2.2 Một số mô hình xếp hàng cơ bản
2.2.2 Mô hình hàng đợi M/M/1
29
Mô hình hàng đợi M/ M/ 1 là mô hình đơn giản nhất trong các mô hình hàng đợi đƣợc sử dụng trong thực tế với các lƣợt đến theo phân phối Poisson, thời gian phục vụ theo phân phối mũ và có duy nhất một server.
Các lƣợt đến đƣợc coi là xảy ra trong một quá trình Poisson với tốc độ đến λ.
Điều này có nghĩa là số lƣợng khách hàng N(t) đến trong một khoảng thời gian (0, t] có phân phối Poisson:
P[N(t) = j] = 𝑒−𝜆𝑡 (𝜆𝑡 )𝑗
𝑗 !
với
j = 0, 1, 2, ....
Thời gian giữa các lƣợt đến cũng có phân phối mũ với hàm mật độ xác suất:
a(x) = 𝜆𝑒−𝜆𝑥, x > 0.
Giả định rằng thời gian phục vụ cú cú tốc độ phục vụ à và cú phõn phối mũ với hàm mật độ xác suất:
𝑏 𝑥 = 𝜇𝑒−𝜇𝑥, x >0 . Chúng ta có:
E[thời gian giữa các lƣợt đến] = 1
𝜆
E[thời gan phục vụ] = 1
𝜇 .
Cường độ lưu thông = Tỉ lệ đến trung bình / Tỉ lệ phục vụ trung bình.
Ký hiệu:
ρ = 𝜆
à.
Rõ ràng, M/ M/ 1 là một trường hợp đặc biệt của mô hình tổng quát sinh - tử với 𝜆𝑛 = λ và à𝑛 = à. Ma trận sinh A đƣợc cho bởi (với khụng gian trạng thỏi: 0, 1, 2,…)
30
A =
−𝜆 𝜆 … à −(𝜆 + à) 𝜆 …
à − 𝜆 + à 𝜆
…
Các phương trình Kolmogorov tương ứng cho 𝑃𝑛(t) (n = 0, 1, 2,...) là:
𝑃0′= −λ𝑃0(t) + à𝑃1(t),
𝑃𝑛′ (t) = −(λ + à)𝑃𝑛(t) + λ𝑃𝑛−1(t) + λ𝑃𝑛+1(t), n = 1, 2, .... (2.2.8) với𝑃𝑛(0) = 1 khi n = 1 và 𝑃𝑛(0) = 0 trong các trường hợp còn lại.
a. Phân bố giới hạn
Đối với các giới hạn xác suất lim𝑡→ ∞ 𝑃𝑛= 𝑝𝑛, chúng ta có các phương trình trạng thái cân bằng:
λ𝑝0 = à𝑝1,
(λ + à)𝑝𝑛 = 𝜆𝑝𝑛−1+ à𝑝𝑛+1, n = 1, 2, .... (2.2.9) Với ∞𝑛=0𝑝𝑛= 1, chúng ta có:
𝑝𝑛 = (1 − p)𝜌𝑛 , n = 0, 1, 2, .... (2.2.10) Với
ρ = 𝜆
à< 1.
Rõ ràng, trong trường hợp này ta có:
hệ số sử dụng = 1 − 𝑝0 = ρ = cường độ lưu thông.
Nhắc lại rằng, ký hiệu Q(t) là số lƣợng khách hàng trong hệ thống. Viết Q(∞) = Q và 𝑄𝑞 là số lƣợng khách hàng trong hàng đợi, bao gồm cả một khách hàng đang đƣợc phục vụ. Chúng ta xác định hai giá trị trung bình
𝐿 = 𝐸(𝑄)và𝐿𝑞 = 𝐸(𝑄𝑞) lần lƣợt là giá trị số khách hàng trung bình trong hệ thống và số khách hàng trung bình trong hàng đợi:
L = 𝑛 1 − 𝜌 𝜌𝑛 = 𝜌
1− 𝜌
∞𝑛 =1 = 𝜆
1− 𝜆. (2.2.11)
31
𝐿𝑞= ∞𝑛=1 𝑛 − 1 𝑝𝑛 = ∞𝑛=1𝑛𝑝𝑛− ∞𝑛 =1𝑝𝑛 = L − ρ = 𝜌2
1− 𝜌
= 𝜆2
à (à− 𝜆). (2.2.12) Vậy chúng ta có:
E(số lƣợng khách hàng trong hệ thống)
= E (số lƣợng khách hàng chờ đợi) + E (số lƣợng khách hàng trong dịch vụ).
Số khách hàng trung bình trong hệ thống là:
𝐿 = 𝜆
𝜆− à.
Số khách hàng trung bình trong hàng đợi là:
𝐿𝑞= 𝜆2
à (à− 𝜆)
Phương trình của số lượng khách hàng vào hệ thống là:
𝑉(𝑄) = 𝜌
(1− 𝜌)2= 𝜆à
(à− 𝜆)2.
b. Thời gian khách hàng chờ đợi
Khi hệ thống đang ở trạng thái cân bằng, cho 𝑇𝑞 và T lần lƣợt là thời gian một khách hàng trong hàng đợi và thời gian một khách hàng trong hệ thống. Chúng ta giả định rằng hệ thống hoạt động theo nguyên tắc " first - come, first - served" ( đến trước được phục vụ trước - FCFS).
32
Với quy luật hàng đợi FCFS, thời gian chờ đợi dịch vụ (𝑇𝑞) của một khách hàng đến là thời gian cần thiết để phục vụ các khách hàng đã có trong hệ thống.Tổng thời gian trong hệ thống (T) = 𝑇𝑞 + thời gian phục vụ. Khi có n khách hàng trong hệ thống, thời gian phục vụ là hàm mũ với tham số à, tổng thời gian phục vụ của n khách hàng là phân bố Erlang với hàm mật độ xác suất:
𝑓𝑛 𝑥 = 𝑒𝜇𝑥 𝜇 𝑛−1 !𝑛𝑥𝑛 −1. (2.2.13) Cho Fq(t) = P(Tq ≤ t), hàm phân phối của thời gian chờ đợi Tq là:
𝐹𝑞 0 = 𝑃 𝑇𝑞 = 0 = 𝑃 𝑄 = 0 = 1 − 𝜌. (2.2.14)
Do tính chất mất trí nhớ của phân phối mũ, thời gian phục vụ còn lại của khách hàng đang đƣợc phục vụ cũng tuõn theo phõn phối mũ với tham số à. Chỳng ta viết 𝑑𝐹𝑞 𝑡 = 𝑃 (𝑡 < 𝑇𝑞 ≤ 𝑡 + 𝑑𝑡), cho t > 0, chúng ta có:
𝑑𝐹𝑞 𝑡 = 𝑝𝑛𝑒𝜇𝑡 𝜇𝑛𝑡𝑛 −1 𝑛 − 1 !
∞
𝑛 =1
𝑑𝑡
= (1 − 𝜌) 𝜌𝑛𝑒−𝜇𝑡 𝜇𝑛𝑡𝑛 −1
𝑛−1 !
∞𝑛 =1 𝑑𝑡,
= 𝜆 1 − 𝜌 𝑒−𝜇 1− 𝜌 𝑡𝑑𝑡. (2.2.15)
Với E(Tq) = Wq và E(T) = W, chúng ta có thời gian trung bình khách hàng chờ đợi trung bình trong hàng đợi là:
𝑊𝑞 = 𝐸 𝑇𝑞 = 𝜌
𝜇 (1− 𝜌) = 𝜆
à(à− 𝜆).
và thời gian trung bình khách hàng
chờ đợi trong hệ thống là:
Theo luật Little trong lý thuyết xếp hàng, chúng ta có các mối quan hệ:
𝑊 = 𝐸 𝑇 = 𝜆
à(à− 𝜆)+ 1
𝜇 = 1
𝜇 − 𝜆.
33
𝐿 = λW.
𝐿q = λWq.
c. Thời gian bận rộn
Một thời gian bận rộn đƣợc định nghĩa là khoảng thời gian mà các server liên tục bận rộn. Khi nó kết thúc thì có một khoảng thời gian nhàn rỗi sau đó. Chúng tạo thành một chu kỳ bận rộn. Với thời gian giữa các lƣợt đến theo phân phối mũ, do tính chất không nhớ của phân phối, thời gian nhàn rỗi cũng có phân phối mũ.
Chúng ta sử dụng phương pháp dùng phương trình Kolmogorov để xác định phân phối của của thời kỳ bận rộn trong hàng đợi M/ M / 1. Nhìn vào quá trình Markov cơ bản, thời gian bận rộn là khoảng thời gian mà quá trình này bắt đầu từ trạng thái 1 về trạng thái 0. (Kể từ giai đoạn bận rộn với một lƣợt đến, nó là tổng thời gian mà quá trình này cần có để có thể trở về trạng thái 0). Ma trận sinh A có dạng:
0 0
𝜇 −(𝜆 + 𝜇) 𝜆
𝜇
⋱
−(𝜆 + 𝜇)
⋱
𝜆
⋱
…
⋱
Phương trình Kolmogorov với 𝑃𝑛 𝑡 (𝑛 = 0, 1, 2, … )là:
𝑃0′ 𝑡 = 𝜇𝑃1(𝑡),
𝑃1′ 𝑡 = − 𝜆 + 𝜇 𝑃1 𝑡 + 𝜇𝑃2(𝑡),
𝑃𝑛′ 𝑡 = − 𝜆 + 𝜇 𝑃𝑛 𝑡 + 𝜇𝑃𝑛−1 𝑡 + 𝜇𝑃𝑛+1 𝑡 , 𝑛 = 2, 3, … …(2.2.16) Với các điều kiện ban đầu 𝑃1(0) = 1, 𝑃n(0) = 0 với n ≠ 1.
Với B là đại diện cho chiều dài của thời kỳ bận rộn, chúng ta có:
34
𝐸 𝐵 = 1 𝜇 − 𝜆 (2.2.17)
𝑉 𝐵 = 1 + 𝑝 𝜇2(1 − 𝑝)3 (2.2.18)
Có những trường hợp khi một khoảng thời gian bận rộn bắt đầu với một số ban đầu của khách hàng i trong hệ thống, do tính chất Markovian của quá trình đến, chúng ta có thể thấy rằng sự chuyển tiếp của quá trình Markov từ i đến 0 có thể đƣợc coi là của i lƣợt đến với cùng phân phối đại diện quá trình chuyển đổi từ i → i − 1, i − 1 → i − 2, ..., 1 → 0. Nếu Bi là biến ngẫu nhiên đại diện cho một khoảng thời gian bận rộn bắt đầu bởi i khách hàng, chúng ta có:
𝐸 𝐵𝑖 = 𝑖 𝜆 − 𝜇 , (2.2.19)
𝑉 𝐵𝑖 = 𝑖(1 + 𝑝) 𝜇2(1 − 𝑝)3 (2.2.20)
d. Quá trình dời đi
Quá trình dời đi khi các quá trình đến và phục vụ đã hoàn thành. Khi server liên tục bận rộn thì quá trình dời đi là trùng với quá trình phục vụ.Với t1, t2, .... là thời điểm khách hàng đi từ hệ thống, và định nghĩa Tn = tn+1 – tn. Khi hàng đợi cân bằng, có nghĩa là khi cường độ gia thông ρ< 1, ký hiệu này là T. Cho Q(x) là số lƣợng khách hàng trong hệ thống có x thời gian sau khi dời đi và đƣợc định nghĩa là:
𝐹𝑛 𝑥 = 𝑃 𝑄 𝑥 = 𝑛, 𝑇 > 𝑥 .(2.2.21) Với bất kỳ giá trị nào của x, ta có:
35
𝑃 𝑄 𝑥 = 𝑛 = 1 − 𝜌 𝑝𝑛, 𝑛 = 0, 1, 2, … .. (2.2.22) Từ (2.2.21), chúng ta có thể xác định F(x) nhƣ sau:
𝐹 𝑥 = 𝑃(𝑇 > 𝑥) = ∞𝑛=0𝐹𝑛 𝑥 .(2.2.23)
Với một n xác định, vì tính chất Markovian của tiến trình cơ bản, các biến ngẫu nhiên T chỉ phụ thuộc vào n. Để thiết lập các mối quan hệ giữa Q(x) và T và để lấy đƣợc phân phối của T, chúng ta xem xét các quá trình chuyển đổi trong khoảng thời gian (x, x + ∆x]. F(x) là xác suất mà T khoảng thời gian giữa lƣợt ra đi cuối cùng và lƣợt ra đi tiếp theo lớn hơn x.Điều đó có nghĩa chúng ta phải xem xét khả năng chỉ có các lƣợt đến trong khoảng thời gian (x, x + ∆x]. Chúng ta có:
𝐹0 𝑥 + ∆𝑥 = 𝐹0 𝑥 1 − 𝜆∆𝑥 + 0(∆𝑥),
𝐹𝑛 𝑥 + ∆𝑥 = 𝐹𝑛 𝑥 1 − 𝜆∆𝑥 − 𝜇(∆𝑥) +𝐹𝑛 −1 𝑥 𝜆∆𝑥 + 0 ∆𝑥 , 𝑛 = 1, 2, … (2.2.24) 𝐹0′ 𝑥 = − 𝜆𝐹0(𝑥),
𝐹0′ 𝑥 = − 𝜆 + 𝜇 𝐹𝑛 𝑥 + 𝜆𝐹𝑛 −1 𝑥 , 𝑛 = 1, 2, ….(2.2.25) 𝐹𝑛 0 = 𝑃 𝑄 0 = 𝑛 = 𝑝𝑛.(2.2.26)
Kết quả quan trọng từ phân tích này cho thấy quá trình dời đi của hàng đợi M/ M/ 1 trong trạng thái cân bằng là giống nhƣ quá trình Poisson cho quá trình
đến. Do đó, số lƣợng trung bình khách hàng đƣợc phục vụ trong suốt chiều dài của thời gian t khi hệ thống đang trong trạng thái cân bằng đƣợc cho bởi λt.
e. Bài toán ví dụ
Ví dụ 2.2.1.Một sân bay có một đường băng duy nhất. Máy bay đã được cấu tạo với tốc độ 15 mỗi giờ. Người ta ước tính rằng mỗi lần hạ cánh mất 3 phút. Giả sử các lượt đến tuân theo phân phối Poisson và thời gian mỗi lần hạ cánh tuân theo phân phối mũ, sử dụng một mô hình hàng đợi M/ M/ 1 để xác định các yêu cầu sau đây:
a) Việc sử dụng đường băng:
Tỷ lệ đến trung bình = 15/giờ (λ),
36
Tỷ lệ phục vụ trung bỡnh = 60/3/(giờ) = 20/giờ (à), Hệ số sử dụng = ρ = λ/à = 3/4.
b) Số lƣợng trung bình máy bay chờ tiếp đất là:
𝐿𝑞 = 𝜌2
1− 𝜌 = (0.75)2
0.2 = 2.25.
c) Thời gian chờ đợi trung bình trong hàng đợi là:
𝐸(𝑊𝑞) = 𝜆
𝜇(𝜇 − 𝜆)= 15
20(20 − 15) = 3 10 đơn vị:giờ = 9 phút.
d) Xác suất chờ đợi nhiều hơn 5 phút? 10 phút? Không phải chờ đợi?
P( Không phải chờ đợi ) = 𝑃(𝑇𝑞 = 0) = 1 − 𝜌 = 0.25, 𝑃(𝑇𝑞 > 𝑡) = 𝜌𝑒−𝜇 1− 𝜌 𝑡 , P(Tq> 5 phút) =
3
4𝑒−20(1− 34)605 = 3
4𝑒−2560 = 0.4944, 𝑃(𝑇𝑞 > 10 𝑝ú𝑡) =
= 3
4𝑒−5060 = 0.3259,
e) Số lƣợng trung bình máy bay đổ bộ trong khoảng thời gian 20 phút:
= 15
60. 20 = 5.