BÀI TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ

BÀI TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân BÀI T P XÁC SU T TH NG KÊ MATHEDUCARE.COM Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân CHƯƠNG 1: XÁC SU T 1.1 M t h p có 100 t m th ñư c ghi s t ñ n 100, Rút ng u nhiên hai th r i ñ t theo th t t trái qua ph i Tính xác su t đ n a/ Rút ñư c hai th l p nên m t s có hai ch s b/ Rút đư c hai th l p nên m t s chia h t cho Gi i a/ A :“Hai th rút ñư c l p nên m t s có hai ch s ” A92 9.8 P ( A) = = ≈ 0, 0073 A100 100.99 b/ B : “Hai th rút ñư c l p nên m t s chia h t cho 5” S chia h t cho t n ph i ho c Đ có bi n c B thích h p v i ta rút th th hai m t cách tùy ý 20 th mang s 5;10;15;20;…;95;100, rút 99 th cịn l i đ t vào v trí đâu Do s trư ng h p thu n l i cho 99.20 P ( B) = 99.20 = 0, 20 A100 1.2 M t h p có ch a qu c u tr ng qu c u đen kích thư c Rút ng u nhiên m t lúc qu c u Tính xác su t đ qu c u rút đư c có a/ Hai qu c u đen b/ Ít nh t c u ñen c/ Toàn c u tr ng Gi i Rút ng u nhiên lúc 10 qu c u nên s trư ng h p ñ ng kh C104 a/ A :”trong qu c u rút có qu c u đen” P ( A) = C32 C72 = 0,30 C104 b/ B :”trong qu c u đư c rút có nh t qu c u ñen” P ( B) = C32 C72 + C33 C71 = C104 c/ C :”trong qu c u ñư c ch n có tồn c u tr ng” MATHEDUCARE.COM Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân P (C ) = C74 = C104 1.3 M t h p thu c có ng thu c t t ng ch t lư ng Ch n ng u nhiên l n lư t khơng tr l i ng Tính xác su t ñ : a/ C hai ng ñư c ch n ñ u t t b/ Ch ng ñư c ch n ñ u tiên t t c/ hai ng có nh t m t ng thu c t t Gi i Ch n ng u nhiên l n lư t không tr l i ng nên trư ng h p ñ ng kh A82 a/ A :” C hai ng ñư c ch n ñ u t t” P ( A ) = b/ B :” Ch A52 ≈ 0,357 A82 C31.C51 ng ñư c ch n ñ u tiên t t” P ( B ) = ≈ 0, 268 A8 c/ C :” hai ng có nh t m t ng thu c t t” P ( C ) = − A32 ≈ 0,893 A82 1.4 M t h p ñ ng 15 qu bóng bàn có qu m i L n ñ u ngư i ta l y ng u nhiên qu ñ thi ñ u, sau l i tr vào h p L n th hai l y ng u nhiên qu Tính xác su t đ c qu l y l n sau ñ u m i Gi i Đ t A :” c qu l y l n sau ñ u m i” Bi :” Trong qu l y đ thi đ u có i qu m i” i ∈ {0;1; 2;3} Ta th y { B0 ; B1 ; B2 ; B3 } l p thành nhóm đ y đ bi n c , theo công th c xác su t toàn ph n ( )= =( + + + + + ) + ≈ 1.5 T m t l p có n sinh viên 12 nam sinh viên, ngư i ta ch n ng u nhiên sinh viên ñ l p Ban cán b l p (BCB) Tính xác su t đ MATHEDUCARE.COM Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân a/ BCB g m n nam, b/ BCB có nh t m t n , c/ BCB có nh t hai nam hai n Gi i Đ t Ak : “BCB có k nam sinh viên” có: ( k ∈ {0,1, 2,3, 4,5} ), 5− k P ( Ak ) = k C C12 C520 a/ BCB g m n nam Xác su t ph i tính: P( A2 ) = C C12 C 520 = 77 323 b/ Đ t N: “BCB có nh t m t n ”, N = A5 Do đó, P( N ) = P( A5 ) = − P( A5 ) =− C C12 C 520 = − 33 = 613 646 646 c/ Đ t H: “BCB có nh t hai nam hai n ” Do đó, P ( H ) = P ( A2 ) + P ( A3 ) = + = 1.6 T m t h p ch a viên bi ñ viên bi tr ng ngư i ta l y ng u nhiên l n, m i l n viên bi, khơng hồn l i Tính xác su t ñ l y ñư c a/ viên bi ñ ; b/ hai viên bi khác màu; c/ viên bi th hai bi tr ng Gi i V i i ∈ {1, 2} , ñăt: Ti : “viên bi l y l n th i bi tr ng”, Di : “viên bi l y l n th i bi ñ ” a/ Đ t A :“l y ñư c viên bi ñ ”, có: P ( A) = P ( D1D2 ) = P ( D1 ) P ( D2 / D1 ) = = 14 13 12 39 b/ Đ t B : “l y ñư c hai viên bi khác màu”, có: MATHEDUCARE.COM Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân P ( B ) = P (T1 D2 + D1T2 ) = P (T1 D2 ) + P ( D1T2 ) = P (T1 ) P ( D2 / T1 ) + P ( D1 ) P (T2 / D1 ) Suy ra: P ( B) = + = 20 13 12 13 12 39 c/ T2 = T1T2 + D1T2 , nên xác su t ph i tính là: P (T2 ) = P (T1T2 ) + P ( D1T2 ) = P (T1 ) P (T2 / T1 ) + P ( D1 ) P ( D2 / T1 ) suy P (T2 ) = + = 13 12 13 12 13 1.7 M t cơng ty c n n nhân viên Có ngư i, g m nam n n p ñơn xin d n, m i ngư i đ u có h i đư c n Tính xác su t đ ngư i đư c n, a) có nh t m t nam; b) có nh t m t n Gi i Đ t G i a) G i nam ñư c n nhân viên” : “Có : “có nh t nam” ( ) = ( 1) = 3 ∈ = 70 : “có nh t n ” ( ) = 1− ( ) = 1− = 13 14 1.8 M t công ty c n n nhân viên Có ngư i, g m nam n n p ñơn xin d n, m i ngư i đ u có h i đư c n Tính xác su t ñ ngư i ñư c n, a/ có khơng q hai nam; b/ có ba n , bi t r"ng có nh t m t n ñã ñư c n Gi i Đ t a/ G i : “Có nam đư c n nhân viên” : “có khơng q nam” ( )= b/ G i ∈ ( 1) + ( )= 3 + = : “ch n n , bi t r"ng có nh t n đư c n” G i B : “Có nh t m t n ñư c ch n” MATHEDUCARE.COM Bài t p Xác su t th ng kê Ta có ( ) = 1− ( Di p Hoàng Ân 4) = 1− ( )= ( = 13 14 | )= ( 1) = ( ) 13 1.9 M t c#a hàng sách c lư ng r"ng: Trong t$ng s khách hàng ñ n c#a hàng, có 30% khách c n h i nhân viên bán hàng, 20% khách mua sách 15% khách th c hi%n c hai ñi u G p ng u nhiên m t khách nhà sách Tính xác su t đ ngư i a/ khơng th c hi%n c hai u trên; b/ khơng mua sách, bi t r"ng ngư i ñã h i nhân viên bán hàng Gi i Đ t : “khách hàng c n tư v n” : “khách hàng c n mua sách” Theo đ ta có: ( ) = 0,3; ( ) = 0, 2; ( ) = 0,15 a/ Xác su t khách hàng không c n mua sách không c n tư v n là: 15  13 ( ) = ( ) + ( ) − ( ) = − 103 + − 102 − 1 − 100 =  20 b/ không mua sách, bi t r"ng ngư i ñã h i nhân viên bán hàng ( / ( )= )= ( ) ( )− ( ( ) 1.10 15 ) = 10 − 100 = 10 M t cu c ñi u tra cho th y, ' m t thành ph , có 20,7% dân s dùng lo i s n ph(m , 50% dùng lo i s n ph(m s nh ng ngư i dùng , có 36,5% dùng Ph ng v n ng u nhiên m t ngư i dân thành ph đó, tính xác su t đ ngư i y ; a/ Dùng c b/ Không dùng , không dùng Gi i Đ t : “ ngư i dân thành ph dùng s n ph(m ” : “ ngư i dân thành ph dùng s n ph(m ” Theo đ ta có: ( ) = 0, 207; ( ) = 0,5; ( | ) = 0,365 a) Xác su t ngư i dân ñó dùng c ( ) = ( ) ( / ) = 0,5.0,365 = 0,1825 b) Xác su t ngư i dân khơng dùng c ( ) = ( ) + ( ) − ( ) = 0, 4755 1.11 MATHEDUCARE.COM Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân M t cu c ñi u tra cho th y, ' m t thành ph , có 20,7% dân s dùng lo i s n ph(m , 50% dùng lo i s n ph(m s nh ng ngư i dùng , có 36,5% dùng Ph ng v n ng u nhiên m t ngư i dân thành ph đó, tính xác su t đ ngư i y ; a/ Dùng c b/ Dùng , bi t r"ng ngư i y không dùng Gi i Đ t : “ ngư i dân thành ph dùng s n ph(m ” : “ ngư i dân thành ph dùng s n ph(m ” Theo ñ ta có: ( ) = 0,207; ( ) = 0,5; ( / ) = 0,365 a/ Xác su t ngư i dân dùng c ( ) = ( ) ( / b/ Xác su t ngư i dân dùng ( / )= ( )= ( ) ) = 0,5.0,365 = 0,1825 , bi t r"ng không dùng ( )− ( ) ( ) = 0,5 − 0,1852 = 0, 404 − 0, 207 1.12 Theo m t cu c ñi u tra xác su t đ m t h gia đình có máy vi tính n u thu nh p hàng năm 20 tri%u (VNĐ) 0,75 Trong s h đư c u tra 60% có thu nh p 20 tri%u 52% có máy vi tính Tính xác su t đ m t h gia đình đư c ch n ng u nhiên a/ có máy vi tính có thu nh p hàng năm 20 tri%u; b/ có máy vi tính, khơng có thu nh p 20 tri%u Gi i Đ t : “H gia đình đư c ch n ng u nhiên có máy vi tính” : “H gia đình đư c ch n ng u nhiên có thu nh p hàng năm 20 tri%u” Theo ñ ta có: ( ) = 0,52; ( ) = 0, 6; ( / ) = 0, 75 a/ Xác su t đ h gia đình đư c ch n có máy vi tính có thu nh p hàng năm 20 tri%u là: P ( AB ) = P ( B ) P ( A / B ) = 0, 6.0, 75 = 0, 45 b/ Xác su t đ h gia đình đư c ch n có máy vi tính thu nh p 20 tri%u là: ( )= ( )− ( ) = 0,52 − 0, 45 = 0, 07 1.13 Theo m t cu c u tra xác su t đ m t h gia đình có máy vi tính n u thu nh p hàng năm 20 tri%u (VNĐ) 0,75 Trong s h ñư c ñi u tra 60% có thu nh p 20 tri%u 52% có máy vi tính Tính xác su t đ m t h gia đình đư c ch n ng u nhiên a/ Có máy vi tính có thu nh p hàng năm 20 tri%u; b/ Có thu nh p hàng năm 20 tri%u, bi t r"ng h khơng có máy vi tính MATHEDUCARE.COM Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hồng Ân Gi i Đ t : “H gia đình ñư c ch n ng u nhiên có máy vi tính” : “H gia đình đư c ch n ng u nhiên có thu nh p hàng năm 20 tri%u” Theo đ ta có: ( ) = 0,52; ( ) = 0, 6; ( / ) = 0, 75 a/ Xác su t đ h gia đình đư c ch n có máy vi tính có thu nh p hàng năm 20 tri%u là: P ( AB ) = P ( B ) P ( A / B ) = 0, 6.0, 75 = 0, 45 b/ Xác su t đ h gia đình đư c ch n có thu nh p hàng năm 20 tri%u khơng có máy vi tính là: ( / ( )= ( ) )= ( )− ( ) = 0, − 0, 45 = 0,3125 ( ) − 0,52 1.14 Trong m t ñ i n có hai v n đ ng viên A B thi ñ u A thi ñ u trư c có hy v ng 80% th ng tr n Do nh hư'ng tinh th n, n u A th ng tr n có 60% kh B th ng tr n, cịn n u A thua kh c a B ch cịn 30% Tính xác su t c a bi n c sau: a/ Đ i n th ng hai tr n; b/ Đ i n th ng nh t m t tr n Gi i Đ t : “v n ñ ng viên Theo đ ta có: ( th ng” v i ∈ { , ) = 0,8; ( } ) = 0, 6; / ( / ) = 0, a/ Xác su t ñ i n th ng tr n ( )= ( ) ( ) = 0,8.0, = 0, 48 / b/ Đ i n th ng nh t m t tr n nghĩa có nh t m t hai v n ñ ng viên A, ho c B th ng Xác su t c n tính là: P ( M A ∪ M B ) = P ( M B ) + P ( M A ) − P ( M A M B ) = 0,54 + 0,8 − 0, 48 = 0,86 1.15 Trong m t đ i n có hai v n đ ng viên A B thi ñ u A thi ñ u trư c có hy v ng 80% th ng tr n Do nh hư'ng tinh th n, n u A th ng tr n có 60% kh B th ng tr n, n u A thua kh c a B ch cịn 30% Tính xác su t c a bi n c sau: a/ B th ng tr n; b/ Đ i n ch th ng có m t tr n Gi i Đ t : “v n ñ ng viên Theo đ ta có: ( th ng” v i ∈ { , ) = 0,8; ( } ) = 0, 6; / ( / ) = 0, a/ Xác su t B th ng tr n là: ( ) ( ) P ( M B ) = P ( M A ) P ( M B | M A ) + P M A P M B | M A = 0,54 MATHEDUCARE.COM Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân b/ Đ t : “ñ i n ch th ng tr n” Xác su t ñ i n ch th ng tr n là: ( ) ( ) P ( D ) = P M A M B + P M A M B = P ( M A ) − P ( M A M B ) + P ( M B ) − P ( M A M B ) = P ( M A ) + P ( M B ) − 2.P ( M A M B ) = 0,8 + 0,54 − 2.0, 48 = 0,38 ` 1.16 Đ thành l p ñ i n qu c gia v m t môn h c, ngư i ta t$ ch c m t cu c thi n g m vịng Vịng th nh t l y 80% thí sinh; vịng th hai l y 70% thí sinh qua vòng th nh t vòng th ba l y 45% thí sinh qua vịng th hai Đ vào đư c đ i n, thí sinh ph i vư t qua đư c c vịng thi Tính xác su t đ m t thí sinh b t kỳ a/ Đư c vào ñ i n; b/ B lo i ' vòng th ba Gi i Đ t : “thí sinh đư c ch n ' vịng ” v i ∈ {1, 2,3} Theo đ ta có: ( ) = 0,8; ( | ) = 0, 7; ( | ) = 0, 45 a/ Xác su t đ thí sinh đư c vào đ i n ( ) = ( ) ( | ) ( | ) = 0,8.0, 7.0, 45 = 0, 252 b/ Xác su t đ thí sinh b lo i ' vịng th III ( )= = ( ) ( ( ) ( / | ) ( / ( ) (1 − 1 | ) ) ) = 0,8.0, 7.0,55 = 0, 308 1.17 Đ thành l p ñ i n qu c gia v m t môn h c, ngư i ta t$ ch c m t cu c thi n g m vịng Vịng th nh t l y 80% thí sinh; vịng th hai l y 70% thí sinh qua vòng th nh t vòng th ba l y 45% thí sinh qua vịng th hai Đ vào đư c đ i n, thí sinh ph i vư t qua đư c c vịng thi Tính xác su t đ m t thí sinh b t kỳ a/ Đư c vào ñ i n; b/ B lo i ' vòng th hai, bi t r"ng thí sinh b lo i Gi i Đ t : “thí sinh đư c ch n ' vịng ” v i ∈ {1, 2,3} Theo ñ ta có: ( ) = 0,8; ( | ) = 0, 7; ( | ) = 0, 45 a/ Xác su t đ thí sinh ñó ñư c vào ñ i n ( ) = ( ) ( | ) ( | ) = 0,8.0, 7.0, 45 = 0, 252 b/ Đ t K: “Thí sinh b lo i” ( )= ( )+ ( 1 )+ ( ) = 1− ( 1) + ( 1)− ( )+ ( ) MATHEDUCARE.COM Bài t p Xác su t th ng kê ( ) ( = 1− / )+ Di p Hoàng Ân ( ) = − 0,8.0, + 0,308 = 0, 748 V y, xác su t đ thí sinh b lo i ' vịng II, bi t r"ng thí sinh b lo i là: ( )= | ( )= ( ( ) ( ) )= ( ( ) ( ) | ) = 0,8 (1 − 0, ) = 0, 3209 0, 748 1.18 M t lơ hàng có s n ph(m gi ng M i l n ki m tra, ngư i ta ch n ng u nhiên s n ph(m; ki m tra xong tr s n ph(m l i lơ hàng Tính xác su t đ sau l n ki m tra, s n ph(m ñ u ñư c ki m tra Gi i Chia s n ph(m thành nhóm G i : “Ki m tra nhóm ” ∈ {1, 2,3} Đ t :”Sau l n ki m tra, s n ph(m ñ u ñư c ki m tra” ( )= = = 1.19 M t l p h c c a Trư ng Đ i h c AG có 2/3 nam sinh viên 1/3 n sinh viên S sinh viên quê ' An Giang chi m t l% 40% n sinh viên, chi m t l% 60% nam sinh viên a) Ch n ng u nhiên m t sinh viên c a l p Tính xác su t đ ch n đư c m t sinh viên quê ' An Giang N u bi t r"ng sinh viên v a ch n quê ' An Giang xác su t đ sinh viên nam b"ng bao nhiêu? b) Ch n ng u nhiên khơng hồn l i hai sinh viên c a l p Tính xác su t đ có nh t m t sinh viên quê ' An Giang, bi t r"ng l p h c có 60 sinh viên Gi i a) Đ t : : “Ch n ñư c sinh viên nam” : “Ch n ñư c sinh viên n ” )= ( )= ( : “Ch n ñư c sinh viên quê ' An Giang” ( )= Do đó, ( ) ( + ( | )= )= ( ) ( ( ) ( ) = | ) + ( ) ( | )= 15 ( ) ( | ) = ( ) b) L p có 60 sinh viên suy có 40 sinh viên nam 20 sinh viên n S sinh viên Nam quê ' An Giang: 24 S sinh viên N quê ' An Giang: Nên t$ng s sinh viên quê ' An Giang 32 sinh viên : “ít nh t m t sinh viên quê ' An Giang” ( ) = 1− ( ) = 1− 28 60 = 232 295 1.20 10 MATHEDUCARE.COM Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hồng Ân H đư c ch p nh n nghĩa có th coi ch t lư ng bóng đèn cơng ty s n xu t ñ ng ñ u 28 T i m t nơng trư ng, đ u tra kh i lư ng c a m t lo i trái cây, sau m t đ t bón m t lo i phân m i, ngư i ta cân th# m t s trái ñư c ch n ng u nhiên ñư c k t qu sau: Kh i lư ng (gam) S trái [45, 50) [50, 55) 11 [55, 60) 25 [60, 65) 74 [65, 70) 187 [70, 75) 43 [75, 80) 16 ≥ 80 Trư c kia, kh i lư ng trung bình c a m i trái 65 gam Hãy ñánh giá xem lo i phân bón m i có mang l i hi%u qu không? (k t lu n ' m c ý nghĩa α = 1%) Gi i: T s li%u cho ta tính đư c n = 361; x = 66,38; s = 5, 41 Ki m ñ nh gi thi t H : µ = µ = 65( g ); H1 : µ > µ ' m c α = 1% N u H U = X − µ0 s n ~ N ( 0,1) V i α = 0, 01 ta suy ra: gtth = u1−α = u0,99 = 2,33 V i m u c, th ta tính đư c: u = 66, 38 − 65 361 = 4,85 > gtth 5, 41 V y H b bác b nghĩa là: lo i phân bón m i có mang l i hi%u qu (k t lu n ' m c ý nghĩa α = 1%) 29 M t công ty thương m i, d a vào kinh nghi%m kh , ñã xác ñ nh r"ng vào cu i năm 80% s hố đơn ñư c toán ñ y ñ , 10% kh t l i tháng, 6% kh t l i tháng, 4% kh t l i tháng Vào cu i năm nay, công ty ki m tra m t m u ng u nhiên g m 400 hố đơn th y r"ng: 287 hố đơn ñã ñư c toán ñ y ñ , 49 kh t l i tháng, 30 kh t l i tháng 34 kh t l i tháng Như v y, vi%c tốn hố đơn năm có cịn theo qui lu t nh ng năm trư c không? (k t lu n ' m c ý nghĩa α = 5% ) Gi i: Ta ki m ñ nh gi thi t v phân ph i H : Vi%c tốn hố đơn năm theo qui lu t năm trư c 111 MATHEDUCARE.COM Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hồng Ân H1 : Vi%c tốn hố ñơn năm không theo qui lu t năm trư c m c ý nghĩa α = 5% B ng t n s lý thuy t th c nghi%m: l i Thanh toán Khu t l i Khu t l i Khu t tháng ñ y ñ ( x1 ) tháng ( x2 ) tháng ( x3 ) ( x4 ) T n s sát quan 287 49 30 34 lý 320 40 24 16 T n s thuy t Ta có: ( oi − ei ) i =1 ei Q =∑ 2 ( 287 − 320 ) = 320 ( 49 − 40 ) + 40 ( 30 − 24 ) + 24 ( 34 − 16 ) + 16 = 27,178 V i α = 5% , gtth = χ12−α ( 3) = χ0,95 ( 3) = 7,815 Ta th y Q > χ12−α ( 3) nên: Vi%c tốn hố đơn năm khơng cịn theo qui lu t nh ng năm trư c (k t lu n ' m c ý nghĩa α = 5%) 30 Đ l p k ho ch s n xu t m t hàng m i, m t cơng ty ti n hành u tra v s' thích c a khách hàng v lo i m u khác c a m t lo i hàng K t qu ñư c trình bày ' b ng sau: M u A B C Thích 43 30 42 Khơng thích 35 53 39 Khơng có ý ki n 22 17 19 hàng Ý ki n Có hay khơng s phân bi%t v s' thích c a khách hàng đ i v i lo i m u nói trên? K t lu n ' m c ý nghĩa 5% Gi i: Ta ki m ñ nh gi thi t v phân ph i H : Khơng có s phân bi%t v s' thích H1 : Có s phân bi%t v s' thích ñ i v i m t hàng (m c ý nghĩa 5%) B ng ñ i chi u t n s : Trong ngo c t n s lý thuy t: M u A B C 112 MATHEDUCARE.COM Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hồng Ân hàng Ý ki n Thích 43 30 42 (38,33) (38,33) (38,33) Khơng thích 35 53 39 (42,33) (42,33) (42,33) Khơng có ý ki n 22 17 19 (19,33) (19,33) (19,33) ( oi − ei ) i =1 ei Q =∑ 2 = 7, 606 χ12−α ( ) = χ0,95 ( ) = 9, 488 Ta th y Q < χ12− α (8 ) nên H ñư c ch p nh n nghĩa là: Khơng có s phân bi%t v s' thích đ i v i m t hàng 31 Đi u tra m t s s n ph(m c a m t xí nghi%p v chi u dài (X (cm)) hàm lư ng ch t A (Y (%)), ngư i ta có k t qu sau: Y 10 12 14 16 100 5 110 9 X 120 130 140 Các s n ph(m có chi u dài không 110cm hàm lư ng ch t A khơng 12% đư c g i s n ph(m lo i II N u xí nghi%p báo cáo r"ng s n ph(m lo i II có ch tiêu Y trung bình 10% có th ch p nh n đư c khơng? K t lu n ' m c ý nghĩa 5% (gi thi t hàm lư ng có phân ph i chu(n) Gi i: B ng s li%u cho ch tiêu Y c a nh ng s n ph(m lo i A yj 10 12 nj 11 Giá tr trung bình m u: y = 9,85 giá tr đ l%ch chu(n m u: sY = 1, 56 , c5 m u n = 27 113 MATHEDUCARE.COM Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân Ta ki m ñ nh gi thi t sau: H : µY = µ0 = 10 ( % ) ; H1 : µY ≠ µ0 ' m c ý nghĩa 5% N u H BNN T = Y − µ0 n ~ t ( n − 1) SY ) = 2, 0555 V i m c ý nghĩa α = 5% ta tính đư c gtth = t ( 260,05 1− 9,85 − 10 V i m u c, th ta tính đư c: t = 27 = −0,5 1, 56 Ta có t < gtth nên H không b bác b V y, ch p nh n báo cáo c a xí nghi%p (' m c ý nghĩa 5%) 32 G o ñ tiêu chu(n xu t kh(u g o có t l% h t nguyên, h t v5 t m, theo th t , là: 90%, 6% 4% Ki m tra 1000 h t g o c a m t lô g o, ngư i ta th y có: H t ngun: 880; h t v5: 60 t m: 60 H i lô g o có đ tiêu chu(n xu t kh(u khơng? Cho k t lu n ' m c ý nghĩa 5% Gi i: Đ k t lu n v tiêu chu(n c a lơ g o ta ki m đ nh gi thi t sau: H : Lô g o đ tiêu chu(n xu t kh(u H1 : Lơ g o khơng đ tiêu chu(n xu t kh(u (' m c ý nghĩa 5%) N u H ñúng 1000 h t g o có 900 h t nguyên, 60 h t v5 40 h t t m Ta có Q ( 880 − 900 ) = 900 ( 60 − 60 ) + 60 ( 60 − 40 ) + 40 = 10, 44 ) = V i α = 5%, gtth = χ1(−30,05 Vì Q > gtth nên H b bác b V y, lô g o khơng đ tiêu chu(n xu t kh(u (k t lu n ' m c ý nghĩa 5%) 33 Giám ñ c tr i gà Alpha xem l i h sơ c a m t ñ t kh o sát v kh i lư ng c a gà xu t chu ng ' tr i gà th y s li%u ñư c ghi sau: Kh i lư ng (kg) S gà 114 MATHEDUCARE.COM Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân [2,3; 2,7) [2,7; 2,9) 30 [2,9; 3,1) 41 [3,1; 3,3) 25 [3,3; 3,5) 10 [3,5; 3,7) [3,7; 3,9) Ban giám ñ c tr i gà Alpha báo cáo r"ng kh i lư ng trung bình c a gà kg Hãy cho nh n xét v báo cáo ' m c ý nghĩa 2% Gi i: T s li%u ta tính đư c: n = 121; x = 3, 06; s = 0, 2826 Ta ki m ñ nh gi thi t sau: H : µ X = µ0 = 3; H1 : µ X > µ0 ' m c α = 2% N u H BNN U = X − µ0 n ~ N ( 0,1) sX V i α = 2% , gtth = u1−α = u0,95 = 1, 6449 V i m u c, th : u = x − µ0 3, 06 − n= 121 = 2, 3354 sX 0, 2826 Vì u > gtth nên H b bác b nghĩa báo cáo c a Ban giám ñ c ñúng (' m c ý nghĩa 5%) 34 Đ so sánh th i gian c t trung bình c a m t máy ti%n lo i cũ v i m t máy ti%n lo i m i, ngư i ta cho m i máy c t th# 10 l n ño th i gian c t (tính b"ng giây) K t qu thu ñư c sau: Máy lo i cũ: 58, 58, 56, 38, 70, 38, 42, 75, 68, 67 Máy lo i m i: 57, 55, 63, 24, 67, 43, 33, 68, 56, 54 Bi t r"ng th i gian c t c a máy lo i cũ c a máy lo i m i bi n ng u nhiên tuân theo lu t phân ph i chu(n có đ l%ch chu(n, theo th t , 13,5 giây 14,5 giây V i m c ý nghĩa 5%, có th cho r"ng máy lo i m i t t (có th i gian c t trung bình hơn) máy lo i cũ hay không? Gi i: G i X , Y theo th t BNN ch th i gian c t c a máy ti%n cũ máy ti%n m i 115 MATHEDUCARE.COM Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hồng Ân Ta ki m đ nh gi thi t sau: H : µ X = µY ; H1; µ X > µY ' m c ý nghĩa 5% N u H ñúng thù BNN U = X −Y σ X2 n + σ Y2 ~ N ( 0,1) m V i α = 5% , gtth = u1−0,05 = u0,95 = 1, 6449 V i m u c, th ta tính đư c: x = 57; s X = 13, 6; y = 52; sY = 14, 46 Do u = 57 − 52 = 2, 988 13, 14,5 + 10 10 Vì u > gtth nên H b bác b V y, có th cho r"ng máy lo i m i t t (có th i gian c t trung bình hơn) máy lo i cũ 116 MATHEDUCARE.COM Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân CHƯƠNG 7: TƯƠNG QUAN VÀ H I QUY 7.1 Xem vectơ ng u nhiên (X,Y) tuân theo lu t phân ph i chu(n hai chi u mà m t m u ng u nhiên g m c p ñư c ch n sau: xi yi 11 17 21 25 29 32 a) Hãy tính giá tr h% s tương quan m u c a X Y cho nh n xét b) Hãy ki m ñ nh gi thi t v s tương quan gi a X Y ' m c α = 5% c) Hãy l p hàm h i quy n tính m u d đốn n u X l y giá tr b"ng 20 Y nh n giá tr bao nhiêu? Gi i: a) r = ∑ xi yi − n x y (n −1)s X sY = 0,996 X Y có quan h% g n n tính b) Ki m ñ nh gi thi t : ρ = 0; N u : ρ ≠ ' m c α = 5% T = R ( = ! = ∑( ).( − − n−2 − R2 ~ t ( n − 2) ) =1 ( − 1) h% s tương quan m u) V i α = 5% , gtth = "1(−6α) / = 2,4469 −2 = 0,996 = 27,3 1− # − 0,9962 V i m u c, th , ta có # = 0,996 " = # Vì " > $""% nên b bác b nghĩa th t s tương quan , c) Phương trình h i quy n tính m u: y = −0.107 + 4,107 x T đó, n u X = 20 Y = 82,036 7.2 M t s' s n xu t ñã ghi l i s ti n ñã chi cho vi%c nghiên c u phát tri n l i nhu n hàng năm c a s' năm v a qua sau: (ñơn v 106 VNĐ) Chi nghiên c u 11 L i nhu n 31 40 30 34 25 20 117 MATHEDUCARE.COM Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hồng Ân a) Hãy tính giá tr h% s tương quan m u gi a chi nghiên c u l i nhu n b) Chi nghiên c u l i nhu n có th c s tương quan không? (k t lu n ' m c ý nghĩa α = 2%) c) Vi t phương trình đư ng h i qui n tính m u c a l i nhu n theo chi phí nghiên c u Gi i: a) r = 0, 909 b) Ki m ñ nh gi thi t H : ρ = 0; H1 : ρ ≠ ' m c ý nghĩa α = 1% N u H BNN T = R n−2 − R2 ~ t ( n − 2) gtth = t1−α / ( t − ) = t0,99 ( ) = 3,7469 V i m u c, th ta có t = 0,909 = 4,361 − 0,9092 Vì t > gthh nên H b bác b Nghĩa X Y th c s tương quan (k t lu n ' m c ý nghĩa α = 2%) c) Phương trình đư ng h i quy n tính m u: y = x + 20 7.3 Đo chi u cao Y (cm) chi u dài chi dư i X (cm) c a m t nhóm niên, ngư i ta thu ñư c s li%u sau: yi 160 161,5 163 165 167 168 171 172 xi 78 79 80 81 82 83 84 85 (a) Tính giá tr h% s tương quan m u c a X Y (b) m c ý nghĩa α = 5%, cho nh n xét v tài li%u cho r"ng h% s tương quan c a X Y 0,9 (c) Vi t phương trình đư ng h i quy m u c a Y theo X Đáp s : (a) r = 0,996 (b) Ki m ñ nh gi thi t H0: ρ = 0,9 ñ i v i H1: ρ ≠ 0,9 Tr c nghi%m U đư c s# d,ng, v i 118 MATHEDUCARE.COM Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân U = Z − µZ ~ N (0,1) σZ V i m c α = 5% , gtth = u0,975 = 1, 96 ; v i m u c, th , có : ( ) + 0,996 z = ln = 3,106 , ( ) + 0,9 µ Z = ln + − 0,9 − 0,996 0,9 = 1,5365; 2(8 −1) u= σZ = , z − µZ = 3,509 σZ u > gtth nên ' m c ý nghĩa α = 5%, gi thi t H0 b bác b , nghĩa tài li%u không ñư c ch p nh n (' m c ý nghĩa α = 5%) Vì (c) y = 1,768x + 21,857 7.4 M t gi ng viên d y môn th ng kê yêu c u m i sinh viên ph i làm m t đ án phân tích d li%u d kỳ thi h t mơn Sau đó, m t m u g m 10 sinh viên ñư c ch n ng u nhiên, ñi m s ñư c ghi l i sau: Đi m thi 81 62 74 78 93 69 72 83 Đi m ñ án 76 71 69 76 87 62 80 75 90 84 92 79 (a) Tìm kho ng tin c y 95% cho m thi trung bình c a m t sinh viên (gi thi t ñi m thi c a sinh viên tuân theo lu t phân ph i chu(n) (b) m c ý nghĩa 5%, ñánh giá v s tương quan n tính gi a hai lo i ñi m Gi i: (a) G i X ñi m thi c a sinh viên Ta có: x = 78,6 s = 9,57 Kho ng tin c y 95% cho ñi m thi trung bình c a m t sinh viên: ( x − e; x + e ) e = t1(+γ) s 5,97 = 2,2622 = 4, 27 10 10 Kho ng tin c y c n tìm ( 74,33; 82,87 ) (b) G i Y ñi m ñ án c a sinh viên Đ t ρ = ρ , Chúng ta ph i có quy t ñ nh gi a hai gi thi t: H 0: ρ = H1: ρ ≠ 0, N u H0 BNN 119 MATHEDUCARE.COM Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân T= R 10 − ~ t(8) − R2 (8) t0,975 = 2,3060 ; V i m c α = 5% , giá tr t i h n là: v i m u c, th , có h% s tương quan m u: r = 0,776 Do ñó: t= 0, 776 − (0, 776) = 3, 48 Vì |t| >2,306 nên gi thi t H0 b bác b ' m c ý nghĩa α = 5% khác, ch p nh n r"ng X Y tương quan ' m c ý nghĩa 5% Nói cách 7.5 Đ th c hi%n m t cơng trình nghiên c u v m i quan h% gi a chi u cao Y(m) đư ng kính X(cm) c a m t lo i cây, ngư i ta quan sát m t m u ng u nhiên có k t qu sau: xi 28 28 24 30 60 30 32 42 43 49 yi 6 10 10 (a) Hãy tính giá tr h% s tương quan m u c a X Y cho nh n xét (b) Vi t phương trình đư ng th6ng h i quy m u c a Y theo X Hãy d báo chi u cao c a có đư ng kính 45 cm Gi i: (a) r = 0,939 Vì r r t g n nên gi a X Y có h i qui n tính (b) y = 0,166x + 1,041 D báo chi u cao c a có đư ng kính 45 cm là: y = 0,166 × 45 + 1,041 = 8,5 m 7.6 X (%) Y(kg/mm2) hai ch tiêu ch t lư ng c a m t lo i s n ph(m Đi u tra ' m t s s n ph(m, b ng sau: X Y T ns 2 10 10 10 4 15 15 15 20 20 25 25 a) Hãy tính giá tr trung bình m u c a X, Y; phương sai m u c a X, Y h% s tương quan m u gi a X Y b) Vi t phương trình h i quy m u c a Y theo X T d đốn xem n u ch tiêu X ch tiêu Y bao nhiêu? Gi i: a) Ta có trung bình m u: 120 MATHEDUCARE.COM Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân x = 5,93; y = 15,17; Phương sai m u: σ X2 = 3, 44; σ Y2 = 28, 42 H% s tương quan m u: r = 0,66 b) Phương trình h i quy Y theo X: y = 3,86 + 1.91x N u X có giá tr Y s+ nh n giá tr 21 7.7 X (%) Y(kg/mm2) hai ch tiêu ch t lư ng c a m t lo i s n ph(m Đi u tra ' m t s s n ph(m, b ng sau: X Y T ns 2 10 10 10 4 15 15 15 20 20 25 25 a) Tính giá tr h% s tương quan m u gi X Y Vi t Vi t phương trình h i quy m u c a Y theo X b) Ki m ñ nh gi thi t xem X Y có tương quan không ' m c ý nghĩa 5%? Gi i: a) Giá tr h% s tương quan m u: r = 0,66 Phương trình h i quy Y theo X: y = 3,86 + 1.91x b) Ki m ñ nh gi thi t H : ρ = 0; H1 : ρ ≠ ' m c ý nghĩa 5% N u H BNN T= R n−2 − R2 ~ t (n − 2) ( ) = 2,0484 V i m c ý nghĩa 5%, gtth = t0,975 28 V i m u c, th ta có t=r n−2 = 4, 69 1− r2 Vì t > gtth nên H b bác b , nghĩa X Y tương quan ' m c ý nghĩa 5% 7.8 X (%) Y(kg/mm2) hai ch tiêu ch t lư ng c a m t lo i s n ph(m Đi u tra ' m t s s n ph(m, b ng sau: X Y T ns 2 10 10 10 4 15 15 15 20 20 25 25 a) Tìm kho ng tin c y 95% cho ch tiêu Y (gi thi t ch tiêu Y tuân theo lu t phân ph i chu(n) 121 MATHEDUCARE.COM Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân b) Vi t phương trình h i quy m u c a Y theo X T d đốn xem n u ch tiêu X ch tiêu Y bao nhiêu? Gi i: a) Trung bình m u ch tiêu Y là: y = 15,17; sY = 5,33 Kho ng tin c y 95% cho trung bình ch tiêu Y là: ( y − e; y + e ) ( ) V i e = t0,975 29 sY 5,33 = 2, 0452 = 1,99 ≈ 30 30 V y kho ng tin c y c n tìm là: (13,18;17,16 ) b) Phương trình h i quy Y theo X: y = 3,86 + 1.91x N u X có giá tr Y s+ nh n giá tr 21 7.9 X (%) Y(kg/mm2) hai ch tiêu ch t lư ng c a m t lo i s n ph(m Đi u tra ' m t s s n ph(m, b ng sau: X Y T ns 2 10 10 10 4 15 15 15 20 20 25 25 a) Có tài li%u cho r"ng trung bình ch tiêu X 6,5% Hãy cho nh n xét v tài li%u ' m c ý nghĩa 5% Gi thi t ch tiêu X, Y tuân theo lu t phân ph i chu(n b) Tính giá tr h% s tương quan m u c a X Y Vi t phương trình đư ng th6ng h i quy m u c a Y theo X Gi i: a) Ki m ñ nh gi thi t H : µ X = µ0 = 6,5; H1 : µ X ≠ µ0 ' m c ý nghĩa 5% N u H BNN T = X − µ0 n ~ t ( n − 1) S ( ) = 2,0452 V i ' m c ý nghĩa 5%, gtth = t0,975 29 Vói m u c, th ta tính đư c: t = 5,93 − 6,5 30 = 0,908 3, 44 Vì t < gtth nên H không b bác b nghĩa ta ch p nh n tài liêu ' m c ý nghĩa 5% b) Giá tr h% s tương quan m u: r = 0,66 Phương trình h i quy Y theo X: y = 3,86 + 1.91x 122 MATHEDUCARE.COM Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân 7.10 Nghiên c u lư ng phân bón (X kg) đư c dùng đ bón cho ru ng m t v,; Y(kg/1000m2) su t lúa Th ng kê ' 30 h gia đình, k t qu sau: S h xi 40 40 50 50 50 60 60 60 yi 270 280 280 290 300 300 310 320 a) Tính giá tr h% s tương quan m u c a X Y Vi t phương trình h i quy m u Y theo X b) Ki m ñ nh gi thi t cho r"ng h% s tương quan c a X Y b"ng 0,9 ' m c ý nghĩa α = 5% Gi i: a) Giá tr h% s tương quan m u: r = 0,891 Phương trình đư ng h i quy m u: Y = 210,15 + 1,64 X b) Ki m ñ nh gi thi t H : ρ = ρ = 0,9; H1 : ρ ≠ ρ ' m c ý nghĩa α = 5% Tr c nghi%m U đư c s# d,ng, v i U = Z − µZ ~ N (0,1) σZ V i m c α = 5% , gtth = u0,975 = 1, 96 ; V i m u c, th , ta có  + 0,891  z = z = 12 ln   = 1,427  − 0,891  ( ) + 0,9 µ Z = ln + u = − 0,9 0,9 = 1, 488; 2(30 −1) σZ = 27 z − µZ = 0,317 σZ Vì | u |< gtth nên H ñư c ch p nh n nghĩa gi thi t h% s tương quan c a X Y b"ng 0,9 ñúng ' m c ý nghĩa α = 5% 7.11 Đ nghiên c u s tương quan gi a chi u cao X (cm) s c n ngY (kg) ngư i, quan sát m t m u ng u nhiên, ngư i ta có k t qu sau: yk xi [40, 45) 65) [45, 50) [50, 55) [55, 60) [60, 123 MATHEDUCARE.COM Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân [140, 145) [145, 150) [150, 155) 10 [155, 160) 1 [160, 165) (a) Hãy l p b ng phân b t n s , t n su t cho giá tr c a X, Y (b) Tính giá tr trung bình m u, đ l%ch chu(n m u h% s tương quan m u c a X Y Vi t phương trình đư ng th6ng h i quy n tính m u c a Y theo X Gi i: a) B ng t n s , t n su t c a X Y: Bi n X Bi n Y L p T ns T n su t L p T ns T n su t [140, 145) 0,094 [40, 45) 0,019 [145, 150) 0,170 [45, 50) 0,113 [150, 155) 20 0,377 [50, 55) 24 0,453 [155, 160) 17 0,321 [55, 60) 16 0,302 [160, 165) 0,038 [60, 65) 0,113 b) = 152,69; = 54, 23; = 5,14; = 4, 41 # = 0,6544 Phương trình h i quy: = −31,59 + 0,56 7.12 Đ nghiên c u s tương quan gi a chi u cao X (cm) s c n ngY (kg) ngư i, quan sát m t m u ng u nhiên, ngư i ta có k t qu sau: yk xi [40, 45) 65) [45, 50) [50, 55) [55, 60) [60, 124 MATHEDUCARE.COM Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân [140, 145) [145, 150) [150, 155) 10 [155, 160) 1 [160, 165) a) Tính giá tr h% s tương quan m u c a X Y Vi t phương trình đư ng th6ng h i quy n tính m u c a Y theo X b) Có tài li%u cho bi t h% s tương quan gi a X Y 0,65 Hãy cho nh n xét v tài li%u ñó, ' m c α = 5% Gi i: a) # = 0,6544 Phương trình h i quy: = −31,59 + 0,56 b) Ki m ñ nh gi thi t 5% : ρ = 0,65 ñ i v i H1: ρ ≠ 0,65 ' m c α = Tr c nghi%m U đư c s# d,ng, v i U = Z − µZ ~ N (0,1) σZ V i m c α = 5% , gtth = u0,975 = 1, 96 ; v i m u c, th , có : ( ) + 0,6544 z = ln = 0,783 , ( ) 0,65 = 0,7816; 2(53 −1) u= z − µZ = 0,01 σZ + 0,65 µ Z = ln + Vì − 0,65 − 0,6544 σZ = , u < gtth nên ' m c ý nghĩa α = 5%, gi thi t 50 ñư c ch p nh n, nghĩa tài li%u ñư c ch p nh n (' m c ý nghĩa α = 5%) 125 MATHEDUCARE.COM