Một số mô hình xác suất trong khoa học máy tính

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN - PHAM TH± THU HANG M®T SO MƠ HÌNH XÁC SUAT TRONG KHOA HOC MÁY TÍNH LUÔN VN THAC S KHOA HOC H Nđi - Nm 2015 PHAM TH± THU HANG M®T SO MƠ HÌNH XÁC SUAT TRONG KHOA HOC MÁY TÍNH Chuyên ngành: Lý thuyet Xác suat Thong kê toán hoc Mã so: 60406106 LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC: GS.TSKH Đ¾NG HÙNG THANG Mnc lnc Lài nói đau Xác suat lý thuyet to hap đo th% 1.1 Các ví du 1.1.1 Đo th% ngau nhiên 1.1.2 Thu¾t tốn Tìm kiem Sap xep nhanh 1.1.3 Mơ hình danh sách tn tő chúc 1.1.4 Sinh hoán v% ngau nhiên 1.2 Phương pháp xác suat 1.2.1 Lịi giói thi¾u 1.2.2 Úng dung xác suat đe chúng minh sn ton tai 1.2.3 Xác đ%nh c¾n tù kỳ vQNG 1.2.4 Bi toỏn hop đc lắp cú TRQNG so toi đa: Thu¾t tốn c¾n biên ngau nhiên 1.2.5 Bài tốn phn t¾p hop 1.2.6 Phan xích 1.2.7 Bő đe rút GQN Lovasz 1.2.8 Thu¾t tốn ngau nhiên đe tính phân hoach cnc tieu cna m®t đo th% 5 11 16 18 26 26 26 28 31 36 38 39 43 Xích Markov mơ phong MCMC 46 2.1 Xích Markov 46 2.1.1 Giói thi¾u 46 2.1.2 Phương trình Chapman-Kolmogorov .48 2.1.3 Phân loai trang thái 49 2.1.4 Xác suat giói han xác suat dùng 58 2.1.5 Úng dung 65 Lu¾n văn tot nghi¾p Pham Th% Thu Hang 2.1.6 Xích Markov vói thịi gian đao ngưoc 75 2.2 Mô phong .85 2.2.1 Mô phong Monte Carlo .85 2.2.2 Tao bien ngau nhiên ròi rac 88 2.2.3 Tao bien ngau nhiên liên tuc: Phương pháp bien đői ngh %ch .90 2.3 Mô phong MCMC 92 Quá trình Poisson 98 3.1 Q trình Poisson khơng dùng .98 3.2 Quá trình Poisson dùng 101 3.3 M®t so tính tốn q trình Poisson 104 3.4 Phân loai bien co cna m®t q trình Poisson khơng dùng 110 3.5 Phân phoi có đieu ki¾n cna thịi điem đen 113 LèI NÓI ĐAU Trong nhung năm gan đây, xác suat phát trien đa dang có nhieu úng dung quan TRQNG lĩnh vnc khoa hQc máy tính Ví du, chn đe liên quan đen thu¾t tốn thu¾t tốn ngau nhiên, thu¾t tốn ưóc lưong phân tích xác suat cna thu¾t tốn đeu su dung phương pháp xác suat Trong lu¾n văn này, tơi muon giói thi¾u loai mơ hình phân tích xác suat huu dung nhat khoa HQc máy tính Gia su vói m®t hàm mo đau xác suat, tơi trình bày m®t so đe tài quan TRQNG phương pháp xác suat, xích Markov, mơ phong MCMC q trình Poisson khơng dùng Lu¾n văn cung cap nhieu ví du t¾p mơ ta đe tài thu¾t tốn sap xep, thu¾t tốn tìm kiem bieu đo ngau nhiên, toán tn sap xep theo danh sách, phan xích, phân hoach cnc đai cnc tieu đo th% nhieu đe tài khác Cau trúc lu¾n văn đưoc chia làm chương chính: • Chương đưa ví du hay khoa HQc máy tính, đong thịi trình bày phương pháp xác suat m®t so cách úng dung phương pháp • Chương viet ve xích Markov khơng gian trang thái rịi rac, phương pháp Monte Carlo xích Markov Monte Carlo (MCMC) • Chương giói thiắu mđt so lúp quỏ trỡnh Poisson, tự ú nghiờn cúu tốn phân loai bien co cna m®t q trình Poisson khơng dùng tốn xác đ%nh phân phoi có đieu ki¾n cna thịi điem đen Trong khn khő cna lu¾n văn này, sn han hep ve thịi gian lnc cna ban thân, vắy khụng the trỏnh khoi nhung han che ve nđi dung vi¾c trình bay Tơi nh¾n thay xác suat khoa HQc máy tính cịn rat nhieu đieu thú v% khác nua tơi rat mong có d%p trình bay đay đn Lu¾n văn đưoc hồn thành dưói sn hưóng dan t¾n tâm cna GS.TSKH Đ¾ng Hùng Thang Tơi xin đưoc bày to lịng biet ơn kính TRQNG sâu sac cna đen thay Qua tơi xin chân thành gui lịi cam ơn tói thay Tő Lu¾n văn tot nghi¾p Pham Th% Thu Hang b® mơn Xác suat thong kê Ban Chn nhi¾m khoa Tốn - Cơ - Tin HQc Trưòng Đai HQc Khoa HQc Tn nhiên - Đai HQc Quoc gia Hà N®i chi bao hưóng dan t¾n tình giúp tơi hồn thành lu¾n văn này! Rat mong nh¾n đưoc ý kien đóng góp cna thay ban! Hà N®i, tháng 11/2015 Pham Th% Thu Hang Chương Xác suat lý thuyet to hap đo th% 1.1 Các ví dn 1.1.1 Đo th% ngau nhiên Moi đo th% bao gom hai yeu to: t¾p V t¾p hop đinh (hay nút) A t¾p hop c¾p đinh GQI canh (ho¾c cung) Ta thưịng khoanh trịn so hiắu cna moi inh v noi cỏc inh boi mđt đưịng thang ho¾c cong neu có canh tao boi hai đinh Ví du, m®t đo th% có V = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A={(1, 2), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 5), (3, 5), (5, 6)} đưoc mơ ta Hình 1.1 e ta chi xét đo th% khơng có hưóng, túc ta khơng đ%nh hưóng canh cna đo th% M®t chuoi đinh i, i1, i2, , ik, j (i, i1), (i1, i2), , (ik−1, ik), (ik, j) canh đưoc GQI m®t đưịng tù đinh i tói đinh j Hình 1.2 bieu th% m®t đưịng tù đinh tói đinh M®t đo th% đưoc coi liên thơng neu có m®t đưịng giua MQI c¾p đinh cna đo th% Đo th% Hình 1.1 1.2 đo th% liên thơng cịn đo th% Hình 1.3 khơng phai đo th% liên thơng Giị xem xét đo th% vói t¾p hop đinh V = {1, 2, , n} t¾p hop canh A = {(i, X(i)), i = 1, , n} X(i) bien ngau nhiờn đc lắp thoa n P{X(i) = j} = Pj, Pj = j=1 Nói cách khác, tù moi đinh i ta cHQN ngau nhiên m®t đinh so n đinh cịn lai cna đo th% (bao gom ca i), xác suat đe đinh j đưoc cHQN Pj , Lu¾n văn tot nghi¾p Pham Th% Thu Hang Hình 1.1: Đo th% Hình 1.2: Đưịng tù tói 6: 1, 2, 3, 5, Hình 1.3 sau ta noi đinh i vói đinh vùa chQN boi m®t cung Đo th% vùa xây dnng m®t đo th% ngau nhiên Chúng ta se tính xác suat đe đo th% ngau nhiên ta thay rang ≤ E[W (t, t + h)] ≤ λh2 chúng to E[W (t, t + h)] = o(h) Lay kỳ vQNG tù (3.3) , ta đưoc M (t + h) = M (t) + λth + o(h) hay M (t + h) − M (t) Lay h → có h = λt + h o(h) M J (t) = λt chúng to rang M (t) = λt2 /2 + c Tính giá tr% tai thòi điem t = chúng to c = 0, ta đưoc ket qua E[W (t)] = λt2 /2 M®t cách khác đe viet phương trình vi phân áp dung W (t + h) = Wh(t + h) + W (h, t + h) (3.4) Trong Wh(t + h) tőng thịi gian chị tính tói thòi điem t + h cna tat ca hành khách đen trưóc thịi điem h W (h, t + h) tőng thịi gian chị tính tói thịi điem t + h cna tat ca hành khách đen vào giua thòi điem h t + h Đieu suy tù gia thiet gia so dùng cna q trình Poisson W (h, t + h) có phân phoi W (t) tù gia thiet gia so đc lắp l Wh(t + h) v W (h, t + h) đc lắp Vỡ N (h)t Wh(t + h) ≤ N (h)(t + h) (3.5) nên E[Wh(t + h)] = λht + o(h) Do v¾y, lay kỳ vQNG tù (3.4) đưoc M (t + h) = λth + M (t) + o(h) cho phương trình vi phân Đ¾t V (t) = V ar(W (t)) (3.6) Vì Wh (t + h) W (h, t + h) đc lắp nờn cú the ỏp dung (3.4) đe tìm phương trình vi phân cho V (t) (Áp dung ket qua (3.3) se khơng hi¾u qua bang sn phu thu®c giua N (t) W (t).) Trưóc het ta có V ar(Wh(t + h)) = E[W 2(t + h)] − E2[Wh(t + h)] h = E[(N (h)t)2] + o(h) + o(h) theo (3.5) (3.6) = t2E[N 2(h)] + o(h) = t2λh + o(h) dau bang cuoi có đưoc N (h) q trình Poisson vói tr% so trung bình λh túc E[N 2(h)] = V ar(N (h)) + E2[N (h)] = λh + (λh)2 = λh + o(h) Do đó, tù (3.4) ket qua ta đưoc V (t + h) = λht2 + V (t) + o(h) suy V (t + h) − V (t) h Lay h → đưoc o(h) = λt2 + h V J (t) = λt2 túc V (t) = λt3 /3 + c Vói V (0) = chúng to c = ♦ Ví dn 3.3.2 Gia su xung iắn cú biờn đ ngau nhiờn en theo chieu ngưoc so vói q trình Poisson tham so λ Các biờn đ cna xung iắn giam theo thũi gian theo m®t bien lũy thùa tham so α, túc m®t xung iắn cú biờn đ ban au l A thỡ se có giá tr% Ae−αt sau m®t khoang thịi gian t Gia su biờn đ ban au cna xung iắn en l cỏc bien đc lắp ngau nhiờn tự mđt phân phoi chung có tr% so trung bình E[A] Tìm tng biờn đ k vQNG hắ thong tai thũi điem t Lài giai Neu GQI Si , i ≥ thịi gian lan xung đi¾n đen Ai , i ≥ biên đ® ban đau cna chúng N (t) Σ S(t) = i=1 Ai e−α(t−Si ) bieu th% tőng biên đ® tai thịi điem t Đe tìm phương trình vi phân, ta se áp dung đong nhat thúc sau: (3.7) S(t + h) = Sh(t + h) + S(h, t + h) Sh(t + h) tőng biên đ® tai thịi điem t + h cna tat ca xung đi¾n đen trưóc thịi điem h S(h, t + h) tng biờn đ cỏc xung iắn en vo giua thũi điem h t + h tai thòi điem t + h Theo gia thiet cna gia so dùng gia so đc lắp cna mđt quỏ trỡnh Poisson l Sh(t + h) vúi S(h, t + h) đc lắp S(h, t + h) có phân phoi vói S(t) Vì tai thịi điem t + h, moi xung đi¾n đen trưóc thịi điem h se o h¾ thong m®t khoang thịi gian giua t t + h nên N (h) e−α(t+h) Σ N (h) Ai ≤ Sh(t + h) ≤ e−αt i= Σ Ai i= AiΣ De dàng suy tù ket qua E[Sh(t + h)] = E N (h) Σ Σ e + o(h) −α t i=1 (3.8) = e−αtλhE[A] + o(h) V ar(Sh(t + h)) = V ar =e e−αt −2αt N AiΣ (h) Σ + o(h) i=1 (3.9) λhE[A ] + o(h) N (h) ket qua cho phép ta tính kỳ vQNG phương sai cna m®t bien Poisson ngau nhiên đa hop Khi đó, đ¾t M (t) = E[S(t)], V (t) = V ar(S(t)) ta thay tù (3.7) (3.8) rang M (t + h) = e−αtλhE[A] + M (t) + o(h) hay M (t + h) − M (t) o(h) = e−αtλE[A] + h h Σ i=1 Ai Lay h → đưoc tương đương M J (t) = e−αt λE[A] M (t) =− λE[A] −αt e + cα vói Tính giá tr% tai thịi điem t = chúng to c = λE[A]/α, ta đưoc M (t) = λE[A] α −αt (1 −e ) Tương tn, tù (3.7) (3.9) cho thay V (t + h) = V ar(Sh(t + h)) + V ar(S(h, t + h)) = e−2αtλhE[A2] + V (t) + o(h) chúng to rang V J (t) = e−2αt λE[A2 ] hay V (t) = − λE[A ] α Áp dung V (0) = chúng to c = λE[A ] 2 α V (t) = e −2αt +c cho ta ket qua −2αt λE[A2] e2α ) (1 − M®t phương pháp khác bên canh tìm phương trình vi phân có the đưoc su dung đe tính giá tr% kỳ vQNG cna bien ngau nhiên X(t) phan đưoc xác đ%nh dưói dang m®t q trình Poisson phân chia khoang thòi gian tù đen t thành nhieu khoang nho c®ng phan thêm có đưoc tù moi khoang nho vào X(t) ♦ Ví dn 3.3.3 Ta se phân tích mơ hình Ví du 3.3.2 bang cách chia khoang (0, t) thành n khoang nho có đ® dài h = t/n Đ¾t Si phan thêm vào S(t) cna tat ca xung đi¾n đen khoang nho thú i vói i = 1, , n Ta đ¾t Ni = N (ih) − N (ih − h) so xung đi¾n đen khoang nho thú i Ai,j bieu dien biên đ® cna chúng vói j = 1, , Ni Vì moi xung đi¾n đen khoang nho thú i tai thịi điem t có h¾ thong m®t khoang thịi gian tù (n − i)h (n − i + 1)h nên: Ni Σ j= Ai,je−α(n−i+1)h ≤ Si ≤ Ni Σ j= Ai,je−α(n−i)h Phương trình dưói h¾ qua đơn gian tù bat thúc trên: Σ + o(h) Σ Ni E[Si] = E −α(n−i)h Σ Ai,je j= Và (do V ar(Si) = E[S2] − E2[Si]) có i Ni Ai,je−α(n−i)h + o(h) V ar(Si) = V Σ ar Σ j= ΣVì Ni j= Ai,j m®t bien Poisson ngau nhiên đa hop nên E[Si] = λhE[A]e−α(n−i)h + o(h) V ar(Si) = λhE[A2]e−2α(n−i)h + o(h) Tính tőng E[Si] tù i = đưoc n Σ E[S(t)] = E[Si] i=1 n Σ = λhE[A] e−α(n−i)h + no(h) i= 1n Σ = λhE[A] e−αjh + no(h) j=0 Lay h → ta có o(h) = λhE[A] − +t h e−αt 1− e−αh λE [A ] E[S(t)] = (1− e−αt) α Vì theo gia thiet gia so đc lắp cna quỏ trỡnh Poisson rang Si đc lắp, tớnh tng V ar(Si) tự i = đen n ta đưoc V ar(S(t)) = n Σ V ar(Si) i=1 = λhE[A2] n Σ e−2α(n−i)h + no(h) i=1 = λhE[A2] 1−2αt − e Lay h → thu đưoc ket qua 1− e−2αh o(h) +t h V ar(S(t)) = λE[A2] e2α (1 − −2αt ) 3.4 Phân loai bien co cua m®t q trình Poisson khơng dÈng Quan sát m®t q trình Poisson khơng dùng {N (t), t ≥ 0} có hàm cưịng đ® λ(t) Gia su m®t bien co xay tai thịi iem s đc lắp vúi cỏc bien co trúc ú m®t bien co loai vói xác suat p(s) ho¾c loai vói xác suat − p(s), s ≥ GQI Ni (t) so bien co loai i xay tính đen thịi điem t M¾nh đe sau thưịng đưoc áp dung tốn M¾nh đe 3.4.1 {N1(t), t ≥ 0} {N2(t), t ≥ 0} q trình Poisson khơng dùng đ®c lắp cú hm cng đ tng ỳng l (t)p(t) v λ(t)(1 − p(t)) Chúng minh Đe chúng minh {N1(t), t ≥ 0} m®t q trình Poisson khơng dùng có hàm cưịng đ® λ(t)p(t), ta phai chúng minh thoa mãn đ¾c điem cna q trình Poisson khơng dùng sau (i) N (0) = =⇒ N1(0) = (ii) Vì so bien co loai xay moi khoang thịi gian phu thu®c vào q trình ban đau chi qua so lan xuat hi¾n cna tat ca bien co xay khoang thòi gian ú nờn ắc iem gia so đc lắp cna {N (t), t ≥ 0} so bien co loai xuat hiắn moi khoang thũi gian l đc lắp vói so bien co xuat hi¾n moi khoang thịi gian đưoc phân chia Do đó, {N1(t), t ≥ 0} cú gia so đc lắp (iii) Co %nh t, GQI N (t, t + h) = N (t + h) − N (t) N1(t, t + h) = N1(t + h) − N1(t) P{N1(t, t + h) = 1} = P{N1(t, t + h) = | N (t, t + h) = 1}P{N (t, t + h) = 1} + P{N1(t, t + h) = | N (t, t + h) ≥ 2}P{N (t, t + h) ≥ 2} = p(t)λ(t)h + o(h) (iv) P{N1(t, t + h) ≥ 2} ≤ P{N (t, t + h) ≥ 2} = o(h) Tù công thúc trên, {N1 (t), t ≥ 0} q trình Poisson khơng dùng có hàm đ (t)p(t) v lắp luắn tng tn ta thay {N2 (t), t ≥ 0} q trình Poisson khơng dùng có hàm cưịng đ® λ(t)(1 − p(t)) Nó chỳng to hai quỏ trỡnh Poisson ny đc lắp GQI Ht dien bien cna q trình trưóc cho tói thịi điem t Khi đó, Ht bieu dien chi tiet tat ca thòi gian xay bien co loai loai cho đen thòi điem t Do ắc iem cna gia so đc lắp cna {N (t), t ≥ 0} nên P{N1(t + h) − N1(t) = | Ht} = P{N1(t + h) − N1(t) = 1} Vì {N (t), t ≥ 0} trình Poisson không dùng nên thông tin ve bien co xay trưóc thịi điem t khơng có anh hưong tói xác suat cna so bien co xay khoang thịi gian tù t tói t + h Do đó, bat kỳ sn xuat hi¾n cna bien co loai (ho¾c loai 1) đoan [0, t] khơng thay đői phân phoi xác suat cna so bien co loai xay giua thòi điem t t + h, qua chúng to rang {N1(t), t ≥ 0} v {N2t), t 0} đc lắp vúi Vớ dn 3.4.1 Quan sỏt n phộp thu đc lắp moi phép thu cho m®t Σk ket qua 1, , k vói xác suat tương úng p1, , pk, i= pi = Gia su thêm rang n > k Ta can tính xác suat p đe moi ket qua xay ra1 nhat m®t lan n phép thu Thay tìm so p cu the, ta se xem xét phương pháp ưóc lưong p n lón sau Gia su phép thu không xay tai thòi điem co đ%nh mà tai thòi điem đưoc cHQN theo m®t q trình Poisson tham so Khi ú, suy rđng tự Mắnh e 3.4.1 túi trũng hop moi bien co có the có k loai mà sn xuat hi¾n cna ket qua loai i trình Poisson có tham so tương úng pi , i = 1, , k Do đó, neu Ti lan xuat hi¾n đau tiên cna bien co loai i ta có the ket lu¾n rang T1 , , T − k bien ly thựa ngau nhiờn đc lắp cú tham so tng úng p1 , , pk Đ¾t T = max Ti thòi điem đau tiên sau tat ca ket qua xuat hi¾n nhat m®t lan Khi P{T ≤ t} = P{Ti ≤ t, i = 1, , k} = k Y P{Ti ≤ t} i= 1k = Y (1 − e−pi t ) i=1 Tuy nhiên, neu N (t) so phép thu xay cho đen thịi điem t P{T ≤ t} = E[P{T ≤ t | N (t)}] Vì N (t) bien Poisson ngau nhiên có tr% so trung bỡnh t v đ lắch chuan t; nên vói t lón, N (t) se tien tói gan t (trong khoang t ± t ) vói xác suat lón Do đó, ta có the thay n lón P{T ≤ n} ≈ P{T ≤ n | N (n) = n} Vì P{T ≤ n | N (n) = n} p, xác suat đe moi ket qua k ket qua xay nhat m®t lan n phép thu, ta thay p≈ k Y (1 − e−npi ) i=1 Ta có the áp dung phương pháp trên, gia su phép thu xay tai thịi điem đưoc cHQN theo m®t q trình Poisson có tham so đe tìm bieu thúc tính E[N ] N so phép thu can đe thu đưoc nhat m®t moi loai ket qua Trưóc het, E[T ] thịi gian kỳ vQNG đe tat ca phép thu xay đưoc cho boi E[T ] = ∫ ∞ P{T > t}dt = ∫ ∞0(1 − P{T > t})dt = ∫ ∞ − k Yi=1 (1 − e−pi t ) Σdt Đe tìm moi quan h¾ giua E[T ] E[N ], GQI Xi thòi gian lan đen thú i cna trình Poisson đem so phép thu Khi T = N Σ Xi i=1 Do N v chuoi Xi, i đc lắp nờn kiem tra đieu ki¾n vói N , ta có E[T ] = E[E[T | N ]] = E[NE[Xi]] = E[N ] Do E[N ] = ∫ ∞ − Yki =1 (1 − e−pi t ) Σdt Ví dn 3.4.2 Chuoi Poison tiep dien vơ han vói lưot đen theo q trình Poisson khơng dùng Gia su khách hàng đen tram xăng theo m®t q trình Poisson khơng dùng có hàm cưịng đ® λ(t) Khi đen, m®t khách hng lắp tỳc su dung mđt vụ so bình xăng có the Tat ca thịi gian đő xăng l cỏc bien đc lắp ngau nhiờn cú hm phõn phoi G Tìm phân phoi chung cna X(t) so khách hàng h¾ thong tai thịi điem t Y (t) so khách hàng đưoc đő xăng cho đen thòi điem t Lài giai Co đ%nh t, gia su m®t ngưịi đen vào thịi điem s, s ≤ t ngưịi đen loai neu ngưịi van o h¾ thong tai thịi điem t ngưịi đen loai neu ngưịi đưoc đő xăng cho tói thịi điem t Vì m®t ngưịi đen vào thòi điem s se loai neu thịi gian đő xăng lón t − s tat ca thịi gian đő xăng có phân phoi G nờn đc lắp vúi quỏ khỳ, mđt ngũi en tai thòi điem s se ngưòi đen loai vói xác suat G(t − S) Do đó, tù M¾nh đe 3.4.1, ta có the ket lu¾n rang X(t) Y (t) l cỏc bien Poisson ngau nhiờn đc lắp có tr% so trung bình tương∫ úng E[X(t)] = t λ(s)G(t − s)ds ∫t E[Y (t)] = λ(s)G(t − s)ds Trong trưịng hop đ¾c bi¾t, q trình đen q trình Poisson vói tham so λ X(t) Y (t) bien ngau nhiên Poisson đc lắp cú t t E[X(t)] = G(y)dy, 3.5 E[Y (t)] = G(y)dy ♦ Phân phoi cú ieu kiắn cua cỏc thi iem en Vúi mđt bien co riêng m®t q trình Poisson khơng dùng xay trưóc thịi điem t, ta se tìm phân phoi có đieu ki¾n cna thịi điem xay bien co GQI S1 thòi điem xay bien co, vói ≤ s ≤ t, P{S1 ≤s |N (t) = } P { S1 ≤ s, N (t) = 1} P{N (t) = 1} P { N (s) = 1, N (t) − N (s) = 0} = m(t)e−m(t) P { N (s ) = } P { N (t ) − N (s ) = } = m(t)e−m(t) m(s)e−m(s)e−(m(t)−m(s)) = m(t)e−m(t) m(s ) = m(t) = Do đó, vói N (t) = 1, mắt đ cú ieu kiắn cna S1 l λ(s) fS1|N (t)=1(s) = m(t) , 0≤ s≤ t (3.10) ieu ny chỳng to tựy thuđc vo ieu kiắn n bien co trưóc thịi điem t, t¾p hop chưa sap xep cna n thòi điem xay bien co đc lắp v oc phõn phoi giong hắt theo hm mắt đ (3.10) e ieu chinh phng trỡnh trờn xác hơn, ta can hieu khái ni¾m ve thong kê thú tn GQI Y1 , , Yn n bien ngau nhiên Ta nói rang Y(i) , i = 1, , n thong kê thú tn tương úng cna chúng neu Y (i) so nho thú i Gia su Y1 , , Yn bien ngau nhiờn liờn tuc đc lắp v cựng phõn phoi v cú hm mắt đ f Cú the tớnh oc mắt đ chung cna Y(i) , i = 1, , n (Y(1), Y(2), , Y(n) bang (y1, y2, , yn) neu (Y1, Y2, , Yn) bang m®t n! hốn v% cna (y1, y2, , yn); v mắt đ xỏc suat đe (Y1, Y2, , Yn) bang (yi1 , yi2 , , yin ) n Y n f (yij ) = j= Y j= f (yj ) (yi1 ), yi2 , , yin ) là1hoán v% cna (y1, y2, , yn) Thnc v¾y, tù phương trỡnh trờn, mắt đ chung cna Y(i), i = 1, , n đưoc cho boi n Y f (y1, y2, , yn) = n! f (yj), y1 < y2 < < yn (3.11) n=1 M¾nh đe 3.5.1 Biet N (t) = n, n thài điem bien co < S1 < S2 < < Sn < t đưac phân phoi theo thong kê thỳ tn tự mđt hap n bien ngau nhiờn đc lắp cựng phõn phoi cú hm mắt đ (s) F (s) = m(t) , 0≤ s≤ t Chúng minh GQI X(s) thòi gian xay bien co đau tiên cna q trình Poisson khơng dùng sau thịi điem s Vói s < y , P{X(s) > y} = P{ khơng có bien co (s, t]} = exp, y , (x)dx s Do vắy, hm mắt đ cna X(s) fX(s) (y) = λ(y)exp, − ∫ y ,= λ(y)e−(m(y)−m(s)) λ(x)dx s Lưu ý rang < t1 < t2 < < tn < t, S1 = t1, , Sn = tn, N (t) = n ⇐⇒ X(0) = t1 X(t1) = t2, , X(tn−1) = tn, X(tn) > t Vì gia so đ®c lắp nờn X(ti) đc lắp vúi tat ca bien co xay cho tói thịi điem ti coi m¾t đ® hàm phân phoi xác suat, ta thay P{X(0) = t1, X(t1) = t2, , X(tn−1) = tn, X(tn) > t} = P{X(0) = t1}P{X(t1) = t2} P {X(tn−1) = tn}P{X(t n) > t} = λ(t1)e−m(t1)λ(t2)e−(m(t2)−m(t1)) λ(tn)e−(m(tn)−m(tn−1))e−(m(t)−m(tn)) = λ(t1) λ(tn)e−m(t) Tù đó, ta có, vói < t1 < t2 < < tn < t, P{S i P{ S i = ti, i = 1, , n, N (t) = n =}t , i = 1, , n | N (t) = n} = = P{N (t) = n} λ(t1) λ(tn)e−m(t) e−m(t)m(t)n/n! n Y λ(t ) = n! i=1 i m(t) Cơng thúc hm mắt đ chung cna thong kờ thỳ tn tự mđt mau kớch thúc n vúi hm mắt đ (s) f (s) = m(t) , 0≤ s≤ t Ta đưoc ket qua Nh¾n xét Ta có the chúng minh M¾nh đe 3.5.1 ch¾t che bang cách thay the P{S i = ti, } bang P{S i ∈ (ti, ti + s), }, chia cho sn đ¾t s tien tói Tài li¾u tham khao Tieng Vi¾t [1] Đ¾ng Hùng Thang (2012), Má đau ve lý thuyet xác suat úng dnng, NXB Giáo duc Vi¾t nam [2] Nguyen Duy Tien, Vũ Viet Yên (2013), Lý Thuyet Xác suat, NXB Giáo duc Vi¾t Nam Tieng Anh [3] Barbour, A.,Holst, L., and Jansen, S (1992),Poisson Approximations Oxford University Press [4] Bollobas, B (1999), Random Graphs 2nd ed., San Diego: Academic Press [5] Ross, S (1996), Stochastic Processes 2nd ed., NY: Wiley [6] Sheldon M.Ross (2002), Probability Models for Computer science, Harcourt/ Academic Press 117 ... TH± THU HANG M®T SO MƠ HÌNH XÁC SUAT TRONG KHOA HOC MÁY TÍNH Chuyên ngành: Lý thuyet Xác suat Thong kê tốn hoc Mã so: 60406106 LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC: GS.TSKH Đ¾NG... tích xác suat cna thu¾t tốn đeu su dung phương pháp xác suat Trong lu¾n văn này, tơi muon giói thi¾u loai mơ hình phân tích xác suat huu dung nhat khoa HQc máy tính Gia su vói m®t hàm mo đau xác. .. trưóc m®t đinh xuat hi¾n hai lan cịn W tőng xác suat cna đinh (xem Hình 1.4) Hình 1.4 Đe tính tốn xác suat đo th% liên thơng, ta lay đieu ki¾n vói N : n Σ Xác suat đo th% liên thông = P (đo th% liên