2.2 Một số mô hình xếp hàng cơ bản
2.2.3. Mô hình hàng đợi M/M/s
Hàng đợi đa máy chủ M/ M/ s là mô hình đƣợc sử dụng nhiều nhất trong việc phân tích các trạm dịch vụ với nhiều hơn một máy chủ nhƣ các ngân hàng, quầy tính tiền trong các cửa hàng, quầy kiểm tra ở sân bay...Hàng đợi M/ M/ s có nghĩa là các lƣợt đến của khách hàng đƣợc giả định tuân theo phân bố Poisson, quá trình phục vụ tuân theo phân bố mũ và số lƣợng các servers là s > 1, cung cấp dịch vụ độc lập với nhau. Chúng ta cũng giả định rằng các khách hàng đến tạo thành một
37
hàng đợi đơn và vào dịch vụ ngay khi có servers có thể phục vụ đƣợc. Sẽ không có servers nhàn rỗi khi còn khách hàng để phục vụ.
Nếu λ là tốc độ đến và à là tốc độ phục vụ. Thời gian giữa cỏc lƣợt đến và phục vụ có phân phối mũ với hàm mật độ lần lượt là :λ𝑒−𝜆𝑥 (x > 0) và 𝜇𝑒−𝜇𝑥 (x > 0). Lưu ý rằng tốc độ phục vụ à là nhƣ nhau cho tất cả cỏc servers. Để sử dụng cỏc mụ hỡnh sinh- tử đó giới thiệu trước đú, chỳng ta phải thiết lập cỏc giỏ trị cho λn và àn khi cú n khách hàng trong hệ thống. Rõ ràng, tốc độ đến không thay đổi theo số lƣợng khách hàng trong hệ thống.
Giả sử(n = 1, 2, 3,...,s) servers đang bận rộn tại thời gian t. Sau đó, trong khoảng thời gian (t, t + ∆t], một server bận rộn sẽ hoàn thành việc phục vụ với xác suất 𝜇∆𝑡 + 0(∆𝑡). Từ n servers bận rộn tại thời gian t, xác suất mà một server trong n servers bận rộn sẽ hoàn thành việc phục vụ trong khoảng thời gian (t, t + ∆t] có thể đƣợc xác định bằng cách sử dụng phân phối xác suất nhị thức nhƣ sau:
= 𝑛1 𝜇∆𝑡 + 0 ∆𝑡 [1 − 𝜇∆𝑡 + 0(∆𝑡)]𝑛−1, (2.2.27) = 𝑛𝜇∆𝑡 + 0 ∆𝑡 .
Lưu ý rằng 0(∆𝑡)
∆𝑡 → 0 khi ∆𝑡 → 0.
Giả sử có r ( > 1 ) các máy chủ bận rộn sẽ hoàn thành dịch vụ trong khoảng thời gian (t, t + ∆t], chúng ta có công thức xác suất nhƣ sau:
= [𝜇∆𝑡 + 0(∆𝑡)]𝑟[1 − 𝜇∆𝑡 + 0(∆𝑡)]𝑛−𝑟
= 0(∆𝑡).
Do đú, tốc độ phục vụ tại thời điểm đú là 𝑛à.Ta cú:
𝜆𝑛 = 𝜆 𝑣ớ𝑖 𝑛 = 0, 1, 2, 3, ….
𝜇𝑛 = 𝑛𝜇 𝑣ớ𝑖 𝑛 = 1, 2, … . , 𝑠 − 1,
= 𝑠𝜇 . 𝑛 = 𝑠, 𝑠 + 1, ….(2.2.28)
Ma trận sinh A cho quá trình có thể đƣợc đƣa ra nhƣ sau:
−𝜆 𝜆
𝜇 −(𝜆 + à) 𝜆
⋯
𝑠à −(𝜆 + à)
𝑠à
𝜆 (𝜆 + à)
⋱
𝜆
Với Q(t) là số lƣợng khách hàng trong hệ thống tại thời điểm t và
38
𝑃𝑛 𝑡 = 𝑃[𝑄 𝑡 = 𝑛|𝑄(0) = 𝑖]. Từ phân bố giới hạn 𝑝𝑛 = lim𝑛 →∞ 𝑃𝑛 (𝑡)chúng ta có:
𝜆𝑝0 = 𝜇𝑝1,
𝜆 + 𝑛𝜇 𝑝𝑛 = 𝜆𝑝𝑛 −1 + 𝑛 + 1 𝜇𝑝𝑛 +1, 0 < 𝑛 < 𝑠, 𝜆 + 𝑛𝜇 𝑝𝑛 = 𝜆𝑝𝑛 −1 + 𝑠𝜇𝑝𝑛 +1, 𝑠 ≤ 𝑛 < ∞,(2.2.29)
Sử dụng giải thuật đệ quy, chúng ta có:
𝑛𝜇𝑝𝑛 = 𝜆𝑝𝑛 −1 𝑣ớ𝑖 𝑛 = 1, 2, … . , 𝑠.
𝑠𝜇𝑝𝑛 = 𝜆𝑝𝑛 −1 𝑣ớ𝑖 𝑛 = 𝑠 + 1, 𝑠 + 2, … ., Vì vậy:
𝑝𝑛 = 1
𝑛!(𝜆
à)𝑛𝑝0 với 0 ≤ 𝑛 ≤ 𝑠, 𝑝𝑠+𝑟 = (𝜆
𝑠𝜇)𝑟𝑝𝑠 với r = 0, 1, 2, … 𝑝𝑛 = (𝜆
𝑠𝜇)𝑛−𝑠𝑝𝑠 , 𝑛 = 𝑠, 𝑠 + 1, …. (2.2.30) Viết
𝜆
𝑠à = 𝜌 Chúng ta nhận đƣợc:
𝑝𝑛 = 1
𝑛!(𝑠𝜌)𝑛𝑝0, 0 ≤ 𝑛 < 𝑠,
= 1
𝑠!(𝑠𝜌)𝑠𝜌𝑛−𝑠𝑝0, (2.2.31) Sử dụng điều kiện ∞𝑛=1𝑝𝑛 = 1, (2.2.31) cho:
𝑝0 = [ (𝑠𝜌)𝑟
𝑟! + (𝑠𝜌)𝑠 𝑠! (1 − 𝜌)
𝑠−1
𝑟=0
]−1,
𝑝𝑛 = (𝑠𝜌)𝑛 𝑛! 𝑝0,
0 ≤ 𝑛 ≤ 𝑠,
39
= 𝑠𝑠𝜌𝑛
𝑠! 𝑝0, 𝑠 ≤ 𝑛 < ∞. (2.2.32) Cho𝜆
𝑠𝜇 = 𝜌 < 1. Do sà là tốc độ phục vụ tối đa nờn chỳng ta cú thể xem xột ρ theo định nghĩa là cường độ giao thông của hệ thống.Viết lại phương trình cuối cùng trong (2.3.30) là:
𝑝𝑛 = 𝑝𝑛 −𝑠𝑝𝑠, 𝑛 ≥ 𝑠. (2.2.33)
Chúng ta có thể thấy rằng: khi số lƣợng khách hàng trong hệ thống là ≤ s, hệ thống hoạt động nhƣ một hàng đợi M/ M/ 1 với tốc độ phục vụ là à. Để thuận tiện, chỳng ta có thể viết 𝛼 = 𝜆
à, do đú α/s = ρ. Một hỡnh thức khỏc (2.2.32) cú sử dụng α nhƣ sau:
𝑝0 = [ 𝛼𝑟
𝑟! +𝛼𝑠
𝑠!
𝑠−1𝑟=0 (1 −𝛼
𝑠)−1]−1, 𝑝𝑛 = 𝛼𝑠
𝑠! (𝛼
𝑠)𝑛−𝑠𝑝0,
=𝛼𝑠
𝑠! (𝛼
𝑠)𝑛−𝑠𝑝0. (𝑠 ≤ 𝑛 < ∞). (2.2.34)
Ký hiệu 𝐿 và 𝐿q lần lƣợt là trung bình các khách hàng trong hệ thống và trong hàng đợi, chúng ta có:
𝐿 = 𝛼 + 𝜌𝑝𝑠
(1−𝜌)2.
𝐿𝑞 = 𝜌𝑝𝑠 (1 − 𝜌)2.
So sánh biểu thức 𝐿 và 𝐿q, chúng ta có thể phỏng đoán rằng sρ( α) đại diện số lƣợng trung bình của máy chủ bận rộn.
a. Thời gian chờ đợi
Chúng ta giả định rằng khách hàng đƣợc phục vụ theo quy luật FCFS. Khi số lƣợng các khách hàng trong hệ thống ≥ s, thời gian rời đi là hàm mũ với tham số sà. Cho Tq là thời gian chờ đợi của khỏch hàng khi t → ∞ và 𝐹𝑞 𝑡 = 𝑃 𝑇𝑞 ≥ 𝑡 . Rõ ràng:
40
𝐹𝑞 0 = 𝑃 𝑇𝑞 = 0 = 𝑃 𝑄 < 𝑠 = 𝛼𝑛
𝑛!
𝑠−1𝑛=0 . Thời gian chờ đợi trung bình trong hàng đợi có công thức là:
𝑊𝑞 = 𝛼𝑠𝑝0 𝑠! 𝑠𝜇(1 − 𝜌)2 b. Thời gian bận rộn
Nếu khoảng thời gian bận rộn là thời gian mà khách hàng đến phải chờ đợi dịch vụ thì trong một hàng đợi nhiều servers có một thời điểm tất cả các máy chủ đang bận rộn. Trong hàng đợi M/ M/ s, giai đoạn này có những đặc điểm giống nhƣ một khoảng thời gian bận rộn trong hàng đợi M/ M/ 1 với cùng một tốc độ phục vụ λ, nhƣng với một tốc độ phục vụ là sà.
c. Quá trình dời đi
Với t1, t2, .... là thời điểm khách hàng đi từ hệ thống, và định nghĩa
𝑇𝑛 = 𝑡𝑛+1 − 𝑡𝑛. Khi hàng đợi cân bằng, có nghĩa là khi cường độ gia thông ρ< 1, ký hiệu này là T. F(x) là xác suất mà T là khoảng thời gian giữa lƣợt ra đi cuối cùng và lƣợt ra đi tiếp theo lớn hơn x:
𝐹 𝑥 = ∞𝑛=0𝑝𝑛𝑒−𝜆𝑥. d. Bài toán ví dụ
Ví dụ 2.2.2.Trong vấn đề sân bay ở Ví dụ 2.2.1, làm thế nào để thực hiện các biện pháp thay đổi nếu có hai đường băng trong khi giả định tốc độ đến và phục vụ như nhau?
a)Việc sử dụng đường băng:
Tỷ lệ đến trung bình = 15/giờ (λ), Tỷ lệ phục vụ trung bỡnh = 20/giờ (à), Số lƣợng server = 2 (s),
Vậy việc sử dụng mỗi đường băng = 𝜌 = 𝜆
𝑠à.
b) Số lƣợng trung bình máy bay chờ đợi tiếp đất là:
𝐿𝑞 = 𝜌𝑠𝑠𝑝0
𝑠!(1−𝜌)2.
41
Với 𝛼 = 𝑠𝜌 = 3
4,
𝑝0 = [ 𝛼𝑟
𝑟! + 𝛼𝑠 𝑠! (1 − 𝜌)
1
𝑟=0
]−1
1 +3
4+
3 4
2
2 1 −3
8 .
= 0.4545,
𝐿𝑞 = 3 8 3
4
2
0.4545 /2(5 8)2
= 0.1227.
c) Thời gian chờ đợi trung bình trong hàng đợi là:
𝑊𝑞 = 𝛼𝑠𝑝0 𝑠! 𝑠𝜇(1 − 𝜌)2
= [(3
4)2(0.4545)]/2𝑥2𝑥20(1 −3 8)2
= 0.00818 𝑔𝑖ờ
= 0.49 𝑝ú𝑡
d) Số lƣợng máy bay trung bình tiếp đất trong khoảng thời gian 20 phút:
=15
60. 20 = 5.
(Quá trình dời đi là quá trình Poisson với tham số λ.)
Ví dụ 2.2.3.Một ngân hàng đã thành lập hai bộ đếm: một cho khách hàng thương mại và một cho khách hàng cá nhân.Tốc độ đến và tốc độ phục vụ cho khách hàng thương mại lần lượt là 6 và 12 mỗi giờ. Với khách hàng cá nhân thì tốc độ đến và tốc độ phục vụ lần lượt là 12 và 24 mỗi giờ. Các khách hàng đến theo phân phối Poisson và thời gian phục vụ có phân phối mũ.
a)Hai bộ đếm hoạt động độc lập với nhau. Xác định số lƣợng khách hàng chờ đợi và thời gian chờ đợi trung bình của mỗi bộ đếm:
42
Khách hàng thương mại Khách hàng cá nhân λ 6/giờ 12/giờ
à 12/giờ 24/giờ
ρ = λ/à 0.5 0.5 𝐿𝑞 = (𝜌2 )/(1 − 𝜌)0.5 0.5 𝑊𝑞 = (𝜌)/[à(1 − 𝜌)] 5 2.5 đơn vị: phút.
b) Hiệu quả của hoạt động hai hàng đợi nhƣ một hàng đợi hai máy chủ với tốc độ đến là 18/ giờ và tốc độ phục vụ là 18/ giờ?
Hàng đợi hai máy chủ λ 18/ giờ
à 18/ giờ Số lƣợng máy chủ 2 ρ = λ/(sà) 0.5 α = λ/à 1 𝑝0 = 𝛼𝑟
𝑟!
∞𝑟=0 + 𝛼2
2 1−𝜌 − 1 0.4 𝐿𝑞 = 𝜌 𝛼2𝑝0
2(1−𝜌)20.4 𝑊𝑞 = 𝛼2𝑝0
2.2𝜇 (1−𝜌)21.33 đơn vị: phút.
Kết luận: Các hoạt động hàng đợi hai máy chủ hiệu quả hơn so với hai hoạt động của máy chủ một hàng đợi.