Tổng hợp bài tập xác suất thống kê có lời giải

lOMoARcPSD|17923000 [123doc] - tong-hop-bai-tap-xac-suat-thong-ke-co-loi-giai Kỹ thuật lập trình (Trường Đại học Công nghiệp Hà Nội) StuDocu is not sponsored or endorsed by any college or university Downloaded by Nguy?n Long (nguyenhuulongmk10@gmail.com) lOMoARcPSD|17923000 P(A A A ) = P(A )P(A )P(A ) = 0, 7.0, 2.0, = 0, 07; BÀI GIẢI P(A A A ) = P(A )P(A )P(A ) = 0, 3.0, 8.0, = 0,12; XAÙC SUẤT THỐNG KÊ P(A A A ) = P(A )P(A 32 )P(A ) = 0, 3.0, 2.0, = 0, 03 (GV: Trần Ngọc Hội – 2009) Suy P(A) = 0,22 b) Goïi B biến cố có trúng Ta có CHƯƠNG B = A1A A + A1A A + A1A A NHỮNG ĐỊNH LÝ CƠ BẢN TRONG LÝ THUYẾT XÁC SUẤT Bài 1.1: Có ba súng I, II III bắn độc lập vào mục tiêu Mỗi bắn viên Xác suất bắn trúng mục tiêu cuả ba I, II III 0,7; 0,8 0,5 Tính xác suất để a) có bắn trúng b) có bắn trúng c) có bắn trúng d) bắn trúng e) thứ bắn trúng biết có trúng Lời giải Tóm tắt: Khẩu súng Xác suất trúng I 0,7 IIù 0,8 C = A1A A Tính toán tương tự câu a) ta P(C) = 0,28 d) Gọi D biến cố có trúng Ta có D = A + B + C Chú ý A, B, C xung khắc đôi, nên theo công thức Cộng xác suất ta coù: P(D) = P(A) + P(B) + P(C) = 0,22 + 0,47 + 0,28 = 0,97 e) Gỉa sử có trúng Khi biến cố B xảy Do xác suất để thứ trúng trường hợp xác suất có điều kiện P(A2/B) Theo công thức Nhân xác suất ta coù: P(A2B) = P(B)P(A2/B) Suy P(A /B) = III 0,5 Gọi Aj (j = 1, 2, 3) biến cố thứ j bắn trúng Khi A1, A2, A3 độc lập giả thiết cho ta: P(A1 ) = 0, 7; P(A ) = 0, 3; P(A ) = 0, 8; P(A ) = 0, 2; P(A ) = 0, 5; P(A ) = 0, a) Gọi A biến cố có trúng Ta có A = A1 A A + A1 A A + A1 A A Vì biến cố Tính toán tương tự câu a) ta P(B) = 0,47 c) Gọi C biến cố có trúng Ta coù A A A , A1 A A , A A A xung khắc đôi, nên theo công thức Cộng xác suất ta có P(A) = P(A A A + A A A + A A A ) = P(A A A ) + P(A A A ) + P(A A A ) Maø A 2B = A A A + A A A nên lý luận tương tự ta P(A2B)=0,4 Suy P(A2/B) =0,851 Bài 1.2: Có hai hộp I II hộp chứa 10 bi, hộp I gồm bi đỏ, bi trắng; hộp II gồm bi đỏ, bi trắng Lấy ngẫu nhiên từ hộp bi a) Tính xác suất để bi đỏ b) Tính xác suất để bi đỏ bi trắng c) Tính xác suất để bi đỏ bi trắng d) Giả sử lấy bi đỏ bi trắng Hãy tìm xác suất để bi trắng có hộp I Vì biến cố A1, A2, A3 độc lập nên theo công thức Nhân xác suất ta coù Downloaded by Nguy?n Long (nguyenhuulongmk10@gmail.com) Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com P(A 2B) P(B) lOMoARcPSD|17923000 Lời giải Gọi Ai , Bi (i = 0, 1, 2) biến cố có i bi đỏ (2 - i) bi trắng có bi chọn từ hộp I, hộp II Khi - A0, A1, A2 xung khắc đôi ta có: P(A ) = 0; 1 CC C )=CC C P(A ) = = ; 45 = 36 45 10 P(A 2 10 c) Gọi C biến cố chọn bi đỏ bi trắng Ta có: C = A1B2 + A2B1 Lý luận tương tự ta P(C) = P(A1)P(B2 ) + P(A2)P(B1) = 0,4933 d) Giả sử chọn bi đỏ bi trắng Khi biến cố C xảy Do xác suất để bi trắng có thuộc hộp I trường hợp xác suất có điều kiện P(A1/C) Theo Công thức nhân xác suất , ta coù P(A 1C) = P(C)P(A /C) - B0, B1, B2 xung khắc đôi ta có: CC C P(B ) = C C C P(B ) = C C C P(B0 ) = = ; 45 = 24 ; 45 = 15 45 10 1 10 2 10 - Ai Bj độc lập - Tổng số bi đỏ có bi chọn phụ thuộc vào biến cố Ai Bj theo bảng sau: B0 B1 B2 A0 A1 A2 a) Gọi A biến cố chọn bi đỏ Ta có: A = A2 B2 Từ đây, tính độc lập , Công thức nhân xác suất thứ cho ta: B = A0B2 + A1B1 + A2B0 Do tính xung khắc đôi biến cố A0B2 , A1B1 , A2B0, công thức Cộng xác suất cho ta: P(B) = P(A0B2 + A1B1 + A2B0) = P(A0B2 ) + P(A1B1) + P(A2B0) Từ đây, tính độc lập , Công thức nhân xác suất thứ cho ta: P(B) = P(A0)P(B2 ) + P(A1)P(B1) + P(A2)P(B0) = 0,2133 Suy P(A /C) = Mà P(A 1C) P(C) A1C = A1B2 nên P(A 1C) = P(A 1B2 ) = P(A )P(B2 ) = Do xác suất cần tìm là: 15 = 0, 0667 45 45 P(A1/C) = 0,1352 Bài 1.3: Một lô hàng chứa 10 sản phẩm gồm sản phẩm tốt sản phẩm xấu Khách hàng kiểm tra cách lấy sản phẩm sản phẩm tốt dừng lại a) Tính xác suất để khách hàng dừng lại lần kiểm tra thứ b) Tính xác suất để khách hàng dừng lại lần kiểm tra thứ b) Giả sử khách hàng dừng lại lần kiểm tra thứ Tính xác suất để lần kiểm tra thứ khách hàng gặp sản phẩm xấu Lời giải P(A) = b) Gọi B biến cố 36 15 P(A )P(B2 ) = = 0, 2667 45 45 Gọi Ti, Xi biến cố chọn sản phẩm tốt, xấu lần kiểm tra thứ i a) Gọi A biến cố khách hàng dừng lại lần kiểm tra thứ Ta có: chọn bi đỏ bi trắng Ta có: Downloaded by Nguy?n Long (nguyenhuulongmk10@gmail.com) Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com lOMoARcPSD|17923000 Lời giải A = T1T2T3 Suy P(A) = P(T1T2T3) = P(T1) P(T2/T1) P(T3/ T1T2) = (6/10)(5/9)(4/8) = 0,1667 b) Gọi B biến cố khách hàng dừng lại lần kiểm tra thứ Ta có: Gọi Di, Ti, Xi biến cố chọn bi đỏ, bi trắng, bi xanh lần rút thứ i a) Gọi A biến cố rút bi trắng, bi xanh bi đỏ Ta coù: £T − T − X − D A xaỷy Ruựt ủửụùc Ô T X T D Ô ÔƠ X T T − D B = X1T2T3T4 + T1X2T3T4 + T1T2X3T4 Suy P(B) = P(X1T2T3T4 ) + P(T1X2T3T4 ) + P(T1T2X3T4 ) = P(X1) P(T2/X1) P(T3/X1T2) P(T4/X1T2T3) + P(T1) P(X2/T1) P(T3/T1X2) P(T4/T1X2T3) + P(T1) P(T2/T1) P(X3/ T1T2) P(T4/ T1T2 X3) = (4/10)(6/9)(5/8)(4/7) + (6/10)(4/9)(5/8)(4/7)+(6/10)(5/9)(4/8)(4/7) = 3(4/10)(6/9)(5/8)(4/7) = 0,2857 c) Giaû sử khách hàng dừng lại lần kiểm tra thứ Khi biến cố B xảy Do xác suất để lần kiểm tra thứ khách hàng gặp sản phẩm xấu trường hợp xác suất có điều kiện P(X3/B) Theo Công thức nhân xác suất , ta có P(X 3B) = P(B)P(X /B) Suy P(X /B) = Mà P(X 3B) P(B) X3B = T1T2X3T4 nên P(X3B) = P(T1T2X3T4 ) = P(T1) P(T2/T1) P(X3/ T1T2) P(T4/ T1T2 X3) = (6/10)(5/9)(4/8)(4/7) = 0,0952 Suy A = T1T2X3D4 + T1X2T3D4 + X1T2T3D4 Từ đây, tính xung khắc đôi biến cố thành phần, ta có: P(A) = P(T1T2X3D4)+ P(T1X2T3D4) + P(X1T2T3D4 ) Theo Công thức Nhân xác suất, ta có P(T1T2X3D4) = P(T1)P(T2/T1)P(X3/T1T2)P(D4/T1T2X3) = (4/12)(3/11)(3/10)(5/9) = 1/66; P(T1X2T3D4) = P(T1)P(X2/T1)P(T3/T1X2)P(D4/T1X2T3) = (4/12)(3/11)(3/10)(5/9) = 1/66; P(X1T2T3D4) = P(X1)P(T2/X1)P(T3/X1T2)P(D4/X1T2T3) = (3/12)(4/11)(3/10)(5/9) = 1/66 Suy P(A) = 3/66 = 1/22 = 0,0455 b) Gọi B biến cố bi trắng rút Ta coự: ÊD ÔX D B xaỷy Ruựt ủửụùc Ô ÔX X D Ô ƠX − X − X − D Suy P(X3/B) = 0,3333 Bài 1.4: Một hộp bi gồm bi đỏ, bi trắng bi xanh có cỡ Từ hộp ta rút ngẫu nhiên không hòan lại bi bi đỏ dừng lại Tính xác suất để a) bi trắng, bi xanh bi đỏ b) bi trắng rút Suy B = D1 + X1D2 + X1X2D3+ X1X2X3 D4 Từ đây, tính xung khắc đôi biến cố thành phần, ta có: P(B) = P(D1)+ P(X1D2) + P(X1X2D3 ) + P(X1X2X3 D4) Theo Công thức Nhân xác suất, ta coù Downloaded by Nguy?n Long (nguyenhuulongmk10@gmail.com) Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com lOMoARcPSD|17923000 P(B) = P(D1) + P(X1)P(D2/X1) + P(X1)P(X2/X1)P(D3/X1X2) + P(X1)P(X2/X1)P(X3/X1X2)P(D4/X1X2X3) = 5/12+ (3/12)(5/11) + (3/12)(2/11)(5/10) + (3/12)(2/11)(1/10)(5/9) = 5/9 Bài 1.5: Sản phẩm X bán thị trường nhà máy gồm ba phân xưởng I, II III sản xuất, phân xưởng I chiếm 30%; phân xưởng II chiếm 45% phân xưởng III chiếm 25% Tỉ lệ sản phẩm loại A ba phân xưởng I, II III sản xuất 70%, 50% 90% a) Tính tỉ lệ sản phẩm lọai A nói chung nhà máy sản xuất b) Chọn mua ngẫu nhiên sản phẩm X thị trường Giả sử mua sản phẩm loại A Theo bạn, sản phẩm có khả phân xưởng sản xuất nhiều nhất? c) Chọn mua ngẫu nhiên 121 sản phẩm X (trong nhiều sản phẩm X) thị trường 1) Tính xác suất để có 80 sản phẩm loại A 2) Tính xác suất để có từ 80 đến 85 sản phẩm loại A Lời giải b) Chọn mua ngẫu nhiên sản phẩm X thị trường Giả sử mua sản phẩm loại A Theo bạn, sản phẩm có khả phân xưởng sản xuất nhiều nhất? Giả sử mua sản phẩm loại A Khi biến cố B xảy Do đó, để biết sản phẩm loại A có khả phân xưởng sản xuất nhiều ta cần so sánh xác suất có điều kiện P(A1/B), P(A2/B) P(A3/B) Nếu P(Ai/B) lớn sản phẩm có khả phân xưởng thứ i sản xuất nhiều Theo công thức Bayes ta có: P(A /B) = P(A /B) = P(A /B) = P(A1 )P(B/A1 ) 0, 3.0, 21 ; = = P(B) 0, 66 66 P(A )P(B/A ) 0, 45.0, 22, = = ; P(B) 0, 66 66 P(A )P(B/A ) 0, 25.0, 22, = = P(B) 0, 66 66 Vì P(A2/B) = P(A3/B) > P(A1/B) nên sản phẩm loại A có khả phân xưởng II III sản xuất nhiều Tóm tắt: Phân xưởng Tỉ lệ sản lượng Tỉ lệ loại A Suy P(B) = 0,66 = 66% Vậy tỉ lệ sản phẩm loại A nói chung nhà máy sản xuất 66% I II III 30% 45% 25% 70% 50% 90% a) Để tính tỉ lệ sản phẩm loại A nói chung nhà máy sản xuất ta chọn mua ngẫu nhiên sản phẩm thị trường Khi tỉ lệ sản phẩm loại A xác suất để sản phẩm thuộc loại A Gọi B biến cố sản phẩm chọn mua thuộc loại A A1, A2, A3 biến cố sản phẩm phân xưởng I, II, III sản xuất Khi A1, A2, A3 hệ đầy đủ, xung khắc đôi vaø P(A1) = 30% = 0,3; P(A2) = 45% = 0,45; P(A3) = 25% = 0,25 Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có: P(B) = P(A1)P(B/A1) + P(A2)P(B/A2) + P(A3)P(B/A3) Theo giả thiết, P(B/A1) = 70% = 0,7; P(B/A2) = 50% = 0,5; P(B/A3) = 90% = 0,9 c) Chọn mua ngẫu nhiên 121 sản phẩm X (trong nhiều sản phẩm X) thị trường 1) Tính xác suất để có 80 sản phẩm loại A 2) Tính xác suất để có từ 80 đến 85 sản phẩm loại A p dụng công thức Bernoulli với n = 121, p = 0,66, ta có: 1) Xác suất để có 80 sản phẩm loại A 80 80 P121 (80) = C121 p 80q 41 = C121 (0, 66)80 (0, 34) 41 = 0, 076 2) Xác suất để có từ 80 đến 85 sản phẩm loại A laø 85 ∑P k = 80 121 (k) = 85 ∑C k = 80 k 121 p k q121− k = 85 ∑C k = 80 k 121 (0, 66) k (0, 34)121− k = 0, 3925 Downloaded by Nguy?n Long (nguyenhuulongmk10@gmail.com) Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com lOMoARcPSD|17923000 Bài 1.6: Có ba cửa hàng I, II III kinh doanh sản phẩm Y Tỉ lệ sản phẩm loại A ba cửa hàng I, II III 70%, 75% 50% Một khách hàng chọn nhẫu nhiên cửa hàng từ mua sản phẩm a) Tính xác suất để khách hàng mua sản phẩm loại A b) Giả sử mua sản phẩm loại A Theo bạn, khả người khách hàng chọn cửa hàng nhiều nhất? P(A2/B) P(A3/B) Nếu P(Ai/B) lớn cửa hàng thứ i có nhiều khả chọn Theo công thức Bayes ta coù: P(A /B) = P(A /B) = Lời giải P(A /B) = Tóm tắt: Cửa hàng Tỉ lệ loại A I II III 70% 75% 50% P(A )P(B/A1 ) (1 / 3).0, 70 ; = = P(B) 0, 65 195 P(A )P(B/A ) (1 / 3).0, 75 75 = = ; P(B) 0, 65 195 P(A )P(B/A ) (1 / 3).0, 50 = = P(B) 0, 65 195 Vì P(A2/B) > P(A1/B) > P(A3/B) nên cửa hàng II có nhiều khả chọn Chọn nhẫu nhiên cửa hàng từ mua sản phẩm a) Tính xác suất để khách hàng mua sản phẩm loại A Gọi B biến cố sản phẩm chọn mua thuộc loại A A1, A2, A3 biến cố chọn cửa hàng I, II, III Khi A1, A2, A3 hệ đầy đủ, xung khắc đôi Bài 1.7: Có hai hộp I II hộp chứa 12 bi, hộp I gồm bi đỏ, bi trắng; hộp II gồm bi đỏ, bi trắng Lấy ngẫu nhiên từ hộp I ba bi bỏ sang hộp II; sau lấy ngẫu nhiên từ hộp II bốn bi a) Tính xác suất để lấy ba bi đỏ bi trắng từ hộp II b) Giả sử lấy ba bi đỏ bi trắng từ hộp II Tìm xác suất để ba bi lấy từ hộp I có hai bi đỏ bi trắng Lời giải P(A1) = P(A2) = P(A3) = 1/3 Theo công thức xác suất đầy đủ, ta coù: P(B) = P(A1)P(B/A1) + P(A2)P(B/ A2)+ P(A3)P(B/A3) Theo giả thiết, P(B/A1) = 70% = 0,7; P(B/A2) = 75% = 0,75; P(B/A3 = 50% = 0,5 Gọi A biến cố chọn bi đỏ bi trắng từ hộp II Ai (i = 0, 1, 2, 3) biến cố có i bi đỏ (3-i) bi trắng có bi chọn từ hộp I Khi A0, A1, A2, A3 hệ đầy đủ, xung khắc đôi ta có: CC C P(A ) = C C C P(A ) = C C C P(A ) = C C C P(A ) = = ; 220 = 48 ; 220 = 112 ; 220 = 56 220 12 Suy P(B) = 0,65 = 65% Vậy xác suất để khách hàng mua sản phẩm loại A 65% 12 b) Giả sử mua sản phẩm loại A Theo bạn, khả khách hàng chọn cửa hàng nhiều nhất? người 12 Giả sử mua sản phẩm loại A Khi biến cố B xảy Do đó, để biết sản phẩm loại A có khả khách hàng chọn cửa hàng nhiều ta cần so sánh xác suất có điều kiện P(A1/B), 3 12 a) Tính xác suất để lấy bi đỏ bi trắng từ hộp II 10 Downloaded by Nguy?n Long (nguyenhuulongmk10@gmail.com) Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com lOMoARcPSD|17923000 Theo coâng thức xác suất đầy đủ, ta có: P(A)=P(A0)P(A/A0)+P(A1)P(A/A1)+P(A2)P(A/A2)+P(A3)P(A/A3) Theo công thức tính xác suất lựa chọn, ta có 10 P(A / A ) = C C C P(A / A ) = C C C P(A / A ) = C C C P(A / A ) = C C C 15 100 ; = 1365 = 180 ; 1365 = 280 ; 1365 15 15 15 = 392 1365 Lời giải a) Gọi Aj (j = 1, 2, 3) biến cố lấy bi trắng từ hộp thứ j Khi A1, A2, A3 độc lập ; P(A ) = P(A ) = ; P(A ) = P(A ) = ; P(A ) = P(A ) = ; ; 1) Gọi A biến cố lấy bi trắng Ta có A = A1 A A Suy P(A) = P(A1) P(A2) P(A3) = 0,048 2) Gọi B biến cố lấy bi đen, bi trắng Ta có Suy xác suất cần tìm P(A) = 0,2076 B = A1 A A + A1A A + A1 A A b) Giả sử lấy bi đỏ bi trắng từ hộp II Tìm xác suất để bi lấy từ hộp I có bi đỏ bi trắng Giả sử lấy bi đỏ bi trắng từ hộp II Khi biến cố A xảy Do dó xác suất để bi lấy từ hộp I có bi đỏ bi trắng trường hợp xác suất có điều kiện P(A2/A) p dụng công thức Bayes, ta có: P(A /A) = 112 280 P(A )P(A/A ) 220 1365 = = 0, 5030 P(A) 0, 2076 Vaäy xác suất cần tìm P(A2/A) = 0,5030 Suy P(B) =0,464 3) Giả sử viên lấy có bi trắng Khi biến cố B xảy Do xác suất để bi trắng hộp thứ trường hợp xác suất có điều kiện P(A1/B) Theo công thức Nhân xác suất ta có: P(A1B) = P(B)P(A1/B) Suy P(A /B) = P(A 1B) P(B) Maø A 1B = A A A nên lý luận tương tự ta P(A1B) = 0,048 Suy Bài 1.8: Có ba hộp hộp đựng viên bi hộp thứ có bi trắng, bi đen; hộp thứ hai có bi trắng, bi đen; hộp thứ ba có bi trắng, bi đen a) Lấy ngẫu nhiên từ hộp bi 1) Tính xác suất để bi trắng 2) Tính xác suất bi đen, bi trắng 3) Giả sử viên lấy có bi trắng.Tính xác suất để bi trắng hộp thứ b) Chọn ngẫu nhiên hộp từ hộp lấy ngẫu nhiên bi Tính xác suất bi đen P(A1/B) =0,1034 b) Chọn ngẫu nhiên hộp từ hộp lấy ngẫu nhiên bi Tính xác suất bi đen Gọi A biến cố lấy bi đen A1, A2, A3 biến cố chọn hộp I, II, III Khi A1, A2, A3 hệ đầy đủ, xung khắc đôi P(A1) = P(A2) = P(A3) = 1/3 Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có: P(A) = P(A1)P(A/A1) + P(A2)P(A/ A2)+ P(A3)P(A/A3) Theo công thức xác suất lựa chọn, ta có: 12 11 Downloaded by Nguy?n Long (nguyenhuulongmk10@gmail.com) Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com lOMoARcPSD|17923000 P(A/A1 ) = C10C34 C53 C 0C = ; P(A/A ) = 3 = ; P(A/A ) =0 10 10 C5 p dụng Công thức Bayes sử dụng kết vừa tìm câu a) ta có P(A /A) = Suy P(A) = 0,1667 Bài 1.9: Có 20 hộp sản phẩm lọai, hộp chứa nhiều sản phẩm, có 10 hộp xí nghiệp I, hộp xí nghiệp II hộp xí nghiệp III Tỉ lệ sản phẩm tốt xí nghiệp 50%, 65% 75% Lấy ngẫu nhiên hộp chọn ngẫu nhiên sản phẩm từ hộp a) Tính xác suất để sản phẩm chọn có sản phẩm tốt b) Giả sử sản phẩm chọn có sản phẩåm tốt Tính xác suất để sản phẩm tốt xí nghiệp I Lời giải Gọi A biến cố sản phẩm chọn có sản phẩm tốt Aj (j = 1, 2, 3) biến cố chọn hộp xí nghiệp thứ j Khi A1, A2, A3 đầy đủ, xung khắc đôi ta có: C C )= C C )= C C P(A ) = 10 = 10 ; 20 = ; 20 20 P(A 20 P(A 20 = P(A )P(A/A1 ) (10/20).0,375 = = 0, 4630 P(A) 0,4050 Bài 1.10: Có 10 sinh viên thi, có thuộc loại giỏi, trung bình Trong số 20 câu hỏi thi qui định sinh viên lọai giỏi trả lời tất cả, sinh viên trả lời 16 câu sinh viên trung bình 10 câu Gọi ngẫu nhiên sinh viên phát phiếu thi gồm câu hỏi trả lời câu hỏi Tính xác suất để sinh viên thuộc loại Lời giải Tóm tắt: Xếp loại sinh viên Số lượng Số câu trả lời được/20 Giỏi Khá Trung bình 20 16 10 Gọi A biến cố sinh viên trả lời câu hỏi A1, A2, A3 biến cố sinh viên thuộc loại Trung bình Giỏi, Khá; Yêu cầu toán tính xác suất có điều kiện P(A2/A) Các biến cố A1, A2, A3 hệ đầy đủ, xung khắc đôi, ta có: P(A1) = 3/10; P(A2) = 4/10; P(A3) = 3/10 Theo công thức Bayes, ta có 20 P(A /A) = Mặt khác, từ giả thiết, theo công thức Bernoulli, ta coù P(A / A ) = C32 (0, 5)2 (1 − 0, 5) = 0, 375 P(A / A ) = C23 (0, 65)2 (1 − 0, 65) = 0, 443625 P(A / A ) = C23 (0,75)2 (1 − 0, 25) = 0, 421875 Mặt khác, theo công thức xác suất đầy đủ, ta có P(A) = P(A1)P(A/A1) + P(A2)P(A/A2) + P(A3)P(A/A3) Theo công thức tính xác suất lựa chọn, ta có: Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có P(A) = P(A1)P(A/A1) + P(A2)P(A/A2) + P(A3)P(A/A3) = (10/20).0,375 + (6/20) 0,443625 + (4/20) 0,421875 = 0,4050 b) Giả sử sản phẩm chọn có sản phẩåm tốt Khi đó, biến cố A xảy Do đó, xác suất để sản phẩm tốt xí nghiệp I xác suất có điều kiện P(A1/A) 13 P(A / A ) = C420 = 1; C420 P(A / A ) = C16 C04 1820 = ; C20 4845 P(A / A ) = C10 C10 210 = C20 4845 14 Downloaded by Nguy?n Long (nguyenhuulongmk10@gmail.com) Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com P(A )P(A/A ) P(A) lOMoARcPSD|17923000 Suy P(A2/A) = 0,3243 - Bi Bài 1.11: Có hai hộp I II, hộp I chứa 10 bi trắng bi đen; hộp II chứa bi trắng bi đen Từ hộp rút ngẫu nhiên bi bỏ đi, sau bỏ tất bi lại hai hộp vào hộp III (rỗng) Lấy ngẫu nhiên bi từ hộp III Tính xác suất để bi lấy từ hộp III có trắng, đen Cj độc lập - Tổng số bi trắng có bi chọn phụ thuộc vào biến cố Bi Cj theo bảng sau: B0 B1 B2 Lời giải Gọi A biến cố bi lấy trắng, đen Aj (j = 0, 1, 2, 3, 4) biến cố có j bi trắng (4-j) bi đen có bi bỏ (từ hai hộp I II) Khi A0, A1, A2 , A3, A4 hệ đầy đủ, xung khắc đôi Theo công thức xác suất đầy đủ, ta coù P(A) = P(A0)P(A/A0) + P(A1)P(A/A1) + P(A2)P(A/A2)+ P(A3)P(A/A3) + P(A4)P(A/A4) P(A/A ) = C118C10 10 (Vì A0 xảy hộp III có 28 bi gồm 21 = C228 18 trắng , 10 đen) Tương tự, P(A/A1 ) = P(A/A ) = C117C111 C228 C115C13 C228 C1 C1 65 14 ; P(A/A ) = 142 14 = 126 27 C28 Bây ta tính P(A0); P(A1); P(A2); P(A3); P(A4) Goïi Bi , Ci (i = 0, 1, 2) biến cố có i bi trắng (2 - i) bi đen có bi chọn từ hộp I, hộp II Khi - B0, B1, B2 xung khắc ta có: P(B0 ) = 10 C C C = 18 28 ; P(B1 ) = 153 1 10 C C C = 18 80 ; P(B2 ) = 153 10 C C C 18 = CC C 14 = 15 ; P(C1 ) = 91 CC C 14 = 48 ; P(C ) = 91 C2 ⇒ P(A0) = P(B0)P(C0) = 20/663 A0 = B0C0 A1 = B0C1 + B1C0 ⇒ P(A1) = P(B0)P(C1 ) + P(B1)P(C0) = 848/4641 A2 = B0C2 + B1C1 + B2C0 ⇒ P(A2) = P(B0)P(C2)+P(B1)P(C1)+P(B2)P(C0) =757/1989 ⇒ P(A3) = P(B1)P(C2)+P(B2)P(C1) = 4400/13923 A3 = B1C2 + B2C1 A4 = B2C2 ⇒ P(A4) = P(B2)P(C2) = 20/221 Từ suy P(A) = 0,5080 CC C 14 = Lời giải Gọi A1 biến cố bi lấy bi trắng A2 biến cố bi lấy lần sau bi trắng Bài tóan yêu cầu tính P(A2/A1) Theo công thức nhân xác suất, ta coù P(A1A2) = P(A1) P(A2/A1) Suy 17 - C0, C1, C2 xung khắc ta có: P(C0 ) = C1 Bài 1.12: Có hai hộp cỡ Hộp thứ chứa bi trắng bi xanh, hộp thứ hai chứa bi trắng bi xanh Chọn ngẫu nhiên hộp từ hộp lấy bi bi trắng Tính xác suất để viên bi lấy từ hộp lại bi trắng C1 C1 187 32 = ; P(A/A ) = 162 12 = ; 378 63 C28 = C0 vaø 28 91 P(A / A1 ) = Bây ta tính xác suất P(A1) P(A1A2) Gọi B1, B2 biến cố chọn hộp I, hộp II Khi B1, B2 hệ đầy đủ, xung khắc đôi ta có: P(B1) = P(B2) = 0,5 Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có P(A1) = P(B1) P(A1/ B1) + P(B2) P(A1/ B2) 16 15 Downloaded by Nguy?n Long (nguyenhuulongmk10@gmail.com) Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com P(A1 A ) P(A1 ) lOMoARcPSD|17923000 Maø CC C /B )= C C C P(A / B1 ) = = ; 45 = 10 66 10 P(A 12 neân P(A1) = 47/330 Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có P(A1A2) = P(B1) P(A1A2/ B1) + P(B2) P(A1A2/ B2) Maø a a −1 a −1 + + b −1 a b a = P(A1 / A) = a a −1 b a a + b −1 + a + b a + b −1 a + b a + b −1 Bài 1.14: Có hộp phấn, hộp I chứa 15 viên tốt viên xấu, hộp II chứa 10 viên tốt viên xấu, hộp III chứa 20 viên tốt 10 viên xấu Ta gieo xúc xắc cân đối Nếu thấy xuất mặt chấm ta chọn hộp I; xuất mặt chấm chọn hộp II, xuất mặt lại chọn hộp III Từ hộp chọn lấy ngẫu nhiên viên phấn Tìm xác suất để lấy viên tốt = ; 45 30 10 P(A A / B2 ) = P(A / B2 )P(A / A 1B2 ) = = 66 10 22 P(A A / B1 ) = P(A / B1 )P(A / A 1B1 ) = Lời giải nên P(A1A2) = 13/330 Suy xác suất cần tìm P(A2/A1) =13/47= 0,2766 Bài 1.13: Một lô hàng gồm a sản phẩm loại I b sản phẩm loại II đóng gới để gửi cho khách hàng Nơi nhận kiểm tra lại thấy thất lạc sản phẩm Chọn ngẫu nhiên sản phẩm thấy sản phẩm loại I Tính xác suất để sản phẩm thất lạc thuộc loại I Lời giải Gọi A biến cố sản phẩm chọn thuộc lọai I A1, A2 biến cố sản phẩm thất lạc thuộc loại I, loại II Yêu cầu toán tính xác suất có điều kiện P(A1/A) Ta thấy A1, A2 hệ đầy đủ, xung khắc đôi P(A1 ) = C1a C0b a = ; C1a + b a+b P(A ) = C0a C1b b = C1a + b a+b - Gọi A biến cố chọn viên phấn tốt Aj (j =1,2, 3) biến cố chọn hộp thứ j Khi A1, A2, A3 hệ đầy đủ, xung khắc đôi ta có: A1 xảy thảy xúc xắc, xuất mặt chấm, P(A1) = 1/6 P(A3) = 3/6 Tương tự, P(A2) = 2/6; Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có P(A) = P(A1)P(A/A1) + P(A2)P(A/A2) + P(A3)P(A/A3) Từ giả thiết ta có: P(A / A ) = C15 C52 C15 C15 C15 C50 4690 ; + + = 4 C420 C20 C20 4845 P(A / A ) = C10 C42 C10 C14 C10 C04 960 + + = ; 4 C14 C14 C14 1001 P(A / A ) = C220C10 C3 C1 C4 C0 24795 + 20 10 + 204 10 = C30 C30 C30 27405 Theo công thức Bayes, ta coù P(A / A) = P(A )P(A / A ) P(A )P(A / A1 ) = P(A) P(A1 )P(A / A1 ) + P(A )P(A / A ) Suy P(A) =0,9334 C C a −1 ; = C a + b −1 Bài 1.15: Có hai kiện hàng I II Kiện thứ chứa 10 sản phẩm, có sản phẩm loại A Kiện thứ hai chứa 20 sản phẩm, có sản phẩm loại A Lấy từ kiện sản phẩm Sau đó, sản phẩm thu chọn ngẫu nhiên sản phẩm Tính xác suất để sản phẩm chọn sau có sản phẩm loại A Maø P(A / A ) = a −1 b a + b −1 P(A / A ) = a b −1 a + b −1 CC C = a a + b −1 nên Lời giải 17 18 Downloaded by Nguy?n Long (nguyenhuulongmk10@gmail.com) Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com lOMoARcPSD|17923000 CC C )=CC C )=CC C P(C / A1 ) = 15 = 525 ; 1140 = 546 ; 1140 = 546 1140 20 P(C / A 2 14 20 P(C / A 13 20 2.16: Một người có chìa khóa bề giống nhau, có chìa mở cửa Người tìm cách mở cửa cách thử chìa mở cửa (tất nhiên, chìa không mở loại ra) Gọi X số chìa khóa người sử dụng Tìm luật phân phối X Hỏi người thường phải thử chìa mở cửa? Trung bình người phải thử chìa mở cửa? Lời giải Ta thấy X ĐLNN rời rạc nhận giá trị: 1, 2, 3, Luật phân phối X có dạng: Suy P(C)= 0,4728 b) Luật phân phối X có dạng: X P p0 p1 p2 p3 Gọi Bj (j = 1, 2, 3) biến cố lấy sp loại A từ lô thứ j Khi B1, B2, B3 độc lập 15 ; P(B1 ) = ; 20 20 14 P(B2 ) = ; P(B2 ) = ; 20 20 13 P(B3 ) = ; P(B3 ) = 20 20 P(B1 ) = Ta coù − " X = " = B1B2B3 ⇒ P(X = 0) = P(B1 )P(B2 )p(B3 ) = 273 / 800 − " X = 1" = B1B2B3 + B1B2B3 + B1B2B3 ⇒ X P Vậy luật phân phối X X P 273/800 71/160 151/800 21/800 Từ luật phânphối X ta suy mode, kỳ vọng phương sai cuûa X : - Mode: Mod(X) = - Kỳ vọng: M(X) = 0,9 - Phương sai: D(X) = 0,625 P(X = 3) = P(A1 A A ) = P(A1 )P(A / A1 )P(A / A1 A ) = (3 / 5)(2 / 4)(2 / 3) = / P(X = 4) = P(A1 A A A ) = P(A1 )P(A / A )P(A / A A )P(A / A1 A A ) = (3 / 5)(2 / 4)(1 / 3)(2 / 2) = / 10 Vậy luật phân phối X laø: X P 2/5 3/10 1/5 1/10 Từ luật phân phối ta suy ra: - Mode X Mod(X) = - Kỳ vọng X M(X) = ∑ xipi = Vậy người thường phải thử chià mở cửa Trung bình người phải thử chìa mở cửa Bài 2.17: Một người thợ săn có viên đạn Người săn với nguyên tắc: bắn trúng mục tiêu ngay, không săn Biết xác suất 23 24 Downloaded by Nguy?n Long (nguyenhuulongmk10@gmail.com) Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com p4 P(X=1) = P(A1) = 2/5 P(X = 2) = P(A1 A ) = P(A1 )P(A / A1 ) = (3 / 5)(2 / 4) = / 10; − " X = " = B1B2B3 + B1B2B3 + B1B2B3 ⇒ − " X = " = B1B2B3 ⇒ P(X = 3) = P(B1 )P(B2 )P(B3 ) = 21 / 800 p3 Gọi Aj (j = 1,2, 3, 4) biến cố chìa khóa chọn lần thứ j mở cửa Khi đó: P(X = 1) = P(B1 )P(B2 )P(B3 ) + P(B1 )P(B2 )P(B3 ) + P(B1 )P(B2 )P(B3 ) = 71 / 160 P(X = 2) = P(B1 )P(B2 )P(B3 ) + P(B1 )P(B2 )P(B3 ) + P(B1 )P(B2 )P(B3 ) = 151 / 800 p1 p2 lOMoARcPSD|17923000 trúng đích viên đạn bắn 0,8 Gọi X đại lượng ngẫu nhiên số viên đạn người sử dụng săn a) Tìm luật phân phối X b) Tìm kỳ vọng phương sai X X P p2 p3 p4 Goïi Aj (j = 1,2, 3, 4) biến cố viên đạn thứ j trúng đích Khi đó: Lời giải P(A j ) = 0, 8; P(A j ) = 0, a) Ta thấy X ĐLNN rời rạc nhận giá trị: 1, 2, , Luật phân phối X có dạng: X P p1 p2 p3 p4 p5 Gọi Aj (j = 1,2, , 5) biến cố viên đạn thứ j trúng đích Khi đó: Ta có: P(X = 2) = P(A1A ) = P(A )P(A ) = 0, 8.0, = 0, 64; P(X = 3) = P(A1 A A + A1 A A ) = P(A1 A A ) + P(A1 A A ) = P(A1 )P(A )P(A ) + P(A1 )P(A )P(A ) = 0, 2.0, 8.0, + 0, 8.0, 2.0, = 0, 256 P(X = 4) = P(A1A A + A 1A A + A1 A A + A1 A A ) P(A j ) = 0, 8; P(A j ) = 0, = P(A1 )P(A )P(A ) + P(A1 )P(A )P(A ) + P(A1 )P(A )P(A ) + P(A1 )P(A )P(A ) Ta coù: P(X=1) = P(A1) = 0,8 = 0, 2.0, 2.0, + 0, 8.0, 2.0, + 0, 2.0, 8.0, + 0, 2.0, 2.0, = 0,104 P(X = 2) = P(A1 A ) = P(A1 )P(A ) = 0, 2.0, = 0,16; P(X = 3) = P(A1 A A ) = P(A1 )P(A )P(A ) = 0, 2.0, 2.0, = 0, 032; Vậy luật phân phối X là: P(X = 4) = P(A1 A A A ) = P(A1 )P(A )P(A )P(A ) = 0, 2.0, 2.0, 2.0, = 0, 0064; X P P(X = 5) = P(A1 A A A ) = P(A1 )P(A )P(A )P(A ) = 0, 2.0, 2.0, 2.0, = 0, 0016 Vậy luật phân phối X là: X P 0,8 0,16 b) Từ luật phân phối X ta suy ra: - Kỳ vọng X M(X) = 1,2496 - Phương sai X D(X) = 0,3089 0,032 0,0064 0,0016 0,64 0,256 0,104 b) Từ luật phân phối X ta suy ra: - Kỳ vọng X M(X) = 2,464 - Phương sai X D(X) = 0,456704 Bài 2.18: Một người thợ săn có viên đạn Người săn với nguyên tắc: bắn viên trúng mục tiêu ngay, không săn Biết xác suất trúng đích viên đạn bắn 0,8 Gọi X đại lượng ngẫu nhiên số viên đạn người sử dụng săn a) Tìm luật phân phối X b) Tìm kỳ vọng phương sai X Lời giải a) Ta thấy X ĐLNN rời rạc nhận giá trị: 2, 3, Luật phân phối X có dạng: 25 26 Downloaded by Nguy?n Long (nguyenhuulongmk10@gmail.com) Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com lOMoARcPSD|17923000 BÀI GIẢI XÁC SUẤT THỐNG KÊ (GV: Trần Ngọc Hội – 2009) Bài 4.2 Trọng lượng sản phẩm có phân phối chuẩn với trọng lượng trung bình 500g Sau thời gian sản xuất, người ta nghi ngờ trọng lượng trung bình loại sản phẩm có xu hướng giảm nên tiến hành kiểm tra 25 sản phẩm thu kết sau: Trọng lượng (g) Số sản phẩm CHƯƠNG 480 485 490 495 500 510 Với mức ý nghóa 3%, kết luận điều nghi ngờ có hay không KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT Bài 4.1 Trọng lượng sản phẩm theo qui định 6kg Sau thời gian sản xuất, người ta tiến hành kiểm tra 121 sản phẩm tính trung bình mẫu 5,975kg phương sai mẫu hiệu chỉnh 5,7596kg2 Sản xuất xem bình thường sản phẩm có trọng lượng trung bình trọng lượng qui định Với mức ý nghóa 5%, kết luận tình hình sản xuất Lời giải Lời giải Đây toán kiểm định giả thiết kỳ vọng μ = M(X) với mức ý nghóa α = 3% = 0,03: H0: μ = 500 với giả thiết đối H1: μ < 500 Ta có: Xi ni n = 25; 480 485 490 495 500 510 ∑X n i i =12350; ∑X i n i = 6102800 • Kỳ vọng mẫu X Gọi X trọng lượng sản phẩm Giả thiết cho ta: • Cỡ mẫu n = 121 • Kỳ vọng mẫu X X = 5,975 (kg) • Phương sai mẫu hiệu chỉnh X S2 = 5,7596(kg2) • Độ lệch mẫu hiệu chỉnh X S = 2,3999(kg) Đây toán kiểm định giả thiết kỳ vọng μ = M(X) với mức ý nghóa α = 5% = 0,05: H0: μ = với giả thiết đối H1: μ ≠ Vì n ≥ 30; σ2 = D(X) chưa biết, nên ta kiểm định sau: Bước 1: Ta có (X − μ ) n (5, 975 − 6) 121 = = −0.1146 z= S 2, 3999 Bước 2: Tra bảng giá trị hàm Laplace để tìm zα thoả ϕ(zα) = (1- α)/2 = 0,95/2 = 0,475 ta zα = 1,96 Bước 3: Kiểm định Vì |z|= 0,1146 < 1,96 = zα nên ta chấp nhận giả thiết H0: μ = Kết luận: Với mức ý nghóa 5%, tình hình sản xuất xem bình thường X= ∑ X in i = 494(g) n • Phương sai mẫu X là: 2 = S ∑ X i2ni − X =(8, 7178)2 (g ) n • Phương sai mẫu hiệu chỉnh X là: S2 = Vì n 2 S = (8, 8976) (g ) n −1 n < 30; σ2 = D(X) chưa biết, nên ta kiểm định sau: Bước 1: Ta có (X − μ ) n (494 − 500) 25 = = −3, 3717 z= S 8, 8976 Bước 2: Đặt k = n - = 24 Tra bảng phân phối Student ứng với k = 24 2α = 0,06 ta t 2α = 1,974 Bước 3: Kiểm định Vì -z = 3,3717 > 1,974 = t 2α nên ta bác bỏ giả thiết H0: μ = 500, nghóa chấp nhận H1: μ < 500 Kết luận: Với mức ý nghóa 3%, điều nghi ngờ trọng lượng trung bình loại sản phẩm có xu hướng giảm Bài 4.3 Năng suất lúa trung bình vụ trước 5,5tấn/ha Vụ lúa năm người ta áp dụng phương pháp kỹ thuật cho toàn Downloaded by Nguy?n Long (nguyenhuulongmk10@gmail.com) Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com lOMoARcPSD|17923000 dieän tích trồng lúa vùng Điều tra suất 100ha lúa, ta có bảng số liệu sau: hành điều tra thu nhập 100 hộ khu vực có bảng số liệu sau: Năngsuất (tạ/ha) 40-45 45-50 50-55 55-60 60-65 65-70 70-75 75-80 Diện tích (ha) 12 18 27 20 Với mức ý nghóa 1%, kết luận xem phương pháp kỹ thuật có làm tăng suất lúa trung bình vùng hay không? Lời giải Đây toán kiểm định giả thiết kỳ vọng μ = M(X) với mức ý nghóa α = 1% = 0,01: H0: μ = 55 với giả thiết đối H1: μ > 55 (5,5tấn = 55tạ) Ta có: Xi 42,5 47,5 52,5 57,5 62,5 67,5 72,5 77,5 ni 12 18 27 20 n = 100; ∑X n i i =5750; ∑X i Thu nhập bình quân (ngàn/người/tháng) Số hộ Vì Xi ni n = 100; 38 22 17 150 200 250 300 350 15 38 22 17 ∑X n i i =26250; ∑X i n i =7217500 • Kỳ vọng mẫu X X = ∑ X in i = 262, n • Phương sai mẫu X là: 2 = S ∑ X i2ni − X =(57,1730)2 n • Phương sai mẫu hiệu chỉnh X là: n 2 S = (8, 3182)2 (tạ ) n −1 Bước 2: Tra bảng giá trị hàm Laplace để tìm z2α thoaû ϕ(z2α) = (1- 2α)/2 = 0,98/2 = 0,49 ta z2α = 2,33 Bước 3: Kiểm định Vì z = 3,0055 > 2,33 = z2α nên ta bác bỏ giả thiết H0: μ = 55, nghóa chấp nhận H1: μ > 55 Kết luận: Với mức ý nghóa 1%, phương pháp kỹ thuật làm tăng suất lúa trung bình vùng 15 Đây toán kiểm định giả thiết kỳ vọng μ = M(X) với mức ý nghóa α = 5% = 0,05: H0: μ = 250 với giả thiết đối H1: μ > 250 Ta coù: n i =337475 n ≥ 30; σ2 = D(X) chưa biết, nên ta kiểm định sau: Bước 1: Ta có (X − μ ) n (57, − 55) 100 = = 3, 0055 z= S 8, 3182 Theo phận tiếp thị siêu thị hoạt động có hiệu khu vực thu nhập bình quân hàng tháng hộ tối thiểu vào khoảng 250ngàn/người/tháng Vậy theo kết điều tra trên, công ty có nên định mở siêu thị khu vực hay không với mức ý nghóa 5%? Lời giải • Kỳ vọng mẫu X X = ∑ X in i = 57, 5(tạ ) n • Phương sai mẫu X là: 2 = S ∑ X i2ni − X =(8, 2765)2 (taï ) n • Phương sai mẫu hiệu chỉnh X là: S2 = 150 200 250 300 350 S2 = Vì n 2 S = (57, 4610)2 n −1 n ≥ 30; σ2 = D(X) chưa biết, nên ta kiểm định sau: Bước 1: Ta có (X − μ ) n (262, − 250) 100 = = 2,1754 z= S 57, 4610 Bài 4.4 Một công ty dự định mở siêu thị khu dân cư Để đánh giá khả mua hàng dân cư khu vực, người ta tiến Bước 2: Tra bảng giá trị hàm Laplace để tìm z2α thoả ϕ(z2α) = (1- 2α)/2 = 0,90/2 = 0,45 ta z2α = 1,65 Bước 3: Kiểm định Vì z = 2,1754 > 1,65 = z2α nên ta bác bỏ giả thiết H0: μ = 250, chấp nhận giả thiết H1: μ > 250, nghóa thu nhập bình quân hộ cao 250ngàn/người/tháng Kết luận: Với mức ý nghóa 5%, công ty nên định mở siêu thị khu vực Downloaded by Nguy?n Long (nguyenhuulongmk10@gmail.com) Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com lOMoARcPSD|17923000 Baøi 4.5 Để nghiên cứu nhu cầu loại hàng, người ta tiến hành khảo sát nhu cầu mặt hàng 400 hộ Kết sau: Nhu cầu (kgï/tháng) Số hộ 10 0-1 1-2 2-3 3-4 4-5 5-6 6-7 35 86 132 78 31 18 10 Giả sử khu vực có 4000 hộ Nếu cho nhu cầu trung bình mặt hàng toàn khu vực 14tấn/tháng có chấp nhận không với mức ý nghóa 2%? Lời giải Khi cho nhu cầu trung bình mặt hàng toàn khu vực 14tấn/tháng, nghóa nhu cầu trung bình mặt hàng hộ tháng Kết luận: Với mức ý nghóa 5%, cho nhu cầu trung bình mặt hàng toàn khu vực 14tấn/tháng Bài 4.6 Trọng lượng loại gàø công nghiệp trại chăn nuôi có phân phối chuẩn Trọng lượng trung bình xuất chuồng năm trước 2,8kg/con Năm nay, người ta sử dụng loại thức ăn Cân thử 25 xuất chuồng người ta tính trung bình mẫu 3,2kg phương sai mẫu hiệu chỉnh 0,25kg2 a) Với mức ý nghóa 5%, kết luận xem loại thức ăn có thực làm tăng trọng lượng trung bình đàn gà hay không? b) Nếu trại chăn nuôi báo cáo trọng lượng trung bình xuất chuồng 3,3kg/con có chấp nhận không với mức ý nghóa 5%? 14tấn 14000kg = = 3,5kg 4000 4000 Lời giải Do toán kiểm định giả thiết kỳ vọng μ = M(X) với mức ý nghóa α = 2% = 0,02: H0: μ = 3,5 với giả thiết đối H1: μ ≠ 3,5 Ta coù: Xi ni 0,5 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 10 35 86 132 78 31 18 10 n = 400; ∑X n i i =1053; ∑X i n i =3577, • Kỳ vọng mẫu X X = ∑ X i n i = 2, 6325 n • Phương sai mẫu X là: 2 = S ∑ X i2ni − X =(1, 4190)2 n • Phương sai mẫu hiệu chỉnh X là: S2 = n 2 S = (1, 4208)2 n −1 Vì n ≥ 30; σ2 = D(X) chưa biết, nên ta kiểm định sau: Bước 1: Ta có (X − μ ) n (2, 6325 − 3, 5) 400 = = −12, 2114 z= S 1, 4208 Bước 2: Tra bảng giá trị hàm Laplace để tìm zα thoả ϕ(zα) = (1- α)/2 = 0,98/2 = 0,49 ta zα = 2,33 Bước 3: Kiểm định Vì |z| = 12,2114 > 2,33 = zα nên ta bác bỏ giả thiết H0: μ = 3,5, chấp nhận giả thiết H1: μ ≠ 3,5 Gọi X trọng lượng gà sau sử dụng loại thức ăn Giả thiết cho ta: • X có phân phối chuẩn • Cỡ mẫu n = 25 • Kỳ vọng mẫu X X = 3,2(kg) • Phương sai mẫu hiệu chỉnh X S2 = 0,25(kg2) • Độ lệch mẫu hiệu chỉnh X S = 0,5(kg) a) Với mức ý nghóa 5%, kết luận xem loại thức ăn có thực làm tăng trọng lượng trung bình đàn gà hay không? Đây toán kiểm định giả thiết kỳ vọng μ = M(X) với mức ý nghóa α = 5% = 0,05: H0: μ = 2,8 với giả thiết đối H1: μ > 2,8 Vì n < 30; X có phân phối chuẩn; σ2 = D(X) chưa biết, nên ta kiểm định sau: Bước 1: Ta có (X − μ ) n (3, − 2, 8) 25 = = z= S 0, Bước 2: Đặt k = n -1 = 24 Tra bảng phân phối Student ứng với k = 24 2α = 0,1 ta t 2α = t 2kα = 1,711 Bước 3: Kiểm định Vì z = > 1,711 = t2α nên ta bác bỏ giả thiết H0: μ = 2,8, ghóa chấp nhận giả thiết H1: μ > 2,8 Kết luận: Với mức ý nghóa 5%, loại thức ăn thực làm tăng trọng lượng trung bình đàn gaø Downloaded by Nguy?n Long (nguyenhuulongmk10@gmail.com) Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com lOMoARcPSD|17923000 b) Neáu trại chăn nuôi báo cáo trọng lượng trung bình xuất chuồng 3,3kg/con có chấp nhận không với mức ý nghóa 5%? Đây toán kiểm định giả thiết kỳ vọng μ = M(X) với mức ý nghóa α = 5% = 0,05: H0: μ = 3,3 với giả thiết đối H1: μ ≠ 3,3 Vì n < 30; X có phân phối chuẩn; σ2 = D(X) chưa biết, nên ta kiểm định sau: Bước 1: Ta có (X − μ ) n (3, − 3, 3) 25 = = −1 z= S 0, Vì nX > 30; nY > 30 nên ta kiểm định sau: Bước 1: Ta có: z= X−Y S2X S2Y + nX nY = 168 − 164 62 52 + 100 120 = 5,3059 Bước 2: Đặt k = n -1 = 24 Tra bảng phân phối Student ứng với k = 24 α = 0,05 ta t α = t αk = 2, 064 Bước 2: Tra bảng giá trị hàm Laplace để tìm z2α thoả ϕ(z2α) = (1 - 2α)/2 = 0,98/2 = 0,49 ta z2α = 2,33 Bước 3: Kiểm định Vì z = 5,3059 > 2,33 = z2α nên ta bác bỏ giả thiết H0: μX = μY, nghóa chấp nhận H1: μX > μY Kết luận: Với mức ý nghóa 1%, kết luận nam sinh nội thành thực cao nam sinh ngoại thành Bước 3: Kiểm định Vì |z| = < 2,064 = tα nên ta chấp nhận giả thiết H0: μ = 3,3 Kết luận: Với mức ý nghóa 5%, báo cáo trọng lượng trung bình xuất chuồng 3,3kg/con chấp nhận Bài 4.8 Một hợp tác xã trồng thử hai giống lúa, giống 30 ruộng chăm sóc Cuối vụ thu hoạch ta số liệu sau: Bài 4.7 Chiều cao trung bình 100 nam sinh lớp 12 trường trung học nội thành 1,68m với độ lệch mẫu hiệu chỉnh 6cm Trong kiểm tra 120 nam sinh lớp 12 huyện ngoại thành chiều cao trung bình 1,64m với độ lệch mẫu hiệu chỉnh 5cm Với mức ý nghóa 1%, kết luận nam sinh nội thành thực cao nam sinh ngoại thành hay không? Lời giải Gọi X, Y (cm) chiều cao nam sinh nội thành nam sinh ngoại thành Bài toán toán kiểm định so sánh hai kỳ vọng với mức ý nghóa α = 1% = 0,01: H0: μX = μY với giả thiết đối H1: μX > μY 1) Đối với X, giả thiết cho ta: • Cỡ mẫu nX = 100 • Kỳ vọng mẫu X X = 168(cm) • Độ lệch mẫu hiệu chỉnh X SX = 6(cm) 2) Đối với Y, giả thiết cho ta: • Cỡ mẫu nY = 120 • Kỳ vọng mẫu Y Y = 164(cm) • Độ lệch mẫu hiệu chỉnh Y SY = 5(cm) Giống lúa Giống lúa Năng suất trung bình (tạ/ha) 45 46,5 Độ lệch mẫu hiệu chỉnh 2,5 4,0 a) Với mức ý nghóa 2%, xem suất hai giống lúa hay không? b) Với mức ý nghóa 2%, xem suất giống lúa cao giống lúa hay không? Lời giải Gọi X, Y (tạ/ha) suất giống lúa Khi đó: 1) Đối với X, giả thiết cho ta: • Cỡ mẫu nX = 30 • Kỳ vọng mẫu X X = 45 • Độ lệch mẫu hiệu chỉnh X SX = 2,5 2) Đối với Y, giả thiết cho ta: • Cỡ mẫu nY = 30 • Kỳ vọng mẫu Y Y = 46,5 • Độ lệch mẫu hiệu chỉnh Y SY = a) Với mức ý nghóa 2%, xem suất hai giống lúa hay không? Đây toán kiểm định so sánh hai kỳ vọng với mức ý nghóa 2% = 0,02: H0: μX = μY với giả thiết đối H1: μX ≠ μY Vì nX = nY = 30 nên ta kiểm định sau: Bước 1: Ta có: Downloaded by Nguy?n Long (nguyenhuulongmk10@gmail.com) Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com lOMoARcPSD|17923000 z= X−Y S2X S2Y + nX nY = 45 − 46, 2, 52 42 + 30 30 = −1,7418 Bước 2: Tra bảng giá trị hàm Laplace để tìm zα thoả ϕ(zα) = (1 - α)/2 = 0,98/2 = 0,49 ta zα = 2,33 Bước 3: Kiểm định Vì |z| = 1,7418 < 2,33 = zα nên ta chấp nhậnû giả thiết H0: μX = μY Kết luận: Với mức ý nghóa 2%, xem suất hai giống lúa b) Với mức ý nghóa 2%, xem suất giống lúa cao giống lúa hay không? Đây toán kiểm định so sánh hai kỳ vọng với mức ý nghóa α = 2% = 0,02: H0: μX = μY với giả thiết đối H1: μX < μY Vì nX = nY = 30 nên ta kiểm định sau: Bước 1: Tương tự câu a), ta có: z= X−Y S2X S2Y + nX nY = −1,7418 Bước 2: Tra bảng giá trị hàm Laplace để tìm z2α thoaû ϕ(z2α) = (1 - 2α)/2 = 0,96/2 = 0,48 ta z2α = 2,06 Bước 3: Kiểm định Vì -z = 1,7418 < 2,06 = z2α nên ta chấp nhậnû giả thiết H0: μX = μY Kết luận: Với mức ý nghóa 2%, chưa thể xem suất giống lúa cao giống lúa Bài 4.9 Một máy sản xuất tự động, lúc đầu tỉ lệ sản phẩm loại A 45% Sau áp dụng phương pháp sản xuất mới, người ta lấy 400 sản phẩm để kiểm tra thấy có 215 sản phẩm loại A Với mức ý nghóa 5%, kết luận xem phương pháp có thực làm tăng tỉ lệ sản phẩm loại A hay không? Lời giải Từ giả thiết ta suy ra: • Cỡ mẫu n = 400 • Số sản phẩm loại A có mẫu m = 215 • Tỉ lệ mẫu sản phẩm loại A Fn = m/n = 215/400 = 0,5375 Ta đưa toán toán kiểm định giả thiết tỉ lệ p sản phẩm loại A với mức ý nghóa α = 5% = 0,05: H0: p = 45% = 0,45 với giả thiết đối H1: p > 0,45 Ta kiểm định sau: Bước 1: Ta có (F − p ) n (0, 5375 − 0, 45) 400 z= n = = 3,5176 p0 (1 − p0 ) 0, 45(1 − 0, 45) Bước 2: Tra bảng giá trị hàm Laplace để tìm z2α thoả ϕ(z2α) = (1 - 2α)/2 = 0,90/2 = 0,45 ta z2α = 1,65 Bước 3: Kiểm định Vì z = 3,5176 > 1,65= z2α nên ta bác bỏ giả thiết H0: p = 0,45, nghóa chấp nhận H1: p > 0,45 Kết luận: Với mức ý nghóa 5%, phương pháp thực làm tăng tỉ lệ sản phẩm loại A Bài 4.10 Thống kê 10650 trẻ sơ sinh địa phương người ta thấy có 5410 bé trai a) Với mức ý nghóa 3%, hỏi có khác biệt tỉ lệ sinh bé trai bé gái hay không? b) Với mức ý nghóa 1%, hỏi tỉ lệ sinh bé trai có thực cao tỉ lệ sinh bé gái hay không? Lời giải Từ giả thiết toán ta suy ra: 1) Khi khảo sát tỉ lệ bé trai p1: • Cỡ mẫu n1 = 10650 • Số bé trai m1 = 5410 • Tỉ lệ bé trai Fn1 = 5410/10650 2) Khi khảo sát tỉ lệ bé gái p2: • Cỡ mẫu n2 = 10650 • Số bé gái m2 = 10650 – 5410 = 5240 • Tỉ lệ bé gái Fn2 = 5240/10650 3) p0 = 0,5 a) Với mức ý nghóa 3%, hỏi có khác biệt tỉ lệ sinh bé trai bé gái hay không? Đây toán kiểm định giả thiết so sánh hai tỉ lệ với mức ý nghóa α = 3% = 0,03: H0: p1 = p2 (= p0) với giả thiết đối H1: p1 ≠ p2 10 Downloaded by Nguy?n Long (nguyenhuulongmk10@gmail.com) Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com lOMoARcPSD|17923000 Ta kiểm định sau: Bước 1: Ta có: z= Fn1 − Fn2 » 1 ¿ p (1 − p ) ẳ + ẵ n1 n2 Lời giải = 5410 5240 − 10650 10650 = 2, 3296 ¿ » 0, 5(1 − 0, 5) ¼ + À ½ 10650 10650 Á Bước 2: Tra bảng giá trị hàm Laplace để tìm zα thoả ϕ(zα) = (1 - α)/2 = 0,97/2 = 0,485 ta zα = 2,17 Bước 3: Kiểm định Vì |z| = 2,3296 > 2,17 = zα nên ta bác bỏ giả thiết H0: p1 = p2, nghóa chấp nhận H1: p1 ≠ p2 Kết luận: Với mức ý nghóa 3%, có khác biệt tỉ lệ sinh bé trai bé gái b) Với mức ý nghóa 1%, hỏi tỉ lệ sinh bé trai có thực cao tỉ lệ sinh bé gái hay không? Đây toán kiểm định giả thiết so sánh hai tỉ lệ với mức ý nghóa α = 1% = 0,01: H0: p1 = p2 với giả thiết đối H1: p1 > p2 Ta kiểm định sau: Bước 1: Tương tự câu a), ta có: z= Fn1 − Fn2 » 1 ¿ p (1 − p ) ¼ + À ½ n1 n2 Á = 2, 3296 Từ giả thiết toán ta suy ra: 1) Đối với loại thuốc H: • Cỡ mẫu n1 = 250 • Số bệnh nhân khỏi bệnh: 210 • Tỉ lệ mẫu bệnh nhân khỏi bệnh Fn1 = 210/250 = 0,84 2) Đối với loại thuốc K: • Cỡ mẫu n2 = 200 • Số bệnh nhân khỏi bệnh: 175 • Tỉ lệ mẫu bệnh nhân khỏi bệnh Fn2 = 175/200 = 0,875 n F + n2Fn2 250.0, 84 + 200.0, 875 385 3) p0 = n1 = = n1 + n2 250 + 200 450 a) Với mức ý nghóa 1% kết luận thuốc K có khả chữa bệnh A tốt thuốc H hay không? Đây toán kiểm định giả thiết so sánh hai tỉ lệ với mức ý nghóa α = 1% = 0,01: H0: p1 = p2 với giả thiết đối H1: p1 < p2 Ta kiểm định sau: Bước 1: Ta có: z= Bước 2: Tra bảng giá trị hàm Laplace để tìm z2α thoả ϕ(z2α) = (1 - 2α)/2 = 0,98/2 = 0,49 ta z2α = 2,33 Bước 3: Kiểm định Vì z = 2,3296 < 2,33 = z2α nên ta chấp nhận giả thiết H0: p1 = p2 Kết luận: Với mức ý nghóa 1%, chưa thể nói tỉ lệ sinh bé trai thực cao tỉ lệ sinh bé gái Bài 4.11 Bệnh A chữa hai loại thuốc H K Công ty sản xuất thuốc H tuyên bố tỉ lệ bệnh nhân khỏi bệnh dùng thuốc họ 85% Người ta dùng thử thuốc H chữa cho 250 bệnh nhân thấy có 210 người khỏi bệnh, dùng thử thuốc K cho 200 bệnh nhân thấy có 175 người khỏi bệnh a) Với mức ý nghóa 1% kết luận thuốc K có khả chữa bệnh A tốt thuốc H hay không? b) Xét xem hiệu chữa bệnh thuốc H có công ty quảng cáo với mức ý nghóa 5% hay không Fn1 − Fn2 » 1 ¿ p (1 − p ) ¼ + À ½ n1 n2 Á = 0, 84 − 0, 875 385 » 385 ¿ » 1 ¿ + ¼1 − À¼ À 450 ½ 450 Á ½ 250 200 Á Bước 2: Tra bảng giá trị hàm Laplace để tìm z2α thoả ϕ(z2α) = (1 - 2α)/2 = 0,98/2 = 0,49 ta z2α = 2,33 Bước 3: Kiểm định Vì -z = 1,0495 < 2,33 = z2α nên ta chấp nhận giả thiết H0: p1 = p2 Kết luận: Với mức ý nghóa 1%, kết luận thuốc K có khả chữa bệnh A tốt thuốc H b) Xét xem hiệu chữa bệnh thuốc H có công ty quảng cáo với mức ý nghóa 5% hay không Đây toán kiểm định giả thiết tỉ lệ p1 bệnh nhân khỏi bệnh A điều trị thuốc H với mức ý nghóa α = 5% = 0,05: H0: p1 = 85% = 0,85 với giả thiết đối H1: p1 < 0,85 Ta kiểm định sau: Bước 1: Ta có 11 12 Downloaded by Nguy?n Long (nguyenhuulongmk10@gmail.com) Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com = −1, 0495 lOMoARcPSD|17923000 z= (Fn1 − p01 ) n1 p01q 01 = (0, 84 − 0, 85) 250 = −0, 4428 0, 85(1 − 0, 85) Bước 2: Tra bảng giá trị hàm Laplace để tìm z2α thoả ϕ(z2α) = (1 - 2α)/2 = 0,90/2 = 0,45 ta z2α = 1,65 Bước 3: Kiểm định Vì - z = 0,4428 < 1,65 = z2α nên ta chấp nhận giả thiết H0: p1 = 0,85 Kết luận: Với mức ý nghóa 5%, hiệu chữa bệnh thuốc H công ty quảng cáo Bài 4.12 Để khảo sát tiêu X loại sản phẩm, người ta quan sát mẫu có kết qủa sau: X(cm) 11-15 15-19 19-23 23-27 27-31 31-35 35-39 Sốsản phẩm 20 16 16 13 18 Những sản phẩm có tiêu X từ 19cm trở xuống gọi sản phẩm loại B a) Giả sử trung bình tiêu chuẩn tiêu X 29cm Hãy cho nhận xét tình hình sản xuất với mức ý nghóa 2% b) Bằng phương pháp sản xuất mới, sau thời gian người ta thấy giá trị trung bình tiêu X sản phẩm loại B 16cm Hãy cho kết luận phương pháp sản xuất với mức ý nghóa 1% (GS X có phân phối chuẩn) c) Một tài liệu thống kê cũ cho tỉ lệ sản phẩm loại B 12% Hãy nhận định tài liệu với mức ý nghóa 5% Lời giải Lập bảng: Xi ni 13 Ta coù: 17 21 20 25 16 n = 100; ∑ X ini =2636; 29 16 33 13 37 18 ∑ X i2ni =75028 S2 = a) Giả sử trung bình tiêu chuẩn tiêu X 29cm Hãy cho nhận xét tình hình sản xuất với mức ý nghóa 2% Đây toán kiểm định giả thiết kỳ vọng μ = M(X) với mức ý nghóa α = 2% = 0,02: H0: μ = 29 với giả thiết đối H1: μ ≠ 29 Vì n ≥ 30; σ2 = D(X) chưa biết, nên ta kiểm định sau: Bước 1: Ta coù z= (X − μ ) n (26, 36 − 29) 100 = = −3, 5281 S 7, 4827 Bước 2: Tra bảng giá trị hàm Laplace để tìm zα thoaû ϕ(zα) = (1- α)/2 = 0,98/2 = 0,49 ta zα = 2,33 Bước 3: Kiểm định Vì |z|= 3,5281 > 2,33 = zα nên ta bác bỏ giả thiết H0: μ=29, nghóa chấp nhận H1: μ ≠ 29 Kết luận: Với mức ý nghóa 1%, tình hình sản xuất không bình thường giá trị trung bình tiêu X không tiêu chuẩn b) Bằng phương pháp sản xuất mới, sau thời gian người ta thấy giá trị trung bình tiêu X sản phẩm loại B 16cm Hãy cho kết luận phương pháp sản xuất với mức ý nghóa 1% (GS X có phân phối chuẩn) Đây toán kiểm định giả thiết kỳ vọng μB = M(XB) tiêu X = XB sản phẩm loại B với mức ý nghóa α = 1% = 0,01: H0: μB = 16 với giả thiết đối H1: μB ≠ 16 Ta lập bảng số liệu XB: 17 XBi 13 nBi Từ bảng ta tính được: nB = 17; ∑ X Bi nBi =257; ∑ X XB = ∑ X in i = 26, 36(cm) n Bi n Bi =3, 953 • Kỳ vọng mẫu XB • Kỳ vọng mẫu X X= n 2 S = (7, 4827)2 (cm2 ) n −1 ∑ X Bi nBi = 15,1176 (cm) n • Phương sai mẫu XB là: 2 = S B ∑ X Bi2nBi − X B2 =(1, 9965)2 (cm ) n • Phương sai mẫu X là:  = S ∑ X i2ni − X =(7, 4452)2 (cm2 ) n • Phương sai mẫu hiệu chỉnh XB là: • Phương sai mẫu hiệu chỉnh X là: SB = 13 nB  SB = (2, 0580) (cm ) nB − 14 Downloaded by Nguy?n Long (nguyenhuulongmk10@gmail.com) Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com lOMoARcPSD|17923000 Vì nB < 30, XB có phân phối chuẩn, σ2B = D(XB) chưa biết, nên ta kiểm định sau: Bước 1: Ta coù z= (X B − μ ) n B SB = (15,1176 − 16) 17 = −1,7678 2, 0580 Bước 2: Đặt k = nB -1 = 16 Tra bảng phân phối Student ứng với k = 16 α = 0,01 ta t α = 2,921 c) Những trồng có chiều cao từ 105cm đến 125cm gọi loại A Bằng phương pháp mới, sau thời gian người ta thấy chiều cao trung bình loại A 119,5cm Hãy cho kết luận phương pháp với mức ý nghóa 1% (GS X có phân phối chuẩn) Lời giải Bước 3: Kiểm định Vì |z| = 1,7678 < 2,921= t α nên ta chấp nhận giả thiết H0: μB = 16 Kết luận: Với mức ý nghóa 2%, phương pháp tác dụng làm thay đổi giá trị trung bình tiêu XB sản phẩm loại B c) Một tài liệu thống kê cũ cho tỉ lệ sản phẩm loại B 12% Hãy nhận định tài liệu với mức ý nghóa 5% Đây toán kiểm định giả thiết tỉ lệ p sản phẩm loại B với mức ý nghóa α = 5% = 0,05: H0: p = 12% = 0,12 với giả thiết đối H1: p ≠ 0,12 Ta có qui tắc kiểm định sau: Bước 1: Ta có z= (Fn − p0 ) n (0,17 − 0,12) 100 = = 1, 5386 p 0q 0,12(1 − 0,12) Bước 2: Tra bảng giá trị hàm Laplace để tìm zα thoả ϕ(zα) = (1- α)/2 = 0,95/2 = 0,475 ta zα = 1,96 Bước 3: Kiểm định Vì |z| = 1,5386 < 1,96 = zα nên ta chấp nhận giả thiết H0: p = 0,12 Kết luận: Với mức ý nghóa 5%, tài liệu cũ tỉ lệ sản phẩm loại B phù hợp Xi 100 110 120 130 140 150 160 ni 10 10 15 30 10 10 15 Ta coù: X(cm) Số 95-105 10 105-115 10 115-125 15 125-135 30 135-145 10 145-155 10 155-165 15 a) Một tài liệu thống kê cũ cho chiều cao trung bình giống trồng 127cm Hãy cho kết luận tài liệu với mức ý nghóa 1% b) Những trồng có chiều cao từ 135cm trở lên gọi “cao” Trước đây, tỉ lệ “cao” loại trồng 40% Các số liệu thu thập sau áp dụng kỹ thuật Hãy cho kết luận kỹ thuật với mức ý nghóa 5% =13100; X= i n i =1749000 ∑ X ini = 131(cm) n • Phương sai mẫu X laø: 2 = S ∑ X i2ni − X =(18,1384)2 (cm2 ) n • Phương sai mẫu hiệu chỉnh X là: S2 = n 2 S = (18, 2297)2 (cm ) n −1 a) Một tài liệu thống kê cũ cho chiều cao trung bình giống trồng 127cm Hãy cho kết luận tài liệu với mức ý nghóa 1% Đây toán kiểm định giả thiết kỳ vọng μ = M(X) với mức ý nghóa α = 1% = 0,01: H0: μ = 127 với giả thiết đối H1: μ ≠ 127 Vì n ≥ 30; σ2 chưa biết, nên ta có qui tắc kiểm định sau: Bước 1: Ta có (X − μ ) n (131 − 127) 100 = = 2,1942 S 18, 2297 Bước 2: Tra bảng giá trị hàm Laplace để tìm zα thoả ϕ(zα) = (1 - α)/2 = 0,99/2 = 0,495 ta zα = 2,58 Bước 3: Kiểm định Vì |z| = 2,1942 < 2,58 = zα nên ta chấp nhận H0: μ = 127 Kết luận: Với mức ý nghóa 1%, tài liệu cũ chiều cao trung bình giống trồng phù hợp với thực tế b) Những trồng có chiều cao từ 135cm trở lên gọi “cao” Trước đây, tỉ lệ “cao” loại trồng 40% 15 16 Downloaded by Nguy?n Long (nguyenhuulongmk10@gmail.com) Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com ∑X • Kỳ vọng mẫu X z= Bài 4.13 Để khảo sát chiều cao X giống trồng, người ta quan sát mẫu có kết qủa sau: n = 100; ∑ X in i lOMoARcPSD|17923000 Các số liệu thu thập sau áp dụng kỹ thuật Hãy cho kết luận kỹ thuật với mức ý nghóa 5% Đây toán kiểm định giả thiết tỉ lệ p cao với mức ý nghóa α = 5% = 0,05: H0: p = 40% = 0,4 với giả thiết đối H1: p ≠ 0,4 Ta có qui tắc kiểm định sau: Bước 1: Ta có z= (Fn − p ) n (0, 35 − 0, 4) 100 = = −1, 0206 p 0q 0, 4(1 − 0, 4) Bước 2: Tra bảng giá trị hàm Laplace để tìm zα thoả ϕ( zα) = (1 - α)/2 = 0,95/2 = 0,475 ta zα = 1,96 Bước 3: Kiểm định Vì|z| = 1,0206 < 1,96 = zα nên ta chấp nhận giả thiết H0: p = 0,4 Kết luận: Với mức ý nghóa 5%, phương pháp tác dụng làm thay đổi tỉ lệ cao c) Những trồng có chiều cao từ 105cm đến 125cm gọi loại A Bằng phương pháp mới, sau thời gian người ta thấy chiều cao trung bình loại A 119,5cm Hãy cho kết luận phương pháp với mức ý nghóa 1% (GS X có phân phối chuẩn) Đây toán kiểm định giả thiết kỳ vọng μA = M(XA) chiều cao X = XA loại A với mức ý nghóa α = 1% = 0,01: H0: μA = 119,5 với giả thiết đối H1: μA ≠ 119,5 Ta lập bảng số liệu XA: XAi 110 120 NAi 10 15 Từ bảng ta tính được: n A = 25; - - Ai n Ai =2900; ∑X Ai n Ai =337000 Kỳ vọng mẫu XA laø XA = - ∑X ∑ X Ain Ai = 116(cm) n Phương sai mẫu XA là:  2A = S ∑ X Ai2n Ai − X A =(4, 8990)2 (cm2 ) n Phương sai mẫu hiệu chỉnh XA là: SA Vì nA = 25 < 30, XA có phân phối chuẩn, σ2A= D(XA) chưa biết, nên ta kiểm định sau: Bước 1: Ta coù z= (X A − μ0 ) n A (116 − 119, 5) 25 = = −3, SA Bước 2: Đặt k = nA - = 24 Tra bảng phân phối Student ứng với k = 24 α = 0,01 ta t α = t αk = 2,797 Bước 3: Kiểm định Vì |z| = 3,5 > 2,797 = t α nên ta bác bỏ giả thiết H0: μA = 119,5, nghóa chấp nhận H1: μA ≠ 119,5 Cụ thể, ta nhận định μA < 119,5 (vì X A = 116 < 119, ) Kết luận: Với mức ý nghóa 1%, phương pháp có tác dụng làm thay đổi chiều cao trung bình loại A, theo hướng làm tăng chiều cao trung bình loại Bài 4.14 Cho số liệu Bài 4.13 a) Giả sử trung bình tiêu chuẩn chiều cao X 125cm Có thể khẳng định việc canh tác làm tăng chiều cao trung bình giống trồng với mức ý nghóa 1% hay không? b) Giả sử trung bình tiêu chuẩn chiều cao X 134cm Có thể khẳng định việc canh tác làm giảm chiều cao trung bình giống trồng với mức ý nghóa 2% hay không? c) Sau áp dụng phương pháp canh tác mới, người ta thấy chiều cao trung bình loại A 114cm Hãy kết luận xem phương pháp có làm giảm chiều cao trung bình loại A hay không với mức ý nghóa 3% (Giả sử X có phân phối chuẩn) d) Trước đây, chiều cao trung bình loại A 120cm Các số liệu thu thập sau áp dụng kỹ thuật Hãy kết luận xem kỹ thuật có làm giảm chiều cao trung bình loại A hay không với mức ý nghóa 2% (Giả sử X có phân phối chuẩn) e) Sau áp dụng phương pháp sản xuất, người ta thấy tỉ lệ loại A 35% Hãy kết luận xem phương pháp có làm tăng tỉ lệ loại A lên hay không với mức ý nghóa 2% f) Một tài liệu thống kê cũ cho tỉ lệ loại A 20% Hãy xét xem việc canh tác có làm tăng tỉ lệ loại A hay không với mức ý nghóa 5%? Lời giải Ta coù: nA  = S A = 52 (cm ) nA − • Cỡ mẫu n = 100 • Kỳ vọng mẫu X 17 18 Downloaded by Nguy?n Long (nguyenhuulongmk10@gmail.com) Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com lOMoARcPSD|17923000 ∑ X ini = 131(cm) n • Phương sai mẫu X laø 2 = S ∑ X i2ni − X =(18,1384)2 (cm2 ) n • Phương sai mẫu hiệu chỉnh X n 2 S2 = S = (18, 2297)2 (cm ) n −1 a) Giả sử trung bình tiêu chuẩn chiều cao X 125cm Có thể khẳng định việc canh tác làm tăng chiều cao trung bình giống trồng với mức ý nghóa 1% hay không? Đây toán kiểm định giả thiết kỳ vọng μ = M(X) với mức ý nghóa α = 1% = 0,01: H0: μ = 125 với giả thiết đối H1: μ > 125 Vì n ≥ 30; σ2 = D(X) chưa biết, nên ta kiểm định sau: Bước 1: Ta có X= (X − μ ) n (131 − 125) 100 = = 3, 2913 z= S 18, 2297 Bước 2: Tra bảng giá trị hàm Laplace để tìm z2α thoaû ϕ(z2α) = (1- 2α)/2 = 0,98/2 = 0,49 ta z2α = 2,33 Bước 3: Kiểm định Vì z = 3,2913 > 2,33 = z2α nên ta bác bỏ giả thiết H0: μ=125, nghóa chấp nhận H1: μ > 125 Kết luận: Với mức ý nghóa 1%, kết luận việc canh tác làm tăng chiều cao trung bình giống trồng b) Giả sử trung bình tiêu chuẩn chiều cao X 134cm Có thể khẳng định việc canh tác làm giảm chiều cao trung bình giống trồng với mức ý nghóa 2% hay không? Đây toán kiểm định giả thiết kỳ vọng μ = M(X) với mức ý nghóa α = 2% = 0,02: H0: μ = 134 với giả thiết đối H1: μ < 134 Vì n ≥ 30; σ2 = D(X) chưa biết, nên ta kiểm định sau: Bước 1: Ta coù (X − μ ) n (131 − 134) 100 z= = = −1, 6457 S 18, 2297 Bước 2: Tra bảng giá trị hàm Laplace để tìm z2α thoaû ϕ(z2α) = (1- 2α)/2 = 0,96/2 = 0,48 ta z2α = 2,06 Bước 3: Kiểm định Vì –z = 1,6457 < 2,06 = z2α nên ta chấp nhận giả thiết H0: μ = 134 Kết luận: Với mức ý nghóa 2%, kết luận việc canh tác làm giảm chiều cao trung bình giống trồng c) Sau áp dụng phương pháp canh tác mới, người ta thấy chiều cao trung bình loại A 114cm Hãy kết luận xem phương pháp có làm giảm chiều cao trung bình loại A hay không với mức ý nghóa 3% (Giả sử X có phân phối chuẩn) Đây toán kiểm định giả thiết kỳ vọng μA = M(XA) tiêu X = XA loại A với mức ý nghóa α = 3% = 0,03: H0: μA = 114 với giả thiết đối H1: μA > 114 Ta lập bảng số liệu XA: XAi NAi Từ bảng ta tính được: n A = 25; - ∑X Ai 110 10 n Ai =2900; ∑X Ai n Ai = 337000 Kyø vọng mẫu XA XA = - ∑ X Ain Ai = 116(cm) n Phương sai mẫu XA laø: -  2A = S ∑ X Ai2n Ai − X A =(4, 8990)2 (cm2 ) n Phương sai mẫu hiệu chỉnh XA là: SA = nA  S A = 52 (cm ) nA − Vì nA < 30, XA có phân phối chuẩn, σ2A= D(XA) chưa biết, nên ta kiểm định sau: Bước 1: Ta có (X A − μ ) n A (116 − 114) 25 z= = = SA Bước 2: Đặt k = nA - = 24 Tra bảng phân phối Student ứng với k = 24 2α = 0,06 ta t 2α = 1,974 Bước 3: Kiểm định Vì z = > 1,974 = t 2α nên ta bác bỏ giả thiết H0: μA = 114, nghóa chấp nhận H1: μA > 114 Kết luận: Với mức ý nghóa 3%, phương pháp làm giảm chiều cao trung bình loại A d) Trước đây, chiều cao trung bình loại A 120cm Các số liệu thu thập sau áp dụng kỹ thuật Hãy kết 19 20 Downloaded by Nguy?n Long (nguyenhuulongmk10@gmail.com) Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com 120 15 lOMoARcPSD|17923000 luaän xem kỹ thuật có làm giảm chiều cao trung bình loại A hay không với mức ý nghóa 2% (Giả sử X có phân phối chuẩn) Đây toán kiểm định giả thiết kỳ vọng μA = M(XA) tiêu X = XA loại A với mức ý nghóa α = 2% = 0,02: H0: μA = 120 với giả thiết đối H1: μA < 120 Vì nA < 30, XA có phân phối chuẩn, σ2A= D(XA) chưa biết, nên ta kiểm định sau: Bước 1: Ta có z= (X A − μ ) n A SA = (116 − 120) 25 = −4 Bước 2: Đặt k = nA - = 24 Tra bảng phân phối Student ứng với k = 24 2α = 0,04 ta t 2α = 2,1715 Bước 3: Kiểm định Vì - z = > 2,1715 = t 2α nên ta bác bỏ giả thiết H0: μA = 120, nghóa chấp nhận H1: μA < 120 Kết luận: Với mức ý nghóa 2%, kỹ thuật làm giảm chiều cao trung bình loại A e) Sau áp dụng phương pháp sản xuất, người ta thấy tỉ lệ loại A 35% Hãy kết luận xem phương pháp có làm tăng tỉ lệ loại A lên hay không với mức ý nghóa 2% Đây toán kiểm định giả thiết tỉ lệ p sản phẩm loại A với mức ý nghóa α = 2% = 0,02: H0: p = 35% = 0,35 với giả thiết đối H1: p < 0,35 Ta có tỉ lệ mẫu loại A Fn = 25/100 = 0,25 Ta kiểm định sau: Bước 1: Ta có (F − p0 ) n (0, 25 − 0, 35) 100 = = −2, 0966 z= n p 0q 0, 35(1 − 0, 35) Bước 2: Tra bảng giá trị hàm Laplace để tìm z2α thoả ϕ(z2α) = (1 - 2α)/2 = 0,96/2 = 0,48 ta z2α = 2,06 Bước 3: Kiểm định Vì -z= 2,0966 > 2,06 = z2α nên ta bác bỏ giả thiết H0: p = 0,35, nghóa chấp nhận H1: p < 0,35 Kết luận: Với mức ý nghóa 2%, phương pháp làm tăng tỉ lệ loại A f) Một tài liệu thống kê cũ cho tỉ lệ loại A 20% Hãy xét xem việc canh tác có làm tăng tỉ lệ loại A hay không với mức ý nghóa 5%? Đây toán kiểm định giả thiết tỉ lệ p sản phẩm loại A với mức ý nghóa α = 5% = 0,05: H0: p = 20% = 0,20 với giả thiết đối H1: p > 0,20 Ta kiểm định sau: Bước 1: Ta coù (F − p ) n (0, 25 − 0, 20) 100 = = 1, 25 z= n p 0q 0, 20(1 − 0, 20) Bước 2: Tra bảng giá trị hàm Laplace để tìm z2α thoả ϕ(z2α) = (1 - 2α)/2 = 0,90/2 = 0,45 ta z2α = 1,65 Bước 3: Kiểm định Vì z = 1,25 < 1,65 = z2α nên ta chấp nhận giả thiết H0: p = 0,20 Kết luận: Với mức ý nghóa 5%, việc canh tác không làm tăng tỉ lệ loại A Bài 4.15 Để khảo sát đường kính chi tiết máy người ta kiểm tra số sản phẩm hai nhà máy Trong kết sau đây, X đường kính chi tiết máy nhà máy sản xuất Y đường kính chi tiết máy nhà máy sản xuất Những sản phẩm có chi tiết máy nhỏ 19cm xếp vào loại C X(cm) Số sản phaåm 11-15 15-19 19 19-23 20 23-27 26 27-31 16 31-35 13 35-39 18 Y(cm) Số sản phẩm 13-16 16-19 19-22 25 22-25 26 25-28 18 28-31 15 31-34 11 a) Có thể kết luận đường kính trung bình chi tiết máy hai nhà máy sản xuất hay không với mức ý nghóa 1%? b) Có thể cho đường kính trung bình chi tiết máy nhà máy thứ sản xuất lớn đường kính trung bình chi tiết máy nhà máy thứ sản xuất hay không với mức ý nghóa 5%? c) Xét xem đường kính trung bình chi tiết máy nhà máy thứ sản xuất có nhỏ đường kính trung bình chi tiết máy nhà máy thứ sản xuất hay không với mức ý nghóa 2%? d) Với mức ý nghóa 4%, tỉ lệ sản phẩm loại C hai nhà máy sản xuất có không? e) Với mức ý nghóa 3%, cho tỉ lệ sản phẩm loại C nhà máy thứ sản xuất lớn tỉ lệ sản phẩm loại C nhà máy thứ sản xuất hay không? 21 22 Downloaded by Nguy?n Long (nguyenhuulongmk10@gmail.com) Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com lOMoARcPSD|17923000 f) Hãy nhận xét ý kiến cho tỉ lệ sản phẩm loại C nhà máy thứ sản xuất nhỏ tỉ lệ sản phẩm loại C nhà máy thứ sản xuất với mức ý nghóa 5%? Lời giải 1) Đối với X ta có bảng số liệu: Xi 13 17 21 25 29 33 37 ni 19 20 26 16 13 18 Ta coù: n X = 121; ∑X n i Xi =3069; ∑X i n Xi =84337 • Phương sai mẫu X ∑X i n Xi − X =(7, 3271)2 (cm ) • Phương sai mẫu hiệu chỉnh X S2X = nX  S X = (7, 3575)2 (cm ) nX − • Tỉ lệ sản phẩm loại C laø FXn = m X + 19 = = 0, 2314 nX 121 2) Đối với Y ta có bảng số liệu: Yi 14,5 17,5 20,5 23,5 26,5 29,5 32,5 ni 25 26 18 15 11 Ta coù: n Y = 111; ∑ Yin Yi =2659, 5;  2Y = S nY ∑Y i 2 n Yi − Y =(4, 9188)2 (cm ) • Phương sai mẫu hiệu chỉnh Y S2Y = nY  S Y = (4, 9411) (cm ) nY − = 25, 3636 − 23, 9595 (7, 3575)2 (4, 9411)2 + 121 111 z= X−Y S2X S2Y + nX nY = 1,7188 Bước 2: Tra bảng giá trị hàm Laplace để tìm z2α thoả ϕ(z2α) = (1 - 2α)/2 = 0,90/2 = 0,45 ta z2α = 1,65 Bước 3: Kiểm định Vì z = 1,7188 > 1,65 = z2α nên ta bác bỏû giả thiết H0: μX = μY, nghóa chấp nhận H1: μX > μY Kết luận: Với mức ý nghóa 5%, xem đường kính trung bình chi tiết máy nhà máy thứ sản xuất lớn đường kính trung bình chi tiết máy nhà máy thứ sản xuất • Tỉ lệ sản phẩm loại C 23 24 Downloaded by Nguy?n Long (nguyenhuulongmk10@gmail.com) Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com = 1,7188 b) Có thể cho đường kính trung bình chi tiết máy nhà máy thứ sản xuất lớn đường kính trung bình chi tiết máy nhà máy thứ sản xuất hay không với mức ý nghóa 5%? Đây toán kiểm định so sánh hai kỳ vọng với mức ý nghóa α = 5% = 0,05: H0: μX = μY với giả thiết đối H1: μX > μY Vì nX > 30; nY > 30 nên ta kiểm định sau: Bước 1: Tương tự câu a), ta có: ∑ Yi n Yi =66405,75 • Phương sai mẫu Y X−Y S2X S2Y + nX nY Bước 2: Tra bảng giá trị hàm Laplace để tìm zα thoả ϕ(zα) = (1 - α)/2 = 0,99/2 = 0,495 ta zα = 2,58 Bước 3: Kiểm định Vì |z| = 1,7188 < 2,58 = zα nên ta chấp nhậnû giả thiết H0: μX = μY Kết luận: Với mức ý nghóa 1%, xem đường kính trung bình chi tiết máy hai nhà máy sản xuất • Kỳ vọng mẫu Y Y= ∑ Yin Yi = 23, 9595(cm) nY mY + = = 0,1441 nY 111 a) Có thể kết luận đường kính trung bình chi tiết máy hai nhà máy sản xuất hay không với mức ý nghóa 1%? Đây toán kiểm định so sánh hai kỳ vọng với mức ý nghóa α = 1% = 0,01: H0: μX = μY với giả thiết đối H1: μX ≠ μY Vì nX > 30; nY > 30 nên ta kiểm định sau: Bước 1: Ta có: z= • Kỳ vọng mẫu X X= ∑ X in Xi = 25, 3636(cm) nX  2X = S nX FYn = lOMoARcPSD|17923000 c) Xét xem đường kính trung bình chi tiết máy nhà máy thứ sản xuất có nhỏ đường kính trung bình chi tiết máy nhà máy thứ sản xuất hay không với mức ý nghóa 2%? Đây toán kiểm định so sánh hai kỳ vọng với mức ý nghóa α = 2% = 0,02: H0: μX = μY với giả thiết đối H1: μX > μY Vì nX > 30; nY > 30 nên ta kiểm định sau: Bước 1: Tương tự câu a), ta có: z= X−Y S2X S2Y + nX nY e) Với mức ý nghóa 3%, cho tỉ lệ sản phẩm loại C nhà máy thứ sản xuất lớn tỉ lệ sản phẩm loại C nhà máy thứ sản xuất hay không? Đây toán kiểm định giả thiết so sánh hai tỉ lệ với mức ý nghóa α = 3% = 0,03: H0: p1 = p2 với giả thiết đối H1: p1 > p2 Ta kiểm định sau: Bước 1: Tương tự câu d), ta coù: z= = 1,7188 Fn1 − Fn2 » 1 p0 (1 p0 ) ẳ + ẵ n1 n2 Á = 1, 6942 Bước 2: Tra bảng giá trị hàm Laplace để tìm z2α thoả ϕ(z2α) = (1 - 2α)/2 = 0,96/2 = 0,48 ta z2α = 2,06 Bước 3: Kiểm định Vì z = 1,7188 < 2,06 = z2α nên ta chấp nhận giả thiết H0: μX = μY Kết luận: Với mức ý nghóa 2%, chưa thể xem đường kính trung bình chi tiết máy nhà máy thứ sản xuất nhỏ đường kính trung bình chi tiết máy nhà máy thứ sản xuất Bước 2: Tra bảng giá trị hàm Laplace để tìm z2α thoả ϕ(z2α) = (1 - 2α)/2 = 0,94/2 = 0,47 ta z2α = 1,88 Bước 3: Kiểm định Vì z = 1,6942 < 1,88 = z2α nên ta chấp nhận giả thiết H0: p1 = p2 Kết luận: Với mức ý nghóa 3%, chưa thể cho tỉ lệ sản phẩm loại C nhà máy thứ sản xuất lớn tỉ lệ sản phẩm loại C nhà máy thứ sản xuất d) Với mức ý nghóa 4%, tỉ lệ sản phẩm loại C hai nhà máy sản xuất có không? Đây toán kiểm định giả thiết so sánh hai tỉ lệ với mức ý nghóa α = 4% = 0,04: H0: p1 = p2 với giả thiết đối H1: p1 ≠ p2 Ta kiểm định sau: Bước 1: Ta có: n F + n 2Fn2 28 + 16 = = 0,1897 p0 = n1 n1 + n2 121 + 111 f) Hãy nhận xét ý kiến cho tỉ lệ sản phẩm loại C nhà máy thứ sản xuất nhỏ tỉ lệ sản phẩm loại C nhà máy thứ sản xuất với mức ý nghóa 5%? Đây toán kiểm định giả thiết so sánh hai tỉ lệ với mức ý nghóa α = 5% = 0,05: H0: p1 = p2 với giả thiết đối H1: p1 > p2 Ta kiểm định sau: Bước 1: Tương tự câu d), ta có: z= Fn1 − Fn2 » 1 ¿ + p (1 p ) ẳ ẵ n1 n2 Á = 0, 2314 − 0,1441 ¿ » + 0,1897(1 0,1897) ẳ ẵ 121 111 Á z= = 1, 6942 Bước 2: Tra bảng giá trị hàm Laplace để tìm zα thoả ϕ(zα) = (1 - α)/2 = 0,96/2 = 0,48 ta zα = 2,06 Bước 3: Kiểm định Vì |z| = 1,6942 < 2,06 = zα nên ta chấp nhận giả thiết H0: p1 = p2 Kết luận: Với mức ý nghóa 4%, xem tỉ lệ sản phẩm loại C hai nhà máy sản xuất Fn1 − Fn2 » 1 ¿ p0 (1 − p0 ) ¼ + À ½ n1 n2 Á Bước 2: Tra bảng giá trị hàm Laplace để tìm z2α thoả ϕ(z2α) = (1 - 2α)/2 = 0,90/2 = 0,45 ta z2α = 1,65 Bước 3: Kiểm định Vì z = 1,6942 > 1,65 = z2α nên ta bác bỏ giả thiết H0: p1 = p2, nghóa chấp nhận H1: p1 > p2 Kết luận: Với mức ý nghóa 5%, chấp nhận ý kiến cho tỉ lệ sản phẩm loại C nhà máy thứ sản xuất nhỏ tỉ lệ sản phẩm loại C nhà máy thứ sản xuất 25 26 Downloaded by Nguy?n Long (nguyenhuulongmk10@gmail.com) Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com = 1, 6942 ... lOMoARcPSD|17923000 BÀI GIẢI a) Xác suất có chai bia Sài Gòn bị bể XÁC SUẤT THỐNG KÊ P(X ≥ 1) = − P(X = 0) = − (GV: Trần Ngọc Hội – 2009) b) Tính xác suất để lái xe thưởng Theo giả thiết, lái xe thưởng có không... nhiều kiện) a) Tính xác suất để có 53 kiện nhận b) Tính xác suất để có từ 52 đến 56 kiện nhận c) Phải kiểm tra kiện để xác suất có kiện nhận không nhỏ 95%? a) Xác suất để có 53 kiện nhận P(X=53)... cố có sản phẩm loại A sản phẩm có Giả sử sản phẩm có sản phẩm loại A Khi biến cố D xảy Do đó, xác suất để sản phẩm loại A máy sản xuất xác suất có điều kiện P(A2/D) Theo công thức nhân xác suất