(Demo) Tài liệu Toán Dành cho Chuyên Lý

Chuyên đề Vecto Chuyên đề Hệ trục tọa độ Chuyên đề Công thức lượng giác Chuyên đề Tọa độ phẳng Chuyên đề Hàm bậc hai hàm số tổng quát Chuyên đề Giới hạn Chuyên đề Đạo hàm ứng dụng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân ứng dụng Chuyên đề Hàm số mũ – Hàm số Logarit ứng dụng TỔ CHỨC GIÁO DỤC E.T.C Bộ tài liệu em đọc tâm huyết E.T.C biên soạn, biên tập tổng hợp dành riêng cho em học sinh lớp 10 Chuyên Lý với mục đích giúp em học tốt kiến thức Toán có liên quan phục vụ trực tiếp cho việc giải tập Vật lý Chuyên, nâng cao,… Để tài liệu phát huy hết giá trị mà mang lại, E.T.C khuyên em nên sử dụng tài liệu kết hợp với sách giáo khoa sách tập (cơ nâng cao) Nhà xuất Giáo dục ban hành E.T.C mong rằng, tài liệu Toán giúp em tiếp cận với kiến thức Vật lý cách nhanh nhất, dễ dàng Trong trình sử dụng tài liệu, có khó khăn việc tự học, tự làm tập hay có ý kiến đóng góp cho E.T.C nói chung tài liệu nói riêng em liên lạc trực tiếp với E.T.C qua kênh thông tin, liên lạc sau: Facebook: www.facebook.com/etcgroup.edu.vn Website: www.etcgroup.edu.vn www.tochucgiaoducetc.xyz Mail: etc.gddt@gmail.com Hotline: 0964 595 404 – 0966 868 747 – 0946 595 404 Bên cạnh đó, E.T.C có nhóm học tối đa học sinh gia sư nhà, em có mong muốn tham gia học, liên hệ tới E.T.C E.T.C cảm ơn em học sinh tin tưởng! Ban biên tập www.etcgroup.edu.vn | 0964595404 – 0966868747 – 0946595404 | fb.com/etcgroup.edu.vn TỔ CHỨC GIÁO DỤC E.T.C TÓM TẮT LÝ THUYẾT TOÀN CHUYÊN ĐỀ Vecto đoạn thẳng có hướng • Vecto có điểm đầu (gốc) A điểm cuối (ngọn) B ta ký hiệu vecto ! !" AB • Đường thẳng AB (đường thẳng d ) ! !" giá vecto AB • Một vecto xác định ký hiệu chữ in thường với ! ! ! ! ! ! mũi tên như: a , b , u, v , x , y ,… • Vecto có điểm đầu điểm cuối trùng gọi vecto-không ! """! """! Ký hiệu: , AA , XX ,… Các vecto phương chúng có giá song song trùng • Vecto-không phương với vecto !!" !!!" !!" !!!" • Các vecto AB , CD , EF , GH vecto phương Các vecto phương chúng hướng ngược hướng • Vecto-không hướng với vecto !!" !!" • Các vecto AB , EF hai vecto hướng !!" !!" Ký hiệu AB ↑↑ EF !!" !!!" • Các vecto AB , GH hai vecto ngược hướng !!" !!!" Ký hiệu AB ↑↓ GH Độ lớn (độ dài) vecto khoảng cách điểm đầu điểm cuối vecto ! ! • Ký hiệu: a độ lớn (độ dài) vecto a ! !" !!" • AB = AB = BA = BA www.etcgroup.edu.vn | 0964595404 – 0966868747 – 0946595404 | fb.com/etcgroup.edu.vn TỔ CHỨC GIÁO DỤC E.T.C • ! = Các vecto chúng hướng có độ dài ! ! ! ! • Ký hiệu: a = b ta nói hai vecto a b Hai vecto đối có độ dài ngược hướng ! ! • Vecto a −a hai vecto đối ! !" ! !" • Vecto AB −AB hai vecto đối ! !" !!" • Vecto AB BA hai vecto đối ! ! ! ! ! ! ! ! • Vecto a b thỏa mãn a ↑↓ b a = b nên a b hai vecto đối Tích số với vecto ! ! Với số thực k vecto a ta có ka vecto thỏa mãn: ! ! ! ! • Với k > ta có ka ↑↑ a ka = k a ! ! ! ! • Với k < ta có ka ↑↓ a ka = k a ! !" !!!" Hai đường thẳng AB CD song song AB = kCD ! !" !!!" Ba điểm A, B, C thẳng hàng AB = kAC ! " "! ! ""! Quy tắc tính tổng (cộng) hai vecto a = AB b = BC : ! ! ""! ""! """! a + b = AB + BC = AC • Phép cộng hai vecto có tính chất giao hoán, kết hợp phép cộng số • Tổng vecto với vecto-không vecto Quy tắc hình bình hành !!" !!!" !!!" ABCD hình bình hành ta có AB + AD = AC 10 Quy tắc trung điểm M trung điểm đoạn thẳng AB ta có: !!!" !!!" " • MA + MB = !!!" !!" !!!" OA + OB = 2OM • Với điểm O ta có www.etcgroup.edu.vn | 0964595404 – 0966868747 – 0946595404 | fb.com/etcgroup.edu.vn TỔ CHỨC GIÁO DỤC E.T.C 11 Quy tắc trọng tâm G trọng tâm ΔABC ta có: !!!" !!" !!!" " • GA + GB + GC = !!!" !!" !!!" !!!" • Với điểm O ta có OA + OB + OC = 3OG ! """! ! " "! 12 Quy tắc hiệu hai vecto a = OA b = OB : ! ! """! ""! ""! a − b = OA −OB = BA 13 Định lý Menelaus Cho ΔABC , điểm M, N, P nằm đường AB, BC, CA Ba điểm M, N, P thẳng hàng MA NB PC = MB NC PA CÁC DẠNG BÀI TẬP Vấn đề Xác định vecto từ điểm cho trước Xác định phương, hướng vecto Xác định vecto Xác định vecto đối Sử dụng kiến thức lý thuyết 1, 2, 3, 4, 5, Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD a) Chỉ đoạn thẳng tạo từ bốn đỉnh hình bình hành b) Chỉ vecto tạo từ bốn đỉnh hình bình hành c) Chỉ vecto phương d) Chỉ vecto chiều e) Chỉ vecto ngược chiều f) Chỉ vecto có độ lớn g) Chỉ vecto h) Chỉ vecto đối Lời giải a) Các đoạn thẳng tạo từ bốn điểm A , B , C , D là: AB , AC , AD , BC , BD , CD b) Các vecto tạo từ bốn điểm A , B , C , www.etcgroup.edu.vn | 0964595404 – 0966868747 – 0946595404 | fb.com/etcgroup.edu.vn TỔ CHỨC GIÁO DỤC E.T.C !!!" ! !" !!!" AA , AB , AC , D là: !!!" !!!" !!" !!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" BD , CA , CB , CC , CD , DA , DB , DC , DD !!!" AD , !!" BA , !!" BB , !!" BC , c) Ta có ABCD hình bình hành nên AB//CD AD//BC !!!" !!" !!" !!!" !!" !!" !!!" !!!" • Do AB//CD nên ta có vecto AA , BB , CC , DD , AB , BA , DC , CD phương !!!" !!" !!" !!!" !!!" !!!" !!" !!" • Do AD//BC nên ta có vecto AA , BB , CC , DD , AD , DA , BC , CB phương !!!" !!" !!" !!!" !!" !!!" d) Các vecto AA , BB , CC , DD , AB , DC chiều !!!" !!" !!" !!!" !!" !!!" Các vecto AA , BB , CC , DD , BA , CD chiều !!!" !!" !!" !!!" !!!" !!" Các vecto AA , BB , CC , DD , AD , BC chiều !!!" !!" !!" !!!" !!!" !!" Các vecto AA , BB , CC , DD , DA , CB chiều !!!" !!" !!" !!!" !!!" Các vecto AA , BB , CC , DD , AC chiều !!!" !!" !!" !!!" !!!" Các vecto AA , BB , CC , DD , CA chiều !!!" !!" !!" !!!" !!!" Các vecto AA , BB , CC , DD , BD chiều !!!" !!" !!" !!!" !!!" Các vecto AA , BB , CC , DD , DB chiều !!" !!!" !!" !!!" e) Các vecto ngược chiều với AB , DC BA , CD !!!" !!" !!!" !!" Các vecto ngược chiều với AD , CB DA , BC !!!" !!!" Các vecto ngược chiều với AC CA !!!" !!!" Các vecto ngược chiều với BD DB !!!" !!" !!" !!!" f) Các vecto AA , BB , CC , DD vecto có độ lớn !!!" !!!" Các vecto AC , CA vecto có độ lớn !!!" !!!" Các vecto BD , DB vecto có độ lớn Ta có ABCD hình bình hành nên AB = CD AD = BC !!" !!!" !!" !!!" • Do AB = CD nên AB , DC , BA , CD vecto có độ lớn !!!" !!" !!!" !!" • Do AD = BC nên AD , CB , DA , BC vecto có độ lớn !!" !!!" !!" !!!" !!!" !!" !!!" !!" g) AB = DC ; BA = CD ; AD = BC ; DA = CB !!" !!!" !!" !!!" h) Các vecto đối AB , DC BA , CD www.etcgroup.edu.vn | 0964595404 – 0966868747 – 0946595404 | fb.com/etcgroup.edu.vn TỔ CHỨC GIÁO DỤC E.T.C !!!" !!" !!!" !!" Các vecto đối AD , CB DA , BC !!!" !!!" Các vecto đối AC CA !!!" !!!" Các vecto đối BD DB Vấn đề Xác định điểm, vecto từ quy tắc tổng, hiệu, nhân với số Ví dụ Cho ΔABC a) Dựng điểm D thỏa mãn ABCD hình bình hành !!!" !!!" !!!" !!!" " b) Dựng điểm M N thỏa mãn MB + MC = AN = AD !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" c) Tính NC + MC ; AM + CD ; AD + NC Lời giải !!" !!!" ⎧⎪AB//CD a) Để ABCD hình bình hành ⎪⎨ hay BA = CD ⎪⎪⎩AB = CD !!!" !!!" !!" Do đó, điểm D điểm cuối (ngọn) vecto CD thỏa mãn CD = BA !!!" !!!" " b) Điểm M thỏa mãn MB + MC = , theo quy tắc trung điểm ta có M trung điểm BC !!!" !!!" Điểm N thỏa mãn AN = AD , theo quy tắc nhân vecto với số thực ta có N !!!" !!!" điểm cuối vecto AN thỏa mãn AN !!!" chiều với AD N nằm đường thẳng AD phía với điểm D so với A AN = AD Suy N trung điểm AD !!!" !!!" c) Tính NC + MC : www.etcgroup.edu.vn | 0964595404 – 0966868747 – 0946595404 | fb.com/etcgroup.edu.vn TỔ CHỨC GIÁO DỤC E.T.C Vì M trung điểm BC nên MC = BC N trung điểm AD nên AN = AD ABCD hình bình hành nên BC = AD BC//AD !!!" !!!" Suy MC = AN MN //AN NC = AM !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" Ta có NC + MC = AM + MC = AC !!!" !!!" Tính AM + CD : !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" AM + CD = NC + CD = ND !!!" !!!" Tính AD + NC : !!!" !!!" !!!" !!!" AD + NC = AD + AM !!!" !!!" !!" Cách Áp dụng quy tắc trung điểm ta có AD + AM = 2AI với I trung !!!" !!!" !!" điểm DM , AD + NC = 2AI với I trung điểm DM !!!" !!!" !!" Cách Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có AD + AM = AE với E đỉnh hình bình hành ADEM Vấn đề Xác định tính độ dài (độ lớn) vecto Ví dụ: Cho ΔOBC vuông cân O có OB = OC = a Dựng tính độ dài vecto sau: !!" !!!" a) OB + OC !!" !!!" b) OB −OC ! !" !!!" c) 3OB + 4OC 11 !!" !!!" OB − OC d) Lời giải !!" !!!" !!" a) OB + OC = 2OI với I trung điểm BC !!" !!!" !!" OB + OC = 2OI = 2OI O ΔOBC vuông cân O có OB = OC = a , OI đường cao đường trung tuyến, ta www.etcgroup.edu.vn | 0964595404 – 0966868747 – 0946595404 | fb.com/etcgroup.edu.vn TỔ CHỨC GIÁO DỤC E.T.C BC OB + OC a = = có: OI = 2 !!" !!!" a Vậy OB + OC = !!" !!!" !!" !!" !!!" !!" b) OB −OC = CB ⇔ OB −OC = CB = CB = a !!" !!!" Vậy OB −OC = a ! !" ! !" !!" !!!" c) Dựng OE = 3OB OF = 4OC ⇒ OE = 3OB = 3a OF = 4OC = 4a ! !" !!!" !!" !!" !!!" 3OB + 4OC = OE + OF = 2OM với M trung điểm EF ! !" !!!" !!!" 3OB + 4OC = 2OM = 2OM ΔOEF vuông O , OM đường trung tuyến ứng với cạnh EF OE + OF = = huyền EF , ta có: OM = 2 ! !" !!!" 5a Vậy 3OB + 4OC = !!!" 11 !!" !!" !!!" d) Dựng OD = OB OE = OC 11 11 ⇒ OD = OB = a 4 3 OE = OC = a 7 11 !!" !!!" !!!" !!" !!!" OB − OC = OD −OE = ED !!!" 11 !!" !!!" OB − OC = ED = ED (3a) + ( 4a) 2 = 5a 2 ⎛ 11 ⎞ ⎛ ⎞ a 6073 = OD + OE = ⎜⎜ a⎟⎟⎟ + ⎜⎜ a⎟⎟⎟ = ⎝⎜ ⎠ ⎜⎝ ⎠ 28 2 www.etcgroup.edu.vn | 0964595404 – 0966868747 – 0946595404 | fb.com/etcgroup.edu.vn TỔ CHỨC GIÁO DỤC E.T.C Vấn đề Biểu diễn vecto qua hai vecto không phương Ví dụ: Cho ΔOAB có M, N trung điểm hai cạnh OA, OB Biểu diễn !!!" !!!!" !!!" !!!" !!!" !!" vecto OM , MN , AN , MB theo hai vecto OA , OB Lời giải !!!" !!!" !!!" ! !" • Vì M trung điểm OA nên ta có OM = OA = OA + 0OB 2 !!!!" !!!" !!!" !!" !!!" • MN = ON −OM = OB − OA 2 !!!" !!!" !!!" !!" !!!" • AN = ON −OA = OB −OA !!!" !!" !!!" !!" !!!" • MB = OB −OM = OB − OA Vấn đề Tìm tập hợp điểm thỏa mãn đẳng thức vecto Ví dụ: Cho ΔABC Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn: !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" MA + MB + MC = MB + MC Lời giải !!" !" ! !!" " • Lấy điểm I thỏa mãn IA + IB + IC = ta có I trọng tâm ΔABC !" ! !!" " • Lấy điểm J thỏa mãn JB + JC = ta có J trung điểm BC !!!" !!!" !!!" !!!" !!" !!!" !" ! !!!" !!" !!!" !!" !" ! !!" • MA + MB + MC = MI + IA + MI + IB + MI + IC = 3MI + IA + IB + IC !!!" " !!!" = 3MI + = 3MI !!!" !!!" !!!" !" ! !!!" !!" !!!" !" ! !!" !!!" " !!!" • MB + MC = MJ + JB + MJ + JC = 2MJ + JB + JC = 2MJ + = 2MJ !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" • MA + MB + MC = MB + MC ⇔ 3MI = 2MJ ⇔ 2.3MI = 3.2MJ ( ( ) ) ⇔ MI = MJ • Vì I , J điểm cố định xác theo cách dựng Điểm M thỏa mãn MI = MJ nên M nằm đường trung trực đoạn thẳng IJ Vậy tập hợp điểm M trung trực IJ 10 www.etcgroup.edu.vn | 0964595404 – 0966868747 – 0946595404 | fb.com/etcgroup.edu.vn TỔ CHỨC GIÁO DỤC E.T.C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Cho ΔABC !!!" !!!" a) Dựng điểm M thỏa mãn MC = MB !!!" ! !" !!!" b) Phân tích vecto AM theo hai vecto AB AC !!!" !!!" !!" c) Biểu diễn vecto AG theo vecto CA CB , biết G trọng tâm ΔABC !!!" d) Gọi CK đường phân giác ΔABC Biểu diễn vecto CK theo !!!" !!" vecto CA , CB !!!" !!!" !!" !!" Bài Cho lục giác ABCDEF Hãy biểu diễn vecto AC , AD , AF , EF theo ! !" ! !" vecto AB AE Bài Cho hình thang ABCD , hai đường chéo AC BD cắt O Qua O ! !" !!!" AB kẻ MN //AB ( đáy hình thang, M ∈ AD , N ∈ BC ) Đặt AB = a, DC = b ! !" !!!" !!!!" bAB + aDC Chứng minh rằng: MN = a+b !!!" !!!" !!!" !!!" Bài Cho ΔABC cạnh a Tính AB + AC ; AB − AC !!!" !!!" !!!" Bài Cho hình vuông ABCD cạnh a Tính AB + AC + AD !!!" !!!" !!!" Bài Cho ΔABC cạnh a, trực tâm H Tính độ dài vectơ HA ,HB ,HC !!!" !!!" Bài Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O Tính độ dài vectơ AB + AD , !!!" !!!" !!!" !!!" AB + AC , AB − AD Bài Cho tam giác ABC, có AM trung tuyến I trung điểm AM !!" !" ! !!" " a) Chứng minh: 2IA + IB + IC = !!!" !!" !!!" !!" b) Với điểm O bất kỳ, chứng minh: 2OA + OB + OC = 4OI Bài Cho ΔABC có M trung điểm BC, G trọng tâm, H trực tâm, O tâm đường tròn ngoại tiếp Chứng minh: !!!" !!!" a) AH = 2OM !!!" !!!" !!!" !!!" b) HA + HB + HC = 2HO !!!" !!" !!!" !!!" c) OA + OB + OC = OH Bài 10 Cho hai tam giác ABC A′B′C′ có trọng tâm G G′ 11 www.etcgroup.edu.vn | 0964595404 – 0966868747 – 0946595404 | fb.com/etcgroup.edu.vn TỔ CHỨC GIÁO DỤC E.T.C !!!!" !!!" !!!" !!!" ′ ′ ′ a) Chứng minh AA + BB + CC = 3GG′ b) Từ suy điều kiện cần đủ để hai tam giác có trọng tâm Bài 11 Cho tam giác ABC Gọi M điểm cạnh BC cho MB = 2MC Chứng !!!" !!!" !!!" minh: AM = AB + AC 3 Bài 12 Cho tam giác ABC Gọi M trung điểm AB, D trung điểm BC, N !!!" !!!" điểm thuộc AC cho CN = 2NA K trung điểm MN Chứng minh: !!!" !!!" !!!" 1 a) AK = AB + AC !!!" !!!" !!!" 1 b) KD = AB + AC Bài 13 Cho hình thang OABC M, N trung điểm OB OC Chứng minh rằng: !!!" !!" !!!" a) AM = OB −OA !!!" !!!" !!" b) BN = OC −OB !!!!" !!!" !!" 1( c) MN = OC −OB) Bài 14 Cho ΔABC Gọi M, N trung điểm AB, AC Chứng minh rằng: !!!" !!!" !!!" a) AB = − CM − BN 3 !!!" !!!" !!!" b) AC = − CM − BN 3 !!!!" !!!" !!!" 1 c) MN = BN − CM 3 Bài 15 Cho ΔABC có trọng tâm G Gọi H điểm đối xứng B qua G !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" 1( a) Chứng minh: AH = AC − AB CH = − AB + AC ) 3 !!!!" !!!" !!!" b) Gọi M trung điểm BC Chứng minh: MH = AC − AB 6 !!!" " !!!" " Bài 16 Cho hình bình hành ABCD, đặt AB = a, AD = b Gọi I trung điểm CD, 12 www.etcgroup.edu.vn | 0964595404 – 0966868747 – 0946595404 | fb.com/etcgroup.edu.vn TỔ CHỨC GIÁO DỤC E.T.C !" ! !!!" ! ! G trọng tâm tam giác BCI Phân tích vectơ BI , AG theo a, b !!!" !!!" Bài 17 Cho lục giác ABCDEF Phân tích vectơ BC BD theo vectơ !!!" !!!" AB AF Bài 18 Cho hình thang OABC, AM trung tuyến tam giác ABC Hãy phân tích !!!" !!!" !!!" !!!" vectơ AM theo vectơ OA,OB,OC Bài 19 Cho ΔABC Trên đường thẳng BC, AC, AB lấy điểm M, N, P !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" " cho MB = 3MC , NA = 3CN , PA + PB = !!!" !!!" !!!" !!!" a) Tính PM ,PN theo AB, AC b) Chứng minh: M, N, P thẳng hàng Bài 20 Cho ΔABC Gọi A1, B1, C1 trung điểm BC, CA, AB !!!" !!!" !!!!" " a) Chứng minh: AA1 + BB1 + CC1 = !!!" !!!" !!!" !!!" !!!!" ! ! " " b) Đặt BB1 = u,CC1 = v Tính BC ,CA, AB theo u v Bài 21 Cho ΔABC Gọi I điểm cạnh BC cho 2CI = 3BI Gọi F điểm cạnh BC kéo dài cho 5FB = 2FC !!" !!!" !!!" !!!" a) Tính AI , AF theo AB AC !!!" !!" !!!" b) Gọi G trọng tâm ΔABC Tính AG theo AI AF Bài 22 Cho ΔABC có trọng tâm G Gọi H điểm đối xứng G qua B !!!" !!!" !!!" " a) Chứng minh: HA − 5HB + HC = !!!" " !!!" " !!!" !!!" ! ! b) Đặt AG = a, AH = b Tính AB, AC theo a b Bài 23 Cho hình bình hành ABCD có O giao điểm hai đường chéo Chứng minh: !!!" !!" !!!" a) AC − BA = AD ; !!!" !!!" b) Nếu AB + AD = !!!" !!!" AB + AD = AC !!" !!!" CB −CD ABCD hình chữ nhật HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP 13 www.etcgroup.edu.vn | 0964595404 – 0966868747 – 0946595404 | fb.com/etcgroup.edu.vn