Tài liệu toán mệnh đề và các liên từ, chân trị và và bảng chân trị, mệnh đề diều kiện dành cho sinh viên ngành giáo dục tiểu học ôn thi
Trang 3Mệnh đề
Logic hình thức nghiên cứu về một số nội dung củangôn ngữ tự nhiên cũng như mối quan hệ giữa chúngvới nhau bằng cách sử dụng các ký hiệu.
Đối tượng nghiên cứu chủ yếu: các mệnh đề và các
liên từ.
Mệnh đề là một câu văn có tính chất đúng hoặc sai.
Trang 4Ví dụ 1
Các câu sau:
Hôm nay trời nắng;
Cô Loan sẽ đi Đà Lạt vào tháng sau;Tôi không tham gia vào câu lạc bộlà các mệnh đề.
Các câu hỏi (như “Bạn khoẻ không?”), câu cảm thán(ví dụ “Thật tuyệt!”), các câu còn thiếu (chẳng hạn“Nếu có thể ”), câu mệnh lệnh không phải là
các mệnh đề.
Trang 6Liên từ
Liên từ là từ được dùng để ghép các mệnh đề đơn
thành các mệnh đề phức tạp hơn, thường được gọi là
các mệnh đề phức hợp (compound statements).
Các liên từ phổ biến cùng với ký hiệu của chúng:
Ví dụ 2
“Xe đạp của Tân mới và tôi thích màu của nó” = P ∧Q.
Trang 7Lưu ý.
biến một mệnh đề đơn thành mệnh đề phủ địnhtương ứng.
Vì thế “không” là phép toán, không phải là liên từ.Các ký hiệu đại diện cho mệnh đề, liên từ, cùng vớiphép (toán) phủ định tạo nên ngôn ngữ Toán.
Các dấu ngoặc tương ứng với các dấu câu.
Trang 8Liên từ và mệnh đề phức hợp
P ∧ QP ∨ QP → Q
P và QP hay Qnếu P thì Q
MĐ hộiMĐ tuyểnMĐ điều kiện
Trang 9Lưu ý.
1 Liên từ hay/hoặc, trong Toán, có ý nghĩa
bao hàm Ví dụ MĐ “sinh viên Sư phạm có thểchọn ngoại ngữ là tiếng Anh hay tiếng Hàn”
được hiểu là họ có thể chọn tiếng Anh hoặc
tiếng Hàn, hoặc cả hai.
2 Liên từ “nhưng” mang ý nghĩa giống với “và”.Chẳng hạn “Xe của bạn tuy mới nhưng tôikhông thích màu của nó”
được viết ở dạng ký hiệu là P ∧ ¬Q.
Trang 11D = “Tôi tìm các trang web về ‘tập nguồn’ ”;C = “Tôi tìm các trang web về ‘tập ảnh’ ”;F = “Tôi tìm các trang web về ‘ánh xạ’ ”.
Các liên từ (và dấu câu) giúp chia nhỏ MĐ phức hợpthành các MĐ đơn VD liên từ “thì” chia MĐ ban đầuthành hai phần: Phần 1 là MĐ tuyển của D với C,phần 2 là MĐ đơn F
Dạng ký hiệu của MĐ phức hợp đã cho là(D ∨ C) → F
Trang 12Bài tập 1
Chuyển các MĐ phức hợp sau đây thành các MĐký hiệu bằng cách gán ký hiệu cho mỗi MĐ đơnvà dùng các liên từ thích hợp.
(a) Hoàng là luật sư, vì thế anh không phải làkẻ lừa đảo.
(b) Mặc dù tuổi đời còn rất trẻ, cô giáo vẫnrất uyên bác.
(c) Nếu bạn cúp học thì hoặc là bạn đọc sáchhoặc là bạn thi rớt.
Trang 13Bài tập 1 (tiếp theo)
(d) Tuy đang google về “ánh xạ” nhưng tôi
không tìm các trang có cả hai từ “tập nguồn”và “tập ảnh”.
(e) Tôi đang google các trang về “ánh xạ” nhưng tôikhông tìm các trang có từ “tập nguồn” cũng nhưkhông tìm các trang có từ “tập ảnh”.
Trang 14Bài tập 2
Diễn đạt bằng lời cho các MĐ ký hiệu sau, nếuC = “Case là sản phẩm tăng thêm”;
S = “Sạc là tặng phẩm đính kèm (có sẵn)”;T = “Tai nghe là sản phẩm tuỳ chọn”.
(a) (C ∧ T ) → S.(b) S ∧ [C ∨ ¬T ].
(c) (¬r ) → [(¬C) ∨ (¬T )].(d) ¬(T ∧ C).
Trang 15Chân trị
Mỗi MĐ Toán học, đơn hay phức hợp, đều cótính chất đúng hoặc sai.
Ta bảo rằng chân trị của một MĐ là đúng (đ) khi MĐ
đó đúng, là sai (s) khi MĐ đó sai.
Trang 16Chân trị của MĐ phức hợp phụ thuộc vào chân trịcủa các MĐ đơn tạo nên nó.
Ví dụ 3
Nếu P =“Hải biết chơi piano” là MĐ sai,còn L =“Hải giỏi Lý” là MĐ đúng
thì chân trị của MĐ hội
P ∧ L = “Hải biết chơi piano và Hải giỏi Lý”là sai.
Trang 17Bảng chân trị
Bảng chân trị (BCT) là bảng tổng hợp tất cả
các chân trị có thể có của một MĐ.
Nếu mệnh đề P có thể đúng (đ) hay sai (s)
thì bảng chân trị của nó (ở dạng đơn giản nhất) là
Pđs
Trang 19BCT của MĐ hội, MĐ tuyển
MĐ P ∧Q (MĐ hội) chỉ đúng khi cả P và Q cùng đúng,trong khi MĐ P ∨ Q (MĐ tuyển) chỉ sai khi cả P và Qcùng sai.
Trang 20Ví dụ 4
Tìm bảng chân trị của mệnh đề phức hợp P ∨ Q ∧ P.Ta sẽ chia MĐ trên thành các phần nhỏ hơn với
độ phức tạp tăng dần: các MĐ đơn P và Q, MĐ tuyểnP ∨ Q, MĐ phủ định của nó P ∨ Q, và cuối cùng làmệnh đề P ∨ Q ∧ P.
Trang 21Mỗi phần nhỏ hơn đó sẽ tương ứng với một cột:
Trang 221 Phép phủ định ¬ đảo ngược các chân trị.(Do đó, các giá trị ở cột thứ tư sẽ ngược lại vớicác giá trị ở cột thứ ba.)
2 Khả năng duy nhất để hội ∧ của hai MĐ là đúng
là khi cả hai MĐ đó cùng đúng.
3 Khả năng duy nhất để tuyển ∨ của hai MĐ là sai
là khi cả hai MĐ đó cùng sai.
Trang 23Ta nhận được kết quả như sau:
Trang 25Bài tập 4
Viết bảng chân trị của các MĐ phức hợp:(a) P ∧ P.
(b) P ∧ Q.(c) P ∨ Q ∨ P.
Trang 26Bài tập 5
Nếu P là MĐ đúng và Q là MĐ sai, chân trị củacác MĐ sau là gì?
(a) P ∧ Q(b) P ∧ Q
Trang 27MĐ điều kiện
Mệnh đề phức hợp có dạng “Nếu P thì Q”, viết ở dạngký hiệu
P → Q,
được gọi là mệnh đề điều kiện, trong đó P là tiền đề
còn Q là kết quả của MĐ đang xét.
Trang 28Ví dụ 5
Xét MĐ
Nếu là hoa thì tôi sẽ là một đoá hướng dương.
(Trương Quốc Khánh, Tự nguyện)
Ở MĐ này P =“ tôi là hoa” là tiền đề,
còn Q =“ tôi là một đoá hướng dương” là kết quả.
Trang 29BCT của MĐ điều kiện
Bảng chân trị của một MĐ điều kiện như sau:
Trang 30nếu người đó giao hàng đúng hẹn (P = đ) và
bạn đưa họ 5k (Q = đ) thì thoả thuận của ta là đúng(nghĩa là P → Q đúng).
Trang 31(tức là P → Q đúng) dù cho quyết định của bạnlà gì đi nữa (đưa hay không đưa họ 5k).
Trang 32Bài tập 6
Cho MĐ điều kiện “Nếu điểm trung bình môn họccủa bạn từ 85% trở lên thì bạn nhận được điểm Atrong lớp”.
(a) Xác định tiền đề và kết quả của MĐ trên.Viết lại MĐ dưới dạng ký hiệu.
(b) Hãy kiểm tra lại từng trường hợp trong
4 khả năng có thể xảy ra ứng với bảng chân trị(P và Q cùng đúng, P = đ và Q = s, )
và lý giải vì sao BCT của MĐ đã cho lại hợp lý.
Trang 33Bài tập 7
Lập BCT cho mỗi MĐ phức hợp dưới đây.(a) (M ∧ N) → N.
(b) (¬P) → (P → Q).
Trang 35Ví dụ 7
Xét đoạn trích sau từ tác phẩm “Through the LookingGlass” của tác giả Lewis Carrol: “Cô đang buồn”,người kỵ sỹ nói với giọng lo lắng: “tôi sẽ hát
một bài để cổ động cô nhé Nào mọi người
hãy lắng nghe tôi hát—hoặc là điều đó sẽ làm họ
Trang 38Hằng đúng trong đời sống hàng ngày
Hằng đúng thường là một câu văn hoặc một cụm từđặc trưng cho các cách diễn đạt khác nhau
(iii) Thảo tự hào khoe với mẹ rằng cô đã tự1 mình2
đan được một chiếc khăn tay.
Trang 39Hằng đúng trong văn học và âm nhạc
Không chỉ là các cách diễn đạt khác của cùng mộtvấn đề, hằng đúng còn đưa đến cho độc giả
một cảm nhận sâu sắc hơn về vấn đề được nêu.Ví dụ:
“Tồn tại hay là không, đó là một câu hỏi.”
(William Shakespeare, Hamlet)
“Tôi sẽ cho em hay Tôi luôn mong đợi để được nóivới em Tôi chờ đợi để được tỏ lòng mình cùng em.”
(George Bernard Shaw, Pygmalion)
“Que séra, séra Whatever will be, will be.”
Trang 40Hằng sai
Mỗi hằng sai là một mệnh đề luôn sai.
Mệnh đề có dạng P ∧ P là một hằng sai phổ biến.Ví dụ:
(i) “Anh không phải là người như em nghĩ,anh chỉ từng là người như vậy thôi”.(ii) Mệnh đề P ∨ P là hằng sai (Tại sao?)
Trang 42Bài tập 8
(a) Một MĐ không phải là hằng đúng cũng khôngphải là hằng sai là MĐ như thế nào?
(b) Nếu P và Q là hai MĐ (có thể là phức hợp)sao cho P ∨ Q là hằng sai thì ta
có thể kết luận gì về P và Q?
(c) Nếu P và Q là hai MĐ (có thể là phức hợp)sao cho P ∧ Q là hằng đúng thì ta
có thể kết luận gì về P và Q?
Trang 43Hai mệnh đề tương đương
Hai MĐ P và Q được gọi là tương đương nhau
về (mặt) logic khi BCT của chúng giống nhau.
Ký hiệu: P ⇔ Q Ta đọc: “P tương đương Q ”
hay “P nếu và chỉ nếu Q ” hoặc “P khi và chỉ khi Q ”.
Ví dụ: P và P là 2 MĐ tương đương.
Khi P đúng thì P cũng đúng, và ngược lại.BCT được dùng để kiểm tra xem 2 mệnh đềcó tương đương nhau hay không.
Trang 44Ví dụ 10
Hai MĐ nào đó có dạng P → Q và P ∨ Qtương đương nhau về logic.
Điều đó được thể hiện qua BCT sau:
Trang 45Nếu giá hợp lý thì tôi sẽ mua món đồ này và
(Hoặc là) giá cao hoặc tôi không mua món đồ này
tương đương nhau về logic Nói cách khác, chúnggiống nhau về mặt ngữ nghĩa.
Trang 47Bài tập 10
Chứng tỏ rằng P ∧ (Q ∨ R) tương đương về mặtlogicvới (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R).
(Ví dụ thực tế: Kết quả của việc bạn google từ khoá“logic” và với một trong hai từ khoá “nguyên nhân”hay “chính trị” cũng giống như kết quả của việc tìmcác trang với cả 2 từ khoá “logic” và “nguyên nhân”,hoặc, “logic” và “chính trị”.)
Trang 48Bài tập 11
Hãy viết lại các câu sau bằng cách dùng tính chấttương đương về mặt logic Bạn có thể diễn đạt chúngmột cách đơn giản hơn, nếu được.
(a) Hoặc là cô ấy đến trễ và quên gọi (để báo chongười đang nói), hoặc là cô ấy đến trễ và
gặp tai nạn gì đó.
(b) Bạn phải học Văn hoặc Toán, và bạnphải học Văn hoặc Ngoại ngữ.
Trang 50MĐ điều kiện trong tiếng Việt
“Sơn Tùng dùng (Oppo) F9.”(Trích từ một quảng cáo gần đây.)
Mệnh đề điều kiện trong ngôn ngữ hàng ngày
thường không thể hiện dưới hình thức “nếu P thì Q ”mà ở các dạng khác.
Trang 51Sau đây là một số cách dùng thường gặp.
(A) Nếu bạn khéo léo, cậu ấy sẽ bị thu hút.Ở đây, từ thì được thay thế bởi dấu phẩy.
(B) Khi bạn hay đói, cơ thể của bạn đang thiếu chất.Câu này có thể diễn đạt lại: Nếu bạn hay đói thì
cơ thể bạn đang thiếu chất.
(C) Bạn sẽ chẳng nhớ gì nếu không ôn lại bài
ở nhà.
Câu này có thể diễn đạt lại: Nếu không ôn lại bài
ở nhà thì bạn sẽ chẳng nhớ gì.
Trang 52(D) Sơn Tùng dùng F9.
(Ở đây, QC muốn nói: “nếu bạn dùng F9, bạnsẽ là một Sơn Tùng thứ hai” Dĩ nhiên điều nàykhông đúng với ý nghĩa thật sự của câu nói:‘nếu bạn là ST, bạn sẽ dùng F9’.)
(E) Ở Việt Nam không có gấu trúc.
(Nếu con vật đang xét là gấu trúc thì nókhông sống ở Việt Nam.)
(F) Để đạt được học bổng, bạn cần có GPA 3.0.
(Nếu bạn nhận được học bổng thì điểm GPAcủa bạn đang là 3.0.)
Trang 53Chú ý là, trường hợp (F) là cách dùng phổ biến củaMĐ điều kiện Ta thường gặp nó trong các văn bảnpháp quy (văn bản quy định các điều khoản, điều lệ).Câu “Nếu bạn nhận được học bổng thì điểm GPAcủa bạn đang là 3.0” cho biết GPA 3.0 không phải làđiều kiện duy nhất để có học bổng, nói cách khác, nókhông thể hiện đầy đủ các điều kiện phải có.
Trang 55Kết hợp 2 ví dụ sau cùng (G1 và G2), mệnh đề P → Qcó thể diễn đạt bằng các cách khác như
• Q là điều kiện cần để có P;• P là điều kiện đủ để có Q;• P chỉ nếu Q.
Trang 56Bài tập 12
Viết lại các mệnh đề sau ở dạng nếu thì
1 Mỗi bức tranh đều là một câu chuyện.
2 Tròn 18 tuổi là điều kiện cần để có thể tham giabầu cử.
3 Việc giải các câu đố đuổi hình bắt chữ đủ để tôiđau đầu.
Trang 57Quy tắc phủ định một MĐ điều kiện
‘Park tòng sĩ, ngươi sai rồi, không phải rằng“Nếu có vua thì mới có bá tánh.” ’(trích lời kết trong phim Dạ Quỷ.)
Để tìm mệnh đề phủ định của câu nói trên, ta xét BCTsau đây.
Trang 59Hãy viết câu phủ định của các MĐ sau:
(a) Nếu cậu định đi xem phim, tớ sẽ đi cùng cậu.(b) Nếu em bảo “đồng ý”, anh sẽ hạnh phúc suốt cả
cuộc đời này.
Trang 60Các loại MĐ điều kiện
Ta bắt đầu với MĐ:
“Nếu có vua thì mới có bá tánh.”
Tiền đề của câu trên là P =“chúng ta có vua”, cònkết quả là Q =“chúng ta có bá tánh” Dạng ký hiệucủa câu đã cho là P → Q.
Trang 61Mệnh đề đảo
MĐ đảo nhận được bằng cách đảo thứ tự củatiền đề với kết quả Do đó, về mặt ký hiệu,mệnh đề đảo sẽ là Q → P.
Về mặt ngữ nghĩa, nó là
“Nếu có bá tánh thì mới có vua”.
(Đây là lời nói cuối cùng của nhân vật chính Đại Quântrong phim Dạ Quỷ.)
Trang 62Mệnh đề phản
MĐ phản nhận được bằng cách phủ định tiền đề vàphủ định kết quả.
Về mặt ký hiệu, mệnh đề đảo là P → Q.Về mặt ngữ nghĩa, nó là
“Nếu không có vua thì sẽ chẳng có bá tánh”.(Rõ ràng, đây không thể là phủ định của MĐ đầu tiên.)
Trang 63Mệnh đề phản đảo
MĐ phản đảo đóng vai trò quan trọng trong Logic vàToán học Ta nhận được loại MĐ này bằng cáchvừa lấy phủ định của tiền đề và của kết quả,lại vừa đảo thứ tự của chúng.
Về mặt ký hiệu, mệnh đề phản đảo là Q → P.Về mặt ngữ nghĩa, nó là
“Nếu không có bá tánh thì cũng sẽ không có vua”.
Trang 64Bài tập 13
Với mỗi mệnh đề phía dưới
• Nếu sống ở miền Nam, tôi sẽ ở Đà Lạt;
• Nếu cậu không đồng ý, thoả thuận sẽ bị phá vỡ;• Hoa sẽ nở nếu ta tưới nước đều;
(a) viết mỗi MĐ ở dạng ký hiệu, xác định tiền đề vàkết quả;
(b) viết MĐ đảo ở 2 dạng: ký hiệu và câu đầy đủ.(c) viết MĐ phản ở cả 2 dạng.
(d) viết MĐ phản đảo ở cả 2 dạng.
Trang 65Bài tập 14
Cho mệnh đề điều kiện P → Q Hãy viết các
mệnh đề điều kiện tương ứng sau đây ở dạng ký hiệu(và đơn giản hoá khi có thể).
(a) MĐ đảo
(b) MĐ phản đảo(c) MĐ phản
Trang 66Tương đương logic giữa các loại MĐđiều kiện
Trang 67Bảng chân trị ở Khung trước (Khung 66) cho ta haikết luận quan trọng:
MĐ điều kiện P → Q và MĐ đảo Q → P của nókhông tương đương logic với nhau.
Ví dụ
Các MĐ “Nếu bạn là Sơn Tùng thì bạn sẽ dùng F9”và “Nếu bạn dùng F9 thì bạn sẽ là Sơn Tùng”
khác nhau hoàn toàn về mặt ngữ nghĩa.
Trang 68MĐ điều kiện P → Q và MĐ phản đảo Q → Pcủa nó tương đương logic với nhau.
Trang 69Chú ý
Mệnh đề đảo Q → P và mệnh đề phản P → Q
tương đương nhau về mặt logic vì chúng là phản đảocủa nhau.
Trang 70Bài tập 15
Mệnh đề nào sau đây tương đương logic với Bạn sẽ
tỉnh táo trong giờ học nếu đi ngủ sớm ? (Chọn một
hoặc nhiều đáp án và kiểm tra lại bằng BCT.)(a) Nếu bạn tỉnh táo trong giờ học thì bạn đã đi
Trang 71Quy tắc phủ định MĐ chứa lượng từ
Các câu có chứa lượng từ với mọi như tất cả, mỗi,
mọi, không (có gì là), hoặc chứa lượng từ tồn tại
như một số, có (một), ít nhất một, cần có sự chú ý
đặc biệt khi viết câu phủ định.
Trang 72Ví dụ 11
Mệnh đề
Tất cả các bạn nữ trong nhóm này đều tên là Thanh
có thể vận dụng được ở nhiều trường hợp, và có thểđúng hoặc sai tuỳ theo ngữ cảnh.
Trang 73Ví dụ 11 (tiếp theo)
Các ngữ cảnh cụ thể có thể có ở một nhóm ba gồm:A: Kim Thanh, Yến Thanh, Bích Thanh.
(Thanh là tên của tất cả các bạn nữ.)B: Bảo Nhân, Yến Thanh, Hoàng Yến.
(Một số bạn nữ tên Thanh, một số có tên khác.)C: Hoàng Yến, Minh Anh, Kiều Diễm.
(Không ai có tên Thanh.)
MĐ Tất cả các bạn nữ trong nhóm này đều tên là
Thanh đúng ở nhóm A, và sai ở cả hai nhóm B và C.
Trang 74Quy tắc
MĐ đang xét và MĐ phủ định của nó phải có chân trịngược nhau trong tất cả các ngữ cảnh có thể có.Vì thế, các mệnh đề phủ định đúng của câu
P =“Tất cả các bạn nữ đều có tên Thanh”là các mệnh đề:
P =“Một số bạn nữ có tên khác với Thanh ”;P =“Có bạn nữ có tên khác với Thanh ”.
Trang 75Chú ý
Mệnh đề
Tất cả các bạn nữ đều có tên khác với Thanh
không là mệnh đề phủ định của câu ban đầu
vì chúng cùng sai ở ngữ cảnh (B).
(Xem trang 1 của file GiaiThichChiTiet để hiểu rõ hơn.)
Trang 76Tương tự, các mệnh đề phủ định đúng của câuP =“Một số bạn cảm thấy buồn ngủ”là các mệnh đề:
P =“Không ai cảm thấy buồn ngủ ”;P =“Tất cả các bạn đều tỉnh táo ”.
Trang 77Để dễ ghi nhớ các quy tắc phủ định nói trên ta có cácsơ đồ Venn sau
Hình 1:Phủ định mệnh đề P chứa lượng từ với mọi
Trang 78Hình 2:Phủ định mệnh đề P chứa lượng từ tồn tại
Trang 79Chú ý
1 Phủ định của MĐ chứa lượng từ với mọi
(ví dụ P =“Cả nhóm đều biết bơi”, Q =“Không aibiết điều đó”) là một mệnh đề có chứa lượng từtồn tại (P =“Một số người không biết bơi”,
Q =“Có người biết điều đó”).
Điều này thể hiện tính chất rằng phủ định củamột sự việc đúng với mọi đối tượng là sự việc đósai với ít nhất một đối tượng.
Trang 81Chú ý (tiếp theo)
3 Nhắc lại rằng phủ định 2 lần của một mệnh đềchính là mệnh đề đó P = P Do đó, ta có thểviết phủ định của các mệnh đề như
P =“Không ai hát được”,
Q =“Một số bạn không học bài”
bằng cách dùng sơ đồ Venn ở Hình 1 và Hình 2.Các câu phủ định đúng là P =“Một số ngườicó thể hát”, Q =“Tất cả các bạn đều học bài”.
Trang 83Suy luận hợp lý
Mỗi suy luậnlogic là một chuỗi các mệnh đề
được chia làm 2 phần: giả thiết (phát biểu trước) vàkết luận (phát biểu sau) Trong đó, phần kết luậnchỉ gồm một mệnh đề.
Trang 84Ví dụ 12 (Hai suy luận logic)
Hươu cao cổ nào cũng có cổ dài.Tú nuôi chú hươu cao cổ con.Vì thế, nhà Tú có một con thú cổ dài.
Tài xế xe hơi chạy bằng xăng nàocũng làm ô nhiễm môi trường.Tất cả những ai làm môi trường ô nhiễmđều khiến chất lượng cuộc sống bị suy giảm.Một số thị dân làm giảm chất lượng cuộc sống.Do đó, một số thị dân lái xe hơi chạy bằng xăng.
Trang 85Hai ví dụ nhỏ vừa nêu đều chia làm hai phần,trong đó phần kết luận là câu cuối cùng
với liên từ vì thế phía trước (hay liên từ do đó
hoặc các liên từ có liên quan).
Ví dụ nhỏ thứ nhất là một chuỗi 3 mệnh đề Vì vậy,
nó còn được gọi là một tam đoạn luận, mỗi đoạn
là một mệnh đề.
Trang 86Tính hợp lý của suy luận logic
Một suy luận được gọi là hợp lý (/có lý) nếu có
giả thiết đúng thì cũng sẽ có kết luận đúng.
Nói cách khác, trong một suy luận hợp lý, giả thiếtđúng sẽ đưa đến kết quả đúng.
Ta có thể kiểm tra tính hợp lý của một suy luận logicbằng sơ đồ Venn.