Một số mô hình xếp hàng và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGUYỄN THỊ HÀ MỘT SỐ MÔ HÌNH XẾP HÀNG VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Lý thuyết xác xuất thống kê toán học Mã số: 604601106 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƢỜI HƢỚNG DẪN: Ts Trần Mạnh Cƣờng Hà Nội - 2016 Mục Lục MỞ ĐẦU Error! Bookmark not defined CHƢƠNG Error! Bookmark not defined KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Error! Bookmark not defined 1.1 Phân bố Poisson phân bố mũ Error! Bookmark not defined 1.1.1 Phân bố Poisson Error! Bookmark not defined 1.1.2 Phân bố mũ: Error! Bookmark not defined 1.2 Xích Markov Error! Bookmark not defined 1.2.1 Phân loại trạng thái xích Markov Error! Bookmark not defined 1.3 Quá trình Markov Error! Bookmark not defined 1.3.1 Trƣờng hợp không gian trạng thái hữu hạn Error! Bookmark not defined 1.3.2 Trƣờng hợp không gian trạng thái vô hạn đếm đƣợc Error! Bookmark not defined CHƢƠNG 2: Error! Bookmark not defined MỘT SỐ MÔ HÌNH XẾP HÀNG Error! Bookmark not defined 2.1 Khái niệm phân loại trình xếp hàng Error! Bookmark not defined 2.1.1 Khái niệm trình xếp hàng Error! Bookmark not defined 2.1.2 Các yếu tố hàng đợi Error! Bookmark not defined a Bố trí vật lí hệ thống Error! Bookmark not defined b Nguyên tắc phục vụ Error! Bookmark not defined c Các phân phối xác suất dòng tín hiệu, dòng phục vụ Error! Bookmark not defined 2.1.3 Phân tích hàng đợi Error! Bookmark not defined 2.1.4 Phân loại Kendall Error! Bookmark not defined 2.1.5 Mục tiêu phân tích hàng đợi Error! Bookmark not defined 2.2 Một số mô hình xếp hàng Error! Bookmark not defined 2.2.1 Mô hình xếp hàng sinh – chết tổng quát Error! Bookmark not defined 2.2.2 Mô hình hàng đợi M/M/1 Error! Bookmark not defined a Phân bố giới hạn Error! Bookmark not defined b Thời gian khách hàng chờ đợi Error! Bookmark not defined c Thời gian bận rộn Error! Bookmark not defined d Quá trình dời Error! Bookmark not defined e Bài toán ví dụ Error! Bookmark not defined 2.2.3 Mô hình hàng đợi M/M/s Error! Bookmark not defined a Thời gian chờ đợi Error! Bookmark not defined b Thời gian bận rộn Error! Bookmark not defined c Quá trình dời Error! Bookmark not defined d Bài toán ví dụ Error! Bookmark not defined 2.2.4 Mô hình hàng đợi hữu hạn M/M/s/K Error! Bookmark not defined a Bài toán ví dụ Error! Bookmark not defined 2.2.5 Mô hình hàng đợi M/G/1 Error! Bookmark not defined a Phân bố giới hạn Error! Bookmark not defined b Thời gian chờ đợi Error! Bookmark not defined c Thời gian bận rộn Error! Bookmark not defined d Bài toán ví dụ Error! Bookmark not defined 2.2.6 Mô hình hàng đợi G/M/1 Error! Bookmark not defined a Phân bố giới hạn Error! Bookmark not defined b Thời gian chờ đợi Error! Bookmark not defined c Chu kỳ bận rộn Error! Bookmark not defined d Bài toán ví dụ Error! Bookmark not defined CHƢƠNG 3: Error! Bookmark not defined ỨNG DỤNG Error! Bookmark not defined 3.1 Mô số mô hình xếp hàng Matlab Error! Bookmark not defined 3.1.1 Mô hàng đợi M/M/1 Error! Bookmark not defined 3.2 Ứng dụng mô hình xếp hàng toán định Error! Bookmark not defined a) Xét ba toán sau: Error! Bookmark not defined b) Hàm giá: Error! Bookmark not defined KẾT LUẬN Error! Bookmark not defined TÀI LIỆU THAM KHẢO Error! Bookmark not defined MỞ ĐẦU Lý thuyết xếp hàng đƣợc nghiên cứu ứng dụng rộng rãi giới nhiều lĩnh vực ngành nghề khác nhƣ bƣu viễn thông, hàng không, đƣờng sắt, kiểm soát lƣu lƣợng giao thông, đánh giá hiệu hệ thống máy tính, y tế chăm sóc sức khỏe, không lƣu, bán vé … Trong nhiều hệ thống phục vụ, khách hàng (costumer) phải dùng chung tài nguyên, phải chờ để đƣợc phục vụ bị từ chối phục vụ Lý thuyết trình xếp hàng (queueing process) xác định tìm phƣơng án tối ƣu để hệ thống phục vụ tốt Trong nửa đầu kỷ 20 lý thuyết xếp hàng đƣợc ứng dụng để nghiên cứu thời đợi hệ thống điện thoại Ngày lý thuyết xếp hàng có nhiều ứng dụng lĩnh vực khác nhƣ mạng máy tính, việc quản lý xí nghiệp, quản lý giao thông hệ phục vụ khác … Ngoài lý thuyết xếp hàng sở toán học để nghiên cứu ứng dụng nhiều toán kinh tế nhƣ đầu tƣ, kiểm kê, rủi ro bảo hiểm, thị trƣờng chứng khoán … Chuỗi Markov trình xếp hàng với thời gian rời rạc đƣợc xem xét giáo trình xác suất thống kê Quá trình sinh tử trình xếp hàng, sinh biểu thị đến tử biểu thị rời hàng hệ thống Đối với lý thuyết xếp hàng ta quan tâm đến số đo hiệu năng, giá trị trung bình trình đạt trạng thái dừng bao gồm: độ dài hàng đợi trung bình hàng, độ dài hàng đợi trung bình hệ thống, thời gian đợi trung bình hàng (trễ hàng) thời gian đợi trung bình hệ thống (trễ hệ thống) Để tính đại lƣợng ta sử dụng phƣơng pháp giải phƣơng trình tích phân dạng Wiener – Hopf phƣơng pháp khảo sát chuỗi Markov nhúng Từ suy công thức tính phân bố ổn định cho loại hàng M/M/k, M/M/k/N; Công thức tổng quát tính giá trị trung bình cho hàng G/G/1 công thức cụ thể cho hàng đặc biệt M/M/1, M/D/1 M/𝐸𝑘 /1 … Luận văn tìm hiểu số mô hình xếp hàng ứng dụng Nội dung luận văn gồm ba chƣơng Chƣơng 1: Kiến thức chuẩn bị Chƣơng trình bày số phân bố xác suất liên quan nhƣ: Phân bố Poisson, phân bố mũ Những định nghĩa, định lý xích Markov, phân loại trạng thái xích Markov, trình Markov gồm trƣờng hợp không gian trạng thái hữu hạn không gian trạng thái vô hạn đếm đƣợc Chƣơng 2: Một số mô hình xếp hàng Trình bày số mô hình xếp hàng gồm: Mô hình hệ thống xếp hàng Markov đơn giản gồm mô hình xếp hàng Birth- and – Death tổng quát, trình bày cụ thể mô hình hàng đợi M/M/1, M/M/s mô hình hàng đợi hữu hạn M/M/s/K Mô hình chuỗi Markov nhúng trình bày tổng quát chuỗi Markov nhúng cụ thể mô hình hàng đợi M/G/1 G/M/1 Chƣơng 3: Ứng dụng Chƣơng tìm hiểu vài ứng dụng đơn giản mô hình xếp hàng bao gồm: Mô số mô hình Matlab ứng dụng mô hình xếp hàng toán định Dù có nhiều cố gắng nhƣng thời gian khả có hạn nên vấn đề luận văn chƣa đƣợc trình bày sâu sắc tránh khỏi sai sót Em mong đƣợc góp ý xây dựng thầy cô bạn Em xin chân thành cảm ơn! CHƢƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chƣơng em xin trình bày sốphân bốxác suất liên quan phân bố Poisson, phân bố mũvà số định nghĩa, định lý xích Markov gồm hai trƣờng hợp không gian trạng thái hữu hạn không gian trạng thái vô hạn đếm đƣợc để chuẩn bị kiến thức cho chƣơng khóa luận 1.1 Phân bố Poisson phân bố mũ 1.1.1 Phân bố Poisson Định nghĩa.Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận giá trị từ 0, 1, 2, … gọi phân phối Poisson với tham số λ nếu: 𝑒 −𝜆 𝜆𝑘 𝑃 𝑋=𝑘 = 𝑘! 𝑘 = 0, 1, 2, … Ký hiệu: X ~ Poisson(λ) Kỳ vọng: ∞ 𝐸 𝑥 = 𝑘=0 Phƣơng sai : D(X) = 𝐸 𝑋 − 𝜇 𝜆𝑘 𝑒 −𝜆 𝑘 = 𝑘! ∞ 𝑘=1 𝜆𝑘 𝑒 −𝜆 𝑘−1 ! =λ Do đó, viết: X ~ Poisson (µ) Mô hình Poisson: Giả sử quan tâm đến số lần xảy kiện A khoảng thời gian không gian liên tục có chiều dài w; với điều kiện số lần xảy khoảng không giao độc lập nhau, xác suất xuất A nhiều lần khoảng bé Hơn nữa, “cƣờng độ” xuất A không thay đổi, tức số lần xuất trung bình A khoảng phụ thuộc vào độ dài khoảng Với điều kiện trên, gọi X BNN số lần xuất A khoảng chiều dài w ngƣời ta chứng minh đƣợc X tuân theo luật phân phối Poisson với tham số λ = mw, m số dƣơng “cƣờng độ” xuất A Thí dụ, số điện thoại gọi đến phút trạm đó; sốlỗi trang giấy sách dầy; số đơn đặt hàng gửi tới sở tháng, … Biến ngẫu nhiên số lần xuất nêu đƣợc nhà toán học Simeon D Poisson nghiên cứu hình thành phân phối Poisson Ngoài ra, phân phối Poisson đƣợc dùng để tính xấp xỉ phân phối nhịthức B(n;p) n lớn p gần gần Định lý Poisson Giả sử dãy n phép thử độc lập, biến cố A xuất với xác suất 𝑝𝑛 phép thử Nếu 𝑛 → ∞ mà 𝑝𝑛 → cho 𝑛 𝑝𝑛 = 𝜆 (λ số dƣơng) với 𝑘 ∈ {0,1,2, … , 𝑛}, có: lim 𝑛 →∞ 𝐶𝑛𝑘 𝑝𝑛𝑘 − 𝑝𝑛 𝑛−𝑘 𝜆𝑘 −𝜆 = 𝑒 𝑘! Hệ quả: Nếu 𝑋~𝐵(𝑛, 𝑝), với 𝑛 > 30 (𝑛𝑝 < 𝑕𝑎𝑦 𝑛 − 𝑝 < 5) xem 𝑋~𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛 (𝑛𝑝) Định lí: Cho hai biến ngẫu nhiên X Y độc lập Nếu 𝑋~𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛 (𝜇) 𝑌~𝑃𝑖𝑜𝑠𝑠𝑜𝑛 (𝜆) biến ngẫu nhiên 𝑋 + 𝑌~𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛 (𝜇 + 𝜆) 1.1.2 Phân bố mũ: Định nghĩa: Hàm mật độ xác suất phân phối mũ có dạng sau: −𝜆𝑥 𝑓 𝑥, 𝜆 = 𝜆𝑒 ,𝑥 ≥ ,𝑥 < Trong λ tham số phân bố, thƣờng đƣợc gọi tham số tỉ lệ Phân bố đƣợc hỗ trợ dựa khoảng [0; ∞) Nếu biến ngẫu nhiên X có phân phối này, ta viết: 𝑋~𝐸𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑖𝑎𝑙 (𝜆) Đặc tả: Một cách khác để định nghĩa hàm mật độ xác suất phân phối mũ nhƣ sau: −𝑥/𝜆 𝑓 𝑥, 𝜆 = 𝜆 𝑒 ,𝑥 ≥ ,𝑥 < Trong 𝜆 > tham số phân bố đƣợc coi nghịch đảo tham số tỉ lệ đƣợc định nghĩa Trong đặc tả, λ tham số sống sót theo nghĩa: biến ngẫu nhiên X khoảng thời gian mà hệthống sinh học học M cho trƣớc sống sót đƣợc 𝑋~𝐸𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑖𝑎𝑙 (𝜆)thì 𝐸 𝑋 = 𝜆 Nghĩa khoảng thời gian sống sót kì vọng M λ đơn vị thời gian Tính chất: + Giá trị trung bình phương sai: Giá trị trung bình hay giá trị kì vọng biến ngẫu nhiên phân phối mũ X với tham số tỉ lệ λ đƣợc cho công thức: 𝐸𝑋 = Phƣơng sai X là: 𝜆 𝜆2 + Tính không nhớ: Một tính chất quan trọng phân phối mũ không nhớ Nghĩa biến ngẫu nhiên T có phân phối mũ xác suất điều kiện phải thỏa mãn: 𝑃(𝑇 > 𝑠 + 𝑡/𝑇 > 𝑡) = 𝑃 𝑇 > 𝑠 , ∀ 𝑠, 𝑡 ≥ 1.2 Xích Markov Xét hệ đƣợc quan sát thời điểm rời rạc 0,1,2, Giả sử quan sát X0, X1, , Xn, Khi ta có dãy đại lƣợng ngẫu nhiên (ĐLNN) (Xn) Xn trạng thái hệ thời điểm n Giả thiết Xn, n = 0,1, ĐLNN rời rạc Ký hiệu E tập giá trị (Xn) Khi E tập hữu hạn hay đếm đƣợc, phần tử đƣợc ký hiệu i, j, k Ta gọi E không gian trạng thái dãy Định nghĩa 1.2.1.Ta nói dãy ĐLNN (Xn) xích Markov với n1< < nk< nk+1 với i1, i2, , ik+1∈ E, ta có: 𝑃 𝑋𝑛 𝑘+1 = 𝑖𝑘+1 /𝑋𝑛 = 𝑖1 , 𝑋𝑛 = 𝑖2 , … , 𝑋𝑛 𝑘 = 𝑖𝑘 = 𝑃 𝑋𝑛 𝑘+1 = 𝑖𝑘+1 /𝑋𝑛 𝑘 = 𝑖𝑘 Ta coi thời điểm nk+1 tƣơng lai, nk n1, , nk -1 khứ Nhƣ vậy, xác suất có điều kiện kiện B tƣơng lai biết khứ hệ giống nhƣ xác suất có điều kiện B biết trạng thái hệ Đó tính Markov hệ Đôi tính Markov hệ phát biểu dƣới dạng: Nếu biết trạng thái hệ khứ tƣơng lai độc lập với Giả sử 𝑃 𝑋𝑚 +𝑛 = 𝑗/𝑋𝑚 = 𝑖 xác suất để xích thời điểm m trạng thái i sau n bƣớc, thời điểm m + n chuyển sang trạng thái j Đây số nói chung phụ thuộc vào i, j, m, n Nếu đại lƣợng không phụ thuộc m ta nói xích Ký hiệu: 𝑃𝑖𝑗 = 𝑃 𝑋𝑛 +1 = 𝑗 /𝑋𝑛 = , 𝑃𝑖𝑗 𝑛 = 𝑃 𝑋𝑚 +𝑛 = 𝑗/𝑋𝑚 = 𝑖 Ta gọi (𝑃𝑖𝑗 , 𝑖, 𝑗 ∈ 𝐸) xác suất chuyển sau bƣớc hay xác suất chuyển (𝑃𝑖𝑗 𝑛 , 𝑖, 𝑗 ∈ 𝐸) xác suất chuyển sau n bƣớc Chú ý rằng: 𝑗 ∈𝐸 𝑃𝑖𝑗 = 1, 𝑛 = 𝑗 ∈𝐸 𝑃𝑖𝑗 Phân bố X0 đƣợc gọi phân bố ban đầu Ta ký hiệu 𝑢𝑖 = 𝑃(𝑋0 = 𝑖) Định lý 1.2.1.Phân bố đồng thời (X0, X1, , Xn) hoàn toàn xác định từ phân bố ban đầu xác suất chuyển Cụ thể ta có: 𝑃 𝑋0 = 𝑖0 , 𝑋1 = 𝑖1 , … , 𝑋𝑛 = 𝑖𝑛 = 𝑢𝑖0 𝑃𝑖0 𝑖1 … 𝑃𝑖𝑛 −1 𝑖𝑛 Nhƣ phân bố đồng thời 𝑋0 , … , 𝑋𝑛 đƣợc xác định phân bố ban đầu xác suất chuyển Định lý 1.2.2.(Phương trình C - K (Chapman-Kolmogorov)): 𝑃𝑖𝑗 (n + m) = 𝑘 ∈𝐸 𝑃𝑖𝑘 (n) 𝑃𝑘𝑗 (m) Trong trƣờng hợp E có d phần tử, ta ký hiệu𝑃 = (𝑃𝑖𝑗 ), 𝑃(𝑛) = (𝑃ij(n))là ma trận vuông cấp 𝑑 × 𝑑 P đƣợc gọi ma trận xác suất chuyển, P(n) đƣợc gọi ma trận xác suất chuyển sau n bƣớc Khi từ phƣơng trình Chapman - Kolmogorov tƣơng đƣơng với: 𝑃(𝑛 + 𝑚) = 𝑃(𝑛)𝑃(𝑚) Vì P = P(1) nên quy nạp ta dễ thấy: 𝑃(𝑛) = 𝑃𝑛 Gọi 𝑢𝑖 𝑛 = 𝑃 𝑋𝑛 = 𝑖 Ký hiệu vecto 𝑈 𝑛 = (𝑢1 (𝑛), … , 𝑢𝑑 𝑛 )là vector hàng d - chiều mô tả phân bố 𝑋𝑛, 𝑈 = 𝑢 = (𝑢1 , 𝑢2 , … , 𝑢𝑑 )là vector hàng d - chiều mô tả phân bố ban đầu (Phân bố của𝑋0 ) Định lý 1.2.3.Ta có: 𝑈 𝑚 + 𝑛 = 𝑈 𝑚 𝑃𝑛 Định nghĩa 1.2.2.Phân bố ban đầu 𝑈 = (𝑢𝑖 ), 𝑖 ∈ 𝐸 gọi phân bố dừng ta có 𝑈(𝑛) = 𝑈 với n tức 𝑢𝑖 𝑛 = 𝑢𝑖 ∀𝑖 ∈ 𝐸 , ∀𝑛 Khi dãy (𝑋𝑛 ) có phân bố Từ định lý 1.2.3 ta suy 𝑈 = (𝑢𝑖 ) phân bố dừng nếu: • 𝑢𝑖 ≥ 𝑖∈𝐸 𝑢𝑖 = 1, • 𝑢𝑖 = 𝑖∈𝐸 𝑢𝑖 𝑃𝑖𝑗 ∀𝑗 ∈ 𝐴 Định lý 1.2.4.Giả sử (𝑋𝑛 ) xích Markov với không gian trạng thái E = 1,2, với ma trận xác suất chuyển 𝑃 = (𝑃𝑖𝑗 ) ma trận xác suất chuyển sau n bước là𝑃 𝑛 = 𝑃𝑖𝑗 (𝑛) Ta nói xích có phân bố giới hạn với i, j ∈ E tồn giới hạn: lim 𝑃𝑖𝑗 𝑛 = 𝜋𝑗 𝑛→ ∞ Giới hạn không phụ thuộc i ∈ E đó: • 𝑗 ∈𝐸 𝜋𝑗 ≤ πj = 𝑖 ∈𝐸 𝜋𝑖 𝑃𝑖𝑗 • Hoặc πj = với j ∈ E, 𝑗 ∈𝐸 𝜋𝑗 = 10 Hình 3.2: Biểu đồ chậm trễ trung bình hệ thống Hình 3.3: Biểu đồ hệ số sử dụng hàng đợi Mô thói quen M /G/1 function [jumptimes, systsize, systtime] = simmg1(tmax, lambda) 63 % SIMMG1 simulate a M/G/1 queueing system Poisson arrivals % of intensity lambda, uniform service times % % [jumptimes, systsize, systtime] = simmd1(tmax, lambda) % % Inputs: tmax - simulation interval % lambda - arrival intensity % % Outputs: jumptimes - time points of arrivals or departures % systsize - system size in M/G/1 queue % systtime - system times % set default parameter values if ommited if (nargin==0) tmax=1500; % simulation interval lambda=0.99; % arrival intensity end arrtime=-log(rand)/lambda; % Poisson arrivals i=1; while (min(arrtime(i,:))0) arrt = sort(rand(npoints, 1)*tmax); else arrt = []; end % uncomment if not available POISSONRND % generate Poisson arrivals % arrt=-log(rand)/lambda; % i=1; 65 % while (min(arrt(i,:))