Tài liệu toán mệnh đề và các liên từ, chân trị và và bảng chân trị

Tài liệu toán mệnh đề và các liên từ, chân trị và và bảng chân trị, mệnh đề diều kiện dành cho sinh viên ngành giáo dục tiểu học ôn thi

Mệnh đề

Logic hình thức nghiên cứu về một số nội dung củangôn ngữ tự nhiên cũng như mối quan hệ giữa chúngvới nhau bằng cách sử dụng các ký hiệu.

Đối tượng nghiên cứu chủ yếu: các mệnh đề và các

liên từ.

Mệnh đề là một câu văn có tính chất đúng hoặc sai.

Ví dụ 1

Các câu sau:

Hôm nay trời nắng;

Cô Loan sẽ đi Đà Lạt vào tháng sau;Tôi không tham gia vào câu lạc bộlà các mệnh đề.

Các câu hỏi (như “Bạn khoẻ không?”), câu cảm thán(ví dụ “Thật tuyệt!”), các câu còn thiếu (chẳng hạn“Nếu có thể ”), câu mệnh lệnh không phải là

các mệnh đề.

Liên từ

Liên từ là từ được dùng để ghép các mệnh đề đơn

thành các mệnh đề phức tạp hơn, thường được gọi là

các mệnh đề phức hợp (compound statements).

Các liên từ phổ biến cùng với ký hiệu của chúng:

Ví dụ 2

“Xe đạp của Tân mới và tôi thích màu của nó” = P ∧Q.

Lưu ý.

biến một mệnh đề đơn thành mệnh đề phủ địnhtương ứng.

Vì thế “không” là phép toán, không phải là liên từ.Các ký hiệu đại diện cho mệnh đề, liên từ, cùng vớiphép (toán) phủ định tạo nên ngôn ngữ Toán.

Các dấu ngoặc tương ứng với các dấu câu.

Liên từ và mệnh đề phức hợp

P ∧ QP ∨ QP → Q

P và QP hay Qnếu P thì Q

MĐ hộiMĐ tuyểnMĐ điều kiện

Lưu ý.

1 Liên từ hay/hoặc, trong Toán, có ý nghĩa

bao hàm Ví dụ MĐ “sinh viên Sư phạm có thểchọn ngoại ngữ là tiếng Anh hay tiếng Hàn”

được hiểu là họ có thể chọn tiếng Anh hoặc

tiếng Hàn, hoặc cả hai.

2 Liên từ “nhưng” mang ý nghĩa giống với “và”.Chẳng hạn “Xe của bạn tuy mới nhưng tôikhông thích màu của nó”

được viết ở dạng ký hiệu là P ∧ ¬Q.

D = “Tôi tìm các trang web về ‘tập nguồn’ ”;C = “Tôi tìm các trang web về ‘tập ảnh’ ”;F = “Tôi tìm các trang web về ‘ánh xạ’ ”.

Các liên từ (và dấu câu) giúp chia nhỏ MĐ phức hợpthành các MĐ đơn VD liên từ “thì” chia MĐ ban đầuthành hai phần: Phần 1 là MĐ tuyển của D với C,phần 2 là MĐ đơn F

Dạng ký hiệu của MĐ phức hợp đã cho là(D ∨ C) → F

Bài tập 1

Chuyển các MĐ phức hợp sau đây thành các MĐký hiệu bằng cách gán ký hiệu cho mỗi MĐ đơnvà dùng các liên từ thích hợp.

(a) Hoàng là luật sư, vì thế anh không phải làkẻ lừa đảo.

(b) Mặc dù tuổi đời còn rất trẻ, cô giáo vẫnrất uyên bác.

(c) Nếu bạn cúp học thì hoặc là bạn đọc sáchhoặc là bạn thi rớt.

Bài tập 1 (tiếp theo)

(d) Tuy đang google về “ánh xạ” nhưng tôi

không tìm các trang có cả hai từ “tập nguồn”và “tập ảnh”.

(e) Tôi đang google các trang về “ánh xạ” nhưng tôikhông tìm các trang có từ “tập nguồn” cũng nhưkhông tìm các trang có từ “tập ảnh”.

Bài tập 2

Diễn đạt bằng lời cho các MĐ ký hiệu sau, nếuC = “Case là sản phẩm tăng thêm”;

S = “Sạc là tặng phẩm đính kèm (có sẵn)”;T = “Tai nghe là sản phẩm tuỳ chọn”.

(a) (C ∧ T ) → S.(b) S ∧ [C ∨ ¬T ].

(c) (¬r ) → [(¬C) ∨ (¬T )].(d) ¬(T ∧ C).

Chân trị

Mỗi MĐ Toán học, đơn hay phức hợp, đều cótính chất đúng hoặc sai.

Ta bảo rằng chân trị của một MĐ là đúng (đ) khi MĐ

đó đúng, là sai (s) khi MĐ đó sai.

Chân trị của MĐ phức hợp phụ thuộc vào chân trịcủa các MĐ đơn tạo nên nó.

Ví dụ 3

Nếu P =“Hải biết chơi piano” là MĐ sai,còn L =“Hải giỏi Lý” là MĐ đúng

thì chân trị của MĐ hội

P ∧ L = “Hải biết chơi piano và Hải giỏi Lý”là sai.

Bảng chân trị

Bảng chân trị (BCT) là bảng tổng hợp tất cả

các chân trị có thể có của một MĐ.

Nếu mệnh đề P có thể đúng (đ) hay sai (s)

thì bảng chân trị của nó (ở dạng đơn giản nhất) là

Pđs

BCT của MĐ hội, MĐ tuyển

MĐ P ∧Q (MĐ hội) chỉ đúng khi cả P và Q cùng đúng,trong khi MĐ P ∨ Q (MĐ tuyển) chỉ sai khi cả P và Qcùng sai.

Ví dụ 4

Tìm bảng chân trị của mệnh đề phức hợp P ∨ Q ∧ P.Ta sẽ chia MĐ trên thành các phần nhỏ hơn với

độ phức tạp tăng dần: các MĐ đơn P và Q, MĐ tuyểnP ∨ Q, MĐ phủ định của nó P ∨ Q, và cuối cùng làmệnh đề P ∨ Q ∧ P.

Mỗi phần nhỏ hơn đó sẽ tương ứng với một cột:

1 Phép phủ định ¬ đảo ngược các chân trị.(Do đó, các giá trị ở cột thứ tư sẽ ngược lại vớicác giá trị ở cột thứ ba.)

2 Khả năng duy nhất để hội ∧ của hai MĐ là đúng

là khi cả hai MĐ đó cùng đúng.

3 Khả năng duy nhất để tuyển ∨ của hai MĐ là sai

là khi cả hai MĐ đó cùng sai.

Ta nhận được kết quả như sau:

Bài tập 4

Viết bảng chân trị của các MĐ phức hợp:(a) P ∧ P.

(b) P ∧ Q.(c) P ∨ Q ∨ P.

Bài tập 5

Nếu P là MĐ đúng và Q là MĐ sai, chân trị củacác MĐ sau là gì?

(a) P ∧ Q(b) P ∧ Q

MĐ điều kiện

Mệnh đề phức hợp có dạng “Nếu P thì Q”, viết ở dạngký hiệu

P → Q,

được gọi là mệnh đề điều kiện, trong đó P là tiền đề

còn Q là kết quả của MĐ đang xét.

Ví dụ 5

Xét MĐ

Nếu là hoa thì tôi sẽ là một đoá hướng dương.

(Trương Quốc Khánh, Tự nguyện)

Ở MĐ này P =“ tôi là hoa” là tiền đề,

còn Q =“ tôi là một đoá hướng dương” là kết quả.

BCT của MĐ điều kiện

Bảng chân trị của một MĐ điều kiện như sau:

nếu người đó giao hàng đúng hẹn (P = đ) và

bạn đưa họ 5k (Q = đ) thì thoả thuận của ta là đúng(nghĩa là P → Q đúng).

(tức là P → Q đúng) dù cho quyết định của bạnlà gì đi nữa (đưa hay không đưa họ 5k).

Bài tập 6

Cho MĐ điều kiện “Nếu điểm trung bình môn họccủa bạn từ 85% trở lên thì bạn nhận được điểm Atrong lớp”.

(a) Xác định tiền đề và kết quả của MĐ trên.Viết lại MĐ dưới dạng ký hiệu.

(b) Hãy kiểm tra lại từng trường hợp trong

4 khả năng có thể xảy ra ứng với bảng chân trị(P và Q cùng đúng, P = đ và Q = s, )

và lý giải vì sao BCT của MĐ đã cho lại hợp lý.

Bài tập 7

Lập BCT cho mỗi MĐ phức hợp dưới đây.(a) (M ∧ N) → N.

(b) (¬P) → (P → Q).

Ví dụ 7

Xét đoạn trích sau từ tác phẩm “Through the LookingGlass” của tác giả Lewis Carrol: “Cô đang buồn”,người kỵ sỹ nói với giọng lo lắng: “tôi sẽ hát

một bài để cổ động cô nhé Nào mọi người

hãy lắng nghe tôi hát—hoặc là điều đó sẽ làm họ

Hằng đúng trong đời sống hàng ngày

Hằng đúng thường là một câu văn hoặc một cụm từđặc trưng cho các cách diễn đạt khác nhau

(iii) Thảo tự hào khoe với mẹ rằng cô đã tự1 mình2

đan được một chiếc khăn tay.

Hằng đúng trong văn học và âm nhạc

Không chỉ là các cách diễn đạt khác của cùng mộtvấn đề, hằng đúng còn đưa đến cho độc giả

một cảm nhận sâu sắc hơn về vấn đề được nêu.Ví dụ:

“Tồn tại hay là không, đó là một câu hỏi.”

(William Shakespeare, Hamlet)

“Tôi sẽ cho em hay Tôi luôn mong đợi để được nóivới em Tôi chờ đợi để được tỏ lòng mình cùng em.”

(George Bernard Shaw, Pygmalion)

“Que séra, séra Whatever will be, will be.”

Hằng sai

Mỗi hằng sai là một mệnh đề luôn sai.

Mệnh đề có dạng P ∧ P là một hằng sai phổ biến.Ví dụ:

(i) “Anh không phải là người như em nghĩ,anh chỉ từng là người như vậy thôi”.(ii) Mệnh đề P ∨ P là hằng sai (Tại sao?)

Bài tập 8

(a) Một MĐ không phải là hằng đúng cũng khôngphải là hằng sai là MĐ như thế nào?

(b) Nếu P và Q là hai MĐ (có thể là phức hợp)sao cho P ∨ Q là hằng sai thì ta

có thể kết luận gì về P và Q?

(c) Nếu P và Q là hai MĐ (có thể là phức hợp)sao cho P ∧ Q là hằng đúng thì ta

có thể kết luận gì về P và Q?

Hai mệnh đề tương đương

Hai MĐ P và Q được gọi là tương đương nhau

về (mặt) logic khi BCT của chúng giống nhau.

Ký hiệu: P ⇔ Q Ta đọc: “P tương đương Q ”

hay “P nếu và chỉ nếu Q ” hoặc “P khi và chỉ khi Q ”.

Ví dụ: P và P là 2 MĐ tương đương.

Khi P đúng thì P cũng đúng, và ngược lại.BCT được dùng để kiểm tra xem 2 mệnh đềcó tương đương nhau hay không.

Ví dụ 10

Hai MĐ nào đó có dạng P → Q và P ∨ Qtương đương nhau về logic.

Điều đó được thể hiện qua BCT sau:

Nếu giá hợp lý thì tôi sẽ mua món đồ này và

(Hoặc là) giá cao hoặc tôi không mua món đồ này

tương đương nhau về logic Nói cách khác, chúnggiống nhau về mặt ngữ nghĩa.

Bài tập 10

Chứng tỏ rằng P ∧ (Q ∨ R) tương đương về mặtlogicvới (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R).

(Ví dụ thực tế: Kết quả của việc bạn google từ khoá“logic” và với một trong hai từ khoá “nguyên nhân”hay “chính trị” cũng giống như kết quả của việc tìmcác trang với cả 2 từ khoá “logic” và “nguyên nhân”,hoặc, “logic” và “chính trị”.)

Bài tập 11

Hãy viết lại các câu sau bằng cách dùng tính chấttương đương về mặt logic Bạn có thể diễn đạt chúngmột cách đơn giản hơn, nếu được.

(a) Hoặc là cô ấy đến trễ và quên gọi (để báo chongười đang nói), hoặc là cô ấy đến trễ và

gặp tai nạn gì đó.

(b) Bạn phải học Văn hoặc Toán, và bạnphải học Văn hoặc Ngoại ngữ.

MĐ điều kiện trong tiếng Việt

“Sơn Tùng dùng (Oppo) F9.”(Trích từ một quảng cáo gần đây.)

Mệnh đề điều kiện trong ngôn ngữ hàng ngày

thường không thể hiện dưới hình thức “nếu P thì Q ”mà ở các dạng khác.

Sau đây là một số cách dùng thường gặp.

(A) Nếu bạn khéo léo, cậu ấy sẽ bị thu hút.Ở đây, từ thì được thay thế bởi dấu phẩy.

(B) Khi bạn hay đói, cơ thể của bạn đang thiếu chất.Câu này có thể diễn đạt lại: Nếu bạn hay đói thì

cơ thể bạn đang thiếu chất.

(C) Bạn sẽ chẳng nhớ gì nếu không ôn lại bài

ở nhà.

Câu này có thể diễn đạt lại: Nếu không ôn lại bài

ở nhà thì bạn sẽ chẳng nhớ gì.

(D) Sơn Tùng dùng F9.

(Ở đây, QC muốn nói: “nếu bạn dùng F9, bạnsẽ là một Sơn Tùng thứ hai” Dĩ nhiên điều nàykhông đúng với ý nghĩa thật sự của câu nói:‘nếu bạn là ST, bạn sẽ dùng F9’.)

(E) Ở Việt Nam không có gấu trúc.

(Nếu con vật đang xét là gấu trúc thì nókhông sống ở Việt Nam.)

(F) Để đạt được học bổng, bạn cần có GPA 3.0.

(Nếu bạn nhận được học bổng thì điểm GPAcủa bạn đang là 3.0.)

Chú ý là, trường hợp (F) là cách dùng phổ biến củaMĐ điều kiện Ta thường gặp nó trong các văn bảnpháp quy (văn bản quy định các điều khoản, điều lệ).Câu “Nếu bạn nhận được học bổng thì điểm GPAcủa bạn đang là 3.0” cho biết GPA 3.0 không phải làđiều kiện duy nhất để có học bổng, nói cách khác, nókhông thể hiện đầy đủ các điều kiện phải có.

Kết hợp 2 ví dụ sau cùng (G1 và G2), mệnh đề P → Qcó thể diễn đạt bằng các cách khác như

• Q là điều kiện cần để có P;• P là điều kiện đủ để có Q;• P chỉ nếu Q.

Bài tập 12

Viết lại các mệnh đề sau ở dạng nếu thì

1 Mỗi bức tranh đều là một câu chuyện.

2 Tròn 18 tuổi là điều kiện cần để có thể tham giabầu cử.

3 Việc giải các câu đố đuổi hình bắt chữ đủ để tôiđau đầu.

Quy tắc phủ định một MĐ điều kiện

‘Park tòng sĩ, ngươi sai rồi, không phải rằng“Nếu có vua thì mới có bá tánh.” ’(trích lời kết trong phim Dạ Quỷ.)

Để tìm mệnh đề phủ định của câu nói trên, ta xét BCTsau đây.

Hãy viết câu phủ định của các MĐ sau:

(a) Nếu cậu định đi xem phim, tớ sẽ đi cùng cậu.(b) Nếu em bảo “đồng ý”, anh sẽ hạnh phúc suốt cả

cuộc đời này.

Các loại MĐ điều kiện

Ta bắt đầu với MĐ:

“Nếu có vua thì mới có bá tánh.”

Tiền đề của câu trên là P =“chúng ta có vua”, cònkết quả là Q =“chúng ta có bá tánh” Dạng ký hiệucủa câu đã cho là P → Q.

Mệnh đề đảo

MĐ đảo nhận được bằng cách đảo thứ tự củatiền đề với kết quả Do đó, về mặt ký hiệu,mệnh đề đảo sẽ là Q → P.

Về mặt ngữ nghĩa, nó là

“Nếu có bá tánh thì mới có vua”.

(Đây là lời nói cuối cùng của nhân vật chính Đại Quântrong phim Dạ Quỷ.)

Mệnh đề phản

MĐ phản nhận được bằng cách phủ định tiền đề vàphủ định kết quả.

Về mặt ký hiệu, mệnh đề đảo là P → Q.Về mặt ngữ nghĩa, nó là

“Nếu không có vua thì sẽ chẳng có bá tánh”.(Rõ ràng, đây không thể là phủ định của MĐ đầu tiên.)

Mệnh đề phản đảo

MĐ phản đảo đóng vai trò quan trọng trong Logic vàToán học Ta nhận được loại MĐ này bằng cáchvừa lấy phủ định của tiền đề và của kết quả,lại vừa đảo thứ tự của chúng.

Về mặt ký hiệu, mệnh đề phản đảo là Q → P.Về mặt ngữ nghĩa, nó là

“Nếu không có bá tánh thì cũng sẽ không có vua”.

Bài tập 13

Với mỗi mệnh đề phía dưới

• Nếu sống ở miền Nam, tôi sẽ ở Đà Lạt;

• Nếu cậu không đồng ý, thoả thuận sẽ bị phá vỡ;• Hoa sẽ nở nếu ta tưới nước đều;

(a) viết mỗi MĐ ở dạng ký hiệu, xác định tiền đề vàkết quả;

(b) viết MĐ đảo ở 2 dạng: ký hiệu và câu đầy đủ.(c) viết MĐ phản ở cả 2 dạng.

(d) viết MĐ phản đảo ở cả 2 dạng.

Bài tập 14

Cho mệnh đề điều kiện P → Q Hãy viết các

mệnh đề điều kiện tương ứng sau đây ở dạng ký hiệu(và đơn giản hoá khi có thể).

(a) MĐ đảo

(b) MĐ phản đảo(c) MĐ phản

Tương đương logic giữa các loại MĐđiều kiện

Bảng chân trị ở Khung trước (Khung 66) cho ta haikết luận quan trọng:

MĐ điều kiện P → Q và MĐ đảo Q → P của nókhông tương đương logic với nhau.

Ví dụ

Các MĐ “Nếu bạn là Sơn Tùng thì bạn sẽ dùng F9”và “Nếu bạn dùng F9 thì bạn sẽ là Sơn Tùng”

khác nhau hoàn toàn về mặt ngữ nghĩa.

MĐ điều kiện P → Q và MĐ phản đảo Q → Pcủa nó tương đương logic với nhau.

Chú ý

Mệnh đề đảo Q → P và mệnh đề phản P → Q

tương đương nhau về mặt logic vì chúng là phản đảocủa nhau.

Bài tập 15

Mệnh đề nào sau đây tương đương logic với Bạn sẽ

tỉnh táo trong giờ học nếu đi ngủ sớm ? (Chọn một

hoặc nhiều đáp án và kiểm tra lại bằng BCT.)(a) Nếu bạn tỉnh táo trong giờ học thì bạn đã đi

Quy tắc phủ định MĐ chứa lượng từ

Các câu có chứa lượng từ với mọi như tất cả, mỗi,

mọi, không (có gì là), hoặc chứa lượng từ tồn tại

như một số, có (một), ít nhất một, cần có sự chú ý

đặc biệt khi viết câu phủ định.

Ví dụ 11

Mệnh đề

Tất cả các bạn nữ trong nhóm này đều tên là Thanh

có thể vận dụng được ở nhiều trường hợp, và có thểđúng hoặc sai tuỳ theo ngữ cảnh.

Ví dụ 11 (tiếp theo)

Các ngữ cảnh cụ thể có thể có ở một nhóm ba gồm:A: Kim Thanh, Yến Thanh, Bích Thanh.

(Thanh là tên của tất cả các bạn nữ.)B: Bảo Nhân, Yến Thanh, Hoàng Yến.

(Một số bạn nữ tên Thanh, một số có tên khác.)C: Hoàng Yến, Minh Anh, Kiều Diễm.

(Không ai có tên Thanh.)

MĐ Tất cả các bạn nữ trong nhóm này đều tên là

Thanh đúng ở nhóm A, và sai ở cả hai nhóm B và C.

Quy tắc

MĐ đang xét và MĐ phủ định của nó phải có chân trịngược nhau trong tất cả các ngữ cảnh có thể có.Vì thế, các mệnh đề phủ định đúng của câu

P =“Tất cả các bạn nữ đều có tên Thanh”là các mệnh đề:

P =“Một số bạn nữ có tên khác với Thanh ”;P =“Có bạn nữ có tên khác với Thanh ”.

Chú ý

Mệnh đề

Tất cả các bạn nữ đều có tên khác với Thanh

không là mệnh đề phủ định của câu ban đầu

vì chúng cùng sai ở ngữ cảnh (B).

(Xem trang 1 của file GiaiThichChiTiet để hiểu rõ hơn.)

Tương tự, các mệnh đề phủ định đúng của câuP =“Một số bạn cảm thấy buồn ngủ”là các mệnh đề:

P =“Không ai cảm thấy buồn ngủ ”;P =“Tất cả các bạn đều tỉnh táo ”.

Để dễ ghi nhớ các quy tắc phủ định nói trên ta có cácsơ đồ Venn sau

Hình 1:Phủ định mệnh đề P chứa lượng từ với mọi

Hình 2:Phủ định mệnh đề P chứa lượng từ tồn tại

Chú ý

1 Phủ định của MĐ chứa lượng từ với mọi

(ví dụ P =“Cả nhóm đều biết bơi”, Q =“Không aibiết điều đó”) là một mệnh đề có chứa lượng từtồn tại (P =“Một số người không biết bơi”,

Q =“Có người biết điều đó”).

Điều này thể hiện tính chất rằng phủ định củamột sự việc đúng với mọi đối tượng là sự việc đósai với ít nhất một đối tượng.

Chú ý (tiếp theo)

3 Nhắc lại rằng phủ định 2 lần của một mệnh đềchính là mệnh đề đó P = P Do đó, ta có thểviết phủ định của các mệnh đề như

P =“Không ai hát được”,

Q =“Một số bạn không học bài”

bằng cách dùng sơ đồ Venn ở Hình 1 và Hình 2.Các câu phủ định đúng là P =“Một số ngườicó thể hát”, Q =“Tất cả các bạn đều học bài”.

Suy luận hợp lý

Mỗi suy luậnlogic là một chuỗi các mệnh đề

được chia làm 2 phần: giả thiết (phát biểu trước) vàkết luận (phát biểu sau) Trong đó, phần kết luậnchỉ gồm một mệnh đề.

Ví dụ 12 (Hai suy luận logic)

Hươu cao cổ nào cũng có cổ dài.Tú nuôi chú hươu cao cổ con.Vì thế, nhà Tú có một con thú cổ dài.

Tài xế xe hơi chạy bằng xăng nàocũng làm ô nhiễm môi trường.Tất cả những ai làm môi trường ô nhiễmđều khiến chất lượng cuộc sống bị suy giảm.Một số thị dân làm giảm chất lượng cuộc sống.Do đó, một số thị dân lái xe hơi chạy bằng xăng.

Hai ví dụ nhỏ vừa nêu đều chia làm hai phần,trong đó phần kết luận là câu cuối cùng

với liên từ vì thế phía trước (hay liên từ do đó

hoặc các liên từ có liên quan).

Ví dụ nhỏ thứ nhất là một chuỗi 3 mệnh đề Vì vậy,

nó còn được gọi là một tam đoạn luận, mỗi đoạn

là một mệnh đề.

Tính hợp lý của suy luận logic

Một suy luận được gọi là hợp lý (/có lý) nếu có

giả thiết đúng thì cũng sẽ có kết luận đúng.

Nói cách khác, trong một suy luận hợp lý, giả thiếtđúng sẽ đưa đến kết quả đúng.

Ta có thể kiểm tra tính hợp lý của một suy luận logicbằng sơ đồ Venn.