4 tỉ số thể tích co dong ke

Tỉ số thể tích của khối chóp tam giác Công thức ..S A B CS ABCLưu ý: Công thức chỉ áp dụng với khối chóp có đáy là tam giác nên trong nhiều trường hợp ta cần chia nhỏ các khối đa diện th

1 Tỉ số thể tích của khối chóp tam giác

Công thức

.

S A B C

S ABC

=

Lưu ý: Công thức chỉ áp dụng với khối chóp có đáy là tam giác nên trong

nhiều trường hợp ta cần chia nhỏ các khối đa diện thành các hình chóp tam

giác khác nhau rồi mới áp dụng

2 Tỉ số thể tích của khối chóp tứ giác

Trường hợp đặc biệt

Bài toán 1 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD (hoặc đa giác bất kỳ), mặt phẳng . ( )P song song với đáy cắt các cạnh bên SA SB SC SD, , , lần lượt tại A B C D    , , ,

.

S A B C D

S ABCD

V

k V

    = ; với SA SB SC SD k

Lưu ý: Công thức trên đúng với đáy n giác

Trường hợp đáy là hình bình hành (hay gặp)

Bài toán 2 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành .

Mặt phẳng ( )P cắt các cạnh SA SB SC SD, , , lần lượt tại A B C D    , , , sao

SA SB SC SD

1 TỈ SỐ THỂ TÍCH KHỐI CHÓP

3 Thể tích khối chóp cụt

Cho hình chóp cụt ABC A B C.    có chiều cao h, S1 là diện tích tam giác ABC , S2 là diện tích tam giác A B C   Thể tích khối chóp cụt ABC A B C    là ( 1 2 1 2)

1 3

V = h S +S + S S

4 Chú ý

Phương pháp này được áp dụng khi khối chóp không xác định được chiều cao một cách dễ dàng hoặc khối chóp cần tính là một phần nhỏ trong khối chóp lớn và cần chú ý đến một số điều kiện sau:

✓ Hai khối chóp phải cùng chung đỉnh

✓ Đáy hai khối chóp phải là tam giác

✓ Các điểm tương ứng nằm trên các cạnh tương ứng

Ví dụ 1 Cho hình chóp S ABC Gọi . M N P, , lần lượt là trung điểm của SA SB SC, , Tỉ số thể tích

.

.

S ABC

S MNP

V

V bằng

A 12 B 2 C 8 D 3

_ _ _ _ _ _ _ _

Ví dụ 2 Trên ba cạnh OA OB OC, , của khối chóp O ABC lần lượt lấy các điểm . A B C ,  ,  sao cho

2OA =OA, 4OB =OB và 3OC =OC Tỉ số thể tích giữa hai khối chóp O A B C    và O ABC

là

A 1

1

1

1

16

_ _ _ _ _ _ _ _

Ví dụ 3 Cho hình chóp S ABCD Gọi A, B, C , D theo thứ tự là trung điểm của SA, SB , SC , SD .

Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S A B C D    và S ABCD

A 1

1

1

1 2

_ _ _ _ _ _ _ _

Ví dụ 4 Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O , cạnh . a, SA vuông góc với mặt

phẳng đáy và SA= 3a Gọi M N, lần lượt là trung điểm của SC SD, Thể tích khối tứ diện

SOMN bằng

A

3 16

a

3 8

a

3

3 8

a

3

3 16

a

_ _ _ _ _ _ _ _

Ví dụ 5 Cho tứ diện ABCD, gọi M N P, , lần lượt là trung điểm các cạnh AB , AC , AD và O là trọng

tâm tam giác BCD Tính tỉ số thể tích OMNP

ABCD

V

V

A 1

1

1

1

4

_ _ _ _ _ _ _ _

Ví dụ 6 Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD Mặt phẳng . ( )P qua A và vuông góc với SC cắt

SB SC SD lần lượt tại B C D  , ,  Biết C là trung điểm của SC Gọi V V1, 2 lần lượt là thể tích hai khối chóp S AB C D   và S ABCD Tính tỷ số 1

2

V

V

A 1

2

2 3

V

2

2 9

V

2

4 9

V

2

1 3

V

V =

_ _ _ _ _ _ _ _

Ví dụ 7 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh . a, BAD =60  và SA vuông góc với

mặt phẳng (ABCD) Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) bằng 45 Gọi M là điểm đối xứng của C qua B và N là trung điểm của SC Mặt phẳng (MND) chia khối chóp

S ABCD thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh S có thể tích V1 , khối đa diện còn lại có thể tích V2 (tham khảo hình vẽ)

Tính tỉ số 1

2

V

V

A 1

2

12 7

V

2

5 3

V

2

1 5

V

2

7 5

V

V =

_ _ _ _ _ _ _

1 Tỉ số thể tích khối lăng trụ tam giác

 Kết quả 1

Gọi V là thể tích khối lăng trụ, V1 là thể tích khối chóp tạo thành từ 4 trong 6 đỉnh của lăng trụ, V2

là thể tích khối chóp tạo thành từ 5 trong 6 đỉnh của lăng trụ Khi đó: 1 ; 2 2

V = V =

ABC A B C   ⎯⎯ →V   = V    V   = V   

 Kết quả 2

Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C    Mặt phẳng ( ) cắt các đường thẳng AA BB CC ,  ,  lần lượt tại M N P, , (tham khảo hình vẽ bên) Tính tỉ số

.

ABC MNP ABC A B C

V

V   

ABC MNP ABC A B C

=



2 Tỉ số thể tích khối lăng trụ tứ giác

 Kết quả 3

Gọi V là thể tích khối hộp, V1 là thể tích khối chóp tạo thành từ 4 trong 8 đỉnh của khối hộp gồm hai đường chéo của hai mặt song song, V2 là thể tích khối chóp tạo thành từ 4 trong 8 đỉnh của khối hộp

ở các trường hợp còn lại Khi đó: 1 ; 2

V = V =

ABCD A B C D    ⎯⎯ →V  = V     V    = V    

 Kết quả 4

2 TỈ SỐ THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ

Cho hình lăng trụ tam giác ABCD A B C D     Mặt phẳng ( ) cắt các đường thẳng

AA BB CC DD    lần lượt tại M N P Q, , , (tham khảo hình vẽ bên)

Khi đó: AM CP BN DQ

AA +CC = BB +DD

Tính tỉ số .

.

ABCD MNPQ ABCD A B C D

V

V    

ABCD MNPQ ABCD A B C D

+

=



Ví dụ 8 Cho khối lăng trụ ABC A B C    có thể tích bằng V Tính thể tích khối đa diện BAA C C 

A 3

4

V

3

V

2

V

4

V

_ _ _ _ _ _ _

Ví dụ 9 Cho hình lập phương ABCD A B C D     có cạnh bằng a Thể tích khối tứ diện ABDB bằng

A

3 6

a

3 2 3

a

3 2

a

3 3

a

_ _ _ _ _ _ _

Ví dụ 10.Cho hình lăng trụ ABC A B C có đáy là tam giác đều cạnh ' ' ' a Hình chiếu của A lên mặt phẳng '

(ABC) trùng với trung điểm cạnh AB, góc giữa AA và mặt đáy của hình lăng trụ đã cho bằng '

60  Tính thể tích V của khối chóp ' A BCC B ' '.

A

3

4

a

3

8

a

3 3 4

a

3 3 8

a

V =

_ _ _ _

_ _ _

Ví dụ 11.Cho khối lăng trụ ABC A B C.    có thể tích bằng 2018 Gọi M là trung điểm AA ; N P, lần lượt

là các điểm nằm trên các cạnh BB , CC sao cho BN= 2B N , CP= 3C P Tính thể tích khối

đa diện ABC MNP .

A 32288

40360

4036

23207

18

_ _ _ _ _ _ _

Ví dụ 12.Cho hình lập phương ABCD A B C D.    cạnh 2a , gọi M là trung điểm của BB và P thuộc cạnh

4

DP= DD Mặt phẳng (AMP) cắt CC tại N Thể tích khối đa diện AMNPBCD bằng

A 3a3 B

3

11 3

a

3

9 4

a

_ _ _ _ _ _ _

Ví dụ 13.Cho hình lăng trụ ABC A B C.    Gọi M , N , P lần lượt là các điểm thuộc các cạnh AA , BB ,

CC sao cho AM= 2MA, NB = 2NB, PC=PC Gọi V1, V2 lần lượt là thể tích của hai khối

đa diện ABCMNP và A B C MNP   Tính tỉ số 1

2

V

V

A 1

2

1

V = D V1 = 2

V

ũ V ă

n B ắ

_ _

Ví dụ 14.Một khối hộp ABCD A B C D.     có thể tích bằng 2019 Gọi M là trung điểm của cạnh AB Mặt

phẳng (MB D ) chia khối hộp ABCD A B C D     thành hai khối đa diện Tính thể tích phần khối

đa diện chứa đỉnh A

A 4711

5045

4711

10090

17

_ _ _ _ _ _ _

Ví dụ 15.Cho khối hộp ABCD A B C D.     có thể tích bằng V Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của

AB , B C  , DD Gọi thể tích khối tứ diện CMNP là V , khi đó tỉ số V

V



bằng

A 1

3

1

3

64

_ _ _ _ _ _ _

Ví dụ 16.Cho hình lăng trụ ABC A B C.    có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 2, A A =A B =A C = , 2

M là trung điểm của AA Tính thể tích phần chung của 2 khối đa diện A M BCC B   và A A B C   .

A 17 2

17 3

17 3

5 2

3

_

_ _ _ _ _ _

Câu 1 Cho hình chóp S ABC Gọi . M N P, , lần lượt là trung điểm của SA SB SC, , Tỉ số thể tích

.

.

S ABC

S MNP

V

V bằng

A 12 B 2 C 8 D 3

Câu 2 Cho khối chóp S ABC có thể tích V Gọi B C  , lần lượt là trung điểm của AB AC, Tính theo

V thể tích khối chóp S AB C 

A 1

1

1

1

4V

Câu 3 Cho khối chóp S ABC có thể tích bằng 5a3 Trên các cạnh SB , SC lần lượt lấy các điểm M

và N sao cho SM= 3MB, SN= 4NC Tính thể tích V của khối chóp AMNCB

A 3 3

5

4

V = a C V =a3 D V = 2a3

Câu 4 Trên ba cạnh OA OB OC, , của khối chóp O ABC lần lượt lấy các điểm . A B C ,  ,  sao cho

2OA =OA, 4OB =OB và 3OC =OC Tỉ số thể tích giữa hai khối chóp O A B C    và O ABC

là

A 1

1

1

1

16

Câu 5 Cho khối tứ diện ABCD có thể tích V và điểm E trên cạnh AB sao cho AE= 3EB Tính thể

tích khối tứ diện EBCD theo V

A

4

V

3

V

2

V

5

V

Câu 6 Cho hình chóp S ABCD Gọi A, B, C , D theo thứ tự là trung điểm của SA , SB , SC , SD.

Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S A B C D    và S ABCD

A 1

1

1

1 2

Câu 7 Nếu một hình chóp tứ giác đều có chiều cao và cạnh đáy cùng tăng lên 2 lần thì thể tích của nó

tăng lên bao nhiêu lần?

A 3

4

V

3

V

2

V

4

V

Câu 10 Cho lăng trụ ABC A B C.   , M là trung điểm CC Mặt phẳng (ABM) chia khối lăng trụ thành

hai khối đa diện Gọi V1 là thể tích khối lăng trụ chứa đỉnh C và V2 là thể tích khối đa diện còn lại Tính tỉ số 1

2

V

V

A 1

1

1

2 5

Câu 11 Cho lăng trụ tam giác ABC A B C.    có thể tích là V Gọi M là trung điểm cạnh AA Khi đó thể

tích khối chóp M BCC B   là

A

2

V

3

V

3

V

6

V

Câu 12 Cho lăng trụ ABC A B C    Biết diện tích mặt bên (ABB A ) bằng 15, khoảng cách từ điểm C

đến (ABB A ) bằng 6 Tính thể tích khối lăng trụ ABC A B C.   

Câu 13 Cho hình lập phương ABCD A B C D     có cạnh bằng a Thể tích khối tứ diện ABDB bằng

A

3 6

a

3 2 3

a

3 2

a

3 3

a

Câu 14 Cho khối lăng trụ ABC A B C.    có thể tích bằng 2018 Gọi M là trung điểm AA ; N P, lần lượt

là các điểm nằm trên các cạnh BB , CC sao cho BN=2B N , CP=3C P Tính thể tích khối

đa diện ABC MNP .

A 32288

40360

4036

23207

18

Câu 15 Cho khối hộp chữ nhật ABCD A B C D     có thể tích bằng 2110 Biết (MNP), DN= 3ND,

2

CP= C P như hình vẽ Mặt phẳng (MNP) chia khối hộp đã cho thành hai khối đa diện Thể tích khối đa diện nhỏ hơn bằng

A 5275

8440

7385

5275

12

Câu 16 Cho khối chóp S ABCD có đáy . ABCD là hình vuông tâm O , cạnh a, SA vuông góc với mặt

phẳng đáy và SA= 3a Gọi M N, lần lượt là trung điểm của SC SD, Thể tích khối tứ diện

SOMN bằng