bài tập xác suất thống kê xã hội học

BÀI TẬP XÁC SUẤT & THỐNG KÊ XÃ HỘI HỌCKhoa Toán tinTrường Đại học Sư Phạm Hà NộiHà Nội, tháng 01 năm 2020... Bài tập Xác suất - Thống kê xã hội học2.2.3 Ước lượng khoảng cho tỉ lệ.. Bài

Trang 1

BÀI TẬP XÁC SUẤT & THỐNG KÊ XÃ HỘI HỌC

Khoa Toán tin

Trường Đại học Sư Phạm Hà NộiHà Nội, tháng 01 năm 2020

Trang 3

MỤC LỤC

1.1 Định nghĩa xác suất 3

1.2 Sự độc lập 6

1.3 Biến ngẫu nhiên rời rạc 8

1.4 Phân phối chuẩn 11

2 Bài tập thống kê14 2.1 Mẫu và các số đặc trưng mẫu 14

2.2 Bài toán ước lượng tham số 18

2.2.1 Ước lượng khoảng cho giá trị trung bình (trường hợp mẫu lớn) 18

2.2.2 Ước lượng khoảng cho giá trị trung bình (trường hợp mẫu bé) 22

Trang 4

1

Trang 5

Bài tập Xác suất - Thống kê xã hội học

2.2.3 Ước lượng khoảng cho tỉ lệ 24

2.2.4 Vấn đề xác định cỡ mẫu 27

2.3 Bài toán kiểm định giả thuyết 31

2.3.1 Bài toán kiểm định giả thuyết cho giá trị trung bình một mẫu 31

2.3.2 Bài toán kiểm định giả thuyết cho tỉ lệ một mẫu 36

2.3.3 Bài toán kiểm định giả thuyết cho giá trị trung bình hai mẫu 38

2.3.4 Bài toán kiểm định giả thuyết cho tỉ lệ hai mẫu 43

2.4 Bài toán hồi quy và dự báo 47

Trang 6

2 Khoa Toán Tin - Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội

Trang 7

B: "Xuất hiện mặt có số chấm chia hết cho 3"; C: "Xuất hiện mặt có số chấm không bé hơn 3".

Trang 8

3

Trang 9

Bài 2 Gieo ngẫu nhiên một con xúc xắc cân đối và đồng chất hai lần một cách độc lập.

Tính xác suất của các biến cố sau:

A: "Số chấm trong hai lần gieo bằng nhau"; B: "Tổng số chấm trong hai lần gieo bằng 8".

Bài 3 Từ một hộp chứa ba quả cầu trắng và hai quả cầu đen, lấy ngẫu nhiên đồng thời

hai quả Hãy tính xác suất sao cho hai quả lấy ra cùng màu.

Bài 4 Một khách sạn có 6 phòng đơn Có 10 khách đến thuê phòng trong đó có 6 nam và

4 nữ Người quản lí chọn ngẫu nhiên 6 người Tính xác suất để: a) Cả 6 người đều là nam.

b) Có 4 nam và 2 nữ c) Có ít nhất 2 nữ.

Trang 10

Trang 11

Bài 5 Lấy ngẫu nhiên ra 6 lá bài từ bộ bài 52 con Tìm xác suất của các biến cố sau:

a) Lấy được 4 lá bài màu đỏ b) Lấy được 1 lá cơ

c) Lấy được 1 lá Át, 3 lá K và 2 lá chín.

Trang 12

Trang 13

1.2 Sự độc lập

Bài 6 Gieo ngẫu nhiên một con xúc xắc cân đối đồng chất hai lần Gọi A là biến cố lần

thứ nhất xuất hiện mặt 6 và B là biến cố lần thứ hai xuất hiện mặt 6 Hai biến cố A và B có độc lập với nhau hay không?

Bài 7 Hai sinh viên An và Bình thi môn Thống kê xã hội học Khả năng đạt của mỗi

người tương ứng là 0,85 và 0,95 Tìm xác suất để xảy ra các tình huống sau: a) Cả hai cùng đạt.

b) Không ai đạt.

c) Có đúng 1 người đạt d) Có ít nhất một người đạt.

Trang 14

Trang 15

Bài 8 Một bài thi trắc nghiệm gồm 10 câu hỏi, mỗi câu hỏi cho 4 câu trả lời, trong đó

chỉ có 1 câu đúng Giả sử mỗi câu trả lời đúng được 1 điểm, trả lời sai hoặc không trả lời không có điểm Một học sinh kém làm bài bằng cách chọn hú họa Tính xác suất để học

Trang 16

Trang 17

1.3 Biến ngẫu nhiên rời rạc

Bài 9 Cho biến ngẫu nhiên X có bảng phân phối xác suất:

P[X = x] 0,15 0,35 a 0,25 0,15 a) Hãy tìm giá trị của a

b) Hãy tính các xác suất sau:P[X < 7 5], ;P[X > 8];P[4 ≤ X ≤ 6,5];P[5 < X < 6].

Bài 10 Cho biến ngẫu nhiên X có bảng phân phối xác suất:

P[X = x] 0,1 0,2 0,3 0,25 0,15 a) Tìm kì vọng và phương sai của X

b) Tìm kì vọng củaY = X2+3.

Trang 18

Trang 19

Bài 11 Xạ thủ 1 có khả năng bắn trúng bia là 0,8; xạ thủ 2 có khả năng bắn trúng bia

là 0,7 Mỗi người bắn vào bia 1 lần Gọi X là tổng số phát bắn trúng của cả 2 người Lập bảng phân phối của X TínhE[X ],V ar X )(

Bài 12 Một người đi từ nhà đến cơ quan phải qua 3 ngã tư Xác suất gặp đèn đỏ tương

ứng tại các ngã tư này là 0,2; 0,25 và 0,3 Giả sử mỗi lần gặp đèn đỏ, người đó phải dừng chờ trên đường mất 2 phút Hỏi khi đi từ nhà đến cơ quan, người đó phải dừng chờ trên đường trung bình mất bao nhiêu phút?

Bài 13 Trung bình trong100người thì có7người mang nhóm máu O âm tính Chọn ra ngẫu nhiên6người Tính xác suất:

a) Có đúng2người mang nhóm máu O âm tính.

b) Có không ít hơn2người mang nhóm máu O âm tính.

Trang 20

Trang 21

Bài 14 Trung bình gieo 1000 hạt giống thì có 650 hạt nảy mầm Chọn ngẫu nhiên ra 12

hạt giống để gieo thử nghiệm Tìm số hạt nảy mầm có xác suất xảy ra cao nhất?

Bài 15 Một nhà máy sản suất sản phẩm với tỉ lệ phế phẩm là 7% Quan sát ngẫu nhiên

n sản phẩm do máy làm ra Gọi X là số phế phẩm trong số sản phẩm này Xác địnhn

phân phối xác suất của X Cần chọn nít nhất là bao nhiêu để biến cố "có ít nhất 1 phế

phẩm trongnsản phẩm quan sát"có xác suất không thấp hơn 0,9?

Trang 22

Trang 23

1.4 Phân phối chuẩn

Bài 16 Chiều cao của nam giới đã trưởng thành là một biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩnN (163;25).

a) Tính tỉ lệ nam giới trưởng thành cao từ 160cm đến 170cm.

b) Chọn ngẫu nhiên 1 nam giới, tìm xác suất để chọn được nam giới cao trên 165cm c) Tìm xác suất để khi chọn ngẫu nhiên ra 5 nam giới thì có ít nhất 1 người cao trên

Cho biếtΦ(0,4) = ,0 6554; (0Φ ,6) = ,0 7257; (1Φ ,4) = ,0 9192.

Bài 17 Chiều cao của học sinh nam (tính theo đơn vị cm) ở một trường học là biến ngẫu

nhiên có phân phối chuẩn với độ lệch tiêu chuẩn 5,25 cm Chọn ngẫu nhiên 200 học sinh nam của trường, đo chiều cao thấy có 57 học sinh có chiều cao trên 170 cm Xác định chiều cao trung bình của học sinh nam trường trung học trên.

Trang 24

Trang 25

Bài 18 Thời gian đi từ nhà tới trường của sinh viên An là 1 bnn T (đơn vị là phút) có phân phối chuẩn Biết rằng 65% số ngày An đến trường mất hơn 20 phút và 8% số ngày

Bài 19 Chiều cao của 1 loại cây là 1 biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Trong 1 mẫu

gồm 640 cây có 25 cây thấp hơn 18m và 110 cây cao hơn 24m.

a) Tính chiều cao trung bình của cây và độ lệch chuẩn biếtΦ(0,9463) = 0 8281, ;Φ(1 762, ) = 0 961,

b) Ước lượng số cây có chiều cao trong khoảng từ 16m đến 20m trong 640 cây nói trên biếtΦ(0,859) = 0 8051, ;Φ(2,665) = 0,9964.

Trang 26

Trang 55

2.2.4 Vấn đề xác định cỡ mẫu

Bài 47 Tiến hành điều tra ngẫu nhiên trên 100 con bò, kết quả như sau:

X (sản lượng/ngày) 7-9kg 9-11 11-13 13-15 15-17

a) Sản lượng sữa trung bình một ngày của một con bò là bao nhiêu? b) Bao nhiêu % đàn bò cho sản lượng sữa trên 11kg trong ngày?

c) Muốn độ tin cậy của kết luận là 99%, sai số khi nghiên cứu sản lượng trung bình không vượt quá 0,5kg thì cần phải điều tra bao nhiêu con bò?

d) Muốn độ tin cậy của kết luận là 99%, sai số khi nghiên cứu tỉ lệ bò cho sản lượng trên 11kg/ngày không vượt quá 12% thì cần phải điều tra bao nhiêu con bò?

Đáp số:

a) (11 3913;12 2087), ,

b) (0 567;0 753), ,

c) n = 119vàn = 104

Trang 56

Trang 57

Bài 48 Để ước lượng xác suất mắc bệnh gan với độ tin cậy 90% và sai số không vượt quá

2% thì cần phải khám cho ít nhất bao nhiêu người, biết rằng tỉ lệ mắc bệnh gan thực

nghiệm đã cho bằng 0,9 Đáp số:n = 613

Bài 49 Giả sử quan sát 100 người thấy có 20 người bị bệnh sốt xuất huyết Hãy ước lượng

tỉ lệ bệnh sốt xuất huyết với độ tin cậy 97% Nếu muốn sai số ước lượng không quá 3% với độ tin cậy 95% thì phải quan sát ít nhất bao nhiêu người?

Đáp số:(0 1132;0, ,2868)vàn = 683

Bài 50 Một loại thuốc mới được đem thử điều trị cho 50 người bị bệnh B, kết quả có 40

người khỏi bệnh.

a) Hãy ước lượng tỉ lệ khỏi bệnh nếu dùng thuốc đó điều trị với độ tin cậy 99%.

b) Nếu ta muốn sai số ước lượng không quá 0,02 với độ tin cậy 95% thì cần quan sát bao nhiêu bệnh nhân?

Đáp số:(0 654;0, ,946)vàn = 1537

Trang 58

Trang 59

Bài 51 Khảo sát về chiều cao X (cm)của trẻ em lứa tuổi 14-15 thu được số liệu sau:

X (cm) dưới 137 137-139 139-141 141-143 143-145 145-147 trên 147

Với độ tin cậy 95%, ước lượng chiều cao trung bình của đứa trẻ lứa tuổi 14-15 Muốn ước lượng này có độ chính xác tăng lên gấp 2 lần thì cần lấy một mẫu kích thước là bao nhiêu?

Đáp số:(141 67;142, ,151)vàn = 2704

Bài 52 Tuổi thọ của một loại bóng đèn được biết theo phân phối chuẩn với độ lệch tiêu

chuẩn là 100 giờ.

a) Chọn ngẫu nhiên 100 bóng đèn để thử nghiệm, thấy mỗi bóng có tuổi thọ trung bình là 100 giờ Hãy ước lượng tuổi thọ trung bình của bóng đèn do xí nghiệp A sản xuất với độ tin cậy là 95%.

b) Với sai số của ước lượng tuổi thọ trung bình là 15 giờ, hãy xác định độ tin cậy c) Để sai số của ước lượng tuổi thọ trung bình không quá 25 giờ với độ tin cậy là 95%

thì cần phải thử nghiệm ít nhất bao nhiêu bóng?

Đáp số:(80 4;119, ,6)và0,866vàn = 62

Trang 60

Trang 61

Bài 53 Đo đường kính của một chi tiết máy do một máy tiện tự động sản xuất ta ghi

nhận được số liệu sau:

X (mm) 12.00 12.05 12.10 12.15 12.20 12.25 12.30 12.35 12.40

a) Hãy ước lượng đường kính trung bình với độ tin cậy 0,95.

b) Nếu muốn sai số của ước lượng không quá 0,02 mm với độ tin cậy là 95% thì cần phải đo ít nhất bao nhiêu chi tiết máy?

Đáp số:(12 179;12, ,235)và n = 102

Bài 54 Đem cân một số trái cây vừa thu hoạch, ta được kết quả sau:

X (gam) 200-210 210-220 220-230 230-240 240-250

a) Hãy ước lượng trọng lượng trung bình với độ tin cậy 0,95 và 0,99 Nếu muốn sai số không quá 2gam với độ tin cậy 99% thì phải cân ít nhất bao nhiêu trái cây?

b) Trái cây có trọng lượng lớn hơn230gamđược xếp loại A Hãy tìm khoảng ước lượng cho tỉ lệ trái cây loại A với độ tin cậy 0,95 và 0,99 Nếu muốn sai số ước lượng không quá 0,04 với độ tin cậy 0,99 thì phải cân ít nhất bao nhiêu trái cây?

Trang 62

Trang 63

2.3 Bài toán kiểm định giả thuyết

2.3.1 Bài toán kiểm định giả thuyết cho giá trị trung bình một mẫu

Bài 55 Đo lượng cholesterolemie (X mg%) trên một số người bình thường ta được bảng

kết quả sau:

X 125-149 150-174 175-199 200-224 225-249 250-274 275-299 300-324

Cho hằng số sinh học trung bình về cholesterolemie là 225 mg% Hỏi với mức ý nghĩa 5%, kết quả thực nghiệm trên có khác hằng số sinh học về cholesterolemie không? Đáp số:

Z = 1,432vàz0,025=1,96suy ra chấp nhậnH0.

Bài 56 Trong thập niên 80, trọng lượng trung bình của thanh niên là 48kg Hiện nay, để

xác định lại trọng lượng đó, người ta chọn ngẫu nhiên 100 thanh niên và đo được trọng lượng trung bình là 50kg với độ lệch tiêu chuẩn mẫu là 10kg Với mức ý nghĩa 5%, có thể cho rằng trọng lượng thanh niên hiện nay phải chăng đã thay đổi? Đáp số: Z = 2 và

z0,025=1,96suy ra bác bỏ H0.

Trang 64

Trang 65

Bài 57 Khảo sát trọng lượng X của trẻ em 6 tuổi ở một khu vực được kết quả:

X (kg) 14-16 16-18 18-20 20-22 22-24 24-26 26-28

a) Ở mức ý nghĩa 5% có thể kết luận rằng trọng lượng trung bình của trẻ em 6 tuổi ở khu vực này đạt trên 20,5 (kg) không?

b) Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng xem có tối đa bao nhiêu trẻ em 6 tuối với trọng lượng không quá 20 (kg) khi ta tiến hành khảo sát 3000 trẻ em ở khu vực trên?

Bài 58 Đối với người Việt Nam, lượng huyết sắc tố trung bình là 138,3 g/l Khám cho 80

công nhân ở nhà máy có tiếp xúc với hóa chất, thấy huyết sắc tố trung bình là 120g/l và độ lệch tiêu chuẩn là 15g/l Từ kết quả trên, có thể kết luận lượng huyết sắc tố trung bình của công nhân nhà máy hóa chất này thấp hơn mức chung hay không? Cho mức ý nghĩa làα=0,05 Đáp số:Z =−10,912và z0,05=1,65suy ra bác bỏH0.

Trang 66

Trang 67

Bài 59 Theo dõi năng suất của giống ngô mới LVN9860 ta có bảng số liệu:

Năng suất (tạ/ha) 48-50 50-52 52-54 54-56 56-58 58-60 60-62

a) Cho trồng giống Ngô mới LVN9860 trên 250 thửa ruộng khác nhau có cùng diện tích Từ số liệu trên, với độ tin cậy 95%, có thể dự báo ít nhất bao nhiêu thửa ruộng sẽ cho năng suất đạt trên 56 tạ/ha?

b) Có thông tin cho rằng năng suất trung bình của giống Ngô mới LVN9860 đạt 55 tạ/ha Với mức ý nghĩaα=0 05, , ta có thể chấp nhận thông tin đã nêu ra như trên không?

Bài 60 Trong điều kiện chăn nuôi bình thường, lượng sữa trung bình của một con bò là

14kg/ngày Nghi ngờ điều kiện chăn nuôi kém đi làm cho lượng sữa giảm xuống, người ta điều tra ngẫu nhiên 25 con và tính được lượng sữa trung bình của 1 con trong 1 ngày là 12,5kg và độ lệch chuẩn là 2,5kg Với mức ý nghĩaα=0 05, , hãy kết luận điều nghi ngờ nói trên với giả thuyết lượng sữa bò là một biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Đáp số:

t =−3vàt0,05;24=1,711suy ra bác bỏH0.

Trang 68

Trang 69

Bài 61 Trọng lượng trung bình khi xuất chuồng ở một trại chăn nuôi gà trước đây là

3,3kg/con Năm nay người ta sử dụng một loại thức ăn mới, cân thử 14 con khi xuất chuồng ta được bảng số liệu sau:

3,25 2,50 4,00 3,75 3,80 3,90 4,02 3,60 3,80 3,82 3,40 3,75 4,00 3,50 Giả sử trọng lượng gà là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn.

a) Với mức ý nghĩaα=0,05, hãy cho kết luận về tác dụng của loại thức ăn này?

b) Nếu trại chăn nuôi báo cáo trọng lượng trung bình khi xuất chuồng là 3,5kg/con thì có chấp nhận được không, với mức ý nghĩa làα=0 05,

Trang 70

Trang 71

Bài 62 Quan sát số hoa hồng bán ra trong một ngày của một cửa hàng hoa sau một thời

gian, người ta ghi được số liệu sau:

Số hoa hồng 12 13 15 16 17 18 19

Giả sử số hoa bán ra trong ngày có phân phối chuẩn.

a) Giả sử những ngày bán được từ 13 đến 17 đóa hồng là những ngày "bình thường" Hãy ước lượng tỉ lệ của những ngày bình thường của cửa hàng với độ tin cậy 90% b) Sau khi tính toán, ông chủ của hàng nói rằng nếu trung bình một ngày không bán

được 15 đóa hồng thì phải đóng cửa hàng Dựa vào số liệu trên, hãy kết luận giúp ông chủ cửa hàng xem có nên tiếp tục bán hay không ở mức ý nghĩaα=0 05,

Trang 72

Trang 73

2.3.2 Bài toán kiểm định giả thuyết cho tỉ lệ một mẫu

Bài 63 Khám lao cho 100.000 người thấy 89 người bị lao Xác suất bị lao là 0,001 có đúng

không? Kiểm định 1 phía với α=0 05, Đáp số: z =−1,1và z0,025=1,96suy ra chấp nhận

Bài 64 Kiểm tra chẩn đoán cho 500 người thấy 440 người được chẩn đoán đúng Xác suất

chẩn đoán đúng là 0,9 có đúng không? Kiểm định một phía vớiα=0,05 Đáp số:z =−1,49

vàz0,025=1,96suy ra chấp nhậnH0.

Bài 65 Đo huyết sắc tố cho 50 công nhân nông trường thấy có 60% ở mức dưới 110g/l Số

liệu chung của khu vực này là 30% ở mức dưới 110g/l Với mức ý nghĩa α=0,05, có thể kết luận công nhân nông trường có tỉ lệ huyết sắc tố dưới 110g/l cao hơn mức chung hay không? Đáp số:z = 4,629và z0,05=1,65suy ra bác bỏ H0.

Trang 74

Trang 75

Bài 66 Đầu năm bệnh viện A đưa ra một số cải tiến về phương pháp điều trị Cuối năm

tổng kết thấy số tử vong là 45 người Trong khi đó, những năm trước số tử vong trung bình là 65 người Hỏi với mức ý nghĩaα=0,05cải tiến về phương pháp điều trị có đem lại kết quả không? Biết mỗi năm bệnh viện A điều trị khoảng 2000 ca.