Luận văn thạc sĩ Xây dựng công trình thủy: Tính toán dao động của tấm trên nền

CHƯƠNG II: TÍNH TOÁN DAO ĐỘNG CUA TÁM TREN NEN BANG.PHƯƠNG PHAP PHAN TỬ HỮU HAN, 2.1 Phương pháp phân từ hữu han tong tính toán kết cầu theo mô hình ương thích chịu tải trọng động 2.2 Tí

LỜI CẢM ƠN

Luận văn “Tính toán dao động của tấm trên nền” được tác giả hoàn thành tại trường Đại học Thủy Lợi với sự no lực của bản thân va sự giúp đỡ của các thầy cô giáo, bạn bè và đồng nghiệp.

Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trường Đại học Thủy

Lợi, đặc biệt là Phòng Đào tạo Đại học và sau Đại học, các giảng viên Khoa Công trình —- Trường Đại học Thủy Loi đã giúp đỡ và truyền đạt những kiến

thức chuyên môn cần thiết trong quá trình tác giả học tập tại trường.

Đặc biệt tác giả xin chân thành cảm ơn TS Phạm Viết Ngoc va GS TS Phạm Ngọc Khánh đã trực tiếp hướng dan, cũng như cung cấp tài liệu, thông

tin khoa học cần thiết cho tác giả hoàn thành luận văn.

Tác giả xin gửi lòng biết ơn sâu sắc đến gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã

luôn động viên và đóng góp những ý kiến quý báu trong quá trình tác giả thực

hiện luận văn.

Do trình độ hiểu biết và kinh nghiệm còn hạn chế, luận văn không thé tránh khỏi những thiếu sót Tác giả rất mong nhận được góp ý của các thầy

cô, bạn bè và đồng nghiệp.

Xin trân trọng cảm on !

Hà Nội, ngày tháng 11 năm 2015

Tác giả luận văn

Nguyễn Thanh Tùng

LỜI CAM KET

"én tôi là: Nguyễn Thanh Tùng

Học viên lớp: 20C11

Tôi xin cam đoan diy là công tình nghiên cứu của riêng tôi Những nội

dung và kết quả trình bày trong luận văn là trung thực và chưa được ai công.

bố trong bắt kỹ công tình khoa học nào

Tác giả

"Nguyễn Thanh Tang

MỤC LỤC

MỤC LỤC

DANH MỤC BANG BIEU

DANH MỤC HINH VE,

MỞ DAU

CHƯƠNG I: TONG QUAN,

1

4

1.1 Mục dich, tằm quan trọng, các vấn đỀ cơ bản của tính toán dao động của

1.2 Lý thuyết tắm và lý thuyết nền (mô hình nén),

12.1 Ly tuoết lắm

1.22 Ly thoết nên

1.2.3 Lý thuyết tắm trên nền

1.3 Bài toán dao động

1.3.1 Khái niệm và phân loại bài toán dao động

1.32 Các bài toán dao động

1.3.3 Phương pháp phần tứ hữu hạn

CHƯƠNG II: TÍNH TOÁN DAO ĐỘNG CUA TÁM TREN NEN BANG.PHƯƠNG PHAP PHAN TỬ HỮU HAN,

2.1 Phương pháp phân từ hữu han tong tính toán kết cầu

theo mô hình ương thích chịu tải trọng động

2.2 Tính kết cấu tắm trên nén chịu tác dụng của tải trọng động

2.3 Phần mềm Sap 2000 ~ tinh kết cu theo phương pháp PTHH

2.3.1 Xác định tin số dao động riêng bằng Sap 2000

2.3.2 Trình ự phân tích kết cầu chịu tải trọng động bằng Sap2000

3.5 Tính toán dao động của tắm trên nền bằng phần mem sap2000

44

4 4 49 33

33

4

_

5 56

CHƯƠNG II: UNG DỤNG NGHIÊN CỨU ANH HUGNG CUA DAOĐỘNG DEN CÔNG TRINH TRAM BOM DONG KY VA TRAM BOMLANG VÕ 383.1 Giới thiệu công tình trạm bơm Đồng ky và trạm bơm làng Võ 58

4.1.1 Giới thiệu tram bơm Đằng ky và làng Võ 38

3.1.2 Đặc điền dia chit tỉnh Bắc Ninh 583.1.3 Đặc điễn kế cầu trạm bơm làng Võ và Tram bơm Đồng By 60

3.2 Mô hình bóa bài toán vàcác số liệu dẫu vào 61 3.2.1 Mô hình bài toán 61 5.2.2 Các điễu hiện biên của baton “ 3.3 Tính toán dao động của trạm bơm Làng Võ và tram bơm Đẳng Ky 62

3.3.1 Tính toán dao động cho hai trạm bơm _— 62

3.3.2 Tẩn số dao động tự do ø 3.3.3 Dao động cưỡng bức của tắm dưới tác dụng của lực kích thích 69.

3.4 Phân tích ảnh hướng cũ các yếu tổ đến sự làm việc của kết cấu '2

34.1 Phân tích sự ảnh hường của hệ số nền đến tin số dao động riêng

của tấn n44.2 Phân tích sự ảnh hưởng của kích thước đến tần sỐ dao đồng riêng

của tắm 1

34.3 Phân tích sự ảnh hướng của hành dạng tấm đến tin số dao đồng

riêng của tắm 19 3.444 Phân tích sự ảnh hướng của tương quan độ cứng của tim dao động

84

3.5 Tổng hợp các kết quả tính toán phân tích mỗi liên hệ giữa các thông sốảnh hưởng đến tần số dao động riêng của tắm 87KET LUẬN 89

TÀI LIỆU THAM KHAO 9Ị

DANH MỤC BANG BIEU

Bảng 1.2: Giá tì của các hằng số din hồi của nền tạo bởi các vật liệu khác

nhau

Bảng 3.1; Bang chu kỳ và tin số dao động riêng của trạm bơm Làng Võ.

Bảng 3.2: Kết qui chủ kỳ va tin số dao động ~ THẠ

Bang 3.3: Kết quả chu kỳ và tần số dao động - TH4.

Bảng 34: Kết qui cha kỹ và tin số dao động - TH

Bảng 35: Kết qui chu kỳ và tin số dao động ~ TH

Bảng 3.6: Kết quả chu kỳ và tần số dao động - TH7

Bảng 37: Kết qui chu kỳ và tin số dao động — TH

Bảng 38: Kết quả chủ kỳ v động ~ TH9

Bảng 3.9: Kết quả chu kỳ và tn số dao động - THỊ0

Bảng 3.10: Kết quả chu kỹ và tin số dao động ~ THIL

Bảng 3.11: Kết quả chủ ky và tin số dao động = THỊ2

Bang 3.12: Kết quả chu kỳ và tần số dao động - THỊ3.

Bảng 3.13: Kết quả chu kỳ và tin số dao động - TH14

Bảng 3.14: Kết quả chủ kỹ và tin số dao động ~ THIS

Bang 3.15: Kết quả chu kỳ và tần số dao động - TH16

Bảng 3.16: Kết quả chủ kỹ và tin số dao động = THỊ?

tần số di

Băng 3.17: Kết quả cha kỹ và tin số dao động ~ THIS

Bảng 3.18: Kết quả chủ ky và tin số dao động ~ THIS

Bảng 3.19: Kết quả chu kỹ và tin số dao động - TH20

Bảng 3.20: Kết quả chu kỹ và tin số dao động ~ THÔI

dao động - TH22.

Bảng 322: Kết quả chu kỹ và tin số dao động - TH23

Bảng 3.23: Kết quả chủ kỹ và tin số dao động ~ TH24

Bảng 3.24: Kết quả chủ kỳ và tan số dao động - TH25

Bảng 325: Kết quả chu kỹ và tin số dao động - TH26

Bảng 3.21: Kết quả chu ky và tn s

?

67 72 7 7 74

4

"4 75

1

1 1

78

79 79 80 81 8 82 82 s

83

85 86 86

$6

Hình 1.7: Mô hình tính độ võng của tắm chữ nhật chịu tải trọng ngang.

Hình 1.8: Mô hình tinh của tắm chữ nhật chịu tải cách đều nhau

Hình 2.1 Sơ đồ giải bài oán kết cấu theo phương pháp PTHH

Hinh 2.2 Định nghĩa tai trọng.

Hình 2.3 Dinh nghĩa hàm lực kích thích

inh 24 Định nghĩa tải trong lực kích thích

Hình 3.1: Cắt ngang tổ máy trạm bơm làng Võ

Hình 3.2: Mặt bằng tram bơm làng Võ

Hinh 33: Cắt ngang tổ mấy trạm bơm Đồng Ky

Hình 3.4: Mặt bằng trạm bơm Đồng Ky

Hình 3.5: Mô hình hóa tắm trong Sap2000

Hình 3.6: Bảng thuộc tinh vật liệu

Hình 37: Bảng thuộc tính mặt cắt

Hình 3.8: Bảng định nghĩa ti trong.

"Hình 3.9: Bảng định nghĩa hàm tải trong động,

"Hình 3.10: Bảng định nghĩa tải trong động

Hình 3.11: Bảng gán liên kết cho đối tượng

Hình 3.12: Bảng gần giá trị tải trọng động.

Hình 3.13 Dang dao động thứ nhất của sàn trạm bơm làng Võ.

Hình 3.14 Dạng dao động thứ hai của sàn trạm bơm làng Võ,

Hình 3.15 Dạng dao động thứ ba của sàn trạm bơm làng Vo.

Hình 3.16 Dạng dao động thứ tư của sàn trạm bơm làng Võ.

6

68

68 68

68

69

Hình 3.17: Mô men uốn MIL của tắm móng trạm bơm làng Võ T0Hình 3.18: Mô men tốn MII của tắm móng tram bơm làng Đồng Ky khi

chưa xử lý nên T0

1

Hình 3.19: Mô men uốn MII của sàn trạm bơm làng Đẳng Ky khi đã xử lý

1

Hình 3.20: Đồ thi thể hiện quan hệ giữa hệ số nỀn và cin số dao động riêng 73

Hình 3.21: Đỗ thị thể hiện quan hệ giữa hệ chiều dài một cạnh hình vuông của

tắm và tin số dao động riêng T6Hình 3.22: Đồ thị thể hiện quan hệ giữa hệ chiều dày của tắm và tần số dao

MỞ ĐÀU

1 Tính cấp thiết của để tài

Bài toán dao động công trình rit hay gặp trong xây dựng và đã được.

nghiên cứu qua rt nhiễu công trình khoa học về mặt lý thuyết cũng như bằng

thực nghiệm Dae biệt việc nghiên cứu càng trở nên quan trọng dao động

công trình ảnh hưởng đến khả năng chịu lực của công trình, tuổi thọ của công.

trình, sức khỏe của người làm việc và sử dụng của công trình đó,

‘Voi những công trình thủy lợi kể đến tải trong dao động như trạm bơm,

tuabin nhà máy phát điện, dao động sóng nước lên b mặt của cổng, tác dungcủa gi, động dit Tinh chất tải tong động nói chung và tai trong dao độngnổi riêng tác dung lên CTLT thường rất lớn và liên tục trong thời gian dai gây

ta những bắt lợi cho công trình như làm tăng nội lực, ứng suất, biển dang rit

lớn và gây hiện tượng mỗi làm giảm tuổi tho Để hạn chế ảnh hưởng của dao.

động đến công trình có rất nhiều phương phá

bị chống rung, thay đối độ cứng các liên kết, xử lý điều chỉnh thiết bị động

0 Tuy nhiên độ dn định của nền ảnh hưởng đến sự làm việc của công tình

, ví dụ như: lắp thêm các thị

dt trên nó Thực tẾ đã xy ra rất nhiều các hư hỏng; sụt lở các công tình thủylợi mà nguyên nhân chủ yếu là do kết cẩu nén móng yếu Vì vậy ác công,

trình xây dựng trên các nén đất yếu cần phải xử lý để đảm bảo hệ số nền dủ

lớn để giữ cho nó làm việc bình thường đưới tác dụng của tai trọng động.

Xitất phát từ thực tế đồ luận văn tiễn hành di sâu nghiên cửu, tính toán đaođộng của tắm trên nền trong công trình thủy lợi, trong đó nghiên cứu tính toánvới các hệ số nen khác nhan Từ đó áp dụng vị

chính xác với các bit toán phúc tạp với nhiễu dang dao động phức tạp, Qua

những kiến thức đã học trong chương tình đào tạo cao học, tác giả dưa ra

hướng nghiên cứu trong luận văn: kết hợp giữa môn học động lực học côngtrình: môn học phương pháp số và dia kỹ thuật xử lý nền móng để có đượccái nhìn tổng quát bài toán dao động của tim trên nén dan hỏi Ap dụng kết

«qui nghiên cứu cho công tinh tram bơm Đẳng Ky và Làng Võ để lam sáng tỏ

thêm các luận cứ mà luận văn đưa ra.

2 Mục đích của Đề tài

Nghiên cứu sự làm việc của công tình khi chịu tải trọng động Ảnh hưởng eta dao động đến tả trọng tác dụng lên công tinh Sự thay đổi nội lực

ứng suất, biến dang của kết cấu khi chịu tải trong dao động Nghiên cứu ảnh

hưởng của hệ số nền đến khả năng chiu lực của công tình khi chịu tải trong

động, Nghiên cứu bài toán dao động bằng phương pháp sổ

3 Cách tiếp cận và phương pháp nghiên cứu:

- Ấp dụng kiến thức đã học trong chương trình đào tạo cao học để giải

“quyết các bài toần trong thực tế

- Vận dung kiến thức động lực học công tinh nghiên cứu cée bài toán

dao động.

- Két hợp với môn học phương pháp số đưa ra công cụ giải quyết bài toán dao động.

~ Từ kiến thức địa kỹ thuật đánh giá trạng thái, tính chất của nền đất khi

chịu tải rong động

4, Kết quả dự kiến đạt được:

+ Giới thiệu được tổng quan vé bài toán dao động của tắm trên nễn

~ Tính toán dao động của tắm bằng phương pháp phần tử hữu hạn

- Sử dụng được phẫn mém SAP2000 để th dao động của tắm trên nin,

= Tính toán dao động cho công trình cụ thé là trạm bơm Bing Ky và

tram bơm Làng Vo.

- Từ kết quả tính toán đưa ra các nhận xét, lưu ý trong việc tính toán

công trình khi chịu tải trọng dao động.

CHUONG I: TONG QUAN

1-1 Mục dich, tim quan trọng, các vin đề cơ bản của tính toần dao động

trình, sức khỏe của người lâm việc va sử dụng của công tì

'Với những công tinh thủy lợi kể đến tải trong dao động như trạm bơm,tuabin nhà máy phát điện, dao động sóng nước lên bé mặt của cổng, tác dungcủa gi động đất Tinh chất tải trong động nói chung và tải trọng dao độngnói riêng tác dụng lên CTLT thường rit lớn và liên tục trong thời gian đài gay

xa những bắt lợi cho công tình như làm tăng nội lực, ứng suất, biển dạng rấtlớn và gây hiện tượng môi làm giảm tuổi thọ, Dé hạn chế ảnh hướng của daođộng đến công trình có rit nhiều phương pháp, ví dụ như: lắp thêm các thiết

bị chống mung, thay dỗi độ cứng các lên kế, xử lý diễn chỉnh t ết bị dong cơ Tuy nhiên độ én định của của công trình

đặt trên nó Thực tế đã xây ra rie nhiều các hư hỏng; sụt lở các công trình thủy

in ảnh hưởng

lợi mà nguyễn nhân chủ yếu là do kết cấu nền móng yếu Vì vậy

trình xây dựng tiên các nên dắt yếu cần phải xử lý dễ đảm bảo hệ số nén đủ

lớn để giữ cho nó làm việc bình thường dưới tác dụng của tải trọng động.

Bài toán dao động của tắm trên nền là một vấn để phức tạp, liên quan

ải trọng, hình dạng kích thước vật thé, và tính

it nhiều nghiên cứu về lý thuyết cũng như

ến nay đãthực nghiệm vẻ vấn đ này, Các nghiên cứu lý thuyếttập trung giải quyết các

an hồi Các bài oán dao

bài toán tổng quát v2 lý thuyết tắm và tắm trên nền

động của tim thường dựa trên lõi giải của bài toán tĩnh bổ sung thêm hàm

thời gian Các nghiên cứu thực nghiệm di sâu nghiên cứu các bài toán cụ thể,

5trong những tường hop cụ thể về tinh chất tả trọng diễu kiện nén và hình

dạng của tắm Do đó rit khó có thể khái quát thành một quy luật, li giải tổng quát

Trong lĩnh vực công tình thủy lợi nói riêng mặc dù các bồi toán dao

động của tắm trên nên rat hay gặp trên thực tế Nhưng các nghiên cứu về van

đề này vn còn tt, Các tiêu chun guy phạm phn lớn đều chưa dể cập đến

vấn dé này Những điều đò đòi hỏi phải cần nhiễu thêm các nghiên cứu về dao

dong của tắm trên nền trong các công trình thủy lợi tại thời điểm hiện nay.

1.2 Lý thuyết tắm và lý thuyết nền (mô hình nền)

1.2.1 Lý thuyết tắm [3]

Tắm là vật thé có một chiều nhỏ hơn rit nhiều so với 2 chiều còn lại

Mặt trung bình là mặt phẳng cách đều hai đáy Bé day h là chiều cao hình lăng trụ

Hình 1.1: Mô C6 thể phân ra các loi bài toán tắm sau

+ Phân loại theo ải trọng tác động;

Bài toán phẳng của lý thuyết din hồi khi các tải trọng nằm trong mặt

phẳng trung bình, gồm bài toán ứng suất phẳng (tim tường, đĩa mỏng) và bài

toán biến dang phẳng (tường chin, vỏ him, ing day )

Bài toán uốn tắm khi tai trong có phương vuông góc mặt trung bình Thi cdụ bài toán các bản sàn, vách thân và đáy tiu,

Bà toán gồm cả hai loại tải trọng trên: trong phạm vi tuyến tinh (bid

dạng bổ) có thể sử dụng nguyên lý cộng tác dung tích riêng hai bài tod,

trong bồi toán phi tuyển (biển dạng lớn) phải xét đồng thời

+ Phân loại theo chiều dày tắm:

‘Tim day khi “> ^, day là bài toán ba chiều (độ lớn của ứng suất theo

ba phương là cùng cấp)

‘Tam mong khi “<4, ứng suất theo phương bể diy của tắm là nhỏ hơn

asrit nhiễu so với ứng suất theo hai phương còn lại và có thé bỏ qua trong tínhtoán (bỏ qua các ứng suất o sơ với đu, oh) Tuỷ thuộc tính chất làm việc

hia cia tim khi chịu tải trong ngang và tải trong trong mặt trung bình, có

tắm mông ra làm các loại khác nhau

Tắm mỏng cứng: khi chịu tác động của ti trọng ngang mặt trung bình

của tắm chi chịu uốn, thay đổi độ cong, không chịu kéo hoặc nén Biến dangcủa tắm là

Tắm mềm: khi chịu tải trọng ngangmặt trung bình không chỉ thay đổi độ.song, chịu uốn, mà còn cả biển dang màng Biến dạng của tắm la lớn

Tắm myệt đối mồm, màng mỏng: tắm không có khả năng chịu tổn, chỉ

tn tại các ứng lực kéo,

4+ Phân loại the lĩnh vực nghiên cứu

‘Tinh học (tinh toán ứng suất biển dạng khi chịu ti trong không kể lực

quán tính của các khối lượng vật chất)

Động lực (phản ứng của tắm khi chịu ác ti trong có kế lực quán tính

của các khổi lượng vật chất dao động tự do)

(On định (khả năng bảo toàn trang thái phẳng khi chịu các lực nằm rong

mặt phẳng trung bình)

4 Các giả thiết của lý tuyết tắm mông, biến dang bề

Chuyển vị và bién dang của tắm là bé Bỏ qua chuyển vị u, v của mặttrung bình (không có biến dạng trong mặt trung bình)

Pháp tuyến thẳng và vuông góc mặt trung bình ( thuyết Kirchoff),

7Ứng suất pháp ơ theo phương vuông góc mặt trung bình là rắt nhỏ sovới các ứng suất khác nên có thé bỏ qua trong tính toán

Những giả thiết này trong Lý thuyết tắm hoàn toàn tương tr với nhữnggiả thiết trong lý thuyết tốn thanh của môn Sức bền vật liệu như là giả thiếttiết điện phẳng Bernoulli, gi thiết tho doc không tác dụng tương hỗ

b Phương trình Sophie- Germain

Phương tình cin bằng

° ayỨng lực

Đặt mômen thu gọn

w 4)

kết hợp với (1.3), ta nhận được hệ hai phương trình vi phân

cấp hai, gọi là phương trình Marcus Š giả bà toán tim cứng

vine ? (15) vìwsP |

Cp của phương tình vi phân giảm nhưng số phương trình lại nhiễu hơn

4 Phương pháp sai phân (PPSP)

PPSP là một phương pháp số, gần đúng để giải phương tình vi phân Nội dung là thay đạo him bằng tỷ lượng hữu han, do đó, thay việc giải

th đại số, thay việc im ấn

phương trình vi phân bằng việc giải các phương t

số dưới dang hàm giải tích bằng việc tìm giá trị an số tại một số hữu hạn các

điểm

Giả thử cho him fizzy) xác định trong miễn S Phủ mién S bằng một

mạng lưới chữ nhật cạnh 4,, 4, như trên hình vẽ (2-12) 4, 4, gọi là bước sai

phân, chúng có thé đều nhau hoặc thay đổi Dao hàm của f tại điểm Ø đượcthay bằng các tỷ số hai lượng hữu hạn

af] Ah và cết Sa

"Từ số AF gọi la sai phân cắp n, mẫu số 41, 4, là các bước sai phân

Phương pháp sai phân trong bài toán phăng gọi là phương pháp lưới

Hình 1.2: Sơ đồ mạng lưới si phânPhương tình Sophie Germain đối với độ võng w đúng trên toàn bề mặt 8

„

nên cũng đúng tại các nút lưới, chẳng hạn tại điểm “O" sẽ có V'%

Phương tình viết dưới dạng sai phân khi lấy 4, = A= 4 sẽlà

20, Bom, tạ, tân +) 2% thụ thủ tp) + th tìm ch ABE, (L6)

Viết phương trình tương tự cho tt cả m nút nằm bên trong tắm, ta nhậnđược hệ m phương trinh dai số tuyển tính chứa m ấn số w tại các nút, một sốgiá trị của w tại những nút nằm tên chu vi tắm và tại những nút nằm ngoài

cách chu vi một bước sai phân Những trị số trên và ngoài chu vi được xác định theo các điều kiện biên.

Phương pháp biến phan

Phiết hàm là một đại lượng mà giá tr] của nó phụ thuộc vào một hoặc

nhiều hầm số cud một hoặc nhỉ độc tp

CCác hàm được gọi là các đối số hoặc đối số suy rộng, mién xác định của

phiém hàm là miễn xác định của các đối số Phiém hàm thường được biểu diễn đưới dạng ích phân xác định

Phiém hàm một đối số y(x) của một biển số độc lập x

an

‘Thi dụ: chiều dai đường cong tirA đến B (18)

TNBDDH của thanh chịu uốn asPhiếm hàm nhiều đối số yx, 19) của nhiều biển độc lập x

nằm trên mat cho bởi phương tình of y, £ 0 trong hệ toa độ Descartes;

bài toán đường đoán thời của I, Bemouilli: Tìm đường nối hai diém A, B

10không nằm trên một đường thing dig sao cho điểm vật chất trượt theo

đường này từ A tới sẽ mắt thi gian ngắn nhất

.# Phương pháp trực tgp giải bài toán bién phân

Nội dung của các phương pháp trực tiếp là thay thể vige giải các phương

trình vi phân Euler của bài toán biển phân, ta sẽ tìm cách thiết lập trực tiếp

sắc điều kiện cực tj của phiểm hàm khảo sát

hàm dừng

+Phương pháp Ritz-Timoshenko.

Giả thứ cần i cục tr của pgm hàm (01

Chon nghiệm đưới dang:

voo= Zane aan tam thời chưa xác doh, (la những hm sr chọn

Với: a; là các hà

miễn là thoả mãn ién xác định.ác điều kiện biên của bài toán (nằm trong

của phiểm hàm) Các hàm y(x)goi là hàm cơ sở, hay hàm toa độ Thay (1.11)

vào biểu thức của phiém hàm, sau khi tích phân ta nhận dược giá tị phiếmhàm / phụ thuộc vào các hằng số a, hoặc đại lượng / à một him của các sốa;, Điều kiện cực trị của J được biểu diễn bởi hệ các phương trình đại số

a

x " 12)

Giải hệ phương trình, ta cố các tị số ay thay chứng trở lại quan hệ

(1.11), ta tìm được nghiệm y(x) của bài toán biến phân

Phương pháp Bouvnov-Galerkin

Đây là một phương pháp để giải các phương tình vi phân Cơ sở củaphương pháp là vị

'Các hàm trực giao: Hai hàm số u(x), v(x) là trực giao trong khoảng [a,b] nếu.

sử dụng khái niệm về hàm trực giao.

lá»ea-o

s- Nguyên lý biến phân trong bài toán dan hồi

Trong Cơ học, nói chung, và tong Lý thuyết đàn hi, nói riêng, nănglượng của hệ là những phiém hàm của các đối số nội he, chuyển vi và biểnđạn Nguyên lý biển phân của lý thuyết din hồi là những điều kiện cực tr

của những phiém hàm năng lượng này.

“Trong nguyên lý tổng quát thi trường ứng suất, biến dạng, chuyển vị

thực là trường làm phiểm hàm năng lượng toàn phần (NLTP) đạt giá tị cực

Biểu thức NLTP của cả vật thể bằng tích phân trên toàn bộ thé tích vật

thể của năng lượng toàn phần riêng (NLTP trong một don vị thể tích) NLTP

xiên là phiém hàm của nhiều đối số suy rộng: ứng suất, chuyển vi biển dangcủa các biển số độc lập là các toạ độ x, y, Z

Nguyên lý biến phân riêng của bài toán đàn hồi chỉ khảo sắt những năng

lượng là phiém hàm của một sé các dối số (hoặc là các ứng suất hoặc là cácchuyển vị, biến dạng) Phương trình Euler Ostrogradski của bài toán biến

phân sẽ cho ta toàn bộ (khi dùng nguyên lý tổng quit) hoặc một phần (khi

ết dan hồi

dùng nguyên lý riêng) các phương trình cơ bản của lý thư)

+ Nguyên lý chuyển vi khả di Lagrange

Chuyên vị thực phát sinh trong vật thé là những hàm dừng của phiém

hàm thé năng toàn phần (TNTP)

E=U-A a3)

trong đó

U thé năng biến dang đàn hồi của vật thé

A công của ngoại lực

Trong bài toán tắm, khi tải trọng là lục phân bố vuông góc mặt trung

bình thì công ngoại lực

ljpcssse ay

“Thể năng biển dạng din hồi của ti

AE ays aw, 22, 4E ow atw"` ` +o aw

âu, SO Gy, aro aco

3)

Nghiệm của phương trình phải nằm trong miễn xác định của phiém hàm,nghĩa là phải thoả mãn tất cả các điều kiện biên của tắm Trong các thí dụcđưới đây ta sử dụng phương pháp trực tiếp dé giải bài toán

1.2.2 Lý thuyết nên

Mô hình nền là các mô hình tính toán biểu didn các quan hệ giữa độ lún

của nn và các phan lục nền, thể hiện cơ chế làm việc (biển dạng) của nén

cđưới tác dụng của ngoại lực đưới dạng các phương trình toán học.

———— ne

7

Hình 1.3: Mô hình nên

Để xây dựng nên các mô hình nén, ching ta phải chấp nhận một giả

thiết chung, đó là việc tính toán nền móng phải dựa trên giả thiết nén biếndạng đàn hồi tuyển tính Để điều này chấp nhận được chúng ta phải k

đã đưa ra di

chế áp lực nn mồng trong một mức nhỏ hơn Re (cơ học

kiện Ru<R.).

Có nhiều cách xây dựng quan hệ giữa độ lún S(x) và phản lực của nền

p(x) khác nhau cho nên cũng có nhiều phương pháp khác nhau để tính toán,

tuy nhiên hiện nay về cơ bản cổ 3 nhóm mô hình phổ biển

= Mô hình nén biến dang cục bộ (mô hình nền Winkler)

~ _ Mô hình nửa không gian biển dang tổng thể

= Mô hình lớp không gian biển dạng tổng thể

G đây chúng ta không di sâu phân tích các mô hình mà chỉ giới th

hình của Winkl

thuật Mô.

này không liên kết với nhau) Cơ chế của mô hình này được biểu diễn bằng

quan hệ

một mô hình dơn giản nhưng khá phù hợp với các bài

tình này quan niệm nén là một hệ vô số cá lô xo (các lò xo

Hình 1.4: Mô hình nền Winkler

P@)= CS) 19)

“4trong dé: +C: he sb lệ, gọilà hệ số nền

+ SOx): độ lún.

+p(x): Phản lực nền,Xác định hệ số nền k,

HỆ số nén ky là một đặc trưng cơ học tắt quan trọng của nền, Với nỗi

loại nền khác nhau, hệ số nền ky phải được xác định chính xác bằng thựcnghiệm hiện trường (khoan nền để lấy mẫu phân tích), hoặc có thể lấy gầnđúng bằng cách tra bảng có sẵn trong Bảng 1 |7]

Bảng 1.1: Hệ số nn ko

ic tính chung của nén Ten dit nin Hệ số no Ke (MN/m))

Dit chiy Dit có độ chat kém Dit mới dip les

Đắt số wt và mềm no

Dit có độ chặt rung biah | Si dip (akin wo) 3510

Dit sé âm Cit dim chật Đắt chat Sen, sôi 50+ 100

Dadam Đất sét có độ âm bé.

Bê tông và be tông edt 8000 + 15000 thép

‘Voi kết quả nghiên cứu thực nghiệm của Bowles, Tschebotarioff năm

1949 và của Rowe đã xác dinh được giá t của hệ số nên tăng theo dộ sâu 2.

Z- Độ sâu hữu ích phía dưới đắt

n- Số mũ để đưa ra ks phù hợp nhít, với giới hạn trên

"Ngoài ra có thể kể thêm một số kiến nghị khác để xác định k, theo những

én đổi theo chiều sâu

công thức sau:

A+ Bute (26) 420 Hay k,=A.+B.(ð0} q22)

trong đó:

te"(%) - tinh theo radian

n luôn luôn đương (không thé âm hoặc bằng không)

‘Theo giả thiết Winkler có th tính K, theo công thức gần đúng như sau:

= K4: Hay ky = ke= Me ay ko $e (123)

trong đồ:

k= 48 - Hệ số an toàn, với đất rời k = 2; với đất đính k = 3.4

hu ti giới hạn của nền dit

n= CN + §.Ny+057.B.N, 424)

dc

€ - lực dính của đất

3 - áp lực thẳng ding do trong lượng đất ở phía trên và phụ tải gây

y- dũng trong của dt

B -bé rộng của tường cử.

Nai Nụ Ny ~ hệ số sức chịu ải của nén, phụ thuộc vào góc nội ma

sắt va góc ma sat trong giữa trường và đắt 6,

inch Thay vào công thức (1.23) ta có:

(1) Biểu điễn giá tị và quy luật phân bổ của hệ số nỀn bằng một hàm náo

đó ở Liên xô (cd), Pháp và một số nước (huờng chọn quy luật phân bổ tang

tuyến tính theo chiều sâu.

(29)

nền lấy theo XNIP IL17.77 của Liên xô, nó

c rút ra từ thực nghiệm, và có phạm vi biển dỗi rộng.

k- Hệ số tỷ của hệ

du

Hình 1.5: Quy luật phân bồ hệ số nền.

Cling có thể đối với đắt rời thì dùng quy luật tăng tuyển tinh, đối với đắc

dinh thì K, = const Ngoài ra một số tác giả dé nghị giới hạn trên của ky là ấp lực bị động.

(2) Thiết lập mỗi quan hệ giữa hệ số nén với các đặc trưng cơ học của

mô hình bán không gian biển dạng tuyển tính là E và

Việc xác định quy luật phân bổ hệ số nền theo các hướng trên tương dối khó khan vì phạm vi biển đổi của nó khá rộng.

“Công thức k, của Bowles trên cơ sở phân tích những mô hình thực.

nghiệm là phù hợp hơn cả Nó xét đến những tính chit cơ lý của các loại đắtcũng như khả năng chịu tả giới hạn của nên Vì thể mà nó dang được sử dụngrộng ri trong tính toán dim trên nén dàn

1.2.3 Lý thuyế tắm trên nền

a Các mô hình nền

“rong nhiều bài toán, môi trường ở mặt dưới tắm có thé là ign tục: Nền

đất, nước hoặc vật th liên tục nào đó mà tim được đặt trên đó, ta gọi chung

là nén, Nền có thé là đàn hồi, đàn dẻo

‘Ta giả thiết rằng chuyển vị theo phương thẳng góc với mat trung bình của nén

sess) bằng độ võng wy) của tim: wy) = why)

“Trong tính toán, nền được thay bằng mô hình giả định, quy ước mang tinhchất đặc trưng của nền thực

~_ Nến Winkler: Nền đồn hỏi, phản lực hai chigu

Phan lực nền phân bố trên diện tích đáy của tắm, có cường độ tỷ lệ với

độ võng f(x,y) =iax.y), k được gọi là hệ số nên, có thứ nguyên F/L?.

Phươg nh ậnnênnên Winkler vo 2 aay

D

Mô hình này đơn giản, đúng với môi trường nước Nhược điểm là không kế

đến ảnh hưởng tương hỗ chung của toàn bộ nền (hình dung môi trường như một tập hợp vô cùng n kết lò xo như nhau đặt riêng lẻ theo

phương thẳng dig không có liên hệ với nhau).

~_ Nên bán không gian dan hồi

Sử dụng nghiệm bai toán Boussinessq khi coi nền là một bán không gian

đàn hồi có ng số din hii Ey 4 ta có quan hệ giữa lục và độ lún của mặt

nin tại điểm có khoảng cách d tới điểm đặt lực

sa PB

_ (132)

“Trên mặt giới hạn của bán không gian, nếu điểm dat lực có toa độ (xe;c) thì

khoảng cách từ điểm tính lún (x,y) tới điểm đặt lực là

Bale) Hye" (133)

Độ lún tại điểm (x.y) do phan lực nền tại điểm (7,2) gây ra là

L (1.34) Veo 0

Độ lún do phan lực nén trên toàn bộ điện tích đáy tắm gây ra sẽ là

_—MĐ— jụ; 135)

ng

cùng với phương trình uốn của tắm

ta có hệ 2 phương tình vi tích phân đối với 2 dn số là độ võng và phản lực

Mô hình nền bán không gian din hồi có thể sử dụng khi nền đồng nhất có tính

chất gân với vật thé đàn hoi, tuy nhiên với nền đất thì việc xác định đặc trưng.

Ey su chi là hết sức gần đúng

= Mô hình nên hai hệ số

‘Theo mô inh này khi tinh phản lực nền ngời ta đã kể ảnh hưởng của

ứng suất tiếp đến biển dạng, độ lún của nén, Phan lực nền được tính theo biểu

thức: Fly) = Cw Cw dân)

Cy hệ số nền thứ nhất, có thử nguyên Lựe/ Chiều dài

hệ số nễn thứ hai, có thứ nguyên Lực Chiều dài

Phuong trình độ võng sẽ là: DV4w + Gy C,V8w= play) (138)

Tân chữa nhật liên tục trên nễn đần hồi

Ta coi dim có dang mặt cắt hộp chữ nhật bị ép trên nên dan hội bởi lực P như trên hình 1.5 là một ví dy về tắm tiên nỀn đàn hỗ tựa ở chủ vỉ chữ nhật Tắm phía dưới của dim chịu phản lực dan hồi của nỀn và tựa vào thành thẳng đứng ngang qua hộp Vách này trên hình về được biểu diễn bằng nét dit Khí nghiên cứu

chịu udn loi tương tự như thể, cũng như tên, ta gid thế cường độ phản lực của

ác tắm

nên đàn hồi tại một điểm nào đó tỷ lệ với độ võng øti điểm đó, ức là

trong đó k là mô đun nén,

trong dé q là cường độ tải trọng ngang.

Ta bắt dẫu từ trường hợp được mô tà tên hình 15 Nếu gọi øo là độ võng ở canh tấm đưới, cồn œ là độ võng của tắm này so với mặt phẳng chứa các cạnh, thì ccường độ phản lực nén tại một điểm nào đó được biểu thị bằng tích kí/2o+ «) và ta viết phường tình (1.39) dưới dạn

+ 4 aro= (a, —ø) (40)

“Chọn trực tọa độ như hình vẽ, và giả sử cạnh tắm tựa tự do song song vớ trục

y, côn hai cạnh kia bị ngàm, ta có điều kiện biên

a) : ø (1.42)

to 9-02

iy độ võng dưới dang chuỗi

mac (143)

+5)

‘Chudi thử nhất ở về phải là nghiệm riêng của phương trình (1.40), đấy là độ.

‘ong cũa một di tựa tự do nim trên nên dan hồi Chuỗi thứ há là nghiệm của phương tình than nhất

2 = Vata ta, Dyn aul + ase, 147

‘Va ấy nghiệm của phương tình (1-45) dưới dạng eta được bốn nghiệm của r

như sau: Brin, Bri, 8~iy,~8~iy (1448)

Bốn nghiệm riêng độc lập tương ứng của phương trình (1.45) sẽ là:

cosy,y, cosy», eM siny.y, ế 29 s7 (149)

"ng thôi ta Ii có thể vit chúng dưới dạng saw

ch, yeosy„y, sh/l,vcosz„y, ch,ysin7„y, sh/1,ysiA„y, (1.50)

Do tính đối xứng nên ta có thể kết luận Yq trong trường hợp của ta sẽ là ham chin của y Bởi vậy, néu dùng nghiệm (1.50), ta được:

¥,, = A,chf,yc0sy„ y + B,shB, YSN ÿ„y g5)

Và độ võng của tắm là

+A„lf,yeos„ vi ByshB,ysing,y| (52)

Biểu thức này thỏa mãn diễu kiện biên (1.41), Dé thỏa man diễu kiện (1.42),

còn phải chọn những hằng số Aw và Bu sao cho phương trình sau được nghiệm

đúng

rab

1.53)

LG l Bob sn Zab (And + Brahh a? 070? (4.7, + Bp Jn POP sin 7

Thay tr số An và Ba vào phương ình (1.52), ta được độ võng cần dim của tắm Cũng xuất phá từ phương tình (1.39) ta có thể gái được bài toán về tâm chữ nhật tựa tự do trên toàn bộ chu vỉ Dùng lời giải Navié, độ võng của tắm sẽ được biểu thị bằng chuỗi:

o- Dd As gin MO (54)

Lấy chuỗi tương tự

ràng d5)

Biểu diễn sự phân bổ tải tong đãcho, còn chuỗi:

p=ko=ŸŠ „ sin sin (1:56)Biểu thị phản lực của nền Đưa chuỗi (1.54) vào về tri, và các chuối (1.55) và

(1.56) vào về phải phương trình (1.39), ta út

Khi đã biết độ võng của thm dưới tác dụng của một lực tập trung, bằng phương tình ching chất ta có thể tính được độ võng do ải trong ngang có dang bit

kỷ Chẳng han ta xét

Hình 1.7: Mô hình tính độ võng của tim chữ nhật chịu tai trọng ngang

“Trường hop tải tong phân bổ đễu, cướng độ q Thay ch qd£d vào vị tí của P

trong biểu thức (1.59) rồi lẫy tích phân theo cân từ 0 đến b, ta được:

PA fog AP(coh oan (1.62)

Là độ võng của một di có chiễu rộng đơn vị và võ hạn song song với trục y

Wook

chịu lự Pía đặ tại điểm y=0, Các số hạng còn lại của chi phải thỏa mãn yêu cần

«i xứng, Theo yêu clu này, tại những dim đặt tải wong, cũng như tại những điểm,

ở giữa chúng, tếp tuyền với mặt võng x phải có độ dốc bằng không, nghĩa là tiếp tuyển nằm ngang

Các nghiệm riêng (1.49) của các hầm Yq được lấy sao cho các nghiệm này tới

tới không khi các giá trị y tiến tới vô cùng Khi ấy

Để thỏa mãn điều kiện đối xứng (80/2) uo trong biểu thức trên phải có:

44 phin bổ của le cất tương tự ta có th biểu thị ực et này bằng chuỗi

“Tất nhị 8 của nó được.dim đặt ải trong P sẽ có độ võng lớn nhất và giá

Xác định bằng cách thay vào biểu thức (w) (1.70) và ta được;

“Trường hợp đặc biệt, chỉ duy nhất một lục tập tung P tác động lên tắm vô hạn,

vo Lúc này số

cũng có thé tìm ra độ võng từ công thức (1.71), nếu rong đó đặt

tối không và nếu ding ký hiệu (1.47) ta được:

$=0,1ađi đến trường hợp lực tp trang

Trường hợp tết điện đặt lực là hình vuông u xu, cần thay e bằng 0,57

Trường hop các lve P cách đều nhau đặt trên cạnh của âm nữa vô hạn, ta cũng ấp

‘dung được cách tính toán này Nếu khoảng cách a lớn, công thức cuỗ cũng tính ng uất kéo lớn nhất, tại mặt cất dưới của tắm, ở it dS ải trong có dạng:

; BY

07 d7

Hình 1.8: Mô hình tính của tắm chữ nhật chịu tải cách déu nhau

trong đồ b được tính như trường hợp trước, còn e là bán kính nửa dường tròn mà ta coi lực P phân bổ đều trên đó, Các công thức (1.76) và (1.77yấtthuận tiện khi thit

kế đường bê tổng, hơn nữa ở trường hợp này hình tròn có bán kính c là diện tích tiếp xúc của bánh xe với mặt dường

“Tắm chịu tốn nằm trên nén dan hồi là nửa vO hạn Cho đến dy a vẫn giả thiết

độ lún ti một điểm xác định trên nề tỷ lệvới áp lực của tắm lên nn tại điểm đó và như vậy, nó không phụ thuộc vào sự phân bổ lực ở những vị tí khác Điễu này đúng với tấm nỗ trên bề mật chất lông, nhumg nếu là một vật iệu dinh kết tủ giả thiết này khá thô thiển đối với nh bình chị lục thực Ế của adn, Nên dõi khi để dạt mức độ chính xác cao hơn ta đưa vào các gi thiết sau

~ Nền có tính chất của một vật đàn hồi nữa vô hạn.

“Timm nằm trên nên không ma sắt

-Sự tiếp giáp giữa tắm và nén vẫn tồn tại ngay cả khi có áp lực tương hỗ mang dấu âm

lắm, tuy nhiên,

trong thực , trọng lượng của ắm đã bi trừ đi nhiễu áp lực âm giữa tắm và nb,

Có thé đặc trưng tín hướng ) bằng mô đàn hi của nên ( nếu coi nền là di dun Yang Ep và hệ số Poat xông v Các giá t gin đúng bằng hằng số của các hing

số phụ thuộc vào bản chất vt liệu nén được tim thấy tử kết quả thực nghiệm động lực học và được ghỉ trong bảng 63 cùng với hing số

(1.78)

‘Ta cũng giới hạn phạm vi nghiên cứu trong trường hợp tắm lớ vô hạn có trục

<i xứng Đưa vào toa độ cục r, 2, ta biéu thị phương tình của tắm bằng bệ thúc

Darolr)=a(e)~ ple) (179)

“Trong đó q) là ải trong phân bổ đã cho, còn pi) là phản lục in.

Goi Kal r,ø,ø) là độ võng tại diễm(0) trên mặt nỄn, do tải rọng đơn vị theo phương pháp tuyển đặt ở( 2,ø) cũng trên nên gây ra Dạng hàm * hàm ảnh hưởng”

Ko chỉ phụ thuộc vào bản chit của him Betxen ta có thể chứng minh dược phương, trình (1.77)

Được thoa mãn bởi biểu thức

Dé vôi dang bat 1155 — 1,330 | 032-038 | 644-770

(bj tôi trong không khí)

Sa thạch "2 026 602

Can s à khoảng cách giữa các điểm (r0) và (2,0) Sau cùng

0(2)=4(ø)1,(ap)pdp (182)

Là thông số phụ thuộc vào cường độ q2) của tải trọng đổi xứng tạ r =p

“Trường hợp đặc biệt, tải trọng P phân bổ đều trên đường cong bán kính ¢, ta có:

‘Con về sự phân bổ phản lực nền, tì ta rút hầm g(r) tong ứng từ phương trình

(1.79); vi số hạng đầu của hiệu

a0) = f(a), ate (1.86)

“Cũng được biểu thị như trước đây qua phép biến đội Fuarié— Betxen,

flea (1.88)

Teal

“Thỏa mãn phương tình vi phân của tắm nỗi

Đối với môi tường ding hướng nữa vô han, do kết quả của Buhinexcø,

Ki(s)=(I-vg) a, còn từ phường tình (81) (a)

“Trị số này khác với 0,125PP/D là trị số mà Hee xơ đã thu được Trực tiếp xác định.

sự phân bố áp lực từ biễu thức tổng quát (1.87)

1.3 Bài toán dao động.

1.3.1 Khái niệm và phân loại bài toáu dao động.

ái Khải niệm

CCác bài oán đầu tiên về dao động trong lĩnh vục kết cấu xuất biện từ

nửa thể kỷ 19, tuy nhiên thời kỹ đó các bài toán tĩnh vẫn thu hút được sự quan

tâm của các nhà nghiên cứu hơn so với bài toán động Cho dén những năm 30

sỹ 20, môn động lục học công trình mới được coi như một phn tiêng

vực cơ kí

đơn giản dẫu tiên về động lực học công trình là nghiên cứu cáchtính dao động cho sơ dé kết cấu dim, tiếp đó là các loại kết cấu thanh phúc.tạp hơn như dần vòm khung, dim liê tụ Trong thực ta thường phải giảicquyết các bài toán về dao động công tình khi thiết kế xây dựng các công trình

như nhà máy thủy điện, trạm bơm chịu tác dụng của tải trọng động (tua bin,

máy phát

Khi tính toán một hệ ta phải tính trên sơ đồ tính toán Muỗn đưa sơ đỗthực tế về sơ đồ tính toán ta phải đơn giản hóa một số điều kiện trong mức độgan đúng cho phép

Dao động của trạm bơm có thể chia ầm 2 loại là dao động tự do và đao động cưỡng bức

= Dao động tư do là dao động không chịu tác dụng của ngoại lực biển đổi

theo thời gian Lực này gọi là lự kích thích.

Dao động cưỡng bức là dao động dưới tác dụng của lực kích thích

b, Phân loại dao động.

Do tải trọng tác dụng có tính chất khác nhau đồng thời cấu tạo kết cầucũng có nhiễu hình thúc khác nhau nên dao dng của công trình cũng có thể

số nhiều dang khác nhau

Tay theo cách quan nigm ta có thé phân loại dao động theo nhiều cách

khác nhan như sau:

+ Theo biểu dé dao động gồm

= Dao động rồi loạn,

+ Theo tính chất của nguyên nhân gây ra dao động gồm:

Dao động tự do (hay dao động riêng) là dao động sinh ra bởi lực kích dong đột ngột hoặc bắt kỳ rồi bỏ tức thời

Dao động cưỡng bức là dao động sinh ra bởi các ngoại lực tác động theo

một quy luật nào đó không phụ thuộc vào chuyển động và tồn tai trong suốt qui trình dao động Các lực tác động này có thé là lực thay đổi theo chu kỳ

hoặc không theo chu kỷ, có thé là lực thay đổi đột ngột

“Tự dao động hay còn gọi là dao động tự kích thích là loại dao động xuất

hiện các lực tự do bản thân chuyển động gây ra và tit di khi ngừng chuyển

động,

Dao động ngẫu nhiên là loại dao động xuất hiện do các nguyên nhân bên ngoài tác động có tính chất ngẫu nhiên.

‘Theo sự tồn tại hay không tổn tại các lực côn gồm:

Dao động có lực cản là dao động bị mit một số năng lượng do ảnh

hưởng của cin của môi trường dao động, do ma sát của các liên kết , do ma

sắt nội bộ.

“Theo bậc tự do của hệ gdm

Diao động ngang khi dao động này gây chuyển vị đọc theo trục của kết cầu

‘Theo dạng của phương tình vi phân mô ta dao động gồm:

Dao động tuyển tinh khi phương trình vi phân mô tả dao động là tuyếntính, đao động phi tuyến khi phương trình vi phân mô tả dao động là phi

tuyển

‘Theo khả năng thay đổi của các thông số của hệ gầm:

Cá thông số à các dại lượng liên quan dén việc biểu diễn dao động của

hệ, có thể có độ cứng Nếu các thông số của hệ không dỗi trong quá tìnhchuyển động thì dao động được gọi là dao động không có thông số Nếu các

thông số của hệ thay đổi theo thời gian với một quy luật nào đó thì dao động

.được gọi là dao động có thông số.

Khái nigm và các phương pháp tinh dao động công trình

Trong dao động công trình có hai phương pháp tính cơ bản là phương

pháp tinh và phương pháp năng lượng

Phương pháp tỉnh

Phương pháp này dựa trên cơ sở nhưng nguyên tắc cân bằng tah lựctrong đó bổ sung thêm các lực quán tính viết theo nguyên lý Ddalambe, Nhưvậy các phương trình cân bằng tinh học sẽ trở thành các phương trình cânbằng động Di với hệ phẳng, các phương tình cân bằng động có dạng

x là mô men quán tính của khối lượng m đối với trục u;?s là

khoảng cách từ phân tổ khối lượng dm đến trực w

2Đối với bai toán không gian, ta có thể thiết lập các diễu kiện cân bằngtheo nguyên tắc tương tự như trên, nhưng khi đó có 6 phương tình cân bằng

động

+ Phương pháp năng lượng

Phương pháp năng lượng được xây dựng trên cơ s 4p dụng định luật

bảo toàn năng lượng; tổng thé năng và động năng của hệ trong quá tình dao động là không dải.

(198)

trong đó

K là động năng của hệ khi dao động,

U là thế năng của hệ

4 Bậc tự do của hệ dan hồi

Bậc tự do của hệ din hai là số thông số độc lập cin thiết để xác định vịtrí tắt cả các khối lượng trên hệ đó Ta có thể xác định số bậc tự do bằng tổngcác liên kết tối thiểu đặt thêm vào hệ tại vị tí các khối lượng để sao cho tắt

sả các khối lượng đó tr thành bắt động

1.3.2 Cúc bài toán dao động

Cac các bài toán dao động cơ bản sau:

đàn hồi tuyển tính một bậc tự do chịu lực cân nhớt tuy tính Trong đó, C là

hệ số cản có thứ nguyên là [ lực x thời gian/ chigu dài J; K là độ cứng của hệ,

là giá trị lực đặt tĩnh tại khối lượng làm cho khối lượng dịch chuyển một

lượng bằng đơn vị, v có thứ nguyên là [ Lực / chi