Một số mô hình xếp hàng và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGUYỄN THỊ HÀ MỘT SỐ MƠ HÌNH XẾP HÀNG VÀ ỨNG DỤNG Chun ngành: Lý thuyết xác xuất thống kê toán học Mã số: 604601106 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƢỜI HƢỚNG DẪN: Ts Trần Mạnh Cƣờng Hà Nội - 2016 Mục Lục MỞ ĐẦU Error! Bookmark not defined CHƢƠNG Error! Bookmark not defined KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Error! Bookmark not defined 1.1 Phân bố Poisson phân bố mũ Error! Bookmark not defined 1.1.1 Phân bố Poisson Error! Bookmark not defined 1.1.2 Phân bố mũ: Error! Bookmark not defined 1.2 Xích Markov Error! Bookmark not defined 1.2.1 Phân loại trạng thái xích Markov Error! Bookmark not defined 1.3 Quá trình Markov Error! Bookmark not defined 1.3.1 Trƣờng hợp không gian trạng thái hữu hạn Error! Bookmark not defined 1.3.2 Trƣờng hợp không gian trạng thái vô hạn đếm đƣợc Error! Bookmark not defined CHƢƠNG 2: Error! Bookmark not defined MỘT SỐ MƠ HÌNH XẾP HÀNG Error! Bookmark not defined 2.1 Khái niệm phân loại trình xếp hàng Error! Bookmark not defined 2.1.1 Khái niệm trình xếp hàng Error! Bookmark not defined 2.1.2 Các yếu tố hàng đợi Error! Bookmark not defined a Bố trí vật lí hệ thống Error! Bookmark not defined b Nguyên tắc phục vụ Error! Bookmark not defined c Các phân phối xác suất dịng tín hiệu, dịng phục vụ Error! Bookmark not defined 2.1.3 Phân tích hàng đợi Error! Bookmark not defined 2.1.4 Phân loại Kendall Error! Bookmark not defined 2.1.5 Mục tiêu phân tích hàng đợi Error! Bookmark not defined 2.2 Một số mơ hình xếp hàng Error! Bookmark not defined 2.2.1 Mơ hình xếp hàng sinh – chết tổng quát Error! Bookmark not defined 2.2.2 Mơ hình hàng đợi M/M/1 Error! Bookmark not defined a Phân bố giới hạn Error! Bookmark not defined b Thời gian khách hàng chờ đợi Error! Bookmark not defined c Thời gian bận rộn Error! Bookmark not defined d Quá trình dời Error! Bookmark not defined e Bài tốn ví dụ Error! Bookmark not defined 2.2.3 Mô hình hàng đợi M/M/s Error! Bookmark not defined a Thời gian chờ đợi Error! Bookmark not defined b Thời gian bận rộn Error! Bookmark not defined c Quá trình dời Error! Bookmark not defined d Bài tốn ví dụ Error! Bookmark not defined 2.2.4 Mơ hình hàng đợi hữu hạn M/M/s/K Error! Bookmark not defined a Bài tốn ví dụ Error! Bookmark not defined 2.2.5 Mơ hình hàng đợi M/G/1 Error! Bookmark not defined a Phân bố giới hạn Error! Bookmark not defined b Thời gian chờ đợi Error! Bookmark not defined c Thời gian bận rộn Error! Bookmark not defined d Bài tốn ví dụ Error! Bookmark not defined 2.2.6 Mô hình hàng đợi G/M/1 Error! Bookmark not defined a Phân bố giới hạn Error! Bookmark not defined b Thời gian chờ đợi Error! Bookmark not defined c Chu kỳ bận rộn Error! Bookmark not defined d Bài tốn ví dụ Error! Bookmark not defined CHƢƠNG 3: Error! Bookmark not defined ỨNG DỤNG Error! Bookmark not defined 3.1 Mơ số mơ hình xếp hàng Matlab Error! Bookmark not defined 3.1.1 Mô hàng đợi M/M/1 Error! Bookmark not defined 3.2 Ứng dụng mơ hình xếp hàng tốn định Error! Bookmark not defined a) Xét ba toán sau: Error! Bookmark not defined b) Hàm giá: Error! Bookmark not defined KẾT LUẬN Error! Bookmark not defined TÀI LIỆU THAM KHẢO Error! Bookmark not defined MỞ ĐẦU Lý thuyết xếp hàng đƣợc nghiên cứu ứng dụng rộng rãi giới nhiều lĩnh vực ngành nghề khác nhƣ bƣu viễn thơng, hàng khơng, đƣờng sắt, kiểm sốt lƣu lƣợng giao thông, đánh giá hiệu hệ thống máy tính, y tế chăm sóc sức khỏe, khơng lƣu, bán vé … Trong nhiều hệ thống phục vụ, khách hàng (costumer) phải dùng chung tài nguyên, phải chờ để đƣợc phục vụ bị từ chối phục vụ Lý thuyết trình xếp hàng (queueing process) xác định tìm phƣơng án tối ƣu để hệ thống phục vụ tốt Trong nửa đầu kỷ 20 lý thuyết xếp hàng đƣợc ứng dụng để nghiên cứu thời đợi hệ thống điện thoại Ngày lý thuyết xếp hàng có nhiều ứng dụng lĩnh vực khác nhƣ mạng máy tính, việc quản lý xí nghiệp, quản lý giao thông hệ phục vụ khác … Ngoài lý thuyết xếp hàng cịn sở tốn học để nghiên cứu ứng dụng nhiều toán kinh tế nhƣ đầu tƣ, kiểm kê, rủi ro bảo hiểm, thị trƣờng chứng khốn … Chuỗi Markov q trình xếp hàng với thời gian rời rạc đƣợc xem xét giáo trình xác suất thống kê Quá trình sinh tử q trình xếp hàng, sinh biểu thị đến tử biểu thị rời hàng hệ thống Đối với lý thuyết xếp hàng ta quan tâm đến số đo hiệu năng, giá trị trung bình trình đạt trạng thái dừng bao gồm: độ dài hàng đợi trung bình hàng, độ dài hàng đợi trung bình hệ thống, thời gian đợi trung bình hàng (trễ hàng) thời gian đợi trung bình hệ thống (trễ hệ thống) Để tính đại lƣợng ta sử dụng phƣơng pháp giải phƣơng trình tích phân dạng Wiener – Hopf phƣơng pháp khảo sát chuỗi Markov nhúng Từ suy cơng thức tính phân bố ổn định cho loại hàng M/M/k, M/M/k/N; Cơng thức tổng qt tính giá trị trung bình cho hàng G/G/1 cơng thức cụ thể cho hàng đặc biệt M/M/1, M/D/1 M/𝐸𝑘 /1 … Luận văn tìm hiểu số mơ hình xếp hàng ứng dụng Nội dung luận văn gồm ba chƣơng Chƣơng 1: Kiến thức chuẩn bị Chƣơng trình bày số phân bố xác suất liên quan nhƣ: Phân bố Poisson, phân bố mũ Những định nghĩa, định lý xích Markov, phân loại trạng thái xích Markov, q trình Markov gồm trƣờng hợp khơng gian trạng thái hữu hạn không gian trạng thái vô hạn đếm đƣợc Chƣơng 2: Một số mơ hình xếp hàng Trình bày số mơ hình xếp hàng gồm: Mơ hình hệ thống xếp hàng Markov đơn giản gồm mơ hình xếp hàng Birth- and – Death tổng qt, trình bày cụ thể mơ hình hàng đợi M/M/1, M/M/s mơ hình hàng đợi hữu hạn M/M/s/K Mơ hình chuỗi Markov nhúng trình bày tổng qt chuỗi Markov nhúng cụ thể mơ hình hàng đợi M/G/1 G/M/1 Chƣơng 3: Ứng dụng Chƣơng tìm hiểu vài ứng dụng đơn giản mơ hình xếp hàng bao gồm: Mơ số mơ hình Matlab ứng dụng mơ hình xếp hàng tốn định Dù có nhiều cố gắng nhƣng thời gian khả có hạn nên vấn đề luận văn chƣa đƣợc trình bày sâu sắc khơng thể tránh khỏi sai sót Em mong đƣợc góp ý xây dựng thầy bạn Em xin chân thành cảm ơn! CHƢƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chƣơng em xin trình bày sốphân bốxác suất liên quan phân bố Poisson, phân bố mũvà số định nghĩa, định lý xích Markov gồm hai trƣờng hợp khơng gian trạng thái hữu hạn không gian trạng thái vô hạn đếm đƣợc để chuẩn bị kiến thức cho chƣơng khóa luận 1.1 Phân bố Poisson phân bố mũ 1.1.1 Phân bố Poisson Định nghĩa.Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận giá trị từ 0, 1, 2, … gọi phân phối Poisson với tham số λ nếu: 𝑒 −𝜆 𝜆𝑘 𝑃 𝑋=𝑘 = 𝑘! 𝑘 = 0, 1, 2, … Ký hiệu: X ~ Poisson(λ) Kỳ vọng: ∞ 𝐸 𝑥 = 𝑘=0 Phƣơng sai : D(X) = 𝐸 𝑋 − 𝜇 𝜆𝑘 𝑒 −𝜆 𝑘 = 𝑘! ∞ 𝑘=1 𝜆𝑘 𝑒 −𝜆 𝑘−1 ! =λ Do đó, viết: X ~ Poisson (µ) Mơ hình Poisson: Giả sử quan tâm đến số lần xảy kiện A khoảng thời gian khơng gian liên tục có chiều dài w; với điều kiện số lần xảy khoảng không giao độc lập nhau, xác suất xuất A nhiều lần khoảng bé Hơn nữa, “cƣờng độ” xuất A không thay đổi, tức số lần xuất trung bình A khoảng phụ thuộc vào độ dài khoảng Với điều kiện trên, gọi X BNN số lần xuất A khoảng chiều dài w ngƣời ta chứng minh đƣợc X tuân theo luật phân phối Poisson với tham số λ = mw, m số dƣơng “cƣờng độ” xuất A Thí dụ, số điện thoại gọi đến phút trạm đó; sốlỗi trang giấy sách dầy; số đơn đặt hàng gửi tới sở tháng, … Biến ngẫu nhiên số lần xuất nêu đƣợc nhà toán học Simeon D Poisson nghiên cứu hình thành phân phối Poisson Ngồi ra, phân phối Poisson cịn đƣợc dùng để tính xấp xỉ phân phối nhịthức B(n;p) n lớn p gần gần Định lý Poisson Giả sử dãy n phép thử độc lập, biến cố A xuất với xác suất 𝑝𝑛 phép thử Nếu 𝑛 → ∞ mà 𝑝𝑛 → cho 𝑛 𝑝𝑛 = 𝜆 (λ số dƣơng) với 𝑘 ∈ {0,1,2, … , 𝑛}, có: lim 𝑛 →∞ 𝐶𝑛𝑘 𝑝𝑛𝑘 − 𝑝𝑛 𝑛−𝑘 𝜆𝑘 −𝜆 = 𝑒 𝑘! Hệ quả: Nếu 𝑋~𝐵(𝑛, 𝑝), với 𝑛 > 30 (𝑛𝑝 < 𝑕𝑎𝑦 𝑛 − 𝑝 < 5) xem 𝑋~𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛 (𝑛𝑝) Định lí: Cho hai biến ngẫu nhiên X Y độc lập Nếu 𝑋~𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛 (𝜇) 𝑌~𝑃𝑖𝑜𝑠𝑠𝑜𝑛 (𝜆) biến ngẫu nhiên 𝑋 + 𝑌~𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛 (𝜇 + 𝜆) 1.1.2 Phân bố mũ: Định nghĩa: Hàm mật độ xác suất phân phối mũ có dạng sau: −𝜆𝑥 𝑓 𝑥, 𝜆 = 𝜆𝑒 ,𝑥 ≥ ,𝑥 < Trong λ tham số phân bố, thƣờng đƣợc gọi tham số tỉ lệ Phân bố đƣợc hỗ trợ dựa khoảng [0; ∞) Nếu biến ngẫu nhiên X có phân phối này, ta viết: 𝑋~𝐸𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑖𝑎𝑙 (𝜆) Đặc tả: Một cách khác để định nghĩa hàm mật độ xác suất phân phối mũ nhƣ sau: −𝑥/𝜆 𝑓 𝑥, 𝜆 = 𝜆 𝑒 ,𝑥 ≥ ,𝑥 < Trong 𝜆 > tham số phân bố đƣợc coi nghịch đảo tham số tỉ lệ đƣợc định nghĩa Trong đặc tả, λ tham số sống sót theo nghĩa: biến ngẫu nhiên X khoảng thời gian mà hệthống sinh học học M cho trƣớc sống sót đƣợc 𝑋~𝐸𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑖𝑎𝑙 (𝜆)thì 𝐸 𝑋 = 𝜆 Nghĩa khoảng thời gian sống sót kì vọng M λ đơn vị thời gian Tính chất: + Giá trị trung bình phương sai: Giá trị trung bình hay giá trị kì vọng biến ngẫu nhiên phân phối mũ X với tham số tỉ lệ λ đƣợc cho công thức: 𝐸𝑋 = Phƣơng sai X là: 𝜆 𝜆2 + Tính khơng nhớ: Một tính chất quan trọng phân phối mũ khơng nhớ Nghĩa biến ngẫu nhiên T có phân phối mũ xác suất điều kiện phải thỏa mãn: 𝑃(𝑇 > 𝑠 + 𝑡/𝑇 > 𝑡) = 𝑃 𝑇 > 𝑠 , ∀ 𝑠, 𝑡 ≥ 1.2 Xích Markov Xét hệ đƣợc quan sát thời điểm rời rạc 0,1,2, Giả sử quan sát X0, X1, , Xn, Khi ta có dãy đại lƣợng ngẫu nhiên (ĐLNN) (Xn) Xn trạng thái hệ thời điểm n Giả thiết Xn, n = 0,1, ĐLNN rời rạc Ký hiệu E tập giá trị (Xn) Khi E tập hữu hạn hay đếm đƣợc, phần tử đƣợc ký hiệu i, j, k Ta gọi E không gian trạng thái dãy Định nghĩa 1.2.1.Ta nói dãy ĐLNN (Xn) xích Markov với n1< < nk< nk+1 với i1, i2, , ik+1∈ E, ta có: 𝑃 𝑋𝑛 𝑘+1 = 𝑖𝑘+1 /𝑋𝑛 = 𝑖1 , 𝑋𝑛 = 𝑖2 , … , 𝑋𝑛 𝑘 = 𝑖𝑘 = 𝑃 𝑋𝑛 𝑘+1 = 𝑖𝑘+1 /𝑋𝑛 𝑘 = 𝑖𝑘 Ta coi thời điểm nk+1 tƣơng lai, nk n1, , nk -1 khứ Nhƣ vậy, xác suất có điều kiện kiện B tƣơng lai biết khứ hệ giống nhƣ xác suất có điều kiện B biết trạng thái hệ Đó tính Markov hệ Đơi tính Markov hệ cịn phát biểu dƣới dạng: Nếu biết trạng thái hệ khứ tƣơng lai độc lập với Giả sử 𝑃 𝑋𝑚 +𝑛 = 𝑗/𝑋𝑚 = 𝑖 xác suất để xích thời điểm m trạng thái i sau n bƣớc, thời điểm m + n chuyển sang trạng thái j Đây số nói chung phụ thuộc vào i, j, m, n Nếu đại lƣợng không phụ thuộc m ta nói xích Ký hiệu: 𝑃𝑖𝑗 = 𝑃 𝑋𝑛 +1 = 𝑗 /𝑋𝑛 = , 𝑃𝑖𝑗 𝑛 = 𝑃 𝑋𝑚 +𝑛 = 𝑗/𝑋𝑚 = 𝑖 Ta gọi (𝑃𝑖𝑗 , 𝑖, 𝑗 ∈ 𝐸) xác suất chuyển sau bƣớc hay xác suất chuyển (𝑃𝑖𝑗 𝑛 , 𝑖, 𝑗 ∈ 𝐸) xác suất chuyển sau n bƣớc Chú ý rằng: 𝑗 ∈𝐸 𝑃𝑖𝑗 = 1, 𝑛 = 𝑗 ∈𝐸 𝑃𝑖𝑗 Phân bố X0 đƣợc gọi phân bố ban đầu Ta ký hiệu 𝑢𝑖 = 𝑃(𝑋0 = 𝑖) Định lý 1.2.1.Phân bố đồng thời (X0, X1, , Xn) hoàn toàn xác định từ phân bố ban đầu xác suất chuyển Cụ thể ta có: 𝑃 𝑋0 = 𝑖0 , 𝑋1 = 𝑖1 , … , 𝑋𝑛 = 𝑖𝑛 = 𝑢𝑖0 𝑃𝑖0 𝑖1 … 𝑃𝑖𝑛 −1 𝑖𝑛 Nhƣ phân bố đồng thời 𝑋0 , … , 𝑋𝑛 đƣợc xác định phân bố ban đầu xác suất chuyển Định lý 1.2.2.(Phương trình C - K (Chapman-Kolmogorov)): 𝑃𝑖𝑗 (n + m) = 𝑘 ∈𝐸 𝑃𝑖𝑘 (n) 𝑃𝑘𝑗 (m) Trong trƣờng hợp E có d phần tử, ta ký hiệu𝑃 = (𝑃𝑖𝑗 ), 𝑃(𝑛) = (𝑃ij(n))là ma trận vng cấp 𝑑 × 𝑑 P đƣợc gọi ma trận xác suất chuyển, P(n) đƣợc gọi ma trận xác suất chuyển sau n bƣớc Khi từ phƣơng trình Chapman - Kolmogorov tƣơng đƣơng với: 𝑃(𝑛 + 𝑚) = 𝑃(𝑛)𝑃(𝑚) Vì P = P(1) nên quy nạp ta dễ thấy: 𝑃(𝑛) = 𝑃𝑛 Gọi 𝑢𝑖 𝑛 = 𝑃 𝑋𝑛 = 𝑖 Ký hiệu vecto 𝑈 𝑛 = (𝑢1 (𝑛), … , 𝑢𝑑 𝑛 )là vector hàng d - chiều mô tả phân bố 𝑋𝑛, 𝑈 = 𝑢 = (𝑢1 , 𝑢2 , … , 𝑢𝑑 )là vector hàng d - chiều mô tả phân bố ban đầu (Phân bố của𝑋0 ) Định lý 1.2.3.Ta có: 𝑈 𝑚 + 𝑛 = 𝑈 𝑚 𝑃𝑛 Định nghĩa 1.2.2.Phân bố ban đầu 𝑈 = (𝑢𝑖 ), 𝑖 ∈ 𝐸 gọi phân bố dừng ta có 𝑈(𝑛) = 𝑈 với n tức 𝑢𝑖 𝑛 = 𝑢𝑖 ∀𝑖 ∈ 𝐸 , ∀𝑛 Khi dãy (𝑋𝑛 ) có phân bố Từ định lý 1.2.3 ta suy 𝑈 = (𝑢𝑖 ) phân bố dừng nếu: • 𝑢𝑖 ≥ 𝑖∈𝐸 𝑢𝑖 = 1, • 𝑢𝑖 = 𝑖∈𝐸 𝑢𝑖 𝑃𝑖𝑗 ∀𝑗 ∈ 𝐴 Định lý 1.2.4.Giả sử (𝑋𝑛 ) xích Markov với không gian trạng thái E = 1,2, với ma trận xác suất chuyển 𝑃 = (𝑃𝑖𝑗 ) ma trận xác suất chuyển sau n bước là𝑃 𝑛 = 𝑃𝑖𝑗 (𝑛) Ta nói xích có phân bố giới hạn với i, j ∈ E tồn giới hạn: lim 𝑃𝑖𝑗 𝑛 = 𝜋𝑗 𝑛→ ∞ Giới hạn khơng phụ thuộc i ∈ E đó: • 𝑗 ∈𝐸 𝜋𝑗 ≤ πj = 𝑖 ∈𝐸 𝜋𝑖 𝑃𝑖𝑗 • Hoặc πj = với j ∈ E, 𝑗 ∈𝐸 𝜋𝑗 = 10 • Nếu 𝑗 ∈𝐸 𝜋𝑗 = U = (π1, π2, ) phân bố dừng phân bố dừng Nếu πj = với j ∈ E phân bố dừng không tồn Ý nghĩa phân bố giới hạn nhƣ sau: Gọi 𝑢𝑖 (𝑛) = 𝑃(𝑋𝑛 = 𝑖) Ký hiệu vector 𝑈(𝑛) = (𝑢1 (𝑛), 𝑢2 (𝑛), )là vector hàng d - chiều mô tả phân bố 𝑋𝑛 Ta có: P(Xn = j) = 𝑗 ∈𝐸 𝑃 (X0 = i)𝑃𝑖𝑗 (n) Do đó: lim𝑛→ ∞ 𝑃 𝑋𝑛 = 𝑗 = = 𝑗 ∈𝐸 𝑃 𝑗 ∈𝐸 𝑃 𝑋0 = 𝑖 lim𝑛→ ∞ 𝑃𝑖𝑗 (𝑛) 𝑋0 = 𝑖 𝜋𝑗 = 𝜋𝑗 Định nghĩa 1.2.3.Giả sử (𝑋𝑛 ) xích Markov với khơng gian trạng thái E ={1, 2, } với ma trận xác suất chuyển 𝑃 = 𝑃𝑖𝑗 (𝑛)và ma trận xác suất chuyển sau n bước 𝑃(𝑛) = 𝑃𝑖𝑗 (𝑛) Ta nói xích có phân bố giới hạn với i, j ∈ E tồn giới hạn: lim𝑛→ ∞ 𝑃𝑖𝑗 (n) = πj Giới hạn không phụ thuộc i ∈ E 𝑗 ∈𝐸 𝜋𝑗 = Nói cách khác, vecto giới hạn 𝜋 = (𝜋1 , 𝜋2 , ) lập thành phân bố xác suất E Vậy phân bố 𝑈(𝑛) 𝑋𝑛 hội tụ tới phân bố giới hạn π Khi n lớn ta có (𝑋𝑛 = 𝑗) ≈ 𝜋𝑗 Theo định lý 1.1.4 phân bố giới hạn tồn phân bố dừng tồn Hơn hai phân bố trùng Tuy nhiên điều ngƣợc lại không tức có xích Markov có tồn phân bố dừng nhƣng không tồn phân bố giới hạn Định lý 1.2.5.Cho (𝑋𝑛 ) xích Markov với khơng gian trạng thái hữu hạn E = {1,2, ,d} với ma trận xác suất chuyển sau n bước 𝑃(𝑛) = (𝑃𝑖𝑗 (n)).Khi có tồn phân bố giới hạn π = (π1, , πd ) với 𝜋𝑗 > ∀𝑗 ∈ 𝐸 xích quy theo nghĩa: Tồn 𝑛0 cho: 𝑃𝑖𝑗 𝑛0 > 0, ∀𝑖, 𝑗 ∈ 𝐸 1.2.1 Phân loại trạng thái xích Markov 11 Định nghĩa 1.2.4.Ta nói trạng thái i đến trạng thái j ký hiệu 𝑖 → 𝑗 tồn 𝑛 ≥ cho 𝑃𝑖𝑗 (𝑛) > (Ta quy ước 𝑃𝑖𝑖 = 1, 𝑃𝑖𝑗 (0) = nếu(i ≠ j)) Hai trạng thái i j gọi liên lạc 𝑖 → 𝑗và 𝑗 → 𝑖 Trong trường hợp ta viết 𝑖 ↔ 𝑗 Định nghĩa 1.2.5.Xích Markov gọi tối giản hai trạng thái liên lạc Có nghĩa theo cách phân lớp E khơng thể phân hoạch thành lớp nhỏ Định nghĩa 1.1.6.Ký hiệu 𝑓𝑖𝑖 𝑛 xác suất để hệ xuất phát từ i lần quay lại i thời diểm n Nghĩa là: 𝑓𝑖𝑖 (n) = P(Xn = i, 𝑋𝑛−1 ≠ i, , 𝑋1 ≠ i|X0 = i) ký hiệu: 𝑓𝑖𝑖 ∗ = ∞ 𝑛=1 𝑓𝑖𝑖 (𝑛) Định lý 1.2.6.Trạng thái i hồi quy khi: ∞ 𝑛=1 𝑃𝑖𝑖 (𝑛)= ∞ Định lý 1.2.7.Nếu i ↔ j j hồi quy i hồi quy Chứng minh: Theo giả thiết tồn 𝑚, 𝑛 cho𝑃𝑖𝑖 (n) > 0, 𝑃𝑗𝑖 (m) > Với số nguyên dƣơng h từ phƣơng trình C-P suy ra: 𝑃𝑖𝑖 (n + h + m) ≥ 𝑃𝑖𝑗 (n)𝑃𝑗𝑗 (h)𝑃𝑗𝑖 (m) Vậy: ∞ 𝑕=1 𝑃𝑖𝑖 (n + h + m) ≥ 𝑃𝑗 (n)𝑃𝑗𝑖 (m) ∞ 𝑕=1 𝑃𝑗𝑗 (h) = ∞ Vậy i hồi quy Định lý 1.2.8 Ký hiệu 𝑄𝑖𝑖 xác suất để hệ xuất phát từ i quay lại i vô số lần, 𝑄𝑖𝑗 xác suất để hệ xuất phát từ i qua j vô số lần Khi đó: • (i) Nếu i hồi quy 𝑄𝑖𝑖 = 1, i khơng hồi quy 𝑄𝑖𝑖 = 12 • (ii) Nếu i hồi quy 𝑖 ↔ 𝑗thì𝑄𝑖𝑗 = Nói riêng, với xác suất hệ xuất phát từ i sau số hữu hạn bước qua j Định lý 1.2.9.Cho (𝑋𝑛 ) xích tối giản khơng hồi quy Khi với i, j: ∞ 𝑛=1 𝑃𝑖𝑗 𝑛 < ∞ Nói riêng lim𝑛→ ∞ 𝑃𝑖𝑗 = xích khơng tồn phân bố dừng Định lý 1.2.10.Cho (𝑋𝑛 ) xích tối giản hồi quy khơng có chu kỳ Khi với i, j ta có: lim𝑛→ ∞ 𝑃𝑖𝑗 (n) = 𝜇𝑗 đó: µ𝑗 = ∞ 𝑘=1 𝑘𝑓𝑗𝑗 (k) Định nghĩa 1.2.7.Trạng thái hồi quy i gọi trạng thái hồi quy dương 𝜇𝑖 < ∞ gọi trạng thái hồi quy không µ𝑖 = ∞ Định lý 1.2.11.Giả sử 𝑖 → 𝑗 Nếu i hồi quy dương j hồi quy dương Nếu i hồi quy khơng j hồi quy khơng Định lý 1.2.12.Giả sử (𝑋𝑛 ) xích tối giản khơng có chu kỳ với khơng gian trạng thái đếm E Khi xảy ba khả sau đây: • 1)Mọi trạng thái khơng hồi quy Khi với i, j ta có: 𝑙𝑖𝑚𝑛→ ∞ 𝑃𝑖𝑗 (n) = Xích khơng có phân bố dừng • 2) Mọi trạng thái hồi quy khơng Khi với i, j ta có: 𝑙𝑖𝑚𝑛→ ∞ 𝑃𝑖𝑗 = Xích khơng có phân bố dừng • 3) Mọi trạng thái hồi quy dương Khi với i, j, ta có: 13 𝑙𝑖𝑚𝑛→ ∞ 𝑃𝑖𝑗 = πj> và𝜋 = (𝜋1 , 𝜋2 , ) phân bố giới hạn (và phân bố dừng) xích Định lý 1.2.13.Giả sử (𝑋𝑛 ) xích tối giản khơng có chu kỳ với không gian trạng thái hữu hạn E = {1, 2, , d} Khi trạng thái hồi quy dương xích có phân bố giới hạn 𝜋 = (𝜋1 , 𝜋2 , , 𝜋𝑑 ) Phân bố phân bố dừng xích Định lý 1.2.14.Giả sử 𝑋𝑛 xích tối giản với khơng gian trạng thái E đếm Khi đó: • 1.Với 𝑖, 𝑗 ∈ 𝐸: 𝑛 𝑘=1 𝑃𝑖𝑗 (𝑘) 𝑙𝑖𝑚𝑛→ ∞ 𝑛−1 = 𝜇𝑗 Nói cách khác dãy 𝑃𝑖𝑗 𝑛 hội tụ theo trung bình Cesaro tới πj = khơng phụ thuộc 𝜇𝑖 i • 2.Dãy 𝜋 = (𝜋𝑗 ) thoả mãn: a) ∞ 𝑗 =1 𝜋𝑗 ≤ 1, b) 𝜋𝑗 = ∞ 𝑖=1 𝜋𝑖 𝑃𝑖𝑗 Định lý 1.2.15.Cho (𝑋𝑛 ) xích Markov tối giản Khi đó: • Nếu E hữu hạn có d phần tử (𝜋1 , , 𝜋𝑑 ) phân bố dừng • Chỉ có khả sau: a) Mọi trạng thái E không hồi quy b) Mọi trạng thái E hồi quy không c) Mọi trạng thái E hồi quy dương • Nếu E vơ hạn đếm xích có phân bố dừng trạng thát E hồi quy dương Trong trường hợp phân bố dừng 1.3 Quá trình Markov 14 Xét họ ĐLNN rời rạc (𝑋𝑡 ), t ≥ với tập số t số thực không âm 𝑡 ∈ [0, ∞) Ký hiệu 𝐸 = 𝑋𝑡 Ω tập giá trị 𝑋𝑡 Khi E tập hữu hạn hay đếm đƣợc, phần tử đƣợc ký hiệu 𝑙à 𝑖, 𝑗, 𝑘 Ta gọi (𝑋𝑡 ) q trình ngẫu nhiên với khơng gian trạng thái E Định nghĩa 1.3.1 Ta nói (𝑋𝑡 ) trình Markov với 𝑡1 < < 𝑡𝑘 < 𝑡và với 𝑖1 , 𝑖2 , 𝑖𝑛 , 𝑖 ∈ 𝐸 ∶ P{Xt = i|𝑋𝑡 = i1, 𝑋𝑡 = i2 , 𝑋𝑡 𝑘 = ik} = P{Xt = i|𝑋𝑡 𝑘 = ik} Nhƣ vậy, xác suất có điều kiện kiện B tƣơng lai biết khứ hệ giống nhƣ xác suất có điều kiện B biết trạng thái hệ Đó tính Markov hệ Đơi tính Markov hệ cịn phát biểu dƣới dạng: "Nếu biết trạng thái 𝑋𝑡 hệ khứ 𝑋𝑢 ,𝑢 < 𝑡 tƣơng lai 𝑋𝑠 , 𝑠 > 𝑡 độc lập với nhau." Giả sử: P{𝑋𝑡+𝑠 = j|Xs = i} xác suất để xích thời điểm s trạng thái i sau khoảng thời gian t, thời điểm t + h chuyển sang trạng thái j Đây số nói chung phụ thuộc vào i, j, t, s Nếu đại lƣợng khơng phụ thuộc s ta nói xích Ký hiệu: 𝑃𝑖𝑗 (t) = P{𝑋𝑡+𝑠 = j|Xs = i} Ta gọi 𝑃𝑖𝑗 𝑡 xác suất chuyển hệ từ trạng thái i sang trạng thái j sau khoảng thời gian t Ký hiệuP(t) = (𝑃𝑖𝑗 (t), i, j → E) P(t) ma trận hữu hạn hay vô hạn chiều Chú ý rằng: • i)𝑃𝑖𝑗 (t) ≥ • ii) 𝑗 ∈𝐸 𝑃𝑖𝑗 (𝑡)= Phân bố 𝑋0 đƣợc gọi phân bố ban đầu Ta ký hiệu 𝑢𝑖 = 𝑃(𝑋0 = 𝑖) Định lý 1.3.1.Phân bố hữu hạn chiều q trình (𝑋𝑡 ) hồn tồn xác định từ phân bố ban đầu xác suất chuyển Cụ thể với 𝑡1 < 𝑡2 < < 𝑡𝑛 phân bố đồng thời (𝑋𝑡 , , 𝑋𝑡 𝑛 ) tính theo cơng thức sau: 15 P(𝑋𝑡 = i1, , 𝑋𝑡 𝑛 = in) = = 𝑖 ∈𝐸 𝑢𝑖 𝑃𝑖𝑖 𝑡1 𝑃𝑖1 𝑖2 𝑡2 − 𝑡1 … 𝑃𝑖𝑛 −1 𝑖𝑛 (𝑡𝑛 − 𝑡𝑛 −1 ) Định lý 1.3.2.( Phương trình Chap - Kolmogorov): 𝑃𝑖𝑗 (t + s) = 𝑘 ∈𝐸 𝑃𝑖𝑘 (𝑡)𝑃𝑘𝑗 (𝑠) 1.3.1 Trƣờng hợp không gian trạng thái hữu hạn Giả sử E = {1, 2, , d} Khi từ phƣơng trình C - K P(t), t > họ ma trận thoả mãn đẳng thức sau: 𝑃(𝑡 + 𝑠) = 𝑃(𝑡)𝑃(𝑠) Nói cách khác họ (P(t), t > 0) lập thành nửa nhóm ma trận Từ sau ta giả thiết thêm rằng: 1.𝑃𝑖𝑗 (0) = δij 2.lim𝑛→ ∞ 𝑃𝑖𝑗 (𝑡)= δij Ở 𝛿𝑖𝑗 ký hiệu Kronecke: δij = 𝑘𝑕𝑖 𝑖 = 𝑗 𝑘𝑕𝑖 𝑖 ≠ 𝑗 Định lý 1.3.3.Hàm ma trận P(t) hàm liên tục tồn tại: 𝑃′ (0) = 𝑙𝑖𝑚𝑕→ 0+ 𝑃 𝑡 −𝐼 𝑕 Định lý 1.3.4.Cho trình Markov với nửa nhóm P(t), t > xác suất chuyển Gọi A ma trận cực vi nửa nhóm Khi ta có: 𝑃′ 𝑡 = 𝑃 𝑡 𝐴 , ↔ 𝑃𝑖𝑗 ′ = 𝑘 ≠𝑗 𝑃𝑖𝑘 𝑡 𝑎𝑘𝑗 − 𝑃𝑖𝑗 𝑦 𝑎𝑗 (1.3.1) 𝑃′ 𝑡 = 𝐴𝑃(𝑡) , ↔ 𝑃′ 𝑖𝑗 𝑡 = 𝑘 ≠𝑖 𝑃𝑘𝑗 𝑎𝑖𝑘 − 𝑃𝑖𝑗 (𝑦)𝑎𝑖 16 (1.3.2) với𝑎𝑖𝑗 cƣờng độ chuyển từ trạng thái i sang trạng thái j 𝑎𝑖 cƣờng độ thoát khỏi trạng thái i hệ Phƣơng trình (1.3.1) gọi phƣơng trình thuận phƣơng trình (1.3.2) gọi phƣơng trình ngƣợc Kolmogorov Định lý 1.3.5.Cho trình Markov tối giản (𝑋𝑡 ) với không gian trạng thái E = 1, 2, , d hữu hạn ma trận xác suất chuyểnP(t) = 𝑃𝑖𝑗 (t) Khi với 𝑖, 𝑗 ∈ 𝐸 tồn giới hạn hữu hạn: 𝑙𝑖𝑚 𝑃𝑖𝑗 𝑡 = 𝜋𝑗 𝑡→ ∞ phụ thuộc j không phụ thuộc i Thêm vào 𝜋 = (𝜋1 , 𝜋2 , , 𝜋𝑑 ) phân bố xác suất thoả mãn phương trình: 𝜋 = 𝜋𝑃(𝑡), ∀𝑡 > 1.3.2 Trƣờng hợp không gian trạng thái vô hạn đếm đƣợc Định lý 1.3.6 (1)Với i ≠ j, giới hạn: 𝑃𝑖𝑗 (𝑡) = 𝑎𝑖𝑗 𝑡→ ∞ 𝑡 𝑃𝑖𝑗 ′ (0) = lim tồn hữu hạn (2)Với i giới hạn: 𝑃′ 𝑖𝑖 (0) = lim𝑡→ ∞ 𝑃 𝑖𝑗 𝑡 −1 𝑡 = 𝑎𝑖𝑖 = − 𝑎𝑖 tồn vơ Định lý 1.3.7.Cho trình Markov với P(t) = (𝑃𝑖𝑗 (t))là họ ma trận xác suất chuyển Gọi A ma trận cực vi q trình Khi ta có: 𝑃′ (t) = P(t)A, ↔ 𝑃𝑖𝑗 ′ (t) = 𝑘 ≠𝑗 𝑃𝑖𝑘 𝑡 𝑎𝑘𝑗 − 𝑃𝑖𝑗 (𝑦)𝑎𝑗 𝑃′ (t) = AP(t), 17 (1.3.3) ↔ 𝑃𝑖𝑗 ′ (t) = 𝑘 ≠𝑖 𝑎𝑖𝑘 𝑃𝑘𝑗 − 𝑃𝑖𝑗 (𝑦)𝑎𝑖 (1.3.4) với𝑎𝑖𝑗 cường độ chuyển từ trạng thái i sang trạng thái j cường độ thoát khỏi trạng thái i hệ Phương trình (1.3.3) gọi phương trình thuận phương trình (1.3.4) gọi phương trình ngược Kolmogorov Định lý 1.3.8.Cho trình Markov tối giản (𝑋𝑡 ) với không gian trạng thái E = 1, 2, , đếm ma trận xác suất chuyểnP(t) = 𝑃𝑖𝑗 (t) Khi đó, với 𝑖, 𝑗 ∈ 𝐸 tồn giới hạn hữu hạn: 𝑙𝑖𝑚𝑡→ ∞ 𝑃𝑖𝑗 (𝑡)= πj phụ thuộc j không phụ thuộc i Thêm vào giới hạn 𝜋 = (𝜋1 , 𝜋2 , , ) tất không: 𝜋𝑗 = ∀𝑗 ∈ 𝐸 tất dương lập thành phân bố xác suất Phân bố gọi phân bố giới hạn trình: π j> ∀j ∈ E, 𝑗 𝜋𝑗 = CHƢƠNG 2: MỘT SỐ MƠ HÌNH XẾP HÀNG 2.1 Khái niệm phân loại q trình xếp hàng 18 Trên thực tế mơ hình xếp hàng đƣợc ứng dụng nhiều lĩnh vực ngành nghề khác nhƣ bƣu viễn thơng, hàng khơng, đƣờng sắt, kiểm sốt lƣu lƣợng giao thơng, … Trong lí thuyết xếp hàng ta quan tâm đến số đo hiệu năng, giá trị trung bình trình đạt trạng thái dừng bao gồm: độ dài hàng đợi trung bình hàng, độ dài hàng đợi trung bình hệ thống, thời gian đợi trung bình hàng (trễ hàng) thời gian đợi trung bình hệ thống (trễ hệ thống) Để tính đại lƣợng ta sử dụng phƣơng pháp giải phƣơng trình tích phân dạng Wiener – Hopf phƣơng pháp khảo sát chuỗi Markov nhúng Từ suy cơng thức tính phân bố ổn định cho loại hàng M/M/k, M/M/k/N; Công thức tổng qt tính giá trị trung bình cho hàng G/G/1 công thức cụ thể cho hàm đặc biệt M/D/1 M/𝐸𝑘 /1 …Mà luận văn em đề cập đến số dạng tổng quát, hàng đặc biệt Em mong đƣợc góp ý xây dựng thầy bạn Em xin chân thành cảm ơn! TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đặng Hùng Thắng, Quá trình ngẫu nhiên tính tốn ngẫu nhiên, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội, 2007 [2] Đặng Hùng Thắng, Mở đầu lý thuyết xác suất ứng dụng, Nhà xuất giáo dục, 2005 [3] U.Narayan Bhat, An Introduction to Queueing Theory - Modeling and 76 Analysis in Applications, Birkhauser Boston, 2008 77 ... Chƣơng 2: Một số mô hình xếp hàng Trình bày số mơ hình xếp hàng gồm: Mơ hình hệ thống xếp hàng Markov đơn giản gồm mơ hình xếp hàng Birth- and – Death tổng qt, trình bày cụ thể mơ hình hàng đợi... M/M/s mơ hình hàng đợi hữu hạn M/M/s/K Mơ hình chuỗi Markov nhúng trình bày tổng quát chuỗi Markov nhúng cụ thể mô hình hàng đợi M/G/1 G/M/1 Chƣơng 3: Ứng dụng Chƣơng tìm hiểu vài ứng dụng đơn... trình xếp hàng 18 Trên thực tế mơ hình xếp hàng cịn đƣợc ứng dụng nhiều lĩnh vực ngành nghề khác nhƣ bƣu viễn thơng, hàng khơng, đƣờng sắt, kiểm sốt lƣu lƣợng giao thơng, … Trong lí thuyết xếp hàng