Một công xưởng chia 1500 sản phẩm cho cả 3 đội sản xuất tỉ lệ với số người của mỗi đội.. Biết rằng số người của đội thứ 2 bằng trung bình cộng số người của đội thứ nhất và đội thứ 3.. Độ
Trang 1UBND HUYỆN QUỲNH NHAI
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
(Đề thi gồm 01 trang)
ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI KHỐI LỚP 6, 7, 8
CẤP HUYỆN, NĂM HỌC 2022 - 2023
Môn: Toán 7
Ngày thi: 20.4.2023
(Thời gian: 120 phút, không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (4,0 điểm) Thực hiện phép tính:
a) 7: 1 1 7: 1 1 1
5 15 6 5 3 15
A
3 3 3 1 1 1
7 11 13 2 3 4
5 5 5 5 5 5
7 11 13 4 6 8
C
b) B 1 2 1 2 2 2 3 2 50
Câu 2 (5,0 điểm)
a) Tìm x, y, z, biết rằng: x : y : z = 3 : 8 : 5 và 3x + y - 2z = 14
b) Cho P(x) = x3 - 2ax + a2; Q(x) = x2 + (3a + 1)x + a2 Tìm số a sao cho P(1) = Q(3)
c) Chứng minh rằng: Với mọi số nguyên dương n thì 3n 2 2n 2 3n 2n
chia hết cho 10
Câu 3 (3,0 điểm)
Một công xưởng chia 1500 sản phẩm cho cả 3 đội sản xuất tỉ lệ với số người của mỗi đội Biết rằng số người của đội thứ 2 bằng trung bình cộng số người của đội thứ nhất và đội thứ 3 Đội thứ nhất được chia nhiều hơn đội thứ 3
là 300 sản phẩm Hỏi mỗi đội được lĩnh bao nhiêu sản phẩm ?
Câu 4 (6,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC Trên tia đối của tia AB lấy
điểm D sao cho AD = AB, trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AC
a) Chứng minh rằng: BE = CD
b) Gọi M là trung điểm của BE, N là trung điểm của CD Chứng minh
M, A, N thẳng hàng
c) Ax là tia bất kỳ nằm giữa hai tia AB và AC Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của B và C trên tia Ax Chứng minh BH + CK BC
d) Xác định vị trí của tia Ax để tổng BH + CK có giá trị lớn nhất
Câu 5(2,0 điểm) Chứng minh rằng: 2 2 2
2 3 n < 1 (với nN, n 2) - Hết
-(Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
Trang 2UBND HUYỆN QUỲNH NHAI
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 6, 7, 8 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2022 - 2023 Môn: Toán 7
Câ
u
m
Câu 1 (4,0 điểm) Thực hiện phép tính
a) 7: 1 1 7: 1 1 1
5 15 6 5 3 15
A
b) B 1 21 22 23 2 50
c)
3 3 3 1 1 1
7 11 13 2 3 4
5 5 5 5 5 5
7 11 13 4 6 8
C
1a
5 15 6 5 3 15 5 15 6 3 15 5 15 2
7 30 6
.
5 49 7
A
0,5 0,5
1b
Ta có: 2B 2 22 23 2 50 251
2B - B = (2 2 2 23 2 50 2 )51
(1 2 2 2 2 )
= 251 - 1
0,75 0,75
1c
3
7 11 13 2 3 4
1 1 1 5 1 1 1
7 11 13 2 4 6 8
3 2
1
5 5
C
0,75 0,75
Câu 2 (5,0 điểm)
a) Tìm x, y, z, biết rằng: x : y : z = 3 : 8 : 5 và 3x + y - 2z = 14
b) Cho P(x) = x 3 - 2ax + a 2 ; Q(x) = x 2 + (3a + 1)x + a 2 Tìm số a sao cho P(1)
= Q(3)
c) Chứng minh rằng: Với mọi số nguyên dương n thì : 3n 2 2n 2 3n 2n
hết cho 10
2a Từ x : y : z = 3 : 8 : 5 ta có:
3 8 5
x y z
3 8 5 9 8 10 9 8 10 7
x y z x y z x y z
0,25 0,5
Trang 3N M
K H
x
I
C B
A
2b
Ta có: P(1) = 1 - 2a + a2; Q(3) = 12 + 9a + a2
Do P(1) = Q(3) nên 1 - 2a + a2 = 12 + 9a + a2
=> a = -1
Vậy a = -1 thì P(1) = Q(3)
1 1
2c
Ta có: 2 2
3n 2n 3n 2n
= 3n(32 + 1) - 2n(22 + 1) = 10.3n - 5.2n
Vì 10 10 => 10.3n
10; 2n
2 => 5.2n
10 Khi đó: 10.3n - 5.2n
10
3n 2n 3n 2n
chia hết cho 10
1 1
Câu 3 (3,0 điểm) Một công xưởng chia 1500 sản phẩm cho cả 3 đội sản xuất
tỉ lệ với số người của mỗi đội Biết rằng số người của đội thứ 2 bằng trung bình cộng số người của đội thứ nhất và đội thứ 3 Đội thứ nhất được chia nhiều hơn đội thứ 3 là 300 sản phẩm Hỏi mỗi đội được lĩnh bao nhiêu sản phẩm ?
Gọi x, y, z là số sản phẩm của đội thứ nhất, thứ 2, thứ 3 (x, y,
z > 0)
Theo đề bài ta thấy số sản phẩm tỉ lệ với số người của mỗi
đội nên ta có:
1500 300 2
Suy ra: 3y = 1500 => y = 500
Từ x - y = 300 => x = 800, z = 200
Vậy số sản phẩm của đội thứ nhất, thứ 2, thứ 3 lần lượt là:
800 sản phẩm; 500 sản phẩm; 200 sản phẩm
0,5
1 1
0,5
Câu 4 (6,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC Trên tia đối của tia AB lấy điểm
D sao cho AD = AB, trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AC a) Chứng minh rằng: BE = CD.
b) Gọi M là trung điểm của BE , N là trung điểm của CD Chứng minh M,
A, N thẳng hàng.
c) Ax là tia bất kỳ nằm giữa hai tia AB và AC Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của B và C trên tia Ax Chứng minh BH + CK BC.
d) Xác định vị trí của tia Ax để tổng BH + CK có giá trị lớn nhất.
Hình vẽ
0,5
Trang 4Xét ABE và ADC có AD = AB(gt); AE = AC(gt); BAE CAD
(đối đỉnh) => ABE = ADC (c.g.c)
=> BE = CD
1
6b
*) Xét ABM và ADN có: MBA NDA ; BM = DN (vì ABE
= ADC); AB = AD(gt) => ABM = ADN (c.g.c)
=> MAB NAD
* Mặt khác, BAN NAD 180 0 nên BAN MAB 180 0
=> 3 điểm M, A, N thẳng hàng
1 1
6c
Gọi I là giao điểm của BC và Ax, ta có: BC = BI + CI
BHI vuông tại H , CKI vuông tại K => BH BI CK CI;
=> BH + CK BI + CI
0,5 0,5 0,5 6d
BH + CK BI + CI (C/m phần c) => BH + CK có giá trị lớn nhất
là bằng BC
=> BH = BI; CK = CI => K, H trùng với I
=> Ax vuông góc với BC thì BH + CK có giá trị lớn nhất
0,5
0,5
2 3 n < 1 (với n N, n 2)
Ta có: 2 2 2
1.2 2.3 ( 1)
2 3 n n n (*) Mà
1.2 2.3 (n 1)n 1 2 2 3 n 1 n n n N n
Từ (*) => 12 12 12
2 3 n < 1 (với n N, n 2)
1 1
(Lưu ý: Học sinh có cách giải khác ra kết quả đúng vẫn được điểm tối đa)