Tính toán dao động tuần hoàn và rẽ nhánh ủa một số mô hình dao động trong máy

Tính toán và khảo sát rẽ nhánh dao động tuần hoàn của một số hệ cơ học phi tuyến bằng phương pháp trung bình hoá.... Luận án này sẽ nghiên cứu các phương pháp số, tính tốn dao động tuần

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI



HOÀNG MẠNH CƯỜNG

TÍNH TOÁN DAO ĐỘNG TUẦN HOÀN

VÀ RẼ NHÁNH CỦA MỘT SỐ MÔ HÌNH

DAO ĐỘNG TRONG MÁY

LUẬN ÁN TIẾN SỸ KỸ THUẬT

HÀ NỘI – 2011

Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! 17061131430851000000

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI



HOÀNG MẠNH CƯỜNG

TÍNH TOÁN DAO ĐỘNG TUẦN HOÀN

VÀ RẼ NHÁNH CỦA MỘT SỐ MÔ HÌNH

DAO ĐỘNG TRONG MÁY

Chuyên ngành: Cơ học kỹ thuật

Mã số : 62.52.02.01

LUẬN ÁN TIẾN SỸ KỸ THUẬT

Người hướng dẫn khoa học:

GS.TSKH Nguyễn Văn Khang

HÀ NỘI – 2011

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu khoa học của riêng tôi và chưa được công bố trong bất cứ công trình nào khác Các số liệu, kết quả nêu trong luận án là trung thực

Tác giả luận án

Hoàng Mạnh Cường

MỤC LỤC

Trang

Danh mục các ký hiệu và chữ viết tắt IV

Danh mục các hình ảnh V

Danh mục các bảng biểu VII

Mở đầu 1

Chương 1 Tính toán dao động tuần hoàn và ổn định động lực của một số hệ cơ học tuyến tính hệ số tuần hoàn 3

1.1 Lý thuyết về sự ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số

tuần hoàn 4

1.1.1 Khái niệm ổn định Liapunov 4

1.1.2 Các định nghĩa và các định lý cơ bản về hệ phương trình vi phân tuyến tính 5

1.1.3 Cơ sở lý thuyết Floquet về hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số tuần hoàn 7

1.1.4 Sự ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số tuần hoàn 8

1.1.5 Tính toán điều kiện ổn định bằng phương pháp số 9

1.2 Phương pháp số tìm nghiệm tuần hoàn của hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số tuần hoàn 11

1.2.1 Phương pháp số tìm điều kiện đầu của nghiệm tuần hoàn 11

1.2.2 Phương pháp số tìm nghiệm tuần hoàn 13

1.3 Tính toán dao động tuần hoàn của một số hệ dao động tham số trong máy 14

1.3.1 Dao động tham số của bộ truyền bánh răng một cấp 14

1.3.2 Dao động tuần hoàn của bộ điều chỉnh bằng cơ cấu cam 20

1.3.3 Tính toán dao động xoắn của hệ trục máy tàu thuỷ 27

1.4 Kết luận chương 1 43

Chương 2 Tính toán dao động tuần hoàn của một số hệ cơ học phi tuyến mạnh bằng phương pháp bắn 44

2.1 Phương pháp bắn đơn giải bài toán điều kiện biên 44

2.1.1 Bài toán điều kiện biên của hệ phương trình vi phân thường 44

2.1.2 Phương pháp bắn đơn tìm nghiệm bài toán điều kiện biên 45

2.2 Tìm nghiệm tuần hoàn của các hệ phương trình vi phân phi tuyến bằng phương pháp số 49

2.2.1 Tìm điều kiện đầu của nghiệm tuần hoàn bằng phương pháp bắn 50

2.2.2 Tìm nghiệm tuần hoàn 57

2.2.3 Các thí dụ áp dụng 58

2.3 Sự ổn định của nghiệm tuần hoàn 60

2.3.1 Đối với hệ không ôtônôm 60

2.3.2 Đối với các hệ ôtônôm 61

2.3.3 Thuật giải khải sát sự ổn định của nghiệm tuần hoàn 62

2.3.4 Các thí dụ áp dụng 63

2.4 Tính toán dao động tuần hoàn của một số hệ cơ học phi tuyến 65

2.4.1 Dao động tuần hoàn của hệ Rôto-Móng máy 65

2.4.2 Tính toán dao động tuần hoàn của các hệ tuyến tính từng khúc 69

2.4.3 Tính toán dao động tuần hoàn trong bộ truyền bánh răng một cấp với độ cứng ăn khớp thay đổi theo thời gian và có kể đến khe hở 71

2.5 Kết luận chương 2 78

Chương 3 Tính toán và khảo sát rẽ nhánh dao động tuần hoàn của một số hệ cơ học phi tuyến bằng phương pháp trung bình hoá 79

3.1 Phương pháp trung bình hoá trong lý thuyết dao động phi tuyến 79

3.1.1 Thí dụ mở đầu 80

3.1.2 Dạng chuẩn Lagrange-Bogoliubov 81

3.1.3 Trung bình hoá trong trường hợp hàm f(t,y) tuần hoàn 82

3.1.4 Trung bình hoá trong trường hợp hàm f(t,y) tổng quát 82

3.1.5 Các nghiệm tuần hoàn và sự ổn định của chúng 84

3.2 Lý thuyết rẽ nhánh của điểm cố định 84

3.2.1 Các khái niệm mở đầu 84

3.2.2 Các dạng rẽ nhánh một thứ nguyên trong hệ một phương trình vi phân cấp một 87

3.2.3 Rẽ nhánh một thứ nguyên của hệ n phương trình vi phân cấp 1 93

3.2.4 Rẽ nhánh Hopf trong hệ n phương trình vi phân cấp một 93

3.3 Tính toán dao động tuần hoàn và khảo sát rẽ nhánh của chúng trong một số hệ dao động phi tuyến 97

3.3.1 Rẽ nhánh nút-yên ngựa trong các hệ Duffing 97

3.3.2 Rẽ nhánh nút-yên ngựa trong các hệ Mathieu 101

3.3.3 Rẽ nhánh nút-yên ngựa và rẽ nhánh Hopf loại 2 trong các hệ van der Pol-cưỡng bức 105

3.3.4 Rẽ nhánh nút-yên ngựa và rẽ nhánh Hopf loại 2 trong các hệ van der

Pol-Duffing 110

3.4 Kết luận chương 3 114

Chương 4 Tính toán và khảo sát rẽ nhánh dao động tuần hoàn trong các hệ cơ học phi tuyến bằng phương pháp bắn 115

4.1 Lý thuyết rẽ nhánh của nghiệm tuần hoàn 115

4.1.1 Rẽ nhánh phá vỡ tính đối xứng 117

4.1.2 Rẽ nhánh nếp gấp-chu trình 119

4.1.3 Rẽ nhánh chuyển qua giới hạn 120

4.1.4 Rẽ nhánh nhân đôi chu kỳ 121

4.1.5 Rẽ nhánh Hopf loại hai hoặc rẽ nhánh Neimark 122

4.2 Khảo sát rẽ nhánh của nghiệm tuần hoàn bằng phương pháp số 123

4.2.1 Thuật toán số phân tích rẽ nhánh của nghiệm tuần hoàn 123

4.2.2 Ví dụ 135

4.3 Tính toán và khảo sát rẽ nhánh dao động tuần hoàn trong một số hệ dao động phi tuyến 128

4.3.1 Rẽ nhánh nhân đôi chu kỳ trong hệ tuyến tính từng khúc 128

4.3.2 Khảo sát rẽ nhánh của bộ truyền bánh răng một cấp khi có kể đến khe hở 134

4.4 Kết luận chương 4 143

Kết luận 144

Danh mục công trình của tác giả 146

Tài liệu tham khảo 147

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT

T Động năng của cơ hệ 

  Thế năng của cơ hệ

  Hàm hao tán của cơ hệ

  Vận tốc góc của khâu dẫn hay tần số của lực kích động

 Véc tơ giá trị đầu tương ứng với nghiệm tuần hoàn của hệ phi tuyến

Re Phần thực của nhân tử đặc trưng 

Im Phần ảo của của nhân tử đặc trưng 

a Biên độ của dao động 

DANH MỤC CÁC HÌNH ẢNH

Hình 1.1: Hình ảnh quỹ đạo ổn định theo nghĩa Liapunov

Hình 1.2: Hình ảnh quỹ đạo không ổn định theo nghĩa Liapunov

Hình 1.3: Mô hình dao động của bộ truyền bánh răng một cấp

Hình 1.4-1.7, 1.9: Các kết quả tính toán dao động của bộ truyền bánh răng một cấp Hình 1.8, 1.10: Kết quả đo bằng thực nghiệm dao động của bộ truyền bánh răng một

cấp

Hình 1.11: Sơ đồ nguyên lý của bộ điều chỉnh trong máy rèn dập

Hình 1.12: Mô hình động lực học của bộ điều chỉnh trong máy rèn dập

Hình 1.13-1.16: Kết quả tính toán dao động của bộ điều chỉnh trong máy rèn dập Hình 1.17: Sơ đồ truyền động của máy tàu thuỷ

Hình 1.18: Sơ đồ lực tác dụng lên cơ cấu trục khuỷu-thanh truyền

Hình 1.19: Sơ đồ động học của cơ cấu trục khuỷu-thanh truyền

Hình 1.20: Mô hình dao động xoắn của hệ trục máy tàu thuỷ

Hình 1.21-1.26: Các kết quả tính toán dao động xoắn của hệ trục máy tàu thuỷ Hình 2.1: Sơ đồ khối mô tả thuật toán của phương pháp bắn đơn tìm điều kiện đầu

của nghiệm tuần hoàn đối với hệ không ôtônôm

Hình 2.2: Sơ đồ khối mô tả thuật toán của phương pháp bắn đơn tìm điều kiện đầu

của nghiệm tuần hoàn đối với hệ ôtônôm

Hình 2.3: Nghiệm tuần hoàn của hệ Van der Pol một bậc tự do

Hình 2.4: Nghiệm tuần hoàn của hệ dao động Duffing

Hình 2.5: Mô hình dao động của hệ Rôto-móng máy

Hình 2.6: Dao động tuần hoàn của hệ Rôto-móng máy

Hình 2.7: Mô hình cơ học của hệ tuyến tính từng khúc

Hình 2.8: Dao động tuần hoàn của hệ tuyến tính từng khúc

Hình 2.9: Mô hình dao động của bộ truyền bánh răng khi có kể đến khe hở

Hình 2.10-2.12: Kết quả tính toán dao động của bộ truyền bánh răng một cấp khi có

kể đến khe hở

Hình 3.1: Sơ đồ thay đổi các giá trị riêng theo tham số rẽ nhánh

Hình 3.2, 3.3: Biểu đồ rẽ nhánh nút-yên ngựa

Hình 3.4: Biểu đồ rẽ nhánh chuyển qua tới hạn

Hình 3.5, 3.6: Biểu đồ rẽ nhánh hình dĩa

Hình 3.7: Hình ảnh thay đổi tính chất ổn định khi đi qua rẽ nhánh Hopf

Hình 3.8: Sự hình thành một chu trình giới hạn ổn định khi đi qua rẽ nhánh Hopf Hình 3.9: Biểu đồ rẽ nhánh Hopf

Hình 3.10: Biểu đồ rẽ nhánh của hệ Duffing

Hình 3.11: Biểu đồ rẽ nhánh của hệ Mathieu

Hình 3.12: Biểu đồ rẽ nhánh của hệ Van der Pol-cưỡng bức

Hình 3.13: Biểu đồ rẽ nhánh của hệ Van der Pol-Duffing

Hình 4.1: Các hình ảnh nhân tử Floquet dời vòng tròn đơn vị khi tham số rẽ nhánh

thay đổi

Hình 4.2: Biểu đồ rẽ nhánh phá vỡ tính đối xứng của nghiệm tuần hoàn

Hình 4.3, 4.4, 4.5: Nghiệm tuần hoàn trước và sau rẽ nhánh phá vỡ tính đối xứng Hình 4.6: Biểu đồ rẽ nhánh nếp gấp-chu trình của nghiệm tuần hoàn

Hình 4.7: Biểu đồ rẽ nhánh chuyển qua tới hạn của nghiệm tuần hoàn

Hình 4.8, 4.9, 4.10, 4.11: Quỹ đạo pha của dao động trước và sau rẽ nhánh nhân đôi

chu kỳ

Hình 4.12: Biểu đồ rẽ nhánh của nghiệm tuần hoàn của hệ Van der Pol-Duffing Hình 4.13-4.16: Đồ thị nhân tử Floquet phu thuộc tham số rẽ nhánh của hệ Van der

Pol-Duffing

Hình 4.17: Mô hình dao động của hệ tuyến tính từng khúc

Hình 4.18, 4.24: Biểu đồ rẽ nhánh của hệ tuyến tính từng khúc

Hình 4.19, 4.25, 4.26: Đồ thị nhân tử Floquet phụ thuộc tham số rẽ nhánh của hệ

Hình 4.34, 4.40, 4.47: Đồ thị nhân tử Floquet phụ thuộc vào tham số rẽ nhánh của

bộ truyền bánh răng một cấp khi có kể đến khe hở

Hình 4.35-4.38, 4.41-4.45: Các nghiệm tuần hoàn của hệ dao động của bộ truyền

bánh răng khi có kể đến khe hở trước và sau các giá trị rẽ nhánh

DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU

Bảng 1.1: Sơ đồ thuật toán của phương pháp Runge-Kutta-Nystr m ö

Bảng 1.2: Các hệ số trong chuỗi Fourier của độ cứng ăn khớp trong bộ truyền bánh

răng một cấp

Bảng 1.3: Các hệ số trong chuỗi Fourier của hàm kích động e(t) trong bộ truyền

bánh răng một cấp

Bảng 1.4: Các hệ số trong chuỗi Fourier của hàm truyền bậc nhất của cơ cấu cam

trong bộ điều chỉnh của máy rèn dập

Bảng 1.5: Các hệ số trong chuỗi Fourier của mômen kích động xoắn trong hệ trục

máy tàu thuỷ

Bảng 2.1: Các hệ số trong chuỗi Fourier của độ cứng ăn khớp trong bộ truyền bánh

răng một cấp khi có kể đến khe hở

Bảng 2.2: Các hệ số trong chuỗi Fourier của hàm kích động e(t) trong bộ truyền

bánh răng một cấp khi có kể đến khe hở

MỞ ĐẦU

Do tốc độ làm việc của máy móc ngày càng cao và xu hướng giảm trọng lượng của máy, nên các vấn đề về động lực học máy nói chung và dao động máy nói riêng trở nên hết sức quan trọng

Các mô hình dao động của máy ở chế độ chuyển động bình ổn thường được

mô tả bởi các phương trình vi phân phi tuyến Việc áp dụng các kết quả của động lực học phi tuyến vào khảo sát các hệ dao động cơ học đang được nhiều người quan tâm nghiên cứu Vấn đề xác định các chế độ dao động tuần hoàn phi tuyến và sự rẽ nhánh của nghiệm tuần hoàn trong các hệ dao động máy là bài toán có ý nghĩa về mặt khoa học và thực tiễn trong ngành cơ khí

Ngay từ nửa đầu thế kỷ 20, nhiều nhà khoa học đã quan tâm nghiên cứu các bài toán dao động và ổn định của các hệ phi tuyến yếu [6], [7], [16], [21], [27], [49], [58], [60] Với sự phát triển của tin học, các phương pháp tính toán dao động phi tuyến mạnh nói riêng và tính toán động lực học phi tuyến nói chung đã được nghiên cứu nhiều trong vòng 30 năm trở lại đây Các nhà toán học đã thu được nhiều kết quả đặc sắc trong lĩnh vực khoa học này Nhiều kết quả về lý thuyết rẽ nhánh, lý thuyết ổn định phi tuyến, lý thuyết dạng chuẩn phi tuyến và đa tạp trung tâm, chuyển động hỗn độn v.v… đã được công bố [3], [4], [8], [12], [17], [19], [24], [28], [43], [44], [46], [55], [58], [59], [63], [64], [80]-[83] Một loạt các phương pháp tìm nghiệm tuần hoàn của các hệ phi tuyến mạnh như phương pháp bắn, phương pháp sai phân hữu hạn, phương pháp ánh xạ Poicaré, phương pháp cân bằng điều hoà gia lượng, phương pháp ánh xạ ô v.v… đã được nghiên cứu [1], [2], [22], [23], [30], [31], [34], [44], [45], [47], [48], [51], [56], [64], [65], [66] Tuy vậy việc ứng dụng các kết quả nghiên cứu về động lực học phi tuyến của các nhà toán học vào các hệ vật lý và các hệ cơ học vẫn còn là vấn đề đang được nhiều người quan tâm nghiên cứu Đặc biệt là việc áp dụng các phương pháp số, tính toán dao động tuần hoàn và rẽ nhánh của các mô hình dao động phi tuyến mạnh trong máy là vấn đề rất thời sự hiện nay

Luận án này sẽ nghiên cứu các phương pháp số, tính toán dao động tuần hoàn

và khảo sát rẽ nhánh nghiệm tuần hoàn của một số mô hình dao động trong máy Đây là một hướng nghiên cứu mới, phù hợp với hoàn cảnh cụ thể của nước ta Ngoài phần mở đầu, kết luận chung, tài liệu tham khảo, nội dung luận án gồm

4 chương như sau

Trong chương 1, trình bày các thuật toán số, dựa trên phương pháp Kutta bậc 4 để tìm nghiệm tuần hoàn của các hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ

Runge-số tuần hoàn, sau đó kết hợp với lý thuyết Floquet về hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số tuần hoàn, khảo sát sự ổn định của các nghiệm này Trong chương 2, trình bày phương pháp bắn đơn tìm điều kiện đầu của nghiệm tuần hoàn trong các

hệ dao động phi tuyến, từ đó tìm nghiệm tuần hoàn của các hệ phi tuyến bằng phương pháp số Chương 3, trình bày việc áp dụng các phương pháp trung bình hoá, tính toán và khảo sát rẽ nhánh của nghiệm tuần hoàn trong một số hệ dao động phi tuyến yếu Chương 4, trình bày thuật toán số dựa trên phương pháp bắn đơn, khảo sát rẽ nhánh của một số hệ dao động phi tuyến mạnh

Tác giả luận án xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với GS TSKH Nguyễn Văn Khang, người thầy hướng dẫn khoa học đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả

về mọi mặt trong suốt thời gian thực hiện luận án

Xin trân trọng cám ơn Viện Sau đại học, Bộ môn Cơ học ứng dụng Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, Bộ môn Cơ học Trường Đại học Hàng hải Việt Nam đã giúp đỡ, tạo điều kiện về mọi mặt để luận án hoàn thành đúng hạn

Xin chân thành cám ơn các thầy, các bạn bè, đồng nghiệp đã quan tâm, động viên giúp đỡ tác giả nhiều mặt để luận án được hoàn thành

Chương 1 TÍNH TOÁN DAO ĐỘNG TUẦN HOÀN VÀ ỔN ĐỊNH ĐỘNG LỰC CỦA

MỘT SỐ HỆ CƠ HỌC TUYẾN TÍNH HỆ SỐ TUẦN HOÀN

Các phương trình vi phân mô tả dao động của hệ nhiều vật là một hệ phương trình vi phân cấp hai phi tuyến đối với cả các toạ độ độc lập và phụ thuộc [11], [18], [36], [68], [79], [89], thường có dạng như sau:

( , t)  ( , , t) ( , , t)

Nghiệm của các phương trình vi phân phi tuyến này được cần đến để biểu diễn các ứng xử động lực học của các hệ nhiều vật, đặc biệt là đối với các hệ chuyển động với tốc độ lớn Do tính chất phức tạp của hệ phương trình vi phân trên, chúng ta rất khó tìm nghiệm bằng phương pháp giải tích Người ta thường hay xác định nghiệm của các hệ này bằng phương pháp số [31], [51], [62], [90]

Trong nhiều bài toán kỹ thuật, các chuyển động q(t) của hệ nhiều vật thường giới hạn nằm ở lân cận một chuyển động qR(t) đã cho trước Chuyển động này trong các bài toán cụ thể thường được gọi là “chuyển động quy chiếu“ hoặc “chuyển động theo chương trình” hoặc “chuyển động mong muốn” hoặc “chuyển động cơ bản”,

v.v… Trong chuyên đề này ta quy ước gọi qR(t) là “chuyển động cơ bản” Trường hợp đơn giản nhất của chuyển động cơ bản là vị trí cân bằng của hệ

Trong động lực học robốt, chuyển động cơ bản là các chuyển động của các đại lượng trạng thái, do chuyển động cho trước của khâu thao tác quyết định Trong động lực học các hệ truyền động, chuyển động cơ bản là chuyển động sinh ra do khâu dẫn quay đều, v.v… Khi đã biết chuyển động cơ bản của hệ, ta có thể biến đổi

hệ phương trình vi phân phi tuyến ở trên, về hệ phương trình vi phân tuyến tính một cách gần đúng [11] Việc biến đổi này thường được thực hiện nhờ khai triển Taylor các hàm phi tuyến trong phương trình quanh các chuyển động cơ bản đã biết, sau đó

bỏ qua các số hạng phi tuyến, ta đạt được một tập hợp các phương trình vi phân tuyến tính có các hệ số tuần hoàn theo thời gian có dạng

[87], [88], phương pháp này có ưu điểm giải được các hệ phức tạp, nó càng tỏ ra ưu việt cùng với sự phát triển của kỹ thuật tin học

Trong chương này, trình bày những nét cơ bản của phương pháp số để tìm ra điều kiện ổn định và nghiệm tuần hoàn của hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số tuần hoàn (còn gọi là hệ phương trình tham số tuyến tính), sau đó áp dụng phương pháp này, để tính toán dao động tuần hoàn và ổn định động lực của một số hệ dao động tham số trong máy

1.1 LÝ THUYẾT VỀ SỰ ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH HỆ SỐ TUẦN HOÀN

Trong phần này, khảo sát sự ổn định của các nghiệm trong hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số tuần hoàn theo nghĩa Liapunov [6], [16], dựa vào lý thuyết Floquet trong các tài liệu [11], [51]

1.1.1 Khái niệm ổn định Liapunov

Phương trình trạng thái của một hệ cơ học f bậc tự do có dạng

Khi đó ta có các định nghĩa:

Định nghĩa 1.1 Nghiệm y* = (t) của hệ phương trình vi phân (1.1) được gọi là ổn 

định theo nghĩa Liapunov nếu như với dương cho trước bé tuỳ ý, luôn có thể tìm 

được một số dương ( ,t  0) sao cho mọi nghiệm (t) của hệ phương trình vi phân y (1.1) tại thời điểm đầu ở khá gần nghiệm y* = (t), nghĩa là 

Định nghĩa 1.2 Nếu số > 0 có thể chọn không phụ thuộc vào điều kiện đầu, tức là 

 = ( ) thì ổn định theo nghĩa Liapunov của nghiệm y  * = (t) được gọi là ổn định 

đều

Định nghĩa 1.3 Nghiệm y* = (t) của hệ phương trình vi phân (1.1) được gọi là ổn 

định tiệm cận, nếu y* = (t) ổn định theo nghĩa Liapunov và thoả mãn thêm điều 

kiện

t

Định nghĩa 1.4 Nghiệm y* = (t) của hệ phương trình vi phân (1.1) là không ổn 

định nếu nó không thoả mãn định nghĩa 1 về ổn định theo nghĩa Liapunov Nghĩa là

có tồn tại một nghiệm y nào đó của hệ phương trình vi phân (1.1) mà tại thời điểm đầu t0 thoả mãn điều kiện

Hình 1.1: Hình ảnh quỹ đạo ổn định theo nghĩa Liapunov

Hình 1.2: Hình ảnh quỹ đạo không ổn định theo nghĩa Liapunov

1.1.2 Các định nghĩa và các định lý cơ bản về hệ phương trình vi phân tuyến tính

Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất

Định nghĩa 1.5 Hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.7) là ổn định (hoặc không ổn

định), nếu tất cả các nghiệm = (t) của nó sẽ ổn định (hoặc không ổn định) theo y y

nghĩa Liapunov khi t  

Định lý 1.1 Điều kiện cần và đủ để cho hệ phương trình vi phân tuyến tính không

thuần nhất (1.7) ổn định, với hàm (t) tuỳ ý, là nghiệm tầm thường f x0 = 0, (t0 < t <

, t0 (a, )) của hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng (1.8) ổn  

định

Hệ quả 1 Hệ phương trình vi phân tuyến tính ổn định khi một nghiệm nào đó của

hệ ổn định và không ổn định nếu có một nghiệm nào đó của hệ không ổn định

Hệ quả này được suy ra trực tiếp từ định lý 1.1 và chý ý 1 của định lý này

Hệ quả 2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất ổn định khi và chỉ

khi hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng ổn định

Chú ý 2 Về mặt ổn định, tính chất của các nghiệm của hệ tuyến tính không thuần

nhất (1.7) cũng giống như tính chất của các nghiệm của hệ thuần nhất tương ứng (1.8) Vì vậy sau này ta giới hạn chỉ nghiên cứu sự ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất

Định nghĩa 1.6 Hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất (1.7) là ổn

định đều nếu tất cả các nghiệm (t) của hệ ổn định đều khi t + , với thời điểm y  

đầu t0 (a )  

Định lý 1.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất (1.7) là ổn định

đều khi và chỉ khi nghiệm tầm thường x0 = 0 của hệ thuần nhất tương ứng (1.8) ổn định đều khi t +  

Định nghĩa 1.7 Hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất (1.7) là ổn

định tiệm cận nếu tất cả các nghiệm (t) của hệ đều ổn định tiệm cận khi t + y  

Định lý 1.3 Hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất (1.7) ổn định tiệm

cận khi và chỉ khi nghiệm tầm thường x0 = 0 của hệ thuần nhất tương ứng (1.8) ổn định tiệm cận khi t +  

Hệ quả Điều kiện cần và đủ để cho hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần

nhất (1.7) ổn định tiệm cận là hệ thuần nhất (1.8) ổn định tiệm cận

Định lý 1.4 Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất (1.8) ổn định tiệm cận

khi và chỉ khi tất cả các nghiệm = (t) của hệ tiến dần tới không khi t + x x  

Hệ quả Hệ phương trình vi phân tuyến tính ổn định tiệm cận thì sẽ ổn định tiệm

cận toàn thể

1.1.3 Cơ sở lý thuyết Floquet về hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số tuần hoàn

Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số tuần hoàn có dạng:

(t)



Với (t) là ma trận vuông cấp n liên tục, tuần hoàn với chu kỳ T Giả sử P x(1), x(2),

…, x(n) là một hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình (1.9) Ở đây ta quy ước gọi chỉ

số phía dưới là số thứ tự của hàm trong một nghiệm nào đó, còn chỉ số phía trên trong dấu ngoặc là số thứ tự của nghiệm Các véc tơ nghiệm này tạo thanh một hệ n véc tơ độc lập tuyến tính, khi đó ta có ma trận

được gọi là ma trận cơ bản của hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất (1.9)

Bổ đề Floquet Nếu (t) là ma trận cơ bản của hệ phương trình vi phân (1.9) thì (t  

+ T) cũng là một ma trận cơ bản của hệ phương trình đó, và ta có hệ thức

(t T)  (t)

Định lý Floquet Mỗi ma trận cơ bản (t) của hệ phương trình vi phân tuyến tính 

thuần nhất hệ số tuần hoàn (1.9) có thể biểu diễn dưới dạng tích của hai ma trận vuông cấp n như sau

Dưới đây ta nêu ra hai tính chất của phương trình đặc trưng:

Tính chất 1 Phương trình đặc trưng (1.14) không phụ thuộc vào việc chọn dạng cụ

thể của ma trận cơ bản của hệ phương trình (1.9)

Tính chất 2 Phương trình đặc trưng (1.14) của hệ phương trình vi phân tuyến tính

hệ số tuần hoàn (1.9) không bị thay đổi khi ta biến đổi hệ phương trình (1.9) bằng một phép biến đổi tuyến tính không suy biến với hệ số tuần hoàn chu kỳ T

Định nghĩa số mũ đặc trưng Mỗi số phức k xác định bởi công thức

1lnT

Tiêu chuẩn ổn định theo số mũ đặc trưng Nếu tất cả các số mũ đặc trưng k đều có

phần thực âm thì nghiệm x = 0 của hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ

số tuần hoàn (1.9) ổn định tiệm cận Ngược lại, nếu có một hoặc nhiều hơn số mũ

đặc trưng có phần thực dương thì nghiệm x = 0 của hệ phương trình (1.9) sẽ không

ổn định Nếu không có các số mũ đặc trưng nào có phần thực dương, nhưng có số

mũ đặc trưng có phần thực bằng không thì nghiệm = 0 của hệ phương trình (1.9) x

có thể ổn định và cũng có thể không ổn định, phụ thuộc vào từng hệ cụ thể

Tiêu chuẩn ổn định theo nhân tử đặc trưng Nếu tất cả các nhân tử đặc trưng có

môđun nhỏ hơn đơn vị, thì nghiệm = 0 của hệ phương trình vi phân tuyến tính x

thuần nhất hệ số tuần hoàn (1.9) sẽ ổn định tiệm cận Ngược lại, nếu có một hoặc nhiều hơn nhân tử đặc trưng của hệ phương trình (1.9) có môđun lớn hơn đơn vị, thì nghiệm = 0 của phương trình này sẽ không ổn định Nếu không có nhân tử đặc x

trưng nào có môđun lớn hơn đơn vị, nhưng có nhân tử đặc trưng có môđun bằng đơn vị thì nghiệm = 0 của hệ phương trình (1.9) có thể ổn định, và cũng có thể x

không ổn định, phụ thuộc vào từng hệ cụ thể

Chú ý Trong trường hợp thứ ba này, người ta đã chứng minh được rằng, nếu các

nghiệm của phương trình đặc trưng có môđun bằng đơn vị là các nghiệm đơn hoặc

là nghiệm bội mà số bội của chúng bằng số nhóm nghiệm tương ứng (tức là bội đại

số bằng bội hình học) thì nghiệm = 0 của hệ (1.9) sẽ ổn định Nếu các nghiệm của x

phương trình đặc trưng bằng đơn vị là nghiệm bội mà số bội của nó lớn hơn số nhóm nghiệm tương ứng (bội đại số lớn hơn bội hình học) thì nghiệm = 0 của hệ x

(1.9) sẽ không ổn định

1.1.5 Tính toán điều kiện ổn định bằng phương pháp số

1.1.5.1 Xác định ma trận đơn đạo

Do tính chất phương trình đặc trưng của hệ phương trình vi phân tuyến tính

hệ số tuần hoàn không phụ thuộc vào việc chọn hệ nghiệm cơ bản, ta có thể thiết lập phương trình đặc trưng của hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số tuần hoàn như

sau Giả sử ta có hệ nghiệm cơ bản x(1), x(2), …, x(n) của hệ phương trình (1.9) thoả mãn điều kiện đầu:

( j) j

1 khi s = jx

0 khi s j



    

Mặt khác như ta đã biết tuy nghiệm x(j)(t + T) không trùng với nghiệm ban đầu

x(j)(t) nhưng cũng như mọi nghiệm khác của hệ phương trình (1.9), nó phải là tổ hợp

tuyến tính của hệ nghiệm cơ bản x(1)(t), x(2)(t), …, x(n)(t) Do đó ta có hệ thức:

Phương trình đặc trưng (1.19) là một phương trình bậc n của , nên khi đã biết các 

phần tử của ma trận (T) ta có thể giải phương trình đại số này bằng phương pháp 

số để xác định các nghiệm k (k = 1, 2, …, n)

Chúng ta có thể đưa bài toán xác định các nghiệm của phương trình đặc trưng (1.19)

về bài toán xác định các giá trị riêng k và các véc tơ riêng y(k)

Thường thì ma trận (T) là ma trận thực không đối xứng, cho nên các giá trị 

riêng k của nó thường là các số phức Khi đó việc tính toán đầy đủ n giá trị riêng

của ma trận (T) đòi hỏi một khối lượng tính toán tương đối lớn Khi nghiên cứu sự 

ổn định của nghiệm của hệ phương trình (1.9), trong trường hợp chung ta chỉ cần xác định giá trị riêng có môđun lớn nhất mà thôi, khi đó việc tính toán bằng số sẽ đơn giản đi rất nhiều Dưới đây trình bày một phương pháp đơn giản hay được dùng

để xác định trị riêng lớn nhất của ma trận

1.1.5.2 Phương pháp lặp Von-Mises

Giả sử là ma trận vuông cấp n mà các phần tử là số thực hoặc phức có thể A

chéo hoá được Nếu ta chỉ quan tâm đến việc xác định trị riêng của ma trận có giá A

trị tuyệt đối lớn nhất hoặc trị riêng có giá trị tuyệt đối nhỏ nhất thì việc sử dụng phương pháp lặp Mises rất đơn giản [14], [15]

Xét bài toán trị riêng đặc biệt

Giả sử ta có trị riêng i với véc tơ riêng tương ứng là xi, khi đó từ (1.21) ta có

(i) (i) i

Không giảm tính tổng quát ta giả sử 1  > 2 > …> n

Khi đó với k đủ lớn từ các biểu thức trên ta suy ra các xấp xỉ

j

a, (j 1, 2, , n)a



Nếu sử dụng công thức Rayleigh đối với các véc tơ riêng x(k) xác định như trên ta có xấp xỉ tốt hơn

 

 

T (k) (k)

1 (k) T (k)

  a Aa

Phương pháp lặp Mises còn cho phép tìm tiếp được các trị riêng còn lại Tuy nhiên,

do yêu cầu của bài toán ổn định, chỉ cần tìm trị riêng có môđun lớn nhất, nên tạm dừng ở đây

1.2 PHƯƠNG PHÁP SỐ TÌM NGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH HỆ SỐ TUẦN HOÀN

1.2.1 Phương pháp số tìm điều kiện đầu của nghiệm tuần hoàn

Chúng ta xét phương trình vi phân tuyến tính

Trong đó ma trận (t) và véc tơ (t) với các phần tử là các hàm tuần hoàn theo t với P f

chu kỳ T Từ lý thuyết phương trình vi phân ta biết rằng, nếu hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất (1.9) không có nghiệm tuần hoàn chu kỳ T, ngoài

nghiệm tầm thường x = 0, thì hệ phương trình (1.26) có đúng một nghiệm tuần hoàn

chu kỳ T Từ đó ta suy ra: Nếu tất cả các nghiệm của phương trình đặc trưng (1.14) đều có môđun nhỏ thua đơn vị, thì hệ phương trình (1.26) có đúng một nghiệm tuần hoàn chu kỳ T Khi đó nếu tìm được điều kiện đầu tương ứng với nghiệm tuần hoàn của hệ (1.26), thì việc tìm nghiệm trở nên đơn giản và tránh được sai số khi tích phân nghiệm trong khoảng thời gian dài Dưới đây, trình bày một phương pháp số tính các giá trị đầu nghiệm tuần hoàn chu kỳ T của hệ (1.26) [11], [13], [41], [86], [87], [88]

Nghiệm tuần hoàn chu kỳ T của hệ (1.26) phải thoả mãn điều kiện sau:

Ta chia đoạn [0 , T] thành m phần bằng nhau, mỗi phần có độ dài là: h = ti – ti-1 = T/m, như vậy ta có các điểm chia là 0 = t0 < t1 < t2 < … < tm-1< tm = T Tương ứng với các điểm chia này ta đưa vào ký hiệu: xi x(t )i

Theo phương pháp Runge-Kutta bậc bốn [5], [14], [15], nghiệm gần đúng được tính theo công thức:

(1.33) là hệ phương trình đại số tuyến tính đối với x0 Giải hệ phương trình này, ta

nhận được các giá trị đầu x0 tương ứng với nghiệm tuần hoàn của hệ phương trình

vi phân (1.26) Với các giá trị đầu đó, ta dễ dàng tính được nghiệm tuần hoàn của hệ phương trình (1.26) bằng phương pháp số

1.2.2 Phương pháp số tìm nghiệm tuần hoàn

Phương trình mô tả cơ cấu trong trạng thái bình ổn thường được đưa về dạng:

Phương pháp Runge-Kutta bậc bốn là một phương pháp được nhiều người sử dụng để giải hệ phương trình vi phân bậc nhất, chẳng hạn phương trình (1.26) Dựa trên cơ sở đó, Nystrom đã phát triển thành phương pháp giải đối với hệ phương trình vi phân bậc hai Sơ đồ thuật toán phương pháp Runge-Kutta-Nystr m được öcho trong bảng 1.1

Bảng 1.1: Sơ đồ thuật toán phương pháp Runge-Kutta-Nyström

1.3 TÍNH TOÁN DAO ĐỘNG TUẦN HOÀN CỦA MỘT SỐ HỆ DAO ĐỘNG THAM SỐ TRONG MÁY

1.3.1 Dao động tham số của bộ truyền bánh răng một cấp

1.3.1.1 Thiết lập phương trình vi phân dao động

Mô hình cơ học của bộ truyền bánh răng một cấp được cho như hình 1.3 [25], [26], [29], [33], [33], [35], [39], [41], [52], [53], [54], [81] Trong đó m1, m2 là khối lượng của hai bánh răng, J1, J2 là mômen quán tính của hai bánh răng đối với trục quay của nó, r1, r2 là bán kính vòng lăn của các bánh răng, z1, z2 là số răng của các bánh răng c là độ cản ăn khớp được giả thiết không đổi, k(t) là độ cứng ăn khớp biến đổi theo thời gian e(t) là hàm kích động trong quá trình ăn khớp, M1(t), M2(t)

là mômen phát động và mômen cản Gọi 1 = 1, 2 = 2 là vận tốc góc của các bánh răng

Hình 1.3: Mô hình dao động của bộ truyền bánh răng một cấp

Do số cặp răng tham gia ăn khớp thay đổi theo từng thời điểm, dẫn đến độ cứng ăn khớp k(t) thay đổi theo thời gian Trong chế độ chuyển động bình ổn của cặp bánh răng ăn khớp, nếu vận tốc góc của các bánh răng 1, 2 không đổi, thì độ cứng ăn khớp k(t) sẽ tuần hoàn theo t với chu kỳ Tz = 2 / z , do đó có thể được biểu diễn dưới dạng một chuỗi Fourier có dạng như sau:

không đổi, khi đó kích động do sai lệch của mỗi bước răng sẽ lặp lại theo tần số quay 1 do đó hàm kích động e(t) là một hàm tuần hoàn với chu kỳ T = 2 / 1 nên

có thể biểu diễn theo một chuỗi Fourier như sau:

J 1 , z 1

J 2 , z 2 Đường ăn khớp

M 2 (t)

Trong đó các hệ số ei đặc trưng cho mức độ hư hỏng của cặp bánh răng ăn khớp

Với giả thiết cả hai bánh răng được đỡ bởi các giá cứng, khi đó hệ có 2 bậc tự do, ta

chọn các toạ độ suy rộng đủ là các góc quay 1, 2 của hai bánh răng Khi đó động

năng, thế năng và hàm hao tán của cơ hệ là:

Ta nhân hai vế của (1.44) với r1/J1, của (1.45) với - r2/J2, rồi cộng các kết quả nhận

được với nhau, ta được

Chú ý rằng, q(t) chính là lượng biến dạng tương đối của các bánh răng theo phương của đường ăn khớp, được gọi là sai số truyền động

1.3.1.2 Tính toán dao động tuần hoàn của bộ truyền bánh răng một cấp

Trong phần này, ta đi tìm nghiệm tuần hoàn của phương trình (1.51) Để tính toán số, các sô liệu được lấy theo [39], [41] như sau: Mô men quán tính của các bánh răng J1 = 9,3.10-2, J2 = 0,272 (kgm2), bán kính vòng tròn cơ sở của các bánh răng r1 = 30,46.10-3, r2 = 84,86.10-3 (m), số răng của các bánh răng z1 = 14, z2 = 39, tần số góc của bánh 1 được chọn là 1 = 60 (rad/s), sai số truyền động tĩnh q 0 =

1,2.10-5(m)

Đối với độ cứng ăn khớp k(t) và hàm kích động e(t), việc xác định các hệ số trong các chuỗi Fourier rất phức tạp và khó khăn Ngày nay với sự phát triển của tin học các hàm k(t) và e(t) thường được xác định bằng phương pháp phần tử hữu hạn

và đã có những phần mềm chuyên dụng để giải quyết vấn đề này [84] Trong các nghiên cứu [39], [41], các tác giả đã nhập các số liệu của bộ truyền như đã cho ở trên, sau khi tính toán và phân tích đã được các kết quả như sau:

Độ cứng ăn khớp k(t) là một chuỗi Fourier có 10 phần tử điều hoà

Bảng 1.2: Các hệ số trong chuỗi Fourier của độ cứng ăn khớp k(t)

Với các hệ số được cho trong bảng 1.3

Bảng 1.3: Các hệ số trong chuỗi Fourier của hàm kích động e(t)

số trong các hình 1.5 và 1.7 ta thấy:

- Các thành phần tần số chính của q(t) là tần số ăn khớp của bộ truyền bánh răng và các điều hoà của nó Các tần số này đặc trưng cho kích động tham số (các điều hoà chính)

- Các giải điều hoà phụ bao quanh các điều hoà (nz) đặc trưng cho hàm kích động e(t)

- Khoảng cách giữa các điều hoà phụ bằng tần số quay 1 của bánh răng 1

So sánh kết quả tính toán trong hình 1.7 với kết quả đo bằng thực nghiệm được cho trong hình 1.8 [41] (các kết quả thực nghiệm này, được đo đạc dựa trên bộ truyền thí nghiệm với các tham số của bộ truyền tương tự bộ truyền đang nghiên cứu ở đây), ta thấy hai kết quả phù hợp với nhau Như vậy, nhờ mô hình dao động tham số ta có thể giải thích được cơ chế kích động dao động trong quá trình ăn khớp của các cặp bánh răng Trong thực tế ta có thể dựa vào độ lớn của các giải điều hoà phụ và khoảng cách giữa các đường điều hoà phụ để chuẩn đoán, đánh giá, định vị hư hại của bánh răng

Hình 1.4: Đồ thị theo thời gian của sai số truyền động động lực q(t) của bộ

truyền bánh răng một cấp

Hình 1.5: Phổ tần số của sai số truyền động động lực q(t)

Hình 1.8: Kết quả đo bằng thực nghiệm: Phổ tần số của dq/dt

Hình 1.6: Đồ thị theo thời gian của dq/dt

Hình 1.7: Phổ tần số của dq/dt

Để khảo sát sự ổn định của các nghiệm trong phương trình (1.51), ta phải đi xác định ma trận đơn đạo ứng với các nghiệm tuần hoàn Trong trường hợp này, ta tìm được ma trận đơn đạo có dạng:

nghiệm tuần hoàn trong hệ (1.51) vừa tìm được ở trên ổn định tiệm cận

1.3.2 Dao động tuần hoàn của bộ điều chỉnh bằng cơ cấu cam

1.3.2.1 Thiết lập phương trình vi phân dao động

Sơ đồ nguyên lý của bộ điều chỉnh trong máy rèn dập sử dụng cơ cấu cam được cho như hình 1.11 [9], [38], [41] trong đó: 1 - Hộp số thứ nhất, 2 - Trục truyền động, 3 - Hộp số thứ hai, 4 – Cơ cấu cam, 5 – Cơ cấu vận hành

Do tính đàn hồi của các trục truyền động và cơ cấu truyền động bằng cam nên chuyển động của bộ phận thao tác công nghệ chịu ảnh hưởng của các dao động

Hình 1.10: Hình phóng to của hình 8

Hình 1.9: Hình phóng to của hình 7

Hiện tượng này gây ra sai số khi gia công sản phẩm Mô hình động lực học của hệ này được cho như hình 1.12 Trong đó, trục truyền động giữa hai hộp số được coi là một trục đàn hồi không trọng lượng, với hệ số cứng k1 Các hộp số được mô hình bởi hai đĩa quay với các mô men quán tính là I0 và I1, cơ cấu vận hành có thể được xem là vật thể cứng liên kết với cơ cấu cam bởi các phần tử lò xo-cản không khối lượng, với các hệ số cứng và hệ số cản tương ứng là là k2 và c2 Ta đưa vào mô hình động lực học hàm truyền phi tuyến của cơ cấu cam U(1) như một hàm của góc quay 1 của trục cam, mômen phát động từ mô tơ M(t) và tải trọng ngoài F(t) được cho như trên hình 1.12

Hệ có ba bậc tự do, ta chọn các toạ độ suy rộng đủ là 0, 1 và q2, khi đó biểu thức động năng của hệ có dạng

Hình 1.11: Sơ đồ nguyên lý của bộ điều chỉnh trong máy rèn dập

Hình 1.12: Mô hình động lực học của bộ điều chỉnh trong máy rèn dập

đổi một đại lượng nhỏ so với góc quay 0 của khâu dẫn, khi đó ta đưa vào toạ độ suy rộng tương đối q1, khi đó

1 0 q1 t q1

           1 q1,  1 q1 (1.63) Trong phạm vi dao động nhỏ, hàm truyền y = U(1) phụ thuộc chủ yếu vào  0 t

và thay đổi nhỏ khi q1 thay đổi Do đó có thể khai triển Taylor hàm U(1) tại vị trí

Thông thường F(t) là hàm tuần hoàn (hoặc hằng số), do đó hệ phương trình (1.67) là

hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số tuần hoàn Ta có thể viết hệ (1.67) dưới dạng ma trận như sau

2

2 2

Bây giờ ta xét hàm U ( ), được gọi là hàm truyền bậc nhất, trong đó là góc quay   

của trục cam Trong chế độ chuyển động bình ổn của cơ cấu cam, hàm U ( ) có thể  

được xấp xỉ bởi một chuỗi Fourier hữu hạn [9], [11], [38], [68], [79], [85], [86]

1.3.2.2 Tính toán dao động tuần hoàn của bộ điều chỉnh bằng cơ cấu cam

Trong phần này ta đi tìm nghiệm tuần hoàn của hệ phương trình (1.68) Để tính toán bằng số, giá trị của các tham số động lực cơ cấu được cho như sau [11], [38], [41]: Tốc độ quay của trục vào n = 50(vòng/phút) tương ứng với = 

5,236(rad/s), mômen quán tính I1 = 1,11(kg.m2), khối lượng m2 = 136(kg), các hệ số cứng k1 = 7692(Nm), k2 = 106(N/m), các hệ số cản c1 = 18,5(N.m.s), c2 = 2332(N.s/m) Chuỗi Fourier của hàm truyền bậc nhất U ( t)  được lấy với 12 số hạng (K = 12)

Để kiểm tra sự ổn định của các nghiệm của hệ (1.68), ta xét các ma trận đơn đạo Với các hệ số ak trong hàm truyền bậc nhất được lấy theo trường hợp 1, ta có

ma trận đơn đạo tương ứng với nghiệm tuần hoàn có dạng:

Với ma trận này ta tìm được nhân tử Floquet lớn nhất là: max = 0,001997

Với các hệ số ak trong hàm truyền bậc nhất được lấy theo trường hợp 2, ma trận đơn đạo tương ứng với nghiệm tuần hoàn có dạng:

từ đó ta tìm được nhân tử Floquet lớn nhất là: max = 0,001454

Trong cả hai trường hợp ta đều thấy max < 1, theo lý thuyết ổn định của Floquet, ta có thể kết luận rằng các giá trị này thoả mãn điều kiện ổn định và hệ là

ổn định động lực học trong cả hai trường hợp

Hình 1.14: Kết quả tính toán của q 2 , với các hệ số a k lấy theo trường hợp 1

( ) đồ thị theo thời gian trong một chu kỳ, ( ) phổ tần số a b

Hình 1.13: Kết quả tính toán của q 1 , với các hệ số a k lấy theo trường hợp 1

( ) đồ thị theo thời gian trong một chu kỳ, ( ) phổ tần số a b

1.3.3 Tính toán dao động xoắn của hệ trục máy tàu thuỷ

Sơ đồ truyền động của hệ trục máy tàu thuỷ sử dụng động cơ DTSC50 được cho như hình 1.17 [10], [40] Trong đó bao gồm một động cơ bốn xi lanh kết nối với một bánh đà và một hộp số Vì tính đàn hồi xoắn của trục truyền động, các bánh răng và chân vịt nên hệ truyền động này được xem là một hệ dao động xoắn điển hình

Hình 1.16: Kết quả tính toán của q 2 , với các hệ số a k lấy theo trường hợp 2

( ) đồ thị theo thời gian trong một chu kỳ, ( ) phổ tần số a b

Hình 1.15: Kết quả tính toán của q 1 , với các hệ số a k lấy theo trường hợp 2

( ) đồ thị theo thời gian trong một chu kỳ, ( ) phổ tần số a b

1.3.3.1 Xác định mômen gây dao động xoắn hệ trục động cơ

Hệ lực tác dụng lên cơ cấu trục khuỷu thanh

truyền được cho như hình 1.18 Trong đó, tay quay

OA có chiều dài R, trọng lượng P2, trọng tâm của nó

là S2 (OS2 = e2), thanh truyền AB có chiều dài L,

trọng lượng là P3, trọng tâm của nó là S3(3, 3),

piston B có trọng lượng P4 chịu tác dụng của lực khí

thể của động cơ là PKT, khi đó ta có

Cho tay quay OA thực hiện một di chuyển khả dĩ

, khi đó ta có tổng công khả dĩ của các lực hoạt

động tác dụng lên cơ cấu được cho bởi công thức

         (1.72)

Trong đó Q là lực suy rộng của các lực hoạt động

ứng với toạ độ suy rộng Mặt khác từ hình 1.18, ta 



2 3

2 3

sin cos sin cos

Do lực khí thể PKT của động cơ tuần hoàn với chu kỳ T = 4 / (với là tốc độ   

quay của trục khuỷu động cơ) và không biểu diễn được dưới dạng một hàm tường

minh, còn các lực P2, P3, P4 là không đổi, vì vậy ta phải khai triển chuỗi Fourier

toàn bộ mômen suy rộng M( ) bằng phương pháp số, khi đó ta được 

k 1 m

k 1 m

1.3.3.2 Xác định các mômen quán tính thu gọn

Xét cơ cấu trục khuỷu thanh truyền như hình

1.19, trong đó tay quay OA có chiều dài R quay

quanh O cố định, thanh truyền AB có chiều dài L,

khối lượng m3 và khối tâm S3, Piston B chuyển động

tịnh tiến, có khối lượng m4 Khi đó, động năng T của

cơ hệ được tính bằng

Trong đó: T2 là động năng của tay quay OA, T3 là

động năng của thanh truyền AB và T4 là động năng

của piston B

Động năng của tay quay OA được xác định bởi công

Sử dụng khai triển Newton đối với (1.87), ta được

Bỏ qua các vô cùng bé bậc cao, ta được

    2 22cos2   42cos2sin2  (1.90) Thế (1.75), (1.88) - (1.90) vào (1.85), ta được