Đang tải... (xem toàn văn)
Tỉ số thể tích của khối chóp tam giác Công thức ..S A B CS ABCLưu ý: Công thức chỉ áp dụng với khối chóp có đáy là tam giác nên trong nhiều trường hợp ta cần chia nhỏ các khối đa diện th
Trang 11 Tỉ số thể tích của khối chóp tam giác
Công thức
S A B CS ABC
Lưu ý: Công thức chỉ áp dụng với khối chóp có đáy là tam giác nên trong
nhiều trường hợp ta cần chia nhỏ các khối đa diện thành các hình chóp tam giác khác nhau rồi mới áp dụng
2 Tỉ số thể tích của khối chóp tứ giác
=; với SASBSCSDk
Lưu ý: Công thức trên đúng với đáy n giác
Trường hợp đáy là hình bình hành (hay gặp)
Bài toán 2 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành .Mặt phẳng ( )P cắt các cạnh SA SB SC SD,,,lần lượt tại A B C D ,,, sao
SA SB SC SD
1 TỈ SỐ THỂ TÍCH KHỐI CHÓP
Trang 23 Thể tích khối chóp cụt
Cho hình chóp cụt ABC A B C. có chiều cao h, S1 là diện tích tam giác ABC , S2 là diện tích tam giác A B C Thể tích khối chóp cụt ABC A B C. là ( 1212)
V = h S +S + S S
4 Chú ý
Phương pháp này được áp dụng khi khối chóp không xác định được chiều cao một cách dễ dàng hoặc khối chóp cần tính là một phần nhỏ trong khối chóp lớn và cần chú ý đến một số điều kiện sau: ✓ Hai khối chóp phải cùng chung đỉnh
✓ Đáy hai khối chóp phải là tam giác
✓ Các điểm tương ứng nằm trên các cạnh tương ứng
Ví dụ 1 Cho hình chóp S ABC Gọi . M N P,, lần lượt là trung điểm của SA SB SC,, Tỉ số thể tích
S ABCS MNP
V bằng
A 12 B 2 C 8 D 3
_ _ _ _ _ _ _ _
Ví dụ 2 Trên ba cạnh OA OB OC,, của khối chóp O ABC lần lượt lấy các điểm . A B C,, sao cho
2OA =OA, 4OB =OB và 3OC =OC Tỉ số thể tích giữa hai khối chóp O A B C. và O ABC
_ _ _ _ _ _ _ _
Ví dụ 3 Cho hình chóp S ABCD Gọi A, B, C , D theo thứ tự là trung điểm của SA, SB , SC , SD .Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S A B C D và S ABCD
Trang 3_ _ _ _ _ _ _ _
Ví dụ 4 Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O , cạnh . a, SA vuông góc với mặt
phẳng đáy và SA=3a Gọi M N, lần lượt là trung điểm của SC SD, Thể tích khối tứ diện
SOMN bằng
A
_ _ _ _ _ _ _ _
Ví dụ 5 Cho tứ diện ABCD, gọi M N P,, lần lượt là trung điểm các cạnh AB , AC , AD và O là trọng
tâm tam giác BCD Tính tỉ số thể tích OMNPABCD
VV
_ _ _ _ _ _ _ _
Trang 4Ví dụ 6 Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD Mặt phẳng . ( )P qua A và vuông góc với SC cắt
A 12
VV =
_ _ _ _ _ _ _ _
Ví dụ 7 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh . a, BAD =60 và SA vuông góc với
mặt phẳng (ABCD) Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) bằng 45 Gọi M là điểm đối xứng của C qua B và N là trung điểm của SC Mặt phẳng (MND) chia khối chóp
S ABCD thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh S có thể tích V1, khối đa diện còn lại có thể tích V2 (tham khảo hình vẽ)
Tính tỉ số 12
VV
A 12
VV =
_ _ _ _ _ _ _
Trang 51 Tỉ số thể tích khối lăng trụ tam giác
Kết quả 1
Gọi V là thể tích khối lăng trụ, V1 là thể tích khối chóp tạo thành từ 4 trong 6 đỉnh của lăng trụ, V2
là thể tích khối chóp tạo thành từ 5 trong 6 đỉnh của lăng trụ Khi đó: 1 ; 2 2
Trang 6Cho hình lăng trụ tam giác ABCD A B C D. Mặt phẳng ( ) cắt các đường thẳng
ABCD MNPQABCD A B C D
Ví dụ 9 Cho hình lập phương ABCD A B C D. có cạnh bằng a Thể tích khối tứ diện ABDB bằng
A
_ _ _ _ _ _ _
Ví dụ 10.Cho hình lăng trụ ABC A B C có đáy là tam giác đều cạnh ' ' ' a Hình chiếu của A lên mặt phẳng '
(ABC) trùng với trung điểm cạnh AB, góc giữa AA và mặt đáy của hình lăng trụ đã cho bằng '60 Tính thể tích V của khối chóp '.A BCC B ' '.
A
aV =
_ _ _ _
Trang 7_ _ _
Ví dụ 11.Cho khối lăng trụ ABC A B C. có thể tích bằng 2018 Gọi M là trung điểm AA ; N P, lần lượt
là các điểm nằm trên các cạnh BB , CC sao cho BN=2B N, CP=3C P Tính thể tích khối đa diện ABC MNP .
_ _ _ _ _ _ _
Ví dụ 12.Cho hình lập phương ABCD A B C D. cạnh 2a , gọi M là trung điểm của BB và P thuộc cạnh
_ _ _ _ _ _ _
Ví dụ 13.Cho hình lăng trụ ABC A B C. Gọi M , N , P lần lượt là các điểm thuộc các cạnh AA , BB , CC sao cho AM=2MA, NB =2NB, PC=PC Gọi V1, V2 lần lượt là thể tích của hai khối
đa diện ABCMNP và A B C MNP Tính tỉ số 12
VV
Trang 8_ _
Ví dụ 14.Một khối hộp ABCD A B C D. có thể tích bằng 2019 Gọi M là trung điểm của cạnh AB Mặt
phẳng (MB D ) chia khối hộp ABCD A B C D. thành hai khối đa diện Tính thể tích phần khối
đa diện chứa đỉnh A
_ _ _ _ _ _ _
Ví dụ 15.Cho khối hộp ABCD A B C D. có thể tích bằng V Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của AB , B C , DD Gọi thể tích khối tứ diện CMNP là V , khi đó tỉ số V
_ _ _ _ _ _ _
Ví dụ 16.Cho hình lăng trụ ABC A B C. có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 2, A A=A B=A C= , 2
M là trung điểm của AA Tính thể tích phần chung của 2 khối đa diện A M BCC B. và A A B C
_
Trang 9_ _ _ _ _ _
Câu 1 Cho hình chóp S ABC Gọi . M N P,, lần lượt là trung điểm của SA SB SC,, Tỉ số thể tích
S ABCS MNP
Câu 3 Cho khối chóp S ABC có thể tích bằng 5a3 Trên các cạnh SB , SC lần lượt lấy các điểm M
và N sao cho SM=3MB, SN=4NC Tính thể tích V của khối chóp AMNCB
Câu 5 Cho khối tứ diện ABCD có thể tích V và điểm E trên cạnh AB sao cho AE=3EB Tính thể tích khối tứ diện EBCD theo V
Câu 7 Nếu một hình chóp tứ giác đều có chiều cao và cạnh đáy cùng tăng lên 2 lần thì thể tích của nó
tăng lên bao nhiêu lần?
Trang 10VV
Câu 11 Cho lăng trụ tam giác ABC A B C. có thể tích là V Gọi M là trung điểm cạnh AA Khi đó thể
Câu 12 Cho lăng trụ ABC A B C. Biết diện tích mặt bên (ABB A ) bằng 15, khoảng cách từ điểm C
đến (ABB A ) bằng 6 Tính thể tích khối lăng trụ ABC A B C.
Câu 13 Cho hình lập phương ABCD A B C D. có cạnh bằng a Thể tích khối tứ diện ABDB bằng
A
Câu 14 Cho khối lăng trụ ABC A B C. có thể tích bằng 2018 Gọi M là trung điểm AA ; N P, lần lượt
là các điểm nằm trên các cạnh BB , CC sao cho BN=2B N, CP=3C P Tính thể tích khối đa diện ABC MNP .
Câu 15 Cho khối hộp chữ nhật ABCD A B C D. có thể tích bằng 2110 Biết (MNP), DN=3ND, 2
CP= C P như hình vẽ Mặt phẳng (MNP) chia khối hộp đã cho thành hai khối đa diện Thể tích khối đa diện nhỏ hơn bằng
Câu 16 Cho khối chóp S ABCD có đáy . ABCD là hình vuông tâm O , cạnh a, SA vuông góc với mặt
phẳng đáy và SA=3a Gọi M N, lần lượt là trung điểm của SC SD, Thể tích khối tứ diện
SOMN bằng
Trang 11A
Câu 17 Cho tứ diện ABCD, gọi M N P,, lần lượt là trung điểm các cạnh AB , AC , AD và O là trọng
tâm tam giác BCD Tính tỉ số thể tích OMNPABCD
VV
Câu 18 Cho hình lăng trụ ABC A B C có đáy là tam giác đều cạnh ' ' ' a Hình chiếu của A lên mặt phẳng '
(ABC) trùng với trung điểm cạnh AB, góc giữa AA và mặt đáy của hình lăng trụ đã cho bằng '60 Tính thể tích V của khối chóp '.A BCC B ' '.
A
aV =
Câu 19 Cho tứ diện ABCD có thể tích V với M N, lần lượt là trung điểm AB CD, Gọi V V1, 2 lần lượt là thể tích của MNBC và MNDA Tính tỉ lệ V1 V2
Câu 20 Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD Mặt phẳng . ( )P qua A và vuông góc với SC cắt
A 12
VV =
Câu 21 Cho khối chóp S ABCD có đáy là hình bình hành ABCD Gọi . M N P Q,, , lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB SBC SCD SDA,,, Biết thể tích khối chóp S MNPQ là V , khi đó thể tích của
AC= a vàAD=4a Gọi M ,N , P tương ứng là trung điểm các cạnh BC , DC , DB Tính thể
tích V của tứ diện AMNP