Điều kiện cần tối ưu cho bài toán ngược xác định vế phải của phương trình truyền nhiệt tuyến tính

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------ VŨ THỊ HỒNG THẢO ĐIỀU KIỆN CẦN TỐI ƯU CHO BÀI TOÁN NGƯỢC XÁC ĐỊNH VẾ PHẢI CỦA PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT TUYẾN TÍNHChuyên ngành: Toán

Bài toán thuận và bài toán ngược

Cho Ω là một miền mở, giới nội trong R n , n ≥ 1 với biên ∂Ω Ký hiệu

Xét bài toán giá trị ban đầu

Bài toán tìm nghiệm u(x, t) của hệ (1.1) khi các hệ số a i (x, t), i 1, , n, điều kiện ban đầu v và vế phải f đã biết được gọi là bài toán thuận [1, 6] Để đưa ra khái niệm về nghiệm yếu của bài toán thuận, chúng tôi sử dụng các định nghĩa về không gian Sobolev H 1 (Ω), H 0 1 (Ω),

H 1,0 (Q), H 1,1 (Q) H 0 1,0 (Q) và H 0 1,1 (Q) tham khảo trong các tài liệu [1, 6, 7]. Định nghĩa 1.1 Không gian H 1 (Ω) là không gian bao gồm tất cả các hàm u(x) ∈ L 2 (Ω) có đạo hàm suy rộng ∂x ∂u i ∈ L 2 (Ω), i = 1, , n với tích vô hướng

)dx. Định nghĩa 1.2 Không gian H 0 1 (Ω) là không gian bao gồm tất cả các hàm u(x) ∈H 1 (Ω) và triệt tiêu trên biên ∂Ω, tức là

∂Ω = 0}. Định nghĩa 1.3 Không gian H 1,0 (Q) là không gian bao gồm tất cả các hàm u(x, t) ∈ L 2 (Q) có các đạo hàm suy rộng ∂x ∂u i ∈ L 2 (Q), i = 1, , n với tích vô hướng

∂x i )dxdt. Định nghĩa 1.4 Không gian H 1,1 (Q) là không gian bao gồm tất cả các hàm u(x, t) ∈ L 2 (Q) có đạo hàm suy rộng ∂x ∂u i ∈ L 2 (Q), i = 1, , n và

∂t)dxdt. Định nghĩa 1.5 Không gian H 0 1,0 (Q) là không gian bao gồm tất cả các hàm u(x, t) ∈ H 1,0 (Q) và triệt tiêu trên biên S, tức là

S = 0}. Định nghĩa 1.6 Không gian H 0 1,1 (Q) là không gian bao gồm tất cả các hàm u(x, t) ∈ H 1,1 (Q) và triệt tiêu trên biên S, tức là

S = 0}. Định nghĩa 1.7 (Khả vi Fréchet) Cho X, Y là các không gian Ba- nach, U là lân cận của điểm x Ánh xạ F : U → Y được gọi là khả vi Fréchet tại x nếu tồn tại ánh xạ tuyến tính liên tục A : X → Y thỏa mãn h→0lim kF(x+h)−F(x)−AhkY khk X = 0.

Khi đó toán tử tuyến tính A được gọi là đạo hàm Fréchet của F.

Hơn nữa, cho không gian Banach B, ta định nghĩa

L 2 (0, T;B) ={u:u(t)∈ B hầu khắp với t ∈ (0, T) và kuk L 2 (0,T ;B) < ∞}, trong đó kuk 2 L 2 (0,T;B) Z T 0 ku(t)k 2 B dt.

Tiếp theo, ta định nghĩa không gian W(0, T) như sau

W(0, T) ={u: u∈ L 2 (0, T;H 0 1 (Ω)), u t ∈ L 2 (0, T; (H 0 1 (Ω)) 0 )}, với chuẩn kuk 2 W (0,T) = kuk 2 L 2 (0,T;H 0 1 (Ω))+kutk 2 L 2 (0,T ;(H 0 1 (Ω)) 0 ).

Nghiệm của bài toán biên Dirichlet (1.1) được hiểu theo nghĩa nghiệm yếu như sau: Định nghĩa 1.8 Nghiệm yếu trong không gian W(0, T) của bài toán (1.1) là một hàm u(x, t) ∈ W(0, T) thỏa mãn đồng nhất thức

Nhận xét 1.1 Sử dụng kết quả trong [1, p 35–46], [6, p 141–152] và

[7, Chương IV] ta nhận được tính tồn tại duy nhất nghiệm u ∈W(0, T) của bài toán Dirichlet (1.1) Hơn nữa, tồn tại hằng số dương C không phụ thuộc vào điều kiện ban đầu v và vế phải f (chỉ phụ thuộc vào miền Ω) sao cho kuk W (0,T) ≤ C kfk L 2 (Q) +kvk L 2 (Ω)

Tiếp theo đây, chúng tôi sẽ giới thiệu khái niệm về bài toán ngược xác định vế phải được nghiên cứu trong luận văn Như đã trình bày trước đó, bài toán xác định nghiệm u(x, t) của hệ (1.1) khi biết vế phải f và điều kiện ban đầu v được gọi là bài toán thuận Ngược lại, bài toán tìm điều kiện ban đầu v hoặc hàm vế phải f khi biết một số thông tin (hay còn gọi là quan sát hoặc dữ kiện) về nghiệm được gọi là bài toán ngược. Trong luận văn này, chúng tôi tập trung nghiên cứu bài toán ngược xác định hàm vế phải của hệ (1.1) từ quan sát tích phân và quan sát tại thời điểm cuối của nghiệm u Nghĩa là, ta xây dựng lại hàm f từ i) Quan sát tích phân của nghiệm lu(x, t) Z

Ω ω(x)u(x, t)dx = h(t)∈ L 2 (0, T), t ∈(0, T), (1.5) trong đó ω(x) là hàm trọng không âm thỏa mãn R

Ωω(x)dx > 0. ii) Quan sát nghiệm tại thời điểm cuối u(x, T) =ξ(x).

Nhận xét Trước khi đi vào nghiên cứu cụ thể bài toán, ta bình luận một vài điều về toán tử quan sát tích phân Giả sử x0 ∈ Ω là điểm mà tại đó ta muốn quan sát quá trình truyền nhiệt (hoặc tán xạ), tức là quan sát nghiệm u trong lân cận Ω1 của x0 Cho ω là hàm có dạng ω(x) 

(1.6) với |Ω 1 | là thể tích của Ω 1 Khi đó lu cho ta kết quả đo và có thể hiểu như là trung bình tại u(x0, t) (nếu tích phân tồn tại) Nếu cho thể tích

|Ω 1 | tiến tới 0, thì lu sẽ hội tụ tới u(x 0 , t) Tuy nhiên vì nghiệm u được hiểu theo nghĩa nghiệm yếu nên u(x0, t) không phải lúc nào cũng tồn tại Như vậy nếu ta quan sát quá trình u(x, t) bằng quan sát điểm u(x0, t) = h(t), t ∈ (0, T) (1.7) thì nhiều khi không có nghĩa Vì vậy, việc nghiên cứu bài toán (1.1) từ quan sát tích phân (1.5) có ý nghĩa thực tế hơn việc nghiên cứu bài toán

Chúng tôi kí hiệu nghiệm u(x, t) của (1.1) bởi u(x, t;f) (hoặc là u(f) nếu không có gì nhầm lẫn) để nhấn mạnh sự phụ thuộc của nghiệm u vào hàm chưa biết f(t) Sử dụng phương pháp bình phương tối thiểu

[1], ta ước lượng hàm chưa biết f bằng cách cực tiểu hóa phiếm hàm mục tiêu tương ứng với từng loại quan sát i) Với quan sát tích phân, phiếm hàm mục tiêu có dạng

2 k lu(f)−h(ã) k 2 L 2 (0,T ) (1.8) ii) Với quan sát tại thời điểm cuối, phiếm hàm mục tiêu có dạng

2 k u(ã, T;f)−ξ(ã) k 2 L 2 (Ω) (1.9) Để ổn định hóa bài toán, ta kết hợp phương pháp bình phương tối thiểu với hiệu chỉnh Tikhonov đưa bài toán ngược về bài toán tối ưu như sau: Tìm f∈Vminad

2kfk 2 L 2 (Q) (1.10) với α là tham số hiệu chỉnh được chọn trước và tập các hàm chấp nhận được V ad có dạng như sau

Vad = {f ∈L 2 (Q) : fa ≤ f ≤ fb, với hầu khắp (x, t) ∈ Q} (1.11)

Như vậy, việc giải bài toán ngược xác định hàm vế phải được đưa về giải bài toán điều khiển tối ưu (1.10) cho phương trình (1.1) trên tập chấp nhận được (1.11) Mục đích của việc giải bài toán là ta tìm hàm nguồn f sao cho lu(f) xấp xỉ tốt nhất thông tin quan sát h(t) hoặc u(x, T;f) xấp xỉ tốt nhất ξ(x) . Định nghĩa 1.9 Một hàm f ∗ ∈ Vad được gọi là nghiệm tối ưu và u ∗ u(f ∗ ) là trạng thái tối ưu tương ứng nếu

Ta có định lý về điều kiện cần tối ưu của phiếm hàm Jα(f) như sau Định lý 1.1 Nếu phiếm hàm Jα(f) đạt cực tiểu tại f ∗ thì

Bài toán liên hợp

Xét bài toán liên hợp của bài toán (1.1):

(1.13) trong đó a Q ∈ L 2 (Q) và a Ω ∈L 2 (Ω) Ta định nghĩa nghiệm của bài toán này là hàm p ∈ W(0, T;H 0 1 (Ω)) thỏa mãn

Bằng cách đổi chiều thời gian, đặt τ = T−t ta có thể đưa bài toán liên hợp (1.13) về bài toán thuận và sử dụng kết quả của Nhận xét 1.1 có thể khẳng định tính tồn tại duy nhất của nghiệm p ∈ W(0, T;H 0 1 (Ω)) và p cũng thỏa mãn bất đẳng thức tiên nghiệm tương tự như (1.4) Ta có kết quả dưới đây: Định lý 1.2 Cho y ∈ W(0, T;H 0 1 (Ω)) là nghiệm của bài toán y t − n

(1.14) với b Q ∈ L 2 (Q), và b Ω ∈L 2 (Ω) Giả sử rằng a Q ∈ L 2 (Q), a Ω ∈L 2 (Ω) và p ∈ W(0, T;H 0 1 (Ω)) là nghiệm yếu của bài toán liên hợp (1.13) Khi đó ta có công thức Green sau đây

Chứng minh Định lý 1.2 Nhân hai vế phương trình đầu tiên của bài toán thuận (1.14) với hàm thử p, lấy tích phân trên Q, ta có

Sử dụng công thức tích phân từng phần cho vế trái đẳng thức trên, ta nhận được

Từ điều kiện biên của bài toán (1.14) ta có y(ζ, t) = 0 nên

(1.16) Tương tự, nhân vô hướng hai vế phương trình đầu tiên của (1.13) với hàm thử y, sử dụng công thức tích phân từng phần cho số hạng thứ hai, ta nhận được

Sử dụng công thức tích phân từng phần cho số hạng đầu tiên của công thức (1.16), ta nhận được

X i=1 ai(x, t)yx ipx idxdt+hy, pi| t=T t=0

Chú ý rằng y(x,0) = bΩ, và p(x, T) = aΩ nên đẳng thức trên trở thành

Từ phương trình (1.17) và (1.18) ta có

Ω b Ω p(0)dx. Điều này tương đương với

Ta có điều phải chứng minh. Định lý 1.2 còn được gọi là công thức Green, thường được sử dụng để xây dựng bài toán liên hợp.

Tính liên tục của toán tử quan sát lu được chỉ ra qua bổ đề dưới đây

Bổ đề 1.1 Toán tử lu : f 7→ lu(f) = R

Chứng minh Bổ đề 1.1 Cho f 1 , f 2 với kf 1 −f 2 k < δ, khi đó lu(f1)−lu(f2) Z

Ta có u(x, t;f1)−u(x, t;f2) là nghiệm của bài toán

Sử dụng đánh giá (1.4) ta có ku(x, t;f 1 )−u(x, t;f 2 )k L 2 (Q) < Ckf 1 −f 2 k L 2 (Q) < Cδ.

Khi đó, sử dụng Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có đánh giá sau klu(f1)−lu(f2)k L 2 (0,T) Z T 0

Như vậy toán tử lu(f) là liên tục Bổ đề đã được chứng minh.

Sự tồn tại cực tiểu của phiếm hàm (1.10) được khẳng định qua định lý sau đây Định lý 1.3 Bài toán tìm cực tiểu của phiếm hàm (1.10) có ít nhất một nghiệm tối ưu.

Chứng minh Định lý 1.3 Giả sử rằng fn là dãy cực tiểu hóa của phiếm hàm J α (f), tức là

Khi đó, tồn tại hằng số c sao cho

2kfk 2 L 2 (0,T ) nên dãy fn với α ≥ 0 bị chặn trong L 2 (Q), tức là k fn k≤ const Do đó, tồn tại dãy con của f n hội tụ yếu trong L 2 (Q) (ta vẫn kí hiệu dãy con này là fn nếu không có gì nhầm lẫn) Vì không gian Hilbert L 2 (Q) là đóng yếu nên tồn tại f ∈L 2 (Q) sao cho f n −→ w f.

Giả sử rằng un và u là các nghiệm của bài toán (1.1) tương ứng với hàm vế phải lần lượt là fn và f Từ công thức nghiệm yếu (1.2) của (1.1), với mọi η ta có

Từ điều này ta suy ra u n −→ w u trong W(0, T) Khi đó: i) Với quan sát tích phân, theo Bổ đề 1.1 toán tử quan sát lu :u(f) → lu(f) là liên tục nên lun(fn) − h −→ w lu(f)− h; ii) Với quan sát tại thời điểm cuối, ta cũng có u(T;f n ) −→ w u(T;f) Vì vậy, lim inf n−→∞ J α (f n ) ≥ J α (f) (1.21)

Vì fn là dãy cực tiểu hóa của phiếm hàm Jα(f) nên ta có

J α (f) = inf f ∈L 2 (Q)J α (f n ) (1.22) Điều này có nghĩa là f là cực tiểu của phiếm hàm J α (f) Bổ đề đã được chứng minh hoàn toàn.

Điều kiện cần tối ưu cho bài toán xác định vế phải 26 2.1 Điều kiện cần tối ưu

Ví dụ số

Ví dụ 1 Trường hợp bài toán một chiều.

Cho Ω = (0,1) và 0 < t < T = 1, phương trình một chiều có dạng sau

Nghiệm chính xác uexact = e t sin(2πx), các hệ số a = 1, b = 0 Từ đó ta có điều kiện ban đầu v(x) = sin(2πx) và hàm vế phải f(x, t) (1 + 4π 2 ) sin(2πx)e t Tham số hiệu chỉnh α = 10 −2 , bước lưới không gian h = 0.02 và bước lưới thời gian ∆t = 0.02 Ta xét hai dạng quan sát như đã trình bày trong lý thuyết: i) Quan sát tích phân tại điểm x = 0.5 và hàm trọng ω(x) được chọn như sau ω(x) 

0 ngược lại với = 0.01 (2.37) ii) Quan sát tại thời điểm cuối.

Nghiệm chính xác bài toán thuận, nghiệm xấp xỉ của bài toán thuận, nghiệm số của bài toán liên hợp và hàm f thỏa mãn điều kiện cần tối ưu trong trường hợp quan sát i), ii) lần lượt được cho trong Hình 2.1 và Hình 2.2

Nghiem chinh xac bai toan thuan x

Nghiem xap xi bai toan thuan x

Nghiem bai toan lien hop x

40 3 f thoa man dieu kien can toi uu x

Hình 2.1: Ví dụ 1 Quan sát tích phân: (a) Nghiệm chính xác bài toán thuận; (b) Nghiệm xấp xỉ bài toán thuận; (c) Nghiệm số bài toán liên hợp; (d) Hàm f thỏa mãn điều kiện cần tối ưu.

Nghiem chinh xac bai toan thuan x

Nghiem xap xi bai toan thuan x

Nghiem bai toan lien hop

40 f thoa man dieu kien can toi uu

Hình 2.2: Ví dụ 1 Quan sát tại thời điểm cuối: (a) Nghiệm chính xác bài toán thuận; (b) Nghiệm xấp xỉ bài toán thuận; (c) Nghiệm số bài toán liên hợp; (d) Hàm f thỏa mãn điều kiện cần tối ưu.

Ví dụ 2 Trường hợp bài toán hai chiều.

Cho Ω = (0,1)×(0,1), thời gian 0 < t < T = 1 Phương trình đã cho có dạng

Các hệ số a 1 (x) = 0.01(x 1 +x 2 ), a 2 (x) = x 2 1 +x 1 x 2 Nghiệm chính xác uexact = sin(πx1) sin(πx2)(1−t), điều kiện ban đầuv(x) = sin(πx1) sin(πx2).

Hàm vế phải f = −sin(πx 1 ) sin(πx 2 )

Tham số hiệu chỉnh α = 10 −2 , bước lưới không gian h= (0.02,0.02) và bước lưới thời gian ∆t = 0.02 ta sử dụng các quan sát: i) Quan sát tích phân tại điểm x = (x 1 , x 2 ) = (0.5,0.5), hàm trọng ω(x) được chọn như sau ω(x) 

(2.38) ii) Quan sát tại thời điểm cuối.

Tại t = 0.5, nghiệm chính xác bài toán thuận, nghiệm xấp xỉ của bài toán thuận, nghiệm số của bài toán liên hợp và hàm f thỏa mãn điều kiện cần tối ưu trong trường hợp quan sát i), ii) lần lượt được cho trongHình 2.3 và Hình 2.4

Nghiem xap xi bai toan thuan tai t=1/2 x 2

Nghiem xap xi bai toan lien hop tai t=1/2

-1 f thoa man dieu kien can toi uu tai t=1/2 x 2

Hình 2.3: Ví dụ 2 Quan sát tích phân: (a) Nghiệm chính xác bài toán thuận; (b) Nghiệm xấp xỉ bài toán thuận; (c) Nghiệm số bài toán liên hợp; (d) Hàm f thỏa mãn điều kiện cần tối ưu.

Nghiem xap xi bai toan thuan tai t=1/2 x 2

Nghiem xap xi bai toan lien hop tai t=1/2

-1 f thoa man dieu kien can toi uu tai t=1/2 x 2

Hình 2.4: Ví dụ 2 Quan sát tại thời điểm cuối: (a) Nghiệm chính xác bài toán thuận; (b) Nghiệm xấp xỉ bài toán thuận; (c) Nghiệm số bài toán liên hợp; (d) Hàm f thỏa mãn điều kiện cần tối ưu.

Luận văn đã hệ thống lại một số khái niệm và kết quả sau:

- Hệ thống lại một số khái niệm liên quan đến bài toán thuận, bài toán ngược, bài toán ngược xác định vế phải, bài toán liên hợp; phương pháp sai phân hữu hạn rời rạc bài toán thuận, rời rạc phiếm hàm mục tiêu,

- Giới thiệu chi tiết về bài toán ngược xác định vế phải từ hai loại quan sát đó là: quan sát tích phân và quan sát tại thời điểm cuối Sử dụng phương pháp biến phân đưa bài toán về bài toán tối ưu tìm cực tiểu phiếm hàm mục tiêu tương ứng, luận văn đã chỉ ra được tính khả vi Fréchet và đưa ra công thức gradient cho phiếm hàm mục tiêu trong trường hợp bài toán liên tục và bài toán rời rạc Bên cạnh đó, luận văn cũng thử nghiệm một vài ví dụ số để minh họa cho quá trình tìm điều kiện cần tối ưu trong từng loại quan sát cụ thể.