2.2 Một số mô hình xếp hàng cơ bản
2.2.5. Mô hình hàng đợi M/G/1
Khách hàng đến là một quá trình Poisson với tham số λ và đƣợc phục vụ bởi một máy chủ duy nhất. Thời gian phục vụ của các khách hàng là các biến ngẫu nhiên
46
Sn, n = 1, 2, 3....với P(Sn< x) = B(x) ≥ 0, E(Sn) = b, V(Sn) = 𝜍𝑆2. Chúng ta giả định rằng Sn là thời gian phục vụ của khách hàng thứ n. Giả sử Q(t) là số lƣợng khách hàng trong hệ thống tại thời điểm t và xác định t0 = 0, t1, t2, ....là thời kỳ dời đi của khách hàng. Chúng ta thấy rằng{Qn, n = 0, 1, 2, ...} là một chuỗi Markov.Với Xn là số lƣợng khách hàng đến trong suốt Sn, với giả định cho quá trình đến là theo phân phối Poisson, chúng ta có:
𝑘𝑗 = 𝑃 𝑋𝑛 = 𝑗 = 𝑃(𝑋0∞ 𝑛 = 𝑗/𝑆𝑛)𝑃 𝑡 < 𝑆𝑛 ≤ 𝑡 + 𝑑𝑡
= 𝑒0∞ −𝜆𝑡 𝜆𝑡 𝑗 !𝑗 𝑑𝐵 𝑡 𝑗 = 0, 1, 2, ….(2.2.36) Xem xét các mối quan hệ giữa Qn và Qn + 1, chúng ta có:
𝑄𝑛+1 = 𝑄𝑛 + 𝑋𝑛 +1 − 1 𝑄𝑛 > 0
𝑋𝑛+1𝑄𝑛 = 0 (2.2.37) Nhƣ vậy, chúng ta có thể thấy Qn + 1 có thể đƣợc thế hiện bằng Qn và một biến ngẫu nhiên Xn+ 1 mà không phụ thuộc bất kỳ sự kiện trướctn. Cũng như vậy, Xn+1 là độc lập, không phụ thuộc vào Qn. Do đó,Qn, n = 0, 1, 2, ... là một chuỗi Markov. Không gian tham số của nó đƣợctạo thành từ điểm dời đi và không gian trạng thái S là không gian trạng thái chỉ số lƣợng kháchhàng trong hệ thống, S = 0, 1, 2,....
Với 𝑃𝑖𝑗 = 𝑃 𝑄𝑛 +1 = 𝑗
𝑄0 = 𝑖 , 𝑖, 𝑗 ∈ 𝑆.
và viết 𝑃𝑖𝑗(1) = 𝑃𝑖𝑗.
Từ các mối quan hệ (2.2.36) và các định nghĩa của kj trong (2.2.36), chúng ta có thể viết:
𝑃𝑖𝑗 = 𝑃(𝑄𝑛+1 = 𝑗
𝑄𝑛 = 𝑖)
= 𝑃 𝑖 + 𝑋𝑛 +1 − 1 = 𝑗 𝑖 > 0, 𝑃 𝑋𝑛+1 = 𝑗 𝑖 = 0.
= 𝑘𝑗 −𝑖+1 𝑖 > 0
𝑘𝑗 𝑖 = 0(2.2.38) Ma trận xác suất chuyển đổi P cho chuỗi Markov là:
47
𝑘0 𝑘1 𝑘2 ⋯ 𝑘0 𝑘1 𝑘2 ⋯
𝑘0 𝑘1 𝑘0
⋯⋯
Đối với chuỗi Markov tối giản( không gian trạng thái có một lớp tương đương ⋯ đơn) có hai điều kiện: k0> 0 và k0 + k1< 1. Nếu k0 = 0, với một hoặc nhiều hơn một khách hàng đến sau mỗi lần dời đi, hệ thống không có khả năng đạt ổn định và số lƣợng khách hàng trong hệ thống sẽ chỉ tăng theo thời gian. Nếu k0 + k1 = 1, hệ thống sẽ chỉ có hai trạng thái {0, 1}.
Lưu ý: Cường độ lưu thông = (tốc độ đến) × (thời gian phục vụ trung bình) tức ρ
= λ × b. Giá trị của ρ xác định dù hệ thống đang ở trạng thái cân bằng khi các thông số thời gian n (của tn) → ∞. Nó cũng chỉ ra rằng, khi ρ < 1, chuỗi Markov là hồi quy dương, khi ρ = 1 thì chuỗi là hồi quy không.
a. Phân bố giới hạn
Từ quan sát thứ ba trong phần 5.2 trang 79 sách An Introduction to Queueing Theory - Modeling and Analysis in Applications ( U.Narayan Bhat, Southern Methodist University, Dallas), chúng ta có các định lý và hệ quả đƣợc đƣa ra mà không cần chứng minh.
Định lý 2.2.2.
1) Cho i là một trạng thái thuộc một lớp tương đương hồi quy không tuần hoàn.
𝑃𝑖𝑖 𝑛 là xỏc suất của n - bước chuyển: i → i, và ài là thời gian hồi quy trungbỡnh.
Sau đó, 𝑙𝑖𝑚𝑛 →∞𝑃𝑖𝑖(𝑛) tồn tại và được cho bởi : lim𝑛 →∞ 𝑃𝑖𝑖(𝑛) = 1
𝜇 = 𝜋𝑖.
2) Cho j là một trạng thái khác thuộc các lớp tương đương và 𝑃𝑗𝑖(𝑛)là xác suất của n - bước chuyển j → i, ta có:
𝑙𝑖𝑚𝑛 →∞𝑃𝑖𝑖(𝑛) = 𝑙𝑖𝑚𝑛 →∞𝑃𝑖𝑖(𝑛)𝜋𝑖.
Kết luận: Nếu i là hồi quy dương thì πi> 0. Nếu i là hồi quy không thì πi = 0.
Định lý trên áp dụng cho chuỗi Markov mà trạng thái của nó là hữu hạn hay đếm đƣợc vô hạn.
48
Đối với một không gian trạng thái S: {0, 1, 2,...}, cho (π0, π1, π2, ....) là những véc tơ có khả năng hạn chế. Tại πi = lim𝑛 →∞ 𝑃𝑗𝑖(𝑛); 𝑗, 𝑖 ∈ 𝑆. Với Π là ma trận với các hàng π = (π0, π1, π2, ...) giống nhau. Sử dụng các mối quan hệ Chapman - Kolmogorov, chúng ta có:
𝐏𝑛 = 𝐏n−1𝐏.
Áp dụng định lý 2.2.2 cho 𝐏𝑛 và 𝐏n−1, chúng ta có:
Π = Π P,
π = πP. (2.2.39) πP = π = π 𝑷𝟐,
πP = π = πPn . (2.2.40)
Chúng ta có thể thấy rằng nếu chúng ta sử dụng các phân bố giới hạn nhƣ phân bố ban đầu của trạng thái chuỗi Markov tối giản, không tuần hoàn, hồi quy dương, phân bố trạng thái sau n chuyển đổi ( n = 1, 2, 3,...) đƣợc đƣa ra bởi cùng một phân bố giới hạn. Nó cũng chính là tính dừng của phân bố. Các định lý sau tóm tắt các kết quả và cung cấp một thủ tục mà các phân bố có thể đƣợc xác định.
Định lý 2.2.3.
1) Trong một chuỗi Markov hồi quy dương, tối giản, không tuần hoàn, phân bố giới hạn {πi, i = 0, 1, 2,...} thỏa mãn phương trình:
𝜋𝑗 = ∞𝑖=0𝜋𝑖𝑃𝑖𝑗 𝑣ớ𝑖 𝑗 = 0, 1, 2 …
𝜋𝑗 = 1
∞𝑗 =0 . Sự phân bố giới hạn là dừng.
2) Bất kỳ giải pháp của phương trình:
𝑥𝑖𝑃𝑖𝑗 = 𝑥𝑗
∞𝑗 =0 , 𝑗 = 0, 1, 2, ….
là bội vô hướng của {πi, i = 0, 1, 2, ...} với 𝑥𝑖 < ∞.
Với π = (π0, π1, π2, ...) là phân bố giới hạn của chuỗi nhúng. Sử dụng ma trận xác suất chuyển P trong phương trình π = πP, chúng ta có:
49
𝑘0 + 𝑘0𝜋1 = 𝜋0, 𝑘1𝜋0 + 𝑘1𝜋1 + 𝑘0𝜋2 = 𝜋1, 𝑘2𝜋0 + 𝑘2𝜋1 + 𝑘1𝜋2 + 𝑘0𝜋3 = 𝜋2,
………… (2.2.41) Để tiện lợi cho tính toán, chúng ta xác định:
𝑣0 = 1𝑣𝑖 = 𝜋𝑖/𝜋0.
Viết lại (2.2.41) với vi (i = 1, 2, ...) ta có:
𝑣1 = 1− 𝑘0
𝑘0 , 𝑣2 = 1− 𝑘1
𝑘0 𝑣1 − 𝑘1
𝑘−0,
………
𝑣𝑗 = 1 − 𝑘1
𝑘0 𝑣𝑗 −1 − 𝑘2
𝑘 − 0𝑣𝑗 −2 − ⋯ − 𝑘𝑗 −1
𝑘0 𝑣1 − 𝑘𝑗 −1 𝑘 − 0 Từ quan hệ:
= 1 + 𝜋𝑖 𝜋0
∞
𝑖=1
∞
𝑖=0
= ∞𝑖=0𝜋𝑖 𝜋0 = 1
𝜋0
Và kết hợp với điều kiện ∞𝑖=0𝜋𝑖 = 1, chúng ta có:
𝜋0 = (1 + ∞𝑖=1𝑣𝑖)−1,
𝜋𝑖 = 𝑣𝑖
1+ ∞𝑖=1𝑣𝑖.
50
Viết Q∗ = lim𝑛 →∞ 𝑄𝑛, chúng ta có số khách hàng trung bình của hệ thống hay độ dài hàng đợi trung bình của hệ thống ( 𝐿 ):
Số khách hàng trung bình trung bình trong hàng đợi hay chiều dài hàng đợi dự kiến( loại ra các khách hàng đang đƣợc phục vụ) đƣợc ký hiệu là 𝐿q:
𝐿𝑞 = 𝜆2𝐸(𝑆)2
2(1− 𝜌). b. Thời gian chờ đợi
Từ các phân tích trong chương 5, phần 5.2, trang 86, 87 sách An Introduction toQueueing Theory - Modeling and Analysis in Applications ( U.Narayan Bhat, Southern Methodist University, Dallas), chúng ta rút ra đƣợc công thức tính thời gian chờ đợi trung bình trong hệ thống và trong hàng đợi lần lƣợt là:
𝑊 = 𝐸(𝑠) + 𝜆2𝐸(𝑆)2
2(1− 𝜌), 𝑊𝑞 = 𝜆2𝐸(𝑆)2
2(1 − 𝜌).
c. Thời gian bận rộn
Trong trường hợp chuỗi Markov nhúng, độ dài của thời kỳ bận rộn được đo là số lƣợng của quá trình chuyển đổi của chuỗi mà không qua trạng thái 0. Với Bi là số lượng các quá trình chuyển đổi của chuỗi Markov trước khi đến trạng thái 0 lần đầu tiên, bắt đầu từ trạng thái i, cho:
𝑔𝑖(𝑛) = 𝑃 𝐵𝑖 = 𝑛 , 𝑛 = 1, 2, …
Một thuộc tính quan trọng của 𝐵𝑖 là nó có thể đƣợc coi là tổng của các biến ngẫu nhiên i với phân bố của 𝐵1. Điều này tương đương khi nói rằng sự chuyển tiếpi → 0 có thể coi là xảy ra phân đoạn i, i → i − 1, i − 1 → i − 2, ..., 1 → 0.
Vì chúng ta đang đếm số lƣợng các quá trình chuyển đổi để có đƣợc độ dài trung bình của khoảng thời gian bận rộn, chúng ta nhân với chiều dài trung bình của thời gian thực hiện cho mỗi sự chuyển tiếp tức là thời gian dịch vụ. Do đó:
Chiều dài trung bình của thời gian bận rộn = 𝐸(𝑆)
(1− 𝜌).
𝐿 = 𝐸 𝑄 ∗ = 𝜌 + 𝜆2𝐸(𝑆)2
2(1− 𝜌).
51
Cần lưu ý rằng, một chu kỳ bận rộn được tạo thành bời một khoảng thời gian bận rộn và một thời gian nhàn rỗi nên chiều dài trung bình của thời gian nhàn rỗi trong hàng đợi M/ G / 1 với tốc độ đến là λ là 1/λ. Chúng ta có:
Chiều dài trung bình của chu kỳ bận rộn = 𝐸(𝑆)
(1− 𝜌)+ 1
𝜆 = 1
𝜆( 1− 𝜌 ). d. Bài toán ví dụ
Trong một garage xe ô tô có một thợ cơ khí duy nhất, từ các hồ sơ lưu giữ bởi chủ sở hữu, sự phân bố của số lƣợng xe đến trong các thời gian phục vụ của một chiếc xe thu đƣợc nhƣ sau:
P(không có lƣợt đến mới) =0.5;
P(một lƣợt đến mới) = 0.3;
P(hai lƣợt đến mới) = 0.2. Nếu chúng ta giả định rằng các lƣợt đến của các phương tiện để được phục vụ theo phân phối Poisson, chúng ta có thể mô hình hệ thống này nhƣ một hàng đợi M/ G/ 1, ngay cả khi chúng ta không có phân phối cho thời gian phục vụ. Với giả định này, chúng ta nhận đƣợc:
𝑘0 = 0.5, 𝑘1 = 0.3, 𝑘2 = 0.2,
Với E(số lượng khách đến trong thời gian phục vụ) = 0.7 =cường độ giao thông ρ.
Các phương pháp tính toán để xác định sự phân bố hạn chế là thích hợp nhất vì không có hình thức phân phối có sẵn cho thời gian phục vụ. Chúng tacó:
𝑣0 = 1𝑣1 = 1𝑣2 = 0.8𝑣3 = 0.32
𝑣4 = 0.128𝑣5 = 0.051𝑣6 = 0.021𝑣7 = 0.008
𝑣8 = 0.003𝑣9 = 0.001𝑣10 = 0.001 . Do đó:
𝑣𝑖 = 3.333
10
𝑖=0
Do 𝜋0 = ( 10𝑖=0𝑣𝑖)−1 và 𝜋𝑖 = 𝑣𝑖𝜋0, chúng ta nhận đƣợc:
𝜋0 = 0.3𝜋1 = 0.3𝜋2 = 0.24𝜋3 = 0.096
52
𝜋4 = 0.038𝜋5 = 0.015𝜋6 = 0.006𝜋7 = 0.002
𝜋8 = 0.001𝜋9 = 0.000.
Giá trị trung bình của phân phối là:
L = E(Q∗) = 1.353.
Sử dụng luật Little, chúng ta có có thời gian trung bình trong hệ thống là:
𝑊 = 1.353
0.7 = 1.933 đơn vị thời gian phục vụ.