cách thực hiện giúp bạn hiểu được các quy trình tính tổng Ví dụ 10 bên dưới mô tả cách tính tổng hai số dùng que tính Mỗi nhóm que tính đại diện cho một con số; ta xếp chúng theo vị trí trên dưới giống như khi tính

nháp hai số bất kỳ vậy Tổng (hay kết quả thu được) chính là tổng số các que tính ở mỗi bó cùng những que tính riêng lẻ

Ví dụ 10 Các số 26 và 38 được biểu diễn như ở hình dưới

đây Để tìm tổng 𝟐𝟔 + 𝟑𝟖, ta cần xác định số lượng của tất cả các que tính Có tổng cộng 5 bó que tính (5 chục) và 14 que riêng lẻ (14 đơn vị) Từ 14 que ấy, ta có thể gộp chúng lại và nhận được 1 bó que (1 chục) gồm 10 que tính, và 4 que lẻ Trong quy trình tính tổng, 4 que đó được ghi lại bằng chữ số 4 ở hàng đơn vị còn 10 que thêm được ghi bởi chữ số 1 ở hàng chục

Hình 1.8 Mô hình tính tổng từng phần

Mô hình tính tổng ở Ví dụ 10 có cách thực hiện từ phải sang trái, bắt đầu từ việc kết hợp những que tính riêng lẻ với nhau, tiếp theo là việc kết hợp các bó que và cuối cùng là gộp nhóm

Cách tính như thế còn gọi là tính tổng từng phần (partial sums)

Ở mô hình này, bạn cộng các ký số ở mỗi phần (nghĩa là theo từng cột hay hàng) với nhau trước, rồi mới gộp nhóm Ta có thể viết tổng từng phần theo hai cách sau

sẽ được viết ở cột khác, chẳng hạn ứng với con số 13, ta ghi ‘1’

ở hàng chục và ứng với con số 11, ta ghi ‘1’ ở hàng trăm Với cách viết thứ hai (cách ii), ta gộp bất cứ tổng từng phần nào có nhiều hơn một chữ số

Như bạn đã biết, chúng ta viết từ trái sang phải Do đó, ta còn

có thể tính tổng (như ở Ví dụ 10) bằng cách kết hợp các bó 10 que với nhau trước (rồi mới đến các bước khác) Ví dụ 12 sau đây sẽ giới thiệu với bạn cách tính ấy

Ví dụ 12 Để tìm tổng 𝟖𝟗𝟕 + 𝟓𝟑𝟕 từ trái sang phải, trước tiên ta cộng 8 với 5 ở cột hàng trăm (hundreds column) Bước thứ hai, ta cộng 9 với 3 ở cột hàng chục rồi gộp nhóm Do đó,

ta gạch 3 đi, sửa lại thành 4 Bước kế tiếp, ta cộng các ký số đơn vị rồi gộp nhóm thêm một lần nữa, tức là ta gạch đi ký số 2

ở cột hàng chục và thay bởi 3 Cụ thể

Hình 1.9 Mô hình xóa từ trái sang phải

Người Hinđu xưa dùng cách tính tổng từ trái sang phải này

rồi truyền nó vào châu Âu Người ta gọi nó là mô hình xóa (scratch method)

Chú ý Một biến thể khác và là hình thức cải tiến của mô hình

xóa trên là ta thực hiện quy trình tính tổng từ phải sang trái

Đó chính là mô hình tính quen thuộc của chúng ta lâu nay

Tính chất của phép cộng các số tự nhiên

Trong phần này, ta sẽ nêu một số tính chất quan trọng của phép cộng các số tự nhiên Mỗi tính chất đều có một tên gọi riêng tương ứng

Tính chất đóng kín (closure property) Ta biết rằng, tổng của

hai số tự nhiên cũng là một số tự nhiên, tức là, ℕ𝟎 đóng kín với phép cộng Một cách tổng quát, ta bảo một phép toán nào đó

(như cộng, trừ, nhân, chia, lấy mũ, v.v…) là đóng kín (closed)

khi ta thực hiện phép toán ấy trên hai phần tử bất kỳ của tập hợp

đã cho, kết quả thu được cũng là một phần tử của tập hợp ấy

Dễ thấy rằng, phép trừ các số tự nhiên không đóng kín do hiệu của hai số tự nhiên có thể không là một số tự nhiên Lấy một

ví dụ khác: Xét tập những số tự nhiên lẻ {𝟏, 𝟑, 𝟓, 𝟕, … } Ta có tổng của hai số lẻ luôn là một số chẵn; vì thế, tập những số lẻ

không đóng kín với phép cộng Để kiểm tra tính đóng kín của phép toán nào đó, ta có thể dùng giản đồ Venn Ví dụ vừa nêu có giản đồ Venn như sau

Hình 1.10 Giản đồ Venn của tập các số tự nhiên lẻ

Nếu tập đã cho đóng kín với phép toán, kết quả nhận được cũng nằm trong hình oval Nếu có bất kỳ một kết quả nào nằm ngoài hình ấy, ta kết luận phép toán được quan tâm không đóng kín

Ví dụ 13 Kiểm tra tính đóng kín của tập hợp sau với các

phép toán tương ứng

(i) Tập các số lẻ với phép trừ;

(ii) Tập các số lẻ với phép nhân;

(iii) Tập các số lẻ với phép chia

Gợi ý (iii) Phép chia trên tập hợp các số tự nhiên lẻ không

đóng kín Chẳng hạn, 𝟐

𝟑 không phải là số tự nhiên

Trước khi sang tính chất tiếp theo, ta có phát biểu sau về tính đóng kín của một phép toán trên tập hợp đã biết trước

Với mỗi cặp gồm hai phần tử bất kỳ của tập hợp đã cho, nếu kết quả nhận được từ việc tác động phép toán lên cặp phần tử cũng là một phần tử của tập hợp thì tập đã cho đóng kín với phép toán ấy Nếu ta có thể chỉ ra một ví dụ

cụ thể rằng kết quả thu được không phải là một phần tử của tập hợp thì tập đã cho không đóng kín với phép toán đó

Tính chất có phần tử đơn vị (identity property) Trong muôn

vàn các số tự nhiên, số 0 là một con số đặc biệt Nó được gọi là

phần tử đơn vị của phép cộng (identity for addition) Khi cộng

bất kỳ con số nào với 0, ta nhận được chính số ấy Ví dụ,

𝟎 + 𝟓 = 𝟓; 𝟏𝟕 + 𝟎 = 𝟏𝟕; 𝟎 + 𝟎 = 𝟎

Nói tóm lại, với mọi số tự nhiên 𝒃, ta luôn có

𝒃 + 𝟎 = 𝒃 = 𝟎 + 𝒃

và 0 là phần tử đơn vị duy nhất của phép cộng

Tính chất kết hợp (associative property) Khi thực hiện phép

tính tổng ba số tự nhiên bất kỳ, việc ta kết hợp con số ở giữa (hay số thứ hai tính từ trái sang phải) với số tiếp theo hoặc với số trước đó không làm thay đổi kết quả thu được Tính chất như thế được gọi là tính chất kết hợp đối với phép cộng Tức là,

với mọi bộ ba số tự nhiên 𝒂, 𝒃 và 𝒄 bất kỳ,

𝒂 + (𝒃 + 𝒄) = (𝒂 + 𝒃) + 𝒄

Khi làm toán nhẩm, đôi lúc chúng ta tách một số thành tổng của hai số khác như ở Ví dụ 14 “Bí quyết” của hành động ấy chính là tính kết hợp nêu trên

Ví dụ 14

Hình 1.11 Tính chất kết hợp của phép cộng các số tự nhiên

Tính chất giao hoán (commutative property) Khi tính tổng

hai số nào đó, các số hạng có thể đổi chỗ cho nhau mà không làm ảnh hưởng đến kết quả Ta bảo đây là tính chất giao hoán:

𝒂 + 𝒃 = 𝒃 + 𝒂 với mọi số tự nhiên 𝒂, 𝒃

Khi tính tổng, tính chất giao hoán giúp cho việc kết hợp các cặp số với nhau trở nên dễ dàng hơn, như ở ví dụ sau đây

Ví dụ 15 Khi cộng các số 26, 37 và 4 với nhau, ta có thể đổi

vị trí của 37 cho 4 Như thế quá trình tính toán trở nên thuận lợi hơn Rõ ràng, việc tính tổng 𝟐𝟔 + 𝟒 = 𝟑𝟎 rồi 𝟑𝟎 + 𝟑𝟕 dễ dàng hơn cách tính 𝟐𝟔 + 𝟑𝟕

𝟐𝟔 + 𝟑𝟕 + 𝟒 = 𝟐𝟔 + 𝟒 + 𝟑𝟕 = 𝟑𝟎 + 𝟑𝟕 = 𝟔𝟕

Chú ý rằng, trong dãy phép tính vừa nêu, vì phép cộng có tính kết hợp (nghĩa là thứ tự thực hiện tính toán không quan trọng) nên ta không cần viết các cặp dấu ngoặc mà có thể viết trực tiếp

là 𝟐𝟔 + 𝟑𝟕 + 𝟒 thay cho 𝟐𝟔 + (𝟑𝟕 + 𝟒) hoặc (𝟐𝟔 + 𝟑𝟕) + 𝟒

So sánh các số tự nhiên

Đôi khi chúng ta đặt câu hỏi, vì sao lại ba lại bé hơn bảy hay

do đâu sáu lại lớn hơn bốn? Ở góc nhìn Toán học, câu hỏi này chính là một cách diễn đạt khác cho việc ta cùng nhau tìm hiểu

về quan hệ11 (hai ngôi) giữa hai số tự nhiên nào đó Tuy thế, ta vẫn có thể nhìn nhận điều trên thông qua hình ảnh về thứ tự của hai số đó khi đếm chúng Ví dụ như ‘3 nhỏ hơn 7’ là vì ta “gọi tên” của 3 trước rồi mới đến 7 Thứ tự của các số tự nhiên được

hình tượng hóa qua tia số (number line) Để nhận được tia số,

trước tiên ta lấy hai điểm bất kỳ trên một đường thẳng cho trước, rồi đánh dấu chúng lần lượt bởi 0 và 1 như hình bên dưới Đoạn

thẳng như vậy được gọi là đoạn đơn vị (unit segment) Sau đó,

ta chia đường thẳng đã cho thành nhiều phần có độ dài mỗi phần bằng với đoạn đơn vị và đánh dấu tiếp theo về phía bên phải bởi

2, 3, 4, …, 13, 14, v.v… Khi lấy hai số ngẫu nhiên từ tia số, ta nói là số nằm bên trái nhỏ hơn (hay bé hơn) số nằm bên phải

Khẳng định “𝒎 nhỏ hơn 𝒏” cho hai số tự nhiên 𝒎, 𝒏 đã biết chính là câu trả lời cho yêu cầu so sánh hai số ấy Câu khẳng định vừa nêu còn được diễn đạt bằng các hình thức khác như

11 Xem thêm về quan hệ hai ngôi ở Chương 4, sách Cơ sở Toán ở Tiểu học 1

12 Thuật ngữ tương ứng và có cùng ý nghĩa với “nếu và chỉ nếu” là “khi và chỉ khi” Trong sách này, ta sẽ dùng hai thuật ngữ ấy thay đổi cho nhau

“𝒏 lớn hơn 𝒎” (ký hiệu là 𝒏 > 𝒎),

“𝒏 lớn hơn hoặc bằng 𝒎” (ký hiệu là 𝒏 ≥ 𝒎) hay

“𝒎 bé hơn hoặc bằng 𝒏” (ký hiệu là 𝒎 ≤ 𝒏)

Hai ký hiệu < và > được nhà Toán học người Anh tên là Thomas Harriot đưa vào sử dụng lần đầu tiên năm 1631 Mặc dù không ai rõ từ đâu Harriot lựa chọn dùng các ký hiệu này nhưng

ta lại có cách lý giải13 thú vị và logic giúp dễ ghi nhớ ý nghĩa của chúng Khi nhìn vào ký hiệu dấu bằng, chúng ta thấy rằng khoảng cách giữa hai điểm đầu mút bên trái hoặc bên phải của =

là như nhau Từ đó 𝟑 < 𝟒 với ý nghĩa “3 nhỏ hơn 4” là vì khoảng cách giữa hai đầu mút bên trái bé hơn khoảng cách giữa hai đầu mút bên phải Ta giải thích 𝟒 > 𝟑 theo cách tương tự

Phép trừ

Nếu phép cộng là hình ảnh kết hợp hai tập hợp lại với nhau thì phép trừ lại mang ý nghĩa tách một tập con rời khỏi tập hợp các đối tượng cho trước Như thế, việc phân cách một tập thành các tập con hay phép trừ là hình ảnh ngược của việc gộp hai tập thành một mà ta còn gọi là phép cộng Chính vì mối quan hệ đối

lập này, phép cộng và phép trừ là các phép toán nghịch đảo

(inverse operations) Dựa trên quan hệ ấy, ta có thể định nghĩa phép trừ qua phép toán cộng như sau

Với mọi số tự nhiên 𝒂 và 𝒃 thỏa 𝒂 ≥ 𝒃, hiệu của 𝒂 trừ

𝒃 (difference of 𝒂 minus 𝒃), ký hiệu 𝒂 − 𝒃, là một số

tự nhiên 𝓬 sao cho 𝒂 = 𝒃 + 𝓬

Qua định nghĩa vừa nêu, bạn có thể thấy rằng để tìm hiệu của

𝟏𝟕 − 𝟓, ta sẽ tìm số hạng còn thiếu (missing addend) 𝓬 sao cho

khi thêm 𝓬 đơn vị vào 5, kết quả nhận được là 17 Nếu bạn để ý thì mỗi lần mua một món đồ gì đó, người bán hàng tạp hóa thường dùng cách này để thối tiền cho bạn Thay vì trừ đi 83 ngàn đồng từ 100 ngàn để tìm hiệu, họ lại đếm từ 83 đến 100 Cũng từ định nghĩa trên, ta có ràng buộc 𝒂 phải lớn hơn hoặc bằng 𝒃 Đó là vì bài toán về phép trừ ở bậc Tiểu học luôn yêu cầu tìm hiệu của một số với một số khác nhỏ hơn nó Trong chương sau, khi chúng ta mở rộng tập những số tự nhiên thành tập các số nguyên với sự xuất hiện của số âm, định nghĩa

về phép trừ sẽ không còn điều kiện này nữa

Mô hình của phép trừ

Khái niệm về phép trừ thể hiện qua ba hình thức:

Lấy bớt đi (take-away) Giả sử Quân có 12 con tem, rồi cho

Uyên 7 tem Vậy Quân còn bao nhiêu tem? Hình sau đây mô tả hiệu 𝟏𝟐 − 𝟕 qua việc lấy bớt đi 7 phần tử từ nhóm 12 phần tử

Hình 1.13 Hình thức Lấy bớt đi thể hiện 𝟏𝟐 − 𝟕 = 𝟓

So sánh (comparison) Giả sử Minh có 12 con tem và Phương

có 7 tem Hỏi Minh có nhiều hơn Phương bao nhiêu tem?

Ở trường hợp này, ta so sánh hai tập hợp với nhau để tìm hiệu Hình ảnh một tập hợp có nhiều hơn một tập khác 5 tem được

mô tả như sau

Hình 1.14 Hình thức So sánh thể hiện 𝟏𝟐 − 𝟕 = 𝟓

Tìm số hạng còn thiếu Giả sử Linh chỉ có 7 con tem nhưng

cô lại cần gửi đi 12 lá thư Biết rằng trên mỗi lá thư gửi đi có dán một con tem Hỏi Linh phải có thêm bao nhiêu tem? Để giải bài toán, ta có thể đếm từ 7 đến 12 để tìm số hạng còn thiếu Việc thêm 5 tem vào 7 tem để tạo thành nhóm có 12 tem được biểu diễn qua hình dưới đây

Hình 1.15 Hình thức Tìm số hạng còn thiếu thể hiện 𝟏𝟐 − 𝟕 = 𝟓 Thông qua những bài toán cụ thể, ta có hai mô hình giải thích

về quy trình tìm hiệu giữa các số tự nhiên: Không cần phải nhớ—không thực hiện phép gộp, và cần phải nhớ—cần

thực hiện phép gộp Ví dụ 16 trình bày quy trình tính hiệu bằng cách gộp nhóm sử dụng hình thức lấy bớt đi

Ví dụ 16 Tìm 𝟓𝟑 − 𝟐𝟗 Trước tiên ta bắt đầu với 5 bó que tính (5 chục) và 3 que lẻ (3 đơn vị) Muốn bớt đi 9 que, ta phải phân rã một bó que để thu được 13 que lẻ Sau đó, ta lấy đi 2 bó

và 9 que, chỉ để lại 2 bó que cùng 4 que lẻ Trong quy trình, phép gộp được ghi lại qua việc chúng ta gạch 5 đi và viết 4 ở phía trên đó

Hình 1.16 Hình thức Lấy bớt đi thể hiện 𝟓𝟑 − 𝟐𝟗

Phép nhân

Hình 1.17 Saigon Times Square

Tòa nhà 39 tầng ở hình bên gọi là Saigon Times Square14 Đây là tòa nhà cao thứ ba Sài Gòn và đứng thứ năm trên cả nước ta Nơi này vào ban đêm thật rực rỡ với bao dải đèn màu lung linh, thu hút sự chú ý của khách bộ hành ở phố Nguyễn Huệ

14 Xem thêm ở hoan-hao-theo-chuan-quoc-te_15509.html

http://designs.vn/tin-tuc/saigon-times-square-cong-trinh-cao-oc-và https://en.wikipedia.org/wiki/Saigon_Times_Square

Phần tháp phía trước của Saigon Times Square gồm 33 tầng, chia làm 5 cột Để làm sạch kính, người ta đặt một máy chùi rửa

ở đỉnh tòa nhà, một bộ phận của máy sẽ hạ xuống theo chiều dọc

và vệ sinh 33 mặt kính trên mỗi cột Sau khi làm sạch tất cả mặt kính ở một cột, máy sẽ di chuyển sang cột tiếp theo Như vậy, tổng số mặt kính là tổng của 𝟑𝟑 + 𝟑𝟑 + ⋯ + 𝟑𝟑, trong đó con

số 33 được lặp lại năm lần Tổng này bằng với tích 𝟓 × 𝟑𝟑, tức

là 165 Tổng và tích vừa nêu còn có cách biểu diễn khác nếu ta xét số mặt kính theo mỗi tầng Có 5 mặt kính ở mỗi tầng và có tất cả 33 tầng Vì thế, tổng số mặt kính là tổng của 𝟓 + 𝟓 + ⋯ +

𝟓, gồm ba mươi ba con số 5 Tổng ấy có cùng giá trị với 𝟑𝟑 × 𝟓 hay là 165 Từ đó, ta thấy rằng, sử dụng phép nhân là cách tính hiệu quả thay cho phép cộng khi gặp bài toán tìm tổng đặc trưng như trên: Tìm tổng của một số được lặp lại nhiều lần Trên thực

tế, phép nhân được đưa ra nhằm thay thế cho phép cộng ở

trường hợp đặc biệt với nhiều số hạng của tổng có cùng giá trị (several equal addends) Đây chính là lý do vì sao người ta

thường định nghĩa cũng như giải thích phép nhân

(multiplication) các số dưới dạng phép cộng lặp

(repeated addition)

Cho hai số tự nhiên 𝒂 và 𝒃 bất kỳ Tích của 𝒂 và 𝒃

(product of 𝒂 and 𝒃) là tổng của 𝒂 lần 𝒃, và ta viết

𝒂 × 𝒃 = 𝒃 + 𝒃 + ⋯ + 𝒃⏟

𝒂 𝐥ầ𝐧

Có nhiều cách để ký hiệu phép nhân như 𝒂 ∗ 𝒃, 𝒂𝒃, 𝒂 ∙ 𝒃 hay

𝒂 𝒃, và 𝒂 × 𝒃 Ở tài liệu này, ký hiệu × tương ứng với dấu nhân Trong một số trường hợp cụ thể, khi không bị nhầm lẫn, ta sẽ dùng cách viết 𝒂𝒃

Để minh họa phép nhân các số, ta có thể dùng những dãy (có)

hình chữ nhật (rectangular array), chẳng hạn như các hàng và

cột của mặt kính như ở phần đầu mục này Hình 1.18 dưới đây nêu lên mối quan hệ gần gũi giữa việc tìm tích bằng phép cộng lặp với việc tìm tích ấy dùng những dãy trên Nếu 1.18-(a) minh họa cho phép tính 𝟕 + 𝟕 + 𝟕 + 𝟕 bằng cách nhóm bốn dãy với nhau, mỗi dãy gồm bảy ô vuông nhỏ ứng với bảy đơn vị thì 1.18-(b) ghép các dãy này thành một mặt 𝟒 × 𝟕 có hình chữ nhật

Hình 1.18 Minh họa phép nhân các số dùng các dãy hình chữ nhật

Một cách khác thường gặp, dùng để minh họa cho phép nhân

là sơ đồ cây (tree diagram) Ở cách này, ta dùng phép đếm để

giải một số bài toán nhân đặc trưng

Ví dụ 17 Từ một quyển catalog quần jeans nam, người ta

thấy các chất liệu cotton, thun và denim15 Bên cạnh đó, quyển này còn liệt kê một số kiểu phổ biến là ống rộng, ống thẳng, ống loe và lưng xệ16 Hỏi có tất cả bao nhiêu mẫu quần jeans?

Giải Ta giải bài toán bằng cách dùng sơ đồ cây Sơ đồ gồm

ba nhánh tương ứng với ba loại chất liệu vải Mỗi nhánh ấy lại chia thành bốn nhánh nhỏ ứng với các kiểu quần Như vậy, sơ đồ

có 𝟑 × 𝟒 = 𝟏𝟐 điểm đầu mút Mỗi đầu mút là một trong mười hai mẫu quần jeans cần tìm

Hình 1.19 Minh họa bài toán tìm mẫu quần jeans dùng Sơ đồ cây

Mô hình của phép nhân

Trong đời sống, có nhiều người thành thạo khi làm tính nhân

và có thể đưa ra ngay kết quả khi nhận được yêu cầu Thế nhưng

15 Denim là chất liệu để may quần jeans, được dệt từ một sợi trắng và một sợi màu trong khi chất liệu thông thường được dệt bằng hai sợi cùng màu Xem thêm ở

họ lại không nắm vững quy trình tìm tích Sử dụng mô hình mặt

(area model) trong phép nhân không những giúp chúng ta hiểu định nghĩa phép nhân hơn, làm sáng tỏ quy trình tính mà còn củng cố các quy tắc cần thực hiện khi làm toán Ta sẽ dùng một

hệ các mặt (xem hình 1.20): Vuông (flat), dài (long) và đơn (unit) để mô tả những ví dụ bên dưới Mỗi mặt đơn ứng với một đơn vị Mười mặt đơn tương ứng với một mặt dài (một dãy hình nhật gồm mười ô nhỏ) Mười mặt dài ứng với một mặt vuông

Hình 1.20 Mặt vuông, mặt dài và mặt đơn

Hình 1.21 Tìm tích của 𝟑 × 𝟏𝟒𝟓 dùng mô hình mặt

Hình 1.21 diễn giải yêu cầu tìm tích của 𝟑 × 𝟏𝟒𝟓 bằng

mô hình mặt Trước hết, ta biểu diễn con số 145 như ở 1.21-(a),

rồi ta gấp ba lần số mặt ấy lên và nhận được: Ba mặt vuông, mười hai mặt dài cùng mười lăm mặt đơn [xem 1.21-(b)] Tiếp đến, ta thực hiện gộp nhóm Mười mặt đơn gộp thành một mặt dài, còn lại năm mặt đơn Mười mặt dài tạo thành một mặt vuông, để lại ba mặt dài Kết quả nhận được sau cùng gồm bốn mặt vuông, ba mặt dài và năm mặt đơn, giống như 1.21-(c)

Mô hình mặt được dùng để minh họa cho kỹ năng tính toán

dùng giấy và bút (paper-and-pencil17) Xét tích 𝟑 × 𝟏𝟒𝟓 nêu trên Đầu tiên, ta viết số 5, ứng với năm mặt đơn của 1.21-(c), ở hàng đơn vị Việc gộp mười mặt đơn thành một mặt dài ở bước tiếp theo được ghi nhận lại qua hình ảnh của số 1 nhỏ ở hàng chục (xem bên dưới) Sau đó, ta ghi số 3 ở hàng chục, con số này chính là ba mặt dài Tương tự, ta cũng có số 1 nhỏ ở hàng trăm ứng với việc nhóm mười mặt dài thành một mặt vuông và cuối cùng, viết số 4 trên cùng hàng ấy

Mặt vuông Mặt dài Mặt đơn

Mô hình mặt còn giúp ta dễ dàng biểu diễn phép nhân các số với 10 Cứ mười mặt đơn tạo thành một mặt dài, mười mặt dài được một mặt vuông và mười mặt vuông cho một mặt dài-vuông (long-flat) Để dễ hình dung hơn, bạn có thể xem một mặt dài-vuông là một hàng có mười mặt vuông xếp liền kề nhau

Bây giờ ta tìm tích của 34 và 10 (xem hình 1.22) Ta bắt đầu với ba mặt dài và bốn mặt đơn Kết quả thu được gồm 3 mặt vuông, 4 mặt dài và 0 mặt đơn Điều này đồng nghĩa với việc ta thêm số 0 vào bên phải của một số18 khi nhân số đó với mười

Hình 1.22 Biểu diễn tích 𝟑𝟒 × 𝟏𝟎 bằng mô hình mặt

Nhược điểm của mô hình mặt dần thể hiện khi tìm tích của các thừa số lớn Chẳng hạn, ở phép nhân 18 với 23, số 23 được lặp lại mười tám lần Ta có thể dùng các dãy hình chữ nhật để thay thế Ta vẽ một hình chữ nhật có chiều 𝟏𝟖 × 𝟐𝟑 trên giấy kẻ

ô ly19 Tổng số ô ly nhỏ của dãy chính là tích cần tính Như vậy,

18 Số tự nhiên hoặc số nguyên

19 Bạn nên dùng giấy kẻ 10 ô ly để thuận tiện hơn khi đếm số ô ly Các học sinh lớp một thường dùng giấy kẻ 5 ô ly để rèn chữ Khi không nhấn mạnh số ô được chia như 4, 5, 10, người ta gọi chung là “giấy kẻ ô ly” hay “giấy kẻ ly”

kết quả cần tìm là 414 Chú ý rằng, “dãy lớn” (xem Hình 1.23)

có thể xem như mười tám “hàng nhỏ” của 23 và điều này thêm một lần nữa thắt chặt quan hệ giữa phép nhân và cộng dồn

Hình 1.23 Biểu diễn tích 𝟏𝟖 × 𝟐𝟑 bằng dãy hình chữ nhật

Khi nhân các số (dùng giấy và bút), tích nhận được là tích

từng phần (partial product) Mỗi khi nhân những số có hai chữ

số với nhau như 𝟏𝟑 × 𝟏𝟕, ta nhận được bốn tích từng phần Bốn vùng phân biệt bởi các dòng kẻ đậm đại diện cho các tích ấy Đôi lúc cần nhấn mạnh, ta vẽ thêm một số mũi tên từ mỗi tích từng phần đến vùng tương ứng trên giấy kẻ ly (Hình 1.24)

Hình 1.24 Tích từng phần

Tính chất của phép nhân các số tự nhiên

Tương tự với phép cộng các số, phép nhân cũng có những tính chất tương ứng

Tính đóng kín Với mọi số tự nhiên 𝒂 và 𝒃,

𝒂 × 𝒃 là số tự nhiên duy nhất

Tính chất có phần tử đơn vị Số 1 giữ vai trò là phần tử đơn vị

của phép nhân vì khi ta nhân nó với một số tự nhiên khác, kết quả nhận được chính là số tự nhiên ấy Ví dụ như

và 1 là phần tử đơn vị duy nhất của phép nhân

Tính chất giao hoán Khi tìm tích các số, ta có thể đổi chỗ hai

con số bất kỳ mà không làm thay đổi tích thu được Chẳng hạn,

𝟑𝟓𝟕 × 𝟐𝟔 = 𝟐𝟔 × 𝟑𝟓𝟕 Nghĩa là, ta luôn có

𝒂 × 𝒃 = 𝒃 × 𝒂

với mọi số tự nhiên 𝒂 và 𝒃

Ví dụ 18 Có hai cách biểu diễn một tích bằng cách dùng các

dãy hình chữ nhật Hình 1.25-(a) tương ứng với tích của 𝟕 × 𝟓, còn 1.25-(b) ứng với tích của 𝟓 × 𝟕 Ta nhận được 1.25-(b) bằng cách xoay 1.25-(a) và như vậy, cả hai hình này có cùng số

ô vuông Vì thế, ta thu được cùng một kết quả