a)Xét ba bài toán sau:
Bài toán 1: Cần bao nhiêu thợ sửa chữa?
Một công ty có 10 máy tính cùng làm việc. Tuy nhiên các máy tính này dễ bị hỏng và cần sửa chữa thường xuyên. Nên công ty chỉ sử dụng 8 máy hoạt động cùng một lúc, còn 2 máy ở chế độ chờ để sử dụng trong khi các máy khác hỏng.
Nhƣ vậy, 8 máy luôn luôn hoạt động bất cứ khi nào, vậy sẽ không có nhiều hơn hai máy đang chờ để đƣợc sửa chữa. Nhƣng số lƣợng máy đang làm có thể giảm đi 1 và số lƣợng máy chờ để đƣợc sửa chữa tăng lên mỗi khi có máy hỏng.
Thời gian cho đến khi bất kì máy đang vận hành nào bị hỏng có một phân phối mũ, với trung bình là 20 ngày. Thời gian cần thiết để sửa chữa một máy cũng có một phân phối mũ, với trung bình 2 ngày. Cho đến nay công ty chỉ có một thợ sửa chữa để sửa chữa các máy móc, việc này đã thường xuyên dẫn đến việc giảm năng suất vì ít hơn tám máy đang hoạt động. Do đó, công ty đang xem xét việc thuê một thợ sửa chữa thứ hai, để hai máy có thể đƣợc sửa chữa cùng một lúc.
69
Nhƣ vậy, hệ thống xếp hàng để đƣợc nghiên cứu có thợ sửa chữa nhƣ các máy chủ(servers) và các máy cần sửa chữa nhƣ khách hàng(cutomers) của mình, vấn đề là phải chọn giữa việc có một hoặc hai máy chủ.Nếu N = 10 máy, λ = 1/20 khách hàng mỗi ngày (cho mỗi mỏy hoạt động), và à =1/2 khỏch hàng mỗi ngày. Trường hợp ngoại lệ là các thông số 𝜆0 và 𝜆1 của quá trình sinh và tử đƣợc đổi từ 𝜆0 = 10𝜆 và 𝜆1 = 9𝜆 thành 𝜆0 = 8𝜆và 𝜆1 = 8𝜆. Do đó, các yếu tố 𝐶𝑛cho việc tính toán xác suất 𝑃𝑛sẽ thay đổi theo đó.
Mỗi thợ sửa chữa tiêu tốn của công ty khoảng 280 Đô-la Mỹ mỗi ngày. Tuy nhiên, lợi nhuận ƣớc tính bị mất từ việc có ít hơn tám máy hoạt động để sản xuất là 400 Đô-la Mỹ mỗi ngày đối với mỗi máy hỏng. (Công ty có thể bán toàn bộ sản lƣợng từ tám máy điều hành, nhƣng không đƣợc nhiều hơn).
Bài toán 2:Lựa chọn máy tính nào?
Đại học EMERALD đang lập kế hoạch để thuê một siêu máy tính đƣợc sử dụng cho nghiên cứu khoa học của giảng viên và sinh viên. Hai mô hình đang đƣợc xem xét đó là: một từ Tập đoàn MBI và một cái khác từ Công ty CRAB. Máy tính MBI giá cao hơn nhƣng có phần nhanh hơn máy tính CRAB. Cụ thể, nếu một chuỗi các bài toán điển hình đƣợc chạy một cách liên tục trong một ngày 24 giờ, thì số lƣợng đƣợc hoàn thành sẽ có một phân phối Poisson với trung bình là 30 bài toán cho máy tính MBI và 25 bài toán cho máy tính CRAB. Người ta ước tính rằng trung bình 20 bài toán sẽ đƣợc giải quyết mỗi ngày và rằng thời gian chờ đợi để giải quyết các bài toán tiếp theosẽ có một phân phối mũ với trung bình là 0,05 ngày.
Chi phí thuê mỗi ngày sẽ là 5.000 Đô-la Mỹ cho máy tính MBI và 3.750 Đô-la Mỹ cho máy tính CRAB. Nhƣ vậy, hệ thống xếp hàng quan tâm có máy tính nhƣ máy chủ (servers) và các bài toán đƣợc chạy nhƣ là khách hàng (cutomers) của mình.
Với 1 ngày nhƣ là đơn vị của thời gian, λ = 20 khỏch hàng mỗi ngày, và à = 30và 25 khách hàng mỗi ngày tương ứng với máy tính của MBI và của CRAB.
Bài toán 3:Cần bao nhiêu cái kho chứa dụng cụ?
Công ty cở khí đang thiết kế một nhà máy mới. Nhà máy này sẽ bao gồm một hoặc nhiều cái kho chứa công cụ trong khu vực nhà máy để lưu trữ các công cụ theo yêu cầu của các thợ cơ khí. Các công cụ sẽ đƣợc trao bởi nhân viên thủ kho khi thợ cơ khí cần và yêu cầu họ sẽ trả lại cho nhân viên thủ kho khi chúng không còn cần thiết. Trong các nhà máy hiện có, có những phàn nàn thường xuyên từ người giám sát rằng thợ cơ khí của họ đã lãng phí quá nhiều thời gian đến chỗ các kho chứa công cụ và chờ đợi để đƣợc phục vụ, vì vậy xuất hiện rằng có nên có nhiều kho
70
chứa công cụ hơn và nhiều nhân viên hơn ở nhà máy mới. Mặt khác, việc quản lý đang gây áp lực để giảm chi phí trong nhà máy mới, và mức giảm này sẽ dẫn đến việc có ít kho chứa công cụ và nhân viên hơn. Để giải quyết những áp lực mâu thuẫn này, một nghiên cứu OR sẽ đƣợc tiến hành để xác định có bao nhiêu kho chứa công cụ và nhân viên mà nhà máy mới nên có.
Mỗi kho chứa công cụ tạo thành một hệ thống xếp hàng, với những nhân viên nhƣ các máy chủ (servers) và các thợ cơ khí nhƣ khách hàng (cutomers). Dựa trên kinh nghiệm trước đây, người ta ước tính rằng thời gian cần thiết để một kho chứa công cụ phục vụ một thợ cơ khí có một phân phối mũ với trung bình là 1/2 phút. Đánh giá từ số lƣợng thợ cơ khí đƣợc dự đoán trong toàn bộ khu vực nhà máy, nó cũng đƣợc dự đoán rằng họ sẽ yêu cầu dịch vụ này một cách ngẫu nhiên nhƣng với tốc độ trung binh là hai thợ cơ khí mỗi phút. Do đó, nó đã đƣợc quyết định sử dụng mô hình M/M/s để đại diện cho mỗi hệ thống xếp hàng. Với 1 giờ nhƣ là đơn vị thời gian, 𝜆 = 120. Nếu chỉ có một nhà kho chứa công cụ là đƣợc cung cấp, λ cũng sẽ là 120. Với việc nhiều hơn một kho chứa công cụ, điều này có nghĩa là tỷ lệ xuất hiện sẽ đƣợc chia cho các hệ thống xếp hàng khác nhau.
Tổng chi phí cho công ty của mỗi nhân viên kho chứa công cụ là khoảng 20 Đô-la Mỹ mỗi giờ. Các chi phí thu hồi vốn, chi phí bảo trì, và vân vân kết hợp với mỗi kho chứa công cụ đƣợc cung cấp đƣợc ƣớc tính là 16 Đô-la Mỹ mỗi giờ làm việc.
Trong khi một thợ cơ khí làm việc, chi phí cho công ty đối với sản lƣợng của thợ cơ khí trung bình là 48 Đô la Mỹ mỗi giờ.
b) Hàm giá:
Để thể hiện E(WC) theo phương thức toán học, đầu tiên chúng ta phải xây dựng một hàm giá chờ đợi mô tả chi phí chờ đợi thực tế đƣợc phát sinh thay đổi theo hành vi hiện tại của hệ thống xếp hàng. Các hình thức của hàm số này phụ thuộc vào bối cảnh của vấn đề cá nhân. Tuy nhiên, hầu hết các tình huống có thể đƣợc đại diện bởi một trong hai hình thức cơ bản đƣợc mô tả tiếp theo.
Hình thức g(N)
Đối với bài toán 1 ở trên, khách hàng chính là thành viên nội bộ đối với đơn vị cung cấp dịch vụ nên chi phí cho việc chờ đợi chính là lợi nhuận mất đi từ việc giảm năng suất. Tốc độ giảm năng suất tỉ lệ với số lƣợng khách hàng phải chờ trong hệ thống. Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp, do không có đủ công việc cho nhiều người nên khi có nhiều khách phải chờ thì việc giảm năng suất cũng chỉ tính cho một số người trong hàng đợi.
71
Ký hiệu hàm giá là g(N) với g(0) = 0. Tổn thất trung bình cho việc chờ đợi là:
𝐸 𝑊𝐶 = 𝐸 𝑔 𝑁 = ∞𝑛=0𝑔(𝑛)𝑃𝑛.
Trường hợp tuyến tính khi g(N) là hàm tuyến tính (tỉ lệ với N) 𝑔 𝑁 = 𝐶𝑊𝑁.
Xét bài toán 1:
Người ta mô phỏng bài toán 1 khi có hai máy dự phòng. Khi đó nếu có không quá hai máy hỏng thì tổn thất bằng 0. Tuy nhiên khi số máy hỏng tang lên (tối đa là 10) thì tính trung bình mỗi máy hỏng them sẽ làm mất 400 đôla một ngày. Do đó
Bảng 1: Bảng tính E(WC) cho bài toán 1
𝑁 = 𝑛 𝑔(𝑛) s=1 s=2
𝑃𝑛 𝑔(𝑛)𝑃𝑛 𝑃𝑛 𝑔(𝑛)𝑃𝑛
0 0 0.271 0 0.433 0
1 0 0.217 0 0.346 0
2 0 0.173 0 0.139 0
3 400 0.139 56 0.055 24
4 800 0.097 78 0.019 16
5 1,200 0.058 70 0.006 8
6 1,600 0.029 46 0.001 0
7 2,000 0.012 24 3 x 10−4 0
8 2,400 0.003 7 4 x 10−5 0
9 2,800 7 x 10−4 0 4 x 10−6 0
10 3,200 7 x 10−5 0 2 x 10−7 0
𝐸(𝑊𝐶) 281 Đô-la Mỹ mỗi ngày 48 Đô-la Mỹ mỗi ngày
72
Nếu 𝐶𝑊 là chi phí chờ đợi mỗi đơn vị thời gian cho mỗi khách hàng. Trong trường hợp này, 𝐸(𝑊𝐶) giảm
𝐸 𝑊𝐶 = 𝐶𝑊 𝑛𝑃𝑛 = 𝐶𝑊𝐿
∞
𝑛 =0
Bài toán 1- Cần bao nhiêu thợ sửa chữa?
Về bài toán 1, mô phỏng, Inc., có hai máy làm việc đang ở chế độ chờ, vì vậy không có năng suất bị mất miễn là số lƣợng khách hàng (máy cần sửa chữa) trong hệ thống không vƣợt quá 2. Tuy nhiên, đối với mỗi khách hàng bổ sung (tối đa lên đến 10), lợi nhuận bị mất ƣớc tính là 400 Đô-la Mỹ mỗi ngày. Vì thế,
𝑔 𝑛 = 0 𝑣ớ𝑖 𝑛 = 0, 1, 2 400 𝑛 − 2 𝑣ớ𝑖 𝑛 = 3, 4, … , 10
nhƣ đƣợc trình bày trong Bảng 1. Hậu quả là, sau khi tính toán xác suất 𝑃𝑛 nhƣ mô tả trong phần a, E(WC) đƣợc tính toán bằng cách tổng hợp các cột ngoài cùng bên phải của Bảng 1 cho mỗi một trong hai trường hợp về lãi, cụ thể là, có một thợ sửa chữa (𝑠 = 1) hoặc hai thợ sửa chữa (𝑠 = 2).
Hình thức 𝒉(𝑾)
Bây giờ xem xét các trường hợp hệ thống xếp hàng mà các khách hàng là nằm bên ngoài đối với tổ chức cung ứng dịch vụ. Ba loại chính của hệ thống xếp hàng được mô tả là hệ thống dịch vụ thương mại, hệ thống dịch vụ vận tải, và các hệ thống dịch vụ xã hội – đặc trưng thường hay rơi vào danh mục này. Trong trường hợp hệ thống dịch vụ thương mại, chi phí chính của việc chờ đợi có thể là lợi nhuận bị mất từ việc thua lỗ kinh doanh trong tương lai. Đối với hệ thống dịch vụ vận tải và hệ thống xã hội, chi phí chính của chờ đợi có thể là nằm trong hình thức của một chi phí xã hội. Tuy nhiên, đối với một trong hai loại chi phí, độ lớn của nó có xu hướng bị ảnh hưởng lớn bởi kích thước của thời gian chờ đợi được trải nghiệm bởi các khách hàng. Do đó, các tài sản chính của hệ thống xếp hàng mà xác định chi phí chờ đợi hiện đang đƣợc phát sinh là 𝑊, thời gian chờ đợi trong hệ thống cho các khách hàng cá nhân. Hậu quả là, hình thức của hàm số chi phí chờ đợi cho loại tình huống này là, một hàm số 𝑊. Chúng ta sẽ biểu thị hình thức này bằng (𝑊).
73
Chú ý rằng ví dụ về hàm h(W) trong Hình 26.6 là hàm phi tuyến với độ dốc tăng khi W tăng. Mặc dù đôi khi h(W) đơn giản là hàm tuyến tính nhƣng nói chung nó là hàm phi tuyến.
Một cách để xây dựng hàm h(W) là ƣớc lƣợng h(W) (tổn thất khi có một vị khách phải chờ W = w đơn vị thời gian) với nhiều giá trị w sau đó xấp xỉ những điểm này bằng đa thức. Giá trị trung bình của hàm này là:
𝐸 𝑊 = 𝑤 𝑓𝑊 𝑤 𝑑𝑤
+∞
0
Trong đó 𝑓𝑊 𝑤 là hàm mật độ của W. Tuy nhiên, vì 𝐸( 𝑊 ) là tổn thất trung bình khi chờ đợi của một khách hàng và 𝐸(𝑊𝐶) là tổn thất trung bình do chờ đợi trong một đơn vị thời gian, nên hai đại lƣợng này không bằng nhau. Để liên hệ hai đại lƣợng này với nhau ta phải nhân với số khách hàng trung bình trong một đơn vị thời gian. Trường hợp đặc biệt khi tác động là hằng số) thì:
𝐸 𝑊𝐶 = 𝜆 𝐸 𝑊 = 𝜆 𝑤 𝑓𝑊 𝑤 𝑑𝑤
∞
0
Bài toán 2 – Lựa chọn máy tính nào?
Bởi vì các giảng viên và sinh viên của Đại học Emerald sẽ thử nghiệm thời gian quay vòng khác nhau với hai máy tính đƣợc xem xét (bài toán 2 phần a), sự lựa chọn giữa các máy tính cần một đánh giá các hậu quả của việc làm cho họ phải chờđợi cho công việc của họ đƣợc chạy. Do đó, một số nhà khoa học hàng đầu về giảng viên đƣợc yêu cầu đánh giá những hậu quả.
Các nhà khoa học đã đồng ý rằng một hệ quả chính là sự chậm trễ trong việc hoàn thành các nghiên cứu. Một chút tiến độ hiệu quả có thể đƣợc thực hiện trong khi đang chờ đợi kết quả từ một máy tính đang chạy. Các nhà khoa học ƣớc tính rằng nó sẽ có đáng giá 500 Đô-la Mỹ để giảm thiểu sự chậm trễ này bằng một ngày. Vì vậy, thành phần này của chi phí chờ đợi đƣợc ƣớc tính là 500 Đô-la Mỹ mỗi ngày, đó là, 500 𝑊, nếu 𝑊 đƣợc thể hiện trong ngày.
Các nhà khoa học cũng chỉ ra rằng một hậu quả lớn thứ hai của việc chờ đợi là sự phá vỡ tính liên tục của các nghiên cứu. Mặc dù là một chậm trễ ngắn (một phần nhỏ của một ngày) gây ra vấn đề nhỏ trong vấn đề này, một chậm trễ kéo dài gây ra sự lãng phí thời gian đáng kể trong việc tăng tốc độ khôi phục nghiên cứu. Các nhà khoa học ước tính rằng thời gian lãng phí này sẽ tỷ lệ thuận với bình phương của thời gian chậm trễ. Con số Dollar của 100 Đô-la Mỹ và 400 Đô-la Mỹ đƣợc
74
quy cho giá trị của việc có khả năng tránh hậu quả này hoàn toàn thay vì phải chờ đợi ẵ ngày và 1 ngày, tương ứng. Do đú, thành phần này của chi phớ chờ đợi được dự đoán là 400 𝑊2.
Phân tích năng suất:
𝑊 = 500𝑊 + 400𝑊2 Vì
𝑓𝑊 𝑤 = 𝜇(1 − 𝜌)𝑒−𝜇 1−𝜌 𝑤
Mô hình M/M/1 phù hợp với hệ thống xếp hàng một máy chủ này, 𝐸 𝑊 = (500𝑤 + 400𝑤2)𝜇(1 − 𝜌)𝑒−𝜇 1−𝜌 𝑤𝑑𝑤
∞
0
Nếu 𝜌 = 𝜆
à cho hệ thống một mỏy chủ. Một khi 𝜇 1 − 𝜌 = (𝜇 − 𝜆), giỏ trị của à và λ nhƣ đƣợc đƣa ra
𝜇 = 1 − 𝜌 = 10 𝑣ớ𝑖 𝑚á𝑦 𝑡í𝑛 𝑀𝐵𝐼 5 𝑣ớ𝑖 𝑚á𝑦 𝑡í𝑛 𝐶𝑅𝐴𝐵 Đánh giá tích phân cho sản lượng của hai trường hợp này
𝐸 (𝑊) = 58 𝑣ớ𝑖 𝑚á𝑦 𝑡í𝑛 𝑀𝐵𝐼 132 𝑣ớ𝑖 𝑚á𝑦 𝑡í𝑛 𝐶𝑅𝐴𝐵
Kết quả đại diện cho chi phí chờ đợi dự kiến (bằng Đô la) cho mỗi người xuất hiện với một công việc để đƣợc chạy. Bởi vì 𝜆 = 20, tổng số chi phí chờ đợi dự kiến mỗi ngày trở thành
𝐸 𝑊𝐶 = 1160 đô𝑙𝑎 𝑚ỗ𝑖 𝑛𝑔à𝑦 𝑣ớ𝑖 𝑚á𝑦 𝑡í𝑛 𝑀𝐵𝐼 2640 đô𝑙𝑎 𝑚ỗ𝑖 𝑛𝑔à𝑦 𝑣ớ𝑖 𝑚á𝑦 𝑡í𝑛 𝐶𝑅𝐴𝐵
Trường hợp tuyến tính. Trước khi chuyển sang ví dụ tiếp theo, hãy xem xét tại các trường hợp đặc biệt nếu (𝑊) là một hàm tuyến tính,
𝑊 = 𝐶𝑤𝑊
Nếu 𝐶𝑤 là chi phí chờ đợi cho mỗi đơn vị thời gian cho mỗi khách hàng. Trong trường hợp này, 𝐸(𝑊𝐶) giảm
𝐸 𝑊𝐶 = 𝜆𝐸 𝐶𝑤𝑊 = 𝐶𝑤 𝜆. 𝑊 = 𝐶𝑤𝐿
75
Lưu ý rằng kết quả này là giống hệt kết quả khi 𝑔(𝑁) là một hàm tuyến tính. Hậu quả là, khi tổng chi phí chờ đợi phát sinh bởi hệ thống xếp hàng chỉ đơn giản là tỷ lệ thuận với tổng thời gian chờ đợi, nó không quan trọng cho dù hình thức 𝑔(𝑁) hay hình thức (𝑊)đƣợc sử dụng cho hàm số chi phí chờ đợi.
Bài toán 3 –Cần bao nhiêu kho chứa công cụ?
Nhƣ đã nêu trong phần a, giá trị đối với Công ty cơ khí sản lƣợng trung bình một thợ cơ khí bận rộn là khoảng 48 Đô-la Mỹ mỗi giờ. Vì vậy, 𝐶𝑤 = 48. Do đó, đối với mỗi kho chứa công cụ, chi phí chờ đợi dự kiến mỗi giờ là
𝐸 𝑊𝐶 = 48𝐿
nếu𝐿 đại diện cho số lƣợng thợ cơ khí dự kiến đang đợi (hoặc đang đƣợc phục vụ) tại kho chứa công cụ.