Bài thảo luận ứng dụng của định thức trong giải toán thực tế

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THƯƠNG MẠIKHOA MARKETINGBÀI THẢO LUẬNỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH THỨC TRONG GIẢI TOÁN... Lý do chọn đề tài:Đại số tuyến tính là một bộ môn toán nghiên cứu về không gian vecto, hệ ph

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THƯƠNG MẠI

KHOA MARKETING

BÀI THẢO LUẬN ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH THỨC TRONG GIẢI TOÁN

THỰC TẾ Nhóm thực hiện : Nhóm 4

Giảng viên hướng dẫn : Nguyễn Thu Thủy

Lớp học phần : 232_AMAT1011_06

1

MỤC LỤC

ĐÁNH GIÁ THÀNH VIÊN VÀ ĐIỂM THẢO LUẬN 3

MỞ ĐẦU 4

LỜI CẢM ƠN 5

LỜI CAM KẾT 5

I Khái niệm định thức 6

1 Định thức 6

2 Tính chất của định thức 6

II Ứng dụng của định thức 7

1 Tìm hạng của ma trận 7

2 Tìm ma trận nghịch đảo 7

3 Giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính 8

3.1.Phương pháp Cramer: 8

3.2 Phương pháp sử dụng ma trận nghịch đảo: 9

III Một số bài toán thực tế là ứng dụng của định thức 10

1 Sử dụng định thức để tính diện tích tam giác khi biết tọa độ 3 đỉnh 10

2 Ứng dụng trong việc bảo mật thông tin 10

3 Ứng dụng trong thực tiễn, tính toán số người 11

4 Tính doanh thu của doanh nghiệp 12

TÀI LIỆU THAM KHẢO 14

ĐÁNH GIÁ THÀNH VIÊN VÀ ĐIỂM THẢO LUẬN

STT Họ và tên MSV Nội dung công việc Điểm

1 Trần Việt Hoàng (nhóm

2 Trần Quang Phúc Hoàng

3 Trần Quang Huy 23D121017

4 Phạm Khải Huyền 23D121070

5 Phạm Thị Thu Huyền 23D121019

6 Nguyễn Hữu Khang 23D121020

7 Nguyễn Văn Khánh 23D121021

8 Phạm Ngọc Khánh 23D121022

9

Nguyễn Đức Khiêm 23D121071

10 Phạm Trung Kiên 22D100156

3

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài:

Đại số tuyến tính là một bộ môn toán nghiên cứu về không gian vecto, hệ phương trình tuyến tính, và các phép biến đổi tuyến tính giữa chúng, là một trong những môn học có vai trò quan trọng cho sự phát triển của toán học, là môn học cơ sở trong chương trình toán cao cấp ngày nay Đại số tuyến tính được sử dụng nhiều trong toán học như đại số đại cương, giải tích hàm, hình học giải tích…Nó cũng có

vô vàn ứng dụng trong vật lý, tin học,

Định thức là một trong những công cụ rất quan trọng và có nhiều ứng dụng trong toán học Phương pháp định thức cho phép tiếp cận những kiến thức toán học một cách gọn gàng, đồng thời sử dụng định thức còn mang lại cho chúng ta những phương pháp giải toán rất hiệu quả Nó cũng có tác dụng tích cực trong việc phát triển tư duy cho người học toán

Với mong muốn tìm hiểu và nghiên cứu sâu hơn về mảng kiến thức này, chúng em lựa chọn đề tài “ Ứng dụng của định thức trong giải toán thực tế ” để thực hiện bài thảo luận của nhóm mình

2 Mục đích nghiên cứu:

Nghiên cứu và trình bày một cách có hệ thống, logic về định nghĩa và một số tính chất của định thức ma trận, một số phương pháp tính định thức và một số ví dụ minh họa về ứng dụng của định thức

3 Nhiệm vụ nghiên cứu:

Đưa ra những kiến thức về định thức, những kiến thức về ứng dụng của chúng trong giải toán thực tế

Tìm hiểu, nghiên cứu về các định nghĩa, tính chất, các phương pháp định thức của

ma trận, và đưa ra các ví dụ minh họa cho các phương pháp đó

Đưa ra hệ thống bài tập về các bài toán ứng dụng của định thức

4 Đối tượng nghiên cứu:

Nghiên cứu xung quanh các vấn đề về định thức cũng như là ứng dụng thực tế của chúng trong toán học

5 Phương pháp nghiên cứu:

Phương pháp nghiên cứu lí luận: Đọc và nghiên cứu các tài liệu, giáo trình về các vấn đề cần nghiên cứu như: định thức, các phương pháp tính định thức, ứng dụng của định thức Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Gồm ý kiến của các giảng viên hướng dẫn và các giảng viên khác trong Bộ môn Toán Đại Cương Trường

Đại học Thương Mại

LỜI CẢM ƠN

Trước khi đến với bài thảo luận, nhóm 4 chúng em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Trường Đại học Thương Mại Đặc biệt, chúng em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến giảng viên bộ môn cô Nguyễn Thu Thủy đã truyền đạt những kiến thức quý báu cho chúng em trong suốt thời gian học tập vừa qua Trong thời gian tham gia lớp học của cô, chúng em

đã có thêm cho mình rất nhiều kiến thức bổ ích, tinh thần học tập hiệu quả, nghiêm túc Đây chắc chắn sẽ là những kiến thức quý báu, là hành trang để chúng em có thể vững bước sau này

Mặc dù đã dành nhiều thời gian và nỗ lực để hoàn thành bài tiểu luận này, nhưng do hạn chế về mặt kiến thức nên chúng em làm bài khó tránh khỏi những thiếu sót Chúng em kính mong nhận được những lời góp ý của quý thầy, cô để bài làm được hoàn thiện hơn

Chúng em xin chân thành cảm ơn!

LỜI CAM KẾT

Bài thảo luận của chúng em trong thời gian qua là thành quả của quá trình học hỏi và tiếp thu kiến thức từ Cô Nguyễn Thu Thủy và kinh nghiệm thực tế Vì vậy chúng em xin cam đoan tất cả nội dung báo cáo là sản phẩm cá nhân của riêng nhóm em và không có bất kì gian dối hay sao chép nào Các tài liệu tham khảo và trích dẫn đều được ghi rõ nguồn gốc Chúng em xin chịu trách nhiệm hoàn toàn với lời nói của mình trước Hội đồng kỷ luật Trường

Hà Nội, ngày 01 tháng 03 năm 2024 Đại diện nhóm 4

5

I Khái niệm định thức

1 Định thức

Cho một ma trận vuông A, Định thức của ma trận A là một số, kí hiệu det ( A), được định nghĩa quy nạp như sau:

A là ma trận vuông cấp 1:

A=[a11] thì det ( A)=a11

A là ma trận vuông cấp 2: A=[a11 a12

a21 a22] thì det (A)= a11a22−a12a21

A là ma trận vuông cấp 3: ( Áp dụng quy tắc Sarrus )

A = [a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33]

det(A) = a11 a22 a3+ a12 a a23 +a21 a32 a- a13 a22 a - a21 a12 a33 - a32 a23 a

A là ma trận vuông cấp n: Xét ma trận A = (a jⅈ )n x n Ta có ký hiệu M jⅈ là ma trận có được

từ A bằng cách bỏ đi dòng I và cột J Khi đó det ( A ) được tính bằng công thức sau:

⌈ A ⌉ =∑

j=1

n (− )1i + j aij|Mij|

Trong đó I là một dòng tuỳ ý của ma trận A

2 Tính chất của định thức

1 Nếu A và B là các ma trận vuông cùng cỡ thì ta có |A ⋅ B|=|A|⋅|B|

2 Nếu A có dạng tam giác thì định thức của A bằng tích các phần tử nằm trên đường chéo chính

3 |AT|=|A|

4 Định thức A = 0 nêu có một dòng ( cột ) toàn 0

5 Nếu ra đổi chỗ hai dòng ( hoặc hai cột ) của địnht hức thì định thức đổi dấu

6 Nếu nhân các phần tử của một dòng ( hoặc một cột ) với số k thì định thức mới bằng định thức cũ nhân với k

7 Nếu nhân một dòng nào đó với một số bắt kỳ rồi cộng vào dòng khác thì định thức không thay đổi

II Ứng dụng của định thức

1 Tìm hạng của ma trận.

Cho ma trận A ≠ 0 Ta gọi cấp cao nhất của một định thức con khác 0 của A là hạng của

ma trận A Ta sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên các dòng hoặc cột để đưa ma trận A

về dạng đơn giản Hạng của ma trận bằng số dòng khác 0 của ma trận sau biến đổi Các phép biến đổi sơ cấp:

- Đổi chỗ hai dòng của ma trận

- Nhân các phần tử của một dòng với một số khác 0

- Nhân một dòng với một số rồi cộng vào khác

Ví dụ:

A=[1 2 3

2 1 4

3 0 5] d1.2+¿¿[1 2 3

0 3 2

0 6 4] d2.2+¿¿[1 2 3

0 3 2

0 0 0]

Có det(D) = |1 2

0 3| = 1 ≠ 0

Số dòng khác 0 là 2 Vậy hạng của ma trận là 2

2 Tìm ma trận nghịch đảo.

Cho: Ma trận vuông An ×, ma trận con ứng với phần tử aij là ma trận vuông cấp n-1 thu được từ A bằng cách bỏ đi dòng i và cột j, kí hiệu là Mij

Mij: ma trận con của A khi bỏ đi hàng i, cột j

Aij= (− )1i+ j|Mij|: phần bù đại số của phần tử aij

=> ma trận nghịch đảo : A−1= |1

A|[A11 A21 … An

A12 A22 … An

… … … …

A1 n A2 n … Ann] ( detA ≠ 0)

(Phần bù đại số của hàng viết thành cột)

7

Ví dụ: Cho ma trận A dưới đây, tìm ma trận nghịch đảo của A

A=[1 2 3

2 1 3

2 3 1]

Bài làm Xét: detA = 12 => Có ma trận nghịch đảo

Áp dụng công thức Cij= (− )1i+ j|Mij|

Ta có: C11= (− )11+1

|1 3

3 1| = -8 C12= (− )11+2

|2 3

2 1| = 4 Tương tự, ta nhận được: C13=4

C21=7 C22=-5 C23=1

C31=3 C32=3 C33=-3

=> Ta được ma trận nghịch đảo: A−1= 1

12[−8 7 3

4 −5 3

4 1 −3] = [−2

3

7 12

1 4 1

3

−5 12

1 4 1

3

1 12

−1

4]

3 Giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính

3.1 Phương pháp Cramer :

-Hệ Cramer là hệ thỏa mãn điều kiện:

+ Ma trận vuông

+ detA ≠ 0

-Phương pháp:

xj=|A|j

|A| ;(j=1 , n).

Trong đó:

A là ma trận hệ số.

Aj là ma trận có được từ ma trận bằng cách thay cột bởi cột tự do.A j

-Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính sau:

{ 2 x1+ x3=1

x1+4 x2+2 x3=7

5 x2+ x3=5

Ta có: = D |2 0 1

1 4 2

0 5 1|= 8 + 5 – 20 = -7 ; Dx1=|−1 0 1

7 4 2

5 5 1| = -4 + 35 – 20 +10 =21

Dx2=|2 −1 1

1 7 2

0 5 1|= 14 + 5 – 20 + 1 = 0 ; Dx3=|2 0 −1

1 4 7

0 5 5|= 40 – 5 – 70 = -35

Vì D = -7 ≠ 0 nên hệ có nghiệm duy nhất:

D =

21

−7=−3

x2=D x2

D =

0

−7=0

x3=D x3

D =

−35

−7=5

3.2 Phương pháp sử dụng ma trận nghịch đảo:

- Bước 1: Đặt A, X, B Dạng ma trận của hệ: A.X = B

- Bước 2: Nếu det A ≠ 0 => X = A−1

B

- Bước 3: Tìm A−1 sau đó tìm X và suy ra nghiệm

- Ví dụ: {3 x +5 y=−1

x +2 y=4

Ta có: [3 2

1 −1].[x

y] = [18

2]

Có detA = -5 ≠ 0 => có ma trận nghịch đảo Áp dụng công thức Cij= (− )1i+ j|Mij|

C11= -1; C12= -1; C21= -2; C22= 3

A−1=1

−5.[−1 −2

−1 3]=[1 2

1 −3]

9

Giải hệ phương trình bằng cách nhân hai vế của phương trình A.X = B với A :

A−1

A X= A−1

=> X = A−1

B

Thay A−1 và B vào phương trình ta được:

X = [1 2

1 −3] [18

2] = [22

16] Vậy nghiệm của hệ phương trình là x = 22 và y = 16

III Một số bài toán thực tế là ứng dụng của định thức.

1 Sử dụng định thức để tính diện tích tam giác khi biết tọa độ 3 đỉnh.

Cho: A(x1, y1¿, B(x2, y), C(x3, y3¿

Ví dụ 1: Tính diện tích hình tam giác với các đỉnh A(1, -5), B(3, 9) và C(15, 6)

Sử dụng công thức giải nhanh bằng máy tính Casio: SABC = 12|det[x1 y1 1

x2 y2 1

x3 y3 1] |

Thay tọa độ 3 đỉnh A, B, C vào công thức ta được: SABC = 12|det[1 −5 1

3 9 1

15 6 1] |= 87

Ví dụ 2: Cho 3 điểm A(1,2), B(3,5), C(4,7) Tính diện tích tam giác tạo bởi 3 điểm A,B,C Tổng quát: SABC = 1

2| [AB AC] |= 1

2|det[x x2− 1 x3−x1

y y2− 1 y3− y1] |

Ta có: AB = (2, 3), AC = (3,5)

SABC = 1

2|det[2 3

3 5] | = 1

2|( 2∗5 – 3∗3 )|= 1

2

2 Ứng dụng trong việc bảo mật thông tin.

Cho ma trận A = [1 2 3

2 5 3

1 0 8] và một sự tương ứng giũa các ký tự và số như sau:

E Y A H N U ! E M

Một bạn trai muốn gửi dòng tin nhắn đến cho bạn gái Để đảo bảo bí mật, anh ta dùng bảng tương ứng trên để chuyển tin nhắn của mình thành một dãy số và viết dãy số này thành ma trận B Theo nguyên tắc: Lần lượt từ trái sang phải mỗi chữ số là một vị trí trên các dòng của B Sau khi tính D=B.A và chuyển D về dãy số thì tìm được dãy 1 2 1 2 0 3

3 1 4 Hãy giải mã thông tin trên

D=B.A B= D.A−1 mà A−1 cỡ 3x3 => D có 3 cột mà dãy số của D có 9 phần tử => mỗi cột của D có 3 phần tử => D cỡ 3x3

D=[1 2 1

2 0 3

3 1 4]

Ta có: det(A) = 40 + 6 – 15 – 32 = -1 ≠ 0 => tồn tại A−1

A11=(− )11+1det[5 3

0 8] = 40

A12= (− )11+2det[2 3

1 8] = -13

A13= (− )11+3det[2 5

1 0] = -5

Tương tự ta có : A21= -16; A22= 5; A23= 2; A31= -9; A32= 3; A33= 1

A−1= −11 [40 −16 −9

−13 5 3

−5 2 1 ] = [−40 16 9

13 −5 −3

5 −2 −1]

B = D A−1 = [1 2 1

2 0 3

3 1 4] [−40 16 9

13 −5 −3

5 −2 −1 ] = [−9 4 2

−65 26 15

−87 35 20]

3 Ứng dụng trong thực tiễn, tính toán số người.

Lớp K59CD có 10 bạn có điểm kiểm tra thấp nhất gồm các bạn điểm 1, 2, 3 Biết rằng tổng số điểm của 10 bạn là 17 và tổng số bạn có điểm 2 và 3 bằng tổng số bạn có điểm 1

11

Hỏi có bao nhiêu bạn được điểm 1, bao nhiêu bạn được điểm 2, bao nhiêu bạn được điểm 3

Gọi số bạn điểm 3, điểm 2, điểm 1 lần lượt là a, b, c (0 < a, b, c < 10)

Theo giả thuyết đề bài cho ta có phương trình:

3 2 1

1 1 −1] [a

b

c] = [10

17

0] (*)

Gọi A= [1 1 1

3 2 1

1 1 −1]; X=[a

b

c]; B=[10

17

0]

Khi đó (*) <=> A.X=B => X=B A−1

Det(A) = -2 + 1 + 3 – 2 – (-3) – 1 = 2 ≠ 0 => tồn tại A−1

A11=(− )11+1det[2 1

1 −1] = -3

A12= (− )11+2det[3 1

1 −1] = 4

A13= (− )11+3det[3 2

1 1] = 1

Tương tự ta có : A21= 2; A22= -2; A23= 0; A31= -1; A32= 2; A33= -1

A−1= −21 [−3 2 −1

4 −2 2

1 0 −1] = [1,5 −1 0,5

−2 1 −1

−0,5 0 0,5]

X=B.A−1= [10

17

0] [1,5 −1 0,5

−2 1 −1

−0,5 0 0,5]= [2

3

5]

a=2, b=3, c=5

Vậy lớp K59CD có 2 bạn điểm 3; 3 bạn điểm 2 và 5 bạn điểm 1

4 Tính doanh thu của doanh nghiệp

Một xí nghiệp sản xuất ra 3 loại sản phẩm G1, G2, G3 và phân phối hàng tháng cho 3 đại

lý A, B, C với số lượng cho bởi bảng sau:

G1 G2 G3

Giá bán lẻ của các sản phẩm tại các đại lý phân phối cho bởi bảng sau:

(Đơn vị: nghìn VND)

Doanh thu hàng tháng là:

170 420 190

201 63 58|.|560 750 1580

520 690 1390

590 720 1780| = [608400

64320

267190]

Vậy doanh thu hàng tuần của đại lí A là 608.400.000 VND, đại lí B là 64.320.000 VND, đại lí C là 267 19 0.00 VND

13

TÀI LIỆU THAM KHẢO