HÌNH THỨC LUẬN HAMILTON CHO MỘT SỐ MÔ HÌNH HẤP DẪN CÓ KHỐI LƯỢNG

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ——————— Nguyễn Như Quỳnh HÌNH THỨC LUẬN HAMILTON CHO MỘT SỐ MƠ HÌNH HẤP DẪN CĨ KHỐI LƯỢNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2018 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ——————— Nguyễn Như Quỳnh HÌNH THỨC LUẬN HAMILTON CHO MỘT SỐ MƠ HÌNH HẤP DẪN CĨ KHỐI LƯỢNG Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết vật lí tốn Mã số: 8440130.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS NGUYỄN QUANG HƯNG Hà Nội - 2018 Lời cảm ơn Đầu tiên, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo PGS.TS Nguyễn Quang Hưng tận tình hướng dẫn học tập, nghiên cứu, chia sẻ kinh nghiệm quý báu suốt thời gian học tập hồn thành luận văn Tơi chân thành cảm ơn thầy TS Đỗ Quốc Tuấn giúp đỡ bảo ân cần, tận tình cho tơi Cảm ơn Thầy/Cơ bạn giúp trang bị kiến thức chuyên môn quan trọng, bảo điều cần thiết cho người nghiên cứu Những điều mà học từ thầy cô bạn hành trang vô quan trọng đường học tập nghiên cứu sau Luận văn tài trợ phần Quỹ Phát triển khoa học công nghệ Quốc gia (NAFOSTED) đề tài mã số: 103.01-2017.12 Tôi chân thành cảm ơn Quỹ Phát triển khoa học công nghệ Quốc gia hỗ trợ phần cho luận văn Xin cảm ơn q thầy, hội đồng bảo vệ luận văn thạc sĩ nhận xét, đóng góp nội dung, hình thức luận văn tơi Chân thành cảm ơn anh, chị bạn bè lớp Cao học Vật lí lí thuyết vật lí tốn khố QH.2016.T.CH, trường đại học Khoa học Tự nhiên trao đổi kiến thức học vấn đề khác sống Cuối xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè ln ủng hộ động viên để tơi hồn thành luận văn Mục lục Danh sách thuật ngữ viết tắt Mở đầu Chương 1: Hình thức luận Hamiltonian lý thuyết hấp dẫn Einstein 1.1 Biến đổi Legendre 1.2 Hình thức luận Hamiltonian qua cách phát biểu ADM 1.2.1 Mật độ Lagrangian 1.2.2 1.2.3 Chương 2: Các biến cách phát biểu ADM Hình thức luận Hamiltonian lý thuyết hấp dẫn Einstein 10 Hình thức luận Hamiltonian mơ hình Fierz - Pauli15 2.1 Mơ hình Fierz - Pauli hình thức luận Lagrangian 15 2.2 Mơ hình Fierz - Pauli hình thức luận Hamiltonian 16 2.2.1 Động lượng không gian liên hợp 16 2.2.2 Vận tốc h˙ ij 23 2.2.3 Chương 3: Hình thức luận Hamiltonian mơ hình Fierz - Pauli 25 Hình thức luận Hamiltonian mơ hình dRGT 31 3.1 Mơ hình dRGT hình thức luận Lagrangian 31 3.2 Mơ hình dRGT 1+1 chiều hình thức luận Hamiltonian 33 3.3 3.2.1 Hấp dẫn có khối lượng 1+1 chiều tranh Stuckelberg 33 3.2.2 Hình thức luận Hamiltonian mơ hình dRGT 1+1 chiều 35 Hình thức luận Hamiltonian cho trường vô hướng liên kết với trường hấp dẫn có khối lượng mơ hình chiều 51 Kết luận 58 Tài liệu tham khảo 60 Danh sách thuật ngữ viết tắt Da : phép lấy đạo hàm hiệp biến g ij : metric không gian chiều g µν : metric không thời gian chiều h: vết hµν H: mật độ Hamiltonian L: mật độ Lagrangian p: vết pab i, j, k, l, m, n, s, a, b, α, β : Các số thành phần khơng gian µ, ν : Các số thành phần không thời gian η µν = diag (−1, +1, +1, +1): metric Minkowski µ =: Khai triển µ thành thành phần thời gian không gian ↓ =: Hạ số Mở đầu Lý chọn đề tài Trong kỷ phát triển, lý thuyết tương đối tổng quát (GR), khả tiên đoán tượng mới, phù hợp hoàn hảo kết lý thuyết với kết thực nghiệm, chứng tỏ GR lý thuyết hấp dẫn tốt thời điểm Tuy nhiên, nghiên cứu năm gần [4] tồn vật chất tối, lượng tối Sự diện vật chất tối, lượng tối, hay tăng tốc giãn nở vũ trụ giai đoạn muộn, vấn đề số vũ trụ, vấn đề phân cấp (hierarchy problem), nhiều vấn đề hóc búa khác ranh giới hai lĩnh vực Vật lý hấp dẫn Vật lý hạt bản, đòi hỏi có bước phát triển lý thuyết Lý thuyết hấp dẫn Einstein uy lực, chưa đủ để giải thích vấn đề Vì u cầu đặt cần có phát triển lý thuyết để phù hợp với kết thực nghiệm Một hướng phát triển đời “lý thuyết hấp dẫn có khối lượng” (Massive Gravity) [21, 22, 23, 2, 19] giả định hạt truyền tương tác hấp dẫn (graviton) có khối lượng khác khơng Nghiên cứu hấp dẫn có khối lượng hạt graviton có khối lượng ẩn chứa nhiều thách thức lớn với nhà vật lý lý thuyết vấn đề bắt đầu muốn đưa số hạng liên quan đến khối lượng vào thuyết tương đối tổng quát Bất biến Poincare bị phá vỡ số hạng khối lượng graviton Lý thuyết hấp dẫn có khối lượng đầu tiên, Fierz Pauli [9] đề nghị năm 1939, lý thuyết tuyến tính Tuy nhiên vào năm 1970, van Dam Veltman [6] cách độc lập Zukharov [29] lý thuyết Fierz-Pauli, giới hạn khối lượng graviton tiến tới không không liên tục, không quay thuyết tương đối rộng Lý thuyết Fierz-Pauli xây dựng tốt lý thuyết, bị loại trừ thực nghiệm Năm 1972 Vainshtein [27] lập luận gián đoạn việc xử lí bậc tự hấp dẫn quy trình tuyến tính hóa ông đề xuất mở rộng phi tuyến - số hạng bậc cao không thời gian, khiến khối lượng graviton tiến khơng, theo cho phép tương thích với thuyết tương đối rộng Nhưng năm đó, Deser Boulware [3] phát thêm vào số hạng phi tuyến làm nảy sinh tồn mode "ma" có động âm khiến cho Hamiltonian khơng bị chặn, dẫn đến lí thuyết hấp dẫn có khối lượng trở nên thiếu ổn định Tuy nhiên, năm 2010 ba nhà vật lí de Rham, Gabadadze Tolley [21, 22] đưa đề xuất mang tính đột phá hấp dẫn phi tuyến có khối lượng khơng chứa mode "ma" cách đưa vào bậc tự gauge gọi trường Stuckelberg Mặt khác, ưu điểm hình thức luận Hamiltonian so với hình thức luận Lagrangian nghiên cứu lý thuyết hấp dẫn có khối lượng là: phần không gian phần thời gian tensor metric phân tách riêng thành biến ADM [1, 10] hình thức luận Hamiltonian, hình thức luận Lagrangian phần khơng gian phần thời gian trộn lẫn với không phân tách riêng Do đó, sử dụng hình thức luận Hamiltonian xác định tiến hóa vũ trụ theo thời gian nhờ phương trình tiến hóa Vì lý trên, luận văn tơi nghiên cứu đến " Hình thức luận Hamilton cho số mơ hình hấp dẫn có khối lượng" Phương pháp nghiên cứu Sử dụng biến đổi Legendre cách phát biểu ADM để xây dựng hình thức luận Hamiltonian cho mơ hình hấp dẫn có khối lượng Fierz - Pauli dRGT + chiều Nội dung nghiên cứu Với mục tiêu đề ra, luận văn nghiên cứu xây dựng hình thức luận Hamiltonian cho mơ hình hấp dẫn có khối lượng Fierz - Pauli mơ hình dRGT + chiều Cấu trúc Luận văn, phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung luận văn gồm chương Nội dung chương sau: Chương 1: Hình thức luận Hamiltonian lý thuyết hấp dẫn Einstein Chương 2: Hình thức luận Hamiltonian mơ hình Fierz - Pauli Chương 3: Hình thức luận Hamiltonian mơ hình dRGT Kết luận chung Kết luận luận văn trình bày chương chương Luận văn đưa hình thức luận Hamiltonian mơ hình hấp dẫn có khối lượng Fierz - Pauli dRGT 1+1 chiều Đồng thời, luận văn xây dựng hình thức luận Hamiltonian cho trường vơ hướng liên kết với trường hấp dẫn có khối lượng mơ hình chiều Móc Dirac ω φ+ : ω (σ) , φ+ (σ ) D = ω (σ) , φ+ (σ ) {ω (σ) , θi (σ1 )} W−1 − i,j=1 ij (σ1 , σ2 ) θj (σ2 ) , φ+ (σ ) dσ1 dσ2 = ω (σ) , φ+ (σ ) − √ ωδ (σ1 − σ2 ) {ω (σ) , π ω (σ1 )} Gλ (σ2 ) , φ+ (σ ) dσ1 dσ2 − δ (σ1 − σ2 ) {ω (σ) , πλ (σ1 )} λ (σ2 ) , φ+ (σ ) dσ1 dσ2 + + √ ωδ (σ1 − σ2 ) {ω (σ) , Gλ (σ1 )} π ω (σ2 ) , φ+ (σ ) dσ1 dσ2 δ (σ1 − σ2 ) {ω (σ) , λ (σ1 )} πλ (σ2 ) , φ+ (σ ) dσ1 dσ2 = ω (σ) , φ+ (σ ) − √ ωδ (σ1 − σ2 ) {ω (σ) , π ω (σ1 )} Gλ (σ2 ) , φ+ (σ ) dσ1 dσ2 √ = ω (σ) , φ+ (σ ) − ωδ (σ1 − σ2 ) δ (σ − σ1 ) Gλ (σ2 ) , φ+ (σ ) dσ1 dσ2 Gλ (σ2 ) , φ+ (σ ) = − √ω(σ p− (σ2 ) δ (σ2 − σ ) = 2) (3.67) Móc Dirac ω φ− : ω (σ) , φ− (σ ) D = ω (σ) , φ− (σ ) {ω (σ) , θi (σ1 )} W−1 − i,j=1 ij (σ1 , σ2 ) θj (σ2 ) , φ− (σ ) dσ1 dσ2 = ω (σ) , φ− (σ ) − √ ωδ (σ1 − σ2 ) {ω (σ) , π ω (σ1 )} Gλ (σ2 ) , φ− (σ ) dσ1 dσ2 − δ (σ1 − σ2 ) {ω (σ) , πλ (σ1 )} λ (σ2 ) , φ− (σ ) dσ1 dσ2 + √ ωδ (σ1 − σ2 ) {ω (σ) , Gλ (σ1 )} π ω (σ2 ) , φ− (σ ) dσ1 dσ2 + δ (σ1 − σ2 ) {ω (σ) , λ (σ1 )} πλ (σ2 ) , φ− (σ ) dσ1 dσ2 49 = ω (σ) , φ− (σ ) − √ ωδ (σ1 − σ2 ) {ω (σ) , π ω (σ1 )} Gλ (σ2 ) , φ− (σ ) dσ1 dσ2 = ω (σ) , φ− (σ ) − √ ωδ (σ1 − σ2 ) δ (σ − σ1 ) Gλ (σ2 ) , φ− (σ ) dσ1 dσ2 Gλ (σ2 ) , φ− (σ ) = − √ω(σ p (σ2 ) δ (σ2 − σ ) = ) + (3.68) Nếu sử dụng hai ràng buộc π ω ≈ 0, Gλ ≈ (ω = −p+ p− ) khơng gian pha rút gọn biến: φ± , p± , nτ , π τ , nσ , πσ Trong đó: φ+ (σ) , p+ σ = δ σ−σ ; φ− (σ) , p− σ = δ σ−σ ; nτ (σ) , π τ σ = δ σ−σ ; nσ (σ) , πσ σ = δ σ−σ (3.69) Khi đó, mật độ Hamiltonian có dạng: Hred nτ , π τ , nσ , πσ , φ+ , p+ , φ− , p− = nτ Hτred + nσ Hσ + Γτ π τ + Γσ πσ , (3.70) Hτred = √ √ p− ∂σ φ− − p+ ∂σ φ+ + −p+ p− −p+ p− (3.71) Hamiltonian có dạng: Hred = dσ Hred = dσ nτ Hτred + nσ Hσ + Γτ π τ + Γσ πσ Hτred , Hσ , π τ , πσ ràng buộc lớp thứ 50 (3.72) 3.3 Hình thức luận Hamiltonian cho trường vô hướng liên kết với trường hấp dẫn có khối lượng mơ hình chiều Xét mật độ Lagrangian có dạng sau [15]: Lscal = − 1√ −γγ αβ ∂α φA ∂β φB ηAB  (3.73)   −1  α, β = 1, ; A, B = 1, ; ηAB =   metric Minkowski không thời gian chiều   2  −nτ + ω nσ nσ  =   ⇒ γ = det γαβ = −n2τ ω γαβ nσ  γ αβ =   ω σ n n2τ  nσ n2τ − n12τ ω − σ σ n2τ n n   (3.74) Khai triển cụ thể Lscal theo biến ADM metric γ αβ ta được: nσ nσ √ Lscal = − nτ ω − ∂τ φA ∂τ φB + ∂τ φA ∂σ φB + ∂σ φA ∂τ φB nτ nτ nτ 1 − nσ nσ ∂σ φA ∂σ φB ηAB ω nτ √ nσ nσ = nτ ω ∂τ φA ∂τ φB − ∂τ φA ∂σ φB − ∂σ φA ∂τ φB nτ nτ nτ + 1 − ∂σ φA ∂σ φB + nσ nσ ∂σ φA ∂σ φB ηAB ω nτ (3.75) Đặt động lượng liên hợp tương ứng với biến nτ , nσ , ω, φA , φB π τ , πσ , π ω , πA , πB 51 Các động lượng liên hợp xác định sau: ∂Lscal ≈ ; πσ ∂ nτ ∂Lscal 1√ = ω = A ∂φ ∂Lscal 1√ = = ω B ∂φ πτ = πA πB ∂Lscal ∂Lscal ω ≈0; σ ≈ ; π = ∂ω ∂n nσ ∂τ φB − ∂σ φB ηAB ; nτ nτ = nσ ∂τ φA − ∂σ φA nτ nτ (3.76) ηAB Thực biến đổi Legendre để chuyển từ mật độ Lagrangian sang mật độ Hamiltonian, ta được: pi q˙i − L = π τ n˙ τ + πσ n˙ σ + π ω ω˙ + πA φ˙ A + πB φ˙ B − L H = i=1 = πA φ˙ A + πB φ˙ B − L ⇒H = 1√ ω B nτ ∂τ φ √ − 12 nτ ω = = − π τ ≈ ; πσ ≈ ; π ω ≈ nσ B nτ ∂σ φ A B n2τ ∂τ φ ∂τ φ − √ ηAB φ˙ A + 21 ω A nτ ∂τ φ nσ A B n2τ ∂τ φ ∂σ φ nσ A B n2τ ∂σ φ ∂τ φ − ω1 ∂σ φA ∂σ φB + σ σ A B n2τ n n ∂σ φ ∂σ φ √ ω B ˙A nτ ∂τ φ ηAB φ − − − nσ A nτ ∂σ φ ηAB φ˙ B ηAB √ √ nσ Bη ˙ A + ω ∂τ φA ηAB φ˙ B ω ∂ φ φ σ AB nτ nτ √ √ σ √ σ − 12 ω nnτ ∂σ φA ηAB φ˙ B − 21 nτω ∂τ φA ∂τ φB ηAB + 12 ω nnτ ∂τ φA ∂σ φB ηAB √ nτ ω σ σ 1√ √ nσ A B A B + ω nτ ∂σ φ ∂τ φ ηAB + ω ∂σ φ ∂σ φ ηAB − nτ n n ∂σ φA ∂σ φB ηAB √ √ ω Aη ˙ B + √nτ ∂σ φA ∂σ φB ηAB − ω nσ nσ ∂σ φA ∂σ φB ηAB ∂ φ φ τ AB nτ ω nτ (3.77) Nếu ta đặt: Hτ = ω nσ nσ nσ nσ B A B A B A ∂ φ ∂ φ − ∂ φ ∂ φ − ∂ φ ∂ φ + ∂σ φB ∂σ φA τ τ τ σ σ τ n2τ n2τ n2τ nτ nτ + ∂σ φA ηAB ∂σ φB 52 ηAB 1 nσ nσ ω ∂τ φB − ∂σ φB ∂τ φA − ∂σ φA ηAB + ∂σ φA ηAB ∂σ φB nτ nτ nτ nτ 1√ 1√ nσ nσ = ω ∂τ φB − ∂σ φB ηAB η AB ω ∂τ φA − ∂σ φA ηAB nτ nτ nτ nτ + ∂σ φA ηAB ∂σ φB (3.78) = πA η AB πB + ∂σ φA ηAB ∂σ φB √ √ nσ ω Hσ = ∂τ φB ηAB ∂σ φA − ω ∂σ φB ηAB ∂σ φA nτ nτ σ √ n ∂τ φB − ∂σ φB ηAB ∂σ φA ω = nτ nτ = = 2πA ∂σ φA (3.79) Mật độ Hamiltonian công thức (3.77) viết dạng sau: nτ ˜=√ H Hτ + nσ Hσ ω (3.80) Vì mật độ Hamiltonian khơng xác định nhất, thêm vào tổ hợp tuyến tính ràng buộc bậc Khi đó, mật độ Hamiltonian có dạng: nτ H = √ Hτ + nσ Hσ + Γτ π τ + Γσ πσ + Γω π ω , ω (3.81) Hτ = πA η AB πB + ∂σ φA ηAB ∂σ φB , Hσ = 2πA ∂σ φA (3.82) Γτ , Γσ , Γω , nhân tử Lagrange tương ứng với ràng buộc bậc một: π τ ≈ 0, πσ ≈ 0, π ω ≈ (3.83) Tiếp theo, xác định ràng buộc bậc hai từ yêu cầu bảo toàn ràng buộc bậc π τ , πσ , π ω : 53 Đối với yêu cầu bảo toàn ràng buộc bậc π τ ta có: Với H = dσ H σ ∂τ π τ = {π τ (σ) , H} ≈ ⇔ Hτ ≈ (3.84) Thật vậy, ∂τ π τ = {π τ (σ) , H} = = = − = − = − dσ π τ (σ) , H σ dσ dσ1 {π τ (σ) , nτ (σ1 )} = dσ π τ (σ) , H σ ∂H (σ ) ∂nτ (σ1 ) dσ1 δ (σ1 − σ) √ Hτ σ δ σ1 − σ ω dσ1 δ (σ1 − σ) dσ √ Hτ σ δ σ1 − σ ω 1 dσ1 δ (σ1 − σ) √ Hτ (σ1 ) = − √ Hτ (σ) ≈ ω ω dσ ⇒ Hτ ≈ (3.85) Đối với yêu cầu bảo toàn ràng buộc bậc πσ ta có: ∂τ πσ = {πσ (σ) , H} ≈ ⇔ Hσ ≈ (3.86) Thật vậy, ∂τ πσ = {πσ (σ) , H} = = dσ πσ (σ) , H σ dσ dσ1 {πσ (σ) , nσ (σ1 )} = dσ πσ (σ) , H σ ∂H (σ ) ∂nσ (σ1 ) = − dσ dσ1 δ (σ1 − σ) Hσ σ δ σ1 − σ = − dσ1 δ (σ1 − σ) = − dσ1 δ (σ1 − σ) Hσ (σ1 ) = −Hσ (σ) ≈ dσ Hσ σ δ σ1 − σ ⇒ Hσ ≈ (3.87) Đối với yêu cầu bảo tồn ràng buộc bậc π ω ta có: ∂τ π ω = {π ω (σ) , H} ≈ ⇔ Hτ ≈ 54 (3.88) Thật vậy, ⇒ ∂τ π ω = {π ω (σ) , H} = = dσ π ω (σ) , H σ dσ dσ1 {π ω (σ) , ω (σ1 )} = dσ π ω (σ) , H σ ∂H (σ ) ∂ω (σ1 ) √ nτ σ Hτ σ δ σ1 − σ 2ω ω √ nτ σ H τ σ δ σ − σ dσ1 δ (σ1 − σ) dσ 2ω ω 1 √ nτ (σ) Hτ (σ) ≈ dσ1 δ (σ1 − σ) √ nτ (σ1 ) Hτ (σ1 ) = 2ω ω 2ω ω = dσ = = dσ1 δ (σ1 − σ) ⇒ Hτ ≈ (3.89) Vì ta giả sử metric chiều γαβ không suy biến nên: ω = 0, nτ = kết (3.89) cho ta Hτ ≈ Ta thấy, yêu cầu bảo toàn hai ràng buộc bậc π τ , πσ sinh thêm hai ràng buộc bậc hai là: Hτ ≈ ; Hσ ≈ (3.90) Trong đó, yêu cầu bảo tồn ràng buộc bậc π ω khơng sinh thêm ràng buộc bậc hai Khi đó, có ràng buộc gồm ràng buộc bậc ràng buộc bậc hai sau: π τ ≈ ; πσ ≈ ; π ω ≈ ; Hτ ≈ ; Hσ ≈ 55 (3.91) Xét móc Poisson: π τ (σ) , πσ σ = 0; π τ (σ) , Hτ σ = π τ (σ) , Hσ σ = πσ (σ) , Hτ σ = πσ (σ) , Hσ σ = π ω (σ) , Hτ σ = π ω (σ) , Hσ σ = Hτ (σ) , Hσ σ = π τ (σ) , π ω σ =0; πσ (σ) , π ω σ ∂Hτ (σ ) dσ1 = ; ∂nτ (σ1 ) ∂Hσ (σ ) {π τ (σ) , nτ (σ1 )} dσ1 = ; ∂nτ (σ1 ) ∂Hτ (σ ) dσ1 = ; {πσ (σ) , nσ (σ1 )} σ ∂n (σ1 ) ∂Hσ (σ ) {πσ (σ) , nσ (σ1 )} σ dσ1 = ; ∂n (σ1 ) ∂Hτ (σ ) {π ω (σ) , ω (σ1 )} dσ1 = ; ∂ω (σ1 ) ∂Hσ (σ ) {π ω (σ) , ω (σ1 )} dσ1 = ; ∂ω (σ1 ) ∂Hτ (σ) ∂Hσ (σ ) πA (σ1 ) , φA (σ2 ) ∂πA (σ1 ) ∂φA (σ2 ) ∂Hτ (σ) ∂Hσ (σ ) = + πB (σ1 ) , φB (σ2 ) ∂πB (σ1 ) ∂φB (σ2 ) =0; {π τ (σ) , nτ (σ1 )} (3.92) Tất móc Poisson ràng buộc 0, ràng buộc ràng buộc lớp thứ Khi đó, khơng gian pha 10 chiều tương ứng với 10 biến: nτ , nσ , ω, φA , φB , π τ , πσ , π ω , πA , πB Trong nτ (σ) , π τ σ = δ σ−σ ; nσ (σ) , πσ σ = δ σ−σ ; ω (σ) , π ω σ = δ σ−σ ; φA (σ) , πA σ = δ σ−σ ; φB (σ) , πB σ = δ σ−σ (3.93) Mật độ Hamiltonian có dạng: nτ H nτ , nσ , ω, φA , φB , π τ , πσ , π ω , πA , πB = √ Hτ + nσ Hσ + Γτ π τ + Γσ πσ + Γω π ω ω (3.94) 56 Hamiltonian có dạng: H= dσ H = dσ nτ √ Hτ + nσ Hσ + Γτ π τ + Γσ πσ + Γω π ω ω (3.95) Hτ , Hσ , π τ , πσ , π ω ràng buộc lớp thứ Khi so sánh với phân tích Hamiltonian trình bày tiểu mục 3.2, ta thấy trường hợp lí thuyết trường vơ hướng + chiều với mật độ Lagrangian có biểu thức (3.73) u cầu bảo tồn ràng buộc bậc π ω khơng sinh thêm ràng buộc bậc hai Trong lý thuyết trường vơ hướng liên kết với trường hấp dẫn có khối lượng, có ràng buộc lớp thứ nhất, lý thuyết trình bày tiểu mục 3.2 có đến ràng buộc với ràng buộc lớp thứ ràng buộc lớp thứ hai 57 Kết luận Nghiên cứu vấn đề hình thức luận Hamiltonian cho số mơ hình hấp dẫn có khối lượng, luận văn thu kết sau: Giới thiệu hình thức luận Hamiltonian lý thuyết hấp dẫn Einstein qua cách phát biểu ADM Cụ thể từ mật độ Lagrangian Hilbert-Einstein, xác định mật độ Hamiltonian phụ thuộc vào biến mô tả siêu mặt Sau đó, từ mật độ Hamiltonian với phương trình ràng buộc, xác định phương trình tiến hóa Từ đó, với điều kiện ban đầu thỏa mãn phương trình ràng buộc, xác định tiến hóa vũ trụ theo thời gian nhờ phương trình tiến hóa Luận văn giới thiệu mơ hình Fierz - Pauli, mơ hình hấp dẫn có khối lượng quan trọng Đưa hình thức luận Lagrangian mơ hình Fierz - Pauli Trong nêu phương trình trường Euler-Lagrange từ tích phân tác dụng Fierz - Pauli Một số tính tốn chi tiết thực để xây dựng hình thức luận Hamiltonian cho mơ hình Fierz - Pauli, xác định ràng buộc lớp thứ lớp thứ hai để từ tìm số lượng bậc tự graviton khơng khối lượng 58 graviton có khối lượng trường hợp không thời gian chiều Mô hình dRGT mơ hình hấp dẫn phi tuyến có khối lượng đại nay, mơ hình lý thuyết đề xuất de Rham, Gabadadze, Tolley vào năm 2010 - 2011 Luận văn giới thiệu mô hình dRGT hình thức luận Lagrangian, đưa cơng thức mật độ Lagrangian mơ hình hấp dẫn có khối lượng, phi tuyến, bốn chiều phương trình trường Einstein sửa đổi Các tính tốn chi tiết trình bày để xây dựng hình thức luận Hamiltonian cho mơ hình dRGT 1+1 chiều với hai trường vô hướng Stuckelberg Kết nhận trọn vẹn phát biểu Hamiltonian với ràng buộc cho mơ hình dRGT + Các tính tốn tương tự thực để xây dựng hình thức luận Hamiltonian cho trường vô hướng liên kết với trường hấp dẫn có khối lượng mơ hình chiều Chúng ta thu biến độc lập không gian pha biểu thức Hamiltonian theo biến Khi so sánh với xây dựng Hamiltonian trình bày phần trước đó, ta thấy trường hợp trường vơ hướng liên kết với trường hấp dẫn có khối lượng mơ hình chiều cấu trúc ràng buộc đơn giản Các tính tốn tương tự, dài phức tạp nhiều, thực cho mơ hình dRGT nhiều chiều (1 + n chiều) Tuy nhiên, phức tạp, nên tính tốn chi tiết với nhiều cơng thức rắc rối cho mơ hình nhiều chiều, khơng trình bày luận văn này, mà công bố báo khác 59 Tài liệu tham khảo [1] R L Arnowitt, S Deser, and C W Misner (1962), "The Dynamics of general relativity", Gen Rel Grav., pp 1997-2027 [2] L Alberte (2013), Non-linear Massive Gravity, PhD thesis [3] D G Boulware and S Deser (1972) , "Can gravitation have a finite range?", Phys Rev D, 6(12), pp 3368-3382 [4] G Bertone, D Hooper, and J Silk (2005), "Particle dark matter: Evidence, candidates and constraints”, Phys Rept., 405, pp 279-390 [5] S M Carroll (2004), Spacetime and geometry: An introduction to general relativity, Addison-Wesley, San Francisco, USA [6] H van Dam and M J G Veltman (1970), "Massive and massless Yang-Mills and gravitational fields", Nucl Phys B, 22, pp 397-411 [7] P A.M Dirac (1964), Lecture Notes on Quantum Mechanics, Yeshiva Univ., New York [8] P.A.M Dirac (1958), Generalized Hamiltonian mechanics, Royal Society, London 60 [9] M Fierz and W Pauli (1939), "On relativistic wave equations for particles of arbitrary spin in an electromagnetic field", Proc Roy Soc Lond A, 173, pp 211-232 [10] E Gourgoulhon (2007), 3+1 Formalism and Bases of Numerical Relativity, France [11] G Huang, C Zhang, and Y Zhou (2013), "Generalized massive gravity in arbitrary dimensions and its Hamiltonian formulation", Journal of Cosmology and Astroparticle Physics, 1308, 050 [12] de Haan (2014), Models of Massive Gravity in Three Dimensions, PhD thesis [13] K Hinterbichler (2012), "Theoretical Aspects of Massive Gravity", Rev Mod Phys., 84, pp 671-710 [14] S H Q Nguyen and L A Turski (2001), “Examples of the Dirac approach to dynamics of systems with constraints”, Physica A , 290, pp 431-444; S H Q Nguyen and L A Turski (2009), "Recursive properties of Dirac and metriplectic Dirac brackets with applications", Physica A, 388, pp 91-103 [15] J Kluson (2012), "Hamiltonian analysis 1+1 massive gravity", Phys Rev D, 85, 044010 [16] J Kluson (2012), "Comments About Hamiltonian Formulation of NonLinear Massive Gravity with Stuckelberg Fields", Journal of High Energy Physics, 2012, 170 61 [17] J Kluson (2012), “Remark about Hamiltonian formulation of nonlinear massive gravity in Stuckelberg formalism”, Phys Rev D, 86, 124005 [18] J Kluson (2013), “Note About Hamiltonian Formalism for General NonLinear Massive Gravity Action in Stuckelberg Formalism”, Int J Mod Phys A, 28, 1350160 [19] Z Molaee and A Shirzad (2018), "Massive gravity, canonical structure and gauge symmetry", Nuclear Physics B, 933, pp 248-261 [20] A S May (2013), Classically Consistent Theories of Interacting Spin-2 Fields, PhD thesis, pp 19-24 [21] C de Rham and G Gabadadze (2010), "Generalization of the Fierz-Pauli action", Phys Rev D, 82, 044020 [22] C de Rham, G Gabadadze, and A Tolley (2012), "Ghost free Massive Gravity in the Stuckelberg language", Physics Letters B, 711(2), pp 190195 [23] C de Rham, G Gabadadze, and A Tolley (2011), “Resummation of massive gravity”, Phys Rev Lett., 106, 231101 [24] F Tong (2006), A Hamiltonian Formulation of General Relativity [25] T Q Do (2016), "Higher dimensional nonlinear massive gravity", Phys Rev D, 93(10), 104003 [26] Y Tavakoli (2014), Lecture II: Hamiltonian formulation of general relativity 62 [27] A I Vainshtein (1972), "To the problem of nonvanishing gravitation mass", Physics Letters B, 39(3), pp 393-394 [28] A W Wipf (1994), "Hamilton’s Formalism for Systems with Constraints", Lect Notes Phys., 434, pp 22-58 [29] V I Zakharov (1970), "Linearized gravitation theory and the graviton mass", JETP Letters, 12, 312, pp 447-449 63