Tính xác suất để người này:a Không thực hiện cả hai điều trênb Không mua quần áo, biết rằng người này đã hỏi nhân viên bán hàngGọi A là biến cố “khách hàng cần tư vấn” B là biến cố “khác
Trang 1TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI
Trang 2Chương 1: BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT
Bài 1 (Lưu Thị Ngọc Ánh): Một cửa hàng quần áoước lượng rằng: Trong tổng số các khách
hàng đến cửa hàng, có 25% khách cần hỏi nhân viên bán hàng, 20% khách mua quần áo và 15% khách thực hiện cả hai điều trên Chọn ngẫu nhiên một khách hàng trong cửa hàng Tính xác suất để người này:
a) Không thực hiện cả hai điều trên
b) Không mua quần áo, biết rằng người này đã hỏi nhân viên bán hàng
Gọi A là biến cố “khách hàng cần tư vấn” B là biến cố “khách hàng cần mua quần áo” Theo bài ra: P(A) = 0,25; P(B) = 0,2; P(AB) = 0,15
a) Biến cố khách hàng không mua quần áo cũng không cần hỏi nhân viên bán hàng là Xác suất để chọn được khách hàng không cần mua sách và cùng không cần hỏi nhân
Bài 2 (Lưu Thị Ngọc Ánh): Một lớp học của Trường Đại học X có 2/3 là nam sinh viên và
1/3 là nữ sinh viên Số sinh viên quê ở Hà Nội chiếm tỉ lệ 40% trong nữ sinh viên, và chiếm tỉ lệ 60% trong nam sinh viên
a) Chọn ngẫu nhiên một sinh viên của lớp Tính xác suất để chọn được một sinh viên quê ở Hà Nội Nếu biết rằng sinh viên vừa chọn quê ở Hà Nội thì xác suất để sinh viên đó là nam bằng bao nhiêu?
b) Chọn ngẫu nhiên không hoàn lại hai sinh viên của lớp Tính xác suất để có ít nhất một sinh viên quê ở Hà Nội, biết rằng lớp học có 60 sinh viên.
Gọi A là biến cố “Chọn được sinh viên nam” B là biến cố “Chọn được sinh viên nữ”
C là biến cố “ Chọn được sinh viên quê ở Hà Nội”
a) Xác suất để chọn được một sinh viên quê ở Hà Nội là: P(C) = P(AC) + P(BC) = P(A).P(C/A) + P(B).P(B/A) Mà theo bài ra P(A) = ; P(B)= ; P(C/A)= 0,6; P(C/B)= 0,4 Nên P(C)= 0,6 +
Xác suất để sinh viên quê ở Hà Nội vừa chọn ra là nam là: P(A/C)= = == 0,75
Trang 3b) Lớp có 60 sinh viên suy ra có 40 sinh viên nam và 20 sinh viên nữ Số sinh viên nam quê ở Hà Nội là 24
Số sinh viên nữ quê ở Hà Nội là 8
Tổng số sinh viên quê ở Hà Nội là 32 sinh viên
Tổng số sinh viên không phải quê ở Hà Nội là 28 sinh viên Gọi D là biến cố chọn được ít nhất một sinh viên quê ở Hà Nội E là biến cố chọn được 2 sinh viên quê không ở Hà Nội
Xác suất để chọn 2 sinh viên được ít nhất 1 sinh viên quê ở Hà Nội là: P(D)= 1 – P(E)=1 -
Bài 3 (Lưu Thị Ngọc Ánh): Có hai thùng đựng sản phẩm, thùng một có 5 chính phẩm và 2
phế phẩm, thùng 2 có 3 chính phẩm và 6 phế phẩm Một người lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ thùng một chuyển sang thùng hai rồi lấy ngẫu nhiên từ thùng hai ra 1 sản phẩm.
a) Tìm xác suất để sản phẩm lấy ra sau cùng là chính phẩm
b) Nếu sản phẩm lấy ra sau cùng là chính phẩm.Tính xác suất để đó là sản phẩm thuộc thùng hai.
a) Gọi là biến cố lấy ra 2 chính phẩm từ thùng 1 chuyển sang thùng 2 Gọi là biến cố lấy ra 2 phế phẩm từ thùng 1 chuyển sang thùng 2
Gọi là biến cố lấy ra 1 chính phẩm và 1 phế phẩm từ thùng 1 chuyển sang thùng 2 Gọi A là biến cố sản phầm lấy ra sau cùng là chính phẩm
Xác suất để sản phẩm lấy ra sau cùng là chính phẩm: P(A) = P(.P(A/ P(P(A/P(P(A/ + + =
b) Gọi B là biến cố gọi sản phẩm lấy ra cuối cùng thuộc thùng 2 P(B)= =
P(A/B) = P(B/A) = =
Bài 4 (Lưu Thị Ngọc Ánh): Một hộp chưa 5 quả cầu trắng, 3 quả cầu xanh, 4 quả cầu đen
cùng kích thước Chọn ngẫu nhiên 3 quả cầu a) Tìm xác suất để lấy được 3 quả trắng b) Tìm xác suất để lấy được 2 quả cùng màu
a) Gọi A là biến cố lấy ra 3 quả cầu trắng P(A) =
b) Gọi B là biến cố lấy được 2 quả cùng màu Xác suất để 2 quả lấy ra cùng màu trắng là: Xác suất để 2 quả lấy ra cùng màu xanh là: Xác suất để 2 quả lấy ra cùng màu đen là: P(B)=
Bài 5 (Lưu Thị Ngọc Ánh): Một hãng sản xuất một loại tủ lạnh X ước tính rằng khoảng
80% số người dùng tủ lạnh có đọc quảng cáo tủ lạnh do hãng ấy sản xuất Trong số những
Trang 4người đọc quảng cáo, có 30% mua loại tủ lạnh X; 10% không đọc quảng cáo cũng mua loại tủ lạnh X Tính xác suất để một người tiêu dùng đã mua loại tủ lạnh X mà có đọc quảng cáo.
Gọi A là biến cố người đó đọc quảng cáo P(A)= 0,8 Gọi B là biến cố người đó mua tủ lạnh X
Theo bài ra P(B/A) = 0,3; P(B/ ) = 0,1 Xác suất để một người mua tủ lạnh X là
P(B) = P(AB) + P(B) = P(A).P(B/A) +P(P(B/=0,8.03 + (1 – 0,8).0,1=0,26 Xác suất để 1 người tiêu dùng đã mua tủ lạnh X mà có đọc quảng cáo là: P(A/B) = =
Bài 6(Đỗ Thị Khánh Minh): Có hai chuồng nuôi thỏ Chuồng thứ nhất có 1 con thỏ
màu trắng và 5 con thỏ nâu; chuồng thứ hai có 9 con thỏ trắng và 1 con thỏ nâu Từ mỗi chuồng bắt ngầu nhiên ra 1 con để nghiên cứu Các con thỏ còn lại được dồn vào một chuồng thứ ba Từ chuồng thứ ba này lại bắt ngẫu nhiên ra một con thỏ Tính xác suất để con thỏ bắt ra sau cùng là một con thỏ nâu.
Gọi A1 là biến cố “Thỏ bắt ở chuồng 1 ra nghiên cứu là thỏ nâu và ở chuồng 2 ra nghiên cứu là thỏ nâu”
A2 là biến cố “Thỏ bắt ở chuồng 1 ra nghiên cứu là trắng và ở chuồng 2 ra nghiên cứu là thỏ nâu”
A3 là biến cố “Thỏ bắt ở chuồng 1 ra nghiên cứu là thỏ nâu và ở chuồng 2 ra nghiên cứu là thỏ trắng”
A4 là biến cố “Thỏ bắt ở chuồng 1 ra nghiên cứu là trắng và ở chuồng 2 ra nghiên cứu là thỏ trắng”
Gọi A là biến cố “Thỏ bắt ở chuồng 3 ra nghiên cứu là thỏ nâu”
{A1; A2; A3; A4} là nhóm biến cố đầy đủ A phụ thuộc vào hệ {A1; A2; A3; A4} Theo CT xác suất đầy đủ có:
P(A) = P(A1).P(A/A1) + P(A2).P(A/A2) + P(A3).P(A/A3) + P(A4).P(A/A4)
Trang 5Bài 7(Đỗ Thị Khánh Minh): Nhà trường muốn chọn một số học sinh từ một tổ gồm 7
nam sinh và 6 nữ sinh Lần đầu chọn ngẫu nhiên 2 học sinh; sau đó, chọn tiếp 1 học sinh nữa
a/ Tính xác suất để học sinh được chọn lần sau là nam sinh.
b/ Biết rằng học sinh được chọn lần sau là nữ sinh, tính xác suất để cả hai học sinh được chọn lần đầu đều là nam sinh.
a/ Gọi Ak là biến cố “chọn k học sinh nam trong 2 học sinh lần đầu” k{0; 1; 2} Gọi A là biến cố “học sinh được chọn sau cùng là nam”
{ A0; A1; A2} là nhóm biến cố đầy đủ A phụ thuộc vào hệ { A0; A1; A2} Theo CT xác suất đầy đủ có:
P(A) = P(A0).P(A/A0) + P(A1).P(A/A1) + P(A2).P(A/A2)
Trang 6Bài 8(Đỗ Thị Khánh Minh): Từ một lô hàng có rất nhiều quyển vở với tỉ lệ vở hỏng
là 5%, người ta chọn ngẫu nhiên từng quyên vở để kiểm tra.
a/ Hỏi phải kiểm tra ít nhất bao nhiêu quyển vở để xác suất có ít nhất một quyển vở để xác suất ít nhất một quyển vở hỏng không bé hơn 90%.
b/ Giả sử việc kiểm tra dừng lại khi phát hiện 3 quyển vở hỏng Tính xác suất để việc kiểm tra dừng lại ở lần kiểm tra thứ 10,
Trang 7Gọi p là xác suất vở hỏng trong mỗi lô hàng P=0,05 và gọi n là số quyển vở cần kiểm tra Ta có dãy phép thử Bernoulli với xác suất thành công (vở hỏng) là 0,05 Do đó, Pn(k; 0,05)
a/ Gọi A là biến cố “ít nhất một quyển vở hỏng”
P(A) = 1 - Pn(0; 0,05) = 1 - (0,95)n >= 0,9 <=> n >= 44,98 Nên phải kiểm tra ít nhất 45 quyển vở.
b/ Việc kiểm tra phát hiện 3 quyển vở hỏng suy ra 9 lần kiểm tra đầu phát hiện 2 quyển vở hỏng và lần thứ 10 phải là vở hỏng.
Gọi B là biến cố “Kiểm tra dừng lại lần thứ 10”
P(B) = P9(2; 0,05).0,05 = (C92.0,052.0,957).0,05 = 0,003143
Bài 9 (Đỗ Thị Khánh Minh): Hộp thứ nhất có 8 sản phẩm loại A và 2 sản phẩm loại
B; hộp thứ hai có 5 sản phẩm loại B và 3 sản phẩm loại A Nhiều khả năng là sản phẩm loại B thuộc hộp nào? Tại sao?
Gọi Ai là biến cố “lấy được i sản phẩm loại A từ hộp thứ nhất” Bj là biến cố “lấy được j sản phẩm lại A từ hộp thứ hai” a/ C là biến cố “lấy được 3 sản phẩm laoij A và 1 sản phẩm loại B”
b/ Gọi H1 là biến cố “sản phẩm loại B thuộc thứ nhất”H2 là biến cố “sản phẩm loại B thuộc thứ hai”
Trang 8Ta thấy P(H1) < P(H2) nên sản phẩm loại B nhiều khả năng thuộc hộp thứ hai.
Bài 10 (Đỗ Thị Khánh Minh): Giả sử bạn đem giao một lô hàng, rất nhiều sản phẩm,
mà bạn biết rằng nó có tỉ lệ phế phẩm là 10% Người nhận hàng đề nghị lấy ngẫu nhiên 6 sản phẩm đẻ kiểm tra, và nếu có quá k phế phẩm thì không nhân lô hàng Bạn đề nghị k bằng bao nhiêu để vừa thuyết phục được người nhận, vừa hy vọng khả năng lô hàng không bị từ chối ít nhất là 95%?
Tỉ lệ phế phẩm là p = 0,1
Việc lấy ngẫu nhiên 6 sản phẩm để kiểm tra nghĩa là thực hiện 6 phép thử Bernoulli với xác suất thành công (gặp phế phẩm) p = 0,1 (không đổi) Ta được
Trang 9Bài 11 (Nguyễn Thị Loan): Một dự án của công ty A cần thêm tuyển thêm 4 nhân viên Có
8 người tham gia đăng kí ứng tuyển gồm 3 nữ và 5 nam, cơ hội trúng tuyển của mỗi người là như nhau Tính xác suất để trong 4 người được tuyển có không quá 2 người là nam.
Lời giải:
- Gọi A là biến cố “Trong 4 người được tuyển có không quá 2 nam” - Gọi là biến cố “ Trong 4 người có i nam được chọn” (i=1, 2, 3, 4)
Ta có:
P(A) = P() + P( = =
Vậy xác suất để chọn được 4 người trong đó có không quá 2 nam là: 50%
Bài 12(Nguyễn Thị Loan): Một lớp học của Trường Đại học Công Nghiệp Hà Nội có 2/3
số sinh viên là nam và 1/3 là nữ Sinh viên quê Hà Nội chiếm 60% trong tổng số sinh viên nữ và chiếm tỉ lệ 40% trong tổng số sinh viên nam.
a) Chọn ngẫu nhiên một sinh viên Tính xác suất để chọn được một sinh viên quê Hà Nội.
b) Nếu biết rằng sinh viên vừa chọn quê Hà Nội thì xác suất để sinh viên đó là nam bằng bao nhiêu?
c) Chọn ngẫu nhiên không hoàn lại 2 sinh viên Tính xác suất để có ít nhất một sinh viên quê Hà Nội (biết rằng lớp học có 60 sinh viên).
Lời giải:
a) Gọi A là biến cố “Sinh viên được chọn quê ở Hà Nội” là biến cố “Sinh viên được chọn là nữ”.
là biến cố “Sinh viên được chọn là nam”.
, là hệ biến cố đầy đủ và biến cố A xảy ra khi hoặc xảy ra hoặc xảy ra Áp dụng công thức xác suất đầy đủ ta có:
P(A) = P(.P(A/ + P(.P(A/
c) Lớp có 60 sinh viên => 40 sinh viên nam, 20 sinh viên nữ Ta có: Số sinh viên nam quê Hà Nội là: 16
Số sinh viên nữ quê Hà Nội là: 12 Tổng số sinh viên quê Hà Nội là 28 sinh viên.
Trang 10Gọi B là biến cố “Có ít nhất 1 sinh viên quê Hà Nội” P(B) = 1 – P() = 1 - =
Bài 13(Nguyễn Thị Loan): Có 3 hộp đựng bi Hộp I có 10 viên màu đỏ và 5 viên xanh, hộp
II có 6 viên đỏ và 4 viên xanh, hộp III có 5 viên đỏ và 5 viên xanh.
a) Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một viên bi, tính xác suất để được 3 viên cũng màu b) Lấy ngẫu nhiên 1 hộp rồi từ hộp đó lấy ra 3 viên bi thì được 1 viên màu đỏ và 2 viên
màu xanh Tính xác suất để hộp được chọn là hộp I.
Lời giải:
a) Gọi A là biến cố “3 viên lấy được cùng màu”.
là biến cố “bi được lấy ra từ hộp thứ i là màu đỏ” (i=1, 2, 3) Xác suất để lấy được 3 viên cùng màu là:
P(A) = P( ) = P( P()
= =
b) Gọi là biến cố “Lấy được hộp thứ i” (i=1, 2, 3)
B là biến cố “Lấy được 2 viên màu đỏ và 1 viên màu xanh”.
, , là hệ biến cố đầy đủ và B xảy ra khi hoặc xảy ra hoặc xảy ra hoặc xảy ra.
Bài 14(Nguyễn Thị Loan): Trong một đội thi đấu có 3 xạ thủ A, B, C tham gia thi đấu với
xác suất giành chiến thắng lần lượt là 0,6; 0,7; 0,8(mỗi người thi đấu độc lập với nhau).
Trang 11P(K) = P(A.B )+P(A C)+P( .B.C) = 0,6.0,7.0,8) + 0,6.0,7).0,8 + (1-0,6).0,7.0,8
= 0,452 P( /K) = = = 0,4956
Bài 15(Nguyễn Thị Loan): Trong học kì II vừa qua, tỉ lệ sinh viên thi trượt môn Giải Tích
là 35%, thi trượt môn Anh là 20% Trong tổng số sinh viên thi trượt môn Giải Tích thì có 50% sinh viên trượt môn Anh Chọn ngẫu nhiên 12 sinh viên Nhiều khả năng nhất là sẽ có bao nhiêu sinh viên thi trượt cả hai môn Tính xác suất tương ứng.
Lời giải:
Gọi G là biến cố “sinh viên thi trượt Giải Tích” A là biến cố “sinh viên thi trượt môn Anh” Khi đó: P(G) = 0,35; P(A)=0,2; P(A/G)=0,5 Xác suất sinh viên thi trượt cả 2 môn là:
Bài 16 (Nguyễn Thị Minh Phương):Một nhà máy sản xuất bóng đèn gồm 3 máy Máy A
sản xuất 25%, máy B: 35%, máy C: 40% số bóng đèn Tỉ lệ sản phẩm hỏng của mỗi máy trên số sản phẩm do máy đó sản xuất lần lượt là 3%, 2%, 1% Một người mua bóng đèn do
Vì máy A sản suất 25% sản phẩm của nhà máy.
b) Gọi H1 là biến cố sản phẩm được mua do máy A sản suất H2 là biến cố sẩn phẩm được mua do máy B sản suât H3 là biến cố sẩn phẩm được mua do máy C sản suât B là biến cố sản phẩm được mua là sản phẩm xấu Ta có:
Trang 12Bài 17(Nguyễn Thị Minh Phương):Một đề thi có 20 câu hỏi Sinh viên giỏi sẽ trả lời đúng
hết cả 20 câu Sinh viên khá trả lời đúng 15 câu, sinh viên trung bình trả lời đúng 10 câu, yếu 5 câu Tỷ lệ sinh viên giỏi, khá, trung bình, yếu lần lượt là 10%, 20%, 30%, 40% Một sinh viên lên bốc thăm 3 câu từ 20 câu trên Giám khảo thấy anh trả lời đúng cả 3 câu Tính xác suất anh ta là sinh viên khá hoặc trung bình.
Đặt H: " Sinh viên được chọn trả lời đúng 3 câu" A1: "Sinh viên được chọn là sinh viên giỏi." A2: "Sinh viên được chọn là sinh viên khá."
A3: "Sinh viên được chọn là sinh viên trung bình." A4: "Sinh viên được chọn là sinh viên yếu."
{A1,A2,A3,A4} là nhóm đầy đủ biến cố Theo giả thiết:
Bài 18(Nguyễn Thị Minh Phương) Một thủ kho có một chùm chìa khóa gồm 9 chiếc bề
ngoài giống hệt nhau trong đó chỉ có hai chiếc mở được cửa kho Anh ta thử ngẫu nhiên từng chìa (chìa nào không đúng thì bỏ ra khỏi chùm chìa khóa) Tìm xác suất để lần thử thứ ba thì anh ta mới mở được cửa.
Gọi A1 là biến cố: “Không mở được cửa ở lần thử thứ 1”, A2 là biến cố: “Không mở được cửa ở lần thử thứ 2” và A3 là biến cố: “Mở được cửa ở lần thử thứ 3” Ta phải tìm P(A1A2A3) Theo công thức nhân xác suất ta có
P(A1A2A3)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2) Ta có
P(A1)=79,P(A2|A1)=68,P(A3|A1A2)=27 Do đó
Trang 13Bài 19(Nguyễn Thị Minh Phương).Có 10 chiếc túi đựng bi như sau:
4 túi loại 1, trong mỗi túi loại 1 chứa 6 viên bi trắng và 4 viên bi đen,
2 túi loại 2, trong mỗi túi loại 2 chứa 3 viên bi trắng và 7 viên bi đen,
1 túi loại 3, trong mỗi túi loại 3 chứa 7 viên bi trắng và 3 viên bi đen,
3 túi loại 4, trong mỗi túi loại 4 chứa 4 viên bi trắng và 6 viên bi đen.
Chọn ngẫu nhiên 1 chiếc túi rồi lấy ngẫu nhiên 2 viên bi Tính xác suất để lấy được hai viên
Bài 20(Nguyễn Thị Minh Phương) Dây chuyền lắp ráp nhận được các chi tiết do hai máy
sản xuất Trung bình máy thứ nhất cung cấp 60% chi tiết, máy thứ hai cung cấp 40% chi tiết Khoảng 90% chi tiết do máy thứ nhất sản xuất là đạt tiêu chuẩn, còn 85% chi tiết do máy thứ hai sản xuất là đạt tiêu chuẩn Lấy ngẫu nhiên từ dây chuyền một sản phẩm, thấy nó đạt tiêu chuẩn Tìm xác suất để sản phẩm đó do máy thứ nhất sản xuất.
Gọi A là biến cố: “Chi tiết lấy từ dây chuyền đạt tiêu chuẩn”, B1 là biến cố: “Chi tiết do máy thứ nhất sản xuất” và B2 là biến cố: “Chi tiết do máy thứ hai sản xuất” Ta cần tính xác
Trang 14P(A|B1)=0,9;P(A|B2)=0,85 Thay vào ta có
Bài 21 (Phạm Minh Chiến):
Có 10 lọ hóa chất trong đó có 4lọ loại I, 6lọ loại II Nếu dùng lọ loại I thì kết quả tốt với xác suất 0,9, nếu dùng lọ loại II thì kết quả tốt với xác suất 0,5.
a) Lấy ngẫu nhiên 1lọ hóa chất để sử dụng, tính xác suất để lọ hóa chất này có kết quả tốt.
b) Tính xác suất để lọ hóa chất tốt này thuộc loại I.
Lời giải
a) Gọi Alà biến cố: "Lấy được lọ hóa chất có kết quả tốt", B1 là biến cố: "Lấy được lọ hóa chất loại I", B2 là biến cố: "Lấy được lọ hóa chất loại II" Ta thấy {B1, B2}là hệ đầy đủ các biến cố và:
P(B1)= 4C1/10C1= 0,4,P(B2)= 6C1/10C1= 0,6 P(A/B1)= 0,9,P(A/B2)= 0,5.
Theo công thức xác suất đầy đủ
P(A) = P(B1)P(A/B1) + P(B2)P(A/B2)
Bài 22 (Phạm Minh Chiến):
Có hai cái hộp, hộp thứ nhất có 3 bi trắng và 4 bi đen, hộp thứ hai có 4 bi trắng và 6 bi đen a) Từ mỗi hộp ta lấy ra ngẫu nhiên ra một viên bi, tính xác suất để lấy được hai viên bi trắng.
b) Sau khi lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một viên bi, các viên bi còn lại trong hai hộp được dồn hết về một hộp thứ ba Từ hộp thứ ba lấy ngẫu nhiên ra một viên bi Tính xác suất để viên bi lấy ra từ hộp thứ ba là bi đen.
Lời giải
a) Gọi A1 là biến cố: "Lấy được bi trắng từ hộp thứ nhất", A2 là biến cố: "Lấy được bi trắng từ hộp thứ hai".
Biến cố: "Lấy được hai viên bi trắng" là A1A2.