Một số mô hình xếp hàng và ứng dụng

ĐAI HO QUỐ C GIA HÀ NÔI C TRƢỜ NG ĐAI HO KHOA C HOC TỰ NHIÊN - NGUYỄN THỊ HÀ MỘT SỐ MƠ HÌNH XẾP HÀNG VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Lý thuyết xác xuất thống kê toán học Mã số: 604601106 LUÂN SĨ KHOA HỌC VĂN THAC NGƢỜI HƢỚNG DẪN: Ts Trần Mạnh Cƣờng Hà Nội - 2016 Mục Lục MỞ ĐẦU Error! Bookmark not defined CHƢƠNG Error! Bookmark not defined KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Error! Bookmark not defined 1.1 Phân bố Poisson phân bố mũ .Error! Bookmark not defined 1.1.1 Phân bố Poisson .Error! Bookmark not defined 1.1.2 Phân bố mũ: Error! Bookmark not defined 1.2 Xích Markov Error! Bookmark not defined 1.2.1 Phân loại trạng thái xích Markov Error! Bookmark not defined 1.3 Quá trình Markov Error! Bookmark not defined 1.3.1 Trƣờng hợp không gian trạng thái hữu hạn Error! Bookmark not defined 1.3.2 Trƣờng hợp không gian trạng thái vô hạn đếm đƣợc Error! Bookmark not defined CHƢƠNG 2: Error! Bookmark not defined MỘT SỐ MƠ HÌNH XẾP HÀNG Error! Bookmark not defined 2.1 Khái niệm phân loại trình xếp hàng Error! Bookmark not defined 2.1.1 Khái niệm trình xếp hàng .Error! Bookmark not defined 2.1.2 Các yếu tố hàng đợi Error! Bookmark not defined a Bố trí vật lí hệ thống Error! Bookmark not defined b Nguyên tắc phục vụ Error! Bookmark not defined c Các phân phối xác suất dịng tín hiệu, dòng phục vụ Error! Bookmark not defined 2.1.3 Phân tích hàng đợi Error! Bookmark not defined 2.1.4 Phân loại Kendall Error! Bookmark not defined 2.1.5 Mục tiêu phân tích hàng đợi Error! Bookmark not defined 2.2 Một số mơ hình xếp hàng Error! Bookmark not defined 2.2.1 Mơ hình xếp hàng sinh – chết tổng quát .Error! Bookmark not defined 2.2.2 Mơ hình hàng đợi M/M/1 Error! Bookmark not defined a Phân bố giới hạn Error! Bookmark not defined b Thời gian khách hàng chờ đợi Error! Bookmark not defined c Thời gian bận rộn Error! Bookmark not defined d Quá trình dời Error! Bookmark not defined e Bài tốn ví dụ Error! Bookmark not defined 2.2.3 Mơ hình hàng đợi M/M/s .Error! Bookmark not defined a Thời gian chờ đợi Error! Bookmark not defined b Thời gian bận rộn .Error! Bookmark not defined c Quá trình dời Error! Bookmark not defined d Bài tốn ví dụ Error! Bookmark not defined 2.2.4 Mơ hình hàng đợi hữu hạn M/M/s/K Error! Bookmark not defined a Bài tốn ví dụ Error! Bookmark not defined 2.2.5 Mô hình hàng đợi M/G/1 .Error! Bookmark not defined a Phân bố giới hạn Error! Bookmark not defined b Thời gian chờ đợi .Error! Bookmark not defined c Thời gian bận rộn Error! Bookmark not defined d Bài tốn ví dụ Error! Bookmark not defined 2.2.6 Mơ hình hàng đợi G/M/1 .Error! Bookmark not defined a Phân bố giới hạn Error! Bookmark not defined b Thời gian chờ đợi .Error! Bookmark not defined c Chu kỳ bận rộn Error! Bookmark not defined d Bài tốn ví dụ Error! Bookmark not defined CHƢƠNG 3: Error! Bookmark not defined ỨNG DỤNG Error! Bookmark not defined 3.1 Mô số mơ hình xếp hàng Matlab Error! Bookmark not defined 3.1.1 Mô hàng đợi M/M/1 Error! Bookmark not defined 3.2 Ứng dụng mơ hình xếp hàng toán định Error! Bookmark not defined a) Xét ba toán sau .Error! Bookmark not defined b) Hàm giá: .Error! Bookmark not defined KẾT LUẬN .Error! Bookmark not defined TÀI LIỆU THAM KHẢO Error! Bookmark not defined MỞ ĐẦU Lý thuyết xếp hàng đƣợc nghiên cứu ứng dụng rộng rãi giới nhiều lĩnh vực ngành nghề khác nhƣ bƣu viễn thơng, hàng khơng, đƣờng sắt, kiểm sốt lƣu lƣợng giao thơng, đánh giá hiệu hệ thống máy tính, y tế chăm sóc sức khỏe, không lƣu, bán vé … Trong nhiều hệ thống phục vụ, khách hàng (costumer) phải dùng chung tài nguyên, phải chờ để đƣợc phục vụ bị từ chối phục vụ Lý thuyết trình xếp hàng (queueing process) xác định tìm phƣơng án tối ƣu để hệ thống phục vụ tốt Trong nửa đầu kỷ 20 lý thuyết xếp hàng đƣợc ứng dụng để nghiên cứu thời đợi hệ thống điện thoại Ngày lý thuyết xếp hàng cịn có nhiều ứng dụng lĩnh vực khác nhƣ mạng máy tính, việc quản lý xí nghiệp, quản lý giao thơng hệ phục vụ khác … Ngoài lý thuyết xếp hàng cịn sở tốn học để nghiên cứu ứng dụng nhiều toán kinh tế nhƣ đầu tƣ, kiểm kê, rủi ro bảo hiểm, thị trƣờng chứng khốn … Chuỗi Markov q trình xếp hàng với thời gian rời rạc đƣợc xem xét giáo trình xác suất thống kê Quá trình sinh tử q trình xếp hàng, sinh biểu thị đến tử biểu thị rời hàng hệ thống Đối với lý thuyết xếp hàng ta quan tâm đến số đo hiệu năng, giá trị trung bình q trình đạt trạng thái dừng bao gồm: độ dài hàng đợi trung bình hàng, độ dài hàng đợi trung bình hệ thống, thời gian đợi trung bình hàng (trễ hàng) thời gian đợi trung bình hệ thống (trễ hệ thống) Để tính đại lƣợng ta sử dụng phƣơng pháp giải phƣơng trình tích phân dạng Wiener – Hopf phƣơng pháp khảo sát chuỗi Markov nhúng Từ suy cơng thức tính phân bố ổn định cho loại hàng M/M/k, M/M/k/N; Cơng thức tổng qt tính giá trị trung bình cho hàng G/G/1 công thức cụ thể cho hàng đặc biệt M/M/1, M/D/1 M/�� /1 … Luận văn tìm hiểu số mơ hình xếp hàng ứng dụng Nội dung luận văn gồm ba chƣơng Chƣơng 1: Kiến thức chuẩn bị Chƣơng trình bày số phân bố xác suất liên quan nhƣ: Phân bố Poisson, phân bố mũ Những định nghĩa, định lý xích Markov, phân loại trạng thái xích Markov, q trình Markov gồm trƣờng hợp không gian trạng thái hữu hạn không gian trạng thái vô hạn đếm đƣợc Chƣơng 2: Một số mô hình xếp hàng Trình bày số mơ hình xếp hàng gồm: Mơ hình hệ thống xếp hàng Markov đơn giản gồm mơ hình xếp hàng Birth- and – Death tổng qt, trình bày cụ thể mơ hình hàng đợi M/M/1, M/M/s mơ hình hàng đợi hữu hạn M/M/s/K Mơ hình chuỗi Markov nhúng trình bày tổng quát chuỗi Markov nhúng cụ thể mô hình hàng đợi M/G/1 G/M/1 Chƣơng 3: Ứng dụng Chƣơng tìm hiểu vài ứng dụng đơn giản mơ hình xếp hàng bao gồm: Mơ số mơ hình Matlab ứng dụng mơ hình xếp hàng tốn định Dù có nhiều cố gắng nhƣng thời gian khả có hạn nên vấn đề luận văn chƣa đƣợc trình bày sâu sắc khơng thể tránh khỏi sai sót Em mong đƣợc góp ý xây dựng thầy bạn Em xin chân thành cảm ơn! CHƢƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chƣơng em xin trình bày sốphân bốxác suất liên quan phân bố Poisson, phân bố mũvà số định nghĩa, định lý xích Markov gồm hai trƣờng hợp khơng gian trạng thái hữu hạn không gian trạng thái vô hạn đếm đƣợc để chuẩn bị kiến thức cho chƣơng khóa luận 1.1 Phân bố Poisson phân bố mũ 1.1.1 Phân bố Poisson Định nghĩa.Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận giá trị từ 0, 1, 2, … gọi phân phối Poisson với tham số λ nếu: �− �� �! ��=� = � = 0, 1, 2, … Ký hiệu: X ~ Poisson(λ) Kỳ vọng: ∞ � � = � �=0 Phƣơng sai : D(X) = � � − ∞ �� �− = �� � − � − 1! �! �=1 2=λ Do đó, viết: X ~ Poisson (µ) Mơ hình Poisson: Giả sử quan tâm đến số lần xảy kiện A khoảng thời gian không gian liên tục có chiều dài w; với điều kiện số lần xảy khoảng không giao độc lập nhau, xác suất xuất A nhiều lần khoảng bé Hơn nữa, “cƣờng độ” xuất A không thay đổi, tức số lần xuất trung bình A khoảng phụ thuộc vào độ dài khoảng Với điều kiện trên, gọi X BNN số lần xuất A khoảng chiều dài w ngƣời ta chứng minh đƣợc X tuân theo luật phân phối Poisson với tham số λ = mw, m số dƣơng “cƣờng độ” xuất A Thí dụ, số điện thoại gọi đến phút trạm đó; sốlỗi trang giấy sách dầy; số đơn đặt hàng gửi tới sở tháng, … Biến ngẫu nhiên số lần xuất nêu đƣợc nhà tốn học Simeon D Poisson nghiên cứu hình thành phân phối Poisson Ngồi ra, phân phối Poisson cịn đƣợc dùng để tính xấp xỉ phân phối nhịthức B(n;p) n lớn p gần gần Định lý Poisson Giả sử dãy n phép thử độc lập, biến cố A xuất với xác suất �� phép thử Nếu � → ∞ mà �� → cho � �� = � (λ số dƣơng) với � ∈ {0,1,2, … , �}, có: lim � � �� − �−� � � � �= �→∞ �� �−� �! Hệ quả: Nếu �~�(�, �), với � > 30 (�� < ��� � − � < 5) xem �~������� (��) Định lí: Cho hai biến ngẫu nhiên X Y độc lập Nếu �~������� (�) �~������� (�) biến ngẫu nhiên � + �~������� (� + �) 1.1.2 Phân bố mũ: Định nghĩa: Hàm mật độ xác suất phân phối mũ có dạng sau: �� ,�≥0 � �, � = −�� ,� < Trong λ tham số phân bố, thƣờng đƣợc gọi tham số tỉ lệ Phân bố đƣợc hỗ trợ dựa khoảng [0; ∞) Nếu biến ngẫu nhiên X có phân phối này, ta viết: �~����������� (�) Đặc tả: Một cách khác để định nghĩa hàm mật độ xác suất phân phối mũ nhƣ sau: � −�/� ,�≥ � �, � = � ,� < Trong � > tham số phân bố đƣợc coi nghịch đảo tham số tỉ lệ đƣợc định nghĩa Trong đặc tả, λ tham số sống sót theo nghĩa: biến ngẫu nhiên X khoảng thời gian mà hệthống sinh học học M cho trƣớc sống sót đƣợc �~����������� (�)thì � � = � Nghĩa khoảng thời gian sống sót kì vọng M λ đơn vị thời gian Tính chất: + Giá trị trung bình phương sai: Giá trị trung bình hay giá trị kì vọng biến ngẫu nhiên phân phối mũ X với tham số tỉ lệ λ đƣợc cho công thức: � � = � Phƣơng sai X là: �2 + Tính khơng nhớ: Một tính chất quan trọng phân phối mũ khơng nhớ Nghĩa biến ngẫu nhiên T có phân phối mũ xác suất điều kiện phải thỏa mãn: �(� > � + �/� > �) = � � > � , ∀ �, � ≥ 1.2 Xích Markov Xét hệ đƣợc quan sát thời điểm rời rạc 0,1,2, Giả sử quan sát X0, X1, , Xn, Khi ta có dãy đại lƣợng ngẫu nhiên (ĐLNN) (Xn) Xn trạng thái hệ thời điểm n Giả thiết X n, n = 0,1, ĐLNN rời rạc Ký hiệu E tập giá trị (X n) Khi E tập hữu hạn hay đếm đƣợc, phần tử đƣợc ký hiệu i, j, k Ta gọi E không gian trạng thái dãy Định nghĩa 1.2.1.Ta nói dãy ĐLNN (Xn) xích Markov với n1< < nk< nk+1 với i1, i2, , ik+1∈ E, ta có: � �� � +1 = �� +1 /�� = �1 , �� = �2 , … , �� � = �� = � �� � +1 = �� +1 /�� � = �� Ta coi thời điểm nk+1 tƣơng lai, nk n1, , nk -1 khứ Nhƣ vậy, xác suất có điều kiện kiện B tƣơng lai biết khứ hệ giống nhƣ xác suất có điều kiện B biết trạng thái hệ Đó tính Markov hệ Đơi tính Markov hệ cịn phát biểu dƣới dạng: Nếu biết trạng thái hệ khứ tƣơng lai độc lập với Giả sử � �� +� = �/�� = � xác suất để xích thời điểm m trạng thái i sau n bƣớc, thời điểm m + n chuyển sang trạng thái j Đây số nói chung phụ thuộc vào i, j, m, n Nếu đại lƣợng khơng phụ thuộc m ta nói xích Ký hiệu: ��� = � ��+1 = � /�� = , ��� � = � �� +� = �/�� = � Ta gọi (��� , �, � ∈ �) xác suất chuyển sau bƣớc hay xác suất chuyển (��� � , �, � ∈ �) xác suất chuyển sau n bƣớc Chú ý rằng: � ∈� ��� � ∈� ��� = 1, � = Phân bố X0 đƣợc gọi phân bố ban đầu Ta ký hiệu �� = �(�0 = �) Định lý 1.2.1.Phân bố đồng thời (X0, X1, , Xn) hoàn toàn xác định từ phân bố ban đầu xác suất chuyển Cụ thể ta có: � �0 = �0 , �1 = �1 , … , �� = �� = �� �� � … �� � −1 � � Nhƣ phân bố đồng thời �0, … , �� đƣợc xác định phân bố ban đầu xác suất chuyển Định lý 1.2.2.(Phương trình C - K (Chapman-Kolmogorov)): ��� (n + m) = � ∈� ��� (n) ��� (m) Trong trƣờng hợp E có d phần tử, ta ký hiệu� = (��� ), �(�) = (�ij(n))là ma trận vng cấp � × � P đƣợc gọi ma trận xác suất chuyển, P(n) đƣợc gọi ma trận xác suất chuyển sau n bƣớc Khi từ phƣơng trình Chapman Kolmogorov tƣơng đƣơng với: �(� + �) = �(�)�(�) Vì P = P(1) nên quy nạp ta dễ thấy: �(�) = � � Gọi �� � = � �� = � Ký hiệu vecto � � = (�1 (�), … , �� � )là vector hàng d - chiều mô tả phân bố ��, � = � = (�1 , �2 , … , �� )là vector hàng d chiều mô tả phân bố ban đầu (Phân bố của�0) Định lý 1.2.3.Ta có: � � + � = � � �� Định nghĩa 1.2.2.Phân bố ban đầu � = (�� ), � ∈ � gọi phân bố dừng ta có �(�) = � với n tức �� � = �� ∀� ∈ � , ∀� Khi dãy (�� ) có phân bố Từ định lý 1.2.3 ta suy � = (�� ) phân bố dừng nếu: • �� ≥ �∈� �� = 1, ∀� ∈ � • �� = �∈� �� �� Định lý 1.2.4.Giả sử (�� ) xích Markov với khơng gian trạng thái E = 1,2, với ma trận xác suất chuyển � = (��� ) ma trận xác suất chuyển sau n bước là� � = ��� (�) Ta nói xích có phân bố giới hạn với i, j ∈ E tồn giới hạn: lim � � = � �� � �→ ∞ Giới hạn khơng phụ thuộc i ∈ E đó: • � ∈� �� ≤ πj = � ∈� �� ��� • Hoặc πj = với j ∈ E, � ∈� �� = • Nếu � ∈� �� = U = (π1, π2, ) phân bố dừng phân bố dừng Nếu πj = với j ∈ E phân bố dừng không tồn Ý nghĩa phân bố giới hạn nhƣ sau: Gọi �� (�) = �(�� = �) Ký hiệu vector �(�) = (�1 (�), �2 (�), )là vector hàng d - chiều mô tả phân bố �� Ta có: P(Xn = j) = � ∈� �(X0 = i)��� (n) Do đó: lim� → ∞ � �� = � = � ∈� � �0 = � lim� → ∞ ��� (�) = � ∈� � �0 = � �� = �� Định nghĩa 1.2.3.Giả sử (�� ) xích Markov với khơng gian trạng thái E ={1, 2, } với ma trận xác suất chuyển � = ��� (�)và ma trận xác suất chuyển sau n bước �(�) = ��� (�) Ta nói xích có phân bố giới hạn với i, j ∈ E tồn giới hạn: lim� → ∞ ��� (n) = πj Giới hạn không phụ thuộc i ∈ E � ∈� �� = Nói cách khác, vecto giới hạn � = (�1 , �2 , ) lập thành phân bố xác suất E Vậy phân bố �(�) �� hội tụ tới phân bố giới hạn π Khi n lớn ta có (�� = �) ≈ �� Theo định lý 1.1.4 phân bố giới hạn tồn phân bố dừng tồn Hơn hai phân bố trùng Tuy nhiên điều ngƣợc lại không tức có xích Markov có tồn phân bố dừng nhƣng không tồn phân bố giới hạn Định lý 1.2.5.Cho (�� ) xích Markov với khơng gian trạng thái hữu hạn E = {1,2, ,d} với ma trận xác suất chuyển sau n bước �(�) = (��� (n)).Khi có tồn phân bố giới hạn π = (π1, , πd ) với �� > ∀� ∈ � xích quy theo nghĩa: Tồn �0sao cho: ��� �0 > 0, ∀�, � ∈ � 1.2.1 Phân loại trạng thái xích Markov Định nghĩa 1.2.4.Ta nói trạng thái i đến trạng thái j ký hiệu � → � tồn � ≥ cho ��� (�) > (Ta quy ước ��� = 1, ��� (0) = nếu(i ≠ j)) Hai trạng thái i j gọi liên lạc � → �và � → � Trong trường hợp ta viết � ↔ � Định nghĩa 1.2.5.Xích Markov gọi tối giản hai trạng thái liên lạc Có nghĩa theo cách phân lớp E khơng thể phân hoạch thành lớp nhỏ Định nghĩa 1.1.6.Ký hiệu ��� � xác suất để hệ xuất phát từ i lần quay lại i thời diểm n Nghĩa là: ��� (n) = P(Xn = i, ��−1 ≠ i, , �1 ≠ i|X0 = i) ∗ ký hiệu: ��� = ∞ �=1 ��� (�) Định lý 1.2.6.Trạng thái i hồi quy khi: ∞ �=1 ��� (�)= ∞ Định lý 1.2.7.Nếu i ↔ j j hồi quy i hồi quy Chứng minh: Theo giả thiết tồn �, � cho��� (n) > 0, ��� (m) > Với số nguyên dƣơng h từ phƣơng trình C-P suy ra: ��� (n + h + m) ≥ ��� (n)��� (h)��� (m) Vậy: ∞ �=1 ��� (n + h + m) ≥ ��(n)��� (m) ∞ �=1 ��� (h) = ∞ Vậy i hồi quy Định lý 1.2.8 Ký hiệu ��� xác suất để hệ xuất phát từ i quay lại i vô số lần, ��� xác suất để hệ xuất phát từ i qua j vơ số lần Khi đó: • (i) Nếu i hồi quy ��� = 1, i khơng hồi quy ��� = • (ii) Nếu i hồi quy � ↔ �thì��� = Nói riêng, với xác suất hệ xuất phát từ i sau số hữu hạn bước qua j Định lý 1.2.9.Cho (�� ) xích tối giản khơng hồi quy Khi với i, j: ∞ �=1 ��� � < ∞ Nói riêng lim� → ∞ ��� = xích khơng tồn phân bố dừng Định lý 1.2.10.Cho (�� ) xích tối giản hồi quy khơng có chu kỳ Khi với i, j ta có: lim� → ∞ ��� (n) = �� đó: µ� = ∞ ���� (k) �=1 Định nghĩa 1.2.7.Trạng thái hồi quy i gọi trạng thái hồi quy dương �� < ∞ gọi trạng thái hồi quy khơng µ� = ∞ Định lý 1.2.11.Giả sử � → � Nếu i hồi quy dương j hồi quy dương Nếu i hồi quy khơng j hồi quy khơng Định lý 1.2.12.Giả sử (�� ) xích tối giản khơng có chu kỳ với khơng gian trạng thái đếm E Khi xảy ba khả sau đây: • 1)Mọi trạng thái khơng hồi quy Khi với i, j ta có: ���� → ∞ ��� (n) = Xích khơng có phân bố dừng • 2) Mọi trạng thái hồi quy khơng Khi với i, j ta có: ���� → ∞ ��� = Xích khơng có phân bố dừng • 3) Mọi trạng thái hồi quy dương Khi với i, j, ta có: ���� → ∞ ��� = πj> và� = (�1 , �2 , ) phân bố giới hạn (và phân bố dừng) xích Định lý 1.2.13.Giả sử (�� ) xích tối giản khơng có chu kỳ với không gian trạng thái hữu hạn E = {1, 2, , d} Khi trạng thái hồi quy dương xích có phân bố giới hạn � = (�1, �2 , , �� ) Phân bố phân bố dừng xích Định lý 1.2.14.Giả sử �� xích tối giản với khơng gian trạng thái E đếm Khi đó: • 1.Với �, � ∈ �: �→ ���∞ Nói cách khác dãy �� �−1 � �=1 ��� (�) = �� � hội tụ theo trung bình Cesaro tới πj = khơng phụ thuộc �� i • 2.Dãy � = (�� ) thoả mãn: a) ∞ � =1 �� ≤ 1, b) �� = ∞ �=1 �� ��� Định lý 1.2.15.Cho (�� ) xích Markov tối giản Khi đó: • Nếu E hữu hạn có d phần tử (�1 , , �� ) phân bố dừng • Chỉ có khả sau: a) Mọi trạng thái E không hồi quy b) Mọi trạng thái E hồi quy không c) Mọi trạng thái E hồi quy dương • Nếu E vơ hạn đếm xích có phân bố dừng trạng thát E hồi quy dương Trong trường hợp phân bố dừng 1.3 Quá trình Markov Xét họ ĐLNN rời rạc (�� ), t ≥ với tập số t số thực không âm � ∈ [0, ∞) Ký hiệu � = �� Ω tập giá trị �� Khi E tập hữu hạn hay đếm đƣợc, phần tử đƣợc ký hiệu �à �, �, � Ta gọi (�� ) q trình ngẫu nhiên với khơng gian trạng thái E Định nghĩa 1.3.1 Ta nói (�� ) trình Markov với �1 < < �� < �và với �1 , �2 , �� , � ∈ � ∶ P{Xt = i|��1 = i1, ��2 = i2 , ��� = ik} = P{Xt = i|��� = ik} Nhƣ vậy, xác suất có điều kiện kiện B tƣơng lai biết khứ hệ giống nhƣ xác suất có điều kiện B biết trạng thái hệ Đó tính Markov hệ Đơi tính Markov hệ cịn phát biểu dƣới dạng: "Nếu biết trạng thái �� hệ khứ �� ,� < � tƣơng lai �� , � > � độc lập với nhau." Giả sử: P{��+� = j|Xs = i} xác suất để xích thời điểm s trạng thái i sau khoảng thời gian t, thời điểm t + h chuyển sang trạng thái j Đây số nói chung phụ thuộc vào i, j, t, s Nếu đại lƣợng không phụ thuộc s ta nói xích Ký hiệu: ��� (t) = P{��+� = j|Xs = i} Ta gọi ��� � xác suất chuyển hệ từ trạng thái i sang trạng thái j sau khoảng thời gian t Ký hiệuP(t) = (��� (t), i, j → E) P(t) ma trận hữu hạn hay vô hạn chiều Chú ý rằng: • i)��� (t) ≥ • ii) � ∈� ��� (�)= Phân bố �0 đƣợc gọi phân bố ban đầu Ta ký hiệu �� = �(�0 = �) Định lý 1.3.1.Phân bố hữu hạn chiều q trình (�� ) hồn tồn xác định từ phân bố ban đầu xác suất chuyển Cụ thể với �1 < �2 < < �� phân bố đồng thời (��1 , , ��� ) tính theo cơng thức sau: P(��1 = i1, , ��� = in) = = � ∈� �� ��� �1 �� � �2 − �1 … �� � −1 � � (�� − �� −1 ) Định lý 1.3.2.( Phương trình Chap - Kolmogorov): ��� (t + s) = � ∈� ��� (�)��� (�) 1.3.1 Trƣờng hợp không gian trạng thái hữu hạn Giả sử E = {1, 2, , d} Khi từ phƣơng trình C - K P(t), t > họ ma trận thoả mãn đẳng thức sau: �(� + �) = �(�)�(�) Nói cách khác họ (P(t), t > 0) lập thành nửa nhóm ma trận Từ sau ta giả thiết thêm rằng: 1.��� (0) = δij 2.lim� → ∞ ��� (�)= δij Ở ��� ký hiệu Kronecke: δij = ��� � �= � ��� �≠� � Định lý 1.3.3.Hàm ma trận P(t) hàm liên tục tồn tại: � ′ (0) = ����→ 0+ � � −� � Định lý 1.3.4.Cho trình Markov với nửa nhóm P(t), t > xác suất chuyển Gọi A ma trận cực vi nửa nhóm Khi ta có: �′ � = � � � , ↔ ��� ′ = � ≠� ��� � ��� − ��� � �� (1.3.1) � ′ � = ��(�) , ↔ �′ �� � = � ≠� ��� ��� − ��� (�)�� (1.3.2) với��� cƣờng độ chuyển từ trạng thái i sang trạng thái j �� cƣờng độ thoát khỏi trạng thái i hệ Phƣơng trình (1.3.1) gọi phƣơng trình thuận phƣơng trình (1.3.2) gọi phƣơng trình ngƣợc Kolmogorov Định lý 1.3.5.Cho trình Markov tối giản (�� ) với không gian trạng thái E = 1, 2, , d hữu hạn ma trận xác suất chuyểnP(t) = ��� (t) Khi với �, � ∈ � tồn giới hạn hữu hạn: ��� ��� � = �� �→ ∞ phụ thuộc j khơng phụ thuộc i Thêm vào � = (�1, �2, , �� ) phân bố xác suất thoả mãn phương trình: � = ��(�), ∀� > 1.3.2 Trƣờng hợp không gian trạng thái vô hạn đếm đƣợc Định lý 1.3.6 (1)Với i ≠ j, giới hạn: � ′ (0) = lim �� ��� (�) = � �� � �→ ∞ tồn hữu hạn (2)Với i giới hạn: �′ (0) = lim �� ��� � −1 �→ ∞ � = � �� =−� � tồn vơ Định lý 1.3.7.Cho q trình Markov với P(t) = (��� (t))là họ ma trận xác suất chuyển Gọi A ma trận cực vi trình Khi ta có: �′ (t) = P(t)A, ↔ ��� ′ (t) = � ≠� ��� � ��� − ��� (�)�� (1.3.3) �′ (t) = AP(t), ↔ ��� ′ (t) = � ≠� ��� ��� − ��� (�)�� (1.3.4) với��� cường độ chuyển từ trạng thái i sang trạng thái j cường độ khỏi trạng thái i hệ Phương trình (1.3.3) gọi phương trình thuận phương trình (1.3.4) gọi phương trình ngược Kolmogorov Định lý 1.3.8.Cho trình Markov tối giản (�� ) với khơng gian trạng thái E = 1, 2, , đếm ma trận xác suất chuyểnP(t) = ��� (t) Khi đó, với �, � ∈ � tồn giới hạn hữu hạn: ���� → ∞ ��� (�)= πj phụ thuộc j khơng phụ thuộc i Thêm vào giới hạn � = (�1 , �2 , , ) tất không: �� = ∀� ∈ � tất dương lập thành phân bố xác suất Phân bố gọi phân bố giới hạn trình: πj> ∀j ∈ E, � �� = CHƢƠNG 2: MỘT SỐ MƠ HÌNH XẾP HÀNG 2.1 Khái niệm phân loại q trình xếp hàng Trên thực tế mơ hình xếp hàng cịn đƣợc ứng dụng nhiều lĩnh vực ngành nghề khác nhƣ bƣu viễn thơng, hàng khơng, đƣờng sắt, kiểm sốt lƣu lƣợng giao thơng, … Trong lí thuyết xếp hàng ta quan tâm đến số đo hiệu năng, giá trị trung bình trình đạt trạng thái dừng bao gồm: độ dài hàng đợi trung bình hàng, độ dài hàng đợi trung bình hệ thống, thời gian đợi trung bình hàng (trễ hàng) thời gian đợi trung bình hệ thống (trễ hệ thống) Để tính đại lƣợng ta sử dụng phƣơng pháp giải phƣơng trình tích phân dạng Wiener – Hopf phƣơng pháp khảo sát chuỗi Markov nhúng Từ suy cơng thức tính phân bố ổn định cho loại hàng M/M/k, M/M/k/N; Công thức tổng qt tính giá trị trung bình cho hàng G/G/1 công thức cụ thể cho hàm đặc biệt M/D/1 M/�� /1 …Mà luận văn em đề cập đến số dạng tổng quát, hàng đặc biệt Em mong đƣợc góp ý xây dựng thầy bạn Em xin chân thành cảm ơn! TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đặng Hùng Thắng, Quá trình ngẫu nhiên tính tốn ngẫu nhiên, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội, 2007 [2] Đặng Hùng Thắng, Mở đầu lý thuyết xác suất ứng dụng, Nhà xuất giáo dục, 2005 [3] U.Narayan Bhat, An Introduction to Queueing Theory - Modeling and 76 Analysis in Applications, Birkhauser Boston, 2008  ... Chƣơng 2: Một số mơ hình xếp hàng Trình bày số mơ hình xếp hàng gồm: Mơ hình hệ thống xếp hàng Markov đơn giản gồm mơ hình xếp hàng Birth- and – Death tổng quát, trình bày cụ thể mơ hình hàng đợi... defined ỨNG DỤNG Error! Bookmark not defined 3.1 Mơ số mơ hình xếp hàng Matlab Error! Bookmark not defined 3.1.1 Mô hàng đợi M/M/1 Error! Bookmark not defined 3.2 Ứng dụng mơ hình. .. trình xếp hàng Trên thực tế mơ hình xếp hàng cịn đƣợc ứng dụng nhiều lĩnh vực ngành nghề khác nhƣ bƣu viễn thơng, hàng khơng, đƣờng sắt, kiểm sốt lƣu lƣợng giao thơng, … Trong lí thuyết xếp hàng