BÀI TẬP XÁC SUẤT & THỐNG KÊ Dựa theo sách Xác suất & Thống kê.
BÀI TẬP XÁC SUẤT & THỐNG KÊ Dựa theo sách Xác suất & Thống kê Tác giả: Lê Sĩ Đồng GV: Nguyễn Ngọc Phụng PHẦN – XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ 1.1 Một khách hàng muốn mua hộp sản phẩm, ông ta chọn ngẫu nhiên sản phẩm để kiểm tra, phát phế phẩm dừng kiểm tra không mua hộp sản phẩm Người bán hàng cho phép kiểm tra tối đa sản phẩm hộp Giả sử hộp có phẩm phế phẩm, tính xác suất khách hàng mua hộp sản phẩm 1.2 Một hộp có 10 bi có bi đỏ, bi xanh bi vàng Lấy ngẫu nhiên bi từ hộp Tính xác suất bi lấy ra: a) có bi đỏ b) có bi đỏ c) có tối đa bi đỏ 1.3 Có người vào thang máy từ tầng (G) tịa nhà có tổng cộng 10 tầng lầu (1-10) Giả sử tịa nhà khơng cho phép người thang máy lên tầng 1-2 (trừ trường hợp vận chuyển hàng hóa), người lựa chọn tầng (3-10) với khả Tính xác suất a) người lên tầng b) người lên tầng khác c) có người lên tầng d) có người lên tầng 1.4 Hộp có bi xanh, bi đỏ, bi vàng; hộp có bi xanh, bi đỏ, bi vàng Lấy ngẫu nhiên hộp bi Tính xác suất a) hai bi lấy đỏ b) hai bi lấy màu c) hai bi lấy có bi vàng d) hai bi lấy có bi vàng 1.5 Một hộp gồm có phế phẩm phẩm Một khách hàng lấy ngẫu nhiên khơng hồn lại sản phẩm lấy phẩm dừng Tính xác suất việc lựa sản phẩm dừng lại sau lần lấy thứ 1.6 Một sở photocopy có máy hoạt động độc lập.Xác suất ngày làm việc máy 1, máy bị hỏng tương ứng 0,1; 0,08 Tính xác suất ngày làm việc a) sở có máy bị hỏng b) sở có máy bị hỏng c) sở có máy hoạt động tốt, biết ngày sở có máy bị hỏng 1.7 Có cung thủ bắn độc lập, người bắn mũi tên vào hồng tâm Xác suất bắn trúng hồng tâm cung thủ 1;2;3 tương ứng 0,8; 0,75; 0,6 Tính xác suất a) Hồng tâm bị bắn trúng b) Hồng tâm bị bắn trúng mũi tên, biết cung thủ thứ bắn trúng hồng tâm c) Cung thủ thứ bắn trúng hồng tâm, biết hồng tâm bị bắn trúng mũi tên 1.8 Một ngân hàng phát hành loại thẻ A, B, C Theo thống kê ngân hàng cho biết tỉ lệ khách hàng sử dụng loại thẻ tương ứng 18%, 24%, 12%, có 6% khách hàng dùng A B; 4% khách hàng dùng B C; 3% khách hàng dùng A C; 1% khách hàng dùng loại thẻ Một khách hàng ngẫu nhiên đến giao dịch ngân hàng cho biết dùng số loại thẻ Tính xác suất khách hàng sử dụng thẻ B 1.9 Tung đồng thời xúc xắc cân đối Gọi A biến cố tổng số chấm xuất xúc xắc chẵn B biến cố tổng số chấm xuất xúc xắc lẻ a) Hai biến cố A, B có xung khắc với khơng? Hai biến cố A, B có độc lập khơng? Tại sao? b) Gọi C biến cố tổng số chấm xuất xúc sắc nhỏ Tính xác suất A xảy ra, biết C xảy 1.10 Vé số Vietlott Mega 6/45 có luật chơi sau - Mỗi vé số bán với giá 10 ngàn đồng, khách hàng tự chọn số phân biệt để máy bán vé tự động chọn ngẫu nhiên số phân biệt từ 01 đến 45 - Kết xổ số số phân biệt máy tự động chọn ngẫu nhiên từ 01 đến 45 Quy tắc trúng thưởng: Mỗi vé trúng nhiều giải thưởng đồng thời không phân biệt thứ tự số, giải sau - Mỗi số có mặt kết xổ số trúng giải Ba trị giá 30 ngàn đồng - Mỗi số có mặt kết xổ số trúng giải Nhì trị giá 300 ngàn đồng - Mỗi số có mặt kết xổ số trúng giải Nhất trị giá 10 triệu đồng - Nếu trùng với số kết xổ số trúng giải Đặc biệt trị giá 12 tỉ đồng tích lũy theo thời gian khơng có trúng giải I) Bạn mua vé số loại này, tính xác suất: a) Bạn trúng giải Ba b) Bạn có trúng giải c) Bạn trúng giải Nhì Câu hỏi phụ: Khi tổng số tiền nhận thưởng bạn bao nhiêu? d) Bạn trúng giải Nhất Câu hỏi phụ: Khi tổng số tiền nhận thưởng bạn bao nhiêu? II) Bạn mua vé số loại với 12 số hồn tồn phân biệt, tính xác suất: a) Bạn có trúng giải b) Bạn trúng giải Ba c) Bạn trúng giải Ba d) Bạn trúng giải Ba 1.11 Hộp có bi đỏ, bi xanh bi vàng Hộp hai có bi đỏ, bi xanh bi vàng I) Lấy ngẫu nhiên từ hộp bi a) Tính xác suất lấy bi không màu đỏ b) Giả sử lấy bi khơng màu đỏ Tính xác suất bi màu vàng II) Lấy ngẫu nhiên hộp bi Tính xác suất bi lấy có bi đỏ 1.12 Xác suất để sinh viên thi đạt yêu cầu môn A lần thi thứ 0,6 Nếu lần đầu bị trượt thi lại lần hai Tính xác suất sinh viên khơng bỏ thi lần đầu, thi đạt yêu cầu môn A bao nhiêu? Biết thi trượt lần thứ khả thi đạt lần thứ hai 0,8 1.13 Một sinh viên thi TOEIC với mong muốn đạt điểm chuẩn đầu cho văn đại học Giả sử năm cuối sinh viên cịn thi lần nơi khác đến hạn, sinh viên đăng ký thi nơi Cho biết khả sinh viên thi đạt lần đầu nơi thứ 0,45 khả thi đạt lần sau nơi thứ hai 0,55 Cho dù lần thứ thi đạt yêu cầu sinh viên tiếp tục thi lần sau nơi thứ hai để mong tìm điểm số cao xác suất sinh viên thi đạt yêu cầu lần sau 0,6 Tính xác suất a) Trong lần thi trên, có lần sinh viên đạt điểm chuẩn đầu cho TOEIC b) Sinh viên khơng đạt điểm u cầu lần thi sau, dù lần thi đầu đạt điểm yêu cầu c) Giả sử lần thi có lần sinh viên đạt điểm u cầu Tính xác suất sinh viên đạt điểm yêu cầu lần thi sau 1.14 Một sinh viên muốn hồn thành khố học phải thi đậu kỳ thi với nguyên tắc đậu kỳ thi trước tham gia thi kỳ sau Xác suất sinh viên đậu kỳ thi thứ 0,9 Nếu đậu kì thi thứ xác suất sinh viên đậu kỳ thi thứ hai 0,85; sinh viên đậu kỳ thi thứ hai xác suất sinh viên đậu kỳ thi thứ ba 0,8 a) Tính xác suất sinh viên khơng hồn thành khóa học b) Giả sử sinh viên khơng hồn thành khóa học, tính xác suất sinh viên khơng đạt kỳ thi thứ ba 1.15 Khả sản xuất sản phẩm loại A máy ước tính 20% Kiểm tra ngẫu nhiên 10 sản phẩm máy sản xuất gần Tính xác suất 10 sản phẩm a) có phế phẩm b) có phế phẩm, biết có phế phẩm số chúng 1.16 Tín hiệu phát lần từ bên phát A hướng bên thu B Cho biết xác suất B nhận tín hiệu sau lần A phát tín hiệu 0,4 a) Tính xác suất B nhận tín hiệu sau A phát lần b) Nếu muốn khả B nhận tín hiệu sau A phát n lần, phải lớn 80% A cần phát tín hiệu lần? 1.17 Có 10 hộp sản phẩm loại giống nhau, hộp gồm có sản phẩm loại A sản phẩm loại B Lấy ngẫu nhiên từ hộp sản phẩm Tính xác suất sản phẩm lấy a) có sản phẩm loại B b) có sản phẩm loại B, biết số chúng có sản phẩm loại B 1.18 Hai máy sản xuất loại sản phẩm cách độc lập Tỉ lệ phế phẩm máy 1, máy ước tính 0,04; 0,03 Lấy ngẫu nhiên sản phẩm máy sản phẩm máy để kiểm tra Tính xác suất 11 sản phẩm lấy a) có phế phẩm b) có phế phẩm, biết số chúng có phế phẩm 1.19 Hai vận động viên thi đấu với với ván đấu độc lập Biết ván đấu có thắng thua khả A thắng B 0,4 Người B tự tin cho người A chọn thi đấu ván, với quy ước A chọn ván cần thắng ván thắng cuộc; A chọn ván cần thắng ván thắng Theo bạn, A nên chọn thi đấu hay ván để khả A thắng cao hơn? Giải thích 1.20 Một xí nghiệp có hai phân xưởng 2; phân xưởng có 10 máy, phân xưởng hai có máy, tất máy hoạt động độc lập Xác suất ngày làm việc máy phân xưởng 1; bị hỏng tương tứng 0,01; 0,008 Tính xác suất ngày làm việc a) Xí nghiệp có máy hỏng b) Xí nghiệp có máy hỏng, biết xí nghiệp có máy bị hỏng ngày hơm 1.21 Trong kho có 45% sản phẩm cơng ty A cịn lại sản phẩm cơng ty B Tỉ lệ phế phẩm A, B kho tương ứng 5%, 4% Lấy ngẫu nhiên sản phẩm từ kho a) Tính xác suất sản phẩm lấy phẩm b) Nếu sản phẩm lấy phế phẩm, nhiều khả phế phẩm cơng ty A hay B? 1.22 Có máy sản xuất loại sản phẩm Khả làm phẩm máy thứ nhất; máy thứ hai theo ước tính 0,92; 0,95 Sản phẩm máy làm sau ca sản xuất để vào chung kho kho số sản phẩm máy thứ gấp lần số sản phẩm máy hai Lấy sản phẩm kho để kiểm tra a) Tính xác suất lấy phế phẩm b) Nếu sản phẩm lấy phẩm, tính xác suất sản phẩm máy thứ hai sản xuất 1.23 Một nhà máy sản xuất giày xuất làm việc ca: sáng, chiều, tối, 48% sản phẩm sản xuất ca sáng, 42% sản phẩm sản xuất ca chiều, 10% sản phẩm sản xuất ca tối Tỉ lệ phế phẩm ca tương ứng 3%, 4%, 5% Lấy sản phẩm ngẫu nhiên nhà máy để kiểm tra phế phẩm, hỏi khả phế phẩm sản xuất từ ca cao nhất? 10 1.24 Một hộp gồm có bi đỏ, bi vàng Lấy ngẫu nhiên khơng hồn lại bi từ hộp, sau lấy tiếp bi bi cịn lại a) Tính xác suất bi lấy sau bi vàng b) Cho biết bi lấy sau bi vàng.Tính xác suất bi lấy trước bi đỏ 1.25 Có hộp sản phẩm Hộp gồm có sản phẩm loại A, sản phẩm loại B Hộp hai gồm có sản phẩm loại A, sản phẩm loại B a) Lấy ngẫu nhiên từ hộp sản phẩm bỏ vào hộp thứ ba (ban đầu khơng có sản phẩm nào) Sau từ hộp thứ ba lấy ngẫu nhiên sản phẩm Tính xác suất lấy sản phẩm loại A từ hộp b) Lấy ngẫu nhiên từ hộp sản phẩm từ hộp hai sản phẩm bỏ vào hộp thứ ba (ban đầu khơng có sản phẩm nào) Sau từ hộp thứ ba lấy ngẫu nhiên sản phẩm Tính xác suất lấy sản phẩm khác loại từ hộp 1.26 Có hộp bi, hộp có 12 bi Hộp có bi đỏ, hộp hai có bi đỏ a) Lấy ngẫu nhiên bi hộp bỏ sang hộp 2, sau lấy tiếp bi hộp Tính xác suất bi lấy có bi đỏ b) Lấy ngẫu nhiên bi hộp bỏ sang hộp 2, sau lấy bi hộp Cho biết bi lấy từ hộp bi đỏ, tính xác suất bi lấy từ hộp bỏ sang hộp bi đỏ 1.27 Một hộp có 10 bóng bàn Ngày thi đấu thứ lấy bóng sử dụng sau lại để vào hộp cách ngẫu nhiên Ngày thi đấu thứ hai lấy ngẫu nhiên bóng từ hộp để sử dụng a) Tính xác suất bóng sử dụng ngày thứ hai có bóng sử dụng ngày thi đấu thứ b) Cho biết bóng sử dụng ngày thứ hai có bóng sử dụng ngày thi đấu thứ Tính xác suất có bóng sử dụng ngày thứ 1.28 Trong vùng dân cư tỉ lệ người trưởng thành độc thân 55%, tỉ lệ người trưởng thành có gia đình 45% Có nạn dịch bệnh truyền nhiễm với tỉ lệ mắc bệnh nhóm người trưởng thành độc thân 8% tỉ lệ mắc bệnh nhóm người trưởng thành có gia đình 1% Kiểm tra ngẫu nhiên người trưởng thành vùng phát 11 người mắc bệnh này, tính xác suất người mắc bệnh người độc thân 1.29 Tỉ lệ sản phẩm loại A máy sản xuất 80%, lại 20% loại B Sản phẩm sau sản xuất hệ thống phân loại tự động Tuy nhiên khả nhận biết sản phẩm loại A, sản phẩm loại B hệ thống tương ứng 98%, 96% a) Tính xác suất sản phẩm hệ thống nhận định loại B b) Nếu sản phẩm hệ thống nhận định loại B, tính xác suất hệ thống nhận định sai? c) Tính tỉ lệ sản phẩm hệ thống phân loại sai d) Cho biết sản phẩm hệ thống phân loại sai, tính xác suất sản phẩm loại A 1.30 Một nhà máy có dây chuyền sản xuất loại sản phẩm Xác suất sản phẩm sản xuất dây chuyền phế phẩm, tương ứng 0,02; 0,03 Sản phẩm dây chuyền sản xuất đóng hộp riêng, hộp có 10 sản phẩm Biết suất dây chuyền thứ hai gấp lần suất dây chuyền thứ Lấy ngẫu nhiên hộp sản phẩm nhà máy để kiểm tra a) Tính xác suất hộp sản phẩm có chứa phế phẩm b) Biết hộp sản phẩm có chứa phế phẩm, hỏi khả sản xuất từ dây chuyền cao hơn? 1.30 Một súng lục ổ xoay (súng mơ hình) có lỗ chứa đạn cao su, lần bắn viên, ban đầu súng không chứa viên a) Một người đặt viên đạn cao su vào lỗ kề nhau, sau xoay ngẫu nhiên bóp cị lần bóp cị lỗ khơng chứa đạn Hỏi lúc người tiếp tục xoay ngẫu nhiên bóp cị (cách 1), để bóp cị tiếp (cách 2) cách có xác suất lần bóp cị thứ hai không đạn cao hơn? b) Giải lại toán câu trên, trường hợp đặt viên đạn cao su ban đầu vào lỗ ngẫu nhiên lỗ chứa đạn 12 PHẦN – BIẾN NGẪU NHIÊN 2.1 Một khách hàng chọn mua ngẫu nhiên sản phẩm từ hộp gồm có sản phẩm loại A sản phẩm loại B Giả sử khách hàng không nhận biết sản phẩm loại A, sản phẩm loại B a) Lập bảng phân phối xác suất số sản phẩm loại A mà khách mua b) Tính xác suất khách hàng mua sản phẩm loại A 2.2 Cho hộp sản phẩm, hộp có 12 sản phẩm gồm có phẩm phế phẩm Cho biết hộp nguyên, hộp mua phẩm, hộp mua sản phẩm không rõ sản phẩm a) Lấy ngẫu nhiên sản phẩm từ hộp hộp Lập bảng ppxs số phẩm lấy từ hai hộp b) Lấy ngẫu nhiên hộp hai hộp hộp hộp Từ lấy ngẫu nhiên sản phẩm Lập bảng ppxs số phẩm lấy c) Lấy ngẫu nhiên sản phẩm từ hộp Lập bảng ppxs số phẩm lấy d) Nếu chọn mua sản phẩm ba cách nêu theo bạn khả mua phẩm cách lớn nhất? 2.3 Một xạ thủ có viên đạn Anh ta bắn viên trúng đích hết đạn thơi Biết xác suất trúng đích viên đạn 0,7 xác suất trúng đích viên đạn sau tăng 0,02 a) Tìm luật phân phối xác suất số viên đạn bắn b) Xác định số viên đạn bắn nhiều khả xảy 2.4 Một thiết bị có phận hoạt động độc lập Xác suất khoảng thời gian t, phận bị hỏng tương ứng 0,1; 0,12; 0,08 a) Tìm luật phân phối xác suất số phận bị hỏng khoảng thời gian t b) Lập hàm phân phối xác suất X c) Tính xác suất khoảng thời gian t có khơng q phận bị hỏng xác định Mode(X) 13 2.5 Một hộp có lọ thuốc có lọ hạn sử dụng, tất lọ dán thời hạn sử dụng Một người kiểm tra lọ thuốc phát lọ hạn Tìm luật ppxs số lọ phải kiểm tra, biết người kiểm tra biết hộp có lọ hạn sử dụng lọ 2.6 Có người sản xuất loại sản phẩm cách độc lập, khả sản xuất phế phẩm người thứ 2%, người thứ hai 3% Lần lượt chọn ngẫu nhiên sản phẩm người thứ nhất, người thứ hai a) Tìm luật phân phối xác suất số phế phẩm có sản phẩm b) Tìm số phế phẩm nhiều khả số sản phẩm chọn c) Nếu phép thử thực nhiều lần trung bình có phế phẩm lần chọn sản phẩm trên? 2.7 Cho biến ngẫu nhiên X tuổi thọ loại thiết bị (đvt: kxe − x năm) có hàm mật độ xác suất f (x) = 0 ,x 0 , x a) Tìm k Tìm hàm phân phối xác suất X b) Tính xác suất để thiết bị loại chọn ngẫu nhiên có thiết bị có tuổi thọ năm c) Tìm tuổi thọ trung bình thiết bị loại 2.8 Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất sau ax + bx f (x) = , x (0,1) , x (0,1) a) Cho biết E(X) = 0,4 Xác định a,b b) Từ tính P(X 0,5) , Mode(X), Median(X) Var(X) 2.9 Có hai hộp sản phẩm: hộp gồm có phẩm, phế phẩm; hộp gồm có phẩm, phế phẩm Lấy ngẫu nhiên hộp, từ lấy ngẫu nhiên sản phẩm Tính xác suất để sai lệch số phẩm lấy kỳ vọng nhỏ 14 2.10 Biến ngẫu nhiên X gọi có phân phối khoảng (a; b), kí hiệu X ~ U ( a; b ) , hàm mật độ xác suất có dạng f (x) = b − a , x (a, b) , x (a, b) a) Tìm hàm phân phối xác suất X b) Xác định kỳ vọng phương sai X 2.11 Họ phân phối xác suất sau gọi họ Pareto, hàm mđxs họ có dạng k.k ,x ; k tham số dương f (x, k, ) = x k +1 0 ,x a) Hãy xác định k theo b) Tính xác suất P(a< X < b), với a> 2.12 Một công ty bảo hiểm chi lượng tiền bảo hiểm a (đồng) biến cố A xuất năm sau khách hàng cá nhân mua bảo hiểm loại Biết công ty bảo hiểm ước lượng biến cố A xuất năm với xác suất p, hỏi công ty nên định giá bán hợp đồng bảo hiểm cá nhân cho biến cố A năm tới với giá để kỳ vọng lợi nhuận hợp đồng bảo hiểm loại công ty 30% số tiền bán bảo hiểm, biết tổng chi phí cho hợp đồng bảo hiểm loại c (đồng) 2.13 Ngày xửa ngày xưa, có gã khổng lồ mắt Cylops bắt 10 lùn chuẩn bị ăn thịt lùn Hắn nghĩ trò tiêu khiển sau: xếp lùn đứng thẳng hàng từ chiều cao thấp đến cao đặt ngẫu nhiên lên đầu lùn mũ trắng đen Sau hỏi từ lùn cao cuối hàng đến lùn thấp đầu hàng nón đầu màu Nếu lùn trả lời màu mũ đầu tha mạng, ngược 15 lại bị ăn thịt Hắn cho phép lùn biết trước cách thức trị tiêu khiển bàn bạc trước chiến lược trả lời Biết lùn nhìn thấy màu sắc mũ lùn đứng phía trước Bạn chiến lược trả lời cho lùn mà theo bạn tốt nhất, tức kỳ vọng số lùn bị gã khổng lồ Cyclops ăn thịt thấp Hãy tính giá trị kỳ vọng theo chiến lược mà bạn đưa 16