Tài liệu này E.T.C dựng dựa trên bài tập Toán theo chương trình học của học sinh trường THPT Chuyên Ngoại ngữ. Có chỉnh sửa, bổ sung kiến thức – chuyên đề, thêm đáp án để phù hợp với mọi đối tượng học sinh và các đồng nghiệp tham khảo.
TỔ CHỨC GIÁO DỤC E.T.C Dạng Tìm tập xác định hàm số (TXĐ) Dạng Khảo sát biến thiên hàm số Lập bảng biến thiên Dạng Hàm số chẵn – Hàm số lẻ Dạng Khảo sát biến thiên hàm số Lập bảng biến thiên Vẽ đồ thị Dạng Ứng dụng khảo sát hàm số Vào toán biện luận số nghiệm phương trình Vào toán tìm giá trị lớn (GTLN) giá trị nhỏ (GTNN) Vào toán tìm điều kiện tham số bất phương trình Dạng Tìm điểm cố định họ đồ thị hàm số bậc Dạng Khảo sát biến thiên hàm số Lập bảng biến thiên Vẽ đồ thị Dạng Biến đổi đồ thị dựa vào tính chẵn lẻ hàm số Ứng dụng đồ thị hàm số ddeer biện luận số nghiệm phương trình Dạng Tìm giá trị lớn (GTLN) giá trị nhỏ (GTNN) Tìm điều kiện tham số bất phương trình Dạng Tìm điểm cố định họ Parabol Dạng Sự tương giao Parabol với đường thẳng Tổ chức Giáo dục E.T.C gửi miễn phí tới em phần nhỏ tập tài liệu Bản đầy đủ chuyên đề chuyên đề khác, xem tải (có phí) địa website: http://www.etcgroup.edu.vn/tai-lieu-toan-10 Trong trình sử dụng tài liệu, có khó khăn hay có lỗi sai xin phản hồi tới E.T.C theo hotline, website facebook Tài liệu xây dựng dựa tập Toán theo chương trình học học sinh trường THPT Chuyên Ngoại ngữ Có chỉnh sửa, bổ sung kiến thức – chuyên đề, thêm đáp án để phù hợp với đối tượng học sinh đồng nghiệp tham khảo www.etcgroup.edu.vn | 0964595404 – 0966868747 – 0946595404 | fb.com/etcgroup.edu.vn TỔ CHỨC GIÁO DỤC E.T.C TÓM TẮT LÝ THUYẾT Nếu giá trị đại lượng x thuộc tập hợp số D xác định giá trị tương ứng y thuộc tập hợp số thực ! ta có hàm số Ký hiệu: y = f (x) Trong x biến số; y hàm số x ; D tập xác định hàm số Đồ thị hàm số y = f (x) xác định tập D tập hợp tất điểm ( ) M x; f (x) mặt phẳng tọa độ với x ∈ D ( ) Hàm số y = f (x) gọi đồng biến khoảng a;b nếu: ( ) ∀x1 , x2 ∈ a;b , x1 < x2 , f (x1 ) < f (x2 ) ( ) ∀x1 , x2 ∈ a;b , x1 ≠ x2 , f (x1 )− f (x2 ) x1 − x2 >0 ( ) Hàm số y = f (x) gọi nghịch biến khoảng a;b nếu: ( ) ∀x1 , x2 ∈ a;b , x1 < x2 , f (x1 ) > f (x2 ) ( ) ∀x1 , x2 ∈ a;b , x1 ≠ x2 , f (x1 )− f (x2 ) x1 − x2 − ⎪ ⇔ ⎨x ≠ − ⇔ ⎨ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪x ≠ ⎪⎪⎩x ≠ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎛ ⎞⎟ TXĐ: D = ⎜⎜⎜− ;+∞⎟⎟\ ⎟⎟⎠ ⎜⎝ ( )( ) )( ) {} c) y = 3x + (x − 2) x+4 ⎧ ⎪ ⎪x ≠ x−2 ≠ ⎧ ⎪ ⇔⎪ Hàm số cho xác định ⎨ ⎨ ⎪ ⎪ x + > ⎪ ⎪ ⎩ ⎩x >−4 ( ){} TXĐ: D = −4;+∞ \ d) y = x + 2x − + x2 − ( ⎧ x −1 x + ≥ ⎧ ⎪ x + 2x − ≥ ⎪ ⎪ Hàm số cho xác định ⎪ ⇔ ⎨ ⎨ ⎪ ⎪ x − ≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎩x ≠ ±2 www.etcgroup.edu.vn | 0964595404 – 0966868747 – 0946595404 | fb.com/etcgroup.edu.vn TỔ CHỨC GIÁO DỤC E.T.C ⎧⎪⎡ x + ≤ ⎧⎪⎡ x ≤−3 ⎪⎪⎢ ⎪⎪⎢ ⎪ ⎢ ⇔ ⎨⎢⎣ x −1 ≥ ⇔ ⎪⎨⎢⎢⎣ x ≥ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪x ≠ ±2 ⎪⎪x ≠ ±2 ⎩ ⎩ TXĐ: D = −∞;−3 ∪ 1;+∞ \ ( x e) y = 1− x ) ( ){} + 2x −1 ⎪⎧⎪ x ⎪⎧⎪0 ≤ x < ≥0 ⎪ ⎪ Hàm số cho xác định ⎨ 1− x ⇔⎨ ⇒ ≤ x ⎪ ⎩ ⇒ m− ≤ x ≤ 2m−1 (với m ≥−1 ) TXĐ: D = ⎡⎢m− 2;2m−1 ⎣ Để hàm số cho xác định với x ∈ ⎡⎢ 0;1 ⎡⎢ 0;1 ⊂ ⎡⎢m− 2;2m−1 ⎣ ⎣ ⎣ ⎧m− ≤ ⎧m ≤ ⎪ ⎪ ⇒⎪ ⇔⎪ ⇒ 2≥m≥1 ⎨ ⎨ ⎪ ⎪ 2m−1 ≥ m ≥ ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ Vậy ≥ m ≥ ) ) b) y = 2x − 3m + + x −m x + m−1 ) ) ( ) xác định với x ∈ 0;+∞ ⎪⎧ ⎪⎧⎪2x − 3m + ≥ ⎪⎪x ≥ 3m− Hàm số cho xác định ⎨ ⇔⎨ ⎪⎪x + m−1 ≠ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪⎩x ≠ 1−m ⎡ 3m− ⎞⎟ 3m− ;+∞⎟⎟ ⇒ 1−m < ⇔ m> • Trường hợp 1: 1−m ∉ ⎢⎢ ⎟⎟⎠ ⎢⎣ ⎡ 3m− ⎞⎟ ;+∞⎟⎟ TXĐ: D = ⎢⎢ ⎟⎟⎠ ⎢⎣ ( Để hàm số ) cho xác định với ( ) x ∈ 0;+∞ ⎡ 3m− ⎞⎟ ⎢ 0;+∞ ⊂ ⎢ ;+∞⎟⎟ ⇒ > 3m− ⇔ m < kết hợp điều kiện ta ⎟ ⎟⎠ ⎢⎣ ) TXĐ: D = ⎡⎢m;+∞ ⎣ m+1 ⇔ m>1 ) ) ) Hàm số cho xác định với x ∈ ⎡⎢ 5;+∞ ⎡⎢ 5;+∞ ⊂ ⎡⎢m;+∞ ⎣ ⎣ ⎣ ⇒ m ≤ kết hợp với điều kiện ta có < m ≤ • Trường hợp 2: m ≤ m+1 ⎡m+1 ⎞⎟ ;+∞⎟⎟ TXĐ: D = ⎢⎢ ⎟⎟⎠ ⎢⎣ ⇔ m≤1 ⎡m+1 ⎞⎟ ;+∞⎟⎟ Hàm số cho xác định với x ∈ ⎡⎢ 5;+∞ ⎡⎢ 5;+∞ ⊂ ⎢⎢ ⎟⎟⎠ ⎣ ⎣ ⎢⎣ m+1 ⇒ ≤ ⇔ m ≤ kết hợp với điều kiện ta có m ≤ ) ) Kết hợp trường hợp ta nhận giá trị m ≤ Vậy m ≤ x + 2m ( xác định với x ∈ 3;7 ⎤⎥ ⎦ x −m + Hàm số cho xác định x −m + ≠ ⇔ x ≠ m−1 d) y = { } ( ) ( ) TXĐ: D = !\ m−1 = −∞;m−1 ∪ m−1;+∞ ( ( { } Để hàm số cho xác định với x ∈ 3;7 ⎤⎥ 3;7 ⎤⎥ ⊂ !\ m−1 ⎦ ⎦ ⎡ 3;7 ⎤ ⊂ −∞;m−1 ⎡7 < m−1 ⎡m > ⎢ ⎥⎦ ⇒⎢ ⇒ ⎢⎢ ⇔ ⎢⎢ ⎤ ⎢ 3;7 ⊂ m−1;+∞ m−1 ≤ m ≤ ⎢⎣ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ Vậy m ≤ m > ( ( ( ( ) ) www.etcgroup.edu.vn | 0964595404 – 0966868747 – 0946595404 | fb.com/etcgroup.edu.vn TỔ CHỨC GIÁO DỤC E.T.C e) y = + −x + 2m + xác định với x ∈ ⎡⎢1; 4⎤⎥ ⎣ ⎦ x −m ⎧x −m > ⎧x > m ⎪ ⎪ ⇔⎪ ⇒ m < x ≤ 2m + Hàm số cho xác định ⎪ ⎨ ⎨ ⎪ ⎪ −x + 2m + ≥ x ≤ 2m + ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ (với m >−6 ) TXĐ: D = m;2m + 6⎤⎥ ⎦ Để hàm số cho xác định với x ∈ ⎡⎢1; 4⎤⎥ ⎡⎢1; 4⎤⎥ ⊂ m;2m + 6⎤⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎦ ⎧ ⎧ ⎪m < ⎪ m−2 ⎪⎩ y − y2 < suy hàm số đồng biến −2;+∞ x1 − x2 ( ) ( ) Bảng biến thiên: ( ) ( ) b) y = −x + 2x + khoảng −∞;1 1;+∞ Ta có: y1 − y2 x1 − x2 = −x12 + 2x1 + + x22 − 2x2 − x1 − x2 x − x ) + (2x − 2x ) ( = 2 1 x1 − x2 x2 − x1 )( x2 + x1 ) − 2( x2 − x1 ) ( x2 − x1 )( x1 + x2 − 2) ( = = =x x1 − x2 x1 − x2 + x2 − ⎧ ⎪ ⎪x < • Với x1 , x2 ∈ −∞;1 ta có ⎨ ⇒ x1 + x2 < ⇔ x1 + x2 − < ⎪ x < ⎪ ⎪ ⎩ y1 − y2 < suy hàm số nghịch biến −∞;1 x1 − x2 ( ) ( ) ⎧ ⎪ ⎪x > • Với x1 , x2 ∈ 1;+∞ ta có ⎨ ⇒ x1 + x2 > ⇔ x1 + x2 − > ⎪ x > ⎪ ⎪ ⎩ y1 − y2 < suy hàm số đồng biến 1;+∞ x1 − x2 ( ) ( ) Bảng biến thiên: www.etcgroup.edu.vn | 0964595404 – 0966868747 – 0946595404 | fb.com/etcgroup.edu.vn TỔ CHỨC GIÁO DỤC E.T.C c) y = x ( y1 − y2 x1 − x2 ) ( ) khoảng −∞;−1 −1;+∞ x+1 Ta có: x1 x1 + = − x1x2 + x1 − x1x2 − x2 x2 x2 + x1 − x2 (x1 + 1)(x2 + 1) = x1 − x2 = ( )( ) x1 + x2 + ⎧⎪x ⎪⎪x −1 ⎪⎧⎪x + > • Với x1 , x2 ∈ −1;+∞ ta có ⎨ ⇔⎨ ⇒ x1 + x2 + > ⎪⎪x >−1 ⎪⎪x + > ⎪⎩ ⎪⎩ y − y2 < suy hàm số đồng biến −1;+∞ x1 − x2 ( ) ( ( )( ) ) Bảng biến thiên: d) y = 2x + −x + Ta có: y1 − y2 x1 − x2 = ( ( 2x1 + = −x1 + )( ) ( ) khoảng −∞;2 2;+∞ − −x2 + x1 − x2 ) x1 − x2 − −2x1x2 − 3x2 + 4x1 + + 2x1x2 + 3x1 − 4x2 − 2x2 + = (x1 − 2)(x2 − 2) x1 − x2 ⎧⎪x < ⎧⎪x − < ⎪ ⎪ • Với x1 , x2 ∈ −∞;2 ta có ⎨ ⇔⎨ ⇒ x1 − x2 − > ⎪⎪x < ⎪⎪x − < ⎪⎩ ⎪⎩ ( ) ( )( ) www.etcgroup.edu.vn | 0964595404 – 0966868747 – 0946595404 | fb.com/etcgroup.edu.vn TỔ CHỨC GIÁO DỤC E.T.C y1 − y2 x1 − x2 ( ) < suy hàm số đồng biến −∞;2 ⎪⎧⎪x > ⎪⎧⎪x − > • Với x1 , x2 ∈ 2;+∞ ta có ⎨ ⇔⎨ ⇒ x1 − x2 − > ⎪⎪x > ⎪⎪x − > ⎪⎩ ⎪⎩ y − y2 < suy hàm số đồng biến 2;+∞ x1 − x2 ( ) ( ( )( ) ) Bảng biến thiên: Bài Chứng minh rằng: a) Hàm số y = 2x + x+1 ( ) đồng biến khoảng −1;+∞ b) Hàm số y = −x + x − x + nghịch biến ! Hướng dẫn giải a) Hàm số y = 2x + Ta có: y1 − y2 x1 − x2 x+1 2x1 + = x1 + − ( ) đồng biến khoảng −1;+∞ 2x1x2 + x2 + 2x1 + 1− 2x1x2 − x1 − 2x2 −1 2x2 + x2 + x1 − x2 (x1 + 1)(x2 + 1) = x1 − x2 x1 − x2 = (x1 + 1)(x2 + 1) = x1 − x2 (x1 + 1)(x2 + 1) ⎧⎪x >−1 ⎧⎪x + > ⎪ ⎪ Với x1 , x2 ∈ −1;+∞ ⇒ ⎨ ⇔⎨ ⇒ x1 + x2 + > ⎪⎪x >−1 ⎪⎪x + > ⎪⎩ ⎪⎩ y1 − y2 > suy hàm số đồng biến khoảng −1;+∞ x1 − x2 ( ) ( ( )( ) ) 10 www.etcgroup.edu.vn | 0964595404 – 0966868747 – 0946595404 | fb.com/etcgroup.edu.vn TỔ CHỨC GIÁO DỤC E.T.C b) Hàm số y = −x + x − x + nghịch biến ! Ta có: y1 − y2 x1 − x2 = = = = ( −x13 + x12 − x1 + + x23 − x22 + x2 − x1 − x2 ) ( )( − x13 − x23 + x12 − x22 − x1 − x2 )( ( x1 − x2 ) ) ( )( ) ( − x1 − x2 x12 + x1x2 + x22 + x1 − x2 x1 + x2 − x1 − x2 ) x1 − x2 (x1 − x2 )(−x12 − x1x2 − x22 + x1 + x2 −1) x1 − x2 y1 − y2 x1 − x2 = −x12 − x1x2 − x22 + x1 + x2 −1 = −2x12 − 2x1x2 − 2x22 + 2x1 + 2x2 − ( ) ( ) ( ) = − x12 + 2x1x2 + x22 − x12 − 2x1 + − x22 − 2x2 + ( ) ( ) ( ) = − x1 + x2 − x1 −1 − x2 −1 < với x ∈ ! suy x ∈ ! hàm số nghịch biến ! Dạng y1 − y2 x1 − x2 < với Hàm số chẵn Hàm số lẻ Bài Xét tính chẵn, lẻ hàm số sau: a) y = 3x + 3x − b) y = 2x − 5x c) y = x x d) y = 1+ x + 1− x e) y = 5x + + 5x −7 ⎧ ⎪ x + x ≤−1 ⎪ ⎪ ⎪ −1 < x < f) y = ⎨0 ⎪ ⎪ ⎪ x −1 x ≥ ⎪ ⎪ ⎩ g) y = ( x − x2 + ( ) ) x − 6x + x + 11 www.etcgroup.edu.vn | 0964595404 – 0966868747 – 0946595404 | fb.com/etcgroup.edu.vn TỔ CHỨC GIÁO DỤC E.T.C Hướng dẫn giải a) y = 3x + 3x − TXĐ: D = ! x ∈ D ⇒ −x ∈ D ; y (−x) ( ) ( ) = −x + −x − = 3x + 3x − = y ( x) Suy hàm số cho hàm số chẵn b) y = 2x − 5x TXĐ: D = ! x ∈ D ⇒ −x ∈ D ; y (−x) ( ) ( ( ) ) = −x − −x = −2x + 5x = − 2x − 5x = −y ( x) Suy hàm số cho hàm số lẻ c) y = x x TXĐ: D = ! x ∈ D ⇒ −x ∈ D ; y (−x) ( ( ) ) = −x −x = −x x = − x x = −y ( x) Suy hàm số cho hàm số lẻ d) y = 1+ x + 1− x TXĐ: D = −1 ≤ x ≤ x ∈ D ⇒ −x ∈ D ; y (−x) ( ) ( ) = 1+ −x + 1− −x = 1− x + 1+ x = y ( x) Suy hàm số cho hàm số chẵn e) y = 5x + + 5x −7 TXĐ: D = ! x ∈ D ⇒ −x ∈ D ; y (−x) ( ) ( ) = −x + + −x −7 = −5x + + −5x −7 = 5x −7 + 5x + = y ( x) Suy hàm số cho hàm số chẵn 12 www.etcgroup.edu.vn | 0964595404 – 0966868747 – 0946595404 | fb.com/etcgroup.edu.vn TỔ CHỨC GIÁO DỤC E.T.C ⎧⎪ ⎪⎪x + x ≤−1 ⎪ −1 < x < f) y = ⎨0 ⎪⎪ ⎪⎪x −1 x ≥ ⎪⎩ TXĐ: D = ! ( ) Trường hợp 1: x ∈ −∞;−1⎤⎥ ⊂ D ⇒ −x ∈ ⎡⎢1;+∞ ⊂ D ⎦ ⎣ y (−x) ( ( ) ) = −x −1 = −x −1 = − x + = −y ( x) ( ) ( ) Suy hàm số cho hàm số lẻ khoảng −∞;−1 ∪ 1;+∞ ( ) ( ) Trường hợp 2: x ∈ −1;1 ⊂ D ⇒ −x ∈ −1;1 ⊂ D y (−x) = = ±y ( x) Suy hàm số cho vừa hàm số chẵn, vừa hàm số lẻ khoảng (−1;1) g) y = ( ( ) x − 6x + 9.( x + 1) (x − 3) (x + 1) x − (x + 1) x − x2 + ) = ( x − x2 + ) = x − x2 + {} ( ) ( ) Ta thấy D = !\{3} = (−∞;3) ∪ (3;+∞) không tập hợp số đối xứng qua O TXĐ: D = !\ = −∞;3 ∪ 3;+∞ hàm số cho không hàm số chẵn không hàm số lẻ Tổ chức Giáo dục E.T.C gửi miễn phí tới em phần nhỏ tập tài liệu Bản đầy đủ chuyên đề chuyên đề khác, xem tải (có phí) địa website: http://www.etcgroup.edu.vn/tai-lieu-toan-10 Trong trình sử dụng tài liệu, có khó khăn hay có lỗi sai xin phản hồi tới E.T.C theo hotline, website facebook Tài liệu xây dựng dựa tập Toán theo chương trình học học sinh trường THPT Chuyên Ngoại ngữ Có chỉnh sửa, bổ sung kiến thức – chuyên đề, thêm đáp án để phù hợp với đối tượng học sinh đồng nghiệp tham khảo 13 www.etcgroup.edu.vn | 0964595404 – 0966868747 – 0946595404 | fb.com/etcgroup.edu.vn ... GIÁO DỤC E.T.C TÓM TẮT LÝ THUYẾT Nếu giá trị đại lượng x thuộc tập hợp số D xác định giá trị tương ứng y thuộc tập hợp số thực ! ta có hàm số Ký hiệu: y = f (x) Trong x biến số; y hàm số x ; D... −y ( x) ( ) ( ) Suy hàm số cho hàm số lẻ khoảng −∞;−1 ∪ 1;+∞ ( ) ( ) Trường hợp 2: x ∈ −1;1 ⊂ D ⇒ −x ∈ −1;1 ⊂ D y (−x) = = ±y ( x) Suy hàm số cho vừa hàm số chẵn, vừa hàm số lẻ khoảng (−1;1) g)... − x1 + x2 − x1 −1 − x2 −1 < với x ∈ ! suy x ∈ ! hàm số nghịch biến ! Dạng y1 − y2 x1 − x2 < với Hàm số chẵn Hàm số lẻ Bài Xét tính chẵn, lẻ hàm số sau: a) y = 3x + 3x − b) y = 2x − 5x c) y =