Thông tin tài liệu
ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN ——————— Nguyen Như Quỳnh HÌNH THÚC LU¾N HAMILTON CHO M®T SO MƠ HÌNH HAP DAN CĨ KHOI LeNG LUắN VN THAC S KHOA HOC H Nđi - 2018 ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN ——————— Nguyen Như Quỳnh HÌNH THÚC LUắN HAMILTON CHO MđT SO Mễ HèNH HAP DAN Cể KHOI LƯeNG Chun ngành: V¾t lí lí thuyet v¾t lí tốn Mã so: 8440130.01 LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC: PGS.TS NGUYEN QUANG HƯNG Lài cam ơn Đau tiên, tơi xin bày to lịng biet ơn sâu sac tói thay giáo PGS.TS Nguyen Quang Hưng t¾n tình hưóng dan tơi HQc t¾p, nghiên cúu, chia se nhung kinh nghi¾m quý báu suot thịi gian tơi HQc t¾p hồn thành lu¾n văn Tôi chân thành cam ơn thay TS Đo Quoc Tuan giúp đõ chi bao ân can, t¾n tình cho Cam ơn Thay/Cô ban giúp trang b% nhung kien thúc chuyên môn quan TRQNG, chi bao tơi nhung đieu can thiet cho m®t ngưịi nghiên cúu Nhung đieu mà tơi HQc đưoc tù thay cô ban se hành trang vơ quan TRQNG đưịng HQc t¾p nghiên cúu sau Lu¾n văn đưoc tài tro m®t phan boi Quy Phát trien khoa HQc cơng ngh¾ Quoc gia (NAFOSTED) đe tài mã so: 103.01-2017.12 Tôi chân thành cam ơn Quy Phát trien khoa HQc v cụng nghắ Quoc gia ó ho tro mđt phan cho lu¾n văn Xin cam ơn q thay, hđi ong bao vắ luắn thac s ó nhắn xột, úng gúp ve nđi dung, hỡnh thỳc luắn văn cna Chân thành cam ơn anh, ch% ban bè o lóp Cao HQc V¾t lí lí thuyet v¾t lí tốn khố QH.2016.T.CH, trưịng đai HQc Khoa HQc Tn nhiên trao đői nhung kien thúc HQc van đe khác cu®c song Cuoi tơi xin chân thành cam ơn gia đình, ban bè ln nng h® đ®ng viên đe tơi hồn thành lu¾n văn Mnc lnc Danh sách thu¾t ngE viet tat Ma đau Chương 1: Hình thÉc lu¾n Hamiltonian cua lý thuyet hap dan Einstein 1.1 Bien đői Legendre 1.2 Hình thúc lu¾n Hamiltonian qua cách phát bieu ADM 1.2.1 Các bien cách phát bieu ADM .6 1.2.2 Mắt đ Lagrangian 1.2.3 Hình thúc lu¾n Hamiltonian cna lý thuyet hap dan Einstein 10 Chương 2: Hình thÉc lu¾n Hamiltonian cua mơ hình Fierz - Pauli15 2.1 Mơ hình Fierz - Pauli hình thúc lu¾n Lagrangian 15 2.2 Mơ hình Fierz - Pauli hỡnh thỳc luắn Hamiltonian 16 2.2.1 đng lưong không gian liên hop 16 2.2.2 V¾n toc h˙ ij 23 2.2.3 Chương 3: Hình thúc lu¾n Hamiltonian cna mơ hình Fierz - Pauli 25 Hình thÉc lu¾n Hamiltonian cua mơ hình dRGT 31 3.1 Mơ hình dRGT hình thúc lu¾n Lagrangian .31 3.2 Mơ hình dRGT 1+1 chieu hình thúc lu¾n Hamiltonian 33 3.3 3.2.1 Hap dan có khoi lưong 1+1 chieu búc tranh Stuckelberg 33 3.2.2 Hình thúc lu¾n Hamiltonian cna mơ hình dRGT 1+1 chieu 35 Hình thúc lu¾n Hamiltonian cho trưịng vơ hưóng liên ket vói trưịng hap dan có khoi lưong mơ hình chieu .51 Ket lu¾n 58 Tài li¾u tham khao 60 Danh sách thu¾t ngE viet tat Da: phép lay đao hàm hi¾p bien gij: metric khơng gian chieu gµν : metric khơng thịi gian chieu h: vet cna hà H: mắt đ Hamiltonian L: mắt đ Lagrangian p: vet cna pab i, j, k, l, m, n, s, a, b, α, β: Các chi so chi thành phan khơng gian µ, ν: Các chi so chi thành phan khơng thịi gian ηµν = diag (−1, +1, +1, +1): metric Minkowski µ =: Khai trien µ thành thành phan thịi gian không gian ↓ = : Ha chi so Ma đau Lý chQN đe tài Trong m®t the ky phát trien, lý thuyet tương đoi tőng quát (GR), bang kha tiên đốn hi¾n tưong mói, sn phù hop hoàn hao giua ket qua lý thuyet vói ket qua thnc nghi¾m, chúng to GR lý thuyet hap dan tot nhat cho đen thòi điem hi¾n Tuy nhiên, nghiên cúu nhung năm gan [4] chi sn ton tai cna v¾t chat toi, lưong toi Sn hi¾n di¾n cna v¾t chat toi, lưong toi, hay sn tăng toc giãn no cna vũ tru o giai đoan mu®n, van đe hang so vũ tru, van đe phân cap (hierarchy problem), nhieu van đe hóc búa khác ranh giói giua hai lĩnh vnc V¾t lý hap dan V¾t lý hat ban, địi hoi có nhung bưóc phát trien mói lý thuyet Lý thuyet hap dan cna Einstein rat uy lnc, chưa đn đe giai thích đưoc van đe Vì v¾y u cau đ¾t can có nhung phát trien mói lý thuyet đe phù hop vói ket qua thnc nghiắm Mđt cỏc húng phỏt trien sn địi “lý thuyet hap dan có khoi lưong” (Massive Gravity) [21, 22, 23, 2, 19] gia đ%nh hat truyen tương tác hap dan (graviton) có khoi lưong khác khơng Nghiên cúu ve hap dan có khoi lưong hat graviton có khoi lưong an chúa nhieu thách thúc lón vói nhà v¾t lý lý thuyet van đe bat đau muon đưa m®t so hang liên quan đen khoi lưong vào thuyet tương đoi tőng quát Bat bien Poincare b% phá võ boi so hang khoi lưong cna graviton Lý thuyet hap dan có khoi lưong đau tiên, đưoc Fierz Pauli [9] đe ngh% năm 1939, lý thuyet tuyen tính Tuy nhiên vào năm 1970, van Dam Veltman [6] m®t cách đ®c l¾p Zukharov [29] chi rang lý thuyet Fierz-Pauli, giói han khoi lưong cna graviton tien tói không không liên tuc, không quay ve đưoc thuyet tương đoi r®ng Lý thuyet Fierz-Pauli xây dnng tot ve lý thuyet, b% loai trù boi thnc nghi¾m Năm 1972 Vainshtein [27] l¾p lu¾n rang sn gián đoan vi¾c xu lí b¾c tn hap dan quy trình tuyen tính hóa ơng đe xuat mo r®ng phi tuyen - so hang b¾c cao khơng thịi gian, khien khoi lưong cna graviton tien ve khơng, theo cho phép tương thích vói thuyet tương đoi r®ng Nhưng năm đó, Deser Boulware [3] phát hi¾n rang sn thêm vào cna so hang phi tuyen se làm sinh sn ton tai cna mode "ma" có đng nng õm khien cho Hamiltonian khụng b% chắn, v dan đen lí thuyet hap dan có khoi lưong tro nên thieu őn đ%nh Tuy nhiên, năm 2010 ba nhà v¾t lí de Rham, Gabadadze Tolley [21, 22] đưa đe xuat mang tính đ®t phá ve hap dan phi tuyen có khoi lưong khơng chúa mode "ma" bang cách đưa vào b¾c tn gauge mói đưoc GQI trưịng Stuckelberg M¾t khác, ưu điem cna hình thúc lu¾n Hamiltonian so vói hình thúc lu¾n Lagrangian nghiên cúu lý thuyet hap dan có khoi lưong là: phan khơng gian phan thịi gian cna tensor metric đưoc phân tách riêng thành bien ADM [1, 10] hình thúc lu¾n Hamiltonian, hình thúc lu¾n Lagrangian phan khơng gian phan thịi gian tr®n lan vói khơng đưoc phân tách riêng Do đó, su dung hình thúc lu¾n Hamiltonian có the xác đ%nh đưoc sn tien hóa cna vũ tru theo thịi gian nhị phương trình tien hóa Vì nhung lý trên, lu¾n văn tơi nghiên cỳu en " Hỡnh thỳc luắn Hamilton cho mđt so mơ hình hap dan có khoi lưong" Phương pháp nghiên cÉu Su dung bien đői Legendre cách phát bieu ADM đe xây dnng hình thúc lu¾n Hamiltonian cho mơ hình hap dan có khoi lưong Fierz - Pauli dRGT + chieu N®i dung nghiên cÉu Vói muc tiêu đe ra, lu¾n văn nghiên cúu xây dnng hình thúc lu¾n Hamiltonian cho mơ hình hap dan có khoi lưong Fierz - Pauli mơ hình dRGT + chieu Cau trúc Lu¾n văn, ngồi phan mo đau, ket lu¾n tài li¾u tham khao, nđi dung cna luắn gom chng Nđi dung cna chương sau: Chương 1: Hình thúc lu¾n Hamiltonian cna lý thuyet hap dan Einstein Chương 2: Hình thúc lu¾n Hamiltonian cna mơ hình Fierz - Pauli Chương 3: Hình thúc lu¾n Hamiltonian cna mơ hình dRGT Ket lu¾n chung Ket lu¾n cna lu¾n văn đưoc trình bày o chương chương Lu¾n văn đưa đưoc hình thúc lu¾n Hamiltonian cna mơ hình hap dan có khoi lưong Fierz - Pauli dRGT 1+1 chieu Đong thịi, lu¾n văn xây dnng hình thúc lu¾n Hamiltonian cho trưịng vơ hưóng liên ket vói trưịng hap dan có khoi lưong mơ hình chieu Hσ = √ ηAB∂σφA ω ∂τ φB nτ √ = ω nτ ∂τ φ − ∂σφB ηAB∂σφA ∂σφBΣ n σ ηAB∂σφA B − = 2πA∂σφA √n n n (3.79) Mắt đ Hamiltonian cụng thúc (3.77) đưoc viet dưói dang sau: ˜ nτ σ H = √ Hτ + n Hσ ω (3.80) chỳng ta cú the ABthờm Vỡ mắt đ Hamiltonian khơng xác đ%nh nhat, vào bat kì t hop tuyen tớnh no cna cỏc rng buđc bắc mđt Khi ú, mắt đ Hamiltonian cú dang: n H = √ Hτ + n ω σ Hσ + Γτ π τ + Γσ πσ + Γωπω , (3.81) Hτ = πAη A B πB + Hσ A ηAB∂σφB, ∂σφ = 2πA∂σφA (3.82) Γτ , Γσ, Γω, nhân tu Lagrange tương úng vúi cỏc rng buđc bắc mđt: 0, ≈ 0, πω ≈ Tiep theo, xác %nh cỏc rng buđc bắc hai tự yờu cau bao ton cỏc rng buđc bắc mđt , , ω: (3.83) Đoi vói u cau bao tồn ràng buđc bắc mđt ta cú: Vúi H = ∫ dσ J H σ J ∂τ π τ = {π τ (σ) , H} ≈ ⇔ Hτ ≈ (3.84) Th¾t v¾y, ∂τ π τ Σ J = − ∫ dσ ∫ dσ δ (σ − σ) H 1 τ = − ∫ dσ1δ (σ1 − σ) ∫ = ⇒ Hτ ΣΣ = {π τ (σ) , H} = π τ (σ) , ∫ H σ J dσJ Σ = ∫ dσ J π τ (σ) , H σ J = ∫ dσ J ∫ dσ1 (σ1 ∂H (σ J ) τ {π (σ) , nτ ∂n )} τ (σ1) JΣ σ √ ω J dσ √ Hτ ω σ1 − σ J Σ δ JΣ σ σ1 − σ J Σ δ ∫ 1 dσ1δ (σ1 − σ) √ Hτ (σ1) = −√ Hτ (σ) ≈ ω ω (3.85) ≈ Đoi vúi yờu cau bao ton rng buđc bắc mđt ta có: ∂τ πσ = {πσ (σ) , H} ≈ ⇔ Hσ ≈ (3.86) Th¾t v¾y, ∂τ πσ Σ ΣΣ = {πσ (σ) , H} = πσ (σ) , ∫ H σ J dσ J Σ = ∫ dσJ πσ (σ) , H σ J = ∫ dσJ ∫ dσ1 {πσ (σ) , nσ ∂H (σ J ) (σ1 )} ∂nσ (σ1) Σ Σ Σ Σ = − ∫ dσ J ∫ dσ1 δ (σ1 − σ) Hσ σ J δ σ1 − σ J = − ∫ dσ1 δ (σ1 − σ) ∫ dσ J Hσ σ J δ σ1 − σ J = − ∫ dσ1δ (σ1 − σ) Hσ (σ1) = −Hσ (σ) ≈ ⇒ Hσ ≈ Đoi vói u cau bao tồn ràng bu®c bắc mđt ta cú: (3.87) = { (σ) , H} ≈ ⇔ Hτ ≈ (3.88) Th¾t v¾y, ⇒ ∂τ π ω Σ ∫ = ⇒ Hτ ΣΣ = {π ω (σ) , H} = π ω (σ) , ∫ H σ J dσJ Σ = ∫ dσ J π ω (σ) , H σ J = ∫ dσ J ∫ dσ1 ∂H (σ J ) {πω(σ) , ω (σ1 )} ∂ω (σ1) JΣ Σ = ∫ dσ J ∫ dσ δ (σ − σ) n JΣ σ σ1 − σ J √ τ σ 1 2ω ω τ H δ Σ JΣ Σ = ∫ dσ1δ (σ1 − σ) ∫ dσ J √ nτ σ J σ σ1 − σ J 2ω ω τ H δ ≈ 1 dσ1δ (σ1 − σ) √ nτ (σ1) Hτ (σ1) = √ nτ (σ) Hτ (σ) ≈ 2ω ω 2ω ω (3.89) Vì ta gia su metric chieu γαβ không suy bien nên: ω ƒ= 0, nτ ƒ= ket qua cna (3.89) cho ta Hτ ≈ Ta thay, yờu cau bao ton hai rng buđc bắc m®t πτ , πσ sinh thêm hai ràng bu®c b¾c hai là: Hτ ≈ ; Hσ ≈ (3.90) Trong đó, u cau bao tồn ràng bu®c bắc mđt khụng sinh thờm rng buđc bắc hai ca Khi đó, có ràng bu®c gom rng buđc bắc mđt v rng buđc b¾c hai sau: πτ ≈ ; πσ ≈ ; πω ≈ ; Hτ ≈ ; Hσ ≈ (3.91) Xét móc Poisson: ΣΣ ΣΣ π τ (σ) , πσ σ J π τ (σ) , Hτ σ J ΣΣ π τ (σ) , Hσ σ J π (σ) , σ H ΣΣ τ ΣΣ π τ (σ) , π ω σ J =0; j dσ1 = ; ∂nτ (σ1) ∂Hσ (σ ) = ∫ {π τ (σ) , n τ (σ1)} j dσ1 = ; ∂nτ (σ1) =0; ∂H (σ1J)) στ (σ ∂n )} ΣΣ σ σ J =0; ∂Hσ (σ J ) = ∫ {π (σ) , n (σ )} σ dσ σ π ω (σ) , H ΣΣ πσ (σ) , π ω σ J ∂Hτ (σ ) = ∫ {π τ (σ) , n τ (σ1)} (σ) , nσ = ∫ {π σ (σ =0; dσ π (σ) , σ H σJ = 0; ΣΣ τ σJ = ∫ {π ω (σ) , ω (σ )} dσ ∂nσ (σ 1 ) =0; ∂Hτ (σ J ) ∂ω (σ1) π ω (σ) , H ΣΣ σ σ J ΣΣ τ (σ) , H Hσ = ∫ {π (σ) , ω (σ )} ω σ J dσ ∂ Hτ (σ ) = ∂πA (σ1) =0; ∂Hσ (σ J ) ∂ω (σ1) 1 (σ1 ) , φA (σ2 πA Σ ∂H (σ J ) σ ) ∂φA (σ2) Σ ∂Hτ (σ) B + ∂πB (σ1) π B (σ1 ) , φ (σ2 ) ∂Hσ (σ ) j = ∂φB (σ2) (3.92) Tat ca móc Poisson giua ràng bu®c đeu bang 0, ràng bu®c o đeu ràng bu®c lóp thú nhat Khi đó, khơng gian pha 10 chieu tương úng vói 10 bien: nτ , nσ, ω, φA, φB, πτ , πσ, π ω, πA, πB Trong ΣΣ ΣΣ nτ (σ) , π τ σ J nσ (σ) , πσ σ J ΣΣ ω (σ) , π ω σ J Σ Σ Σ = δ σ − σJ ; = δ σ − σJ ; = δ σ − σJ ; ΣΣ φA (σ) , πA σ J ΣΣ φB (σ) , πB σ J Σ Σ = δ σ − σJ ; (3.93) = δ σ − σJ Mắt đ Hamiltonian cú dang: H n , nσ , ω, φA , , , πσ , φB π τ π ω , πA, πB Σ nτ + Hσ + Γτ π Γσ τ πσ + Γωπω σ = √ Hτ + n ω (3.94) Hamiltonian có dang: H= ∫ dσ H = ∫ dσ n Hσ + Γτ π + τ Γσ τ σ √ ω πσ + ΓωπωΣ (3.95) Hτ + n Hτ , Hσ, πτ , πσ, πω ràng bu®c lóp thú nhat Khi so sánh vói phân tích Hamiltonian đưoc trình bày o tieu muc 3.2, ta thay trưịng hop lí thuyet trưịng vơ hưóng + chieu vúi mắt đ Lagrangian cú bieu thỳc nh (3.73) thỡ yờu cau bao ton rng buđc bắc mđt khụng sinh thờm rng buđc bắc hai Trong lý thuyet trưịng vơ hưóng liên ket vói trưịng hap dan có khoi lưong, chi có ràng bu®c lóp thú nhat, cịn lý thuyet trình bày o tieu muc 3.2 có đen ràng bu®c vói ràng bu®c lóp thú nhat ràng bu®c lóp thú hai Ket lu¾n Nghiên cúu ve van đe hình thúc luắn Hamiltonian cho mđt so mụ hỡnh hap dan cú khoi lưong, lu¾n văn thu đưoc ket qua sau: Giói thi¾u hình thúc lu¾n Hamiltonian cna lý thuyet hap dan Einstein qua cách phát bieu ADM Cu the l tự mắt đ Lagrangian Hilbert-Einstein, xỏc %nh mắt đ® Hamiltonian phu thu®c vào bien mơ ta siêu mắt Sau ú, tự mắt đ Hamiltonian cựng vúi cỏc phương trình ràng bu®c, xác đ%nh phương trình tien hóa Tù đó, vói đieu ki¾n ban đau thoa mãn phương trình ràng bu®c, có the xác đ%nh đưoc sn tien hóa cna vũ tru theo thịi gian nhị phương trình tien hóa Lu¾n văn giói thi¾u mơ hình Fierz - Pauli, mơ hình hap dan có khoi lưong quan TRQNG đau tiên Đưa hình thúc lu¾n Lagrangian cna mơ hình Fierz - Pauli Trong nêu phương trình trưịng Euler-Lagrange tù tích phân tác dung Fierz - Pauli M®t so tính tốn chi tiet đưoc thnc hi¾n đe xây dnng hình thúc lu¾n Hamiltonian cho mơ hình Fierz - Pauli, xác đ%nh ràng bu®c lóp thú nhat lóp thú hai đe tù tìm đưoc so lưong b¾c tn cna graviton khơng khoi lưong graviton có khoi lưong trưịng hop khơng thịi gian chieu Mơ hình dRGT mơ hình hap dan phi tuyen có khoi lưong hi¾n đai nhat hi¾n nay, mơ hình lý thuyet mói đưoc đe xuat boi de Rham, Gabadadze, Tolley vào năm 2010 - 2011 Lu¾n văn giói thi¾u mơ hình dRGT hình thúc lu¾n Lagrangian, a cụng thỳc mắt đ Lagrangian cna mụ hỡnh hap dan có khoi lưong, phi tuyen, bon chieu phương trình trưịng Einstein sua đői Các tính tốn chi tiet đưoc trình bày đe xây dnng hình thúc lu¾n Hamiltonian cho mơ hình dRGT 1+1 chieu vói hai trưịng vơ hưóng Stuckelberg Ket qua nh¾n đưoc TRQN ven phát bieu Hamiltonian vói ràng bu®c cho mơ hình dRGT + Các tính tốn tương tn đưoc thnc hi¾n đe xây dnng hình thúc lu¾n Hamiltonian cho trưịng vơ hưóng liên ket vói trưịng hap dan có khoi lưong mơ hình chieu Chỳng ta thu oc cỏc bien đc lắp khụng gian pha bieu thúc cna Hamiltonian theo bien Khi so sánh vói xây dnng Hamiltonian đưoc trình bày o phan trưóc đó, ta thay trưịng hop trưịng vơ hưóng liên ket vói trưịng hap dan có khoi lưong mơ hình chieu cau trúc cna ràng bu®c đơn gian Các tính tốn tương tn, dài phúc tap nhieu, có the thnc hi¾n cho mơ hình dRGT nhieu chieu ( + n chieu) Tuy nhiên, sn phúc tap, nên nhung tính tốn rat chi tiet vói nhieu cơng thúc rac roi cho mơ hình nhieu chieu, khơng đưoc trình bày lu¾n văn này, mà se đưoc cụng bo mđt bi bỏo khỏc Ti liắu tham khao [1] R L Arnowitt, S Deser, and C W Misner (1962), "The Dynamics of general relativity", Gen Rel Grav., pp 1997-2027 [2] L Alberte (2013), Non-linear Massive Gravity, PhD thesis [3] D G Boulware and S Deser (1972) , "Can gravitation have a finite range?", Phys Rev D, 6(12), pp 3368-3382 [4] G Bertone, D Hooper, and J Silk (2005), "Particle dark matter: Evidence, candidates and constraints”, Phys Rept., 405, pp 279-390 [5] S M Carroll (2004), Spacetime and geometry: An introduction to general relativity, Addison-Wesley, San Francisco, USA [6] H van Dam and M J G Veltman (1970), "Massive and massless YangMills and gravitational fields", Nucl Phys B, 22, pp 397-411 [7] P A.M Dirac (1964), Lecture Notes on Quantum Mechanics, Yeshiva Univ., New York [8] P.A.M Dirac (1958), Generalized Hamiltonian mechanics, Royal Society, London [9] M Fierz and W Pauli (1939), "On relativistic wave equations for particles of arbitrary spin in an electromagnetic field", Proc Roy Soc Lond A, 173, pp 211-232 [10] E Gourgoulhon (2007), 3+1 Formalism and Bases of Numerical Relativity, France [11] G Huang, C Zhang, and Y Zhou (2013), "Generalized massive gravity in arbitrary dimensions and its Hamiltonian formulation", Journal of Cosmol- ogy and Astroparticle Physics, 1308, 050 [12] de Haan (2014), Models of Massive Gravity in Three Dimensions, PhD the- sis [13] K Hinterbichler (2012), "Theoretical Aspects of Massive Gravity", Rev Mod Phys., 84, pp 671-710 [14] S H Q Nguyen and L A Turski (2001), “Examples of the Dirac approach to dynamics of systems with constraints”, Physica A , 290, pp 431-444; S H Q Nguyen and L A Turski (2009), "Recursive properties of Dirac and metriplectic Dirac brackets with applications", Physica A, 388, pp 91-103 [15] J Kluson (2012), "Hamiltonian analysis 1+1 massive gravity", Phys Rev D, 85, 044010 [16] J Kluson (2012), "Comments About Hamiltonian Formulation of NonLinear Massive Gravity with Stuckelberg Fields", Journal of High Energy Physics, 2012, 170 [17] J Kluson (2012), “Remark about Hamiltonian formulation of nonlinear mas- sive gravity in Stuckelberg formalism”, Phys Rev D, 86, 124005 [18] J Kluson (2013), “Note About Hamiltonian Formalism for General NonLinear Massive Gravity Action in Stuckelberg Formalism”, Int J Mod Phys A, 28, 1350160 [19] Z Molaee and A Shirzad (2018), "Massive gravity, canonical structure and gauge symmetry", Nuclear Physics B, 933, pp 248-261 [20] A S May (2013), Classically Consistent Theories of Interacting Spin-2 Fields, PhD thesis, pp 19-24 [21] C de Rham and G Gabadadze (2010), "Generalization of the Fierz-Pauli action", Phys Rev D, 82, 044020 [22] C de Rham, G Gabadadze, and A Tolley (2012), "Ghost free Massive Gravity in the Stuckelberg language", Physics Letters B, 711(2), pp 190- 195 [23] C de Rham, G Gabadadze, and A Tolley (2011), “Resummation of massive gravity”, Phys Rev Lett., 106, 231101 [24] F Tong (2006), A Hamiltonian Formulation of General Relativity [25] T Q Do (2016), "Higher dimensional nonlinear massive gravity", Phys Rev D, 93(10), 104003 [26] Y Tavakoli (2014), Lecture II: Hamiltonian formulation of general relativity [27] A I Vainshtein (1972), "To the problem of nonvanishing gravitation mass", Physics Letters B, 39(3), pp 393-394 [28] A W Wipf (1994), "Hamilton’s Formalism for Systems with Constraints", Lect Notes Phys., 434, pp 22-58 [29] V I Zakharov (1970), "Linearized gravitation theory and the graviton mass", JETP Letters, 12, 312, pp 447-449 ... Hình thúc lu¾n Hamiltonian cna lý thuyet hap dan Einstein 10 Chương 2: Hình thÉc lu¾n Hamiltonian cua mơ hình Fierz - Pauli15 2.1 Mơ hình Fierz - Pauli hình thúc lu¾n Lagrangian 15 2.2 Mơ hình. .. 25 Hình thÉc lu¾n Hamiltonian cua mơ hình dRGT 31 3.1 Mơ hình dRGT hình thúc lu¾n Lagrangian .31 3.2 Mơ hình dRGT 1+1 chieu hình thúc lu¾n Hamiltonian 33 3.3 3.2.1 Hap dan có khoi lưong 1+1... Stuckelberg 33 3.2.2 Hình thúc lu¾n Hamiltonian cna mơ hình dRGT 1+1 chieu 35 Hình thúc lu¾n Hamiltonian cho trưịng vơ hưóng liên ket vói trưịng hap dan có khoi lưong mơ hình chieu .51 Ket
Ngày đăng: 23/12/2021, 19:35
Xem thêm:
